Вынужденные колебания в контуре. резонанс — в помощь студенту

4.1 Краткие теоретические сведения

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Колебательная система, использующаяся в радиотехнических устройствах, представляет собой электрическую цепь, состоящую из емкости С, индуктивности L и активного сопротивления R.

Рис.4.1. Электрический колебательный контур

Наличие сопротивления R  обуславливает потери электрической энергии в контуре. Такой контур является затухающим гармоническим осциллятором, для которого справедливо следующее дифференциальное уравнение свободного колебательного процесса:

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

  • где q – заряд конденсатора
  •                  (δ – коэффициент затухания контура);
  •     – круговая частота свободных электрических колебаний  контура.

С течением времени свободный колебательный процесс в контуре будет затухать. Для получения незатухающих колебаний необходимо непрерывно пополнять запас энергии контура, чтобы скомпенсировать потери.

С этой целью контур подключается к генератору переменного тока. Незатухающие колебания, возникающие в контуре, называются вынужденными, поскольку их частота определяется частотой генератора.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Карбанионы и сн-кислоты - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

В этом случае дифференциальное уравнение колебательного процесса примет вид:

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

Если генератор включается в разрыв контура, контур называется последовательным (рис.4.2 а), а если же генератор включается параллельно контуру, то контур называется параллельным (рис.4.2 б).

Рис.4.2. Последовательный (а) и параллельный (б) электрические колебательные контуры.

Последовательный электрический колебательный контур

Пусть в последовательном электрическом колебательном контуре генератор обеспечивает ток   i = I0sinωt,  тогда напряжение на активном сопротивлении контура R будет равно:

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

Оно совпадает по фазе с током.

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

  1. (4.4)
  2. где ωL = XL – индуктивное сопротивление в цепи контура переменному току  (Ом).
  3.                   ULO – максимальная величина напряжения, падающая на индуктивном сопротивлении контура.
  4. Напряжение на индуктивности опережает ток в контуре по фазе на π/2.
  5. Падение напржения на ёмкости контура определяется по формуле:                        

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

(4.5)

где – ёмкостное сопротивление в цепи контура переменному току. Единица измерения  (Ом).

        – максимальная величина напряжения, падающая на ёмкостном сопротивлении контура.

Векторная диаграмма последовательного колебательного контура имеет вид

                                           Рис. 4.3

В любой момент времени напряжения на контуре есть сумма трёх слагаемых UR, UL, UC:

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

Согласно рис.4.3 амплитуда результирующего колебания в последовательном колебательном контуре равна:

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

На рис.4.4 приведены зависимости индуктивного XL, ёмкостного XС и полного сопротивления контура Z от частоты колебаний внешнего генератора.

                                                 Рис.4.4.

  • Режим, возникающий в цепи последовательного колебательного контура при равенстве емкостного и индуктивного сопротивлений, называют резонансом напряжений.
  • На основании вышеприведенного определения имеем:
  • откуда    но  .

Следовательно, частота свободных колебаний в контуре равна его резонансной частоте, т.е. ω = ωо. При этом сопротивление контура становится чисто активным:

Z=R

В момент резонанса в уравнении 4.2 , что обуславливается равенством энергии потерь в колебательном контуре и энергии, передаваемой контуру внешним генератором. Следовательно:

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

Так как  ,  имеем  , откуда  или  .

Величина заряда  конденсатора равна:

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

  1. Напряжение, падающее  на конденсаторе, равно:
  2.                                     (4.8)
  3. где    –  добротность контура.

Обычно Q>>1, т.е. напряжение на емкости, а следовательно и на индуктивности в момент резонанса в десятки-сотни раз больше напряжения, падающего на активном сопротивлении. В этом состоит сущность резонанса напряжений.

Кривая, показывающая зависимость тока контура Iк, напряжения -Uк, мощности Pк и фазы φ между током Iк и напряжением Uк в контуре от частоты внешнего генератора вблизи резонанса называется резонансной кривой.

Семейство резонансных кривых для Iк, Uк и Pк при различных активных сопротивлениях контура представлено на рис.4.5.

Рис.4.5. Резонансные кривые последовательного колебательного контура при различных значениях R.

Колебательный контур характеризуется полосой пропускания  2Δω, в пределах которой, например, ток  контура уменьшается не более чем в раз по сравнению с током при резонансе (рис.4.6).

Рис.4.6. К определению полосы пропускания последовательного колебательного контура.

Параллельный электрический колебательный контур

Величина тока в каждой ветви контура (рис.4.7 а)  ic  и  iL зависит от частоты. С повышением последней емкостное сопротивление  Хс уменьшается, а индуктивное ХL увеличивается. При некоторой частоте они становятся равными. В этом случае токи в ветвях контура также будут равны.

Режим, возникающий в цепи параллельного колебательного контура, при равенстве индуктивного и ёмкостного сопротивления, называют резонансом токов.

В связи с тем, что напряжение на контуре, равное напряжению внешнего генератора в индуктивной ветви контура опережает ток по фазе на , а в ёмкостной отстаёт от тока по фазе на    , то токи в ветвях находятся в противофазе.

И если активное сопротивление контура Rк равно нулю (идеальный контур), то результирующее значение тока Io во внешней цепи контура будет равно нулю (рис.4.7а, т.е. сопротивление идеального параллельного колебательного контура при резонансе бесконечно велико (Zрез= ∞).

Рис.4.7. Векторные диаграммы токов параллельного колебательного контура: а – для идеального контура, б – для реального контура.

В реальном контуре часть энергии расходуется в активном сопротивлении, т.е. в контуре могут существовать только затухающие колебания. Если  генератор восполняет потери энергии, то амплитуда напряжения на контуре  будет оставаться неизменной. Равенство сопротивлений ХС и ХL контура, строго говоря, не является условием резонанса тока (рис.4.7  б) для реального контура.

  • Исходя из вышесказанного, мощность, отдаваемая генератором и расходуемая в активном сопротивлении, соответственно равны:
  • Рген = РR,
  • но                                          Рген = I2 Zрез; РR = IК2R,
  • где  Zрез – сопротивление контура при резонансе;
  •         I –  ток во внешней цепи контура;
  •         IК  – ток контура.
  • ;   а  ,  учитывая, что  ХL>> R.
  • Следовательно,
  • ,
  • отсюда                      или    
  • Так как                 ,   то   ,
  • где     – волновое сопротивление контура.

Резонансное сопротивление параллельного колебательного контура  Zрез зависит от соотношения величин L, C и R. Чем больше R, тем меньше Zрез и больше ток I во внешней цепи. При этом больше энергии расходуется в нём в тепло.

На рис.4.8 приведены резонансные кривые тока во внешней цепи и напряжения параллельного колебательного контура. 

Рис.4.8. Резонансные кривые тока во внешней цепи и напряжения параллельного колебательного контура.

4.2 Аппаратура, используемая при выполнении лабораторной работы

  1. Генератор низкой частоты (ГНЧ)
  2. Миллиамперметры –Iк, IL? IC
  3. Вольтметры – Uc, UL, Uк.

4.3 Порядок выполнения работы

  1. Собрать схему последовательного электрического колебательного контура приведённую на рисунке 4.9, подключить к нему генератор низкой частоты и необходимые измерительные приборы. Собранную схему предъявить для проверки руководителю.

Рис. 4.9 Схема исследования последовательного колебательного контура.

  1. Установить на выходе генератора низкой частоты напряжение величиной, задаваемой руководителем с частотой около 50 кГц.
  2. Определить резонансную частоту контура, используя показания вольтметров Uc и UL. Зафиксировать данную частоту в таблице 4.1 вместо обозначения υрезон. В этой же строчке записать все показания измерительных приборов. Изменяя частоту генератора на несколько кГц ниже резонансной (4-5 точек) и выше резонансной (4-5 точек) частоты, каждый раз фиксируя показания всех приборов в таблице 4.1, снять зависимости Uc = f(υ); UL = f(υ); Uк = f(υ) и Iк = f(υ) при постоянном выходном напряжении генератора.

   Таблица 4.1

ν, кГц Uк, В UL, В Uс, В Iк, мА
νрез – Δν
νрез Uк рез UL рез Uс рез Iк рез
νрез + Δν
  1. По данным измерений построить графики этих зависимостей в одной системе координат.
  2. Поменять конденсатор и определить резонансную частоту контура в этом случае
  3. Определить величину индуктивность последовательного колебательного контура, учитывая, что величины  емкостей  конденсаторов контура известны.
  4. Определить величину активного сопротивления катушки индуктивности rк.
  5. Построить в масштабе векторную диаграмму напряжений в момент резонанса в последовательном колебательном контуре по данным таблицы 4.1.
  6. Собрать схему параллельного колебательного контура, представленную на рис.4.10, используя второй конденсатор, подключите  генератор и необходимые измерительные приборы. Собранную схему предъявите для проверки руководителю.

Рис.4.10 Схема исследования параллельного колебательного контура.

  1. По показаниям миллиамперметров в ветвях параллельного контура и во внешней его цепи, определить частоту резонанса контура, сравнить её с полученной ранее в п.5. Зафиксировать данную частоту в таблице 4.2 вместо обозначения  υрезон. В той же строчке записать все показания измерительных приборов. Далее изменяя частоту генератора аналогично указаниям п.3, снять зависимости Uк = f(υ), Iс = f(υ), IL = f(υ) и Iк   = f(υ).

  Таблица 4.2

ν, кГц Uк, В IL, мА Iс, мА Iк, мА
νрез – Δν
νрез Uк рез IL рез Iс рез Iк рез
νрез + Δν
  1. По данным измерений построить графики этих зависимостей в одной системе координат.
  2. С учётом масштаба построить  векторную диаграмму токов в момент резонанса в параллельном колебательном контуре по данным таблицы 4.2.

Источник: https://support17.com/tkv-labs-3/

4. Вынужденные колебания. Колебания. Физика. Курс лекций

4.1. Общие признаки вынужденных механических и электромагнитных колебаний

4.2. Зависимости амплитуды вынужденных колебаний и сдвига фаз от частоты внешнего воздействия. Резонанс

До сих пор мы изучали процессы в механических системах под действием сил, развивающихся в самих системах. Каково будет поведение колебательных систем, к которым тем или иным способом приложена внешняя сила? Для электромагнитного контура аналогичная ситуация возникнет, если в цепь контура включить внешний источник ЭДС.

Рассмотрим явление колебаний, если внешняя (вынуждающая) сила или внешняя ЭДС изменяется в зависимости от времени по гармоническому закону. При этом в системах возникнут колебания, характер которых в той или иной мере повторит характер вынуждающей силы или ЭДС источника. Такие колебания называются вынужденными.

Рассматривая свободные колебания в механической и электромагнитной системах, мы убедились в полной аналогии законов колебаний. Такое же сходство наблюдали для механических и электромагнитных затухающих колебаний. Следует ожидать аналогии законов в механической и электромагнитной системах и при вынужденных колебаниях.

4.1. Общие признаки вынужденных механических и электромагнитных колебаний

1. Рассмотрим вынужденные механические колебаний пружинного маятника, на который действует внешняя (вынуждающая) периодическая сила Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту. Силы, которые действуют на маятник, однажды выведенный из положения равновесия, развиваются в самой колебательной системе. Это сила упругости и сила сопротивления .

Закон движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом: Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту.

Разделим обе части уравнения на m, учтем, что , и получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

Обозначим (β – коэффициент затухания), (ω0 – частота незатухающих свободных колебаний), сила, действующая на единицу массы. В этих обозначениях дифференциальное уравнение вынужденных колебаний примет вид:

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью, отличной от нуля. Решение такого уравнения есть сумма двух решений

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

– общее решение однородного дифференциального уравнения, т.е. дифференциального уравнения без правой части, когда она равна нулю. Такое решение нам известно – это уравнение затухающих колебаний, записанное с точностью до постоянной, значение которой определяется начальными условиями колебательной системы:

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту, где Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту.

Мы обсуждали ранее, что решение может быть записано через функции синуса.

Если рассматривать процесс колебаний маятника через достаточно большой промежуток времени Δt после включения вынуждающей силы (Рисунок 22), то затухающие колебания в системе практически прекратятся. И тогда решением дифференциального уравнения с правой частью будет решение .

Читайте также:  Файловая структура диска - в помощь студенту

Решение — это частное решение неоднородного дифференциального уравнения, т.е. уравнения с правой частью. Из теории дифференциальных уравнений известно, что при правой части, изменяющейся по гармоническому закону, решение будет гармонической функцией (sin или cos) с частотой изменения, соответствующей частоте Ω изменения правой части:

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

где Аампл. – амплитуда вынужденных колебаний, φ0 –сдвиг фаз, т.е. разность фаз между фазой вынуждающей силы и фазой вынужденных колебаний. И амплитуда Аампл., и сдвиг фаз φ0 зависят от параметров системы (β, ω0) и от частоты вынуждающей силы Ω.

Период вынужденных колебаний равен . График вынужденных колебаний на Рисунке 4.1.

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

Рисунок 4.1 – График вынужденных колебаний.

2. Электромагнитные вынужденные колебания.

Электромагнитная система, в которой развиваются вынужденные колебания, — это LCR – контур с включенным в него внешним источником. Рассмотрим случай, когда ЭДС источника изменяется по гармоническому закону:

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

  • Конденсатор, как рассматривалось ранее, заряжен и при его разрядке в контуре будет идти изменяющийся по времени электрический ток, что вызовет появление в катушке индуктивности ЭДС индукции (). Согласно второму закону Кирхгофа имеем:
  • ,
  • где UC, UR – соответственно падение напряжения на конденсаторе и активном сопротивлении.
  • Учитывая, что , где I – сила тока в контуре, , где q – величина заряда на одной из обкладок конденсатора, — ЭДС индукции, запишем закон Кирхгофа в виде:
  • .
  • Записывая соотношения и , и преобразуя уравнение для закона Кирхгофа, мы получим дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний в виде:
  • Окончательно дифференциальное уравнений (при использовании обозначений , ) примет вид:
  • .

Вид дифференциального уравнения вынужденных электромагнитных колебаний такой же, как и вид дифференциального уравнения для вынужденных колебаний в механической системе.

Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью, поэтому все, что говорилось относительно его решений для механических колебаний верно и для электромагнитной системы.

Сначала в системе возникнут и затухающие, и вынужденные колебания, но спустя некоторый промежуток времени, переходный процесс закончится и в системе установятся вынужденные колебаний с той же частотой, что и частота изменения ЭДС источника:

.

φ0 — сдвиг фаз между изменением заряда конденсатора и действием внешней ЭДС источника.

4.2. Зависимости амплитуды вынужденных колебаний и сдвига фаз от частоты внешнего воздействия. Резонанс

1. Вернемся к механической системе пружинного маятника, на который действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону. Для такой системы дифференциальное уравнение и его решение соответственно имеют вид:

  1. , .
  2. Проанализируем зависимость амплитуды колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы, для этого найдем первую и вторую производную от х и подставим в дифференциальное уравнение.
  3. ,
  4. ,

Воспользуемся методом векторной диаграммы. Из уравнения видно, что сумма трех колебаний в левой части уравнения (Рисунок 4.1) должна быть равна колебанию в правой части. Векторная диаграмма выполнена для произвольного момента времени t. Из нее можно определить .

  • Рисунок 4.1
  • ,
  • .
  • Учитывая значение , ,, получим формулы для φ0 и Аампл. механической системы:
  • ,
  • .

2. Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы и величины силы сопротивления в колеблющейся механической системе, по этим данным построим график .

Результаты исследования отражены в Рисунке 4.2, по ним видно, что при некоторой частоте вынуждающей силы амплитуда колебаний резко возрастает. И это возрастание тем больше, чем меньше коэффициент затухания β.

При амплитуда колебаний становится бесконечно большой .

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при частоте вынуждающей силы, равной , называется резонансом.

Кривые на Рисунке 4.2 отражают зависимость и называются амплитудными резонансными кривыми.

Рисунок 4.2 – Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.

  1. 3. Используем данные об амплитуде и сдвиге фаз вынужденных колебаний для механической системы и выразим эти же характеристики для аналогичных величин электромагнитной системы (LCR– контур с включенным в его цепь внешним источником ЭДС, величина которой изменяется по гармоническому закону):
  2. ,
  3. .
  4. 5. Сила тока при установившихся в контуре колебаниях равна:
  5. ,
  6. где — амплитуда силы тока, ψ0 – сдвиг фаз между силой тока и внешнейЭДС в контуре. Амплитуда силы тока и ψ0 находятся по формулам:
  7. ,
  8. , .

График зависимости представлен на Рисунке 4.3.

Рисунок 4.3

Источник: https://siblec.ru/estestvennye-nauki/kolebaniya/4-vynuzhdennye-kolebaniya

3.5.3 Вынужденные электромагнитные колебания. Резонанс

  • Видеоурок: Резонанс — Физика в опытах и экспериментах
  • Лекция: Вынужденные электромагнитные колебания. Резонанс
  • Вынужденные электромагнитные колебания

До этого момента речь шла о свободных колебаниях, которые происходят в результате собственных сил рассматриваемой цепи. Сейчас же речь пойдет о контуре, на который действует внешняя сила. Такие колебания называются вынужденными. Чтобы получить такие колебания, цепь должна быть подключена к источнику току, который происходит гармонические колебания. При этом частота источника тока должна совпадать с частотой контура.

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

Это означает, что, если источник тока вырабатывает напряжение:

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

а контур имеет частоту, равную ω. Отсюда следует, что период будет находиться следующим образом:

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

А частота:

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

Резонанс

При этом стоит обратить внимание, что значение амплитуды тока в контуре зависит от величины частоты самого контура и от частоты источника тока. 

Если эти частоты стремятся друг к другу, то в контуре наблюдается резонанс — резкий скачек амплитуды.

Это происходит в том случае, когда выполняется следующее равенство:

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

На графике резонанс колебательного контура показывается следующим образом:

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

Во время резонанса амплитуды на конденсаторе и на катушке равны между собой.  При такой ситуации не существует сдвига фаз для тока и напряжения.

Предыдущий урок Следующий урок

Источник: https://cknow.ru/knowbase/286-353-vynuzhdennye-elektromagnitnye-kolebaniya-rezonans.html

Вынужденные электромагнитные колебания. Электромагнитные колебания в контуре — источник радиоволн. Видеоурок. Физика 11 Класс

На применении электромагнитных колебаний основана работа электромоторов, электрические лампы в наших квартирах и на улице, холодильник и пылесос работают, используя энергию электромагнитных колебаний.

Электромагнитные колебания лежат в основе работы всей электронной аппаратуры, работающей с информацией, принимая, передавая или обрабатывая ее. Это связь, теле- и радиовещание, Интернет, поэтому важно изучить механизм протекания колебаний.

Тема нашего урока связана с вынужденными электромагнитными колебаниями, сегодня мы рассмотрим электромагнитное поле и электромагнитные колебания в контуре

Вспомним, что колебания удобно наблюдать в колебательном контуре. Колебательным контуром мы называем простейшую систему, в которой эти колебания могут существовать.

Колебательный контур состоит из двух элементов – катушки, с некоторым числом витков, которая обладает индуктивностью, и конденсатора, главная характеристика которого – электроемкость (рис. 1).

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

Рис. 1. Обозначения катушки и конденсаторам (Источник)

Элементы могут быть соединены по-разному, но чаще всего для того, чтобы наблюдать колебания, их соединяют, как показано на рис. 2.

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

Рис. 2. Колебательный контур LC (Источник)

Параллельно катушке подключается конденсатор, такой контур называется колебательным контуром LC, подчеркивая тем самым, что в состав контура входит конденсатор и катушка индуктивности. Это простейшая система, в которой возникают электромагнитные колебания. Как мы уже знаем, колебания могут возникнуть в случае, если есть определенные условия:

1. Наличие колебательного контура.

2. Электрическое сопротивление должно быть очень маленьким.

3. Заряженный конденсатор.

Это все относится к свободным колебаниям.

Для того чтобы возникли незатухающие колебания – вынужденные колебания, нам в колебательном контуре каждый раз придется сообщать конденсатору дополнительную энергию. Посмотрим, как это выглядит на схеме (рис. 3).

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

Рис. 3. Колебательный контур вынужденных электромагнитных колебаний (Источник)

В данном случае изображен колебательный контур, конденсатор которого снабжен ключом. Ключ может переключаться в положение 1 или положение 2.

При подключении в положение 1 конденсатор подключается к источнику напряжения и получает заряд, то есть конденсатор заряжается.

При подключении в положение 2 начинаются колебания в этом колебательном контуре, график этого колебательного контура будет иметь следующий вид (рис. 4).

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

Рис. 4. График вынужденных электромагнитных колебаний (Источник)

При подключении ключа в положение 2 электрический ток нарастает, меняет свое направление и идет к затуханию, при переключении ключа в положение1 и потом в положение 2 происходит следующий период колебаний. В результате мы наблюдаем картину вынужденных электромагнитных колебаний, протекающих в контуре.

Самым распространенным видом вынужденных электромагнитных колебаний является рамка, вращающаяся в магнитном поле. Это устройство называется генератором переменного тока, а сам переменный ток является вынужденными электромагнитными колебаниями.

  • Для того чтобы получить незатухающие колебания в контуре, необходимо сделать схему, в которой каждый раз происходила бы зарядка конденсатора, не реже одного периода.
  • При протекании электрического тока в колебательном контуре каждый раз возникают потери энергии, которые связаны с активным сопротивлением, то есть энергия тратится на нагревание проводов, но есть еще два важных момента потери энергии:
  • — затраты энергии на действие электромагнитного заряда конденсатора на диэлектрик, который располагается между пластинами. Диэлектрик подвержен воздействию электрического поля, которое возникает внутри конденсатора, и в этом случае часть энергии расходуется;
  • — при протекании электрического тока по контуру создается магнитное поле, которое рассеивает в окружающем пространстве некоторое количество энергии.
  • Для компенсации этих потерь мы и должны каждый раз сообщать конденсатору энергию.

Эту задачу успешно решили в 1913 году, когда появилась трехэлектродная электронная лампа (рис. 5).

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

Рис. 5. Трехэлектродная электронная лампа (Источник)

  1. Вынужденные электромагнитные колебания – периодические изменения силы тока и напряжения в электрической цепи.
  2. Электрическая цепь – это не обязательно колебательный контур, но периодические изменения характеристик (силы тока, напряжения, заряда), это и будут вынужденные электромагнитные колебания.
  3. Вынужденные электромагнитные колебания – незатухающие электромагнитные колебания, так как они не прекращаются сколь угодно долгое время, любое время, которое мы запланировали.
  4. Теорию электромагнитного поля сформулировал английский ученый Джеймс Максвелл, ее мы будем рассматривать на дальнейших уроках.
  5. Список литературы
  1. Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) – М.: Мнемозина, 2012.
  2. Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. – М.: Мнемозина, 2014.
  3. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика-9. – М.: Просвещение, 1990.

Домашнее задание

  1. Дать определение вынужденным электромагнитным колебаниям.
  2. Из чего состоит простейший колебательный контур?
  3. Что необходимо, чтобы колебания были незатухающими?

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/11-klass/belektromagnitnye-kolebaniya-i-volny-b/vynuzhdennye-elektromagnitnye-kolebaniya-elektromagnitnye-kolebaniya-v-konture-istochnik-radiovoln

Вынужденные колебания. Переменный ток

Дадим определение понятию вынужденных колебаний.

Определение 1

Вынужденные колебания – это процессы, которые происходят в электрических цепях под воздействием периодического источника тока.

Основным отличием вынужденных колебаний по сравнению с собственными колебаниями в электрических цепях является то, что они являются незатухающими. Неизбежные потери энергии компенсируются за счет внешнего источника периодического воздействия, который не позволяет колебаниям затухать.

Что такое переменный ток?

Определение 2

Переменный ток — электрический ток, который с течением времени изменяется по величине и направлению или, в частном случае, изменяется по величине, сохраняя своё направление в электрической цепи неизменным.

Рассмотрим случай, когда электрическая цепь способна совершать собственные свободные колебания с некоторой частотой ω0. Предположим, что к этой цепи подключен внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω.

Частота свободных колебаний в электрической сети ω0 будет определяться параметрами этой сети. Вынужденные колебания, которые установятся при подключении внешнего источника ω, будут происходить на частоте этого внешнего источника.

Частота вынужденных колебаний устанавливается не сразу после включения внешнего источника, а спустя некоторое время Δt. По порядку величины это время будет равно времени затухания свободных колебаний в сети τ.

Цепи переменного тока

Определение 3

Цепи переменного тока – это такие электрические цепи, в которых под воздействием периодического источника тока происходят установившиеся вынужденные колебания.

  • Рассмотрим устройство колебательного контура, в который включен источник тока с напряжением, изменяющимся по периодическому закону:
  • e(t)=ε0cos ωt,
  • где ε0 – амплитуда, ω – круговая частота.
  • Фактически, это будет RLC-цепь.

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

Рисунок 2.3.1. Вынужденные колебания в контуре.

Будем считать, что для изображенной на этом рисунке электрической цепи выполняется условие квазистационарности. Это позволит нам записать закон Ома для мгновенных значений токов и напряжений:

RJ+qC+LdJdt=ε0coc ωt.

Величину LdJdt принято называть напряжением на катушке индуктивности. Фактически, это ЭДС самоиндукции катушки, которую мы для простоты вычислений перенесли с противоположным знаком в левую часть уравнения из правой.

Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде:

uR+uC+uL=e(t)=ε0cos ωt.

где uR (t), uC (t) и uL (t) – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами UR, UC и UL. Напряжения при установившихся вынужденных колебаниях изменяются с частотой внешнего источника переменного тока ω.

Векторная диаграмма токов и напряжений

Для решения уравнения вынужденных колебаний мы можем использовать достаточно наглядный метод векторных диаграмм. Для этого используем векторную диаграмму, на которой с помощью векторов изобразим колебания определенной заданной частоты ω.

Давайте посмотрим, как построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

Рисунок 2.3.2. Векторная диаграмма, на которой с помощью векторов изображены гармонические колебания A cos(ωt+φ1), B cos(ωt+φ2) и их суммы C cos(ωt+φ).

Наклон векторов к горизонтальной оси определяется фазой колебаний φ1 и φ2, а длины векторов соответствуют амплитудам колебаний A и B. Относительный фазовый сдвиг определяет взаимную ориентацию векторов: ∆φ=φ1-φ2. Для того, чтобы построить вектор, изображающий суммарное колебание, нам необходимо использовать правило сложения векторов: C→=A→+B→.

При вынужденных колебаниях в электрической цепи для построения векторной диаграммы напряжений и токов нам необходимо знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для любого участка цепи.

Источник переменного тока может быть подключен к:

  • катушке индуктивности L;
  • резистору с сопротивлением R;
  • конденсатору с емкостью С.

Рассмотрим эти три примера подробнее. Будем считать, что напряжение на резисторе, катушке и конденсаторе во всех трех случаях равно напряжению внешнего источника переменного тока.

Резистор в цепи переменного тока

JRR=uR=URcos ωt; JR=URRcos ωt=IRcos ωt

Мы обозначили амплитуду тока, который протекает через резистор, через IR. Соотношение RIR=UR выражает связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе. Фазовый сдвиг в этом случае равен нулю. Физическая величина R – это активное сопротивление на резисторе.

Конденсатор в цепи переменного тока 

  1. Запишем формулу:
  2. uC=qC=UCcos ωt
  3. JC=dqdt=CduCdt=CUC(-ωsin ωt)=ωCUCcosωt+π2=ICcosωt+π2.
  4. Соотношение между амплитудами тока IC и напряжения UC: 1ωCIC=UC.
  5. Ток опережает по фазе напряжение на угол π2.

Определение 4

 Физическая величина XC=1ωC — это емкостное сопротивление конденсатора.

Катушка в цепи переменного тока

  • Запишем формулы:
  • UL=LdJLdt=ULcos ωt;JL=∫ULLcos ωt dt=ULωLsin ωt=ULωLcos ωt-π2=ILcosωt-π2
  • Соотношение между амплитудами тока IL и напряжения UL: ωLIL=UL.
  • Ток отстает по фазе от напряжения на угол π2.

Определение 5

Физическая величина XL=ωL — это индуктивное сопротивление катушки.

Построим векторную диаграмму для последовательного RLC-контура, частота вынужденных колебаний в котором ω.

При построении диаграммы будем учитывать, что через различные участки цепи протекает один и тот же ток. Удобнее делать это будет относительно вектора, который изображает колебания тока в цепи.

Читайте также:  Историческое осознание категории бытия - в помощь студенту

Для амплитуды тока введем обозначение I0. Фазу тока примем равной нулю, так как в данном случае нас интересуют не столько абсолютные значения фаз, сколько относительные фазовые сдвиги.

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

Рисунок 2.3.3. Векторная диаграмма для последовательной RLC-цепи.

  1. Данная диаграмма построена для случая, когда ωL>1ωC или ω2>ω02=1LC.
  2. По фазе напряжение внешнего источника опережает ток, который течет в цепи, на некоторый угол φ. 
  3. Из рисунка видно, что
  4. ε02=UR2+(UL-UC)2, откуда следует, что
  5. I0=ε0R2+ωL-1ωC2; tg φ=ωL-1ωCR.
  6. Из выражения для I0 видно, что амплитуда тока принимает максимальное значение при условии 
  7. ωL-1ωC=0 или ω2=ωрез2=ω02=1LC.

Понятие электрического резонанса

Определение 6

Электрический резонанс – это физическое явление возрастания амплитуды колебаний тока в случае совпадения частоты колебаний внешнего источника ω и собственной частоты электрической цепи ω0 .

При резонансе I0рез=ε0R.

При резонансе сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи равен нулю. Если речь идет о последовательной RLC-цепи, то такой резонанс называется резонансом напряжения.

С помощью векторной диаграммы явление резонанса можно исследовать аналогичным образом при другой последовательности элементов. Параллельное соединение элементов R, L и C позволяет получить резонанс токов.

  • При последовательном резонансе (ω=ω0) амплитуды UC и UL напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают: ULрез=UCрез=ω0L(I0)рез=ε0RLC.
  • Ранее было введено понятие добротности RLC-контура: Q=1RLC.
  • Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в Q раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс - в помощь студенту

Рисунок 2.3.4. Резонансные кривые для контуров с различными значениями добротности Q.

Рисунок иллюстрирует процессы, происходящие в последовательном электрическом контуре, а также зависимость между такими величинами как амплитуды UC напряжения на конденсаторе к амплитуде ε0 напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности Q. В контурах с низкой добротностью максимум резонансных кривых сдвинут в область низких частот.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/elektromagnitnye-kolebanija-volny/vynuzhdennye-kolebanija-peremennyj-tok/

1.5.3. Вынужденные электрические колебания. Резонанс в последовательном контуре

Чтобы
вызвать вынужденные колебания, нужно
оказывать на систему внешнее периодически
изменяющееся воздействие. В случае
электрических колебаний это можно
осуществить, если включить последовательно
с элементами контура переменную ЭДС или подать на контур переменное напряжение

(рис.1.5.5).

Цепь,
в которой последовательно с ЭДС включены
сопротивлениеR,
индуктивность L
и конденсатор С, называется
последовательным колебательным контуром.
Рассмотрим процессы в этом контуре.

По
второму правилу Кирхгофа
или
. Разделив на L, получаем уравнение вынужденных колебаний

(1.5.2)

Частное
решение этого уравнения

(1.5.3)

где
Подставим
и :

Общее
решение получится, если к частному
решению (1.5.3) прибавить общее решение
однородного дифференциального уравнения,
которое было получено в предыдущем
параграфе. Оно содержит множитель

png» width=»35″>,
который очень быстро убывает, и при
прошествии достаточно большого времени
им можно пренебречь.

Таким образом,
установившиеся вынужденные электромагнитные
колебания в контуре описываются
уравнением (1.5.3).

Силу
тока в контуре при установившихся
колебаниях найдем, продифференцировав
(1.5.3) по времени:

где

— сдвиг фаз между током и приложенным
напряжением. Тогда

Из
этого выражения следует, что ток отстает
по фазе от напряжения ()при

png» width=»79″>.
И опережает напряжение ()
при .

Для силы тока можно записать

. (1.5.4)

Представим
соотношение (1.5.2) в виде:.
Произведение

png» width=»60″>
— падение напряжения на активном
сопротивлении;
— падение напряжения на конденсаторе;

png» width=»72″> – напряжение на индуктивности; тогда
можно записать

. (1.5.5)

Таким
образом, сумма напряжений на отдельных
участках контура равна в каждый момент
времени напряжению, приложенному извне.

Согласно
(1.5.4) — напряжение на активном сопротивлении
совпадает по фазе с током в контуре.

Для
напряжения на конденсаторе, подставив
(1.5.3), имеем –
напряжение на ёмкости отстаёт от силы
тока на π/2.

Напряжение на
индуктивности ,
где ,
– напряжение на индуктивности
опережает ток на π/2.

Фазовые
соотношения можно представить наглядно
с помощью векторной диаграммы.
Действительно, гармонические колебания
можно задать с помощью вектора, длина
которого равна амплитуде колебаний , а
направление вектора образует с некоторой
осью угол, равный начальной фазе
колебаний. Возьмём в качестве прямой,
от которой отсчитывается начальная
фаза, ось токов (рис. 1.5.6).

совпадает по фазе
с током,

– отстаёт на π/2),

png» width=»29″>
– опережает на π/2.
Векторы
,

,

в сумме дают

png» width=»22″>,
причём U
определяется выражением (1.5.5).

При
определенной частоте внешнего воздействия
в контуре наступает резонанс. Резонансная
частота для напряжения на конденсаторе

и для заряда q
равна:

Резонансные кривые для

имеют вид, представленный на рис.1.5.7.

Все
резонансные частоты .
При ω→0 резонансные кривые сходятся в
одной точке

png» width=»72″>
– это напряжение на конденсаторе при
подключении его к источнику постоянного
напряжения .

Максимум при резонансе тем острее и
выше, чем меньше затухание β=R/2L,
то есть чем меньше Rи больше L. Ход резонансной кривой аналогичен
резонансной кривой при механических
колебаниях.

Резонансные
кривые для тока приведены на рис.1.5.8.

Амплитуда
силы тока имеет максимальные значения,
когда,
то есть резонансная частота для силы
тока совпадает с собственной частотой
колебаний контура:

При
ω→0 сила
тока уменьшается до нуля, так как при
постоянном напряжении установившийся
ток в цепи с конденсатором течь не может.

При
малом затухании ()
резонансную частоту для напряжения
можно считать равной .
Тогда отношение амплитуды напряжения
на конденсаторе при резонансе к амплитуде
внешнего напряжения равно:

— то есть добротность контура показывает,
во сколько раз напряжение на конденсаторе
может превышать приложенное напряжение.

Итак,
при резонансе причём

поэтому
— амплитуды напряжений на ёмкости
и индуктивности равны между собой, но
противоположны по фазе.

Поэтому напряжения
на ёмкости и индуктивности компенсируют
друг друга, и цепь ведёт себя цепь только
с активным сопротивлением. Вся энергия,
приложенная к контуру, идёт на
Ленц-Джоулево тепло. Ток в цепи достигает
максимального значения. Это резонанс
напряжений – индуктивного

png» width=»29″>и емкостного.

Источник: https://studfile.net/preview/1966788/page:8/

Вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре

Если к колебательному контуру (рис. 10.

7, а) подключить источник гармонических электрических колебаний переменного напряжения (~U) U = Umsina)t, то в начале в цепи возникнут сложные колебания, представляющие собой сумму собственных затухающих и вынужденных гармонических колебаний (переходный процесс). Через некоторое время собственные колебания затухнут и останутся только вынужденные (установившийся режим).

  • В установившемся режиме под действием переменного напряжения в последовательном контуре протекает переменный ток, действующее значение которого оавно:
  • где U — действующее значение напряжения; z — модуль полного сопротивления контура
  1. где xL — индуктивное сопротивление катушки индуктивности
  2. xL = со L
  3. Xq — емкостное сопротивление конденсатора
  4. хс = 1/со L;
  5. г — активное сопротивление контура.
  6. По второму закону Кирхгофа напряжение U, приложенное к контуру, складывается из напряжения на конденсаторе Uc, катушке индуктивности UL и активном сопротивлении Ur:

Наглядное представление о характере изменений напряжений и токов в контуре может дать векторная диаграмма (рис. 10.8), построенная на основании следующих положений.

Напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током, на конденсаторе напряжение отстает от тока на 90°, а на индуктивности напряжение опережает ток на 90°.

Вектор напряжения U равен геометрической сумме векторов Uv UL, Uc. На рис. 10.

8, а, построена векторная диаграмма при условии неравенства напряжений на реактивных элементах UL ф Uc, когда xL ф хс.

  • При изменении частоты (со) источника переменного напряжения, приложенного к контуру, меняется реактивное сопротивление контура х = xL — хс = 1/соС.
  • На некоторой частоте, когда реактивные сопротивления в контуре оказываются равными между собой (xL = хс), в контуре наступает резонанс с резонансной частотой со . Реактивное сопро-
  • 1
  • тивление контура равно нулю (x = copL—= 0), а полное сопро-
  • Wp

тивление контура равно его активному сопротивлению (z = г), т.е. минимально. Тогда амплитуда резонансного тока в контуре будет

  1. „ r U nU ро ^ _
  2. максимальной: 1 = — =-, где г-—. Такой режим может быть
  3. г ор п

также достигнут изменением параметров индуктивности и емкости при неизмененной частоте питающего напряжения. Идеальный последовательный контур = 0) при резонансе можно считать цепью, замкнутой накоротко.

Рис. 10.8. Векторные диаграммы напряжения и тока в последовательном колебательном контуре: а при Uc ф Ul (хс ф xL); б — при Uc = UL (хс = xL)

Из уравнения равенства xL = хс легко найти выражение для резонансной частоты подведенного напряжения, на которой возникают незатухающие колебания в контуре, сор = —^=.

Сравнивая резонансную частоту вынужденных колебаний в последовательном контуре с частотой собственных колебаний, видим, что они равны, т.е. оор = со0.

При равенстве реактивных сопротивлений xL = хс (т.е. при резонансе) и токов в цепи /L = /с = / равны и напряжения на них ULp = UCp. Разделив обе части равенства на U, получим

Отсюда следует, что напряжение на реактивных элементах последовательного контура при резонансе превышает напряжение внешнего источника вынужденных колебаний в Q раз (ULp = UQ, UCp = UQ), поэтому резонанс в последовательном контуре называется резонансом напряжений.

Векторная диаграмма напряжения и токов в последовательном контуре при резонансе напряжения приведена на рис. 10.8, б. Векторы напряжений UL и Uc на реактивных элементах контура при резонансе равны по величине и противоположны по направлению (UL)ULp = UCp(Uc).

Последнее означает, что переменные напряжения ULp и UCp сдвинуты по фазе друг относительно друга на угол 180°. Вектор общего напряжения (U) совпадает по направлению с вектором тока при резонансе /р, равны и реактивные мощности цепи 0Lp — QCp =0 = 0.

Это означает, что при резонансе напряжения между индуктивностью и емкостью происходит полный обмен энергией. При этом энергия магнитного поля катушки переходит в энергию электрического поля конденсатора, и наоборот.

Источник переменного напряжения не участвует в обмене энергией и доставляет энергию лишь активному сопротивлению цепи г.

Сопротивления элементов контура и его полное сопротивление (xL, хс, z) сильно зависят от частоты (со) подведенного переменного напряжения U. Графики зависимости (изменения) сопротивлений от частоты подведенного напряжения в последовательном контуре приведены на рис. 10.9, а.

Рис. 10.9. Амплитудно- и фазочастотные характеристики (резонансные кривые) последовательного колебательного контура: а — сопротивлений; б — фазы колебаний (угол сдвига фаз); в — тока и напряжений

Индуктивное сопротивление xL = хс = ср(со) — обратно пропорционально (гипербола). Активное сопротивление контура графически отражается прямой линией, параллельной оси частоты, т.е. активное сопротивление не зависит от частоты. График полного сопротивления z = ср(со) — парабола, отражающая графическую сумму зависимостей всех сопротивлений контура от частоты.

Из графиков видно, что если частота напряжения питания (со) ниже резонансной частоты контура (со < сор), то емкостное сопротивление больше индуктивного и контур для источника напряжения имеет сопротивление емкостного характера.

Если частота напряжения питания (со) больше резонансной частоты контура (со > сор), то индуктивное сопротивление больше емкостного и контур имеет сопротивление индуктивного характера.

При изменении частоты подведенного напряжения, отличающейся от резонансной частоты, полное сопротивление цепи z = ср(со) увеличивается и становится больше активного сопротивления.

При изменении частоты подведенного напряжения будут также изменятся и ток (/), и напряжения (UT, UL и Uc), и мощности (Р, Q и S), и угол сдвига фаз (ср) между напряжением и током.

Кривые зависимости амплитуды и фазы вынужденных колебаний от частоты со называются разонансными кривыми. По существу это амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики колебательного контура (рис. 10.9, б и в).

Ток в цепи (рис. 10.9, б) увеличивается от нуля при со = 0, когда z = оо (рис. 10.9, а), до наибольшего — резонансного (/р = U/r) при резонансной частоте сор, а затем уменьшается до нуля при со = оо. Угол сдвига фаз напряжения и тока ср (рис. 10.

9, б) также зависит от частоты напряжения источника вынужденных колебаний переменного напряжения. При резонансной частоте сор напряжение и ток совпадают по фазе, цепь имеет активный характер и угол ср = 0. При увеличении частоты от сор до оо угол ср изменяется (увеличивается) от 0 до +90°, а в цепи преобладает индуктивность.

Если частоту напряжения источника вынужденных колебаний переменного напряжения уменьшить от сор до 0, то угол ср будет изменяться (увеличиваться) от 0 до —90°, а в цепи преобладает емкость.

Таким образом, при увеличении частоты от 0 до оо угол ср изменяется (уменьшается) от —90° до 0 при резонансной частоте, а затем изменяется (увеличивается) до +90°. При этом цепь сначала имеет емкостной, затем активный и, наконец, индуктивный характер.

Максимальное напряжение на индуктивности (UL max) достигается на частоте coL, а затем плавно уменьшается до напряжения источника питания (U).

Напряжение на емкости при со = 0 равно напряжению на зажимах цепи (U) и при частоте сос достигает максимального значения (Uc ), которое равно максимальному значению напряжения на индуктивности (UL max = Uc max) при неравных частотах coL ф сос, а затем уменьшается до нуля (рис. 10.9, в).

При резонансной частоте сор напряжения на индуктивности и емкости равны (UL = Uc), но имеют меньшее значение, чем при coL и сос, а ток в цепи максимальный. Качество резонанса в контуре определяется добротностью Q. Чем больше добротность контура, тем ближе расположены частоты coL и сос к резонансной частоте сор и тем острее характеристики /, UL и Uc.

Вблизи резонансной частоты сор можно выделить области частот, в пределах которых ток в контуре не меньше 0,707(1/%/2) от резонансного значения /р(/ = 0,707/р или I = J^/l2). На амплитудночастной характеристике тока в контуре (рис. 10.

9, в) можно выделить две области частот, в которых значение тока находится в пределах от /р до 0,707/р. Одна область лежит в пределах частот от сор1 до сор(Асо1), а другая — от сор до сор2 (Дсо2), ширина которых определяется соответственно как Acoj = сор — оор1 и Асо2 = юр2 — сор.

Эти диапазоны частот практически равны между собой (Асо, = Дсо2) и называются диапазоном расстройки контура, при котором допустимо явление резонанса в колебательном контуре. Сумма диапазонов частот расстройки колебательного контура называется полосой пропускания контура, которая равна 2Дсо = Acoj -I- Дсо2.

Таким образом, полоса пропускания — это диапазон частот, в пределах которого ток в контуре превышает значение 0,707/р. Ширина полосы пропускания контура (2Асо) зависит от добротности контура. Чем больше добротность контура, тем уже резонансная кривая тока и меньше полоса частот.

Приблизительно полосу частот (2Асо) можно считать равной разности частот сос и coL, т.е. 2Асо = coL — сос. Для точных расчетов это приближение верно только для идеального колебательного контура, в котором отсутствуют активные потери и выполняется равенство частот coL = сос.

Источник: https://studref.com/432794/tehnika/vynuzhdennye_kolebaniya_posledovatelnom_kolebatelnom_konture

Ссылка на основную публикацию