Уравнение волновых нормалей френеля — в помощь студенту

Принцип Гюйгенса — Френеля в рамках волновой теории позволяет объяснить прямолинейное распространение света. Определим амплитуду световой волны в произвольной точке Р, используя метод зон Френеля. Рассмотрим сначала случай падающей плоской волны (рис. 5.2).

Пусть плоский фронт волны F, распространяющейся от расположенного в бесконечности источника света, в некоторый момент времени находится на расстоянии ОР – r0 от точки наблюдения Р.

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту

Рис. 5.2. Применение принципа Гюйгенса — Френеля к плоской волне: зоны Френеля на поверхностиплоского волнового фронта F представляют собой концентрические кольца (для наглядности изображение зон Френеля развернуто на 90°, такими они выглядят из точки Р)

Все точки фронта волны, согласно принципу Гюйгенса — Френеля, испускают элементарные сферические волны, которые распространяются по всем направлениям и через некоторое время достигают точки наблюдения Р. Результирующая амплитуда колебаний в этой точке определяется векторной суммой амплитуд всех вторичных волн.

Колебания во всех точках волнового фронта F имеют одинаковое направление и происходят в одной фазе. С другой стороны, все точки фронта F находятся от точки Р на различных расстояниях. Для определения результирующей амплитуды всех вторичных волн в точке наблюдения Френель предложил метод разбиения волновой поверхности на кольцевые зоны, называемые зонами Френеля.

Взяв точку Р в качестве центра, построим ряд концентрических сфер, радиусы которых начинаются с  и увеличиваются каждый раз на половину длины волны  . При пересечении с плоским фронтом волны F эти сферы дадут концентрические окружности. Таким образом, на фронте волны появятся кольцевые зоны (зоны Френеля) с радиусами  и т. д.

Определим радиусы зон Френеля, имея ввиду, что , 0А2 = АР2 – 0Р2, то есть

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту (5.3)

Аналогично находим

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту (5.4)

Для оценки амплитуд колебаний определим площади зон Френеля. Первая зона (круг):

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту (5.5)

вторая зона (кольцо):

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту (5.6)

третья и последующие зоны (кольца):

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту (5.7)

Таким образом, площади зон Френеля примерно одинаковы, поэтому, согласно принципу Гюйгенса — Френеля, каждая зона Френеля служит источником вторичных сферических волн, амплитуды которых приблизительно одинаковы.

Кроме того, колебания, возбуждаемые в точке Р двумя соседними зонами, противоположны по фазе, так как разность хода соответствующих волн от этих зон до точки наблюдения Р равна  .

Поэтому при наложении эти колебания должны взаимно ослаблять друг друга, то есть амплитуда А результирующего колебания в точке Р может быть представлена в виде знакопеременного ряда

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту (5.8)

где А1 — амплитуда колебаний в точке Р возбуждаемых действием центральной (первой) зоны Френеля, А2 — амплитуда колебаний, возбуждаемых второй зоной, и т. д.

Расстояние от m-й зоны до точки Р медленно растет с номером зоны m. Угол  между нормалью к элементам зоны и направлением в точку Р также растет с m, следовательно, амплитуда Аm колебания, возбуждаемого m-й зоной в точке Р, монотонно убывает с ростом m. Другими словами, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке Р зонами Френеля, образуют монотонно убывающую последовательность:

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту (5.9)

Вследствие монотонного и медленного убывания Ат можно приближенно положить, что амплитуда колебаний от зоны с номером m равна среднему арифметическому амплитуд колебаний от двух соседних зон Френеля:

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту (5.10)

В выражении для амплитуды результирующего колебания все амплитуды от четных зон входят с одним знаком, а от нечетных — с другим. Запишем это выражение в следующем виде:

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту (5.11)

Выражения в скобках на основании (5.10) будут равны нулю, так что

(5.12)

то есть результирующая амплитуда, создаваемая в точке наблюдения Р всей поверхностью волнового фронта, равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной (первой) зоной Френеля.

Таким образом, колебания, вызываемые в точке Р волновой поверхностью F, имеют такую же амплитуду, как если бы действовала только половина первой (центральной) зоны.

Следовательно, свет распространяется как бы в узком канале, сечение которого равно половине первой (центральной) зоны Френеля — мы снова пришли к прямолинейному распространению плоской волны.

Если же на пути волны поставить диафрагму с отверстием, оставляющим открытой только центральную (первую) зону Френеля, амплитуда в точке Р будет равна А1, то есть в два раза превзойдет амплитуду, создаваемую всем волновым фронтом.

Соответственно, интенсивность света в точке Р будет в четыре раза больше, чем при отсутствии преграды между источником света и точкой Р.

Удивительно, не так ли? Но чудес в природе не бывает: в других точках экрана интенсивность света будет ослаблена, а средняя освещенность всего экрана при использовании диафрагмы, как и следовало ожидать, уменьшится.

Видео 5.2 Зоны Френеля для трехсантиметровой волны.

Видео 5.3 Зонная пластинка для трехсантиметровых волн.

Правомерность такого подхода, заключающегося в делении волнового фронта на зоны Френеля, подтверждена экспериментально. Колебания от четных и нечетных зон Френеля находятся в противофазе и, следовательно, взаимно ослабляют друг друга.

Если поставить на пути световой волны пластинку, которая перекрывает все четные или нечетные зоны Френеля, то можно убедиться, что интенсивность света в точке Р резко возрастет. Такая пластинка, называемая зонной, действует подобно собирающей линзе.

Подчеркнем еще раз: зоны Френеля — это мысленно выделенные участки поверхности волнового фронта, положение которых зависит от выбранной точки наблюдения Р. При другой точке наблюдения расположение зон Френеля будет иным.

Метод зон Френеля — удобный способ решения задач о дифракции волн на тех или иных препятствиях.

Видео 5.4 Трехсантиметровые волны. Фазовая зонная пластинка.

Различают два вида дифракции. Если источник света S и точка наблюдения Р находятся далеко от препятствия, лучи, падающие на препятствие и идущие в точку Р, образуют практически параллельные пучки.

В таком случае говорят о дифракции в параллельных лучах, или дифракции Фраунгофера.

Если же рассматривается дифракционная картина на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию, то говорят о дифракции сферических волн, или дифракции Френеля.

Дополнительная информация

http://pymath.ru/viewtopic.php?f=77&t=757&sid=63be0a3e99f9a32260b53dcfaad3c271 – Видеоурок «Радиус зоны Френеля»

Источник: https://online.mephi.ru/courses/physics/optics/data/course/5/5.2.html

Уравнения Френеля — это… Что такое Уравнения Френеля?

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту

Переменные, используемые в уравнениях Френеля.

Фо́рмулы Френе́ля или уравне́ния Френе́ля определяют амплитуды и интенсивности преломлённой и отражённой волны при прохождении света (и вообще электромагнитных волн) через плоскую границу раздела двух сред с разными показателями преломления. Названы в честь Огюста Френеля, французского физика, который их вывел. Отражение света, описываемое уравнениями Френеля, называется френелевским отражением.

Формулы Френеля справедливы в том случае, когда граница раздела двух сред гладкая, среды изотропны, угол отражения равняется углу падения, а угол преломления определяется законом Снеллиуса. В случае неровной поверхности, особенно когда характерные размеры неровностей одного порядка с длиной волны, большое значение имеет диффузное рассеяние света на поверхности.

При падении на плоскую границу различают две поляризации света.

s-Поляризация — это поляризация света, для которой напряжённость электрического поля электромагнитной волны перпендикулярна плоскости падения (т.е.

плоскости, в которой лежат и падающий, и отражённый луч). p-Поляризация — поляризация света, для которой вектор напряжённости электрического поля лежит в плоскости падения.

Формулы Френеля для s-поляризации и p-поляризации различаются.

Поскольку свет с разными поляризациями по-разному отражается от поверхности, то отражённый свет всегда частично поляризован, даже если падающий свет неполяризован.

Угол падения, при котором отражённый луч полностью поляризован, называется углом Брюстера; он зависит от отношения показателей преломления сред, образующих границу раздела.

s-Поляризация

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту

где θi — угол падения, θt — угол преломления, n1 — показатель преломления среды, из которой падает волна, n2 — показатель преломления среды, в которую волна проходит, P — амплитуда волны, которая падает на границу раздела, Q — амплитуда отражённой волны, S — амплитуда преломлённой волны.

Углы падения и преломления связаны между собой законом Снеллиуса

Отношение n = n2 / n1 называется относительным показателем преломления двух сред.

Коэффициент отражения

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту

Коэффициент прохождения

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту

p-Поляризация

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту

где P, Q и S — амплитуды волны, которая падает на границу раздела, отражённой волны и преломлённой волны, соответственно.

Коэффициент отражения

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту

Коэффициент прохождения

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту

Нормальное падение

В важном частном случае нормального падения света исчезает разница в коэффициентах отражения и прохождения для p— и s-поляризованных волн. Для нормального падения

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту

Литература

  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 3-е, стереотипное. — М.: Физматлит, МФТИ, 2002. — Т. IV. Оптика. — 792 с. — ISBN 5-9221-0228-1
  • Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — «Наука», 1973.
  • Колоколов А. А. Формулы Френеля и принцип причинности // УФН. — 1999. — Т. 169. — С. 1025.

Wikimedia Foundation. 2010.

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1157414

Дифракция Френеля, теория и примеры задач

В задачах о дифракции Френеля нельзя пренебречь кривизной волновых поверхностей падающей волны и (или только) волны после дифракции.

В случае дифракции Френеля на экране наблюдения возникает «дифракционное изображение» препятствия. Математическое решение задач по дифракции Френеля, обычно весьма непростое.

В самых простых случаях, рассматривая дифракцию Френеля, используют метод кольцевых зон или спираль Корню.

Дифракция Френеля на круглом отверстии

При дифракции Френеля на круглом отверстии картина дифракции на экране наблюдения, который параллелен экрану с отверстием в виде круга, будет представлена в виде концентрических колец с минимумом (темных) и максимумом (светлых) интенсивности. Центры этих колец расположены на прямой, которая проходит через источник света (S) и перпендикулярна экрану наблюдения (AB) (рис.1).

Читайте также:  Особенности учета операций по валютным счетам - в помощь студенту

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту

b – расстояние от отверстия до экрана. – длина волны света.

Рис. 1

Если разбить открытую часть волновой поверхности (F) на зоны Френеля, то можно сказать, что картина дифракции зависит от количества зон Френеля, которые укладываются в отверстии. В том случае, если число зон Френеля (см.

раздел Дифракция (подраздел Теория Френеля)) для точки О, укладывающихся в отверстие, равно нечетному числу, то амплитуда в этой точке становится больше, чем если бы экрана с СД не было. Если количество зон равно четному числу, то амплитуда в точке О меньше, чем при отсутствии экрана CD.

Если в отверстие укладывается одна волна Френеля, то амплитуда волны в точке О будет в два раза больше, чем при отсутствии непрозрачного экрана с отверстием.

На участках вне оси SO вычисление результирующего колебания будет существенно сложнее, так как происходит частичное перекрытие зон Френеля. Если на отверстие будет падать белый свет, то кольца будут окрашены.

Количество зон Френеля зависит от размера отверстия. Если радиус отверстия большой, то дифракции не наблюдают, и свет распространяется прямолинейно.

  • Радиус зоны Френеля номер n () равен:
  •     Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту
  • где a – расстояние от источника света, до отверстия в непрозрачном экране; b – расстояние от отверстия до точки наблюдения.

Дифракция Френеля на маленьком круглом экране

Допустим, что сферическая волна исходит от точечного источника S, преградой ей является диск. При этом картину дифракции наблюдаем на экране в точке О (рис.2). При такой ситуации участок фронта волны, который закрыт диском следует исключить и при рассмотрении зон Френеля строить их начиная с краев диска.

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту

b – расстояние от отверстия до экрана. – длина волны света.

Рис. 2

Допустим, что диск закрыл первые m зон Френеля. В таком случае амплитуда результирующих колебаний в точке О равна:

    Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту

Получается, что в точке О всегда наблюдается максимум интенсивности (светлое пятно), которое соответствует половине действия первой открытой зоне Френеля. Центральный максимум окружают концентрические с ним темные и светлые кольца. Интенсивность максимумов уменьшается при движении от цента картины.

При росте радиуса диска, первая открытая зона Френеля отодвигается от точки О, увеличивается угол между направлением на точку О и нормалью к поверхности зоны.

При этом интенсивность центрального максимума падает. При значительных размерах диска за ним возникает тень и только около границ этой тени наблюдается слабая картина дифракции.

Можно считать, что если размер диска большой, то свет распространяется прямолинейно.

Примеры решения задач

Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/fizika/difrakciya-frenelya/

Принцип Гюйгенса-Френеля. Приближенный метод расчета дифракции с помощью зон Френеля. Световое действие сферического волнового фронта в отсутствии преград

ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА — ФРЕНЕЛЯ

Дифракцией называется огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути, или в более широком смысле — любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики.

Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через небольшие отверстия в экранах и т. д. Например, звук хорошо слышен за углом дома, т. е.

звуковая волна его огибает.

Явление дифракции объясняется с помощью принципа Гюйгенса (см. § 170), согласно которому каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени.

Пусть плоская волна нормально падает на отверстие в непрозрачном экране (рис. 256).

Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит источником вторичных волн (в однородной изотропной среде они сферические).

Построив огибающую вторичных волн для некоторого момента времени, видим, что фронт волны заходит в область геометрической тени, т. е. волна огибает края отверстия.

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту

Рис. 256

Явление дифракции характерно для волновых процессов. Поэтому если свет является волновым процессом, то для него должна наблюдаться дифракция, т. е. световая волна, падающая на границу какого-либо непрозрачного тела, должна огибать его (проникать в область геометрической тени).

Из опыта, однако, известно, что предметы, освещаемые светом, идущим от точечного источника, дают резкую тень и, следовательно, лучи не отклоняются от их прямолинейного распространения.

Почему же возникает резкая тень, если свет имеет волновую природу? К сожалению, теория Гюйгенса ответить на этот вопрос не могла.

Принцип Гюйгенса решает лишь задачу о направлении распространения волнового фронта, но не затрагивает вопроса об амплитуде, а следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся по разным направлениям. Френель вложил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей интерференции вторичных волн.

Согласно принципу Гюйгенса — Френеля, световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками.

Такими источниками могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S.Обычно в качестве этой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все фиктивные источники действуют синфазно.

Таким образом, волны, распространяющиеся от источника, являются результатом интерференции всех когерентных вторичных волн.

Френель исключил возможность возникновения обратных вторичных волн и предположил, что если между источником и точкой наблюдения находится непрозрачный экран с отверстием, то на поверхности экрана амплитуда вторичных волн равна нулю, а в отверстии — такая же, как при отсутствии экрана.

Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в каждом конкретном случае найти амплитуду (интенсивность) результирующей волны в любой точке пространства, т. е. определить закономерности распространения света.

В общем случае расчет интерференции вторичных волн довольно сложный и громоздкий, однако, как будет показано ниже, для некоторых случаев нахождение амплитуды результирующего колебания осуществляется алгебраическим суммированием.

ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА — ФРЕНЕЛЯ

Дифракцией называется огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути, или в более широком смысле — любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики.

Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через небольшие отверстия в экранах и т. д. Например, звук хорошо слышен за углом дома, т. е.

звуковая волна его огибает.

Явление дифракции объясняется с помощью принципа Гюйгенса (см. § 170), согласно которому каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени.

Пусть плоская волна нормально падает на отверстие в непрозрачном экране (рис. 256).

Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит источником вторичных волн (в однородной изотропной среде они сферические).

Построив огибающую вторичных волн для некоторого момента времени, видим, что фронт волны заходит в область геометрической тени, т. е. волна огибает края отверстия.

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту

Рис. 256

Явление дифракции характерно для волновых процессов. Поэтому если свет является волновым процессом, то для него должна наблюдаться дифракция, т. е. световая волна, падающая на границу какого-либо непрозрачного тела, должна огибать его (проникать в область геометрической тени).

Из опыта, однако, известно, что предметы, освещаемые светом, идущим от точечного источника, дают резкую тень и, следовательно, лучи не отклоняются от их прямолинейного распространения.

Почему же возникает резкая тень, если свет имеет волновую природу? К сожалению, теория Гюйгенса ответить на этот вопрос не могла.

Принцип Гюйгенса решает лишь задачу о направлении распространения волнового фронта, но не затрагивает вопроса об амплитуде, а следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся по разным направлениям. Френель вложил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей интерференции вторичных волн.

Согласно принципу Гюйгенса — Френеля, световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками.

Такими источниками могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S.Обычно в качестве этой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все фиктивные источники действуют синфазно.

Таким образом, волны, распространяющиеся от источника, являются результатом интерференции всех когерентных вторичных волн.

Френель исключил возможность возникновения обратных вторичных волн и предположил, что если между источником и точкой наблюдения находится непрозрачный экран с отверстием, то на поверхности экрана амплитуда вторичных волн равна нулю, а в отверстии — такая же, как при отсутствии экрана.

Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в каждом конкретном случае найти амплитуду (интенсивность) результирующей волны в любой точке пространства, т. е. определить закономерности распространения света.

В общем случае расчет интерференции вторичных волн довольно сложный и громоздкий, однако, как будет показано ниже, для некоторых случаев нахождение амплитуды результирующего колебания осуществляется алгебраическим суммированием.

Читайте также:  Особенности учета продукции при использовании счета 46 - в помощь студенту

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля световое поле в некоторой точке пространства является результатом интерференции вторичных источников. Френель предложил оригинальный и чрезвычайно наглядный метод группировки вторичных источников. Этот метод позволяет приближенным способом рассчитывать дифракционные картины, и носит название метода зон Френеля.

Зоны Френеля вводятся следующим образом. Рассмотрим распространение световой волны из точки L в точку наблюдения P. Сферический волновой фронт, исходящий из точки L разобьем концентрическими сферами с центром в точке P и с радиусами z1 + λ/2; z1 + 2 λ/2; z1 + 3 λ/2…

Полученные кольцевые зоны и носят название зон Френеля.

Смысл разбиения поверхности на зоны Френеля состоит в том, что разность фаз элементарных вторичных волн, приходящих в точку наблюдения от данной зоны, не превышает π. Сложение таких волн приводит к их взаимному усилению.

Поэтому каждую зону Френеля можно рассматривать как источник вторичных волн, имеющих определенную фазу. Две соседние зоны Френеля действуют как источники, колеблющиеся в противофазе, т.

е вторичные волны, распространяющиеся из соседних зон в точке наблюдения будут гасить друг друга. Чтобы найти освещенность в точке наблюдения P нужно просуммировать напряженности электрических полей от всех вторичных источников, приходящих в данную точку.

Результат сложения волн зависит от амплитуды и разности фаз. Так как разность фаз между соседними зонами равна π, то можно перейти к суммированию амплитуд.

Амплитуда вторичной сферической волны пропорциональна площади элементарного участка, испускающего эту волну (т.е пропорциональна площади зоны Френеля). Кроме того, она убывает с увеличением расстояния z1 от источника вторичной волны до точки наблюдения по закону 1 / z1 и с ростом угла φ между нормалью к элементарному участку, испускающего волну, и направлением распространения волны.

Можно показать, что площади зон Френеля примерно одинаковы и равны:

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту

Расстояние z1n от зоны до точки наблюдения медленно растет по линейному закону: z1n = z1 + n λ / 2, где n — номер зоны.

Угол φ также увеличивается при увеличении номера зоны Френеля. Следовательно, амплитуды вторичных волн убывают. Таким образом, можно записать A1 > A2 > A3 > … > An-1 > An > An+1 > …, где An — амплитуда вторичной волны, испущенной n-ой зоной.

Амплитуда результирующего светового колебания в точке наблюдения P будет определяться вкладом всех зон.

При этом, волна из второй зоны Френеля будет гасить волну из первой зоны (так как они придут в точку P в противофазе), волна из третьей зоны будет усиливать первую волну (так как между ними разность фаз равна нулю), четвертая волна ослабит первую и так далее.

Это значит, что при суммировании необходимо учесть, что все четные зоны дадут вклад в результирующую амплитуду одного знака, а все нечетные зоны — противоположного знака. Таким образом, суммарная амплитуда в точке наблюдения равна: A = A1 — A2 + A3 — A4 + …

Это выражение можно переписать в виде:

Вследствие монотонного убывания амплитуд вторичных волн можно записать .

Тогда выражения, заключенные в круглые скобки будут равны нулю, и амплитуда А в точке наблюдения будет равна: А = А1/2. То есть амплитуда, создаваемая в некоторой точке наблюдения P сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной зоной.

Таким образом, действие всей волновой поверхности эквивалентно половине действия центральной зоны Этот же результат можно получить, если применить графический метод сложения амплитуд.

Если световая волна встречает на пути своего распространения какое-либо препятствие (отверстие или преграду), то в этом случае мы разобьем на зоны Френеля волновой фронт, дошедший до этого препятствия.

Понятно, что препятствие закроет часть зон Френеля, и вклад в результирующую амплитуду дадут только волны, испущенные открытыми зонами Френеля. Вы можете пронаблюдать, как меняется вид дифракционной картины в зависимости от числа открытых зон Френеля.

На основе своего метода Френель доказал, что свет распространяется практически прямолинейно.

Действительно, можно показать, что размеры зон Френеля (их радиусы) равны:.

В качестве примера рассмотрим случай, когда z0 = z1 = 1 м; λ = 0.5 мкм, тогда радиус первой (центральной) зоны равен r1 = 0.5 мм.

Амплитуда в точке наблюдения P равна половине амплитуды волны, испущенной первой зоной (действие всей волновой поверхности свелось к действию ее небольшого участка), следовательно, свет от точки L к точке P распространяется в пределах очень узкого (диаметром всего один миллиметр!) канала, то есть практически прямолинейно! Показав, что свет распространяется прямолинейно, Френель с одной стороны доказал правильность своих рассуждений, а с другой преодолел препятствие, которое в течение веков стояло на пути утверждения волной теории — согласование прямолинейного распространения света с его волновым механизмом. Другим доказательством того, что метод зон Френеля дает верный результат, являются следующие рассуждения. Действие всей волновой поверхности эквивалентно половине действия центральной зоны. Если открыть только первую зону Френеля, то согласно расчетам Френеля результирующая амплитуда в точке наблюдения будет равна А1. То есть в этом случае амплитуда света в точке наблюдения увеличится в 2 (а интенсивность, соответственно, в четыре раза) по сравнению со случаем, когда открыты все зоны Френеля. Этот результат можно проверить опытным путем, поставив на пути световой волны преграду с отверстием, открывающим только первую зону Френеля. Интенсивность в точке наблюдения действительно возрастает в четыре раза по сравнению со случаем, когда преграда между источником излучения и точкой наблюдения отсутствует!



Источник: https://infopedia.su/3x81ed.html

ПОИСК

Уравнение (10.19) называется уравнением волновых нормалей Френеля и позволяет определить скорость по нормали в зависимости от направления нормали N, заданного Nx, N у, N,, и от свойства кристалла, заданного главными скоростями y.v, Vy, или главными диэлектрическими проницаемостями е, ., е.у, t%.

Отметим, что v, , (л — скорости света в случае, когда колебания вектора электрической индукции совершаются по главным диэлектрическим осям, а Уд/ — скорость световой волны для произвольного направления, но перпендикулярной фронту волны вектора D и, следовательно, направленной по нормали N.
[c.252] Уравнение (4.2.

10) называется уравнением волновых нормалей Френеля. Его решения дают главные значения показателей преломления, а выражение (4.2.11) определяет направления поляризации независимых волн, которые могут распространяться в кристалле. Уравнение (4.2.10) является квадратичным относительное .

Поэтому каждому направлению распространения (из набора s , s , s ) соответствуют два решения для (задача 4.2). Для полного решения задачи мы должны подставить каждое из значений в выражение (4.2.11), что позволяет определить поляризации соответствующих независимых волн.

Можно показать, что для непоглощающей среды эти независимые волны линейно поляризованы, поскольку в (4.2.11) все величины являются вещественными.

Пусть Е, и Ej — векторы электрического поля, а D, и Dj — векторы электрического смещения линейно поляризованных независимых волн, соответствующих n и Из уравнения Максвелла V D = О следует, что D, и Dj ортогональны s.

Поскольку Dj-Dj = О, три вектора D,, и s образуют взаимно ортогональную тройку векторов и могут быть выбраны в качестве системы координат при описании многих физических явлений, в том числе и оптической активности. Согласно уравнениям Максвелла, векторы D, Е и Н связаны между собой соотношениями
[c.

84]

В плоскости рассеяния, совпадающей с плоскостью главного сечения, величина 5п = п — п для данного угла (3 достигает максимального значения. Пусть направление сечения экрана Э указанной плоскостью задается осью Z. Для определения размеров интерференционных фигур вдоль оси Z необходимо установить зависимость п — П13 в данной плоскости. С этой целью воспользуемся уравнением волновых нормалей Френеля. Следуя [37, 38] запишем нужное нам соотношение, вытекающее из уравнения волновых нормалей, в виде приближенного равенства  [c.31]

Применив это правило к уравнению волновых нормалей Френеля (24), мы немедленно получим искомое лучевое уравнение
[c.620]

Рис. 14,30. К теории ао-г тощающих кристаллов. Считывая Приближение, в котором получена формула (19), нельзя ожидать, что эти формулы останутся справедливыми, когда направление 5 будет мало отличаться от направления оптической оси. В предельном случае, когда волновая нормаль направлена вдоль оптической оси. угол 1]) становится неопределенным. Для получения в этом случае соответствующих показателей затухания возвратимся к уравнению Френеля. При любом направлении 5 в плоскости хг (зу = 0) мы получим, как в уравнениях (23), приравнивая вещественные и мнимые части. Рис. 14,30. К теории ао-г тощающих кристаллов. Считывая Приближение, в котором получена формула (19), нельзя ожидать, что эти формулы останутся справедливыми, когда направление 5 будет мало отличаться от направления оптической оси. В предельном случае, когда a href=

Сечение плоскостью XV. Волновая нормаль лежит в плоскости XV, т. е. = 0. Уравнение Френеля (80.8) принимает вид
[c.496]

Сечение плоскостью У2. Волновая нормаль N лежит в плоскости У2, т. е. 0. Уравнение Френеля принимает вид
[c.497]

Уравнения (20), (21) и (24) являются эквивалентными формами уравнения волновых нормалей Френеля. Это уравнение квадратично относительно что легко показать, умножив (24) на произведение знаменателей. Таким образом, каждому направлению s соответствуют две фазовые скорости v .

(Два значения соответствующие любому значению v , считаются одним, так как отрицательное значение, очевидно, принадлежит противоположному направлению распространения —s.) Для каждого из двух значений из уравнений (23) можно определить отношения j, Е- соответствующие о-гнотения, содержащие вектор D, можно затем получить из (14.1.12).

Читайте также:  Аксиология - в помощь студенту

Так как эти отношения вещественны, поля Е и D линейно по.ыризованы. Таким образом, мы получили важный результат, а именно структура анизотропной среды допускает рш пространение в любом данном направлении двух монохроматических плоских волн, линейно поляризованных в двух разных направлениях и обладающих различными скоростями.

Позднее будет показано, чю два направления вектора электрического смещения D, соо1ветствующие данному направлению распространения S, перпендикулярны друг к другу.
[c.619]

Распространение света в одноосных крисгаллах. Начнем с уравнения волновых нормалей Френеля (14.2.24) и запишем его в виде
[c.627]

Исключая из уравнений (12.3) напряженность магнитного поля и учитывая соотношения (12.2), можно получить выражение для скорости волны, распространяющейся в кристалле с главными скоростями в направлении вектора N с проекциями Му, М ), пазыва емое уравнением волновых нормалей Френеля  [c.198]

Следовательно, вектор s /v — s/ должен быть перпендикулярен к границе раздела. Допустимые направления волновых нормалей s можно определить следующим образом.

Из произвольной точки О па плоскости 21, как из начала координат, во всех направлениях s отложим векторы длиной 1/f, где v — фазовая скорость, соответствующая каждому направлению s согласно уравнению Френеля (14.2.24).

Концы векторов образуют двухоболочечную поверхность, которая отличается от поверхности нормалей тем, что длина каждого радиуса-вектора составляет l/t вместо v. А-а поверхность называется обратной поверхностью волновых нормалей.

Она соотвегсгвует лучевой поверхпости и поэтому, как и лучевая поверхность, представляет собой поверхность четвертого порядка. Поскольку искомый вектор s /y должеп быть таким, чтобы
[c.631]

Основы оптики (2006) — [ c.198 ]

  • Нормали Уравнения
  • Нормаль
  • Нормаль волновая
  • Уравнение Френеля
  • Уравнение волновое Френеля
  • Уравнение волновое волновых нормалей
  • Уравнение волновое уравнение
  • Уравнения волновые
  • Френель

© 2019 Mash-xxl.info Реклама на сайте

Источник: https://mash-xxl.info/info/399399/

4.2 Дифракция Френеля на простейших препятствиях

Графический способ решения дифракционных задач. Спираль Френеля

Вычисление результирующего светового поля, описываемого интегралом Гюйгенса-Френеля, сводится к суммированию световых колебаний, возбуждаемых элементарными вторичными источниками.

С математической точки зрения задача сводиться к суммированию гармонических колебаний, имеющих одну и ту же частоту, но разные амплитуды и фазы. Наглядный способ решения этой задачи – построение векторной диаграммы.

Как известно, гармонические колебания с амплитудой A и фазой J можно охарактеризовать комплексной амплитудой E = AExp(IJ) либо вектором на плоскости переменных ReE и ImE, причём длина вектора равна A, а угол наклона к оси ReE равен J. Сумма нескольких гармонических колебаний частоты W с произвольными амплитудами и фазами есть также гармоническое колебание на частоте W. Действительную амплитуду и фазу результирующего колебания можно найти, откладывая по правилу сложения векторов векторы, изображающие колебания-слагаемые. После построения векторной суммы, амплитуда результирующего колебания находится как длина полученного вектора-суммы, а фаза результирующего колебания – как угол наклона этого вектора к оси абсцисс.

Спираль Френеля. Применим описанный метод для расчёта дифракционного интеграла Гюйгенса-Френеля. Сначала вычислим вклад в дифракционный интеграл, например, первой зоны Френеля. Для этого разбиваем зону Френеля на множество подзон.

Разбиение производим таким образом, чтобы площади подзон были примерно одинаковы, а число подзон было достаточно большим. В этом случае вклады подзон можно изобразить векторами, которые имеют почти одинаковую длину, но разные углы наклона к оси абсцисс.

Первый и последний векторы будут повёрнуты друг относительно друга на угол P – в соответствии с определением зоны Френеля.

По мере увеличения радиуса вклад подзоны (и, следовательно, длина соответствующего вектора) немного уменьшается вследствие увеличения угла между нормалью к поверхности и направлением на точку наблюдения (рис. 4.5А).

Уравнение волновых нормалей Френеля - в помощь студенту

Аналогичным образом строится вектор, изображающий вклад в дифракционный интеграл второй зоны Френеля (рис. 4.5Б), а также первый и второй зон вместе (рис. 4.5В). С увеличением номера зоны, элементарные векторы, изображающие действие её подзон, становятся короче. Это отражает уменьшение общего вклада данной зоны в суммарное дифракционное поле (E

Источник: https://www.webpoliteh.ru/4-2-difrakciya-frenelya-na-prostejshix-prepyatstviyax/

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Cтраница 2

Уравнение (4.2.10) называется уравнением волновых нормалей Френеля. Его решения дают главные значения показателей преломления, а выражение (4.2.

11) определяет направления поляризации независимых волн, которые могут распространяться в кристалле. Для полного решения задачи мы должны подставить каждое из значений п2 в выражение (4.2.

11), что позволяет определить поляризации соответствующих независимых волн. Можно показать, что для непоглощающей среды эти независимые волны линейно поляризованы, поскольку в (4.2.

11) все величины являются вещественными.

Поскольку D — D2 0, три вектора D, D2 Рё s образуют взаимно ортогональную тройку векторов Рё РјРѕРіСѓС‚ быть выбраны РІ качестве системы координат РїСЂРё описании РјРЅРѕРіРёС… физических явлений, РІ том числе Рё оптической активности.  [16]

Таким образом, Рє каждой волновой нормали следует отнести РґРІРµ, вообще РіРѕРІРѕСЂСЏ, фазовые скорости.  [17]

РќРѕ так как путь РїРѕ волновой нормали для обеих волн различен, то разность фаз РїСЂРё выходе РёР· пластинки Сѓ РЅРёС… другая, чем РїСЂРё РІС…РѕРґРµ. Подсчитаем это смещение фаз Р›, которое получается РїСЂРё прохождении через пластинку.  [18]

Направление распространения плоской волны задается волновой нормалью — единичным вектором Рї, параллельным волновому вектору Рђ; Рё нормальным волновому фронту.  [19]

Это означает, что каждому направлению волновой нормали N соответствуют РґРІРµ скорости РїРѕ нормали V N Рё Рё Сѓ, Р° каждому направлению луча S — РґРІРµ скорости РїРѕ лучу vs Рё Vs, причем каждое РёР· РґРІСѓС… возможных значений скорости РїРѕ нормали соответствует РѕРґРЅРѕР№ РёР· РґРІСѓС… линейно-поляризованных плоских волн, которые РјРѕРіСѓС‚ распространяться РїРѕ данному направлению N. РўРѕ же самое можно говорить Рё Рѕ скоростях РїРѕ лучу, которые распространяются РїРѕ данному направлению S. Следует еще раз отметить, что упомянутые РґРІРµ волны РїРѕ N ( Р° также РїРѕ S) поляризованы перпендикулярно РґСЂСѓРі РґСЂСѓРіСѓ.  [20]

РќР° СЂРёСЃ. 34 показана часть поверхности волновых нормалей РґРІСѓРѕСЃРЅРѕРіРѕ кристалла. Направление ON соответствует оптической РѕСЃРё. Другая оптическая РѕСЃСЊ находится РІ октанте, РЅРµ показанном РЅР° СЂРёСЃСѓРЅРєРµ.  [21]

Вместо эллипсоида лучевых скоростей необходимо пользоваться эллипсоидом волновых нормалей, уравнение для которого получается РёР· квадратичной формы (39.8) аналогично тому, как был получен эллипсоид лучевых скоростей.  [22]

С другой стороны, каждому произвольному направлению волновой нормали соответствуют две перпендикулярные к ней плоскости волны, проходящие на расстояниях /, и qz от О.

Отрезки, соединяющие точки касания с точкой О, дают направление и величину скорости распространения двух соответствующих лучей.

Поэтому указанная выше РІРѕСЂРѕРЅРєР° обладает плоским краем, ее можно полностью закрыть плоским листом.  [23]

РџСЂРё наклонном падении групповые траектории отличаются РѕС‚ траектории волновых нормалей Рё, РІ общем случае, РјРѕРіСѓС‚ быть пространственными кривыми.  [25]

Особый интерес представляет случай, когда у двуосного кристалла волновая нормаль имеет направление одной из оптических осей.

Направлению нормали соответствует при этом бесконечное множество направлений лучей; поэтому при прохождении через кристалл тонкого пучка на экране наблюдается светлое кольцо.

Возникновение кольца связано с тем, что при вхождении в кристалл очень тонкого и практически параллельного пучка последний становится расходящимся и принимает форму конуса.

РџСЂРё выходе света РёР· кристалла РІРЅРѕРІСЊ наблюдается преломление, РІ результате которого пучок принимает форму РєСЂСѓРіРѕРІРѕРіРѕ цилиндра.  [26]

Здесь Рї — показатель преломления для света, направление волновой нормали которого задано углами РІ Рё if ( РІ — СѓРіРѕР» между направлением Рё Рё РѕСЃСЊСЋ z показателей преломления, ( СЂ — СѓРіРѕР» между проекцией этого направления РЅР° плоскость С…Сѓ Рє РѕСЃСЊСЋ С…), РїС…, РїСѓ, nz — главные значения показателей преломления. Можно показать, что для каждого значения РІ Рё if можно найти РґРІР° значения Рї, являющиеся решениями биквадратного уравнения ( 126), соответствующие РґРІСѓРј взаимно перпендикулярным поляризациям распространяющегося РІ этом направлении света. Эти направления соответствуют РґРІСѓРј РѕСЃСЏРј кристалла.  [27]

Вторичной оптической РѕСЃРё РІ качестве луча соответствует целый РєРѕРЅСѓСЃ волновых нормалей, Рє образующим которого принадлежит также Рё луч. Каждой такой нормали соответствует определенная плоскость колебаний, проходящая через нее Рё через луч.  [28]

Уравнения (10.23) и (10.

24) описывают оптическую индикатрису — эллипсоид волновых нормалей, полуоси которого равны квадратному РєРѕСЂРЅСЋ РёР· главных диэлектрических проницаемостей Рё совпадают РїРѕ направлению СЃ главными диэлектрическими РѕСЃСЏРјРё.  [29]

Таким образом, РІ общем случае произвольной ориентации кристалла относительно волновой нормали вводимая ультразвуковая волна расщепляется РЅР° три квазиволны, каждая РёР· которых имеет СЃРІРѕСЋ фазовую скорость распространения Рё вектор смещения. РџСЂРё возбуждении поляризованных СѓРїСЂСѓРіРёС… волн СЃ произвольно ориентированным РІ плоскости грани исследуемого кристалла вектором смещения последний даст проекции РЅР° пространственную систему разрешенных векторов смещения колеблющихся частиц РІ кристалле. Это означает, что плоские СѓРїСЂСѓРіРёРµ волны РІ кристаллах, как правило, линейно поляризованы. Р�зменяя направление поляризации волны Рё ориентацию рабочей грани кристалла, можно получить различную интенсивность излучения каждой РёР· трех волн.  [30]

Страницы:      1    2    3    4

Источник: https://www.ngpedia.ru/id189332p2.html

Ссылка на основную публикацию