Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел — в помощь студенту

Мы продолжаем изучать сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел. На этом уроке мы разберем тему: сложение отрицательных чисел. На примере ряда задач проиллюстрируем смысл сложения отрицательных чисел, разберем алгоритм и выполним упражнения по данной теме. 

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Рассмотрим такой пример. На стоянку приехали  машины, а затем ещё  машины. Сколько свободных мест на стоянке, если всего мест  (рис. 1)?

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел - в помощь студенту

Рис. 1. Машины на стоянке

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел - в помощь студенту Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел - в помощь студенту

Рис. 2. Ответ на вопрос задачи не изменится

Но отрицательных количеств нет, зачем складывать отрицательные числа?

Пример. В кошельке  рублей. Потратили , , . Сколько осталось?

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Понятие имущественных отношений между супругами - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Решение

Способ 1. Мы можем вычитать последовательно: ; ; .

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел - в помощь студенту Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел - в помощь студенту

Ответ: осталось  рублей.

По сути во втором способе мы складывали отрицательные числа. Как мы это сделали? Мы сложили модули этих чисел и поставили перед суммой знак минус, показывая, что эту сумму нужно отнять.

Сумму двух отрицательных чисел можно записать разными способами: . Чаще пишут без скобок (это короче): . Хотя теперь в записи нет знака плюс, это выражение эквивалентно исходному и является суммой двух отрицательных чисел. Складываем модули и ставим знак минус:

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел - в помощь студенту

Нам осталось сформулировать общее правило: чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить перед суммой знак минус. Результатом будет также отрицательное число:

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел - в помощь студенту Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел - в помощь студенту Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел - в помощь студенту Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел - в помощь студенту

  • Несложно убедиться, что эта общая формула согласуется с только что сформулированным правилом сложения отрицательных чисел.
  • Рассмотрим несколько примеров:
  • 1) 
  • Запишем без скобок, чтобы было короче. Складываем модули слагаемых и ставим перед суммой минус: 
  • 2) 
  • Складываем модули слагаемых и ставим перед суммой минус:
  • 3) 
  • Складываем модули слагаемых и ставим перед суммой минус, отдельно складываем целые и дробные части:
  • 4) 
  • С тремя слагаемыми то же самое – складываем модули слагаемых и ставим перед суммой минус: .
  • 5) 
  • Второе слагаемое запишем в виде десятичной дроби. Сложение начнем с двух последних слагаемых, его можно проводить в любом порядке:

К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число. Нам было бы удобно, чтобы в левой части уравнения остался только  без  (тогда в правой части получится значение переменной, то есть уравнение будет решено). Чтобы  пропало (превратилось в ноль), к нему нужно добавить противоположное число, то есть . Так и сделаем, добавим к обеим частям уравнения :

 и  дают в сумме ноль. Справа получили сумму двух отрицательных чисел. Делать это мы уже умеем.

  1. Итак, повторим.

Складывать два отрицательных числа так же просто, как два положительных. Складываем числа, не обращая внимания на знак, потом ставим знак минус перед суммой: .

Прибавление отрицательного числа равносильно вычитанию положительного. Поэтому сумму двух отрицательных чисел можно записать эквивалентными способами: .

Проиллюстрируем сложение отрицательных чисел с помощью числовой прямой.

Мы уже знаем, чему равна сумма: .

Посмотрим, как это выглядит на числовой прямой. Первое слагаемое отмечаем точкой . Вычитание числа  (или прибавление числа ) означает сдвиг влево на  единицы. Попадаем в точку  (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация суммы

Поменяем слагаемые местами. От перемены мест слагаемых сумма не меняется: . На прямой это будет означать, что нам все равно, отступить от нуля влево сначала на  единицы, а потом на , или, наоборот, сначала на , а потом на . В любом случае получится точка, находящаяся слева от нуля на расстоянии , то есть с координатой  (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация нахождения суммы

Итак, на этом уроке мы научились складывать два или больше отрицательных числа. На следующем уроке мы рассмотрим сложение и вычитание всех известных нам чисел вместе – и отрицательных, и положительных.

Список рекомендованной литературы

  1. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс. М.: ИОЦ «Мнемозина», 2014.
  2. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Учебник в 3 частях. Ч. 2. М. «Просвещение», 2010.
  3. Виленкин Н.Я. и др. Математика. Учебник для 6 класса. М.: ИОЦ «Мнемозина», 2013.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

  1. Выполните сложение:
  2. Выполните сложение:
  3. Решите уравнение:

Источник: https://interneturok.ru/lesson/matematika/6-klass/tema/slozhenie-otritsatelnyh-chisel?konspekt

Сложение и вычитание отрицательных и положительных чисел — правило, формулы и примеры

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел - в помощь студентуСложение и вычитание положительных и отрицательных чисел - в помощь студенту

Впервые знакомство с отрицательными числами происходит в школьном курсе в 6 классе, иногда раньше. Число со знаком «+» называется положительным, противоположное — отрицательным.

Чтобы понять, что такое сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел, достаточно воспользоваться координатной прямой. Например, сумма чисел -18 и 2. Сначала отмечаем на координатном отрезке число (-18), откладываем от него вправо, соответствующие масштабу, 2 единичных отрезка, и получаем на координатном луче число -16.

Правило сложения отрицательных чисел и чисел с разными знаками

Для суммирования двух отрицательных чисел, необходимо:

  • суммировать их модули;
  • перед полученной суммой поставить знак «минус».
  • Например, сложение чисел -9 и -6 будет выглядеть следующим образом:
  • -9 + (-6) = -15
  • В данном случае, складываем модули 9 и 6, и перед получившимся натуральным числом 15 ставим знак «-«. 

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел - в помощь студенту

  1. Сложение рациональных или дробных чисел выполняется аналогичным способом:
  2. -26,35 + (-25,35) = -(26,35 + 25,35) = -51,75

К 26,35 прибавляем 25,35 (т. е. мы складываем модули), в итоге получаем 51,75 с отрицательным значением. Перед ним ставим знак «минус».

Для суммирования натуральных чисел со знаками «+» и «-», надо:

  • из слагаемого с большим значением модуля вычесть слагаемое с меньшим значением;
  • перед полученным результатом поставить знак того слагаемого, которое имело большее значение.
  • Пример:
  • 61,2 + (-31,5) = + (61,2 — 31,5) = 30,5
  • Модуль большего числа со знаком «+», соответственно, сумма получилась положительная:
  • -81 + 35 = -(81 — 35) = 46
  • Большее число со знаком «-», поэтому заменяем плюс на минус и получаем отрицательный ответ.

Как вычитать отрицательные и положительные числа

  1. Для нахождения разности противоположных чисел, надо к уменьшаемому прибавить вычитаемое с противоположным знаком, то есть заменить разность суммой.

  2. Наглядно данное действие лучше представить в виде формулы:
  3. a — b = a + (-b)
  4. То есть любое выражение, содержащее знаки сложения и вычитания, следует решать как сумму чисел.

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел - в помощь студенту

  • Примеры:
  • -20 — 14 = -20 + (-14) = -34;
  • -6,1 + 5,6 = 5,6 + (-6,3) = 0,5.

Разность выражения будет положительной, если уменьшаемое больше вычитаемого, и отрицательной, если значение модуля уменьшаемого меньше вычитаемого. В случае, когда уменьшаемое и вычитаемое одинаковые, их разность будет равна нулю.

Примеры:

  • 15 — 6 = 15 + (-6) = 9 — уменьшаемое 15, больше вычитаемого, поэтому ответ положительный;
  •  -15 — 6 = -15 + (-6) = -21 — уменьшаемое -15, меньше вычитаемого, следовательно, ответ отрицательный. 
  1. Если нужно отнять отрицательное число, то два знака «минус» подряд дают знак «плюс».
  2. Пример:
  3. 10 — (-5) = 10 + 5 = 15;
  4. — 10 — (-5) = -10 + 5 = 5 — 10 = -5.
Читайте также:  Особенности учета операций по валютным счетам - в помощь студенту

Все вышеперечисленные действия возможно выполнить на калькуляторе. Для этого достаточно ввести сначала модуль числа, потом нажать кнопку изменения знака «+/-».

Например, чтобы задать число -81,73, надо в следующем порядке нажать кнопки: «8», «1», «,», «7». «3», «+/-». А решать пример с отрицательными числами следует в том же порядке, что и с положительными. 

Заключение

Для закрепления изученных правил можно использовать различные методы проверки знаний. На первом этапе лучшим вариантом будет тренажер, с помощью которого решение подобных примеров можно довести до автоматизма. 

Так же для закрепления материала подойдет тестирование. Его можно провести в виде самостоятельной работы. В конце изучения всех правил применяется контрольная работа, задания для которой можно подобрать из различных дидактических материалов.

Источник: https://nauka.club/matematika/slozhenie-i-vychitanie-polozhitelnykh-i-otritsatelnykh-chisel.html

Вычитание отрицательных чисел

Сейчас мы рассмотрим на примерах  вычитание отрицательных чисел, и вы убедитесь, что это очень легко. Нужно просто помнить правило : два минуса, стоящие рядом, дают плюс.

  • Пример 1. Вычитание отрицательного числа из положительного числа
  • 56 – (–34) = 56 + 34 = 90
  • Как видим, чтобы вычесть из положительного числа отрицательное число, нужно просто сложить их модули.
  • Пример 2. Вычитание отрицательного числа из отрицательного числа
  • – 60 – (– 25) = – 60 + 25 = – 35
  • – 15 – (– 30) = – 15 + 30 = 15
  • Таким образом, при вычитании отрицательного числа из отрицательного мы действуем по правилу сложения чисел с разными знаками, и у нас может получиться как положительное, так и отрицательное число.
  • Существует единое правило, определяющее вычитание любых чисел: как отрицательных, так и положительных, и звучит оно так:
Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
                 a — b = a + (-b)

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел - в помощь студенту

Для того, чтобы избавиться от лишних скобок при вычитании отрицательных чисел, мы можем воспользоваться правилом знаков. Это правило гласит:

Если перед скобками стоит знак «+» , то при раскрытии скобок знак числа не изменяется. Если перед скобками стоит знак «-», то при раскрытии скобок знак числа меняется на противоположный.

Например:

5 + (-7) = 5-7 9-(-5) = 9 + 5
-10 + (-6) = -10-6 -4- (-6) = -4 + 6
  1. Правило знаков действует также, если в скобках стоит несколько чисел. При этом,если перед скобками стоит минус,  изменяются знаки у всех чисел:
  2. Примеры:
  3. a+(b-c-d)=a+b-c-d
  4. a-(b-c-d)=a-b+c+d
  5. a+(-b+c-d)=a-b+c-d
  6. a-(-b+c-d)=a+b-c+d
  7. Это правило обычно запоминают так:
Минус на минус дает плюс,
Плюс на минус дает минус

А теперь пройдите тест и проверьте себя!

Если у вас не открываются игры или тренажёры, читайте здесь.

Источник: http://kid-mama.ru/polozhitelnye-i-otricatelnye-chisla/vychitanie-otricatelnyx-chisel/

Сложение и вычитание отрицательных чисел

Начнем с простого примера. Определим, чему равно выражение 2-5. От точки +2 отложим вниз пять делений, два до нуля и три ниже нуля. Остановимся на точке -3. То есть 2-5=-3. А теперь обратите внимание, что 2-5 совсем не равно 5-2. Если в случае сложения чисел их порядок не имеет значения, то в случае вычитания все обстоит по-другому. Порядок чисел имеет значение.

Теперь перейдем в отрицательную область шкалы. Предположим, надо к -2 прибавить +5. (С этого момента мы будем ставить знаки «+» перед положительными числами и заключать в скобки как положительные, так и отрицательные числа, чтобы не путать знаки перед числами со знаками сложения и вычитания.

) Теперь нашу задачу можно записать как (-2)+(+5). Чтобы ее решить, от точки -2 вверх поднимемся на пять делений и окажемся на точке +3.Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел - в помощь студенту

Есть ли в этой задаче какой-то практический смысл? Конечно есть. Предположим, у вас есть долг 2 доллара, а вы заработали 5 долларов. Таким образом, после того, как вы отдадите долг, у вас останется 3 доллара.

Можно также двигаться вниз по отри­цательной области шкалы. Предположим, нужно из -2 вычесть 5, или (-2)-(+5). От точки -2 на шкале отложим вниз пять делений и окажемся в точке -7. Какой практический смысл у этой задачи? Предположим, у вас был долг 2 доллара и вам пришлось занять еще 5. Теперь ваш долг равен 7 долларам.

Мы видим, что с отрицательными чис­лами можно проводить такие же операции сложения и вычитания, как и с положительными.

Правда, мы еще освоили не все операции. К отрицательным числам мы прибавляли только положительные числа и вычитали из отрицательных чисел только положительные. А как действовать, если надо складывать отрицательные числа или из отрицательных чисел вычитать отрицательные?

На практике это похоже на операции с долгами. Предположим, с вас списали долг 5 долларов, это означает то же самое, как если бы вы получили 5 долларов.

С другой стороны, если я каким-то образом заставлю вас принять ответственность за чей- то долг в 5 долларов, это то же самое, что забрать у вас эти 5 долларов.

То есть вычесть -5 – это то же самое, что прибавить +5. А прибавить -5 – это то же самое, что вычесть +5.

Это позволяет нам избавиться от операции вычитания. Действительно, «5-2» – это то же самое, что (+5)-(+2) или согласно нашему правилу (+5)+(-2). И в том и в другом случае мы получаем один и тот же результат. От точки +5 на шкале нам нужно спуститься вниз на два деления, и мы получим +3. В случае 5-2 это очевидно, ведь вычитание – это движение вниз.

В случае (+5)+(-2) это менее очевидно. Мы прибавляем число, а это означает движение вверх по шкале, но мы прибавляем отрицательное число, то есть совершаем обратное действие, и эти два фактора, взятые вместе, означают, что нам надо двигаться не вверх по шкале, а в обратном направлении, то есть вниз.

Таким образом, мы опять получаем ответ +3.

Почему, собственно, нужно заменять вычитание сложением? Зачем двигаться вверх «в обратном смысле»? Не проще ли просто двигаться вниз? Причина заключается в том, что в случае сложения порядок слагаемых не имеет значения, в то же время в случае вычитания он очень важен.

Мы уже выяснили раньше, что (+5)-(+2) — это совсем не то же самое, что (+2)-(+5). В первом случае ответ +3, а во втором -3. С другой стороны, (-2)+(+5) и (+5)+(-2) в результате дают +3. Таким образом, переходя на сложение и отказываясь от операций вычитания, мы можем избежать случайных ошибок, связанных с перестановкой слагаемых.

Аналогично можно действовать при вычитании отрицательного числа. (+5)-(-2) – это то же самое, что (+5)+(+2). И в том и в другом случае мы получаем ответ +7. Мы начинаем с точки +5 и двигаемся «вниз в обратном направлении», то есть вверх. Точно так же мы бы действовали, решая выражение (+5)+(+2).

Замену вычитания сложением ученики активно используют, когда начинают изучать алгебру, и поэтому эта операция называется «алгебраическим сложением». На самом деле это не совсем справедливо, поскольку такая операция, очевидно, является арифметической, а совсем не алгебраической.

Данные знание неизменны для всех, так что даже если вы будете получать образование в Австрии через www.salls.ru, хотя обучение за границей ценится выше, но и там вы сможете применить данные правила.

(8

Источник: https://matemonline.com/2012/09/addition-and-subtraction-of-negative-numbers/

Разработка урока в 6 классе по теме "Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел"

Клочкова Наталья Константиновна

Цель урока:

  1. Повторение определений  и правил по теме «Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел».
  2. Развитие вычислительных умений и навыков.
  3. Развитие познавательной активности учащихся.
  4. Ознакомление с проведением Универсиады-2013 в Казани.
  5. Воспитание патриотических чувств. 
  • Оборудование:
  1. Карточки для устного счета.
  2. Карточки математического лото.
  3. Проектор.
  4. Выставка рисунков учащихся «Универсиада -2013».

I. Организационный момент.

Мы закончили изучение темы «Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел», а теперь давайте подведем итоги наших стараний. Сегодня мы проведем необычный урок! Урок – соревнование.

Три ряда объявляются командами и соревнуются в течение урока, получая за победы флажки: красный – 5 баллов, синий – 4 балла, желтый – 3 балла. В конце урока подведем итоги по вашим результатам, которые будем заносить в таблицу после каждого конкурса.

Устный счет Математическое лото Самостоятельная работа Решение задач Самооценка Оценка учителя

II. Устный счет.

Каждой команде дается конверт №1. Открываем конверт  и выполняем действия устно, записывая ответ на листочке. Учитывается скорость и правильность вычисления. Если вычисления верные, то должно получиться  слово. (Какое?)

Пример ответ
1 -2,4+5,6
2 3,2-(-1,5)
3 -1,7-2,5
4 0,6-1,2
5 -1,4 + 0,7
6 -7,8+(-0,5)
7 -6,1-2,1
 8 2,5+(-3,6)
9 20+(-11)+(-15)
10 -15-(-6)
11 24-(-15)

Ключ (слово УНИВЕРСИАДА)

-8,3 -6      3,2 -0,7 39 4,7 -8,2 -9 -4,2 -0,6 -1,1
Р А У Е А Н С Д И В И

Если вы выполнили все действия правильно, то получили слово «универсиада».

—  А кто из вас знает, что означает это слово? (Универсиада — международные спортивные соревнования среди студентов, проводимые Международной федерацией университетского спорта (FISU).

Название «Универсиада» происходит от слов «Университет» и «Олимпиада». Часто упоминается, как «Всемирные студенческие игры» и «Всемирные университетские игры».

Каждые два года проводятся летние и зимние универсиады).

Слушаются  варианты ответов учеников. Затем небольшое выступление зачитывает ученик, которому поручено рассказать об Универсиаде.

Источник: https://open-lesson.net/2536/

"Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел"

Урок по математике в 6 классе (по сингапурской методике обучения).

Учитель математики 1 квалификационной категории МБОУ «СОШ №5 г.Чистополь» РТ Давыдова Маргарита Алексеевна

Предмет математикаКласс 6 Авторы УМКН.Я Виленкин, В.И Жохов, А.С Чесноков, С.И Шварцбурд (М.: Мнемозина, 2012)

  • Тема урока: «Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел»
  • Тип урока: Урок – повторения и закрепления ЗУН
  • Формирование и развитие УУД
  • Личностные: развитие умения ясно, точно, грамотно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи
  • Метапредметные:
  • Регулятивные — составление плана выполнения задач, решения про­блем творческого и поискового характера.
  • Познавательные — делают пред­положения об информации, ко­торая нужна для решения учеб­ной задачи. Коммуникативные — умеют взглянуть на ситуацию с иной позиции и договориться с людь­ми иных позиций
  • Предметные: закрепление умений и навыков сложения и вычитания  чисел с разными знаками, умений применять и переносить свои знания в новую нестандартную ситуацию, овладение математической терминологией
  • Основные понятия: отрицательные числа ,числа с разными знаками ,координатная прямая, уравнения.
  • Формы работы: индивидуальная, работа в парах , в группах
  • Задачи: Способствовать овладению навыками критического и креативного мышления для генерации новых идей при решении задач. Оборудование: номера столов и участников, карточки, мэнэдж мэт, мультимедийный проектор, экран, дидактический материал, таблица для рефлексии, презентация по теме: «Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел»
  • Ход урока:
  • ХАЙ ФАЙВ (СИГНАЛ ТИШИНЫ).

Учитель: Здравствуйте, садитесь. Сегодня мы проведём урок, применяя сингапурские структуры урока. Сообщение темы, цели, плана урока.

  1. Цель: повторение изученного.
  2. ТАЙМД ПЭА ШЭА (УЧЕНИКИ ПО ОЧЕРЕДИ ПРЕДСТАВЛЯЮТ СВОЙ ОТВЕТ ПАРТНЕРУ В ТЕЧЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ВРЕМЕНИ)
  3. Учитель: Подумайте, и обсудите в парах ответы на вопросы:
  1. Какие числа называются положительными?

  2. Какие числа называются отрицательными?

  3. Какие числа называются целыми?

  4. Что называется модулем числа?

  5. Правило сложение отрицательных чисел.

  6. Правило сложения чисел с разными знаками.

  7. Правило сравнения положительных и отрицательных чисел с нулем.

  8. Правило сравнения двух отрицательных чисел.

  9. Как найти длину отрезка, зная координаты его концов? По команде учителя выслушать 2-3 учеников команды. (Ответы:…)

  1. Проверка домашнего задания.

Цель: повторение сложения положительных и отрицательных чисел.

Учитель: Домашним заданием было придумать и решить 8 примеров на сложение и вычитаниет положительных и отрицательных чисел. Устно опросить 2-3 ученика с объяснением примера.

  • Ребята, возьмите листочки, маркеры и на одной стороне листочка запишите любой пример или вопрос, а на обратной стороне – решение или ответ.
  • КУИЗ – КУИЗ – ТРЕЙД (ОПРОСИ – ОПРОСИ – ОБМЕНЯЙСЯ КАРТОЧКАМИ).
  • Учитель: Ребята, вы будете проверять и обучать друг друга по пройденному материалу, используя карточки с вопросами и ответами.
  • Учитель: 1)Ребята, встаньте, задвиньте стулья, возьмите свои карточки, поднимите руку и найдите ближайшую пару.
  • 2)Ученик А у которого день рождения ближе к 23 февраля спрашивает ученика В (задаёт вопрос из своей карточки).
  • 3)Ученик В отвечает.
  • 4)Ученик А помогает и хвалит (подскажи, научи, переспроси, похвали).
  • 5)Ученики меняются ролями (ученик В спрашивает ученика А).
  • 6)Ученики меняются карточками и благодарят друг друга.
  • Можно повторить шаги 1-6 несколько раз.
  • Учитель: контролирует время процесса.
  • 4ТАЙМД-ПЭА-ШЭА.
Читайте также:  Вынужденные колебания в контуре. резонанс - в помощь студенту

-.Математический диктант. (в тетрадях по вариантам, с последующей взаимопроверкой, чётные номера – 1 вариант, нечётные номера – 2 вариант)

  1. Цель: проверить знания по сложению и вычитанию положительных и отрицательных чисел.
  2. А вариант В вариант
  3. 1) 3+(-19)= -16 1) 6+(-17)=-11
  4. 2) -17+(-27)= -44 2)-19+(-29)=- 48
  5. 3) -29+35= 6 3) -18+46= 28
  6. 4) -28-19= -47 4) -35-14=- 49
  7. 5) 16-30= -14 5)13-25= -12
  8. 6) -12-(-11)= -1 6)-14-(-13)= -1

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/slozhieniie_i_vychitaniie_polozhitiel_nykh_i_otritsatiel_nykh_chisiel

Урок 33 Получить доступ за 50 баллов Сложение отрицательных чисел

  • Использование отрицательных чисел в настоящее время обычно и естественно, но такая ситуация была не всегда.
  • Древние вообще не пользовались отрицательными числами, считали их недопустимыми, относились к ним настороженно, существование их долгое время отрицали и все полученные отрицательные результаты вычислений считали недействительными и абсурдными.
  • Интересен тот факт, что осознание существования и нужности отрицательных чисел началось с представления и применения их в торговле в качестве «долга» и «убытка».
  • Положительные числа трактовали как «прибыль» и «имущество».
  • Индийский математик и астроном Брахмагупта сформулировал правила сложения и вычитания отрицательных чисел, в которых говорилось:
  • «Сумма двух имуществ есть имущество»
  • (+х) + (+х) = +Х
  • «Сумма двух долгов есть долг»
  • (-х) + (-х) = -Х
  • Таким образом, если воспринимать отрицательные числа как «долг», то в таком случае модуль отрицательного числа будет являться величиной этого долга.

Задача:

Землевладелец попросил у своего знакомого в долг 4 мешка зерна для весеннего посева, но четырех мешков ему не хватило, и он попросил в долг еще 2 мешка зерна.

  1. Сколько мешков зерна остался должен в итоге землевладелец своему знакомому?
  2. Решение:
  3. Четыре мешка зерна были взяты в долг, значит, число 4 будет обозначено отрицательным числом (-4).
  4. Два мешка зерна так же были взяты в долг, значит, число 2 тоже будет со знаком минус (-2).

Необходимо найти общее количество мешков, взятых в долг, т.е. сумму отрицательных чисел —4 и —2.

  • Сумму двух отрицательных чисел можно записать двумя способами:
  • 1.     -4 + (-2) = -6
  • Знаки, стоящие рядом, отделяют друг от друга скобкой.
  • 2.     -4 — 2 = -6

Часто скобки и знак плюс опускают, при этом запись суммы отрицательных чисел становится короче, но она равнозначна первой записи (т.е. прибавление отрицательного числа равносильно вычитанию положительного).

  1. Итак, мы выяснили, что долг землевладельца возрос и он составил 6 мешков зерна.
  2. Мы можем заметить, что в результате сложения двух долгов, двух отрицательных чисел —4 и —2, получается долг (отрицательное число).
  3. Сформулируем общее правило сложения отрицательных чисел.
  • Чтобы сложить отрицательные числа, нужно:
  • 1. Сложить модули отрицательных чисел
  • 2. Поставить перед полученным числом знак минус «-»
  • В буквенном виде правило выглядит так:
  • (-а) + (-b) = -(a + b) или -a – b = -(a + b)

Рассмотрим еще несколько примеров жизненных задач, где применяется сложение отрицательных чисел.

Задача:

Игрок набрал 6 штрафных очков за первую половину турнира, затем под конец турнира совершил еще одно нарушение. Судья назначил игроку 1 штрафное очко.

  1. Сколько штрафных очков получил игрок за весь турнир?
  2. Решение:
  3. Штрафные очки можно записать отрицательным числом:
  4. -6 — штрафные очки за первую половину турнира.
  5. -1 — штрафное очко за вторую половину турнира.
  6. Чтобы получить общее количество штрафных очков, нужно сложить все штрафы за турнир.
  7. Воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел.
  8. Найдем модули отрицательных чисел:
  9. |-6| = 6
  10. |-1| = 1
  11. Выполним сложение модулей чисел
  12. 6 + 1 = 7
  13. Поставим знак минус перед полученным числом, получим (-7)
  14. Решение задачи выглядит так:
  15. 6 + (-1) = -(6 + 1) = -7
  16. Ответ: 7 штрафных очков получил игрок за турнир.
  17. Задача:
  18. Рассмотрим задачу о понижении температуры воздуха.

Температура воздуха в полдень была —3ºС, а к вечеру она понизилась на 5ºС. Какая температура воздуха стала вечером?

  • Решение:
  • Воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел.
  • — температура воздуха в полдень.
  • — понижение температуры на 5ºС
  • Найдем модули отрицательных чисел:
  • |-3| = 3
  • |-5| = 5
  • Выполним сложение модулей чисел
  • 3 + 5 = 8
  • Поставим знак минус перед полученным числом, получим (-8)
  • Запись решения задачи выглядит так:
  • 3 + (-5) = -(3 + 5) = -8ºС
  • Ответ: температура воздуха стала вечером равной —8ºС

Источник: https://ladle.ru/education/matematika/6class/slozhenie-otricatelnyh-chisel

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел Математика, 6 класс Автор — Логунова Людмила Васильевна, учитель математики МОУ «Курлекская СОШ» — презентация

  • 1
  • 2 Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел Математика, 6 класс Автор — Логунова Людмила Васильевна, учитель математики МОУ «Курлекская СОШ» Томского района Томской области 2009
  • 3 Изменение координаты точки на числовой прямой – 3 Сложение чисел с помощью координатной прямой – 4-16 Правило сложения чисел с разными знаками – Правило вычитания чисел – Упражнения для повторения – Список литературы – 42 На слайд 3 На слайд 3 На слайд 4 На слайд 4 На слайд 17 На слайд 17 На слайд 25 На слайд 25 На слайд 36 На слайд 36 На слайд 42 На слайд 42
  • 4 На сколько единиц изменилась координата точки А(2), если: На содержание
  • 5 Изменим температуру наградуса Температура стала равной сумме первоначального значения и изменения. Сложение чисел с помощью координатной прямой На содержание
  • 6 Изменим температуру наградуса Температура стала равной сумме первоначального значения и изменения. Сложение чисел с помощью координатной прямой На содержание
  • 7 Изменим температуру наградуса Температура стала равной сумме первоначального значения и изменения. Сложение чисел с помощью координатной прямой На содержание
  • 8 Изменим температуру наградусов Сложение чисел с помощью координатной прямой На содержание
  • 9 Изменим температуру наградусов Сложение чисел с помощью координатной прямой На содержание
  • 10 Сложение чисел с помощью координатной прямой Изменим температуру наградусов: На содержание
  • 11 Сложение чисел с помощью координатной прямой Изменим температуру наградусов: На содержание
  • 12 Сложение чисел с помощью координатной прямой На содержание
  • 13 Сложение чисел с помощью координатной прямой На содержание
  • 14 Сложение чисел с помощью координатной прямой На содержание
  • 15 Сложение чисел с помощью координатной прямой Прибавить к числу а число b – значит изменить число а на b единиц. Конспект На содержание
  • 16 Сложить числа с помощью координатной прямой: На содержание
  • 17 Сложить отрицательные числа по правилу На содержание
  • 18 Правило сложения чисел с разными знаками Модуль Знак? Как определить у суммы: Знак Модуль На содержание
  • 19 Сложение чисел с разными знаками Модуль Знак? На содержание
  • 20 Сложение чисел с разными знаками Модуль Знак? На содержание

21 Сложение чисел с разными знаками Модуль Знак? Вывод? Как определить у числа: Знак Модуль На содержание

  1. 22 Сложить числа с разными знаками по правилу На содержание
  2. 23 Сложить числа с разными знаками по правилу Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: 1)Найти слагаемое с большим модулем и поставить его знак; 2) Из большего модуля вычесть меньший. Как определить у числа: Знак Модуль На содержание
  3. 24 Устно: Сформулируйте правило сложения: а) отрицательных чисел; б) чисел с разными знаками Проверьте: Нет Да На содержание
  4. 25 Сложение чисел а)Сложение отрицательных чисел б)Сложение чисел с разными знаками Как это делается – узнали с помощью числовой прямой. На содержание Итог

26 Правило вычитания чисел Изменим температуру наградуса Температура стала равной сумме первоначального значения и изменения. Какое правило и почему? На содержание

27 Изменим температуру наградуса Температура стала равной сумме первоначального значения и изменения. Вычитание чисел Какое правило и почему? На содержание

28 Уменьшим температуру наградуса Температура стала равной сумме первоначального значения и изменения. Вычитание чисел Какое правило и почему? На содержание

29 Уменьшим температуру наградусов Вычитание чисел Какое правило и почему? На содержание

30 Вычесть из числа а число b – значит нужно к числу а прибавить –b. Вычитание чисел Какое правило и почему? Конспект На содержание

  • 31 Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому, то есть заменить вычитание сложением. Вычитание чисел Конспект На содержание
  • 32 Задание. Заменить вычитание сложением: Вычитание чисел На содержание
  • 33 Задание. Заменить вычитание сложением: Вычитание чисел На содержание
  • 34 Устно На содержание
  • 35 Устно На содержание
  • 36 Устно На содержание
  • 37 Повторение Сложение отрицательных чисел Сложение чисел с разными знаками Вычитание чисел Выполнить сложение Выполнить вычитание На содержание на слайд 37 на слайд 37 на слайд 38 на слайд 38 на слайд 39 на слайд 39 на слайд 40 на слайд 40 на слайд 41 на слайд 41
  • 38 Сложить отрицательные числа по правилу На содержание Повторение
  • 39 Сложить числа с разными знаками по правилу На содержание Повторение
  • 40 Задание. Вычислить: Вычитание чисел На содержание Повторение
  • 41 Выполнить сложение На содержание Повторение
  • 42 Выполнить вычитание На содержание Повторение

43 Список литературы 1. Учебник — Математика 6. Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. Издательство Мнемозина, Математический тренажер. Выпуск 3. В.И. Жохов, В.Н.Погодин. Издательство «Новый учебник», На содержание

Источник: http://www.myshared.ru/slide/941896/

Вычитание отрицательных чисел

  • Как известно вычитание — это действие, противоположное сложению.
  • Если «a» и «b» — положительные числа, то вычесть из числа «a» число «b», значит найти такое число «c», которое при сложении «с» числом «b» даёт число «a».
  • a − b = с или с + b = a

Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.

Запомните!

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.

  1. Или по другому можно сказать, что вычитание числа «b» — это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу «b».
  2. a − b = a + (−b)
  3. Пример.
  4. 6 − 8 = 6 + (− 8) = −2
  5. Пример.
  6. 0 − 2 = 0 + (−2) = −2

Запомните!

Стоит запомнить выражения ниже.

0 − a = − a a − 0 = a

a − a = 0

  • Как видно из примеров выше вычитание числа «b» — это сложение с числом противоположным числу «b».
  • Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.
  • Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.
  • Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел.
  • −3 − (+ 4) = −3 + (−4) = −7
  • −6 − (−7) = −6 + (+ 7) = 1
  • 5 − (−3) = 5 + (+ 3) = 8

Удобно запомнить правило знаков, которое позволяет уменьшить количество скобок.

Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.

+ (+ a) = + a

+ (−a) = −a

  1. Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.
  2. Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем «+», а если знаки разные, то получаем «−».
  3. (−6) + (+ 2) − (−10) − (− 1) + (− 7) = −6 + 2 + 10 + 1 − 7 = − 13 + 13 = 0
  4. Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.
  5. a − (− b + c) + (d − k + n) = a + b − c + d − k + n
  6. Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всеми числами в этих скобках.
  7. Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.

Правило знаков для чисел

+ (+) = + + (−) = −
− (−) = + − (+) = −

Или выучить простое правило.

Запомните!

  • Минус на минус даёт плюс.
  •   Плюс на минус даёт минус.

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/otric/subtraction_negative_numbers.php

Ссылка на основную публикацию