Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов — в помощь студенту

Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов - в помощь студенту Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов - в помощь студенту

Современная трактовка корпускулярно-волнового дуализма может быть выражена словами: для атомного объекта существует потенциальная возможность проявлять себя, в зависимости от внешних условий, либо как волна, либо как частица, либо промежуточным образом. Именно в этой потенциальной возможности различных проявлений свойств, присущих микрообъекту, и состоит дуализм волна — частица.

Принцип неразличимости тождественных частиц. Фермионы и бозоны

Если перейти от рассмотрения движения одной микрочастицы (одного электрона) к многоэлектронным системам, то проявляются особые свойства, не имеющие аналога в классической физике.

Пусть квантово-механическая система состоит из одинаковых частиц, например электронов.

Все электроны имеют одинаковые физические свойства — массу, электрический заряд, спин и другие внутренние характеристики (например, квантовые числа). Такие частицы называют тождественными.

Необычные свойства системы одинаковых тождественных частиц проявляются в фундаментальном принципе квантовой механики — принципе неразличимости тождественных частиц, согласно которому невозможно экспериментально различить тождественные частицы.

В классической механике даже одинаковые частицы можно различить по положению в пространстве и импульсам.

Если частицы в какой-то момент времени пронумеровать, то в следующие моменты времени можно проследить за траекторией любой из них.

Классические частицы, таким образом, обладают индивидуальностью, поэтому классическая механика систем из одинаковых частиц принципиально не отличается от классической механики систем из различных частиц.

В квантовой механике положение иное. Из соотношения неопределенностей вытекает, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией, позволяющей вычислять лишь вероятность (|y|2) нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точки пространства.

Если же волновые функции двух тождественных частиц в пространстве перекрываются, то разговор о том, какая частица находится в данной области, вообще лишен смысла: можно лишь говорить о вероятности нахождения в данной области одной из тождественных частиц.

Таким образом, в квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми.

Следует подчеркнуть, что принцип неразличимости тождественных частиц не является просто следствием вероятностной интерпретации волновой функции, а вводится в квантовую механику как новый принцип, который, как уже указывалось, является фундаментальным.

Принимая во внимание физический смысл величины ||2, принцип неразличимости тождественных частиц можно записать в виде

Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов - в помощь студенту

где x1 и х2 — соответственно совокупность пространственных и спиновых координат первой и второй частиц. Из выражения (226.1) вытекает, что возможны два случая:

Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов - в помощь студенту

т. е. принцип неразличимости тождественных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции. Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется cимметричной, если меняет — антисимметричной.

Изменение знака волновой функции не означает изменения состояния, так как физический смысл имеет лишь квадрат модуля волновой функции. В квантовой механике доказывается, что характер симметрии волновой функции не меняется со временем.

Это же является доказательством того, что свойство симметрии или антисимметрии — признак данного типа микрочастиц.

Установлено, что симметрия или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц. В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса.

Частицы с полуцелым спином (например, электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми — Дирака; эти частицы называются фермионами. Частицы с нулевым или целочисленным спином (например, p-мезоны, фотоны) описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна; эти частицы называются бозонами.

Сложные частицы (например, атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, являются фермионами (суммарный спив — полуцелый), а из четного — бозонами (суммарный спин целый).

Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов - в помощь студенту

Зависимость характера симметрии волновых функций системы тождественных частиц от спина частиц теоретически обоснована швейцарским физиком В. Паули (1900—1958), что явилось еще одним доказательством того, что спин является фундаментальной характеристикой микрочастиц.

Принцип Паули. Распределение электронов в атоме по состояниям

Если тождественные частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно перестановки частиц.

Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, так как для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной. Обобщая опытные данные, В.

Паули сформулировал принцип, согласно которому системы фермионов встречаются в природе только в состояниях, описываемых антисимметричными волновыми функциями (квантово-механическая формулировка принципа Паули).

Из этого положения вытекает более простая формулировка принципа Паули, которая и была введена им в квантовую теорию (1925) еще до построения квантовой механики: в системе одинаковых фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии. Отметим, что число однотипных бозонов, находящихся в одном и том же состоянии, не лимитируется.

Напомним, что состояние электрона в атоме однозначно определяется набором четырех квантовых чисел:

Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов - в помощь студенту

Распределение электронов в атоме подчиняется принципу Паули, который может быть использован в его простейшей формулировке: в одном и том же атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел п, l, ml и тs т. е.

Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов - в помощь студенту

где Z(п, l, ml, тs) — число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемом набором четырех квантовых чисел: п, l, ml, тs. Таким образом, принцип Паули утверждает, что два электрона, связанные в одном и том же атоме, различаются значениями по крайней мере одного квантового числа.

Согласно формуле (223.8), данному n соответствует n2 различных состояний, отличающихся значениями l и ml. Квантовое число тs может принимать лишь два значения (± ½). Поэтому максимальное число электронов, находящихся в состояниях, определяемых данным главным квантовым числом, равно

Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов - в помощь студенту

Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число n, называют электронной оболочкой. В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам, соответствующим данному l.

Поскольку орбитальное квантовое число принимает значения от 0 до n–1, число подоболочек равно порядковому номеру n оболочки. Количество электронов в подоболочке определяется магнитным и магнитным спиновым квантовыми числами: максимальное число электронов в подоболочке с данным l равно 2(2l+1).

Обозначения оболочек, а также распределение электронов по оболочкам и подоболочкам представлены в табл. 6.

Таблица 6

Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов - в помощь студенту

Применение уравнения Шредингера к частице в потенциальном ящике и к линейному гармоническому осциллятору. Уровни энергии и волновые функции. Нулевая энергия колебаний. Возможность прохождения частицы через потенциальный барьер в квантовой механике (тунельный эффект). Автоэлектронная эмиссия.

Операторы в квантовой механике. Эрмитовы операторы. Изображение физических величин операторами. Собственные функции и собственные значения операторов. Основные постулаты квантовой механики. Средние значения и вероятности определенных значений механических величин.

Операторы момента импульса и его проекции.

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://poisk-ru.ru/s22019t14.html

Физики нашли способ измерить симметрию волновой функции

Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов - в помощь студенту

C. F. Roos / Phys. Rev. Lett

Изменение фазы волновой функции при перестановке местами двух бозонов или фермионов можно измерить напрямую, хотя раньше его наблюдали только косвенно. В новой работе физики предложили две схемы экспериментов по измерению фазы обмена, в которых исходные состояния модифицируют разными способами. Статья опубликована в Physical Review Letters.

В квантовой механике волновая функция системы из одинаковых (то есть принципиально неразличимых) частиц может быть либо симметричной относительно перестановок частиц (если мы имеем дело с бозонами), либо антисимметричной (для фермионов). Это так называемый постулат симметризации (symmetrization postulate). В принципе, возможна и более сложная квантовая статистика, но для известных на данный момент элементарных частиц она не реализуется.

На самом элементарном уровне симметрия волновой функции проявляется, когда мы переставляем две одинаковые частицы. В этом случае фаза волновой функции сдвигается на некоторую величину (фазу обмена, exchange phase), равную π для фермионов и нулю для бозонов.

Такие эффекты возникают, например, в молекулах двухатомного газа (азота, кислорода и так далее). Из-за них некоторые вращательные состояния молекул оказываются запрещены, и это можно измерить экспериментально. Тем не менее, напрямую фазу обмена еще не наблюдали.

В данной работе физики предложили схему двух экспериментов, в которых ее можно измерить непосредственно.

Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов - в помощь студенту

Принципиальная схема опыта

C. F. Roos / Phys. Rev. Lett

Общая схема опытов выглядит следующим образом. Изначально имеется две одинаковых, но принципиально различимых (поэтому симметрия здесь не сказывается) частицы, которые удерживаются с помощью связывающего потенциала так, чтобы их волновые функции практически не перекрывались. Затем потенциал модифицируют так, что исходное состояние разбивается на два: на контрольное состояние и на состояние, в котором частицы поменялись местами. После ученые смотрят, как эти два состояния интерферируют, измеряют корреляцию волновых функций и определяют отсюда фазу обмена.

Физики предлагают два способа реализовать такой эксперимент. В первом способе волновая функция системы разбивается на четную и нечетную часть, и потенциал по-разному действует на них.

В результате фазы волновых функций изменяются на некоторую общую величину φ, регулируемую в эксперименте, но фаза нечетной части дополнительно смещается на величину φex, которая зависит от природы частиц. Сравнивая волновые функции и измеряя их корреляцию для разных значений φ, можно определить φex.

Экспериментально проверить эту схему можно с помощью интерферометра Рамзея (two-particle Ramsey interferometer), в котором пара нейтральных атомов движется в оптической решетке. В качестве бозонов можно взять атомы рубидия или цезия, а для фермионов — щелочноземельные металлы.

Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов - в помощь студенту

Схема двухчастичного интерферометра Рамзея, позволяющего измерить фазу обмена

C. F. Roos / Phys. Rev. Lett

Другой способ заключается в том, что под действием внешнего потенциала две частицы образуют связанную систему, напоминающую двухатомную молекулу. Медленно меняя потенциал, можно заставить ее вращаться.

В результате четность состояния будет изменяться, причем по-разному для бозонов и фермионов, что можно измерить с помощью разработанных методов анализа двухатомных молекул.

Читайте также:  Плоский метан - в помощь студенту

Реализовать этот опыт ученые предлагают с помощью радиочастотной ловушки (radiofrequency trap), в которой два иона помещены в гармонический потенциал и удерживаются в нем силами взаимного отталкивания. В качестве фермионов можно использовать ионы 40Ca+, а в качестве бозонов — 43Ca+.

Влияние симметрии волновой функции на наблюдаемые величины демонстрировалось ранее в экспериментах по интерференции по схеме Хонга-У-Мандела в системах из нескольких частиц и многочастичных системах ультрахолодных квантовых газов.

Также спектроскопические эксперименты с высокой точностью исследовали постулат симметризации для массивных частиц и фотонов.

Тем не менее, прямые наблюдения (с помощью интерференции) фазы обмена для системы из двух частиц ранее не проводились.

Подробнее прочитать про фазу волновой функции и когерентность можно в нашем интервью с сотрудником Российского квантового центра Алексеем Федоровым.

Дмитрий Трунин

Источник: https://nplus1.ru/news/2017/10/18/phase-measurements

Законы сохранения, симметрия и инвариантность в физике

В основе фундаментальных физических теории лежат основные исходные положения, понятия и физические величины, количественно характеризующие состояние объектов и процессы. Физические процессы сопровождается изменениям некоторых физических величин.

Развитие физической науки показало, что особенно важное значение имеют сохраняющиеся величины, то есть величины, которые при определенных условиях не изменяются. В науку вошло понятие законов сохранения, то есть законов, утверждающих неизменность определенных физических величин. Открытие законов сохранения тесно связано с историей всего естествознания.

Первые идеи о сохранении материи и движения встречаются еще в трудах натурфилософов античного периода. [3, с. 7] Формирование и развитие основных понятий классической механики сопровождалась утверждением количественных формулировок законов сохранения физических величин. С развитием физики количество сохраняющихся величин и соответственно количество законов сохранения увеличивается.

Однако, как показали исследования, не все законы сохранения равнозначны. Известные в настоящее время законы сохранения можно разделить на два вида: универсальные (всеобщие) и частные. Универсальные (общие) законы выражают универсальные отношения между всеми существующими явлениями. Соответствующие этим законам физические величины выполняются для всех объектов и процессов.

К ним относятся известные из школьного курса физики законы сохранения энергии, импульса, момента импульса и некоторые другие. Частные (специфические) законы сохранения действуют в какой-то конкретной области.

Законы сохранения физических величин тесно связаны с понятиями симметрии и инвариантности. Физическая система характеризуется некоторыми величинами. Физические законы устанавливают связь между этими величинами или их изменениями.

Если законы не изменяются при определенных операциях (преобразованиях), то это означает, что эти законы инвариантны, то есть обладают симметрией относительно данных преобразований. В общем случае эти операции (преобразования) могут быть различными. Преобразования симметрии образуют группу.

В настоящее время рассматривается симметрия законов физики относительно нескольких общих преобразований. Согласно [4, с. 744] они могут быть представлены в четырех группах:

  1. непрерывные преобразования пространства – времени;
  2. дискретные преобразования пространства – времени;
  3. симметрия относительно перестановки одинаковых частиц;
  4. внутренние симметрии.

Следствием первой группой преобразований симметрии являются законы сохранения энергии, импульса, момента импульса и принцип относительности, то есть принцип эквивалентности всех ИСО. Эти законы и соответствующие им свойства симметрии пространства-времени рассматривались в классической физике и подробно изучаются в курсе общей физики.

В процессе обучения следует обратить внимание на то, что рассматриваемая инвариантность может носить ограниченный характер. Однородность и изотропность пространства и однородность времени, следствием которых являются законы сохранения энергии, импульса, момента импульса и принцип относительности относятся к модели изотропной Вселенной.

Если Вселенная окажется существенно неоднородной, то законы природы в ее удаленных частях могут отличаться от известных.

В неоднородной и нестационарной Вселенной экспериментатор может, находясь в закрытой кабине, по характеру протекания явления, процесса определить в каком месте Вселенной он находится (в центре или на некотором расстоянии от него, или у границ) и в какую эпоху расширения Вселенной он проводит эксперимент. [1, с. 10]

Создание, релятивистской квантовой теории и исследования в области микромира сопровождалось обнаружением второй группы симметрии, дискретным преобразованиям пространства – времени, которым соответствует закон сохранения четности. Этот закон связан с операциями инверсии.

 К этой группе симметрии относится симметрия СРТ, которая включает в себя одновременные преобразования: Р – пространственная инверсия, Т – обращения времени, С – замена частиц на античастицы.

Теорема СРТ утверждает, что уравнения квантовой теории поля инвариантны, то есть не изменяют своего вида, относительно этих трех преобразований.

Это означает, что если в некотором процессе, частицы заменить на античастицы, проекции их спинов противоположны, а начальные и конечные состояния поменять местами, то вероятность процесса не изменяется.

Следствием теоремы СРТ является также равенство масс и времени жизни частиц и соответствующих им античастиц и различия их электрических зарядов и магнитных моментов только по знаку; взаимодействие частицы и античастицы с гравитационным полем одинаково (нет антигравитона).

Нарушений теоремы СРТ до настоящего времени не обнаружено. [4, с. 744] Симметрия относительно преобразований С, Р, Т может проявляться отдельно в процессах, обусловленных сильным и электромагнитным взаимодействиями. В процессах слабого взаимодействия сохраняется симметрия относительно обращения времени (Т-симметрия). Симметрия относительно пространственной инверсии и зарядового сопряжения нарушается, но сохраняется симметрия СР – комбинированная инверсия. При этом нарушение СР – инвариантности наблюдалось как исключение.

Рассмотрим более подробно закон сохранения четности, который представляет особый интерес в микромире и является следствием право-левой симмтерии и волновых свойств частиц. [6, с. 104] Право-левая симметрия – это зеркальная симметрия, симметрия между объектом  и его зеркальным отражением.

Зеркальное отражение – это математическая операция замены вектора  на -, то есть операция  . Это операция инверсии относительно начало координат. В физической науке постулировалась симметрия между физическими законами, являющимися зеркальным отражением друг друга. Это означает что при операции зеркального отражения физические законы не изменяются.

Инвариантность относительно зеркального отражения в классической механике к закону сохранения не приводит. Поэтому известная и в классической физике симметрия зеркального отражения практического значения не имела и не использовалась.

В квантовой механике дело обстоит иначе, так как право- левой симметрии в физике частиц, обладающих волновыми свойствами, соответствует новый закон сохранения. Его существование связано с возможностью образовывать в квантовой механике суперпозицию данного состояния с состоянием, получаемым из исходного путем зеркального отражения, то есть операции .

Симметрии правого и левого в квантовой физике соответствует закон сохранения четности. Исследования показали что при зеркальном отражении, то есть операции инверсии в начале координат волновая функция частицы или не изменяется (четная функция), или изменяется по знаку (нечетная функция)

Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов - в помощь студенту

Другими  словами, возможны два случая:

Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов - в помощь студенту — четная функция, Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов - в помощь студенту — нечетная функция

Закон сохранения четности утверждает, что при всех изменениях состояний физической системы характер симметрии ее волновой функции сохраняется. Закон сохранения четности является одним из самых общих законов природы.

В 1956 году было обнаружено, что некоторые процессы не подчиняются закону сохранения чётности.

Этим удивительным свойством обладают так называемые слабые взаимодействия, ответственные за медленные распады элементарных частиц, в частности за –распад нейтрона.

Введенная таким образом четность является кванто-механической харакетристикой элементарных частиц. Это пространственная четность, обозначаемая Р. Четность характеризует симметрию волновой функции, элементарные частицы или системы частиц относительно зеркального отражения то есть при операции .

Четность может быть или положительной или отрицательной. Если волновая функция знака не меняет, то четность частицы Р=+1, если знак изменяется, то четность Р=-1. Четность подчиняется закону сохранения который выполняется в процессах сильного и электромагнитного взаимодействии.[5, с.

 201] Рассмотренная зеркальная симметрия, пространственная инверсия (Р) дополняется другими видами симметрии и соответствующими им законами сохранения.

  • Симметрия относительно замены , инверсия знака времени (Т) – закон сохранения временной четности.
  • Симметрия относительно замены частиц на античастиц, инверсия знака заряда (С) – закон сохранения зарядовой четности.
  • Симметрия относительно одновременно выполняемого зеркального отображения и замены частиц на античастицы, одновременная инверсия (СР) – закон сохранения комбинированной четности.

Закон сохранения четности по существу утверждает, что природа в своей основе зеркально-симметрична: микропроцессы могут протекать и так, как они представляются отраженными в зеркале.

Третья группа симметрии также связана с признанием волновых свойств частиц в квантовой механике, что сопровождалось признанием принципа тождественности, то есть неразличимости одинаковых частиц. Этот принцип является следствием симметрии волновой функции относительно перестановки одинаковых частиц.

Эта функция   является или симметричной (не изменяется) относительно перестановки любой пары одинаковых частиц с целочисленным спином (бозоны), или антисимметрична (изменяется по знаку) относительно такой перестановки частиц с полуцелым спином (фермионы).

В курсе статистической физики студенты изучают законы распределения вероятности состояний классических частиц и частиц, обладающих волновыми свойствами (квантово-механических частиц). Характер симметрии волновой функции принципиально влияет на вид функций распределения.

Это входящие в содержание обучения функции распределения Бозе-Эйнштейна для бозонов, Ферми-Дирака для фермионов и Максвелла-Больцмана для классических частиц, то есть для системы частиц в условиях, когда волновые свойства не проявляются. [4, с. 68]

Внутренние симметрии (4-ая группа), также как и другие группы симметрии являются следствием некоторой группы преобразовании. Это более сложные симметрии. Они отличных от пространственно – временных, геометрических.

Примером такой симметрии является изучаемая в школьном курсе физики зарядовая независимость ядерных сил, то есть сильного взаимодействия: взаимодействия в парах, протон-протон (Р,Р), протон-нейтрон (Р, n), нейтрон-нейтрон (n, n) одинаково.

На малых расстояниях сильное взаимодействие в десятки тысяч раз больше электромагнитного. Поэтому наличие или отсутствие электрического заряда на интенсивности взаимодействия нуклонов в ядре не проявляется. Протон и нуклон симметричны относительно сильного взаимодействия.

Группы одинаково взаимодействующих частиц называется изотопическими мультиплетами. Пара (P,n) образуют группу изотопического дублета, мезоны образуют изотопический триплет. В такие группы можно собрать все элементарные частицы.

Читайте также:  Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Изотопические мультиплеты объединяются в семейства сверхмультиплетов, а затем в супермультиплеты с одинаковыми барионными зарядами, спином, четностью. В таких группах могут быть частицы с различным электрическим зарядом и разной величиной странности. [2, с. 11]

Список литератур:

  1. Вингер Е., Этюды о симметрии. – М.: Мир, 1971. – 318 с.
  2. Владимиров С.А., Карев М., кварки и элементарные частицы, Новое в жизни, науке технике, Серия 9, Физика. Математика. Астрономия. — М.: Знание, 1965 г. – 32 с.
  3. Гельфер Я.М., Законы сохранения. – М.: Наука, 1967. – 262с.
  4. Гл. ред. Прохоров А.М. Физический энциклопедический словарь. – М.: Советская энциклопедия, 1938. – 1965 с.
  5. Трофимова Т.И. Основы физики: Атом, атомное ядро и элементарные частицы: в 5 кн. – М.: Высш. шк., 2007. – Кн. 5. – 215 с.
  6. Шпольский Э. В. Атомная Физика: в 2 т. – М.: Наука, 1984. – Т. 1. – 552 с.

Источник: https://sibac.info/studconf/tech/lxxv/134671

Перестановочная симметрия. Бозоны и фермионы

Рассмотрим систему, состоящую из N одинаковых частиц, например, электронную систему атома или молекулы. В момент времени t0 пронумеруем все электроны. Из-за отсутствия траектории электронов принципиально невозможно сохранить их нумерацию в будущий момент времени t. Поэтому в квантовой механике одинаковые частицы физически неразличимы. Это утверждение и составляет смысл принципа тождественности одинаковых частиц.

Для его количественного описания вводится оператор перестановки координат пары частиц:

Таким образом, перестановочная симметрия, связанная с принципом тождественности одинаковых частиц, приводит к чисто квантовому закону сохранения – сохранению собственных значений оператора перестановки координат пары частиц, – который не имеет аналога в классической механике.

Рассмотрим систему из двух одинаковых частиц. По определению, действие оператора перестановки состоит в следующем:

Существование двух противоположных по знаку собственных значений оператора перестановки приводит к двум различным видам волновых функций, описывающих системы одинаковых частиц: симметричных и антисимметричных.

, (4)

то она является симметричной относительно перестановки координат пары частиц, а если меняет знак, т.е. :

  • , (5)
  • то волновая функция системы является антисимметричной относительно перестановки координат пары частиц.
  • Закон сохранения собственных значений оператора перестановки состоит в том, что если в данный момент времени состояние системы описывается симметричной (антисимметричной) волновой функцией, то это свойство симметрии состояния будет сохраняться сколь угодно долго.
  • Симметричные и антисимметричные волновые функции описывают системы, состоящие из двух различных сортов частиц: бозонов (частиц с целочисленным значением спинового числа) и фермионов (частиц с полуцелым спином) соответственно.

Важнейшими примерами бозонов являются кванты физических полей – переносчиков фундаментальных взаимодействий – фотоны, гравитоны, глюоны, промежуточные бозоны, а также ядра с чётным количеством нуклонов и т.д. Примеры фермионов – кварки, нуклоны, электроны, ядра с нечётным числом нуклонов и т.д.

Системы из большого количества одинаковых частиц, бозонов и фермионов, подчиняются различным квантовым статистическим распределениям частиц по энергиям, Бозе-Эйнштейна или Ферми-Дирака соответственно, и обладают совершенно различными физическими свойствами.

Принцип тождественности одинаковых частиц налагает определённые ограничения на принцип суперпозиции состояний: физический смысл имеют лишь такие линейные комбинации состояний, которые обладают необходимым (для данного сорта частиц) свойством симметрии относительно перестановки координат любой пары частиц.

  1. Принцип Паули
  2. Рассмотрим систему из двух слабо взаимодействующих фермионов. Волновую функцию такой системы можно представить в виде произведения одночастичных состояний
  3. , (1)

где nn2 – совокупность квантовых чисел, характеризующих два различных квантовых состояния. Функция (1) является частным решением уравнения Шрёдингера. Другим частным решением уравнения Шрёдингера может быть функция

  • , (2)
  • которая отличается от функции (1) перестановкой координат пары частиц относительно квантовых состояний n1 и n2.
  • Из принципа тождественности одинаковых частиц следует, что из функции (1) и (2) необходимо «сконструировать» линейные комбинации, обладающие требуемым свойством симметрии относительно перестановки координат пары частиц.
  • Для системы двух слабосвязанных фермионов, волновая функция системы должна быть антисимметричной
  • , (3)
  • где константа находится из условия нормировки.
  • Очевидно функцию (3) можно представить в виде определителя:
  • , (4)
  • который называется определителем Слэтера.
  • Для системы из N слабо взаимодействующих фермионов определитель Слэтера имеет вид:
  • . (5)

Если поменять местами (квантовыми состояниями) координаты любой пары частиц, то в определителе Слэтера (5) поменяются местами два столбца и определитель поменяет знак. Поэтому функция (5) является антисимметричной по отношению к перестановке координат любой пары частиц.

Если две частицы находятся в одинаковом квантовом состоянии, то это означает равенство строк определителя и определитель должен быть равен нулю, что означало бы отсутствие системы частиц. Отсюда следует принцип запрета Паули: в системе фермионов в одном квантовом состоянии может находиться не более одной частицы.

Источник: https://megaobuchalka.ru/5/47681.html

Однодетерминантное представление волновой функции

Основная идея метода Хартри — Фока основывается на предположении, которое высказывалось Нильсом Бором еще на начальном этапе развития квантовой механики: систему взаимодействующих электронов можно свести к системе невзаимодействующих, каждый из которых находится в некотором эффективном поле, создаваемом всеми остальными электронами. Д. Хартри схематично представил электростатическое взаимодействие электронов в следующем виде [201:

В результате такой замены можно разделить переменные в уравнении Шрёдингера и представить многоэлектронпую волновую функцию системы N электронов в виде произведения одноэлектронных волновых функций:

где М- число электронов в системе.

Следующий шаг к выводу уравнений для поиска одноэлектронных функций удается сделать, если учесть принцип тождественности микрочастиц: в системе одинаковых микрочастиц из-за их неразличимости полная волновая функция может быть либо симметричной, либо антисимметричной относительно перестановки любых пар частиц.

Одинаковыми частицами считаются такие, которые обладают одинаковой массой (/и), зарядом (е) и спином (.у). Симметричность или антисимметричность волновой функции зависит только от сорта частиц и не меняется со временем.

Электроны подчиняются статистике Ферми — Дирака, и их полная волновая функция должна быть антисимметричной относительно перестановки любых пар частиц системы.

В (1.3.3) Р — оператор перестановки электронов х1,х2,…,х1^. Суммирование в формуле (1.3.3) производится по всем N1 перестановкам. Знак плюс или минус, с которым данная перестановка входит в сумму, зависит от четности или нечетности перестановки.

Применяя оператор А к произведению одноэлектронных функций в (1.3.2), получаем

Определитель вида (1.3.5) описывает распределение электронов по занятым состояниям, или, другими словами, основную конфигурацию рассматриваемой системы — атома. Так как в нерелятивистском приближении в гамильтониане нет членов, зависящих от спиновых переменных, одноэлектронную волновую функцию можно представить в виде произведения пространственной и спиновой функций

Вопрос о построении волновой функции с правильными свойствами симметрии как собственной функции оператора квадрата углового момента и его проекции на ось ъЬ,, квадрата полного спина 52 и проекции полного спина 5. довольно сложен [11, 62, 63], и мы в рамках данной книги не будем его затрагивать.

Ограничимся только замечанием, что в общем случае правильная волновая функция представляется линейной комбинацией детерминантов.

Поскольку основная наша задача связана с исследованием сложных систем — молекул, кластеров и наночастиц, мы будем использовать самые простые модели, и для наших целей достаточно ограничиться одноконфигурационным, или, другими словами, однодетерминантным приближением.

Источник: https://ozlib.com/828311/himiya/odnodeterminantnoe_predstavlenie_volnovoy_funktsii

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Cтраница 1

Свойство симметрии волновых функций связано СЃ определением возможных состояний системы. Согласно принципу Паули, полная волновая функция РґРІСѓС… электронов должна быть антисимметричной.  [1]

  • Свойство симметрии волновых функций системы РЅРµ может измениться Рё внешним возмущением, так как вследствие одинаковости частиц внешнее возмущение всегда симметрично РїРѕ отношению Рє перестановкам пар частиц.  [2]
  • Свойство симметрии волновых функций системы РЅРµ может Р�змениться Рё внешним возмущением, так как вследствие одинаковости частиц внешнее возмущение всегда симметрично РїРѕ ojr — ношению Рє перестановкам пар частиц.  [3]
  • Применяя свойства симметрии волновых функций, РјС‹ можем непосредственно вывести несколько правил отбора для переходов РІ двухатомных молекулах.  [4]
  • Это свойство симметрии волновой функции для тождественных частиц известно РёР· квантовой механики.  [5]

Эти свойства симметрии волновых функций и принцип Паули являются существенной частью квантовой механики.

Надеюсь, что СЏ убедил вас РІ том, что РѕРЅРё выведены путем долгого индуктивного процесса, РІ котором вспышки воображения сменялись усиленным наблюдением Рё интерпретацией фактов.  [6]

Xs), которые Рё определяют свойства симметрии волновой функции.  [7]

Предпосылкой для ее применения является знание свойств симметрии волновых функций молекулы.

Последние определяются геометрией и симметрией молекулы.

Для характеристики молекулярной симметрии необходимо знать элементы симметрии Рё связанные СЃ РЅРёРјРё операции симметрии.  [9]

Заложенная в описанных обозначениях информация о свойствах симметрии волновых функций весьма существенна.

Напомним, что лишь орбитали, обладающие общими элементами симметрии в пределах одной группы симметрии, имеют отличное от нуля перекрывание волновых функций.

Следовательно, только такого типа АО способны сочетаться, образуя молекулярные орбитали.

Учет этой важнейшей закономерности позволяет РІ симметричных системах получать РІРёРґ РњРћ, построенных РІ РІРёРґРµ линейных комбинаций РђРћ, без проведения прямых расчетов. РњС‹ неоднократно используем эту возможность ниже.  [11]

Правила отбора зависят РѕС‚: 1) свойств симметрии волновых функций состояний, между которыми РїСЂРѕРёСЃС…РѕРґРёС‚ переход, 2) оператора перехода ( электрического или магнитного дипольного или квадрупольного моментов перехода, РѕРґРЅРѕ — или двухквантовых переходов) Рё его симметрии.  [12]

Ядро обладает еще одной характеристикой, связанной со свойствами симметрии волновой функции и называющейся четностью.

Говорят, что система является четной или нечетной РІ зависимости РѕС‚ того, остается ли неизменным или меняется знак волновой функции, описывающей систему, РїСЂРё перемене знаков всех пространственных координат РЅР° обратные.  [13]

Читайте также:  Скептицизм - в помощь студенту

РџСЂРё учете взаимодействия электронов обменное вырождение отсутствует, РЅРѕ свойства симметрии волновых функций сохраняются, поскольку РѕРЅРё являются следствием тождественности частиц, которая соблюдается Рё РїСЂРё взаимодействии. Принцип Паули: полная волновая функция электронов должна быть антисимметричной функцией относительно перестановки любой пары электронов. Обменная энергия взаимодействия является кулоновской энергией, возникающей благодаря квантовому эффекту обмена электронов между различными состояниями.  [14]

Для оценки интегралов подобного типа часто бывает достаточно знаний свойств симметрии волновых функций, в частности свойств симметрии сферических функций.

Отметим, что суперпозиция состояний с различными /, не обладающая определенной четностью, может представлять состояния с не равным нулю дипольным моментом.

Такие гибридизированные волновые функции часто используются РІ квантовой С…РёРјРёРё.  [15]

Страницы:      1    2    3

Источник: https://www.ngpedia.ru/id412529p1.html

Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов

Пусть система, содержит две одинаковые цы. В стационарном состоянии волновая функция от времени не зависит, представим её как: psi (q_1, q_2) . При ϶том если не учитываются спины ц q_1 — три пространственные координаты однои̌ цы, q_2 — координаты второй цы. (Если требуется учесть спин, то к пространственным координатам добавляют спиновые координаты).

Проведем перестановку ещё раз, получим:

Из выражения (2) следует, что {hat{P}}^2=1 , значит hat{P}=pm 1. Значит, допустимыми являются волновые функции видов:

Если волновая функция неизменна (3) при перестановке ц, её называют симметричнои̌ (϶то обозначено индексом s ). Выражение (4) определение ассиметричнои̌ функции, такого рода функция у нас имеет индекс a . Она меняет знак в случае перестановки одинаковых ц.

Понятие 1

Частицы, состояния которых описываю при помощи симметричных волновых функций, называются бозе-цами (бозонами). Частицы, в описаниях которых применяют антисимметричные волновые функции — фермионы (цы ферми).

Сделаем обобщение системы ᴎɜ N ц. psi -функция системы ᴎɜ N ц:

Электроны являются фермионами, следовательно, их состояния описываются при помощи антисимметричных волновых функций. В выражении (5) обозначаем совокупность всœех координат и всœех спиновых переменных как q_i данных N электронов.

  • Если рассмотреть систему невзаимодействующих фермионов, то антисимметричная волновая функция систему, состоящую ᴎɜ N ц, можно описать в виде:
  • Рисунок 1.

где psi_ileft(q_i
ight) — волновые функции, описывающие поведение однои̌ цы. Волновая функция множества ц, записанная в виде (6) названа детерминантом Слэтера.

При использовании детерминантнои̌ записи перестановки ц то самое, что перестановки двух столбцов в определителе (6).

Мы помним, что перестановка столбцов изменит знак детерминанта, что будет соответствовать тому, что волновая функция антисимметричнои̌.

Если одинаковые электроны не взаимодействуют, то можно рассматривать не только состояние системы в целом, но и говорить о состоянии однои̌ цы.

Так, говорят: одна ца пребывает в состоянии psi_a, а другая — в psi_b . В системе одинаковых фермионов, к которым относятся электроны, не может быть двух ц, которые находились бы в одном и том состоянии.

Данный постулат называют принципом или запретом Паули.

В смысле ясности и точности принцип Паули проигрывает принципу антисимметрии волновых функций. Принцип Паули сформулирован состояний отдельных ц, тогда как принцип антисимметрии выполняется при наличии взаимодействия ц. Принцип антисимметрии волновых функций фермионов иногда называют обобщенным принципом Паули.

Сформулируем требование: Система ᴎɜ N электронов должна иметь определенный суммарный спин. Вспомним, что одного электрона любой оператор, который действует на спиновую переменную можно представить как линейную комбинацию трех операторов: {sigma }_x,{sigma }_y,{sigma }_z . При ϶том выполняются равенства:

  1. Рисунок 2.
  2. где r — система 3 пространственных координат, sigma — спиновая переменная, принимающая два значения (например, sigma =1 и sigma =-1 ). Рассматривая волновую функцию как состоящую ᴎɜ двух компонент ( psi left(r,1
    ight) и psi left(r,-1
    ight) ) можно записать:
  3. Рисунок 3.
  4. При ϶том операторы:
  5. будут удовлетворять перестановочным соотношениям:
  6. Рисунок 4.

Перестановочные соотношения (10) определяют свойства момента количества движения (в единицах hbar ). Их можно считать операторами компонент собственного момента количества движения электрона. Если электронов много, то операторы {sigma }_{lx},{sigma }_{ly},{sigma }_{lz} , действующие на спиновую переменную электрона с номером l можно записать как:

  • Рисунок 5.
  • Операторы компонент спинового момента количества движения совокупности электронов (в единицах hbar ) выразим как:
  • Рисунок 6.
  • Данные операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям (10). Из них следует, что оператор:

будет коммутировать с каждым ᴎɜ операторов s_x , s_y, s_z . Собственные значения оператора равны s(s+1) , где s — равна половине целого неотрицательного числа. При известном s , собственные значения каждого ᴎɜ операторов s_x , s_y, s_z изменяются как:

Требование, чтобы система ᴎɜ N электронов имела определённый результирующий спин, можем записать как:

Пример 1

Задание: Покажите, что принцип запрета выражается в виде свойства антисимметрии волновой функции.

Решение:

Рассмотрим систему ᴎɜ двух электронов. Допустим, что положение электрона 1 определяется координатой x_1 , положение электрона 2 определяется координатой x_2. При ϶том волновая функция подобнои̌ системы будет записана как: psi left(x_1, x_2
ight). Переставим цы местами и запишем свойство антисимметрии волновой функции:

[psi left(x_1, x_2
ight)=-psi left(x_2, x_1
ight)left(1.1
ight).]

Если оба электрона находятся в одном месте, то:

[x_1=x_2=x_0left(1.2
ight).]

при ϶том волновая функция имеет вид: psi left(x_0, x_0
ight) . Следует отметить, что так как фермионов выполняется условие (1.1), то имеем:

[psi left(x_0, x_0
ight)=-psi left(x_0, x_0
ight)left(1.3
ight).]

Из всœех чисел такому выражению может удовлетворять только ноль.

Получается, что волновая функция системы ᴎɜ двух электронов, которая подчиняется принципу антисимметрии, равна нулю, когда координаты электронов одинаковы (в том числе и спины), следовательно, два электрона не могут да находиться слишком близко. Получаем, что свойство антисимметрии волновой функции в ϶том случае эквивалентно принципу запрета.

Пример 2

  1. Задание: В системе фермионов при перемене местами ц волновая функция изменяет знак, ϶то значит, что изменяется состояние системы?
  2. Решение:
  3. Изменение знака волновой функции на противоположный перемены состояния системы не означает, так как физический смысл в квантовой механике имеет не сама волновая функция, а квадрат её модуля.

Источник: http://referatwork.ru/info-lections-55/tech/view/2058_simmetriya_volnovoy_funkcii_otnositel_no_perestanovki_elektronov

Принцип тождественности частиц. Симметричные и антисимметричные волновые функции. Бозоны и фермионы, принцип Паули

Будем называть одинаковыми частицы, имеющие одинаковые массы, заряды, спины и т.д. Такие частицы в равных условиях ведут себя одинаковым образом, теряют свою индивидуальность.

Поэтому выполняется принцип тождественности частиц: состояния системы частиц, получающиеся друг из друга перестановкой тождественных частиц местами, нельзя различить ни в каком эксперименте и такие состояния следует рассматривать как одно и то же физическое состояние.

Рассмотрим систему из N невзаимодействующих частиц, обладающих спином. Волновая функция такой системы имеет вид . Введем обозначения: , тогда в новых обозначениях волновая функция примет вид:. Введем оператор перестановки двух частиц местами. Переставим, например, первую и вторую частицы:

С другой стороны, по определению оператора:

Подействуем на оператором дважды, тогда с учетом (1) получим , (3)

с учетом (2), получим:

Как следует из (3) и (4), должно выполняться равенство:

Опр. Функции, сохраняющие свое значение при перестановке аргументов, называются симметричными: . Функции, изменяющие знак при перестановке аргументов, называются антисимметричными: .

В релятивистской квантовой механике доказывается, что частицы с целым спином должны иметь симметричные волновые функции, а частицы с полуцелым спином – антисимметричные. Электроны имеют полуцелый спин, поэтому описываются антисимметричными волновыми функциями.

Частицы с целым спином называются бозонами, с полуцелым – фермионами. Примером бозона является фотон, примерами фермионов – электроны, протоны, нейтроны.

Рассмотрим систему из двух невзаимодействующих тождественных фермионов. Каждый из них описывается своей волновой функцией и . Построим из этих функций волновую функцию двух фермионов . Величина определяет вероятность совместного состояния двух фермионов, а величины и – вероятности для состояний для отдельных фермионов. Теорема об умножении вероятностей независимых событий будет выполняться, если двухчастичную волновую функцию записать в виде:

В силу тождественности фермионов эту функцию можно записать и в виде:

Так как волновая функция двух фермионов должна быть антисимметричной и следует учесть два варианта представления (5) и (6), то запишем двухчастичную функцию в виде:

где С – нормировочный множитель. Функцию (7) можно записать в виде определителя: . (8)

По аналогии с (8) можно записать волновую функцию для N невзаимодействующих фермионов:

Рассмотрим случай, когда два фермиона находятся в одинаковых состояниях. Это означает, что среди набора волновых функций две будут одинаковые, например и . Тогда в определителе (9) два столбца будут совпадать и определитель будет равен нулю. Т.е. такое состояние системы невозможно. Отсюда следует принцип Паули: два тождественных фермиона не могут находиться в одном квантовом состоянии.

Если рассмотреть систему из двух невзаимодействующих бозонов, то двухчастичная волновая функция бозонов запишется в виде:

По аналогии с (10) волновая функция N невзаимодействующих бозонов будет иметь вид:

где суммирование производится по всем перестановкам индексов i1i2….

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/2_59877_printsip-tozhdestvennosti-chastits-simmetrichnie-i-antisimmetrichnie-volnovie-funktsii-bozoni-i-fermioni-printsip-pauli.html

Ссылка на основную публикацию