Рациональные числа — в помощь студенту

Тема рациональных чисел достаточно обширна. О ней можно говорить бесконечно и писать целые труды, каждый раз удивляясь новым фишкам.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Чтобы не допускать в будущем ошибок, в данном уроке мы немного углубимся в тему рациональных чисел, почерпнём из неё необходимые сведения и двинемся дальше.

Что такое рациональное число

Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби  , где a — это числитель дроби, b — знаменатель дроби. Причем b не должно быть нулём, поскольку деление на ноль не допускается.

К рациональным числам относятся следующие категории чисел:

  • целые числа (например −2, −1, 0 1, 2 и т.д.)
  • обыкновенные дроби (например ,  ,    и т.п.)
  • смешанные числа (например ,  ,    и т.п.)
  • десятичные дроби (например 0,2 и т.п.)
  • бесконечные периодические дроби (например 0,(3) и т.п.)

Каждое число из этой категории может быть представлено в виде дроби .

Примеры:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Графы, деревья - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Пример 1. Целое число 2 может быть представлено в виде дроби . Значит число 2 относится не только к целым числам, но и к рациональным.

Пример 2. Смешанное число может быть представлено в виде дроби . Данная дробь получается путём перевода смешанного числа в неправильную дробь

Рациональные числа - в помощь студенту

Значит смешанное число относится к рациональным числам.

Пример 3. Десятичная дробь 0,2 может быть представлена в виде дроби . Данная дробь получилась путём перевода десятичной дроби 0,2 в обыкновенную дробь. Если испытываете затруднения на этом моменте, повторите тему десятичных дробей.

Поскольку десятичная дробь 0,2 может быть представлена в виде дроби , значит она тоже относится к рациональным числам.

Пример 4. Бесконечная периодическая дробь 0, (3) может быть представлена в виде дроби . Данная дробь получается путём перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь. Если испытываете затруднения на этом моменте, повторите тему периодические дроби.

Поскольку бесконечная периодическая дробь 0, (3) может быть представлена в виде дроби  , значит она тоже относится к рациональным числам.

В дальнейшем, все числа которые можно представить в виде дроби, мы всё чаще будем называть одним словосочетанием — рациональные числа.

Рациональные числа на координатной прямой

Координатную прямую мы рассматривали, когда изучали отрицательные числа. Напомним, что это прямая линия на которой лежат множество чисел. Выглядит следующим образом:

Рациональные числа - в помощь студенту

На этом рисунке приведен небольшой фрагмент координатной прямой от −5 до 5.

Отметить на координатной прямой целые числа вида 2, 0, −3 не составляет особого труда.

Намного интереснее дела обстоят с остальными числами: с обыкновенными дробями, смешанными числами, десятичными дробями и т.д. Эти числа лежат между целыми числами и этих чисел бесконечно много.

Например, отметим на координатной прямой рациональное число . Данное число располагается ровно между нулём и единицей

Рациональные числа - в помощь студенту

Попробуем понять, почему дробь  вдруг расположилась между нулём и единицей.

Как уже говорилось выше, между целыми числами лежат остальные числа — обыкновенные дроби, десятичные дроби, смешанные числа и т.д. К примеру, если увеличить участок координатной прямой от 0 до 1, то можно увидеть следующую картину

Рациональные числа - в помощь студенту

Видно, что между целыми числами 0 и 1 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь , которая расположилась там же, где и десятичная дробь 0,5. Внимательное рассмотрение этого рисунка даёт ответ на вопрос почему дробь расположилась именно там.

Дробь означает разделить 1 на 2. А если разделить 1 на 2, то мы получим 0,5

Десятичную дробь 0,5 можно замаскировать и под другие дроби. Из основного свойства дроби мы знаем, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то значение дроби не изменится.

  • Если числитель и знаменатель дроби умножить на любое число, например на число 4, то мы получим новую дробь , а эта дробь также как и  равна 0,5
  • А значит на координатной прямой дробь можно расположить там же, где и располагалась дробь

Рациональные числа - в помощь студенту

Пример 2. Попробуем отметить на координатной рациональное число . Данное число располагается ровно между числами 1 и 2

Рациональные числа - в помощь студенту

  1. Значение дроби равно 1,5
  2. Если увеличить участок координатной прямой от 1 до 2, то мы увидим следующую картину:

Рациональные числа - в помощь студенту

Видно, что между целыми числами 1 и 2 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь , которая расположилась там же, где и десятичная дробь 1,5.

Мы увеличивали определенные отрезки на координатной прямой, чтобы увидеть остальные числа, лежащие на этом отрезке. В результате, мы обнаруживали десятичные дроби, которые имели после запятой одну цифру.

Но это были не единственные числа, лежащие на этих отрезках. Чисел, лежащих на координатной прямой бесконечно много.

Нетрудно догадаться, что между десятичными дробями, имеющими после запятой одну цифру, лежат уже другие десятичные дроби, имеющие после запятой две цифры. Другими словами, сотые части отрезка.

К примеру, попробуем увидеть числа, которые лежат между десятичными дробями 0,1 и 0,2

Рациональные числа - в помощь студенту

Ещё пример. Десятичные дроби, имеющие две цифры после запятой и лежащие между нулём и рациональным числом 0,1 выглядят так:

Рациональные числа - в помощь студенту

Пример 3. Отметим на координатной прямой рациональное число . Данное рациональное число будет располагаться очень близко к нулю

Рациональные числа - в помощь студенту

  • Значение дроби равно 0,02
  • Если мы увеличим отрезок от 0 до 0,1 то увидим где точно расположилось рациональное число
  • Видно, что наше рациональное число расположилось там же, где и десятичная дробь 0,02.
  • Пример 4. Отметим на координатной прямой рациональное число 0, (3)
  • Рациональное число 0, (3) является бесконечной периодической дробью. Его дробная часть никогда не заканчивается, она бесконечная

0,33333….и так далее до бесконечности..

И поскольку у числа 0,(3) дробная часть является бесконечной, это означает, что мы не сможем найти точное место на координатной прямой, где это число располагается. Мы можем лишь указать это место приблизительно.

Рациональное число 0,33333… будет располагаться очень близко к обычной десятичной дроби 0,3

Данный рисунок не показывает точное место расположения числа 0,(3). Это лишь иллюстрация, показывающая как близко может располагаться периодическая дробь 0,(3) к обычной десятичной дроби 0,3.

Пример 5. Отметим на координатной прямой рациональное число . Данное рациональное число будет располагаться посередине между числами 2 и 3

это есть 2 (две целых) и (одна вторая). Дробь по другому ещё называют «половиной». Поэтому мы отметили на координатной прямой два целых отрезка и ещё половину отрезка.

  1. Если перевести смешанное число в неправильную дробь, то получим обыкновенную дробь . Эта дробь на координатной прямой будет располагаться там же, где и дробь
  2. Значение дроби равно 2,5
  3. Если увеличить участок координатной прямой от 2 до 3, то мы увидим следующую картину:
  4. Видно, что наше рациональное число  расположилось там же, где и десятичная дробь 2,5

Минус перед рациональным числом

В предыдущем уроке, который назвался умножение и деление целых чисел мы научились делить целые числа. В роли делимого и делителя могли стоять как положительные, так и отрицательные числа.

  • Рассмотрим простейшее выражение
  • (−6) : 2 = −3
  • В данном выражении делимое (−6) является отрицательным числом.
  • Теперь рассмотрим второе выражение
  • 6 : (−2) = −3

Здесь уже отрицательным числом является делитель (−2). Но в обоих случаях мы получаем один и тот же ответ −3.

  1. Учитывая, что любое деление можно записать в виде дроби, мы можем рассмотренные выше примеры также записать в виде дроби:
  2. А поскольку в обоих случаях значение дроби одинаково, минус стоящий либо в числителе либо в знаменателе можно сделать общим, поставив его перед дробью
  3. Поэтому между выражениями      и    и    можно поставить знак равенства, потому что они несут одно и то же значение
  4. В дальнейшем работая с дробями, если минус будет нам встречаться в числителе или в знаменателе, мы будем делать этот минус общим, ставя его перед дробью.

Противоположные рациональные числа

Как и целое число, рациональное число имеет своё противоположное число.

Например, для рационального числа противоположным числом является . Располагается оно на координатной прямой симметрично расположению   относительно начала координат. Другими словами, оба этих числа равноудалены от начала координат

Перевод смешанных чисел в неправильные дроби

Мы знаем что для того, чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить к числителю дробной части. Полученное число будет числителем новой дроби, а знаменатель остаётся прежним..

  • Например, переведём смешанное число   в неправильную дробь
  • Умножим целую часть на знаменатель дробной части и прибавим числитель дробной части:
  • (2 × 2) + 1
  • Вычислим данное выражение:
  • (2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5
  • Полученное число 5 будет числителем новой дроби, а знаменатель останется прежним:
  • Полностью данная процедура записывается следующим образом:
  • Чтобы вернуть изначальное смешанное число, достаточно выделить целую часть в дроби
Читайте также:  Виды налоговых льгот - в помощь студенту

Но этот способ перевода смешанного числа в неправильную дробь применим только в том случае, если смешанное число является положительным. Для отрицательного числа данный способ не сработает.

Рассмотрим дробь . Выделим в этой дроби целую часть. Получим

  1. Чтобы вернуть изначальную дробь нужно перевести смешанное число   в неправильную дробь. Но если мы воспользуемся старым правилом, а именно умножим целую часть на знаменатель дробной части и к полученному числу прибавим числитель дробной части, то получим следующее противоречие:
  2. Мы получили дробь , а должны были получить дробь .
  3. Делаем вывод, что смешанное число в неправильную дробь переведено неправильно:
  4. Чтобы правильно перевести отрицательное смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части, и из полученного числа вычесть числитель дробной части. В этом случае у нас всё встанет на свои места
  5. Отрицательное смешанное число является противоположным для смешанного числа . Если положительное смешанное число располагается в правой части и выглядит так
  6. то отрицательное смешанное число будет располагаться в левой части симметрично относительное начала координат

И если читается как «две целых и одна вторая», то читается как «минус две целых и минус одна вторая». Поскольку числа −2 и располагаются в левой части координатной прямой — они оба являются отрицательными.

Любое смешанное число можно записать в развёрнутом виде. Положительное смешанное число в развёрнутом виде записывается как .

  • А отрицательное смешанное число записывается как
  • Теперь мы можем понять, почему смешанное число расположилось в левой части координатной прямой. Минус перед двойкой указывает, что мы сдвинулись от нуля на два шага влево, в результате оказались в точке, где находится число −2

Затем, начиная от числа −2 сдвинулись ещё влево на шага. А поскольку значение равно −0,5 то наш шаг будет половиной от полного шага.

  1. В итоге, мы окажемся посередине между числами −3 и −2
  2. Пример 2. Выделить в неправильной дроби целую часть, затем полученное смешанное число обратно перевести в неправильную дробь
  3. Выполним первую часть задания, а именно выделим в неправильной дроби целую часть
  4. Выполним вторую часть задания, а именно переведём полученное смешанное число в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель дробной части и из полученного числа вычтем числитель дробной части:

Если нет желания путаться и привыкать к новому правилу, то можно  смешанное число заключить в скобки, а минус оставить за скобкой. Тогда можно будет применить старое доброе правило: умножить целую часть на знаменатель дробной части и к полученному числу прибавить числитель дробной части.

  • Выполним предыдущее задание этим способом, а именно переведём смешанное число в неправильную дробь

Источник: http://spacemath.xyz/ratsionalnye-chisla/

Рациональные числа в математике

Рациональные числа - в помощь студентуРациональные числа - в помощь студенту

Рациональные числа - в помощь студенту

Рациональные числа можно обсуждать до бесконечности, находя новые фишки и допуская ошибки в понимании.

Во избежание проблем с такими числами стоит рассмотреть подробнее некоторые сведения о них. Это поможет усвоить материал и обеспечить необходимые познания в математике.

Что представляют собой

Для начала следует понимать, какие числа называются рациональными. Таковыми считаются дроби в виде числителя и знаменателя. Причем последний не должен быть равен нулю, поскольку деление на такое число считается недопустимым.

Рациональными могут обозначаться такие категории чисел:

Рациональные числа - в помощь студенту

  1. Целые числа, будь то положительные или отрицательные.
  2. Математические дробные выражения разных типов.
  3. Комбинация обыкновенных и дробных.
  4. Десятичные дроби.
  5. Бесконечные периодические дроби.

Все группы обозначенных выражений представляют в виде дроби a/b. Например, число 2 можно представить и в виде дроби 2/1, что позволяет отнести его как к целым, так и рациональным.

Аналогично в виде дробей можно представить смешанные и бесконечные периодические дроби. Потому для подобных выражений принято обозначение рациональные числа.

На координатной прямой

Ранее при изучении отрицательных чисел на школьных уроках вводилось понятие о координатной прямой. На такой линии лежат множество точек. Особенно трудно решать поиск дробей и смешанных показателей, так как они лежат между целыми в бесконечном количестве:

Рациональные числа - в помощь студенту

  • Например, дробь 0,5 располагается между нулем и единицей. Если увеличить интервал такой прямой, то легко увидеть дробные от 0,1 до 0,9, в середине же стоит ½. Аналогичным способом можно замаскировать и математические дроби вида 3/6, 4/8 и так далее.
  • Что касается дроби 3/2, то она расположена на арифметической линии между единицей и двойкой. Между ними в большом количестве располагаются десятичные дроби, в том числе искомая. Увеличение определенных отрезков дает представление о том, что еще лежит на координатной прямой между целыми. В результате появлялись выражения, имеющие после запятой один знак. И таких значений великое множество, в том числе между дробными.
  • А вот отыскать реальное место бесконечной периодической дроби можно лишь приблизительно, так как она идет до бесконечности. Можно найти много иллюстраций того, насколько близко может располагаться дробь в реальном выражении.

Потому при рассмотрении того, что значит рациональное число на координатных прямых, важно знать его вид и можно ли преобразовать в другое. Нередко требуется отыскать отдельное свойство или проиллюстрировать задачу с помощью конкретных отрезков.

Если стоит минус

Когда школьники проходили тему умножения и деления, то им стало известно: в роли делителей и делимых могут выступать как отрицательные, так и положительные выражения.

Рациональные числа - в помощь студенту

Так, вариации 6:-2=-3 и -6:2=-3 имеют одинаковый результат, хотя знак минус имеют разные части.

Так как каждое деление можно представить в виде дроби, то минус ставится в числителе или в знаменателе. Либо сделать его общим.

Между всеми тремя вариациями можно поставить знак равенства, так как их результатом является одно и то же число.

Каждый из рациональных показателей имеет противоположное.

Например, для дроби ½ таковым является -½ и ее вариации. Оба равноудалены по отношению к началу координат и располагаются посередине.

Перевод в дроби

Перевод смешанного выражения в неправильную дробь осуществляется с помощью умножения на знаменатель дробную часть и прибавить к числителю. Получившееся станет числителем новой дроби при прежнем знаменателе.

Рассматривать алгоритм можно на следующем простом примере:

Рациональные числа - в помощь студенту

  • Имеется 2,5, которое следует перевести в неправильную дробь.
  • Целый показатель нужно умножить на знаменатель дробной части и прибавить числитель этой же части.
  • Полученное значение можно вычесть как (2*2)+1=4+1=5.
  • 5 станет числителем, а знаменатель будет прежним и получится 5/2.
  • Вернуть начальное смешанное можно выделением целой части.

Однако такой способ не подойдет для отрицательного значения. Если воспользоваться прежним правилом и выделить целую часть, то можно получить противоречие вида: (-2*2)+½=-3/2, хотя требовалось получить -5/2.

Поэтому следует определить другой метод. Целая часть умножается на знаменатель дробной части. Из полученного значения вычитается числитель дробной части. И тогда получается правильный ответ.

Благодаря координатной прямой можно понять, почему смешанное -2,5 расположилось в левой части. Минус указывает на смещение влево в количестве двух шагов. Попадание произошло в точке -2. После чего сдвиг еще на полшага и середина между -3 и -2.

Сравнение чисел между собой

Из предыдущих уроков легко доказать, что чем правее расположено значение, тем оно больше. И наоборот, более левое положение говорит о том, что рассматриваемое значение меньше другого показателя.

Рациональные числа - в помощь студенту

Для подобных случаев, когда сравнение чисел достигается просто, имеется такое правило: из 2 чисел с положительными знаками большим является то, у которого больше модуль. А для отрицательных большим является такое, чей модуль меньше. Например, есть числа -4 и -2. При сравнении модулей между собой можно сказать, что -4 меньше -2.

При этом новички нередко допускают следующую ошибку: путают между собой модуль и непосредственно число. Ведь модуль -3 и модуль -1 не обозначает, что -3 больше -1, а наоборот. Это можно понять из координатной прямой, где первое стоит левее второго. Если требуется сравнивать значения, то важно обращать внимание на знаки. Минус говорит об отрицательности выражения и наоборот.

Некоторые примеры

Несколько сложнее относиться к смешанным числами, извлечению корня, дробным значениям. Понадобится изменить правила, поскольку изобразить их на координатной прямой не всегда представляется возможным. В связи с этим требуется сравнить их иными способами, нежели в школе:

Рациональные числа - в помощь студенту

  1. Например, имеются два отрицательных значения, а именно -3/5 и -7/3.
  2. Сначала находятся модули в виде 3/5 и 7/3, которые являются положительными.
  3. Потом каждый приводится к общему знаменателю, которым выступает 15.
  4. Исходя из правила для отрицательных значений, рациональное -3/5 больше -7/3, так как его модуль меньше.

Проще сравнивать модули целых частей, поскольку можно быстро ответить на поставленный вопрос. Известно, что целые части более важны по сравнению с дробями. Если отметить числа 15,4 и 2,1212, то целая часть первого числа больше второго, а значит и дробь.

Несколько сложнее обстоит дело с примером, где имеются значения -3,4 и -3,7. Модули целых чисел одинаковы, потому придется сравнивать еще и для рациональных значений. Тогда получается, что -3,4 больше -3,7, так как его модуль меньше.

При сравнении простой и периодической дроби последнюю следует перевести в стандартную. Так, 0,(3) становится 3/9. Сравнивая, переводят дроби к общему знаменателю 0,(3) и 4/8, получается 24/72 и 36/72. Естественно, что 24/72 < 36/72. То есть, модуль 4/8 больше модуля 0,(3), значит и оно само считается большим.

Рациональные числа являются обширной темой. Их изучение считается довольно сложным, требуя учесть немало нюансов и объяснений основных моментов, действий с арифметическими числами и так далее. Несмотря на кажущуюся простоту, программа определения того, какие числа являются рациональными и сравнения оных составляется с учетом наличия дробных частей, знаков после запятой и перед выражением.

От этого зависит поиск правильного ответа и решение общей задачи, включая поиски процентов и объемов.

Рациональные показатели могут относиться к помощникам в деле перехода к сложным разделам в данном курсе математики и дают представление о натуральных и десятичных числовых выражений в целом и в частности о необычных случаях.

Источник: https://nauka.club/matematika/ratsionalnye-chisla.html

Дипломная работа: Пропедевтика изучения рациональных чисел в курсе математики начальной школы

Рациональные числа - в помощь студенту

Тема: Пропедевтика изучения рациональных чисел в курсе математики начальной школы

Раздел: Бесплатные дипломные работы

Тип: Дипломная работа | Размер: 1.90M | Скачано: 240 | Добавлен 28.01.13 в 06:58 | Рейтинг: 0 | Еще ВКР и дипломы

  •  
  • Введение 3
  • Глава 1 Теоретические основы формирования понятия рационального числа в курсе математики начальной школы
  • 1.1 Исторический аспект происхождения дробей 5
  • 1.2 Понятие рационального числа и действий над рациональными числами в курсе математики 12

1.3. Положительные рациональные числа 17

1.4. Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел 24

Глава 2 Методические аспекты формирования понятия доли и дроби в курсе математики начальной школы 34

2.1. Методика формирования понятия доли и дроби в курсе математики начальной школы 34

  1. 2.2 Формирование понятия доли и дроби в вариативных программах обучения математики 46
  2. 2.3 Дидактическое обеспечение уроков математики в 4 классе по формированию понятия доли и дроби 57
  3. Заключение 70
  4. Список используемой литературы 72
  5. Введение
  6. В любой современной системе общего образования математика занимает одно из центральных мест, что несомненно говорит об уникальности этой области знаний.

История развития математики тесно связана с измерением величин. Однако, как показала практика, для этих целей натуральных чисел недостаточно; довольно часто единица величины не укладывается целое число раз в измеряемой величине.

Чтобы в такой ситуации точно выразить результат измерения, необходимо расширить запас чисел, введя числа, отличные от натуральных.

К этому выводу люди пришли еще в глубокой древности: измерение длин, площадей, масс и других величин привело к возникновению дробных чисел – что явилось основой введения понятия рационального числа.

 В V в. до н.э. математиками школы Пифагора было установлено, что существуют отрезки, длину которых при выбранной единице длины нельзя выразить рациональным числом. В связи с решением этой проблемы, появились числа иррациональные. Рациональные и иррациональные числа назвали действительными.

Действительные числа – не последние в ряду различных чисел. Процесс, начавшийся с расширения множества натуральных чисел, продолжается и сегодня – этого требует развитие различных наук и самой математики.

Понятие рационального числа в начальных классах в явном виде не вводится. На этом этапе изучения математики идет пропедевтическая работа, направленная на формирование данного понятия.  Младшие школьники знакомятся с понятием доли числа и с дробными числами.

Затем понятие дроби уточняется и расширяется в средней школе. В связи с этим учителю необходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правила выполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий.

Все это нужно не только для того чтобы математически грамотно ввести понятие доли и дроби и обучать младших школьников выполнять с ними простейшие действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множеств рациональных и действительных чисел с множеством натуральных чисел.

Без их понимания нельзя решить проблему преемственности в обучении математике в начальных и последующих классах школы.

  • Все вышеизложенное позволило нам определить тему выпускной квалификационной работы: «Пропедевтика изучения рациональных чисел в курсе математики начальной школы».
  • Объект исследования – процесс обучения математике в начальной школе.
  • Предмет исследования – пропедевтика формирования понятия рационального числа в курсе математики начальной школы.
  • Цель исследования – разработать и апробировать на практике дидактические материалы, способствующие формированию понятий доли и дроби в курсе математики начальной школы.
  • Гипотеза исследования: пропедевтическая работа, направленная на формирование понятия дроби как рационального числа будет успешной, если учитель:
  • — изучил теоретические основы введения понятия рационального числа в курсе математики;
  • — определил методику ознакомления младших школьников с понятиями доли и дроби;
  • — подобрал дидактические средства, способствующие формированию понятия доли и дроби в процессе обучения математики в четвертом классе.
  • В соответствии с целью и гипотезой были поставлены следующие задачи:
  • — выявить теоретические положения, лежащие в основе пропедевтике формирования понятия рационального числа на начальном этапе изучения математики;
  • — выявить методические приемы, способствующие формированию понятия доли и дроби на уроках математики;
  • — разработать и апробировать на практике методическое обеспечение уроков математики, направленных на пропедевтику формирования понятия рационального числа в курсе математики начальной школы.
  • Для решения поставленных задач использованы методы исследования: теоретический анализ психолого-педагогической и научно — методической литературы по проблеме исследования, опрос, опытно – практическая работа.
Читайте также:  Защита от несанкционированного доступа к информации - в помощь студенту

Экспериментальная база исследования: МОУ Борисоглебская СОШ № 11, 4 класса, учитель Энгель О.А.УМК «Школа России».

  1. Практическая значимость исследования состоит в формировании математического понятия дроби как рационального числа, подборе заданий, направленных на формирование дроби как рационального числа.
  2. Глава 1 Теоретические основы формирования понятия доли и дроби
  3. 1.1 Исторический аспект происхождения дробей

С возникновением представлений о целых числах возникали представления и о частях единицы, точнее, о частях целого конкретного предмета. С появлением натурального числа n возникло представление о дроби вида  , которая называется сейчас аликвотной, родовой или основной [21].

Исторически дроби возникли в процессе измерения. В основе любого измерения всегда лежит какая-то величина (длина, объем, вес и т.д.).

Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей.

Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей.

Так возникали первые конкретные дроби как определенные части каких-то определенных мер. Только гораздо позже названиями этих конкретных дробей начали обозначать такие же самые части других величин, а потом и абстрактные дроби.

Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Они остановили свое внимание на мере «асс», который у римлян служил основной единицей измерения массы, а также денежной единицей. Асс делился на двенадцать частей – унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 1/12, 2/12, 3/12…

Список используемой литературы

  1. Александрова Э.И. Математика // Программы для четырехлетней начальной школы: образовательная система Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова. М.: Издатель Рассказов, 2000. С. 48-76.
  2. Алышева ТВ. Изучение арифметических действий с обыкновенными дробями учащимися вспомогательной шкоды. //Дефектология. -1992. № 4. — С.25-27.
  3. Алышева ТВ. Система работы по изучению арифметических действий с обыкновенными дробями во вспомогательной школе.: Авгореф. Дис. Канд.пед.наук М, 1992. -16с.
  4. Андронов И.К. Арифметика дробных чисел и основных величин: Пособие для средних школ. М: Учпедгизу 1955.-344с.
  5. Андронов И.К. Окунев А.К. Арифметика рациональных чисел: Пособие для учителей -М: Просвещение, 1971.-399с.
  6. Аргинская И.И. Математика // Программы общеобразовательных учреждений. Начальные классы (1-4). По системе Л.В. Занкова. М.: Центр общего развития. 2000.С.87-125.
  7. Аргинская И.И., Дмитриева Н.Я., Полякова А.В., Романовская З.И. Обучаем по системе Л.В.Занкова/ И.И.Аргинская, Н.Я.Дмитриева, А.В.Полякова, З.И.Романовская/.- М., 1993.
  8. Артёмов А.К., Истомина Н.Б. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах/ А.К. Артёмов, Н.Б. Истомина- М., Воронеж, 1996
  9. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах/ М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова: учеб. пособ. для уч-ся шк. отд. пед. училищ. – М.: Просвещение, 1984
  10. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В., Степанова С.В. Методическое пособие к учебнику «Математика. 1 класс»: Пособие для учителя/М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.В. Степанова. – М.: Просвещение, 2001. – 64 с.
  11. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В., Степанова С.В. Методическое пособие к учебнику «Математика. 2 класс»: Пособие для учителя/М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.В. Степанова. – М.: Просвещение, 2002. – 96 с.
  12. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В., Степанова С.В. Методическое пособие к учебнику «Математика. 3 класс»: Пособие для учителя/М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.В. Степанова. – М.: Просвещение, 2001. – 64 с.
  13. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В., Степанова С.В. Методическое пособие к учебнику «Математика. 4 класс»: Пособие для учителя/М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.В. Степанова. – М.: Просвещение, 2001. – 64 с.
  14. Белошистая А.В. Счёт предметов. Программа авторского коллектива под руководством М.И. Моро 1 кл. / А.В. Белошистая // Вкладка к журн. «Начальная школа».-2007.- № 8.-с.31-32
  15. Белошистая А.В. Методический семинар: вопросы обучения решению задач. // Начальная школа.- №11.- 2003.- с.50-56.
  16. Белошистая А.В.Методика обучения математике в начальной школе. Курс лекций.М, 2007
  17. Буденная, Л.В. Сложение и вычитание дробных чисел и сказки А.С. Пушкина/ Л.В.Буденная // Математика 1999 г. №17 с.27
  18. Виленкин Н.Я., Пышкало А.Н. и др. Математика: Учеб. пособие для студентов пединститутов по специальности 2121- «Педагогика и методика начального обучения», – М.: Просвещение, 1977.
  19. Волков Д.А. Упражнения для устного счета по теме «Обыкновенные дроби». // Математика в шко. -1997. -№2.-С. 13-14.
  20. Грилю Л.А. Обучение письменным арифметическим действиям с десятичными дробями: Дис. канд пед, наук М, 1995. — С.54-58.
  21. Депман И.Я. История арифметики. М.: Просвещение, 1965. 415 с.
  22. Дорохов, Т.С. Дроби и проценты / Т.С.Дорохов//Математика1997 г. № 30 с.3
  23. Ивлиева, И.А.Как научить трудных подростков теме «Дроби»/ И.А.Ивлиева //Математика 1997 г. №36 с.4
  24. Ивашова, И. Все действия с обыкновенными дробями/ И. Ивашова //Математика 2000 г. №2 с.16
  25. Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В. Математика // Программы для четырехлетней начальной школы: образовательная система Д.Б. Эльконина- В.В. Давыдова. М.: Издатель Рассказов, 2000. С. 114-130.
  26. Депшан, Р.О.За страницами учебника Математика/Р.О.Депшан//Математика 2000 г. №5 с.26
  27. Зайцев В.В. Математика для младших школьников: Метод. пособие для учителей и родителей. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2001. – 72 с.
  28. Зайцев В.В., Гладышева Е.П. Развивающее обучение математике младших школьников в условиях вариативных методических систем: Учеб. пособие. – Волгоград: Перемена, 2001. – 109 с.
  29. Захарова А.М. Математика // Программы для четырехлетней начальной школы: образовательная система Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова. М.: Издатель Рассказов, 2000. С. 131-155.
  30. Иванова, Л.С. Нахождение числа по доле/ Иванова Л.С. //Начальная школа 1999 год. №8 с. 2Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред. и высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. – 288 с.
  31. Истомина Н.Б., Латохина Л.Г., Шмырева Г.Г. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах. М.: Просвещение, 1986. 176 с.
  32. Клюйков С.Ф. Числа и познание мира. – Мариуполь: Полиграфический центр газеты «ИнформМеню». 1997г. – 112 с.
  33. Мигунова, Н.П. Устный журнал «Путешествие в мир чисел» [Текст] / Н.П. Мигунова, Б.Е. Корольков // Математика в школе, 2000. – № 5. – С.64-68.
  34. Общие вопросы преподавания математики в начальной школе: учебное пособие для студентов по специальности «Педагогика и методика начального образования»./Автор-состав. О.В. Науменко. – Волгоград: Изд-во ВГИПК РО, 2004. – 60 с.
  35. Произволов, В.В. Число и задачи о нем [Текст] / В.В. Произволов // Математика в школе, 1996. – №4. – С.56-58.

Источник: https://studrb.ru/works/entry13415

Теория чисел

Александров В.А., Горшенин С.М. Задачник-практикум по теории чисел. М.: Просвещение, 1972 (pdf)

Арнольд И.В. Теоретическая арифметика. М.: ГУПИ, 1938 (pdf)

Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966 (pdf)

Вейль А. Основы теории чисел. М.: Мир, 1972 (pdf)

Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972 (pdf)

Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. М.: Наука, 1976 (pdf)

Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел. М.: АН СССР, 1959 (pdf)

Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М.-Л.: ГИТТЛ, 1940 (pdf)

Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. М..: Наука, 1978 (pdf)

Гельфонд А.О. Трансцендентные и алгебраические числа. М.: ГИТТЛ, 1952 (pdf)

Гельфонд А.О., Линник Ю.В. Элементарные методы в аналитической теории чисел. М.: Физматгиз, 1962 (pdf)

Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. М.: Просвещение, 1964 (pdf)

Делоне Б.Н., Фаддеев Д.К. Теория иррациональностей третьей степени (Труды математического института имени В.А. Стеклова, Т.XI). М.-Л.: АН СССР, 1940 (pdf)

Дирихле П.Г.Л. Лекции по теории чисел. М.-Л.: ОНТИ, 1936 (pdf)

Дринфельд Г.И. Трансцендентность чисел pi и е. Харьков: ХГУ, 1952 (pdf)

Дэвенпорт Г. Высшая арифметика: Введение в теорию чисел. М.: Наука, 1965 (pdf)

Егоров Д.Ф. Элементы теории чисел. М.-П.: ГИ, 1923 (pdf)

Ингам A.E. Распределение простых чисел. М.-Л.: ГРОТЛИН, 1936 (pdf)

Касселс Дж.В.С. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965 (pdf)

Касселс Дж.В.С. Введение в теорию диофантовых приближений. М.: ИЛ, 1961 (pdf)

Касселс Дж., Фрёлих А. (ред.) Алгебраическая теория чисел. М.: Мир, 1969 (pdf)

Кубилюс Й. Вероятностные методы в теории чисел. Вильнюс, 1962 (pdf)

Ленг С. Алгебраические числа. М.: Мир, 1966 (pdf)

Ленг С. Введение в теорию диофантовых приближений. М.: Мир, 1970 (pdf)

Нивен А. Числа рациональные и иррациональные. М.: Мир, 1966 (pdf)

Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Наука, 1971 (pdf)

Постников М.М. Магические квадраты. М.: Наука, 1964 (pdf)

Постников М.М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: Наука, 1978 (pdf)

Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967 (pdf)

Серпинский В. 250 задач по элементарной теории чисел. М.: Просвещение, 1968 (pdf)

Серпинский В. О решении уравнений в целых числах. М.: Физматлит, 1961 (pdf)

Серпинский В. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. М.-Л.: Физматгиз, 1963 (pdf)

Степанов С.А. Сравнения. М.: Знание, 1975 (pdf)

Сушкевич А.К. Теория чисел. Элементарный курс. Харьков: ХГУ, 1954 (pdf)

Трост Э. Простые числа. М.: ГИФМЛ, 1959 (pdf)

Фрейман Г.А. Начала структурной теории сложения множеств. Казань: КГПИ-ЕГПИ, 1966 (pdf)

Хассе Г. Лекции по теории чисел. М.: Наука, 1953 (pdf)

Хинчин А.Я. Великая теорема Ферма (3-е изд.). М.-Л.: ГТТИ, 1934 (pdf)

Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Мир, 1974 (pdf)

Чудаков Н.Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947 (pdf)

Шнирельман Л.Г. Простые числа. М.-Л.: ГИТТЛ, 1940 (pdf)

Источник: https://ikfia.ysn.ru/teoriya-chisel/

Рациональные числа: определения, примеры

Данная статья посвящена изучению темы «Рациональные числа». Ниже приведены определения рациональных чисел, даны примеры, рассказано о том, как определить, является ли число рациональным, или нет. 

Рациональные числа. Определения

Прежде чем дать дефиницию рациональных чисел вспомним, какие еще есть множества чисел, и как они связаны между собой. 

Натуральные числа, в совокупности с противоположными им и числом ноль образуют множество целых чисел. В свою очередь, совокупность целых дробных чисел образует множество рациональных чисел.

Определение 1. Рациональные числа

Рациональные числа — числа, которые можно представить в виде положительной обыкновенной дроби ab, отрицательной обыкновенной дроби -ab или числа ноль. 

Таким образом, можно оставить ряд свойств рациональных чисел:

  1. Любое натуральное число является рациональным числом. Очевидно, каждое натуральное число n можно представить в виде дроби 1n.
  2. Любое целое число, включая число 0, является рациональным числом. Действительно, любое целое положительное и целое отрицательное число легко представляется в виде соответственно положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Например, 15=151, -352=-3521.
  3. Любая положительная или отрицательная обыкновенная дробь ab является рациональным числом. Это следует напрямую из данного выше определения.
  4. Любое смешанное число является рациональным. Действительно, ведь смешанное число можно представить в виде обыкновенной неправильной дроби.
  5. Любую конечную или периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Поэтому, каждая периодическая или конечная десятичная дробь является рациональным числом. 
  6. Бесконечные и непериодическое десятичные дроби не являются рациональными числами. Их невозможно представить в форме обыкновенных дробей.

Приведем примеры рациональных чисел. Числа 5, 105, 358, 1100055 являются натуральными, положительными и целыми. Сдедовательно, это рациональные числа. Числа -2, -358, -936 представляют собой целые отрицательные числа, и они также рациональны в соответствии с определением. Обыкновенные дроби 35, 87, -358 также являются примерами рациональных чисел.  

Приведенное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более кратко. Еще раз ответим на вопрос, что такое рациональное число.

Определение 2. Рациональные числа

Рациональные числа — это такие числа, которые можно представить в виде дроби ±zn, где z — целое число, n — натуральное число.

Можно показать, что данное определение равносильно предыдущему определению рациональных чисел. Чтобы сделать это, вспомним, что черта дроби равносильна знаку деления. С учетом правил и свойств деления целых чисел, можно записать следующие справедливые неравенства:

  • 0n=0÷n=0; -mn=(-m)÷n=-mn.
  • Таким образом, можно записать:
  • zn=zn, при z>00, при z=0-zn, при z

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/dejstvitelnye-ratsionalnye-irratsionalnye-chisla/ratsionalnye-chisla/

Ссылка на основную публикацию