Рассмотрим дифференциал сложной функции. Пусть y сложная функция x: , . Дифференциал этой функции, используя формулу для производной сложной функции, можно записать в виде . Но есть дифференциал функции u, поэтому , т. е.
Узнай стоимость своей работы
Здесь дифференциал записан в том же виде, как и в формуле для дифференциала функции независимой переменной x, т. е. , хотя аргумент u является не независимой переменной, а функцией x.
Следовательно, выражение дифференциала функции в виде произведения производной этой функции на дифференциал её аргумента справедливо независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.
Задание к примерам. Во всех примерах требуется вычислить дифференциал функции двумя способами: выражая его через dx и через du — дифференциал промежуточной переменной u. Проверить совпадение полученных результатов.
Потребуется таблица производных некоторых сложных функций.
Пример 1. Дана функция .
Узнай стоимость своей работы
Решение.
Через dx:
Использовали правило дифференцирования степенной функции.
Через du:
Подставляя в полученное равенство и , получаем
Результаты совпадают.
Пример 2. Дана функция .
Решение.
Через dx:
Использовали правило дифференцирования сложной функции квадратного корня.
Через du:
Результаты совпадают.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение
Пример 3. Дана функция .
- Решение.
- Через dx:
- Использовали правило дифференцирования сложной логарифмической функции.
- Через du:
- .
- Подставляя в полученное равенство и , получаем
- Результаты совпадают.
Пример 4. Дана функция .
- Решение.
- Через dx (в процессе решения для удобства преобразуем корни в степени и обратно):
- Использовали общее правило дифференцирования сложной функции два раза.
- Через du:
- .
- Подставляя в полученное равенство и ,получаем
- Результаты совпадают.
Пример 5. Дана функция .
- Решение.
- Через dx:
- Использовали общее правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования сложной логарифмической функции.
- Через du:
- .
- Подставляя в полученное равенство и , получаем
- .
- Результаты совпадают.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение
Весь блок «Производная»
Поделиться с друзьями
Источник: https://function-x.ru/differential2.html
Производная сложной функции. Примеры
Мы уже рассмотрели понятие сложной функции. Следующий этап — нахождение производной. Легче всего понять, как находится производная сложной функции, рассматривая конкретные примеры.
- Если y=f(u), где u=u(x), то есть y — сложная функция, то производная сложной функции находится по следующему правилу: y’=f'(u)·u'(x), то есть производную внешней функции f надо умножить на производную внутренней функции u. На первых порах нам поможет разобраться, как находится производная сложной функции для каждой конкретной функции, следующая таблица:
-
- Кроме того, полезно помнить следующие формулы:
-
-
-
-
Итак, найти производную сложной функции. Примеры.
1) y=sin(2x+3). Здесь внешняя функция синус: f=sinu, внутренняя — линейная: u=2x+3. Соответственно, производная данной сложной функции есть y’=cos(2x+3)·(2x+3)’=c0s(2x+3)·2=2c0s(2x+3).
2) y=cos(5-7x). Внешняя функция — косинус: f=cosu, внутренняя — линейная: u=5-7x. Поэтому y’=- sin(5-7x)·(5-7x)’=- sin(5-7x)·(-7)=7sin(5-7x).
-
-
-
-
-
- Здесь f=tgu, u=5x+π/8. π- число, значит, π/8 — тоже число, то есть (5x+π/8)’=5
8) y=sin²x. Здесь f=u², u=sinx. Почему так? Но ведь sin²x=(sinx)². Полезно запомнить, что, как только появляется степень, то внешняя функция — степенная, а внутренняя — это то, что в степень возводится. Итак, производная данной сложной функции есть
- y’=2·sinx·(sinx)’=2sinxcosx=sin 2x.
Найти производную сложной функции. Примеры для самопроверки.
- Показать решение
Источник: http://www.matematika.uznateshe.ru/proizvodnaya-slozhnoj-funkcii-primery/
24. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции
Главная » Общенаучные дисциплины » Математика (2 семестр) » 24. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции.
44.6. Производная сложной функции. Полная производная
Пусть z=ƒ(х;у) — функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z = f(x(t);y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у — промежуточные переменные.
Теорема 44.4. Если z = ƒ(х;у) — дифференцируемая в точке М(х;у) є D функция и х = x(t) и у = y(t) — дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) = f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле
Дадим независимой переменной t приращение Δt. Тогда функции х = = x(t) и у = y{t) получат приращения Δх и Δу соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение Az функции z.
Так как по условию функция z — ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х; у), то ее полное приращение можно представить в виде
где а→0, β→0 при Δх→0, Δу→0 (см. п. 44.3). Разделим выражение Δz на Δt и перейдем к пределу при Δt→0. Тогда Δх→0 и Δу→0 в силу непрерывности функций х = x(t) и у = y(t) (по условию теоремы — они дифференцируемые). Получаем:
т. е.
или
Частный случай: z=ƒ(х;у), где у=у(х), т. е. z=ƒ(х;у(х)) — сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (44.8) имеем:
Формула (44.9) носит название формулы полной производной.
Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (u и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (х и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).
44.3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции
Пусть функция z =ƒ (х; у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у). Составим полное приращение функции в точке М:
Функция z = ƒ (х; у) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
где а = а(Δх, Δу)→0 и β=β(Δх,Δу)→0 при Δх→0, Δу→0. Сумма первых двух слагаемых в равенстве (44.1) представляет собой главную часть приращения функции.
Главная часть приращение функции z=ƒ(х;у), линейная относительно Δх и Δу, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:
dz=A*Δx+B*Δy. (44.2)
Выражения А•Δх и В•Δу называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают Δх=dx и Δу=dy. Поэтому равенство (44.2) можно переписать в виде
dz=Adx+Bdy. (44.3)
Теорема 44.2 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция z = ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х;у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные dz/dx и dz/dy, причем dz/dx = А, dz/dy = В.
Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет место равенство (44.1). Отсюда вытекает, что Это означает, что функция непрерывна в точке М. Положив Δу = 0, Δх ≠ 0 в равенстве (44.1), получим: Δz = А • Δх + а • Δх. Отсюда находимПереходя
- к пределу при Δх → 0, получим
- Таким образом, в точке М существует частная производная ƒ'x(х;у) = А. Аналогично доказывается, что в точке М существует частная производная
- Равенство (44.1) можно записать в виде
- где g=аΔх+βΔу→0 при Δх → 0, Δу → 0.
Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывности функции или существования частных производных не следует дифференцируемость функции. Так, непрерывная функцияне дифференцируема в точке (0;0).
Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (44.3) принимает вид:
- или
- где— частные дифференциалы функции z=ƒ(х;у).
Теорема 44.3 (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция z = ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные z'x и z'y в точке М(х;у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой (44.5).
- Примем теорему без доказательства.
- Отметим, что для функции у=ƒ(х) одной переменной существование производной ƒ'(х) в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.
- Чтобы функция z=ƒ(х;у) была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.
- Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.
Copyright © IT-IATU 2011-2020
Источник: https://it-iatu.ru/ond/matematika-2-semestr/proizvodnaya_slozhnoy_funkcii_polnaya_proizvodnaya_polnyy_differencial_slozhnoy__funkcii
Производная сложной функции
Какой задачник по высшей математике (математическому анализу) вы используете? Пожалуйста, проголосуйте за свой сборник в этой теме (регистрация не требуется).
Все примеры этого раздела опираются на таблицу производных и теорему о производной сложной функции, формулировка которой такова:
Пусть 1) функция $u=varphi (x)$ имеет в некоторой точке $x_0$ производную $u_{x}'=varphi'(x_0)$, 2) функция $y=f(u)$ имеет в соответствующей точке $u_0=varphi (x_0)$ производную $y_{u}'=f'(u)$. Тогда сложная функция $y=fleft(varphi (x)
ight)$ в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций $f(u)$ и $varphi (x)$:
$$ left( f(varphi (x))
ight)'=f_{u}'left(varphi (x_0)
ight)cdot varphi'(x_0) $$
или, в более короткой записи: $y_{x}'=y_{u}'cdot u_{x}'$.
В примерах этого раздела все функции имеют вид $y=f(x)$ (т.е. рассматриваем лишь функции одной переменной $x$). Соответственно, во всех примерах производная $y'$ берётся по переменной $x$. Чтобы подчеркнуть то, что производная берётся по переменной $x$, часто вместо $y'$ пишут $y'_x$.
В примерах №1, №2 и №3 изложен подробный процесс нахождения производной сложных функций. Пример №4 предназначен для более полного понимания таблицы производных и с ним имеет смысл ознакомиться.
Желательно после изучения материала в примерах №1-3 перейти к самостоятельному решению примеров №5, №6 и №7. Примеры №5, №6 и №7 содержат краткое решение, чтобы читатель мог проверить правильность своего результата.
- Пример №1
- Найти производную функции $y=e^{cos x}$.
- Решение
Нам нужно найти производную сложной функции $y'$. Так как $y=e^{cos x}$, то $y'=left(e^{cos x}
ight)'$. Чтобы найти производную $left(e^{cos x}
ight)'$ используем формулу №6 из таблицы производных. Дабы использовать формулу №6 нужно учесть, что в нашем случае $u=cos x$. Дальнейшее решение состоит в банальной подстановке в формулу №6 выражения $cos x$ вместо $u$:
Итак,
$$ y'=left( e^{cos x}
ight)'=e^{cos x}cdot (cos x)' ag {1.1}$$
Теперь нужно найти значение выражения $(cos x)'$. Вновь обращаемся к таблице производных, выбирая из неё формулу №10. Подставляя $u=x$ в формулу №10, имеем: $(cos x)'=-sin xcdot x'$. Теперь продолжим равенство (1.1), дополнив его найденным результатом:
$$ y'=left( e^{cos x}
ight)'=e^{cos x}cdot (cos x)'= e^{cos x}cdot (-sin xcdot x') ag {1.2} $$
Так как $x'=1$, то продолжим равенство (1.2):
$$ y'=left( e^{cos x}
ight)'=e^{cos x}cdot (cos x)'= e^{cos x}cdot (-sin xcdot x')=e^{cos x}cdot (-sin xcdot 1)=-sin xcdot e^{cos x} ag {1.3} $$
Итак, из равенства (1.3) имеем: $y'=-sin xcdot e^{cos x}$. Естественно, что пояснения и промежуточные равенства обычно пропускают, записывая нахождение производной в одну строку, – как в равенстве (1.3). Итак, производная сложной функции найдена, осталось лишь записать ответ.
- Ответ: $y'=-sin xcdot e^{cos x}$.
- Пример №2
- Найти производную функции $y=9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)$.
- Решение
Нам необходимо вычислить производную $y'=left(9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'$. Для начала отметим, что константу (т.е. число 9) можно вынести за знак производной:
$$ y'=left(9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=9cdotleft(arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)' ag {2.1} $$
Теперь обратимся к выражению $left(arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'$.
Чтобы выбрать нужную формулу из таблицы производных было легче, я представлю рассматриваемое выражение в таком виде: $left(left(arctg(4cdot ln x)
ight)^{12}
ight)'$.
Теперь видно, что необходимо использовать формулу №2, т.е. $left(u^alpha
ight)'=alphacdot u^{alpha-1}cdot u'$. В эту формулу подставим $u=arctg(4cdot ln x)$ и $alpha=12$:
Дополняя равенство (2.1) полученным результатом, имеем:
$$ y'=left(9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=9cdotleft(arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'= 108cdotleft(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot (arctg(4cdot ln x))' ag {2.2} $$
Примечание: показатьскрыть
В этой ситуации часто допускается ошибка, когда решатель на первом шаге выбирает формулу $(arctg ; u)'=frac{1}{1+u^2}cdot u'$ вместо формулы $left(u^alpha
ight)'=alphacdot u^{alpha-1}cdot u'$. Дело в том, что первой должна находиться производная внешней функции.
Чтобы понять, какая именно функция будет внешней для выражения $arctg^{12}(4cdot 5^x)$, представьте, что вы считаете значение выражения $arctg^{12}(4cdot 5^x)$ при каком-то значении $x$. Сначала вы посчитаете значение $5^x$, потом умножите результат на 4, получив $4cdot 5^x$.
Теперь от этого результата берём арктангенс, получив $arctg(4cdot 5^x)$. Затем возводим полученное число в двенадцатую степень, получая $arctg^{12}(4cdot 5^x)$. Последнее действие, — т.е. возведение в степень 12, — и будет внешней функцией.
И именно с неё надлежит начинать нахождение производной, что и было сделано в равенстве (2.2).
- Теперь нужно найти $(arctg(4cdot ln x))'$. Используем формулу №19 таблицы производных, подставив в неё $u=4cdot ln x$:
- Немного упростим полученное выражение, учитывая $(4cdot ln x)^2=4^2cdot (ln x)^2=16cdot ln^2 x$.
- Равенство (2.2) теперь станет таким:
$$ (arctg(4cdot ln x))'=frac{1}{1+(4cdot ln x)^2}cdot (4cdot ln x)' $$ $$ (arctg(4cdot ln x))'=frac{1}{1+(4cdot ln x)^2}cdot (4cdot ln x)'=frac{1}{1+16cdot ln^2 x}cdot (4cdot ln x)' $$ $$ y'=left(9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=9cdotleft(arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=\ =108cdotleft(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot (arctg(4cdot ln x))'=108cdot left(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot frac{1}{1+16cdot ln^2 x}cdot (4cdot ln x)' ag {2.3} $$
Осталось найти $(4cdot ln x)'$. Вынесем константу (т.е. 4) за знак производной: $(4cdot ln x)'=4cdot (ln x)'$.
Для того, чтобы найти $(ln x)'$ используем формулу №8, подставив в нее $u=x$: $(ln x)'=frac{1}{x}cdot x'$.
Так как $x'=1$, то $(ln x)'=frac{1}{x}cdot x'=frac{1}{x}cdot 1=frac{1}{x}$. Подставив полученный результат в формулу (2.3), получим:
$$ y'=left(9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=9cdotleft(arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=\ =108cdotleft(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot (arctg(4cdot ln x))'=108cdot left(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot frac{1}{1+16cdot ln^2 x}cdot (4cdot ln x)'=\ =108cdot left(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot frac{1}{1+16cdot ln^2 x}cdot 4cdot frac{1}{x}=432cdot frac{arctg^{11}(4cdot ln x)}{xcdot (1+16cdot ln^2 x)}. $$
Напомню, что производная сложной функции чаще всего находится в одну строку, – как записано в последнем равенстве. Поэтому при оформлении типовых расчетов или контрольных работ вовсе не обязательно расписывать решение столь же подробно.
- Ответ: $y'=432cdot frac{arctg^{11}(4cdot ln x)}{xcdot (1+16cdot ln^2 x)}$.
- Пример №3
- Найти $y'$ функции $y=sqrt[7]{sin^3(5cdot9^x)}$.
- Решение
Для начала немного преобразим функцию $y$, выразив радикал (корень) в виде степени: $y=sqrt[7]{sin^3(5cdot9^x)}=left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}$. Теперь приступим к нахождению производной. Так как $y=left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}$, то:
$$ y'=left( left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}
ight)' ag {3.1} $$
- Используем формулу №2 из таблицы производных, подставив в неё $u=sin(5cdot 9^x)$ и $alpha=frac{3}{7}$:
- Продолжим равенство (3.1), используя полученный результат:
- Теперь нужно найти $(sin(5cdot 9^x))'$. Используем для этого формулу №9 из таблицы производных, подставив в неё $u=5cdot 9^x$:
- Дополнив равенство (3.2) полученным результатом, имеем:
$$ left( left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}
ight)'= frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}-1} (sin(5cdot 9^x))'=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} (sin(5cdot 9^x))' $$ $$ y'=left( left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}
ight)'=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} (sin(5cdot 9^x))' ag {3.2} $$ $$ (sin(5cdot 9^x))'=cos(5cdot 9^x)cdot(5cdot 9^x)' $$ $$ y'=left( left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}
ight)'=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} (sin(5cdot 9^x))'=\ =frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} cos(5cdot 9^x)cdot(5cdot 9^x)' ag {3.3} $$
Осталось найти $(5cdot 9^x)'$. Для начала вынесем константу (число $5$) за знак производной, т.е. $(5cdot 9^x)'=5cdot (9^x)'$.
Для нахождения производной $(9^x)'$ применим формулу №5 таблицы производных, подставив в неё $a=9$ и $u=x$: $(9^x)'=9^xcdot ln9cdot x'$.
Так как $x'=1$, то $(9^x)'=9^xcdot ln9cdot x'=9^xcdot ln9$. Теперь можно продолжить равенство (3.3):
$$ y'=left( left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}
ight)'=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} (sin(5cdot 9^x))'=\ =frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} cos(5cdot 9^x)cdot(5cdot 9^x)'= frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} cos(5cdot 9^x)cdot 5cdot 9^xcdot ln9=\ =frac{15cdot ln 9}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}}cdot cos(5cdot 9^x)cdot 9^x. $$
Можно вновь от степеней вернуться к радикалам (т.е. корням), записав $left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}}$ в виде $frac{1}{left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{4}{7}}}=frac{1}{sqrt[7]{sin^4(5cdot 9^x)}}$. Тогда производная будет записана в такой форме:
$$ y'=frac{15cdot ln 9}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}}cdot cos(5cdot 9^x)cdot 9^x= frac{15cdot ln 9}{7}cdot frac{cos (5cdot 9^x)cdot 9^x}{sqrt[7]{sin^4(5cdot 9^x)}}. $$
- Ответ: $y'=frac{15cdot ln 9}{7}cdot frac{cos (5cdot 9^x)cdot 9^x}{sqrt[7]{sin^4(5cdot 9^x)}}$.
- Пример №4
- Показать, что формулы №3 и №4 таблицы производных есть частный случай формулы №2 этой таблицы.
- Решение
- В формуле №2 таблицы производных записана производная функции $u^alpha$. Подставляя $alpha=-1$ в формулу №2, получим:
$$(u^{-1})'=-1cdot u^{-1-1}cdot u'=-u^{-2}cdot u' ag {4.1}$$
Так как $u^{-1}=frac{1}{u}$ и $u^{-2}=frac{1}{u^2}$, то равенство (4.1) можно переписать так: $left( frac{1}{u}
ight)'=-frac{1}{u^2}cdot u'$. Это и есть формула №3 таблицы производных.
Вновь обратимся к формуле №2 таблицы производных. Подставим в неё $alpha=frac{1}{2}$:
$$left(u^{frac{1}{2}}
ight)'=frac{1}{2}cdot u^{frac{1}{2}-1}cdot u'=frac{1}{2}u^{-frac{1}{2}}cdot u' ag {4.2} $$
Так как $u^{frac{1}{2}}=sqrt{u}$ и $u^{-frac{1}{2}}=frac{1}{u^{frac{1}{2}}}=frac{1}{sqrt{u}}$, то равенство (4.2) можно переписать в таком виде:
$$ (sqrt{u})'=frac{1}{2}cdot frac{1}{sqrt{u}}cdot u'=frac{1}{2sqrt{u}}cdot u' $$
Полученное равенство $(sqrt{u})'=frac{1}{2sqrt{u}}cdot u'$ и есть формула №4 таблицы производных. Как видите, формулы №3 и №4 таблицы производных получаются из формулы №2 подстановкой соответствующего значения $alpha$.
- Пример №5
- Найти $y'$, если $y=arcsin 2^x$.
- Решение
- Нахождение производной сложной функции в данном примере запишем без подробных пояснений, которые были даны в предыдущих задачах.
- Ответ: $y'=frac{2^xln 2}{sqrt{1-2^{2x}}}$.
- Пример №6
- Найти $y'$, если $y=7cdot lnsin^3 x$.
- Решение
Как и в предыдущем примере, нахождение производной сложной функции укажем без подробностей. Желательно записать производную самостоятельно, лишь сверяясь с указанным ниже решением.
- Ответ: $y'=21cdotctg x$.
- Пример №7
- Найти $y'$, если $y=frac{9}{ g^4(log_{2}(2cdotcos x))}$.
- Решение
Онлайн-занятия по высшей математике
Источник: https://math1.ru/education/differ_calculus/composite_func.html
Производная сложной функции
Чтобы приступить к изучению данного вопроса, вы должны знать таблицу производных и выучить правила дифференцирования.
Сложной функцией называется функция вида g(f(x)). Давайте разберем что эта запись означает?
Известно, что f(x) — это некая функция (закон). Аналогично, g(x) — тоже функция.
- В свою очередь, функцию вида g(f(x)) называют сложной функцией, и аргументом этой функции является значение функции f(x).
- Областью определения функции g(f(x)) является область значений функции f(x).
- Если положить, что f(x)=x, то функция g примет вид простой функции: g(f(x))=g(x).
- Правило
- Для вычисления производной сложной функции применяется следующее правило:
Сначала вычисляется производная от функции g, как если бы она была простой функцией, потом вычисляется производная от функции f(x) и результатом записывается умножение этих двух производных.
Если положить, что f(x) = x, то производная от функция g(f(x)) примет вид:
- За такой, казалось бы, небольшой теорией как найти производную сложной функции, больше похожей на инструкцию к применению, кроется огромный практический курс в силу того, что даже самые простые на вид сложные функции вызывают трудности среди учащихся, когда требуется их просто продифференцировать.
- Чтобы научиться быстро дифференцировать сложные функции, необходимо на отлично уметь вычислять производные от простых функций.
-
● Пример 1
-
● Пример 2
-
● Пример 3
-
● Пример 4
-
● Пример 5
- Если вы прочли все предыдущие статьи на тему производных и усвоили данный материал, считайте, что с практической частью вы справитесь.
- Добавим только, что на нашем сайте есть разобранные примеры реальных задач, которые встречаютcя студентам на практике.
Источник: https://math24.biz/article?id=proizvodnaya_slozhnoy_funktsii
Производная сложной функции
Пусть есть функция $ y=f(g(x)) $, тогда производную сложной функции можно найти по формуле:
$$ y'=f'(g(x)) cdot g'(x) $$
Проще говоря, нахождение производной сложной функции выполняется «по цепочке». Сначала находим производную от внешней функции без изменения её аргумента и умножаем на производную аргумента. Если аргумент в свою очередь тоже является сложной функцией, то снова берем производную ещё и от него.
Рассмотрим на практике примеры решений производных сложных функций.
Примеры решений
Пример 1 |
Найти производную сложной функции: $ y = sqrt{x^2+1} $ |
Решение |
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ y'=frac{x}{2sqrt{x^2+1}} $$ |
Пример 2 |
Найти производную сложной функции: $ y = e^{4x+3} $ |
Решение |
|
Ответ |
$$ y' = 4e^{4x+3} $$ |
Пример 3 |
Найти производную сложной функции: $ y = arctan x^2 $ |
Решение |
|
Ответ |
$$ y' = frac{2x}{1+x^4} $$ |
Пример 4 |
Найти производную сложной функции: $ y = ln(x^3+2) $ |
Решение |
Перед нами сложная функция, точнее натуральный логарифм от многочлена. Поэтому применим правило. Имеем: $$ y' = (ln(x^3+2))' = frac{1}{x^3+2} cdot (x^3+2)' = $$ $$ = frac{1}{x^3+2} cdot 3x^2 = frac{3x^2}{x^3+2} $$ |
Ответ |
$$ y' = frac{3x^2}{x^3+2} $$ |
Пример 5 |
Найти производную от сложной функции: $ y = ln(sin^3x+ e^{cos x}) $ |
Решение |
|
Ответ |
$$ y' = frac{3sin^2x cos x — e^{cos x} sin x}{sin^3x+e^{cos x}} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ
Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/proizvodnaya-slozhnoj-funkcii.html