Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции — в помощь студенту

Рассмотрим дифференциал сложной функции. Пусть y сложная функция x: , . Дифференциал этой функции, используя формулу для производной сложной функции, можно записать в виде Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту. Но есть дифференциал функции u, поэтому , т. е.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

Здесь дифференциал записан в том же виде, как и в формуле для дифференциала функции независимой переменной x, т. е. Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту, хотя аргумент u является не независимой переменной, а функцией x.

Следовательно, выражение дифференциала функции в виде произведения производной этой функции на дифференциал её аргумента справедливо независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.

Задание к примерам. Во всех примерах требуется вычислить дифференциал функции двумя способами: выражая его через dx и через du — дифференциал промежуточной переменной u. Проверить совпадение полученных результатов.

Потребуется таблица производных некоторых сложных функций.

Пример 1. Дана функция .

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Ассирийская держава - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Решение.

Через dx:

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

Использовали правило дифференцирования степенной функции.

Через du:

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

Подставляя в полученное равенство и , получаем

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

Результаты совпадают.

Пример 2. Дана функция Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту.

Решение.

Через dx:

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

Использовали правило дифференцирования сложной функции квадратного корня.

Через du:

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

Результаты совпадают.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Пример 3. Дана функция .

  • Решение.
  • Через dx:
  • Использовали правило дифференцирования сложной логарифмической функции.
  • Через du:
  • .
  • Подставляя в полученное равенство и , получаем
  • Результаты совпадают.

Пример 4. Дана функция .

  1. Решение.
  2. Через dx (в процессе решения для удобства преобразуем корни в степени и обратно):
  3. Использовали общее правило дифференцирования сложной функции два раза.
  4. Через du:
  5. .
  6. Подставляя в полученное равенство и ,получаем
  7. Результаты совпадают.

Пример 5. Дана функция .

  • Решение.
  • Через dx:
  • Использовали общее правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования сложной логарифмической функции.
  • Через du:
  • .
  • Подставляя в полученное равенство и , получаем
  • .
  • Результаты совпадают.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Весь блок «Производная»

Поделиться с друзьями

Источник: https://function-x.ru/differential2.html

Производная сложной функции. Примеры

Мы уже рассмотрели понятие сложной функции. Следующий этап — нахождение производной. Легче всего понять, как находится производная сложной функции, рассматривая конкретные примеры.

  • Если y=f(u), где u=u(x), то есть y — сложная функция, то производная сложной функции находится по следующему правилу: y’=f'(u)·u'(x), то есть производную внешней функции f надо умножить на производную внутренней функции u. На первых порах нам поможет разобраться, как находится производная сложной функции для каждой конкретной функции, следующая таблица:
  •     Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту
  • Кроме того, полезно помнить следующие формулы:
  •     Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту
  •     Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту
  •     Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту
  •     Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту
Читайте также:  Сила кислот и оснований - в помощь студенту

Итак, найти производную сложной функции. Примеры.

1) y=sin(2x+3). Здесь внешняя функция синус: f=sinu, внутренняя — линейная: u=2x+3. Соответственно, производная данной сложной функции есть y’=cos(2x+3)·(2x+3)’=c0s(2x+3)·2=2c0s(2x+3).

2) y=cos(5-7x). Внешняя функция — косинус: f=cosu, внутренняя — линейная: u=5-7x. Поэтому y’=- sin(5-7x)·(5-7x)’=- sin(5-7x)·(-7)=7sin(5-7x).

  1.     Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту
  2.     Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту
  3.     Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту
  4.     Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту
  5.     Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту
  6. Здесь f=tgu, u=5x+π/8. π- число, значит, π/8 — тоже число, то есть (5x+π/8)’=5

8) y=sin²x. Здесь f=u², u=sinx. Почему так? Но ведь sin²x=(sinx)². Полезно запомнить, что, как только появляется степень, то внешняя функция — степенная, а внутренняя — это то, что в степень возводится. Итак, производная данной сложной функции есть

  • y’=2·sinx·(sinx)’=2sinxcosx=sin 2x.

Найти производную сложной функции. Примеры для самопроверки.

  1. Показать решение

Источник: http://www.matematika.uznateshe.ru/proizvodnaya-slozhnoj-funkcii-primery/

24. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции

Главная » Общенаучные дисциплины » Математика (2 семестр) » 24. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции.

44.6. Производная сложной функции. Полная производная

Пусть z=ƒ(х;у) — функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z = f(x(t);y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у — промежуточные переменные.

Теорема 44.4. Если z = ƒ(х;у) — дифференцируемая в точке М(х;у) є D функция и х = x(t) и у = y(t) — дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) = f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

Дадим независимой переменной t приращение Δt. Тогда функции х = = x(t) и у = y{t) получат приращения Δх и Δу соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение Az функции z.

Так как по условию функция z — ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х; у), то ее полное приращение можно представить в виде

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

где а→0, β→0 при Δх→0, Δу→0 (см. п. 44.3). Разделим выражение Δz на Δt и перейдем к пределу при Δt→0. Тогда Δх→0 и Δу→0 в силу непрерывности функций х = x(t) и у = y(t) (по условию теоремы — они дифференцируемые). Получаем:

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

т. е.

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

или

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

Частный случай: z=ƒ(х;у), где у=у(х), т. е. z=ƒ(х;у(х)) — сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (44.8) имеем:

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

Формула (44.9) носит название формулы полной производной.

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (u и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (х и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).

44.3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции

Пусть функция z =ƒ (х; у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у). Составим полное приращение функции в точке М:

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

Функция z = ƒ (х; у) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

где а = а(Δх, Δу)→0 и β=β(Δх,Δу)→0 при Δх→0, Δу→0. Сумма первых двух слагаемых в равенстве (44.1) представляет собой главную часть приращения функции.

Главная часть приращение функции z=ƒ(х;у), линейная относительно Δх и Δу, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:

dz=A*Δx+B*Δy.     (44.2)

Выражения А•Δх и В•Δу называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают Δх=dx и Δу=dy. Поэтому равенство (44.2) можно переписать в виде

dz=Adx+Bdy.     (44.3)

Теорема 44.2 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция z = ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х;у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные dz/dx и dz/dy, причем dz/dx = А, dz/dy = В.

Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет место равенство (44.1). Отсюда вытекает, что Это означает, что функция непрерывна в точке М. Положив Δу = 0, Δх ≠ 0 в равенстве (44.1), получим: Δz = А • Δх + а • Δх. Отсюда находимПереходя

  • к пределу при Δх → 0, получим 
  • Таким образом, в точке М существует частная производная ƒ'x(х;у) = А. Аналогично доказывается, что в точке М существует частная производная
  • Равенство (44.1) можно записать в виде
  • где g=аΔх+βΔу→0 при Δх → 0, Δу → 0.

Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывности функции или существования частных производных не следует дифференцируемость функции. Так, непрерывная функцияне дифференцируема в точке (0;0).

Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (44.3) принимает вид:

  1. или
  2. где— частные дифференциалы функции z=ƒ(х;у).

Теорема 44.3 (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция z = ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные z'x и z'y в точке М(х;у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой (44.5).

  • Примем теорему без доказательства.
  • Отметим, что для функции у=ƒ(х) одной переменной существование производной ƒ'(х) в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.
  • Чтобы функция z=ƒ(х;у) была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.
  • Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Copyright © IT-IATU 2011-2020

Источник: https://it-iatu.ru/ond/matematika-2-semestr/proizvodnaya_slozhnoy_funkcii_polnaya_proizvodnaya_polnyy_differencial_slozhnoy__funkcii

Производная сложной функции

Какой задачник по высшей математике (математическому анализу) вы используете? Пожалуйста, проголосуйте за свой сборник в этой теме (регистрация не требуется).

Все примеры этого раздела опираются на таблицу производных и теорему о производной сложной функции, формулировка которой такова:

Пусть 1) функция $u=varphi (x)$ имеет в некоторой точке $x_0$ производную $u_{x}'=varphi'(x_0)$, 2) функция $y=f(u)$ имеет в соответствующей точке $u_0=varphi (x_0)$ производную $y_{u}'=f'(u)$. Тогда сложная функция $y=fleft(varphi (x)
ight)$ в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций $f(u)$ и $varphi (x)$:

$$ left( f(varphi (x))
ight)'=f_{u}'left(varphi (x_0)
ight)cdot varphi'(x_0) $$

или, в более короткой записи: $y_{x}'=y_{u}'cdot u_{x}'$.

В примерах этого раздела все функции имеют вид $y=f(x)$ (т.е. рассматриваем лишь функции одной переменной $x$). Соответственно, во всех примерах производная $y'$ берётся по переменной $x$. Чтобы подчеркнуть то, что производная берётся по переменной $x$, часто вместо $y'$ пишут $y'_x$.

В примерах №1, №2 и №3 изложен подробный процесс нахождения производной сложных функций. Пример №4 предназначен для более полного понимания таблицы производных и с ним имеет смысл ознакомиться.

Желательно после изучения материала в примерах №1-3 перейти к самостоятельному решению примеров №5, №6 и №7. Примеры №5, №6 и №7 содержат краткое решение, чтобы читатель мог проверить правильность своего результата.

  • Пример №1
  • Найти производную функции $y=e^{cos x}$.
  • Решение

Нам нужно найти производную сложной функции $y'$. Так как $y=e^{cos x}$, то $y'=left(e^{cos x}
ight)'$. Чтобы найти производную $left(e^{cos x}
ight)'$ используем формулу №6 из таблицы производных. Дабы использовать формулу №6 нужно учесть, что в нашем случае $u=cos x$. Дальнейшее решение состоит в банальной подстановке в формулу №6 выражения $cos x$ вместо $u$:

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

Итак,

$$ y'=left( e^{cos x}
ight)'=e^{cos x}cdot (cos x)' ag {1.1}$$

Теперь нужно найти значение выражения $(cos x)'$. Вновь обращаемся к таблице производных, выбирая из неё формулу №10. Подставляя $u=x$ в формулу №10, имеем: $(cos x)'=-sin xcdot x'$. Теперь продолжим равенство (1.1), дополнив его найденным результатом:

$$ y'=left( e^{cos x}
ight)'=e^{cos x}cdot (cos x)'= e^{cos x}cdot (-sin xcdot x') ag {1.2} $$

Так как $x'=1$, то продолжим равенство (1.2):

$$ y'=left( e^{cos x}
ight)'=e^{cos x}cdot (cos x)'= e^{cos x}cdot (-sin xcdot x')=e^{cos x}cdot (-sin xcdot 1)=-sin xcdot e^{cos x} ag {1.3} $$

Итак, из равенства (1.3) имеем: $y'=-sin xcdot e^{cos x}$. Естественно, что пояснения и промежуточные равенства обычно пропускают, записывая нахождение производной в одну строку, – как в равенстве (1.3). Итак, производная сложной функции найдена, осталось лишь записать ответ.

  1. Ответ: $y'=-sin xcdot e^{cos x}$.
  2. Пример №2
  3. Найти производную функции $y=9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)$.
  4. Решение

Нам необходимо вычислить производную $y'=left(9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'$. Для начала отметим, что константу (т.е. число 9) можно вынести за знак производной:

$$ y'=left(9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=9cdotleft(arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)' ag {2.1} $$

Теперь обратимся к выражению $left(arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'$.

Чтобы выбрать нужную формулу из таблицы производных было легче, я представлю рассматриваемое выражение в таком виде: $left(left(arctg(4cdot ln x)
ight)^{12}
ight)'$.

Теперь видно, что необходимо использовать формулу №2, т.е. $left(u^alpha
ight)'=alphacdot u^{alpha-1}cdot u'$. В эту формулу подставим $u=arctg(4cdot ln x)$ и $alpha=12$:

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

Дополняя равенство (2.1) полученным результатом, имеем:

$$ y'=left(9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=9cdotleft(arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'= 108cdotleft(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot (arctg(4cdot ln x))' ag {2.2} $$

Примечание: показатьскрыть

В этой ситуации часто допускается ошибка, когда решатель на первом шаге выбирает формулу $(arctg ; u)'=frac{1}{1+u^2}cdot u'$ вместо формулы $left(u^alpha
ight)'=alphacdot u^{alpha-1}cdot u'$. Дело в том, что первой должна находиться производная внешней функции.

Чтобы понять, какая именно функция будет внешней для выражения $arctg^{12}(4cdot 5^x)$, представьте, что вы считаете значение выражения $arctg^{12}(4cdot 5^x)$ при каком-то значении $x$. Сначала вы посчитаете значение $5^x$, потом умножите результат на 4, получив $4cdot 5^x$.

Читайте также:  Учет выпуска продукции по фактической себестоимости - в помощь студенту

Теперь от этого результата берём арктангенс, получив $arctg(4cdot 5^x)$. Затем возводим полученное число в двенадцатую степень, получая $arctg^{12}(4cdot 5^x)$. Последнее действие, — т.е. возведение в степень 12, — и будет внешней функцией.

И именно с неё надлежит начинать нахождение производной, что и было сделано в равенстве (2.2).

  • Теперь нужно найти $(arctg(4cdot ln x))'$. Используем формулу №19 таблицы производных, подставив в неё $u=4cdot ln x$:
  • Немного упростим полученное выражение, учитывая $(4cdot ln x)^2=4^2cdot (ln x)^2=16cdot ln^2 x$.
  • Равенство (2.2) теперь станет таким:

$$ (arctg(4cdot ln x))'=frac{1}{1+(4cdot ln x)^2}cdot (4cdot ln x)' $$ $$ (arctg(4cdot ln x))'=frac{1}{1+(4cdot ln x)^2}cdot (4cdot ln x)'=frac{1}{1+16cdot ln^2 x}cdot (4cdot ln x)' $$ $$ y'=left(9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=9cdotleft(arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=\ =108cdotleft(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot (arctg(4cdot ln x))'=108cdot left(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot frac{1}{1+16cdot ln^2 x}cdot (4cdot ln x)' ag {2.3} $$

Осталось найти $(4cdot ln x)'$. Вынесем константу (т.е. 4) за знак производной: $(4cdot ln x)'=4cdot (ln x)'$.

Для того, чтобы найти $(ln x)'$ используем формулу №8, подставив в нее $u=x$: $(ln x)'=frac{1}{x}cdot x'$.

Так как $x'=1$, то $(ln x)'=frac{1}{x}cdot x'=frac{1}{x}cdot 1=frac{1}{x}$. Подставив полученный результат в формулу (2.3), получим:

$$ y'=left(9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=9cdotleft(arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=\ =108cdotleft(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot (arctg(4cdot ln x))'=108cdot left(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot frac{1}{1+16cdot ln^2 x}cdot (4cdot ln x)'=\ =108cdot left(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot frac{1}{1+16cdot ln^2 x}cdot 4cdot frac{1}{x}=432cdot frac{arctg^{11}(4cdot ln x)}{xcdot (1+16cdot ln^2 x)}. $$

Напомню, что производная сложной функции чаще всего находится в одну строку, – как записано в последнем равенстве. Поэтому при оформлении типовых расчетов или контрольных работ вовсе не обязательно расписывать решение столь же подробно.

  1. Ответ: $y'=432cdot frac{arctg^{11}(4cdot ln x)}{xcdot (1+16cdot ln^2 x)}$.
  2. Пример №3
  3. Найти $y'$ функции $y=sqrt[7]{sin^3(5cdot9^x)}$.
  4. Решение

Для начала немного преобразим функцию $y$, выразив радикал (корень) в виде степени: $y=sqrt[7]{sin^3(5cdot9^x)}=left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}$. Теперь приступим к нахождению производной. Так как $y=left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}$, то:

$$ y'=left( left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}
ight)' ag {3.1} $$

  • Используем формулу №2 из таблицы производных, подставив в неё $u=sin(5cdot 9^x)$ и $alpha=frac{3}{7}$:
  • Продолжим равенство (3.1), используя полученный результат:
  • Теперь нужно найти $(sin(5cdot 9^x))'$. Используем для этого формулу №9 из таблицы производных, подставив в неё $u=5cdot 9^x$:
  • Дополнив равенство (3.2) полученным результатом, имеем:

$$ left( left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}
ight)'= frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}-1} (sin(5cdot 9^x))'=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} (sin(5cdot 9^x))' $$ $$ y'=left( left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}
ight)'=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} (sin(5cdot 9^x))' ag {3.2} $$ $$ (sin(5cdot 9^x))'=cos(5cdot 9^x)cdot(5cdot 9^x)' $$ $$ y'=left( left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}
ight)'=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} (sin(5cdot 9^x))'=\ =frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} cos(5cdot 9^x)cdot(5cdot 9^x)' ag {3.3} $$

Осталось найти $(5cdot 9^x)'$. Для начала вынесем константу (число $5$) за знак производной, т.е. $(5cdot 9^x)'=5cdot (9^x)'$.

Для нахождения производной $(9^x)'$ применим формулу №5 таблицы производных, подставив в неё $a=9$ и $u=x$: $(9^x)'=9^xcdot ln9cdot x'$.

Так как $x'=1$, то $(9^x)'=9^xcdot ln9cdot x'=9^xcdot ln9$. Теперь можно продолжить равенство (3.3):

$$ y'=left( left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}
ight)'=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} (sin(5cdot 9^x))'=\ =frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} cos(5cdot 9^x)cdot(5cdot 9^x)'= frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} cos(5cdot 9^x)cdot 5cdot 9^xcdot ln9=\ =frac{15cdot ln 9}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}}cdot cos(5cdot 9^x)cdot 9^x. $$

Можно вновь от степеней вернуться к радикалам (т.е. корням), записав $left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}}$ в виде $frac{1}{left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{4}{7}}}=frac{1}{sqrt[7]{sin^4(5cdot 9^x)}}$. Тогда производная будет записана в такой форме:

$$ y'=frac{15cdot ln 9}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}}cdot cos(5cdot 9^x)cdot 9^x= frac{15cdot ln 9}{7}cdot frac{cos (5cdot 9^x)cdot 9^x}{sqrt[7]{sin^4(5cdot 9^x)}}. $$

  1. Ответ: $y'=frac{15cdot ln 9}{7}cdot frac{cos (5cdot 9^x)cdot 9^x}{sqrt[7]{sin^4(5cdot 9^x)}}$.
  2. Пример №4
  3. Показать, что формулы №3 и №4 таблицы производных есть частный случай формулы №2 этой таблицы.
  4. Решение
  5. В формуле №2 таблицы производных записана производная функции $u^alpha$. Подставляя $alpha=-1$ в формулу №2, получим:

$$(u^{-1})'=-1cdot u^{-1-1}cdot u'=-u^{-2}cdot u' ag {4.1}$$

Так как $u^{-1}=frac{1}{u}$ и $u^{-2}=frac{1}{u^2}$, то равенство (4.1) можно переписать так: $left( frac{1}{u}
ight)'=-frac{1}{u^2}cdot u'$. Это и есть формула №3 таблицы производных.

Вновь обратимся к формуле №2 таблицы производных. Подставим в неё $alpha=frac{1}{2}$:

$$left(u^{frac{1}{2}}
ight)'=frac{1}{2}cdot u^{frac{1}{2}-1}cdot u'=frac{1}{2}u^{-frac{1}{2}}cdot u' ag {4.2} $$

Так как $u^{frac{1}{2}}=sqrt{u}$ и $u^{-frac{1}{2}}=frac{1}{u^{frac{1}{2}}}=frac{1}{sqrt{u}}$, то равенство (4.2) можно переписать в таком виде:

$$ (sqrt{u})'=frac{1}{2}cdot frac{1}{sqrt{u}}cdot u'=frac{1}{2sqrt{u}}cdot u' $$

Полученное равенство $(sqrt{u})'=frac{1}{2sqrt{u}}cdot u'$ и есть формула №4 таблицы производных. Как видите, формулы №3 и №4 таблицы производных получаются из формулы №2 подстановкой соответствующего значения $alpha$.

  • Пример №5
  • Найти $y'$, если $y=arcsin 2^x$.
  • Решение
  • Нахождение производной сложной функции в данном примере запишем без подробных пояснений, которые были даны в предыдущих задачах.

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

  1. Ответ: $y'=frac{2^xln 2}{sqrt{1-2^{2x}}}$.
  2. Пример №6
  3. Найти $y'$, если $y=7cdot lnsin^3 x$.
  4. Решение

Как и в предыдущем примере, нахождение производной сложной функции укажем без подробностей. Желательно записать производную самостоятельно, лишь сверяясь с указанным ниже решением.

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

  • Ответ: $y'=21cdotctg x$.
  • Пример №7
  • Найти $y'$, если $y=frac{9}{ g^4(log_{2}(2cdotcos x))}$.
  • Решение

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту Онлайн-занятия по высшей математике

Источник: https://math1.ru/education/differ_calculus/composite_func.html

Производная сложной функции

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

Чтобы приступить к изучению данного вопроса, вы должны знать таблицу производных и выучить правила дифференцирования.

Сложной функцией называется функция вида g(f(x)). Давайте разберем что эта запись означает?

Известно, что f(x) — это некая функция (закон). Аналогично, g(x) — тоже функция.

  • В свою очередь, функцию вида g(f(x)) называют сложной функцией, и аргументом этой функции является значение функции f(x).
  • Областью определения функции g(f(x)) является область значений функции f(x).
  • Если положить, что f(x)=x, то функция g примет вид простой функции: g(f(x))=g(x).
  • Правило
  • Для вычисления производной сложной функции применяется следующее правило:

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

Сначала вычисляется производная от функции g, как если бы она была простой функцией, потом вычисляется производная от функции f(x) и результатом записывается умножение этих двух производных.

Если положить, что f(x) = x, то производная от функция g(f(x)) примет вид:

Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

  1. За такой, казалось бы, небольшой теорией как найти производную сложной функции, больше похожей на инструкцию к применению, кроется огромный практический курс в силу того, что даже самые простые на вид сложные функции вызывают трудности среди учащихся, когда требуется их просто продифференцировать.
  2. Чтобы научиться быстро дифференцировать сложные функции, необходимо на отлично уметь вычислять производные от простых функций.
  3. Пример 1

    Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

  4. Пример 2

    Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

  5. Пример 3

    Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

  6. Пример 4

    Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

  7. Пример 5

    Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции - в помощь студенту

  8. Если вы прочли все предыдущие статьи на тему производных и усвоили данный материал, считайте, что с практической частью вы справитесь.
  9. Добавим только, что на нашем сайте есть разобранные примеры реальных задач, которые встречаютcя студентам на практике.

Источник: https://math24.biz/article?id=proizvodnaya_slozhnoy_funktsii

Производная сложной функции

Пусть есть функция $ y=f(g(x)) $, тогда производную сложной функции можно найти по формуле:

$$ y'=f'(g(x)) cdot g'(x) $$

Проще говоря, нахождение производной сложной функции выполняется «по цепочке». Сначала находим производную от внешней функции без изменения её аргумента и умножаем на производную аргумента. Если аргумент в свою очередь тоже является сложной функцией, то снова берем производную ещё и от него.

Рассмотрим на практике примеры решений производных сложных функций.

Примеры решений

Пример 1
Найти производную сложной функции: $ y = sqrt{x^2+1} $
Решение
  • Пользуемся формулой нахождения производной сложной функции. Сначала находим производную внешней функции без учета внутренней функции, а затем и производную от самой внутренней функции: 
  • $$ y'=( sqrt{x^2+1} )'= $$
  • $$ =frac{1}{2sqrt{x^2+1}} cdot (x^2+1)'= $$
  • $$ =frac{1}{2sqrt{x^2+1}} cdot 2x = frac{x}{2sqrt{x^2+1}} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y'=frac{x}{2sqrt{x^2+1}} $$
Пример 2
Найти производную сложной функции: $ y = e^{4x+3} $
Решение
  1. Видим экспоненту в задаче, поэтому берем значение производной для неё из таблицы, а затем вычисляем производную от аргумента:
  2. $$ y'=(e^{4x+3})' = e^{4x+3} cdot (4x+3)' = $$
  3. $$ = e^{4x+3} cdot 4 = 4e^{4x+3} $$
Ответ
$$ y' = 4e^{4x+3} $$
Пример 3
Найти производную сложной функции: $ y = arctan x^2 $
Решение
  • Зная значение производной арктангенса из таблицы, находим производную сложной функции:
  • $$ y' = (arctan x^2)' = frac{1}{1+(x^2)^2} cdot (x^2)' = $$
  • $$ = frac{1}{1+(x^2)^2} cdot 2x = frac{2x}{1+x^4} $$
Ответ
$$ y' = frac{2x}{1+x^4} $$
Пример 4
Найти производную сложной функции: $ y = ln(x^3+2) $
Решение
Перед нами сложная функция, точнее натуральный логарифм от многочлена. Поэтому применим правило. Имеем: $$ y' = (ln(x^3+2))' = frac{1}{x^3+2} cdot (x^3+2)' = $$ $$ = frac{1}{x^3+2} cdot 3x^2 = frac{3x^2}{x^3+2} $$
Ответ
$$ y' = frac{3x^2}{x^3+2} $$
Пример 5
Найти производную от сложной функции: $ y = ln(sin^3x+ e^{cos x}) $
Решение
  1. Сложную функцию представляет натуральный логарифм, аргументом которого является сумма двух функций, обе тоже сложные функции. Вспоминаем формулу и приступаем:
  2. $$ y' = ( ln(sin^3x+e^{cos x}) )' = $$
  3. $$ =frac{1}{sin^3x+e^{cos x}} cdot (sin^3x+e^{cos x})' = $$
  4. Производная суммы функций равна сумме производных этих функций:
  5. $$ =frac{1}{sin^3x+e^{cos x}} cdot ( (sin^3x)'+(e^{cos x})') = $$
  6. Первая функция $ (sin^3x)' $ — это производная от сложной функции:
  7. $$ (sin^3x)' = 3sin^2x cdot (sin x)' = 3sin^2x cos x $$
  8. Вторая функция $ (e^{cos x})' $ — это производная сложной функции:
  9. $$ (e^{cos x})' = e^{cos x} cdot (cos x)' = e^{cos x} cdot (-sin x) $$
  10. Продолжаем нахождение производной исходной функции:
  11. $$ = frac{1}{sin^3x+e^{cos x}} cdot (3sin^2x cos x — e^{cos x} sin x) $$
Ответ
$$ y' = frac{3sin^2x cos x — e^{cos x} sin x}{sin^3x+e^{cos x}} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/proizvodnaya-slozhnoj-funkcii.html

Ссылка на основную публикацию