Признаки делимости чисел — в помощь студенту

Определение 1. Пусть число a 1) есть произведение двух чисел b и q так, что a=bq. Тогда a называется кратным b.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
  • 1) В данной статье под словом число будем понимать целое число.
  • Можно сказать также a делится на b, или b есть делитель a, или b делит a, или b входит множителем в a.
  • Из определения 1 вытекают следующие утверждения:

Утверждение 1. Если a -кратное b, b-кратное c, то a кратное c.

  1. Действительно. Так как
  2. a=bm, b=nc,
  3. где m и n какие то числа, то
  4. a=(nc)m=(nm)c.
  5. Следовательно a делится на c.
  6. Если в ряду чисел, каждое делится на следующее за ним, то каждое число есть кратное всех последующих чисел.

Утверждение 2. Если числа a и b — кратные числа c, то их сумма и разность также кратные числа c.

  • Действительно. Так как
  • a=mc, b=nc,
  • тогда
  • a+b=mc+nc=(m+n)c,
  • a−b=mc−nc=(m−n)c.
  • Следовательно a+b делится на c и a−b делится на c .
  • Выведем общую формулу для определения признака делимости чисел на некоторое натуральное число m, которое называется признаком делимости Паскаля.

Найдем остатки деления на m следующей последовательностью. Пусть остаток от деления 10 на m будет r1, 10·r1 на m будет r2, и т.д. Тогда можно записать:

Признаки делимости чисел - в помощь студенту (1)

Так как при делении любого числа на m остатки могут быть 0,1,…,m-1, то через m шагов остатки от деления на m будут повторяться (следовательно пересчитать их не нужно).

Любое натуральное число A в десятичной системе счисления можно представить в виде

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Классификация жилищного фонда - в помощь студенту

Оценим за полчаса!
Признаки делимости чисел - в помощь студентуПризнаки делимости чисел - в помощь студенту (2)

Докажем, что остаток деления числа A на m равна остатку деления числа

Признаки делимости чисел - в помощь студенту (3)
  1. на m.
  2. Как известно, если два числа при делении на какое то число m дают одинаковый остаток, то из разность делится на m без остатка.
  3. Рассмотрим разность A−A'
Признаки делимости чисел - в помощь студентуПризнаки делимости чисел - в помощь студентуПризнаки делимости чисел - в помощь студентуПризнаки делимости чисел - в помощь студентуПризнаки делимости чисел - в помощь студенту (4)

Покажем, что 10iri делиться на m при всех i=1,2,…m−1.

10−ri=mk1 делится на m (т.к. mk1 кратно m),

Признаки делимости чисел - в помощь студенту (5)
(6)
(7)

Каждый член правой части (5) делится на m следовательно левая часть уравнения также делится на m.

Рассуждая аналогично, получим — правая часть (6) делится на m, следовательно левая часть (6) также делится на m, правая часть (7) делится на m, следовательно левая часть (7) также делится на m. Получили, что правая часть уравнения (4) делится на m.

Следовательно A и A' имеют одинаковый остаток при делении на m. В этом случае говорят, что A и A' равноостаточные или сравнимыми по модулю m.

Таким образом, если A' делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m) , то A также делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m). Мы показали что для определения делимости A можно определить делимость более простого числа A'.

  • Исходя из выражения (3), можно получить признаки делимости для конкретных чисел.
  • Признак делимости на 2.
  • Следуя процедуре (1) для m=2, получим:
10=2·5+0, 10·0=2·5+0, и т.д.

Все остатки от деления на 2 равняются нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делиться на 2 (т.е. когда число является четным).

Признак делимости на 3.

Следуя процедуре (1) для m=3, получим:

Все остатки от деления на 3 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем

  1. Следовательно число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 3.
  2. Признак делимости на 4.
  3. Следуя процедуре (1) для m=4, получим:

Все остатки от деления на 4 кроме первого равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков сложенное с числом единиц делится на 4. Число делится на 4, если последние две цифры составляют число, делящееся на 4.

Признак делимости на 5.

Следуя процедуре (1) для m=5, получим:

Все остатки равны нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 5, т.е. число оканчивается на 0 или 5.

Признак делимости на 6.

Следуя процедуре (1) для m=6, получим:

Все остатки равны 4. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 6. То есть из числа отбрасываем правую цифру, далее суммируем полученное число с 4 и добавляем отброшенное число. Если данное число делится на 6, то исходное число делится на 6.

Пример. 2742 делится на 6, т.к. 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 делится на 6.

Более простой признак делимости. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 (т.е. если оно четное число и если сумма цифр делится на 3). Число 2742 делится на 6, т.к. число четное и 2+7+4+2=15 делится на 3.

Признак делимости на 7.

Следуя процедуре (1) для m=7, получим:

Все остатки разные и повторяются через 7 шагов. Тогда, из уравнения (3) имеем

(8)

Следовательно число делится на 7 тогда и только тогда, когда (8) делится на 7.

Пример. 3801 делится на 7, т.к. 1+0*3+8*2+3*6=1+16+18=35 делится на 7.

Другой признак делимости. Для определения, делится ли число на 7, из числа отбрасываем последнюю с права цифру, далее умножаем полученное число на 3 и добавляем и добавляет отброшенное число. Если данное число делится на 7, то исходное число делится на 6. 380*3+1=1141, 114*3+1=343, 34*3+3=105, 10*3+5=35 делится на 7, следовательно 3801 делится на 7.

Признак делимости на 8.

Следуя процедуре (1) для m=8, получим:

Все остатки все остатки нулевые, кроме первых двух. Тогда, из уравнения (3) имеем

(9)

Следовательно число делится на 8 тогда и только тогда, когда (9) делится на 8.

Пример. 4328 делится на 8, т.к. 8+2*2+4*3=24 делится на 8.

Признак делимости на 9.

Следуя процедуре (1) для m=9, получим:

Все остатки от деления на 9 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем

  • Следовательно число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9.
  • Признак делимости на 10.
  • Следуя процедуре (1) для m=10, получим:

Все остатки от деления на 10 равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 10 (то есть последняя цифра нулевая).

Источник: https://matworld.ru/teorija-chisel/delimost-chisel.php

Справочник по математике: признаки делимости

Как известно, соответствующий раздел в школьном учебнике по математике (6 класс) представлен в весьма упрошенном урезанном виде. Здесь Вы найдете полный список признаков делимости на числа до 13 и 25.

Я специально подправил некоторые из них для того, чтобы репетитор по математике мог рассказать их в 6 классе без использования аппарата отрицательных чисел.

Признаки разбиты на группы по характеру проверок делимости без знакомой каждому репетитору конкретики с перечислением вариантов окончаний (в делимости на 2, на 5, на 10 и 25). Это сделано для наилучшего запоминания и учеником соответствующей классификации.

Классификация репетитора по математике признаков делимости

По последним цифрам числа

По одной последней цифре:

На 2.  Если последняя цифра числа кратна 2 (четная), то число делится на 2.

На 5.  Если последняя цифра делится на 5, то и число делится на 5

На 10. Если последняя цифра делится на 10 (иными словами она должна быть нулем) , то и число делится на 10.

По двум последним цифрам

На 4. Если последними двумя цифрами образуется число, делящееся на 4, то и исходное число делится на 4

На 25.  Если последними двумя цифрами образуется число, делящееся на 25, то и исходное число поделится на 25.

По трем последним цифрам

На 8. Если последние 3 цифры образуют число, которое делится на 8, то и исходное число разделится на 8

По сумме цифр или классов

На 3.  Если сумма цифр числа разделилась на 3, то и исходное число разделится на 3

На 9. Если сумма цифр разделилась на 9, то и исходное число разделится на 9

На 11. Пронумеруем разряды числа в порядке «слева направо» или «справа налево» (не принципиально). Найдем сумму цифр, стоящих на четных местах. Затем найдем сумму цифр с нечетных мест. Если разность этих сумму будет делиться на 11, то и исходное число будет кратно 11.

Пример: делится ли на 11 число ?
Сумма цифр на четных местах Признаки делимости чисел - в помощь студенту
Сумма на нечетных Признаки делимости чисел - в помощь студенту
Найдем разность Признаки делимости чисел - в помощь студенту. Она не делится на 11, поэтому и не делится на 11.

На 7.  Пронумеруем классы у числа в порядке «слева направо» или «справа налево» (не важно)
Найдем сумму трехзначных чисел, соответствующих классам на четных местах, и сумму трехзначных чисел, взятых из классов с нечетными местами. Если разность этих сумм поделится на 7, то и начальное число поделится на 7.

Пример: делится ли на 7 число ?
Сумма чисел из классов на четных местах Признаки делимости чисел - в помощь студенту
Сумма на нечетных Признаки делимости чисел - в помощь студенту
Разность этих сумм Признаки делимости чисел - в помощь студенту — не делится на 7.
Значит и не делится на 7.

Аналогичный признак делимости есть и на число 13. Если разность сумм классов (как из предыдущего признака) разделится на 13, то и начальное число обязано поделиться на 13.

  • Такую же «классовую» проверку можно проводить и с делимостью на 11.
  • Замечание репетитора:
    Единство признаков на 7, 11 и 13 происходит от особенностей разложения на простые множители у числа

Дополнительный признак на 13:
Отрежем последнюю цифру у числа и добавим у получившемуся результату учетверенную отрезанную цифру. Если получившийся результат сможет разделиться на 13, то и начальное число обязательно поделится на 13.

Доказательство:

Очевидно, что вычитаемое делится на 13, поэтому делимость разности зависит от уменьшаемого. Поскольку 10 не имеет в разложении на простые множители числа 13, то уменьшаемое поделится на 13 только тогда, когда поделится сумма Что и требовалось обосновать.

Если Вам не достаточно короткого объяснения этого признака — к Вашим услугам репетитор по математике.

Дополнительный признак на 7:
Стандартно пронумеруем классы как было описано выше в других признаках.

Для каждого из них составим сумму с использованием чисел 1, 3 и 2 в порядке «прикрепления» их к разрядным цифрам каждого класса «справа налево».

Найдем сумму таких сумм, образованных классами с четными номерами и сумму сумм, образованных нечетными классами. Если разность этих сумм делится на 7, то и первоначальное число делится на 7.

Бонус от репетитора по математике: аналогично признаку на 13, в котором отрезается последняя цифра, имеется признак на 7: число разделится на 7, если разность числа без его последней цифры и удвоенной последней цифрой делится на 7. Например число 609 кратно 7 так как на 7 разделится число

Если Вам нужна олимпиадная практика решения задач на делимость — обратитесь к квалифицированному репетитору, имеющему соответствующий опыт объяснений и планирования уроков на дополнительные темы и разделы школьного курса.

Читайте также:  Файловая структура диска - в помощь студенту

С уважением, Колпаков Александр Николаевич. Олимпиадная практика по математике в Строгино.

Источник: https://ankolpakov.ru/2015/09/22/spravochnik-po-matematike-priznaki-delimosti/

Признаки делимости чисел на 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,25,100,1000

п»ї

Признак делимости на 2

Число, делящееся РЅР° 2, называется четным, РЅРµ делящееся — нечетным. Число делится РЅР° РґРІР°, если его последняя цифра четная или нуль. Р’ остальных случаях — РЅРµ делится.

Например, число 52 738 делится РЅР° 2, так как последняя цифра 8 — четная; 7691 РЅРµ делится РЅР° 2, так как 1 — цифра нечетная; 1250 делится РЅР° 2, так как последняя цифра нуль.

Признак делимости на 4

Число делится РЅР° 4, если РґРІРµ последние его цифры нули или образуют число, делящееся РЅР° 4. Р’ остальных случаях — РЅРµ делится.

  • Примеры. 31 700 делится РЅР° 4, так как оканчивается РґРІСѓРјСЏ нулями; 215 634 РЅРµ делится РЅР° 4, так как последние РґРІРµ цифры дают число 34, РЅРµ делящееся РЅР° 4;
  • 16 608 делится РЅР° 4, так как РґРІРµ последние цифры 08 дают число 8, делящееся, РЅР° 4.

Признак делимости на 8

Признак делимости РЅР° 8 подобен предыдущему. Число делится РЅР° 8, если три последние цифры его нули или образуют число, делящееся РЅР° 8. Р’ остальных случаях — РЅРµ делится.

  1. Примеры. 125000 делится на 8 (три нуля в конце); 170 004 не делится на 8 (три последние цифры дают число 4, не делящееся на 8);
  2. 111120 делится на 8 (три последние цифры дают число 120, делящееся на 8).

Можно указать подобные признаки и для деления на 16, 32, 64 и т. д., но они не имеют практического значения.

Признаки делимости на 3 и на 9

РќР° 3 делятся только те числа, Сѓ которых СЃСѓРјРјР° цифр делится РЅР° 3; РЅР° 9 — только те, Сѓ которых СЃСѓРјРјР° цифр делится РЅР° 9.

Примеры. Число 17835 делится на 3 и не делится на 9, так как сумма его цифр 1 +7 + 8 + 3 + 5 = 24 делится на 3 и не делится на 9. Число 105 499 не делится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (29) не делится ни на 3, ни на 9.

Число 52 632 делится на 9, так как сумма его цифр (18) делится на 9.

Признак делимости на 6

Число делится РЅР° 6, если РѕРЅРѕ делится одновременно РЅР° 2 Рё РЅР° 3. Р’ противном случае — РЅРµ делится.

Например, 126 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.

Признаки делимости на 5

РќР° 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие — РЅРµ делятся.

  • Пример. 240 делится РЅР° 5 (последняя цифра 0);
  • 554 РЅРµ делится РЅР° 5 (последняя цифра 4).

Признак делимости на 25

На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие не делятся.

Пример. 7150 делится на 25 (оканчивается на 50), 4855 не делится на 25.

Признаки делимости на 10, 100 и 1000

  1. РќР° 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, РЅР° 100 — только те числа, Сѓ которых РґРІРµ последние цифры нули, РЅР° 1000 — только те, Сѓ которых три последние цифры нули.
  2. Примеры. 8200 делится на 10 и на 100;
  3. 542000 делится на 10, 100, 1000.

Признак делимости на 11

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равнасумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11.

Примеры. Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих четные места 0+7+5=12.

Число 9163627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих четные места, есть 1 + 3 +2 =6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11.

Число 461025 не делится на 11, так как числа 4+ 1 + 2 = 7 и 6 +0 + 5=11 не равны друг другу, а их разность 11 -7 = 4 на 11 не делится.

Признак делимости на 7

Таким образом для делимости на числа первого десятка, кроме 7, существуют удобные признаки; для 7 удобного признака делимости не найдено.

Можно дать следующий признак делимости на 7, который недостаточно удобен. Разобьем число справа налево на грани, по три цифры в каждой грани.

Число делится на 7, если разность суммы чисел в гранях, стоящих на четных местах, и суммы чисел в гранях, стоящих на нечетных местах, делится на 7.

Так, число 159 213 608 421 делится РЅР° 7, так как 421 + 213=634, 608 + 159 = 767 Рё разность 767 — 634 = 133 делится РЅР° 7.

Теорема косинусов

Признаки делимости чисел - в помощь студенту

Ловкий Карл Фридрих Гаусс

Признаки делимости чисел - в помощь студенту

Правила округления чисел

Признаки делимости чисел - в помощь студенту

Нахождение площади треугольника

Признаки делимости чисел - в помощь студенту

Источник: http://www.maths.yfa1.ru/arifmetica.php?id=10

Признаки делимости

При решении задач ЕГЭ базового и профильного уровня необходимо знать признаки делимости. Многие признаки делимости чисел нацело вы знаете из начального курса математики. Поэтому такая простая информация могла легко забыться. Сегодня мы с вами повторим основные признаки делимости и решим некоторые задачи.

Говорят, что целое число a делится на натуральное число b, если существует такое целое число c, что выполняется равенство a = bc. В этом случае число b называют делителем числа a, а число a — кратным числу b.

  • Если числа делится на b, то пишут .
  • Пример.
  • так как
  • Свойства делимости чисел
  • Простые числа и составные числа.

Простые и составные числа

  1. Число p называется простым, если оно делится только на себя и на единицу.
  2. Составными числами называются целые числа, имеющие больше двух различных делителей.
  3. Пример.

Число 17 простое. Делители 17: 1, 17.

Число 9 составное. Делители 9: 1, 3, 9.

Единица не является ни простым, ни составным числом.

Два числа, наибольший делитель которых, равен 1, называются взаимно простыми.

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра в записи числа есть число, которое делится на 2 (последняя цифра – образует четное число).

Признаки делимости чисел - в помощь студенту

Например, число 124 делится на 2, так как 4 — четное число.

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа дают число, которое делится на 4.

Пример: 132 делится на 4, потому что последние две цифры «3» и «2» образуют число 32, которое делится на 4.

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда последние три цифры в записи числа образуют число, которое делится на 8.

Пример, число 2192 делится на 8, поскольку последние три цифры «1», «9» и «2» образуют число 192, которое делится на 8. При рассмотрении задач надо иметь в виду, что число делящееся на 8, в свою очередь должно делится и на 4 и на 2 одновременно.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма чисел, образованных цифрами в записи числа, делится на 3.

Пример: число 153 делится на 3, так как сумма чисел 1+3+5=9 делится на 3.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма чисел, образованных цифрами в записи числа, делится на 9.

Пример: число 198 делится на 9, поскольку сумма чисел 1+9+8=18 делится на 9.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра в записи числа образует число, которое делится на 5 (последняя цифра 0 или 5).

Пример, число 165 делится на 5, так как заканчивается на 5.

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда последние две цифры в записи числа, образуют число, которое делится на 25.

Пример: число 125 делится на 25, так как последние две цифра «2» и «5» образуют число 25, которое делится на 25.

Следует помнить, что цифры не могут суммироваться, делиться и т.д. Цифры это такие значки, которыми записываются числа. И веса у них самих по себе не более чем у любого другого значка, как у смайлика.

Но, если мы цифрой запишем число, то с числом мы уже можем проводить любые операции. Числа могут быть однозначные и двузначные, их бесконечное количество, но цифр для их записи всего 10.

Не путайте понятия числа и цифры, не портите отношения с проверяющими ваши работы математиками.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы чисел, стоящих на нечетных местах в записи числа, и суммы чисел, стоящих на четных местах в записи числа, делится на 11. А также если сумма чисел стоящих на четных местах, делится на сумму чисел, стоящих на нечетных местах.

Пример 1

123456789 делится на 3, так как 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, а 45 делится на 3.

Пример 2

1452 делится на 11, так как (1 + 5) – (4 + 2) делится на 11. Или 1+5=4+2.

Деление с остатком

  • Пусть a и b ≠ 0 – два целых числа. Разделить число a на число b с остатком – это значит найти такие числа c и d, что выполнены следующие условия:
  • От деления на b могут быть только остатки: 0, 1, 2, 3…, |b|-1.
  • Пример 1.
  • 19 : 7 = 2 (ост. 5)
  • 19 = 7 ∙ 2 + 5
  • Пример 2.

22 : (-3) = -7 (ост. 1).

  1. 22 = -3 ∙ (-7) + 1
  2. Пример 3.
  3. -22 : 3 = -8 (ост. 2)
  4. -22 = 3 ∙ (-8) + 2

Теоремы

Признаки делимости чисел - в помощь студенту
Признаки делимости чисел - в помощь студенту

Теперь рассмотрим конкретные задания из ЕГЭ на делимость

Задание №1

Найдите четырёхзначное число, которое делится на 33 и состоит только из цифр 1 и 2. В ответе укажите наименьшее из таких чисел.

Решение:

Если число делится на 33 то оно делиться на 11 и 3. Число делится на 11, если сумма цифр стоящих на четных позициях будет равна сумме цифр на нечетных позициях. Число делится на 3, если сумма цифр делится на 3.

Значит стоит чередовать 1 и 2 по 2 раза, причем если сложим 2 двойки и 2 единицы получим 6, значит, число будет делиться на 3. Получим число 1122.

Ответ: 1122

Задание №2

Найдите трёхзначное число, состоящее только из чётных цифр и кратное 9. В ответе укажите наименьшее из таких чисел.

  • Решение:
  • Если число должно делиться на 9, то и сумма цифр должна делиться на 9, наименьшее 9, но его нельзя представить как сумму 3 чётных цифр, рассмотрим 18, первой цифрой поставим 2 ( минимальное четное число), тогда на остальные 2 остается только 8 и 8, получим число 288.
  • Ответ: 288

Задание №3

Найдите трёхзначное число, которое при делении на 5 и 7 даёт равные ненулевые остатки, а вторая цифра этого числа равна сумме первой и третьей цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Число не должно оканчиваться на 0 или 5, так как в этом случае остаток от деления на 5 равен 0. Пусть вторая цифра в числе будет 4, тогда первая и третья цифры могут быть 1 и 3, получаем число 143. Проверяем:

  1. 1) 143:5=28 (Остаток 3)
  2. 2) 143:7=20 (Остаток 3)
  3. Остатки равны, соответственно условие выполнено.
  4. Аналогичными рассуждениями можно найти и другие числа: 176; 352; 561.
  5. Ответ: 176

Задание №4

Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 7, если известно, что число содержит цифру 1, и квадрат этого числа делится на 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Если квадрат числа делится на 25, то само число должно делиться на 5. Признак делимости на 5: число делиться на 5, если его последняя цифра 0 или 5. У нас трехзначное число, пусть последняя цифра будет 5, а первая 1, вторая цифра должна быть такой, чтобы сумма цифр была равна 7. Сумма цифр уже 6, то есть вторая цифра должна быть равна 1. Получим число 115.

Аналогичными рассуждениями можно получить числа 160 и 610.

Ответ: 115

Задание №5

Найдите четырёхзначное число, кратное 9, но не кратное 6, произведение цифр которого равно 1960. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

  • Решение:
  • Чтобы число делилось на 9, но не делилось на 6, оно должно быть нечетным.
  • Разложим 1960 на простые множители: 1960=2*2*2*5*7*7=8*5*7*7

Эти цифры обозначают числа, которые в сумме дают 27, значит число будет делиться на 9. Составим из этих цифр нечетное число, например: 7785.

Аналогичными рассуждениями (простой перестановкой цифр) можно получить другие числа.

Ответ: 7785

Задание №6

Сумма четырёх последовательных трёхзначных чисел равна 458. Найдите третье число.

Решение:

Все 4 числа приблизительно равны между собой, поэтому разделив 458 на 4 получаем 114 с остатком 2. Начинаем подбирать числа от 114.

114+115+116+117=462, это больше 458, начинаем считать от 113.

113+114+115+116=458, получили необходимую сумму. Третье число в данной последовательности равно 115.

Можно было решить альтернативно.

Пусть первое число равно n. Тогда следующие числа n+1, n+2, n+3.

  1. Составим и решим уравнение:
  2. n+n+1+n+2+n+3=458
  3. 4n=452
  4. n=113
  5. Тогда третье число 115.
  6. Ответ: 115

Задание №7

Найдите трёхзначное число, у которого сумма цифр, стоящих на нечетных местах, кратна 5, а само число кратно 9. В ответе запишите наименьшее такое число.

Решение:

Так как число должно быть наименьшим, то будет подбирать цифры так, чтобы оно начиналось с минимальной цифры (1 и далее), и аналогично будем подбирать для всех разрядов.

Нечетные места это 1 и 3, чтобы сумма цифр на нечетных местах была кратна 5, она должна быть равна, 5, 10 или 15. Пусть она будет равна 5, в сумме 5 составляют числа 1 и 4. Тогда чтобы число делилось на 9 сумма цифр должна делиться на 9, то есть в нашем случае сумма цифр должна равняться 9. То есть, на 2 месте должна стоять цифра 4. Получим число 144.

Ответ: 144

Задание №8

Найдите трёхзначное число, делящееся на 9, если известно, что его цифры являются последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Чтобы число делилось на 9, необходимо чтобы сумма его цифр делилась на 9. А, учитывая, что его цифры должны являться членами возрастающей арифметической прогрессии, каждая цифра должна отличаться от предыдущей на одно и то же число.

Читайте также:  Патентное право - в помощь студенту

Если разность прогрессии равна 1, получаем a, a+1, a+2. Сумма равна 3a+3.

3a+3=9,тогда a=2, а число 234

3a+3=18,тогда a=5, а число 567

Если разность прогрессии равна 2, получаем a, a+2, a+4. Сумма равна 3a+6.

  • 3a+6=9,тогда a=1, а число 135
  • 3a+6=18,тогда a=4, а число 468
  • 3a+6=27, тогда а=7, но следующие члены уже больше 10, не подходит.

Если разность прогрессии равна 3, получаем a, a+3, a+6. Сумма равна 3a+9.

  1. 3a+9=9,тогда a=0, не подходит
  2. 3a+9=18,тогда a=3, а число 369
  3. 3a+9=27,тогда a=6, но следующие члены уже больше 10, не подходит.

Если разность прогрессии равна 4, получаем a, a+4, a+8. Сумма равна 3a+12.

3a+12=18,тогда a=6, но следующие члены уже больше 10, не подходит.

Ответ: 234 или 567, или 135, или 468, или 369.

Задание №9

Найдите четырёхзначное число, которое состоит только из цифр 0 и 2 и делится на 12.

Решение:

Чтобы число делилось на 12, оно должно делиться на 3 и 4. На 3 число делится, если сумма цифр делится на 3. А на 4 делится, если 2 последние цифры нули или образуют число, которое делится на 4.

Чтобы число делилось на 3, в нем должно быть три двойки (чтобы в сумме давали 6). Значит 0 только один, последние 2 цифры должны быть 20, чтобы полученное число делилось на 4. То есть получаем число 2220.

  • Ответ: 2220
  • Итак, мы подробно рассмотрели делимость чисел, признаки делимости чисел и поучились применять полученные знания в задании №19 базового уровня егэ по математике.
  • Читайте еще наши статьи: таблица кубов натуральных чисел от 1 до 100.

Источник: https://novstudent.ru/priznaki-delimosti/

Делимость чисел. Признаки делимости. Основная теорема арифметики

В этой статье – необходимая теория для решения задачи 19 Профильного ЕГЭ по математике. Но это не все. Знания о числах и их свойствах, признаки делимости и формула деления с остатком могут пригодиться вам при решении многих задач ЕГЭ.
Повторим еще раз, какие бывают числа.

Признаки делимости чисел - в помощь студенту

Натуральные числа — это числа 1,2,3, … – те, что мы используем для счёта предметов. Ноль не является натуральным числом. Множество натуральных чисел обозначается .

Целые числа — это 0,±1,±2,±3 … Множество целых чисел обозначается .

Рациональные — числа, которые можно записать в виде
дроби , где – целое, а – натуральное.
Например, . Рациональные числа – это периодические десятичные дроби. Множество рациональных чисел обозначается .

Иррациональные числа – те, которые нельзя записать в виде или в виде периодической десятичной дроби. Числа – иррациональные.
Множества рациональных и иррациональных чисел вместе образуют множество действительных чисел .

Число делится на число , если найдется такое число такое, что . Например, 15 делится на 3, а 49 делится на 7. Обозначение:

  • — Если делится на , то число называется делителем числа .
  • — Если числа и делятся на , то тоже делится на .
  • — Если числа и делятся на , а и – целые, то тоже делится на .

Формула деления с остатком. Если , то число делится на с остатком .

Например, при делении 9 на 4 мы получаем частное 2 и остаток 1, то есть 9 = 4∙2 + 1.

Четные числа – целые числа, которые делятся на 2. Любое четное число можно записать в виде , где – целое.

Нечетные числа – те целые числа, что не делятся на 2. Любое нечетное число можно записать в виде , где – целое.

Простые числа – те, что делятся только на себя и на единицу. Единица не является ни простым, ни составным числом. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

  1. Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме 1.
  2. Любое натуральное число можно разложить на простые множители.
  3. Например, 72 = 2∙2∙2∙3∙3, а 98 = 2∙7∙7.
  4. Основная теорема арифметики: Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых делителей, взятых в натуральных степенях, причем это разложение единственно.
  5. Например, 72 = 2³∙3².
  6. Количество делителей натурального числа равно .
  7. Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа.
  8. Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся два данных числа.
  9. Признаки делимости
  10. последняя цифра числа четная;
  11. сумма цифр числа делится на 3;
  12. число заканчивается на 0 или на 5;
  13. число, составленное из двух последних цифр числа , делится на 4;
  14. число, составленное из трех последних цифр числа , делится на 8;
  15. сумма цифр числа делится на 9;
  16. последняя цифра числа равна 0;
  17. суммы цифр на четных и нечетных позициях числа равны или их разность кратна 11.

Источник: https://ege-study.ru/delimost-chisel-priznaki-delimosti-osnovnaya-teorema-arifmetiki/

Признаки делимости

Признаки делимости чисел сложно применять, поскольку их достаточно много. Зато знание таких признаков существенно экономит время, поскольку позволяет без деления узнать, делиться одно число на другое или нет. Разберемся в теме подробнее.
Признаки делимости чисел - в помощь студенту

Признаки делимости позволяют просто и быстро определить, возможно ли полностью поделить одно число на другое. А делимость это и есть возможность поделить одно число на друге без остатка.

Признаки делимости удобнее изучать, разбив возможные делители на группы. Поступим так же и рассмотрим делимость на каждую из групп в отдельности.

Эти числа в рассматриваемом вопросе сгруппированы, так как их признаки очень похожи друг на друга.

  • Число делится на 2 только если является четным.
  • Число делится на 4, если последние две цифры числа делятся на 4 или последние две цифры 00. Например, число 130 не делится на 4, так как 30 не делится на 4. А вот уже число 1400 можно поделить на 4.
  • Число делится на 8, если последние две цифры числа нули или делятся на 8

Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Рассмотрим число: 804. Оно делится на 3, поскольку сумма цифр 8+0+4=12 – делится на 3.

Число делится на 9, если сумма цифр числа делится на 9. Признак похож на признак делимости на число 3. Интересно: Если число делится на 9, то оно делится и на 3. При этом, число, которое делится на 3 не всегда делится на 9.

Число делится на 5, если последняя цифра числа равняется 5 или нулю. Это наиболее известный признак делимости, наряду с делимостью на 2.

Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и 3, так как 2*3=6. Поэтому признак делимости на 6 это объединение признаков деления на 2 и на 3.

То есть: число делится на 6, если оно четное и сумма всех его цифр делится на 3

Самые сложные в восприятии признаки делимости на 7 и на 11. Число делится на 7, если разность сумм четных цифр числа и нечетных цифр чисел делится на 7.

Приведем пример: число 469 делится на 7. Почему? Сумма цифр на нечетных позициях 4+9=13. Сумма чисел на четных позициях 6. Разность получившихся сумм: 13-6=7, а это число делится на 7. Поэтому все число 469 делится на 7

Число делится на 10 только если последней цифрой числа является 0

По тому же принципу определяют делимость числа на 100, 1000 и так далее. Если у числа два нуля на конце, то оно делится на 100, если три нуля на конце, число делится на 1000 и так далее.

Число делится на 11 только, если разность сумм четных и нечетных цифр числа делится на 11 или равняется нулю Приведем пример:

Число 2035 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на четных позициях: 2+3=5. Сумма нечетных цифр: 0+5=5. Разность полученных выражений:5-5=0, значит число делится на 11.

Нельзя путать понятия четной позиции и четного числа. Цифра это знак, который используется для записи чисел. Число это набор цифр, каждая из которых стоит на своей позиции. В числе 127 всего три цифры. Цифра 1 стоит на первой позиции, цифра 2 на второй и так далее. На четной позиции находится цифра 2. На нечетных позициях цифры 1 и 7.

Чтобы быстрее запомнить все группы можно свести в таблицу признаков делимости чисел.

Признаки Запомни
Признак делимости на 2 Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2 или является нулём.
Признак делимости на 4 Число делится на 4, если две его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4.
Признак делимости на 8 Число делится на 8, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8.
Признак делимости на 3 Число делится на 3, если сумма всех его цифр делится на 3.
Признак делимости на 6 Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.
Признак делимости на 9 Число делится на 9, если сумма всех его цифр делится на 9.
Признак делимости на 5 Число делится на 5, если его последняя цифра 5 или 0.
Признак делимости на 25 Число делится на 25, если его две последние цифры нули или образуют число, которое делится на 25.
Признак делимости на 10,100 и 1000.
  • 10 делятся нацело только те числа, последняя цифра которых нуль.
  • На 100 делятся нацело только те числа, две последние цифры которых нули.
  • На 1000 делятся нацело только те числа, три последние цифры нули.
Признак делимости на 11 Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11.

Мы поговорили о признаках делимости. Расписали все существующие признаки по группам. В особо сложных ситуациях привели примеры.

Средняя оценка: 4. Всего получено оценок: 305.

Источник: https://obrazovaka.ru/matematika/priznaki-delimosti-tablica-s-primerami.html

Признаки делимости

В этой статье мы поговорим о таком понятии, как признаки делимости. Это определенные действия, с помощью которых можно узнать, делится ли целое число a на другое число b, которое в данном случае будет целым положительным. При это само деление не проводится. Очевидно, что для изучения данных признаков необходимо иметь общее представление о делимости чисел.

Когда мы говорим о признаках делимости, чаще всего нам приходится иметь дело не с самим числом, а с цифрами, из которых оно состоит.

С помощью определенных признаков делимости можно заключить, что некое число a можно разделить на другое число. Для одних нам будет нужна последняя цифра в записи: так можно сделать вывод о делимости на 2, 5 и 10. Сформулируем эти признаки.

Определение 1

Те числа, в конце которых стоят цифры 0, 2, 4, 6, делятся на 2.

Определение 2

На 5 можно разделить те числа, которые заканчиваются на 5 и 0.

Определение 3

Все числа, заканчивающиеся на 0, можно разделить на 10.

Приведем примеры.

Пример 1

Например, число 34 564 обладает делимостью на 2, поскольку в конце у него стоит 4. Число 567 разделить на 5 нельзя, потому что последняя цифра в нем не удовлетворяет нужным условиям. Число 89 120 мы можем разделить на 10, потому что оно заканчивается нулем.

Другие признаки делимости требуют предварительного анализа не одной, а нескольких последний цифр числа.

Признак делимости на 4 выглядит так:

Определение 4

Число можно разделить на 4, если двузначное число, образованное двумя последними цифрами в нем, делится на 4.

Определение 5

О признаке делимости на 8 мы говорим, когда число из трех последних цифр можно разделить на 8.

Пример 2

Вот примеры таких расчетов: 99 769 775 012 делится на 4, так как в конце у него стоит 12, а 45 907 нельзя разделить на 8: берем три последние цифры, убираем из них 0 и получаем 97. Без остатка на 8 это число разделить нельзя, значит, и 45 907 делимостью на 8 не обладает.

Остальные признаки делимости требуют анализа сразу всех цифр в числе.

Определение 6

Число можно разделить на 3 или 9, если сумма всех цифр в нем делится на 3 или 9 соответственно.

После вычисления суммы цифр, возможно, придется использовать указанные признаки делимости еще раз. Вот примеры таких вычислений.

Пример 3

Проверим, делится ли 1 001 103. Подсчитаем сумму цифр: 1+0+0+1+1+0+3=6. Шестерка делится на 3, значит, и все число тоже можно разделить на 3.

Пример 4

Число 65 051 991 можно разделить на 9, потому что суммой его цифр является 36: 6+5+0+5+1+9+9+1=36, а его можно разделить на 9.

А вот пример последовательного применения признаков.

Пример 5

Проверим, можно ли разделить 879 901 831 799 782 на 3. Считаем сумму цифр и получаем 114. Для проверки делимости этого числа на 3 складываем цифры уже этого числа и получаем 6. Шесть можно разделить на 3, значит, 114 делится на 3 и 879 901 831 799 782 998 тоже делится на 3.

В целом можно сказать, что с помощью признаков делимости можно перейти от анализа исходного числа к анализу меньшего числа, причем второе число мы проверяем, используя тот же самый признак делимости. Иначе говоря, в случае с длинными числами признаки нужно применять циклически для получения нужного результата.

Есть и другие признаки делимости, которые объединяют в себе несколько других.

Определение 7

Чтобы узнать, делится ли число на 6, нужно объединить два признака делимости – на 2 и на 3.

Определение 8

Признаком делимости на 12 является соответствие двум другим признакам делимости – на 3 и 4.

Пример 6

К примеру, 78 804 заканчивается на 4, следовательно, его можно разделить на 2. Считаем сумму цифр и получаем 27. Это число можно разделить на 3, получается, что это можно сделать и с исходным числом. В итоге заключаем, что 78 804 делится без остатка на 6.

Пример 7

Число 208 436 316 можно разделить на 12, поскольку его цифры в сумме дают 33, что делится на 3, и две последние цифры образуют число 16, которое можно разделить на 4.

Отметим, что иногда для проверки делимости требуется значительная вычислительная работа, что в некоторых случаях нецелесообразно. Иногда проще выполнить непосредственное деление, чтобы ответить на вопрос, делится ли это число на другое или нет.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/delimost/priznaki-delimosti/

Ссылка на основную публикацию