Правильные многогранники — в помощь студенту

  • Правильные многогранники - в помощь студенту
  • Многогранник — (определение) геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками — гранями.
  • Примеры многогранников:

Правильные многогранники - в помощь студенту

Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами. По числу граней различают 4-гранники, 5-гранники и т.д. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Многогранник называется правильным, если его грани правильные многоугольники (т.е. такие, у которых все стороны и углы равны) и все многогранные углы при вершинах равны. Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Многогранник в трехмерном пространстве (понятие многогранника) — совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что

1) каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);

2) от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого в свою очередь — к смежному с ним, и т.д.

Эти многоугольники называются гранями, их стороны ребрами, а их вершины — вершинами многогранника.  

Правильные многогранники - в помощь студенту Вершины многогранника Правильные многогранники - в помощь студенту  Ребра многогранника Правильные многогранники - в помощь студенту  Грани многогранника

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.

Из этого определения следует, что все грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Поверхность выпуклого многогранника состоит из граней, которые лежат в разных плоскостях. При этом ребрами многогранника являются стороны многоугольников, вершинами многогранника – вершины граней, плоскими углами многогранника – углы многоугольников – граней.

Выпуклый многогранник, все вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях, называется призматоидом. Призма, пирамида и усеченная пирамида – частные случаи призматоида. Все боковые грани призматоида являются треугольниками или четырехугольниками, причем четырехугольные грани – это трапеции или параллелограммы.

Источник: https://mnogogranniki.ru/articles/115-chto-takoe-mnogogrannik.html

Правильные многогранники

Правильные многогранники

    Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.     Рассмотрим возможные правильные многогранники и прежде всего те из них, гранями которых являются правильные треугольники.

Наиболее простым таким правильным многогранником является треугольная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники (рис. 1,а). В каждой ее вершине сходится по три грани.

Имея всего четыре грани, этот многогранник называется также тетраэдром, что в переводе с греческого языка означает четырехгранник.

Правильные многогранники - в помощь студенту

    Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники, и в каждой вершине сходится четыре грани, изображен на рисунке 1,в. Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников, поэтому он называется октаэдром.     Многогранник, в каждой вершине которого сходится пять правильных треугольников, изображен на рисунке 1,г.

Его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников, поэтому он называется икосаэдром.     Заметим, что поскольку в вершинах выпуклого многогранника не может сходиться более пяти правильныхтреугольников, то другихправильных многогранников, гранями которых являются правильные треугольники, не существует.

    Аналогично, поскольку в вершинах выпуклого многогранника может сходиться только три квадрата, то, кроме куба (рис. 1,б), других правильных многогранников, у которых гранями являются квадраты не существует. Куб имеет шесть граней и поэтому называется также гексаэдром.

    Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники, и в каждой вершине сходится три грани, изображен на рисунке 1,д. Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников, поэтому он называется додекаэдром.

    Поскольку в вершинах выпуклого многогранника не могут сходиться правильные многоугольники с числом сторон больше пяти, то, используя теорему Коши о жесткости выпуклого многогранника, получаем, что других правильных многогранников не существует, и таким образом, имеется только пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

    Рассмотрим понятие правильного многогранника с точки зрения топологии науки, изучающей свойства фигур, не зависящих от различных деформаций без разрывов. С этой точки зрения, например, все треугольники эквивалентны, так как один треугольник всегда может быть получен из любого другого соответствующим сжатием или растяжением сторон.

Вообще все многоугольники с одинаковым числом сторон эквивалентны потой же причине.     Как в такой ситуации определить понятие топологически правильного многогранника? Иначе говоря, какие свойства в определении правильного многогранника являются топологически устойчивыми и их следует оставить, а какие не являются топологически устойчивыми и их следует отбросить.

    В определении правильного многогранника количество сторон и количество граней являются топологически устойчивыми, т.е. не меняющимися при непрерывных деформациях. Правильность же многоугольников не являетсятопологически устойчивым свойством. Таким образом, мы приходим к следующему определению.

    Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.     Например, все треугольные пирамиды являются топологически правильными многогранниками, эквивалентнымимежду собой.

Все параллелепипеды также являются эквивалентными между собой топологически правильными многогранниками. Четырехугольные пирамиды не являются топологически правильными многогранниками.     Выясним вопрос о том, сколько существует не эквивалентных между собой топологически правильных многогранников.

    Как мы знаем, существует только пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Казалось бы, топологически правильных многогранников должно быть гораздо больше. Однако оказывается, что никаких других топологически правильных многогранников, не эквивалентных уже известным правильным, не существует.     Для доказательства этого воспользуемся теоремой Эйлера. Пусть дан топологически правильный многогранник, гранями которого являются n — угольники, и в каждой вершине сходится m ребер. Ясно, что n и m больше или равны трем. Обозначим, как и раньше, В — число вершин, Р — число ребер и Г — число граней этого многогранника. Тогда

nГ = 2P; Г =; mB = 2P; В = .

По теореме Эйлера, В — Р + Г = 2 и, следовательно,

Правильные многогранники - в помощь студенту

Откуда Р = Правильные многогранники - в помощь студенту. Из полученного равенства, в частности, следует, что должно выполняться неравенство 2n + 2mnm > 0, которое эквивалентно неравенству (n – 2)(m – 2) < 4. Найдем всевозможные значения n и m, удовлетворяющие найденному неравенству, и заполним следующую таблицу

N m 4 5
3 B=4, Р=6, Г=4 тетраэдр В=6, Р=12, Г=8  октаэдр В=12, Р=30, Г=20 икосаэдр
4 В=8, Р=12, Г=4 куб Не существует  Не существует
5 В=20, Р=30, Г=12 додекаэдр Не существует Не существует

    Например, значения n = 3, m = 3 удовлетворяют неравенству (n2)(m – 2) < 4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим Р = 6, В = 4, Г = 4.

Значения n =4, m = 4 не удовлетворяют неравенству (n2)(m – 2) < 4 и, следовательно, соответствующего многогранника не существует. (Самостоятельно проверьте остальные случаи.

)     Из этой таблицы следует, что возможными топологически правильными многогранниками являются только правильные многогранники, перечисленные выше, и многогранники, им эквивалентные.

Исторические сведения

    Правильные многогранники с древних времен привлекали к себе внимание ученых, строителей, архитекторов и многих других. Их поражала красота, совершенство, гармония этих многогранников. Пифагорейцы считали эти многогранники божественными и использовали их в своих философских сочинениях о существе мира.

Они считали, что элементы первооснов бытия имеют форму правильных многогранников, а именно: огонь – тетраэдр (его гранями являются четыре правильных треугольника, рис. 1, а); земля — гексаэдр (куб – многогранник, гранями которого являются шесть квадратов, рис.

1, б); воздух – октаэдр (его гранями являются восемь правильных треугольников, рис. 1, в); вода – икосаэдр (его гранями являются двадцать правильных треугольников, рис. 1, г); вся Вселенная, по мнению древних, имела форму додека­эдра (его гранями являются двенадцать правильных пятиугольников, рис. 1, д).

Названия многогранников тоже имеют древнегреческое происхождение. В переводе с греческого: «Тетра» — четыре; «Гекса» — шесть; «Окто» — восемь; «Икоси» — двадцать, «Додека» — двенадцать. «Эдра» — грань. Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий ученый Платон.

Именно поэтому правильные многогранники называются также телами Платона. Правильным многогранникам посвящена последняя XIII книга знаменитых «Начал» Евклида.

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы, архитекторы, художники. Леонардо да Винчи, например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал изображениями правильных и полуправильных многогранников книгу своего друга монаха Луки Пачоли (1445-1514) «О божественной пропорции».

Другим знаменитым художником эпохи Возрождения, также увлекавшимся геометрией, был А. Дюрер. В его известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изображен додекаэдр. В 1525 году Дюрер написал трактат, в котором представил пять правильных многогранников, поверхности которых служат хорошими моделями перспективы.

Иоганн Кеплер (1571-1630) в своей работе «Тайна мироздания» в 1596 году, используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры орбит планет Солнечной системы.

Геометрия Солнечной системы, по Кеплеру, заключалась в следующем: «Земля (имеется в виду орбита Земли) есть мера всех орбит. Вокруг сферы Земли опишем додекаэдр. Описанная вокруг додекаэдра сфера есть сфера Марса. Вокруг сферы Марса опишем тетраэдр.

Описанная вокруг тетраэдра сфера есть сфера Юпитера. Вокруг сферы Юпитера опишем куб. Описанная вокруг куба сфера есть сфера Сатурна. В сферу Земли вложим икосаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Венеры. В сферу Венеры вложим октаэдр.

Вписанная в него сфера есть сфера Меркурия». Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера (рис. 2)

Правильные многогранники - в помощь студенту

    Литература 1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть II. Стереометрия. – М.: Учпедгиз, 1938 (или более поздние издания, например, 3-е изд., 1958). Книга VI. Многогранники. Дополнения: Глава V. 2. Александров А.Д. Выпуклые многогранники. – М.-Л.; 1950. 3. Болл У., Коксетер Г.

Математические эссе и развлечения. – М.: Мир, 1986, с.142. 4. Долбилин Н.П. Жемчужины теории многогранников. – М.: МЦНМО, 2000, с.27-31. 5. Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. – М.; 1956. 6. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Часть II. Геометрия в пространстве. – М.-Л.

: Гостехиздат, 1949, с. 34, с.268. 7. Смирнова И.М. В мире многогранников. – М.: Просвещение, 1995. 8. Энциклопедия элементарной математики. Книга IV. Геометрия. — М.; 1963, с. 382. 9. Яглом И.М., Болтянский В.Г. Выпуклые фигуры. – М.-Л.; 1951 /Библиотека математического кружка, выпуск 4.

 

Источник: http://www.vasmirnov.ru/Lecture/Regula/RegPol.htm

Учебно-методический материал на тему: Правильные многогранники | Социальная сеть работников образования

  • Урок геометрии по теме «Правильные многогранники» 10 класс
  • Цель урока: Познакомить учащихся с новым типом выпуклых многогранников – правильными многогранниками.
  • Задачи урока:
  • Ввести понятие правильного многогранника.
  • Рассмотреть свойства правильных многогранников.
  • Формирование пространственных представлений учащихся.
  • Формирование умения обобщать, систематизировать, видеть закономерности.
  • Развитие монологической речи учащихся.
  • Воспитание эстетического чувства.
  • Воспитание умения слушать.
  • Формирование интереса к предмету.
  1. Оборудование: Мультимедийный проектор, на каждой парте пять правильных многогранников, раздаточный материал (карточки с таблицей), демонстрационные модели многогранников (склеенные тетраэдры, параллелепипед).

  2. Ход урока
  3. Тема нашего урока “Правильные выпуклые многогранники” и эпиграфом урока являются слова английского писателя Льюиса Керролла, автора всем вам известной книги “ Алиса в стране чудес” (в течении урока используется презентация).
  4. (Слайд № 1) зачитывается эпиграф.

Читайте также:  Карбанионы и сн-кислоты - в помощь студенту

Откройте тетради, запишите сегодняшнее число и тему урока “ Правильные выпуклые многогранники”. Два понятия в формулировке темы урока вам знакомы, многогранники и выпуклые.

  • Дайте определение многогранника
  • Какой многогранник называется выпуклым?

(Слайд № 2). Определите, какие из многогранников, изображенных на рисунке, являются выпуклыми?

Правильные многогранники - в помощь студенту

Нами уже использовались словосочетания “правильные призмы” и “правильные пирамиды”. Оказывается, новая комбинация знакомых понятий образует совершенно новое с геометрической точки зрения понятие. Какие же выпуклые многогранники будем называть правильными? Послушайте внимательно определение.

(Слайд № 3). Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Убедимся что обе части определения необходимы. Уберём вторую часть определения.Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон

Посмотрите на многогранник. (Демонстрируется модель многогранника, который получается из двух правильных тетраэдров, приклеенных друг к другу одной гранью). Оставляет ли он впечатление правильного многогранника? (Нет!).

Посмотрим на его грани — правильные треугольники. Посчитаем число рёбер, сходящихся в каждой вершине. В некоторых вершинах сходятся три ребра, в некоторых – четыре.

Вторая часть определения правильного выпуклого многогранника не выполняется и рассматриваемый многогранник, действительно, не является правильным.

Попробуем убрать первую часть определения. Выпуклый многогранник называется правильным, если в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Посмотрите на этот многогранник (демонстрируется модель параллелепипеда). Подсчитаем число ребер выходящих из каждой вершины – три ребра, грани не являются правильными многоугольниками. Первая часть определения не выполняется и этот многогранник не является правильным.

Таким образом, когда будете давать определение, помните об обеих его частях. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Вы знаете, что при вершине многогранного угла не менее трех плоских углов.

  • Какова сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника? (меньше 3600).

Давайте, посмотрим, какие правильные многоугольники могут быть гранями правильного многогранника и сколько правильных многогранников существует.

Исследуем этот вопрос. Результат оформим в виде таблицы (учитель на доске дети в тетрадях)

Форма граней Сумма плоских углов приВершине многогранника
600 * 3 =1800
600 * 4 =2400
600 * 5 =3000
900 * 3=2700
1080 * 3=3240

Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырёхугольники (квадраты) и правильные пятиугольники.

(Слайды № 4 — 8). Запишите в тетрадях названия этих правильных выпуклых многогранников.

  • Исследовательская работа “Формула Эйлера”
  • Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и занесём результаты в таблицу (раздаточный материал)
  • Работа на карточках (тетраэдр и куб все вместе, а остальные многогранники по рядам)
  • Проверим результаты заполнения таблицы (слайд № 9).
Правильный многогранник Число граней Число вершин Число ребер Г+В
Тетраэдр 4 4 6
Куб 6 8 12
Октаэдр 8 6 12
Додекаэдр 12 20 30
Икосаэдр 20 12 30

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:“эдра” — грань; “тетра” — 4 ; “гекса” — 6; “окта” — 8; “икоса” — 20; “додека” — 12

Анализируя таблицу, возникает вопрос: “Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?” По-видимому, нет.

Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах “грани” и “вершины” (Г + В). Заполните четвертый столбец Г+В (число граней плюс число вершин).

(Слайд № 10). Вот теперь закономерности может не заметить только “слепой”. Сформулируем её так: “Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2 ”, т.е. Г + В = Р + 2. Запишите в тетрадь.

Итак, мы вместе сделали открытие, мы “открыли” формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников. Запомните эту формулу.

Хотя действительно “Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук”.

О том, как использовали правильные многогранники в своих научных фантазиях учёные, нам расскажет Ф.И. (сообщение учащегося)

Сообщение “Правильные многогранники в философской картине мира Платона”

(Рассказ (слайд № 11)).

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.).

Платон считал, что мир строится из четырёх “стихий” — огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих “стихий” имеют форму четырёх правильных многогранников.

Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух.

В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества — твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

(Слайд № 12). Задача 1. Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.

Правильные многогранники - в помощь студенту

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.

(Слайд №13)

Сальвадор Дали на картине “Тайная вечеря” изобразил И.Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

  1. (слайд № 14)
  2. Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471-1528) в известной гравюре “Меланхолия”, на переднем плане также изобразил додекаэдр.
  3. Подходит к концу урок, подведём итоги.
  • Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Дома: Домашнее задание будет сегодня творческим на ваш выбор

  1. № 72 – 75 склеить модели правильных многогранников на выбор
  2. Сообщение в подтверждение эпиграфа

(Раздаточный материал)

Правильный многогранник Число ГранейГ Число ВершинВ Число РёберР Сумма числа граней и вершинГ+В
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

Источник: https://nsportal.ru/npo-spo/obrazovanie-i-pedagogika/library/2017/06/28/pravilnye-mnogogranniki

VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся Старт в науке

Мишарина М. 11МБОУ г. Иркутска СОШ № 75
Карпина Ю.В. 11МБОУ г. Иркутска СОШ № 75

Текст работы размещён без изображений и формул. Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

Мое знакомство с многогранниками началось в пятом классе. На уроках мы учились строить изображения многогранников, определять количество вершин, граней и ребер, устанавливать соответствие между многогранником и его разверткой.

Я узнала о семействах многогранников: пирамидах, призмах и их свойствах.

Приводя примеры из окружающего мира, где можно встретить многогранники, у меня возник вопрос: многогранники — это абстрактные геометрические тела или реальные объекты окружающего нас мира? Мне захотелось больше узнать о них.

Безусловно, недостаточно узнавать и видеть многогранники в окружающем мире. Интересно уточнить их классификацию, разновидность, связь с другими науками и природой. Этим и обусловлен выбор темы моего исследования «Удивительный мир многогранников».

  • Цель исследования: познакомиться с видами многогранников, их применением в окружающем мире.
  • Объект исследования: многогранники.
  • Предмет исследования: многогранники и многогранные поверхности в окружающем мире.
  • Задачи:
  • — изучить исторический материал по данной теме;
  • — ознакомится с различными видами многогранников;
  • — рассмотреть область применения многогранников;
  • — изготовить модели многогранников.
  • Методы исследования: сбор информации, обработка данных, исследование, сравнение, анализ.
  • Виды многогранников

В течение многих веков математики проявляли живейший интерес к многогранникам. Интерес к ним обусловлен не только их красотой и оригинальностью, но и большой практической ценностью. Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне.

Многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Стороны граней – рёбра многогранника, а концы рёбер – вершины многогранника.

Бывают выпуклыми и невыпуклыми. Выпуклый многогранник расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Невыпуклый многогранник расположен по разные стороны от плоскости одной из его граней.

Правильные многогранники – это выпуклые многогранники, у которых все грани правильные и равные многоугольники. Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) «Тимаус».

Поэтому правильные многогранники также называются «платоновыми» телами. Оказывается, что правильных многогранников ровно пять — ни больше ни меньше.

Ведь для того, чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник, в каждой вершине, согласно его определению, должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником.

Название Внешний вид Описание
Правильный тетраэдр Составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников.
Правильный октаэдр Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников.
Правильный икосаэдр Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников.
Куб (гексаэдр) Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов.
Правильный додекаэдр Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.

Древнегреческий ученый Архимед (287 г. до н.э. – 212 г. до н.э.)обобщил понятие правильного многогранника и открыл новые математические объекты – полуправильные многогранники. Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда.  Множество архимедовых тел можно разбить на несколько групп.

Читайте также:  Защита от несанкционированного доступа к информации - в помощь студенту

Первую из них составят пять многогранников, которые получаются из платоновых тел в результате их усечения. Так могут быть получены пять архимедовых тел: усечённый тетраэдр, усечённый гексаэдр (куб), усечённый октаэдр, усечённый додекаэдр и усечённый икосаэдр.

Вторая группа архимедовых тел представлена двумя многогранниками, являющимися результатом пересечения двух платоновх тел подходящих размеров и расположенных так, что их центры совпадают. Это кубооктаэдр результат пересечения куба и октаэдра и икосадодекаэдр результат пересечения икосаэдра и додекаэдра.

В результате усечения кубооктаэдра и икосододекаэдра получены следующие два многогранника – ромбокубооктаэдр и ромбоикосододекаэдр. Дальнейшее видоизменения могут превратить их в два других многогранника- усеченный кубооктаэдр и усеченный икосододекаэдр. Последние два архимедовых тел- «курносый» куб и «курносый» додекаэдр.

Термин курносый означает, что каждую грань многогранника окружили треугольники, что каждое ребро заменили парой треугольников, а в каждой вершине добавили еще один многоугольник.

Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников — можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники.

Это правильные невыпуклые многогранники, у которых грани пересекаются. Их всего четыре. Иоганн Кеплер (1571 – 1630 гг.

) — немецкий математик, астроном, оптик, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, впервые описал малый звездчатый

додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр. А спустя 200 лет Луи Пуансо Пуансо (1777-1859) построил большой икосаэдр и большой додекаэдр.

  1. Многогранники вокруг нас
  2. Многогранники в искусстве
  3. Исторически математика играла важную роль в изобразительном искусстве.
  4. Леонардо да Винчи (1452 — 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.

П равильные многогранники — имели особое очарование для голландского художник Морица Корнилиса Эшера (1898-1972).

Во многих его работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов.

На гравюре «Четыре тела» он изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Почтовые марки охватывают все значимые события в мире. Не обошли вниманием художники — филателисты и изображения многогранников. Почтовая марка, посвященная Леонарду Эйлеру с изображением икосаэдра, выпущена в 1983 г., в ГДР, к 200- летию ученого.

Н а выпущенной в 1980 году в Венгрии марке, изображен математик и астроном Иоганн Кеплер и его модель Вселенной на базе правильных многогранников.

Выпущенная в Монголии марка, содержит копию гравюры Альбрехта Дюрера «Меланхолия». Один из множества элементов гравюры многогранник – усеченная сверху и снизу призма.

Многогранники в архитектуре

И стория развития многогранников архитектуре уходит глубоко в историю. Многогранники начали использовать в архитектуре давно, более 7 тыс. лет. Великая пирамида в Гизе — эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из семи чудес древности.

У Китая свои особенности использования многогранников в архитектуре. В основе лежит обязательно многогранник, который и служит основой для здания.

Многогранники не только придают прочность и устойчивость архитектурным сооружениям, но и красоту, изящество. Многие здания настолько красивы и сложны по своей форме, что требуют большого количества времени, сил. Современные архитекторы приобрели навык применения изящества, состоящие из множества сложных элементов, требующих большой работы.

  • П амятник правильным многогранникам в Германии
  • Стеклянная пирамида Лувра в Париже
  • З дание национальной библиотеки
  • г. Минск
  • Многогранники в химии и биологии

П равильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ.Кристаллы многих металлов так же имеют форму куба (алюминий, серебро, свинец и др.)

Повареная соль

Интересно, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов. Чтобы установить форму вируса, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр.

  1. В ирус краснухи
  2. Вирус ветряной оспы
  3. Бактериофаг
  4. Многогранники в природе
  5. Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе.
  6. Построенные пчелами соты представляют собой правильные шестиугольные призмы.

С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок. Снежинки — это звездчатые многогранники.

Мир кристаллов — мир не менее красивый и разнообразный. С кристаллами человечество познакомилось в глубокой древности. Связано это, в первую очередь, с их часто реализующейся в природе способностью самоограняться, т. е.

самопроизвольно принимать форму изумительных по совершенству полиэдров.

Даже современный человек, впервые столкнувшись с природными кристаллами, чаще всего не верит, что эти многогранники не являются делом рук искусного мастера.

Кристалл алмаза Кристалл рубина

Кристалл можно вырастить в домашних условиях.

Растворить соль в теплой воде. (Можно использовать поваренную соль (тогда кристалл будет прозрачный), но более красивый кристалл получается при использовании медного купороса (тогда кристалл будет синим). Можно использовать и другие вещества (сахар и различные соли)).

  • Когда соль перестанет растворяться в вашем растворе (получится перенасыщенный раствор), перелить его в другую емкость (лучше всего в прозрачную, так как тогда вы сможете легче наблюдать за ростом кристалла).
  • Опустить в раствор нитку с кристалликом соли на конце (это «затравка» для роста большого кристалла) и зафиксировать так, чтобы он не касался стенок и дна сосуда.
  • Постепенно наш кристалл будет расти и, когда он достигнет нужного размера, аккуратно вытащите его и обсушите.
  • Многогранники в географии
  • В географии – многогранники занимают важное место в исследовании залежей полезных ископаемых, которые тянутся вдоль икосаэдровододекаэдровой сетки.
  • Многогранники в жизни человека

С многогранниками мы знакомы с детских лет. О них напоминают окружающие нас предметы: кирпич, комната, книга, аквариум, различные упаковки и др.

  1. Головоломки
  2. Футбольный мяч
  3. В современном мире многие предметы интерьера имеют формы многогранников.
  4. Многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений.
  5. Многогранники и профессии

Ювелир. Назначение огранки — максимально выявить красоту ограненного камня, помочь продемонстрировать присущие ему свойства. Для цветных камней главным является цвет, а для бесцветных — сверкание и «игра». Стеклодув – это мастер, создающий изделия из разогретой стеклянной массы путём выдувания. Примеры многогранников: граненая посуда, граненые кувшины.

  • Плотник — профессия связана с механической обработкой дерева и превращением необработанной древесины в детали, конструкции и стройматериалы.
  • Слесарь  — специалист по ручной (без использования станков) обработке металлов, включая операции по сборке и разборке на производстве или в быту.
  • Скульптор – это художник, занимающийся созданием скульптур, то есть произведений объемно-пространственной формы, трехмерных и осязаемых.
  • Модели многогранников

Практическим этапом моей работы стало изготовление моделей многогранников. Процесс изготовления моделей оказался очень увлекательным. Модели выполнены из разверток и в технике оригами.

Создание моделей правильных многогранников с помощью разверток

Чаще всего при создании моделей многогранников из плоских разверток используют такие развертки, в которых грани прилегают друг к другу ребрами, а модель строится путем загибания развертки вдоль ребер. Например, при создании моделей правильных многогранников чаще всего используют следующие развертки.

Создание моделей многогранников методами оригами

Сегодня оригами переживает очередную волну интереса. Появились новые направления оригами и области его применения. Так, математики открыли множество возможностей для решения геометрических и топологических задач. Архитекторы и строители увидели в оригамном конструировании возможности для создания многогранных структур из плоского листа. Из бумаги можно построить удивительные конструкции.

Заключение

При написании исследовательской работы я изучила дополнительную литературу и расширила свои знания по данному вопросу: узнала, что многогранники имеют красивые формы, они обладают богатой историей, познакомилась с видами многогранников.

Решая поставленную проблему, я убедилась, что многогранники – это не просто геометрические тела, они окружают нас в жизни, в природе, в искусстве, архитектуре, науке. Многогранник – это величайшее открытие человечества.

Систематизировав полученную информацию, я заметила, что в окружающем мире преобладают правильные многогранники.

Практическим этапом моей работы стало изготовление моделей многогранников. Процесс изготовления моделей оказался очень увлекательным. Модели выполнены из разверток и в технике оригами.

Считаю, что полученные в ходе исследования знания и навыки пригодятся мне в старших классах при изучении темы «Многогранники». А выполненные мною модели могут быть использованы на уроках математики, химии, биологии и факультативных занятиях как наглядный материал.

Цель моей работы достигнута.

Список литературы и Интернет – ресурсов

Бунимович Е.А.Математика 6. – М.: Просвещение, 2016

Ворошилов А.В. Математика и искусство. — М.: Просвещение, 1992

Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для V – VI классов. – М: Мирос 1992.

Энциклопедия для детей. Я познаю мир. Математика. – М: Издательство АСТ, 1999

Мир многогранников http://www.sch57.msk.ru:8101/collect/smogl.htm

История математики http://mschool.kubsu.ru/

http://origamisan.com.

Источник: https://school-science.ru/6/7/38489

Разработка открытого урока по теме Правильные многогранники

Вступительное слово учителя.

Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много интересного, познакомимся с некоторыми видами многогранников, в частности, с правильными многогранниками; нам предстоит ответить на такие вопросы, как, например: Какие многогранники называются правильными? Сколько их существует? Что такое Эйлерова характеристика? Какие тела носят название тел Кеплера- Пуансо? И многие- многие другие… И, наконец: где, зачем и для чего нам нужны многогранники? Может быть, в жизни можно обойтись и без них? Данный материал пригодится нам при изучении темы “Объемы многогранников и при решении задач на комбинацию геометрических тел.

  • Итак, я приглашаю вас в “Мир многогранников”.
  • Мне хотелось бы начать со слов Бертрана Рассела: “Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой — красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства”.
  • Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве, подобно тому, как многоугольники – простейшие фигуры на плоскости.

Мы начинаем знакомство с правильных плоских и пространственных фигур. Название “правильные” идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке. Правильные многоугольники – это многоугольники, у которых все стороны и все углы равны, правильные многогранники – это многогранники, ограниченные правильными и одинаковыми многоугольниками.

До сих пор многоугольники нередко называют в науке по-гречески с окончанием “гон”: полигон – многоугольник, пентагон – пятиугольник (такой формы сверху здание Театра Российской Армии в Москве и Министерства обороны США в Вашингтоне), гексагон – шестиугольник (ячейка пчелиных сот сверху) и т.д.

Читайте также:  Учет основных средств - в помощь студенту

Каждый из вас знаком с простейшими пространственными математическими фигурами, или многогранниками. По-гречески они оканчиваются на “эдр”. Тетраэдр напоминает пирамиду или треугольный пакет для молока или майонеза; куб, или гексаэдр – это известный всем с раннего детства кубик и т.д.

Рассмотрим развертку вершины многогранника. Каждая вершина может принадлежать трем и более граням.

Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника — равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в развертке 180°. Если теперь склеить развертку в многогранный угол, получится тетраэдр — многогранник, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани.

Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Добавление пятого треугольника даст угол 300° — мы получаем развертку вершины икосаэдра.

Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° — эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.

Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3×90°=270° — получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° — этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник.

Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*108°=324 — вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360° — поэтому останавливаемся.

Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.

Мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных многогранников — тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Эти тела еще называют

телами Платона.

Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих  школах приобретают рассуждения, с  помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора.

Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики- это правильный невыпуклый   или звездчатый пятиугольник.

Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов. Существование только пяти правильных многогранников относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех  основных элементов:  огня, земли, воздуха и воды.

Согласно их мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел.

Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера, устанавливающая связь между числом вершин, граней и ребер. В – Р + Г = 2.

Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, 13-я книга знаменитых “Начал” Евклида.

Как говорилось раньше, эти многогранники часто называют также Платоновыми телами – в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном, четыре из них олицетворяли 4 стихии: тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду, октаэдр – воздух, пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание – его по-латыни стали называть quinta essentia (квинта эссенция), означающее все самое главное, основное, истинную сущность чего-либо.

Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому было нетрудно, тем более, что эти формы имеют природные кристаллы, например: форму куба имеет монокристалл поваренной соли (NaCl), форму октаэдра – монокристалл алюмокалиевых квасцов ((KAlSO4)2*12H2O). Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS) и т.д.

Теорема Эйлера. Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его рёбер и Г — число граней. Тогда верно равенство В-Р+Г=2.

Число=В-Р+Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2. То, что эйлерова характеристика равна 2 для некоторых знакомых нам многогранников, видно из таблицы.

Учащиеся вслух проговаривают названия правильных многогранников, глядя на слайд.

Следующий вид многогранников – тела Архимеда. Чем же они отличаются от Платоновых тел? Грани тел Архимеда – правильные многоугольники нескольких типов.

Итак, Архимедовых тел 13, кроме тела на рисунке в центре. Чем же этот многогранник “хуже” остальных архимедовых тел? Архимедовы тела обладают свойством: любые две вершины можно совместить так, что все грани многогранника попарно совпадут друг с другом. Многогранник на рисунке в центре этим свойством не обладает.

Древние греки обладали высокоразвитым чувством гармонии и не удивительно, что этот многогранник не попал в число архимедовых тел. В течение двух тысячелетий он находился в “тени” и был “изобретен” в середине нашего столетия независимо несколькими математиками в разных странах.

В нашей литературе этот многогранник часто называют телом Ашкинузе, по имени советского математика, который первым обратил на него внимание.

Среди невыпуклых однородных многогранников существуют аналоги платоновых тел — четыре правильных невыпуклых однородных многогранника или тела Кеплера — Пуансо.

Как следует из их названия, тела Кеплера-Пуансо — это невыпуклые однородные многогранники, все грани которых — одинаковые правильные многоугольники, и все многогранные углы которых равны. Грани при этом могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми.

Послушаем теперь студентку, которая расскажет, как многогранники используются в различных сферах жизни и деятельности человека:

Многогранники в искусстве. В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. архитекторы, художники. Леонардо да  Винчи (1452 -1519) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.

Он  проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли ''О божественной пропорции''.

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471- 1528) , в известной гравюре ''Меланхолия '‘ на переднем плане изобразил додекаэдр.

Многогранники в архитектуре. Наука геометрия  возникла из практических задач, ее предложения выражают реальные факты и находят многочисленные применения.

В конечном счете в основе всей техники так или иначе лежит геометрия, потому что она появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая точность в определении формы и размеров.

И технику, и инженеру, и квалифицированному рабочему и людям искусства геометрическое воображение необходимо, как геометру или архитектору. Математика, в частности геометрия, представляет собой могущественный инструмент познания природы, создания техники и преобразования мира.

    Различные геометрические формы находят свое отражение практически во  во всех отраслях знаний:  архитектура,  искусство. Во всем облике японского строения очевидна идея преобразования пространства, подчинения его новой логике — логике «завоевания» природного ландшафта, которому противопоставлена четкая геометрия проникающих архитектурных форм.

Великая пирамида была построена как гробница Хуфу, известного грекам как Хеопс. Он был одним из фараонов, или царей древнего Египта, а его гробница была завершена в 2580 году до н.э. Позднее в Гизе было построено еще две пирамиды, для сына и внука Хуфу, а также меньшие по размерам пирамиды для их цариц. Пирамида Хуфу, самая дальняя на рисунке, является самой большой.

Пирамида его сына находится в середине и смотрится выше, потому что стоит на более высоком месте. Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. Во времена своего создания Великая пирамида была самым высоким сооружением в мире.

И удерживала она этот рекорд, по всей видимости, почти 4000 лет.

Пирамиды стоят на древнем кладбище в Гизе, на противоположном от Каира, столицы современного Египта, берегу реки Нил.

Некоторые археологи считают, что, возможно, на строительство Великой пирамиды 100 000 человек потребовалось 20 лет. Она была создана из более чем 2 миллионов каменных блоков, каждый из которых весил не менее 2,5 тонн.

Рабочие подтаскивали их к месту, используя пандусы, блоки и рычаги, а затем подгоняли друг к другу, без раствора.

Маяк был построен на маленьком острове Фарос в Средиземном море, около берегов Александрии. Этот оживленный порт основал Александр Великий во время посещения Египта. Сооружение назвали по имени острова.

На его строительство, должно быть, ушло 20 лет, а завершен он был около 280 г. до н.э., во времена правления Птолемея II, царя Египта.

Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из

массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в     ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню.

В III веке до н.э. был построен маяк, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в Александрийскую бухту. Ночью им помогало в этом отражение языков пламени, а днем — столб дыма. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет.

  1. слайд 1
  2. слайд 2
  3. В процессе объяснения материала можно дублировать ключевые фразы на экране для удобства их восприятия.
  4. слайд 3
  5. слайд 5
  6. Здесь целесообразно дать учащимся под запись следующее: Правильными многогранниками
  7. называют выпуклые многогранники, все грани и все углы которых равны, причем грани — правильные многоугольники.
  8. слайд 6
  9. Здесь можно раздать студентам развертки многогранников
  10. слайд 7
  11. слайд 8
  12. Здесь целесообразно дать учащимся под запись следующее: существует пять выпуклых правильных многогранников — тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Эти тела еще называют
  13. телами Платона.
  14. слайд 9
  15. Важную информацию можно сформулировать лаконично и дать под запись, дублируя на экране.
  16. Здесь целесообразно дать учащимся под запись следующее: Теорема Эйлера: Число вершин минус число рёбер плюс число граней равно двум, то есть В – Р + Г = 2.
  17. слайд 12
  18. слайд 13
  19. слайд 14
  20. слайд 15
  21. слайд 18
  22. слайд 19
  23. слайд 20
  24. слайд 21
  25. слайд 22
  26. слайд 23

Источник: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/301502-razrabotka-otkrytogo-uroka-po-teme-pravilnye-

Ссылка на основную публикацию