Перпендикулярные и параллельные прямые — в помощь студенту

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
  • Перпендикулярность в пространстве могут иметь:
  • 1. Две прямые
  • 2. Прямая и плоскость
  • 3. Две плоскости

Давай по очереди рассмотрим эти три случая: все относящиеся к ним определения и формулировки теорем. А потом обсудим очень важную теорему о трёх перпендикулярах.

Перпендикулярность двух прямых

Определение:

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними  .

Ты можешь сказать: тоже мне, открыли Америку! Но вспомни, что в пространстве всё не совсем так, как на плоскости.

На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Государственный надзор за соблюдением трудового законодательства - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

прямая   перпендикулярна прямой  , хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми   и  , нужно через произвольную точку   на прямой a провести прямую  . И тогда угол между   и   (по определению!) будет равен углу между   и  .

Вспомнили? Ну вот, а в нашем случае – если окажутся перпендикулярны прямые   и  , то нужно считать перпендикулярными прямые   и  .

Для полной ясности давай рассмотрим пример. Пусть есть куб  . И тебя просят найти угол между прямыми   и  . Эти прямые не пересекаются – они скрещиваются. Чтобы найти угол между   и  , проведём  .

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Из-за того, что   — параллелограмм (и даже прямоугольник!), получается, что  . А из-за того, что   – квадрат, выходит, что  . Ну, и значит  .

Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.

Вот картинка:

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

прямая   перпендикулярна плоскости  , если она перпендикулярна всем-всем прямым в этой плоскости: и  , и  , и  , и даже  ! И ещё миллиарду других прямых!

Да, но как же тогда вообще можно проверить перпендикулярность в прямой и плоскости? Так и жизни не хватит! Но на наше счастье математики избавили нас от кошмара бесконечности, придумав признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Формулируем:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Оцени, как здорово:

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

если найдутся всего лишь две прямые (  и  ) в плоскости  , которым перпендикулярна прямая  , то эта прямая сразу окажется перпендикулярна плоскости  , то есть всем прямым в этой плоскости (в том числе и какой-то стоящей сбоку прямой  ). Это очень важная теорема, поэтому нарисуем её смысл ещё и в виде схемы.

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

И опять рассмотрим пример.

Пусть нам дан правильный тетраэдр  .

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Задача: доказать, что  . Ты скажешь: это же две прямые! При чём же здесь перпендикулярность прямой и плоскости?!

А вот смотри:

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

давай отметим середину   ребра   и проведём   и  . Это медианы в   и  . Треугольники – правильные   и  .

Вот оно, чудо: получается, что  , так как   и  . И далее,   всем прямым в плоскости  , а значит, и  . Доказали. И самым главным моментом оказалось именно применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Когда плоскости перпендикулярны

Определение:

Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен  .

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

То есть (подробнее смотри в теме «двугранный угол») две плоскости (  и  ) перпендикулярны, если окажется, что угол между двумя перпендикулярами (  и  ) к линии пересечения этих плоскостей равен  . И есть теорема, которая связывает понятие перпендикулярных плоскостей с понятием перпендикулярность в пространстве прямой и плоскости.

Теорема эта называется

Критерий перпендикулярности плоскостей

Давай сформулируем:

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

Как всегда, расшифровка слов «тогда и только тогда» выглядит так:

  • Если  , то   проходит через перпендикуляр к  .

И

  • Если   проходит через перпендикуляр к  , то  .

(естественно, здесь   и   — плоскости).

Теорема о трёх перпендикулярах

  1. Эта теорема – одна из самых важных в стереометрии, но, к сожалению, и одна из самых непростых в применении.
  2. Так что нужно быть очень внимательным!
  3. Итак, формулировка:

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Прямая  , не лежащая в плоскости  , перпендикулярна прямой  , лежащей в плоскости  , тогда и только тогда, когда проекция   прямой a перпендикулярна прямой  .

И снова расшифровка слов «тогда и только тогда». Теорема утверждает сразу две вещи (смотри на картинку):

1.  

2.  .

давай попробуем применить эту теорему для решения задачи.

Задача: дана правильная шестиугольная пирамида  . Найти угол между прямыми   и  .

  • Решение:
  • Из-за того, что в правильной пирамиде вершина при проекции попадает в центр основания, оказывается, что прямая   — проекция прямой  .
  • Но мы знаем, что в правильном шестиугольнике  . Применяем теорему о трёх перпендикулярах:
  • И пишем ответ:  .

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

  1. Перпендикулярность двух прямых.
  2. Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними  .
  3. Перпендикулярность прямой и плоскости.
  4. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.

  5. Перпендикулярность плоскостей.
  6. Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен  .
  7. Критерий перпендикулярности плоскостей.

  8. Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

  9. Теорема о трех перпендикулярах:
Прямая  , не лежащая в плоскости  , перпендикулярна прямой  , лежащей в плоскости  , тогда и только тогда, когда проекция   прямой a перпендикулярна прямой  .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

  • Стать учеником YouClever,
  • Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
  • А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/perpendikulyarnost-v-prostranstve-2

Перпендикулярные и параллельные прямые

Раздел 5 ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ

§ 33. Перпендикулярные и параллельные прямые

Вы знаете, что прямая — это геометрическая фигура. Две прямые могут по-разному розмішуватись на плоскости. В 6 классе вы узнаете о перпендикулярные и параллельные прямые.

1. Перпендикулярные прямые

Посмотрит на перекресток дорог на рисунке 143. Извините, что дороги напоминают прямые, которые пересекаются, образуя четыре прямых угла. В этом случае говорят, что прямые пересекаются под прямым углом. В тетради по математике

ячейки образуются перпендикулярными прямыми

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

  • Рис. 143
  • Запомните!
  • Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
  • На рисунке 144 изображены прямые АВ и CD в которые пересекаются в точке О под прямым углом, то есть являются перпендикулярными.

Записывают: АВ ⊥ CD, а на рисунке ставят знак прямого угла ⏋ (см. рис. 144). Говорят: «Прямая АВ перпендикулярна к прямой CD».

Если прямая АВ перпендикулярна к прямой CD в то и прямая CD перпендикулярна к прямой АВ. Иначе говорят: прямые АВ и CD — взаимно перпендикулярные.

? Бывают ли перпендикулярными отрезки? лучи? Так, если они являются частями соответствующих перпендикулярных прямых (рис. 145-146).

Для построения перпендикулярных прямых используют транспортир или угольник. На рисунке 147 вы видите, как строили прямую CD, перпендикулярную к прямой АВ с помощью транспортира, а на рисунке 148 — с помощью угольника.

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Рис. 144

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Рис. 145

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Рис. 146

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Рис. 147

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Рис. 148

2. Параллельные прямые

Посмотрите на рисунок 1 49. Вы видите рельсы трамвайного пути, которые напоминают прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекаются. Это пример параллельных прямых.

Вокруг нас много других примеров параллельных прямых.

Так, в тетради в клеточку горизонтальные линии параллельны. То же самое можно сказать и про вертикальные линии. Противоположные края парты, противоположные стороны оконной рамы, троллейбусные штанги также параллельны.

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

  1. Рис. 149
  2. Запомните!
  3. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
  4. На рисунке 150 изображены параллельные прямые AS и CD.

Записывают: AS || CD. Говорят: «Прямая АВ параллельна прямой CD».

Если прямая AВ параллельна прямой CD, то и прямая CD параллельна прямой AВ. Однако для параллельных прямых термин «взаимно параллельные» не применяют.

? Бывают параллельными отрезки? лучи? Так, если они являются частями соответствующих параллельных прямых.

На рисунке 151 вы видите, как с помощью линейки и угольника через точку С провели прямую CD, параллельную прямой AИ.

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Рис. 150

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Рис. 151

Узнайте больше

1. Название «перпендикулярный» происходит от латинского слова «perpendiculars», которое означает «отвесный». Знак 1 предложил Пьер Ерігон (1530-1643) — французский математик и астроном.

2. Название «параллельный» происходит от греческого слова «paralelos» — «рядом идущий». Символ параллельности || известный с античных времен. Его использовали Герон и Папп,Александрийский. Сначала символ был похож на нынешний знак равенства, но с появлением последнего, во избежание путаницы, символ был повернут вертикально Уильямом Отредом в 1677 году.

ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ

1. Какие прямые называются перпендикулярными? а отрезки? лучи?

2. Как обозначают перпендикулярные прямые в записях? на рисунке?

3. Как построить прямую, перпендикулярную к данной прямой с помощью: 1) транспортира и линий ки; 2) ко синяка?

4. Какие прямые называются параллельными? а отрезки? лучи?

5. Как записать, что данные прямые параллельны?

6. Как построить прямую, параллельную данной прямой?

РЕШИТЕ ЗАДАЧИ

1485'. Прав ли Коля, когда утверждает, что при пересечении двух прямых всегда образуются равные углы?

1486'. По рисунку 152 определите перпендикулярные прямые: 1) «на глаз»; 2) с помощью угольника.

1487'. Таня изобразила в тетради два отрезка, которые не пересекаются. Могут ли быть параллельными прямые, частями которых являются данные отрезки?

1488'. По рисунку 153 определите параллельные прямые: 1) «на глаз»; 2) с помощью линейки и угольника.

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

  • Рис. 152
  • Рис. 153
  • Рис. 154
  • Рис. 155
  • Рис. 156
  • Рис. 157
Читайте также:  Величина и смысл коэффициентов бренстеда - в помощь студенту

1489°. На рисунке 154 изображен прямоугольник ABCD. Запишите все пары перпендикулярных отрезков.

1490°. На рисунке 155 изображен квадрат MNPK. Запишите все пары перпендикулярных отрезков.

1491°. Постройте в тетради прямую АВ (рис. 156). Проведите с ячейками три прямые, перпендикулярные к прямой АВ.

1492°. Постройте в тетради прямую CD (рис. 157). Проведите с ячейками две прямые, перпендикулярные к прямой CD.

1493°. Проведите прямую CD. Постройте прямую MN, перпендикулярную к прямой CD, с помощью: 1) транспортира; 2) угольника.

1494°. Проведите прямую АВ. Постройте прямую КР, перпендикулярную к прямой АВ, посредством: 1) транспортира; 2) угольника.

1495°. На рисунке 155 изображен квадрат MNPK. Запишите все пары параллельных отрезков.

1496°. На рисунке 154 изображен прямоугольник ABCD. Запишите все пары параллельных отрезков.

1497°. Постройте в тетради прямую CD (рис. 157). Проведите с ячейками три прямые, параллельные прямой CD.

1498°. Постройте в тетради прямую АВ (рис. 156). Проведите с ячейками две прямые, параллельные прямой АВ.

1499°. Проведите прямую АВ. С помощью линейки и угольника постройте прямую КР, параллельную прямой АВ.

  1. Рис. 158
  2. Рис. 159
  3. Рис. 160
  4. Рис. 161

1500°. Проведите прямую CD. С помощью линейки и угольника постройте прямую MN, параллельную прямой CD.

1501. Постройте в тетради прямые АВ и CD (рис. 158). Через точку их пересечения проведите за ячейками прямую MN перпендикулярно к прямой АВ.

1502. Постройте в тетради прямые АВ и CD (рис. 158). Через точку их пересечения проведите за ячейками прямую MN перпендикулярно к прямой CD.

1503. Постройте угол АОВ, градусная мера которого равна 80°. Отметьте точку С на стороне ОА. Проведите через точку С прямую:

1) перпендикулярную к стороне ОА,

2) перпендикулярную к стороне ОВ.

1504. Постройте угол COD, градусная мера которого равна 120°. Отметьте точку А на стороне ОС. Проведите через точку А прямую:

1) перпендикулярную к стороне ОС;

2) перпендикулярную к стороне OD.

1505. Прямые АВ и CD на рисунке 159 — перпендикулярны. Найдите градусную меру неизвестного угла.

1506. Прямые MN и РК на рисунке 160 — перпендикулярны. Найдите градусную меру неизвестного угла.

1507. Постройте в тетради параллельные прямые АВ и CD так, как показано на рисунке 161. Через точку К проведите прямую MN, параллельную прямой АВ. С помощью линейки и угольника проверьте, есть ли параллельными прямые MN и CD.

1508. Постройте в тетради параллельные прямые АВ и CD так, как показано на рисунке 161. Через точку О проведите прямую PL, параллельную прямой CD. С помощью линейки и угольника проверьте, есть ли параллельными прямые PL и AB.

1509. Начертите прямую CD и отметьте точку М вне прямой. Постройте прямую параллельную прямой CD, которая; 1) проходящей через точку М 2) не проходит через точку М.

1510. Начертите прямую АВ и отметьте точку С вне прямой. Постройте прямую, параллельную прямой АВ, которая: 1) проходит через точку С; 2) не проходит через точку С.

1511. Постройте угол COD, градусная мера которого равна 110°. Отметьте точку А на стороне ОС. Проведите через точку А прямую, параллельную сторонеOD.

1512. Постройте угол АО В, градусная мера которого равна 80°. Отметьте точку С на стороне ОВ. Проведите через точку С прямую, параллельную стороне ОА.

1513*. Постройте угол АО В, градусная мера которого равна 90°. Отметьте точку С внутри данного куга. Проведите через точку С прямые, перпендикулярные к сторонам угла. Какая фигура образовалась в результате пересечения этих прямых и сторон угла?

1514*. Постройте перпендикулярные прямые АВ и CD. Постройте две перпендикулярные прямые MN и РК при условии, что MN || АВ, ЖК || CD. Какая фигура образовалась в результате пересечения этих прямых?

  • 1515*. Постройте четыре прямые так, чтобы: 1) они не пересекались;
  • 2) образовалось 2 точки пересечения; 3) образовалось 4точки сечения;
  • 4) образовалось 5 точек пересечения.
  • ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ
  • 1516. Приведите примеры предметов окружающей среды, которые напоминают:
  • 1) перпендикулярные прямые; 2) параллельные прямые.

1517. Улица Благовисная, на которой живет Анечка, проходит в направлении с юга на север.

В каком направлении проходит улица Цветочная, на которой живет Таня, если она параллельна улице Благовестной? В каком направлении проходит улица Молодежная, на которой живет Сережа, если она перпендикулярна к улице Благовісної? Сделайте соответствующие рисунки возможного размещения этих улиц, считая верхний край листа в тетради направлением на север.

1518. Во время прогулки Тарасик и Петя прошли от своего дома сначала 200 м прямо по улице, на которой стоит их дом. Потом свернули налево под прямым углом и прошли 200 м, а потом повернули направо и прошли еще 200 м. Определите, на какой улице сейчас находятся ребята: той, что перпендикулярна к улице, на которой они живут, или той, что параллельна ей?

  1. ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ
  2. 1519. Решите уравнение:
  3. 1) 4,8 : 0,4 = 12 : (0,4 + 3х); 2)-18 ∙ (х + 2,5) = 18,54.

1520. Стороны прямоугольника относятся как 2 : 4. Найдите их длину, если периметр прямоугольника равен 60 см.

Источник: http://schooled.ru/textbook/mathematics/mathematics6_1/33.html

Урок 33. повторение. параллельные и перпендикулярные прямые — Геометрия — 7 класс — Российская электронная школа

  • Геометрия
  • 7 класс
  • Урок № 33
  • Повторение.
  • Параллельные и перпендикулярные прямые
  • Перечень рассматриваемых вопросов:
  • Взаимное расположение прямых на плоскости.
  • Параллельные прямые.
  • Аксиома параллельных прямых.
  • Перпендикулярные прямые.
  • Расстояние от точки до прямой, между параллельными прямыми.
  1. Тезаурус:
  2. Параллельные прямые – две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

  3. Перпендикулярные прямые – две прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют четыре прямых угла.
  4. Основная литература:
  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.
  • Теоретический материал для самостоятельного изучения.
  • Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
  • Вспомните, как могут располагаться на плоскости две прямые.

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

  1. Параллельные прямые.
  2. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
  3. Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  4. Углы, изображенные на рисунке:

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

  • Накрест лежащие: 3 и 5; 4 и 6.
  • Соответственные: 1 и 5; 2 и 6; 3 и 8; 4 и 7.
  • Односторонние: 3 и 6; 4 и 5.
  • Признаки и свойства параллельных прямых.

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Это признаки параллельности прямых. Обратные теоремы верны и представляют свойства параллельных прямых.

Способ построения параллельных прямых:

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Аксиома параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студентуПерпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Следствия:

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

  1. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.
  2. Перпендикулярные прямые.
  3. Если две прямые, пересекаясь, образуют четыре прямых угла, они называются перпендикулярными.
  4. Прямые а и b на рисунке перпендикулярны: а ⏊ b.
  5. Через каждую точку можно провести прямую, перпендикулярную данной и притом только одну.
  6. Это можно сделать, пользуясь угольником или транспортиром.
  7. Перпендикулярность и параллельность прямых.

Две прямые, перпендикулярные к третьей не пересекаются т. е параллельны между собой.

Отрезок АВ, перпендикулярный к прямой а, называют перпендикуляром. Точка В – основание перпендикуляра.

  • Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить перпендикуляр на эту прямую и притом только один.
  • Длину перпендикуляра АВ называют расстоянием от точки А до прямой а.
  • Расстоянием между параллельными прямыми называют расстояние АВ от любой точки одной прямой до другой прямой.
  • Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1. Дано: a ║ b, ∠1 + ∠2 = 220°. Найдите: ∠3.

  1. Решение: ∠1 и ∠2 соответственные, по свойству параллельных прямых: ∠1 = ∠2 = 220°: 2 = 110°.
  2. ∠2 и ∠3 смежные, по свойству смежных углов: ∠2 + ∠3 = 180° значит, ∠3 = 180° – 110° = 70°.

Ответ: 70°.

№ 2. Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

  1. Пусть ∠АОВ и ∠ВОС – смежные углы. ОК и ОР – их биссектрисы.
  2. ∠KOP = ∠КОВ + ∠ВОР. Поскольку ОК и ОВ – биссектрисы, то ∠КОВ = 1/2∠АОВ, ∠ВОР = 1/2∠ВОС по определению биссектрисы.
  3. Тогда ∠КОР = 1/2∠АОВ + 1/2∠ВОС = 1/2(∠АОВ + ∠ВОС) = 180° : 2 = 90°.
  4. Итак, ОК ⏊ ОР т. е. прямые перпендикулярны.

Что и требовалось доказать.

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/7311/conspect/

Перпендикулярность прямых и плоскостей

  • Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними составляет .
  • При этом прямые могут пересекаться,
  • Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту
  • а могут быть скрещивающимися:Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая  называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

1). Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

2). Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости.

3). Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой

Перпендикулярность плоскостей

Пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Признак перпендикулярности плоскостей

Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Свойство перпендикулярных плоскостей

Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.

 Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Источник: https://egemaximum.ru/perpendikulyarnost-pryamyx-i-ploskostej/

Параллельность и перпендикулярность

На одном из предыдущих занятий мы с вами рассматривали простейшие
геометрические фигуры, в том числе и углы. И среди всех углов выделили прямой
угол
, равный . Сейчас снова вернёмся к нему. Изобразим прямой угол и продолжим
его стороны за вершину. Мы получили две прямые, которые пересекаются под прямым
углом.

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Две прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными

Обозначают перпендикулярные прямые вот так: , .

Проверить, являются ли прямые перпендикулярными, мы можем, конечно
же, с помощью транспортира. Для этого мы совместим точку пересечения
прямых с серединой транспортира и расположим транспортир так, чтобы одна из его
сторон прошла по линейке.

Тогда если вторая прямая проходит через штрих , то данные прямые пересекаются под прямым углом. А значит, эти
прямые перпендикулярны.

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Проверить, перпендикулярны прямые или нет, можно также с помощью чертёжного
угольника
.

Для этого нам надо совместить точку пересечения прямых с
вершиной прямого угла угольника и расположить его так, чтобы одна из прямых
совпала со стороной прямого угла угольника.

При этом если вторая прямая
совпадёт со второй стороной прямого угла угольника, то значит, прямые
пересекаются под прямым углом. Следовательно, данные прямые перпендикулярны.

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

При этом обратите внимание, что совсем необязательно измерять все
четыре угла. Если один угол прямой, то и остальные три тоже будут прямыми.

Строители иногда проверяют перпендикулярность стены основанию дома
с помощью отвеса, который представляет собой грузик, подвешенный на тонкой
гибкой нити.

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Построить перпендикулярные прямые можно с помощью транспортира или
чертёжного угольника.

Давайте построим перпендикулярные прямые с помощью транспортира. Проведём
произвольную прямую . Приложим к этой прямой транспортир так, чтобы она прошла по
линейке. Найдём на шкале штрих, который соответствует . И проведём через него прямую , которая и будет перпендикулярна прямой .

Теперь построим перпендикулярные прямые с помощью угольника.
Проведём прямую . Возьмём угольник и совместим сторону его прямого угла с этой
прямой. Затем вдоль второй стороны прямого угла угольника проведём прямую . Таким образом, мы построили перпендикулярные прямые  и .

  • Теперь поговорим о свойствах перпендикулярных прямых.
  • Итак, через точку вне данной прямой можно провести только одну
    прямую, перпендикулярную этой прямой и пересекающую её.

Так, например, через точку А, которая не лежит на прямой , можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной
прямой . Остальные прямые, проходящие через точку А и пересекающие
прямую , являются наклонными прямыми.

Если точка А будет лежать на прямой ? В этом случае одна из прямых, проходящих через точку А и
перпендикулярных прямой , будет лежать в плоскости тетради, а все остальные (их
бесконечное число) будут прокалывать лист в данной точке. Они будут находиться
вне плоскости листа, то есть в пространстве.

Это напоминает дорожный столб, который стоит на перекрёстке дорог.
Он перпендикулярен каждой дороге.

Свойство. Если взять точку на
самой прямой, то через эту точку проходит бесконечное число прямых,
перпендикулярных данной прямой.

И ещё одно свойство. Две прямые на плоскости,
перпендикулярные третьей прямой, не могут пересечься одна с другой.

Пусть прямая перпендикулярна прямой  и пересекает её в точке А. Прямая  перпендикулярна прямой  и пересекает её в точке B. Тогда, если бы прямые  и  пересеклись, например, в точке C, мы получили бы треугольник ABC, у которого два прямых угла.
А это же невозможно.

Читайте также:  Учет амортизации нематериальных активов - в помощь студенту

Поэтому на плоскости такого быть не может. А вот, например, на
сфере по-другому. Вспомним экватор и меридианы. Они перпендикулярны друг другу,
но при этом все меридианы пересекаются в одной точке – на полюсе.

Поговорим о прямых, которые не пересекаются на плоскости.

Пусть на плоскости дана прямая  и некоторая точка К, которая не лежит на этой прямой.
Проведём через точку К несколько прямых.

Все эти прямые, кроме одной, пересекают прямую .

Назовём эту прямую . Тогда про прямые  и  мы можем сказать, что они параллельны. Записывают это так: . И говорят: «Прямая  параллельна прямой », или «Прямые  и  параллельны».

Запомните! Две прямые на плоскости
называются параллельными, если они не пересекаются.

Без труда построить параллельные прямые мы можем с помощью чертёжного
угольника
и линейки.

Давайте проведём прямую, параллельную прямой , через точку М. Для этого мы совместим сторону прямого
угла угольника с прямой . К другой стороне прямого угла угольника приложим линейку. Теперь
будем двигать наш угольник вдоль линейки до тех пор, пока точка М не
окажется на стороне прямого угла угольника. Затем проведём прямую . Прямые  и  параллельны.

Со словом «параллельно» мы иногда сталкиваемся и в жизни.
Например, машина может ехать параллельно краю дороги, то есть сохраняя
расстояние от края до дороги.

Представление о параллельных прямых мы можем получить, посмотрев
на железнодорожные рельсы или на электрические провода.

Так, мы с вами познакомились с перпендикулярными и параллельными
прямыми. А также научились их строить с помощью транспортира или угольника. Строить
параллельные и перпендикулярные прямые можно также с помощью циркуля и линейки.

Проведём параллельные прямые. Итак, пусть проведена прямая  и отмечена точка А вне этой прямой. Проведём через точку А
произвольную окружность, которая пересекает прямую .

Одну из точек пересечения окружности с прямой  обозначим буквой B, вторую – обозначим B1. Измерим циркулем отрезок АB и проведём окружность
радиусом, равным отрезку АB, с центром в точке B1. Появится точка A1. Проведём через точки А и A1 прямую . Прямая  параллельна прямой .

Теперь проведём перпендикуляр к прямой. Пусть проведена прямая  и дана точка А, которая не лежит на этой прямой. Отметим
на прямой  две произвольные точки. И с помощью циркуля проведём через точку
А
две произвольные окружности с центрами в этих точках.

Первая точка пересечения этих окружностей – это точка А.
Вторую точку A1. Проведём через эти точки
прямую . Это и есть перпендикуляр к прямой .

Давайте рассмотрим одно свойство перпендикулярных прямых.
Пусть даны перпендикулярные прямые  и . Если А – точка на прямой , а B – точка пересечения перпендикулярных
прямых  и , то отрезок АB есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой .

Получается, если мы хотим из точки А по кратчайшему пути
попасть на прямую , то двигаться надо по перпендикуляру к прямой .

Посмотрите на следующие рисунки. На них изображены
перпендикулярные  и ,  и . На этих прямых лежат отрезки. Отрезки, лежащие на
перпендикулярных прямых, также называются перпендикулярными. Получается,
что , а .

То же самое мы можем сказать и про отрезки, которые лежат на
параллельных прямых. Отрезки, лежащие на параллельных прямых, также
называются параллельными. Так, например, отрезки  и , которые лежат на параллельных прямых  и , также являются параллельными.

Теперь посмотрим на куб. Среди его рёбер можно указать пары параллельных
и перпендикулярных рёбер.

Через рёбра  и  можно провести плоскость . Эту плоскость называют диагональным сечением куба.

А вот если мы посмотрим на пару рёбер  и . Они не пересекаются, но при этом мы не сможем назвать ни одной
плоскости, которая бы проходила через оба эти отрезка (либо через прямые  и ).

Запомните! Прямые, которые не
пересекаются, но не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Источник: https://videouroki.net/video/20-parallelnost-i-perpendikulyarnost.html

Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости называются скрещивающимися. Прямая и плоскость в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

Перпендикулярные и параллельные прямые - в помощь студенту

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения плоскостей параллельны. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести параллельную плоскость, и притом только одну.

  • , так как 
  • Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны.
  • = =

Прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна  любой прямой в плоскости, проходящей через точку их пересечения.

  1. Прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым в плоскости, проходящим через точку их пересечения.
  2. .

Через каждую точку плоскости можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. Все прямые, перпендикулярные данной плоскости, параллельны.

Перпендикуляр, опущенный из данной точки на данную плоскость, — это отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, которая перпендикулярна плоскости. Основание перпендикуляра — это его конец, лежащий в плоскости.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного от этой точки на плоскость.

Наклонная, проведенная из данной точки к данной плоскости, — это любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, который не является перпендикуляром к плоскости.

Конец отрезка, который лежит в плоскости, — это основание наклонной.

Проекция наклонной — это отрезок, который соединяет основания перпендикуляра (точку С) и наклонной (точку А).

Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

  • Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если плоскость, перпендикулярная прямой их пересечения, пересекает данные плоскости по перпендикулярным прямым.
  • Так как , то .

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

  1. Предмет стереометрии
  2. Многогранник
  3. Призма
  4. Параллелепипед
  5. Объём тела
  6. Свойства прямоугольного параллелепипеда
  7. Пирамида
  8. Цилиндр
  9. Конус
  10. Сфера и шар
  11. Многогранники

Правило встречается в следующих упражнениях:

  • 7 класс
  • Задание 1209*, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1219, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1224, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 2, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 3, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 9, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 10, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1234, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1241, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1307, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  1. © budu5.com, 2020
  2. Пользовательское соглашение
  3. Copyright
  4. Нашли ошибку?
  5. Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3594

Параллельность и перпендикулярность. Параллельные и перпендикулярные прямые играют очень большую роль в жизни человека: особенности их взаимного расположения. — презентация

1 Параллельность и перпендикулярность

2 Параллельные и перпендикулярные прямые играют очень большую роль в жизни человека: особенности их взаимного расположения используют в строительстве, технике, искусстве. Теория параллельных занимает одно из центральных мест в науке «геометрия». Именно свойства параллельных прямых определяют основные свойства изучаемого нами пространства.

3 Рассматривая основные геометрические фигуры, среди всех углов мы выделили прямой угол, равный 90 градусов. Изобразим прямой угол и продолжим его стороны за вершину. O В А a b Мы получили две прямые, пересекающиеся под прямым углом. Две прямые, пересекающиеся под прямым углом (90°), называются ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ.

4 Перпендикулярные прямые обладают интересными свойствами. 1. Через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную этой прямой и пересекающую ее. 2. Если точку взять на самой прямой, то через эту точку проходит бесконечное число прямых, перпендикулярных данной прямой.

5 Если начертить прямую в тетради, то одна из прямых, перпендикулярных ей, будет лежать в плоскости тетради, а все остальные прокалывать тетрадь в данной точке.

Они будут находиться в пространстве (вне плоскости листа); это похоже на дорожный столб, стоящий на перекрестке дорог: столб перпендикулярен каждой дороге (рис. 2). Рис. 2 Рис. 3 Рис. 2 Рис Две прямые на плоскости, перпендикулярные третьей прямой, не могут пересечься одна с другой (рис. 3).

Если бы они пересеклись, например, в точке С, то мы получили бы треугольник ABC, у которого два прямых угла, что невозможно. На плоскости такого не может быть.

6 А вот на сфере перпендикуляры ведут себя иначе. Вспомните экватор и меридианы. Они перпендикулярны друг к другу, но все меридианы пересекаются в одной точке на ПОЛЮСЕ. Однако вернемся к плоскости. Итак, свойство 3 говорит о том, что на плоскости существуют непересекающиеся прямые. Две прямые на плоскости называются ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ, если они не пересекаются. a b

7 Передвигая, как показано на рисунке, треугольник вдоль неподвижной линейки, получаем множество параллельных между собой прямых. Передвигая, как показано на рисунке, треугольник вдоль неподвижной линейки, получаем множество параллельных между собой прямых. На рисунке 4-в прямые m и n параллельны. На рисунке 4-в прямые m и n параллельны.

Этот факт записывается так: mn Этот факт записывается так: mn Читаем: прямая m параллельна прямой n Читаем: прямая m параллельна прямой n Выбор именно такого знака достаточно понятен, Выбор именно такого знака достаточно понятен, не так ли? б)б) Рис.

4 а б Используя линейку и чертежный угольник, можно без труда вычерчивать параллельные прямые

8 У обычного чертежного угольника один угол прямой. В этом случае с его помощью можно проводить прямые, перпендикулярные данной прямой (рис. 5). Или, как говорят, опускать на данную прямую перпендикуляры или восставлять к ней перпендикуляры.

То, что прямые m и n перпендикулярны, записывается так: m n. С помощью циркуля и линейки также можно строить параллельные и перпендикулярные прямые.

Предлагаемые ниже способы построения интересны и тем, что число проводимых при построении линий будет наименьшим из возможных. Рис. 5

9 Проведение параллельных прямых Пусть проведена прямая и дана точка А вне этой прямой (рис. 6). 1. Проведем через точку А любую окружность, пересекающую прямую (рис. 6). 2.

Возьмем одну из точек пересечения окружности с прямой точку В, измерим циркулем отрезок АВ и проведем окружность радиусом, равным АВ, с центром в точке В 1. Появится точка А 1.

Прямая, проходящая через точки А и А 1, параллельна прямой. Рис. 6

10 II способ

11 Проведение перпендикуляра к прямой Пусть проведена прямая и дана точка А вне этой прямой. Рис.

7 Для построения перпендикуляра достаточно с помощью циркуля провести через А две произвольные окружности с центрами на прямой (рис.7). Вторая точка пересечения этих окружностей (точка А 1 ) и даст нам вторую точку на перпендикуляре.

Подумайте, как провести перпендикуляр (с помощью циркуля и линейки), если точка А лежит на прямой … Поэтапное построение

12 Следует запомнить еще одно важное свойство перпендикуляра. Если А точка на прямой, а В точка пересечения перпендикулярных прямых и m (рис. 8), то, отрезок АВ есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой m m A B Рис. 8 Итак, если мы хотим из точки А по кратчайшему пути попасть на прямую m, то двигаться надо по перпендикуляру к прямой m

13 Мы все время говорили: «параллельные прямые», «перпендикулярные прямые». Понятно, что на практике мы имеем дело не с прямыми, а лишь с их частями отрезками, лежащими на этих прямых. Отрезки, лежащие на параллельных прямых, также называются ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ, а на перпендикулярных — ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ.

14 Среди ребер куба можно указать пары параллельных и перпендикулярных ребер. На рисунке 9 изображен куб. Рис. 9 С Три четверки его ребер параллельны между собой. Вот одна из них: АВ || DC || АХВХ || DXCX. 1.

Назовите еще две четверки параллельных между собой ребер куба. Ребро АА 1 перпендикулярно ребрам АВ, А 1 В 1, AD и A 1 D 1. Угол между ребром АА 1 и каждым из этих ребер равен 90°. 2.

Назовите ребра, перпендикулярные: а) ребру СС 1 ; б) ребру DC.

15 Ребра АА 1 и ВВ 1 куба лежат в одной плоскости в плоскости передней грани; в этой же плоскости лежат и плоскости передней грани; в этой же плоскости лежат и ребра А 1 В 1 и АВ. Рис. 9 С Через ребра АА 1 и СС 1 также можно провести плоскость АА 1 С 1 С (диагональное сечение куба).

16 А вот пара ребер АА 1 и D 1 C 1 особенная. Не существует плоскости, которая бы проходила через оба эти отрезка (а также через прямые АА 1 и D 1 C 1 ). Такие отрезки и прямые называются СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ.

Какую бы плоскость мы ни провели через АА 1, обязательно прямая D 1 C 1 либо пересечет ее в какой-либо одной точке, либо не пересечет никогда. 3. Найдите еще несколько пар скрещивающихся ребер куба AC 1. Рис.

9 С Обозначение: ab Читают: прямые a и b — скрещивающиеся

17 За 5 мин привести как можно больше примеров: 1) параллельных прямых 2) перпендикулярных прямых, встречающихся в окружающем нас мире. Участники поочередно называют примеры таких прямых. Игра заканчивается, как только в течение минуты никто не может придумать новый пример. Побеждает тот, чей пример был последним.

18 Найдите на рисунке 9 какие-либо отрезки с концами в вершинах куба (не являющиеся его ребрами), такие, чтобы они были: а) параллельными; б) перпендикулярными; в) скрещивающимися. Рис. 9 С

19 Домашнее задание Выполнить все построения, которые выполняли на уроке, выделяя цветом главные этапы и линии, на альбомном листе А-4.

20 Спасибо за внимание! Желаю удачных построений параллельных и перпендикулярных прямых!

21 Ресурсы: И.Ф.Шарыгин, Л.Н.Еранжиева. Наглядная геометрия, 5-6 классы. Т.А.Алдамуратова, Т.С.Байшоланов. Математика. Учебник для 6 класса ОШ. Личный архив Волошина Н.Н. ГУ ШГ 5 г.Алматы

Источник: http://www.myshared.ru/slide/433218

Ссылка на основную публикацию