- 7 класс
- Основное свойство и сокращение Алгебраических отношений (дробей )
- Подготовил преподаватель
математики и информатики Апинова Е. А.
Узнай стоимость своей работы
- Цели урока.
- Ц1: Использовать терминологию, соответ-
- ствующую понятию алгебраическое отношение,
- в различных контекстах
- Ц2: Использовать аналогии при выполнении
- действий с обыкновенными дробями
- и с алгебраическими отношениями.
- ЦЗ: Знать и применять основное свойство
- алгебраических отношений.
- Ц4: Понимать принцип и выполнять сокращение
- алгебраических отношений.
- Исследовательская работа
- 1
- 2
- 3
Верю – не верю
Найдите область допустимых значений переменных, входящих в алг. отношение:
любое действительное число
Умножить числитель и знаменатель дроби на 2…
Разделите числитель знаменатель дроби на 3…
Узнай стоимость своей работы
- Понятие основного свойства дроби известно из курса 6-го класса.
- Значение обыкновенной дроби не изменится, если ее
- числитель и знаменатель одновременно умножить или
- разделить на одно и то же отличное от нуля число.
- Например:
- (числитель и знаменатель мы одновременно
- умножили на одно и то же число 4, значение
- дроби не изменилось);
- (числитель и знаменатель мы одновременно
- разделили на одно и то же число 11, значение
- дроби не изменилось).
- 7
- Основное свойство дроби
- При умножении или делении числителя и знаменателя
- алгебраической дроби на одно и то же число, не равное
- нулю, получается равная ей дробь
- Основное свойство дроби можно записать так:
- b ≠ 0, m ≠ 0,
- Правильно! А с новыми дробями так:
- Можно сокращать алгебраическую дробь на общий множитель числителя и знаменателя дроби
- Я это знаю!
Я же это знаю! Это сокращение дроби!
- Над алгебраическими дробями можно осуществлять
- преобразования аналогичные тем, которые вы выполнили
- для обыкновенной дроби.
- Основное свойство алгебраического отношения:
- Умножив числитель и знаменатель алгебраического отношения на ненулевое рациональное алгебраическое выражение, получим алгебраическое отношение, равное заданному на области допустимых значений обоих алгебраических отношений.
- Как используют основное свойство алгебраической дроби?
- Пример 1:
- Преобразовать данные дроби так, чтобы получились дроби
- с одинаковыми знаменателями.
- Решение
- Для этого найдем дополнительные множители для
каждой дроби. Это числа 5 и 3 .
5 – дополнительный множитель
3 – дополнительный множитель
- Пример 2:
- Преобразовать данные дроби так, чтобы получились дроби
- с одинаковыми знаменателями.
- Решение
- Для этого найдем дополнительные множители для
каждой дроби. Это числа 3b и 2.
3b – дополнительный множитель
2 – дополнительный множитель
- Пример3:
- Преобразовать данные дроби так, чтобы получились дроби
- с одинаковыми знаменателями.
- Решение
- Для этого найдем дополнительные множители для
каждой дроби. Это алгебраические выражения — (x — y) и (x + y).
- (x — y) – дополнительный
- множитель
- (x + y) – дополнительный
- множитель
- Над алгебраическими дробями можно осуществлять
- преобразования аналогичные тем, которые вы выполнили
- для обыкновенной дроби.
- Сокращение алгебраического отношения:
- Сократить алгебраическое отношение на ненулевое рациональное алгебраическое выражение — значит, разделить числитель и знаменатель этого отношения на данное выражение.
- Сократив алгебраическое отношение, получим алгебраическое отношение равное заданному на ОДЗ обоих отношений.
- Сократите данные дроби:
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
Восстановите, частично стёртые записи:
Ой-ой-ой…
Сократите дробь. Найдите правильный ответ.
- А
- С
- В
Сократите дробь. Найдите правильный ответ.
- В
- А
- С
Сократите дробь. Найдите правильный ответ.
- А
- С
- В
- Найдите правильный
- ответ.
- А
- В
- С
Преобразуйте заданные пары алгебраических выражений так, чтобы получились дроби с одинаковыми знаменателями :
№ 58 а). А. Г. Мордкович.
12
Сократите дроби:
Сократите дроби:
- Итоги урока
- Ой, сколько я всего узнала…
- Спасибо, ребята!
- Вы мне очень помогли!
Ответьте на вопросы:
- Назовите основное свойство
алгебраического отношения (дроби);
- Что означает выражение – сократить алгебраическое отношение?
- Какими бывают алгебраические отношения?
- Домашнее задание
- Стр 90-91 учить
- Стр 92 №3
- № 6 а,б,в
- № 8 а
Источник: https://videouroki.net/razrabotki/urok-po-tiemie-osnovnoie-svoistvo-alghiebraichieskoi-drobi-sokrashchieniie-alghi.html
Видеоурок «Алгебраические дроби. Основное свойство алгебраической дроби»
Содержание:
§ 1 Алгебраические дроби
Несмотря на довольно большое внешнее отличие, существующее между алгебраическими и обыкновенными дробями, у них много общего, а именно: и обыкновенным, и алгебраическим дробям присущи одинаковое основное свойство и общие правила выполнения арифметических действий. В рамках этого урока мы столкнемся с понятиями: сокращение дроби, умножение и деление числителя и знаменателя на одно и то же выражение; также рассмотрим примеры.
Вспомним основное свойство обыкновенной дроби.
Значение обыкновенной дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, неравное нулю:
Также значение обыкновенной дроби не изменится, если числитель и знаменатель данной дроби разделить на одно и то же, отличное от нуля число (сократить):
Алгебраические дроби являются в некотором смысле обобщением обыкновенных дробей, и над ними можно проводить те же операции, что и над обыкновенными дробями.
§ 2 Решение задач по теме урока
Решим следующую задачу:
1) Для дробей:
наименьшим общим кратным будет знаменатель 36c. Числитель и знаменатель дроби первой дроби необходимо умножить на 3, чтобы получить знаменатель 36c, а для второй дроби умножаем числитель и знаменатель на 2. Получаем:
Таким образом, воспользовавшись основным свойством алгебраической дроби, мы выполнили задание.
2) Чтобы привести данные дроби к общему знаменателю,
необходимо и знаменатель, и числитель второй дроби умножить на –1, получаем:
Не забываем, что m ≠ n. Таким образом, дроби:
имеют одинаковые знаменатели.
3) В данном случае просто умножим знаменатель и числитель первой дроби на знаменатель второй, и наоборот, знаменатель и числитель второй дроби – на знаменатель первой.
Это позволит нам привести дроби к одинаковому знаменателю.
Первая дробь:
- В числителе раскрыли скобки, а в знаменателе воспользовались формулой разности квадратов.
- Вторая дробь:
- Таким образом, с помощью дополнительных множителей (x – y) и (x + y) заданные дроби приведены к общему знаменателю:
- Приводя алгебраические дроби к общему знаменателю, мы заменяли одну алгебраическую дробь другой дробью, тождественно равной первой.
§ 3 Основное свойство алгебраической дроби
- Основное свойство алгебраической дроби: и числитель, и знаменатель алгебраической дроби можно умножить или разделить на один и тот же многочлен (в частности, одночлен или число, неравное нулю); это – тождественное преобразование заданной алгебраической дроби.
- Тождественное преобразование алгебраической дроби путем деления её числителя и знаменателя на один и тот же многочлен (одночлен, число отличное от нуля) называют сокращением алгебраической дроби.
- Например, алгебраическую дробь:
- при необходимости можно заменить дробью:
- числитель и знаменатель данной дроби умножили на x – y.
- Пользуясь основным свойством алгебраической дроби, дробь:
можно сократить на a. Для этого необходимо предварительно разложить на множители числитель и знаменатель дроби, а затем разделить их на общий множитель.
Список использованной литературы:
- Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 9-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2007. – 215с.: ил.
- Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.2 Задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.. – 8-е изд., – М.: Мнемозина, 2006 – 239с.
- Алгебра. 8 класс. Контрольные работы для учащихся образовательных учреждений. Л.А. Александрова. Под ред. А.Г. Мордковича. 2-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009. — 40с.
- Алгебра. 8 класс. Самостоятельные работы для учащихся образовательных учреждений: к учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александрова. Под ред. А.Г. Мордковича. 9-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. – 112с.
Источник: https://znaika.ru/catalog/8-klass/algebra/Algebraicheskie-drobi.-Osnovnoe-svoystvo-algebraicheskoy-drobi.html
Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей
Прежде чем перейти к изучению алгебраических дробей рекомендуем вспомнить, как работать с обыкновенными дробями.
Запомните!
Любая дробь, в которой есть буквенный множитель, называется алгебраической дробью.
Примеры алгебраических дробей.
; ; ; ;
Как и у обыкновенной дроби, в алгебраической дроби есть числитель (наверху) и знаменатель (внизу).
Сокращение алгебраической дроби
Алгебраическую дробь можно сокращать. При сокращении пользуются правилами сокращения обыкновенных дробей.
- Напоминаем, что при сокращении обыкновенной дроби мы делили и числитель, и знаменатель на одно и тоже число.
- Алгебраическую дробь сокращают таким же образом, но только числитель и знаменатель делят на один и тот же многочлен.
- Рассмотрим пример сокращения алгебраической дроби.
Определим наименьшую степень, в которой стоит одночлен «a» . Наименьшая степень для одночлена «a» находится в знаменателе — это вторая степень.
Разделим, и числитель, и знаменатель на «a2». При делении одночленов используем свойство степени частного.
Напоминаем, что любая буква или число в нулевой степени — это единица.
Нет необходимости каждый раз подробно записывать, на что сокращали алгебраическую дробь. Достаточно держать в уме степень, на которую сокращали, и записывать только результат.
Краткая запись сокращения алгебраической дроби выглядит следующим образом.
Важно!
Сокращать можно только одинаковые буквенные множители.
Нельзя сокращать
Можно сокращать
Другие примеры сокращения алгебраических дробей.
Как сократить дробь с многочленами
Рассмотрим другой пример алгебраической дроби. Требуется сократить алгебраическую дробь, у которой в числителе стоит многочлен.
Важно!
Сокращать многочлен в скобках можно только с точно таким же многочленом в скобках!
Ни в коем случае нельзя сокращать часть многочлена внутри скобок!
Неправильно
Правильно
Определить, где заканчивается многочлен, очень просто. Между многочленами может быть только знак умножения. Весь многочлен находится внутри скобок.
- После того, как мы определили многочлены алгебраической дроби, сократим многочлен «(m − n)» в числителе с многочленом «(m − n)» в знаменателе.
- Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами.
- Чтобы в алгебраических дробях появились одинаковые многочлены иногда нужно вынести общий множитель за скобки.
- Рассмотрим пример.
- В таком виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как многочлен «(3f + k)» можно сократить только со многочленом «(3f + k)».
- Поэтому, чтобы в числителе получить «(3f + k)», вынесем общий множитель «5».
Сокращение дробей с помощью формул сокращенного умножения
- В других примерах для сокращения алгебраических дробей требуется применение формул сокращенного умножения.
- В первоначальном виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как нет одинаковых многочленов.
- Но если применить формулу разности квадратов для многочлена «(a2 − b2)», то одинаковые многочлены появятся.
- Другие примеры сокращения алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения.
Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/algebraic_fractions/reducing_algebraic_fractions.php
Основное свойство алгебраической дроби — Гипермаркет знаний
- Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Основное свойство алгебраической дроби
- Основное свойство алгебраической дроби
- Вам известно, что значение обыкновенной дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.
- Например: (и числитель и знаменатель мы одновременно умножили на одно и то же число 4; значение дроби не изменилось); (и числитель и знаменатель мы одно временно разделили на одно и то же число 11; значение дроби не определенном смысле обобщение обыкновенной дроби; над алгебраическими дробями можно осуществлять преобразования, аналогичные тем, которые мы только что указали для обыкновенных дробей. Эти преобразования можно описать так:
1. И числитель и знаменатель алгебраической дроби можно умножить на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно и то же отличное от нуля число); это — тождественное преобразование заданной алгебраической дроби.
2. И числитель и знаменатель алгебраической дроби можно разделить на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно и то же отличное от нуля число); это — тождественное преобразование заданной алгебраической дроби, его называют сокращением алгебраической дроби.
Сформулированные правила представляют собой основное свойство алгебраической дроби.
Пользуясь основным свойством алгебраической дроби, можно дробь — заменить (если, конечно, в этом есть необходимость) дробью (числитель и знаменатель одновременно умножили на х — 2) или дробью (числитель и знаменатель одновременно умножили на 2х).
Напротив, пользуясь основным свойством алгебраической дроби, можно заменить дробь более простой дробью — (числитель и знаменатель одновременно разделили на 2х, т. е. сократили дробь).
- Пример. Преобразовать заданные дроби так, чтобы получились дроби с одинаковыми знаменателями:
- Р е ш е н и е. а) Имеем:
Дроби приведены к одинаковому знаменателю (обычно говорят «к общему знаменателю»). Для этого пришлось числитель и знаменатель первой дроби умножить на дополнительный множитель 5, а числитель и знаменатель второй дроби — на дополнительный множитель 3; сделать это позволяет основное свойство дроби.
- б) Имеем
- Дроби приведены к общему знаменателю 12b3 с помощью дополнительных множителей соответственно 3b и 2.
- в) Имеем
- Дроби приведены к общему знаменателю х2 — у2 с помощью дополнительных множителей соответственно х — у и х + у.
Приводя в этом примере алгебраические дроби к общему знаменателю, мы заменяли одну алгебраическую дробь другой дробью, тождественно равной первой. Однако если при сокращении дроби мы ее упрощаем, то в рассмотренном примере каждая дробь заменялась более сложной. Наверное у вас возник вопрос: а нужно ли такое «усложняющее» преобразование?
Оказывается, нужно, и в этом мы с вами скоро убедимся.
С основным свойством алгебраической дроби связаны правила изменения знаков у числителя и знаменателя. Так, имеет место равенство здесь числитель и знаменатель первой дроби мы одновременно умножили на одно и то же число — 1.
Если же изменить знаки только в числителе или только в знаменателе, то следует изменить знак и перед дробью:
Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.
онлайн библиотека с учебниками и книгами, планы конспектов уроков по математике, задания по математике 8 класса скачать
Содержание урока
конспект урока
опорный каркас презентация урока
акселеративные методы интерактивные технологии Практика
задачи и упражнения самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения
рефераты
статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные
словарь терминов прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год методические рекомендации программы
обсуждения Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.
Источник: http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9_%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%B8
Конспект урока "Алгебраическая дробь
Учебник: Алимов, Ю. М. «Алгебра 7 класс» 1998 год, глава 5, §24, стр. 99-102.
- Тема урока: ««Алгебраическая дробь»
- Тип урока: урок изучения нового
- Учебная задача урока: в совместной деятельности с учащимися ввести определение понятия алгебраической дроби, условия её существования, свойство алгебраической дроби.
- Диагностируемые цели.
- В результате урока ученик:
- Знает:
- Понятие алгебраической дроби;
- Условие существования алгебраической дроби.
- Основное свойство алгебраической дроби.
Умеет:
- записывать алгебраическую дробь;
- записывать условие существования алгебраической дроби
- применять основное свойство дроби к упрощению алгебраических выражений
Понимает:
- понятие и свойство алгебраической дроби является обобщениями понятия и свойства обыкновенной дроби.
Учебные действия, формируемые на уроке:
- Личностные: умение учащегося устанавливать связи между целью учебной деятельности и её мотивом, т.е. между результатом учения, и тем, что побуждает деятельность, ради чего она осуществляется, таким образом должна осуществляться осмысленная организация собственной деятельности ученика;
- Регулятивные: целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что ещё неизвестно, планирование — определение последовательности промежуточных целей с учётом конечного результата, оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения;
- Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, т. е. определение цели сотрудничества, функций участников, способов взаимодействия, умение с достаточно полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации, владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка, умение доказывать собственное мнение;
- Познавательные: анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных); выдвижение гипотез и их обоснование; построение логической цепи рассуждений, доказательство; подведение под понятие; выведение следствий; установление причинно-следственных связей.
Методы обучения:
- Эвристическая беседа
- частично-поисковые;
- УДЕ
- репродуктивный.
- Форма работы: фронтальная, парная
- Средства обучения: традиционные, презентация.
- Структура урока:
-
Мотивационно-ориентировочная часть (10 мин.)
-
Операционно-познавательная часть (30 мин.)
-
Рефлексивно-оценочная часть (5 мин.)
Ход урока.
Актуализация знаний.
- (фронтальный опрос учащихся с места)
- — Выберите из предложенных чисел обыкновенные дроби:
- 1)0,11 2) 3) 4)7
- Обыкновенные дроби под номерами 2,3
- — Что такое обыкновенная дробь?
- Обыкновенной дробью называется число вида где m и n – натуральные числа.
- — Укажите числитель обыкновенных дробей.
- 1) 2)
- 1) 2)
- -Что такое числитель обыкновенной дроби?
- Числитель дроби это число, записанное над дробной чертой
- -Укажите знаменатель обыкновенных дробей.
- 1)7, 2) 56
- -Что такое знаменатель обыкновенной дроби?
- Знаменатель дроби это число, записанное под дробной чертой
- -Какое действие заменяет знак дробной черты?
- Деление
- Дан список различных обыкновенных дробей, из которых можно указать пары (тройки) равных:
- 3/6, 1/2, 2/4, 1/3, 4/8, 2/5, 1/4, 3/9.
– Как вы определили, что дроби равны? Каким свойством пользовались?
- – Так в чём заключается основное свойство дроби?
- — основным свойством обыкновенной дроби
- — при умножении или делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, отличное от нуля, получается равная ей дробь.
- — Выберите из предложенного списка алгебраические выражения
- 1)
- 2)
- 3)
- 4)
- 5)15+5,37
- 1,2,3,4
- Мотивация
- Из данных алгебраических выражений укажите выражения, похожие по записи на обыкновенную дробь
- 1)
- 2)
- 3)
- 4)
- 2,3
- -Решим следующую задачу:
Скорость катера в стоячей воде равна а километрам в час, скорость течения реки равна b километрам в час. Во сколько раз скорость движения катера по течению реки больше скорости движения катера против течения?
-
Чему равна скорость катера по течению?
-
Чему равна скорость катера против течения?
-
Как мы найдем во сколько раз скорость движения катера по течения реки больше скорости движения катера против течения?
- Дети отвечают и записывают в тетрадь:a+b км/ч
- Дети отвечают и записывают в тетрадь:a-b км/ч
- Дети отвечают и записывают в тетрадь:
Выражение , как и ранее выделенные вами выражения и называют алгебраической дробью. Числитель и знаменатель такой дроби – алгебраические выражения.
- Постановка учебной задачи
- Появилось новое понятие, значит нужно его изучить.
- Планирование решения учебной задачи
- Нужно дать ему определение и рассмотреть его свойства.
- Операционно-познавательная часть
- Тема урока: «Алгебраическая дробь»
- -Запишем определение в тетрадь:
- Алгебраическая дробь – это частное двух алгебраических выражений, записанное в виде ,где P-числитель дроби , Q- знаменатель дроби, отличный от нуля.
- Записывают определение в тетрадь: Алгебраическая дробь – это частное двух алгебраических выражений, записанное в виде ,где P-числитель дроби , Q- знаменатель дроби, отличный от нуля.
- Cреди данных дробей найдите алгебраические. Запишите их номер в тетради:
- Записывают: 1), 3),4),5),7)
Буквами в алгебре обозначают числа. Если вместо букв, входящих в алгебраическую дробь, подставить некоторые числа, то после вычислений получится значение этой алгебраической дроби. Например, найти значение алгебраической дроби при a=10, b=8
. Запишите в тетради.
Записывают в тетрадь:
Найдите значение алгебраических дробей при данных значениях переменных. Кто пойдет к доске?
Один решает на доске остальные в тетради:
=
|
-Деление. -Нет, на ноль делить нельзя. |
|
|
|
|
-Так как в алгебраической дроби буквами обозначены некоторые числа, то для алгебраических дробей справедливо основное свойство дроби. Запишем основное свойство дроби: значение алгебраической дроби не изменится, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же выражение, значение которого отлично от нуля. | Записывают основное свойство дроби: значение алгебраической дроби не изменится, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же выражение, значение которого отлично от нуля. |
|
Решают в тетради: |
Сократите дробь: | |
|
|
Сократите дробь, предварительно разложив её числитель и знаменатель на множители. Кто хочет выйти к доске?
|
|
Рефлексивно-оценочная часть | |
|
|
-Дайте определение алгебраической дроби. | Алгебраическая дробь – это частное двух алгебраических выражений, записанное в виде ,где P-числитель дроби , Q- знаменатель дроби, отличный от нуля. |
-Что необходимо сделать чтобы найти значения алгебраической дроби при которой она не имеет смысл. | Найти значения при которых знаменатель обращается в ноль. |
-Скажите основное свойство дроби. | — значение алгебраической дроби не изменится, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же выражение, значение которого отлично от нуля. |
Заполните таблицу: | |
|
Источник: https://infourok.ru/konspekt-uroka-algebraicheskaya-drob-3046594.html
Основное свойство алгебраической дроби
- МБОУ СОШ № 129
- Тел ОУ: 8-(987) 477-12-24
- Тема: «Основное свойство алгебраической дроби»
- Чугаева Олеся Алексеевна
- Должность: учитель математики
- Домашний адрес: г. Уфа, ул Ушакова 90/1, (8347) 263-04-95
- Уфа – 2016
- Тема урока: «Основное свойство алгебраической дроби» .
- Математика (8 класс)
Учебник: Алгебра 8 А. Г. Мордкович
Учитель: Чугаева Олеся Алексеевна, МБОУ Школа № 129.
Тип урока: «открытие» нового знания.
Основные цели: Повторить основное свойство дроби, рассмотреть это свойство для алгебраических дробей; формировать умение самостоятельно работать на уроке, сокращать дроби и приводить дроби к одинаковому знаменателю. Развивать умения, анализировать, применять имеющие знания у учащихся в изменённой ситуации.
Ход урока.
-
Самоопределение к деятельности (орг. момент).
- Цель: включение учащихся в деятельность на личностно- значимом уровне.
- «Хочу, потому что могу».
- Время 1-2 минуты:
– Здравствуйте, ребята! Вспомните, какие темы были на прошлых уроках? (Мы рассмотрели алгебраические дроби и основные понятия, связанные с ней.)
– Как называется, глава, в которую входят названные темы? (Алгебраические дроби.)
– Как вы думаете, что изучается в этой главе ( мы думаем, что алгебраические дроби, так же как обыкновенные, можно сокращать, приводить к общему знаменателю, складывать и вычитать, умножать и делить)
– Хорошо! Сегодня мы продолжим заниматься изучением алгебраических дробей, познакомимся с основным свойством алгебраической дроби, рассмотрим приведение алгебраических дробей к общему знаменателю.
II. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.
Цель: повторение изученного материала, необходимого для «открытия нового знания», и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого учащегося.
Время 4-5 минут;
-
Найдите значение дробей и при х = 0,6
Решение:
-
= = = = = =
-
= = = = = =
- Вопросы классу:
- – Какая дробь называется алгебраической?
- – Алгебраическая дробь – это отношение многочленов.
- – Когда алгебраическая дробь равна нулю?
- —Когда числительравеннулю.
– Когда алгебраическая дробь не имеет смысла? Почему?
— Алгебраическаядробьнеимеетсмыслапри всехзначенияхх, обращающихзнаменатель в 0. Остальныезначенияпеременной называютсядопустимыми.
- -Ребята, что помогло нам, решить 2) задачу?
- -Использование основного свойства дроби.
- — А как оно звучит?
- -Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же натуральное число, от чего величина дроби не изменяется.
- — Ребята, скажите пожалуйста, а где и для чего используется основное свойство дроби?
- -Основное свойство дроби, используется при приведении дробей к общему знаменателю и для сокращения дробей.
-
Постановка учебной задачи.
- Ребята, а сейчас я предлагаю вам, выполнить следующие примеры:
Предложенное задание может у многих учащихся вызвать затруднение, т.к. раньше они не сталкивались с подобными задачами.
– Почему задача вызвала затруднение у многих ребят? (Мы раньше не приводили к общему знаменателю, и не сокращали алгебраические дроби).
– Сформулируйте цель урока? (Научиться применять основное свойство дроби, для алгебраических дробей).
– Какова тема урока? (Основное свойство алгебраической дроби).
-
«Открытие нового знания» (построение проекта выхода из затруднения).
- Учитель записывает на доске:
- =
- Вопросы к классу:
- — Ребята, что вы видите на доске? ( Тождество)
- — Что называют тождеством? ( Верное равенство)
— Есть ли какое либо условие, чтобы записанное равенство было верным? ( это равенство верно при всех допустимых значениях переменных, т. е. при условии b≠0, c≠0)
— Что еще вы видите на доске? ( такое тождество называют основным свойством дроби)
— Как вы думаете, можем ли мы применить это правило для алгебраических дробей? (да, потому что обыкновенную дробь можно считать частным случаем алгебраической дроби).
Молодцы, ребята. Я предлагаю вам, вернуться к примерам, заданным выше.
-
Приведем дробь к знаменателю 56, для этого числитель и знаменатель данной дроби умножим на 8.
-
Сократим дробь , видно что дроби имеют общий множитель
5q2p, поэтому представим числитель и знаменатель дроби в виде произведений, имеющих один и тот же множитель, и сократим дробь на этот множитель, после сокращения получим дробь 27p2/5.
V. Первичное закрепление во внешней речи.
VI. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону. Самоанализ и
- самоконтроль.
- Цель: каждый для себя должен сделать вывод о том, что он уже умеет.
- Время 4-5 минут;
- Я предлагаю вам выполнить самостоятельно, по вариантам следующие примеры:
- 1 вариант: 2 вариант:
VII. Включение нового знания в систему знаний и повторение.
VIII. Рефлексия деятельности (итог урока).
- Цель: осознание учащимися своей УД (учебной деятельности), самооценка результатов деятельности своей и всего класса.
- Время 2-3 минуты;
- – Что мы сегодня узнали?
- — Где применяется основное свойство дроби?
- — Для чего обычно мы приводим дроби к общему знаменателю?
- – Оцените свою работу на уроке.
- Домашнее задание.
Источник: https://multiurok.ru/index.php/files/osnovnoie-svoistvo-alghiebraichieskoi-drobi.html
Основное свойство алгебраической дроби: формулировка, доказательство, примеры применения
При изучении обыкновенных дробей, сталкиваемся с понятиями основного свойства дроби. Формулировка упрощенного вида необходима для решения примеров с обыкновенными дробями. Данная статья предполагает рассматривание алгебраических дробей и применение к ним основного свойства, которое будет сформулировано с приведением примеров области его применения.
Формулировка и обоснование
Основное свойство дроби имеет формулировку вида:
Определение 1
При одновременном умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же число, значение дроби остается неизменным.
То есть, получаем, что a·mb·m=ab и a:mb:m=ab равнозначны, где ab=a·mb·m и ab=a:mb:m считаются справедливыми. Значения a, b, m являются некоторыми натуральными числами.
Деление числителя и знаменателя на число можно изобразить в виде a·mb·m=ab. Это аналогично решению примера 812=8:412:4=23. При делении используется равенство вида a:mb:m=ab, тогда 812=2·42·4=23. Его же можно представить в виде a·mb·m=ab , то есть812=2·43·4=23.
То есть, основное свойство дроби a·mb·m=ab и ab=a·mb·m будем рассматривать подробно в отличие от a:mb:m=ab и ab=a:mb:m.
Если в числителе и знаменателе имеются действительные числа, тогда свойство применимо. Предварительно следует доказать справедливость записанного неравенства для всех чисел. То есть, доказать существование a·mb·m=ab для всех действительных a, b, m, где b и m являются отличными от нуля значениями во избежание деления на ноль.
Доказательство 1
Пусть дробь вида ab считается частью записи z, иначе говоря, ab=z, тогда необходимо доказать, что a·mb·m отвечает z, то есть доказать a·mb·m=z. Тогда это позволит доказать существование равенства a·mb·m=ab.
Черта дроби означает знак деления. Применив связь с умножением и делением, получим, что из ab=z после преобразования получаем a=b·z.
По свойствам числовых неравенств следует произвести умножение обеих частей неравенства на число, отличное от нуля. Тогда произведем умножение на число m, получаем, что a·m=(b·z)·m.
По свойству имеем право записать выражение в виде a·m=(b·m)·z. Значит, из определения следует, что ab=z. Вот и все доказательство выражения a·mb·m=ab.
- Равенства вида a·mb·m=ab и ab=a·mb·m имеют смысл, когда вместо a, b, m будут многочлены, причем вместо b и m – ненулевые.
- Основное свойство алгебраической дроби: когда одновременно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, получим тождественно равное исходному выражение.
- Свойство считается справедливым, так как действия с многочленами соответствуют действиям с числами.
Пример 1
Рассмотрим на примере дроби 3·xx2-xy+4·y3. Возможно преобразование к виду 3·x·(x2+2·x·y)(x2-xy+4·y3)·(x2+2·x·y).
Было произведено умножение на многочлен x2+2·x·y. Таким же образом основное свойство помогает избавиться от x2, имеющегося в заданной по условию дроби вида 5·x2·(x+1)x2·(x3+3) к виду 5·x+5×3+3. Это называется упрощением.
Основное свойство можно записать в виде выражений a·mb·m=ab и ab=a·mb·m, когда a, b, m являются многочленами или обычными переменными, причем b и m должны являться ненулевыми.
Сферы применения основного свойства алгебраической дроби
Применение основного свойства актуально для приведения к новому знаменателю или при сокращении дроби.
Определение 2
Приведение к общему знаменателю – это умножение числителя и знаменателя на аналогичный многочлен для получения нового. Полученная дробь равна исходной.
То есть дробь вида x+y·x2+1(x+1)·x2+1 при умножении на x2+1 и приведении к общему знаменателю (x+1)·(x2+1) получит вид x3+x+x2·y+yx3+x+x2+1.
После проведения действий с многочленами получаем, что алгебраическая дробь преобразуется в x3+x+x2·y+yx3+x+x2+1.
Приведение к общему знаменателю выполняется также при сложении или вычитании дробей. Если даны дробные коэффициенты, то предварительно необходимо произвести упрощение, что позволит упростить вид и само нахождение общего знаменателя. Например, 25·x·y-2x+12=10·25·x·y-210·x+12=4·x·y-2010·x+5.
Применение свойства при сокращении дробей выполняется в 2 этапа: разложение числителя и знаменателя на множители для поиска общего m, после чего осуществить переход к виду дроби ab, основываясь на равенстве вида a·mb·m=ab.
Если дробь вида 4·x3-x·y16·x4-y2 после разложения преобразуется на x·(4·x2-y)4·x2-y·4·x2+y, очевидно, что общим множителем будет многочлен 4·x2−y. Тогда возможно будет произвести сокращение дроби по основному его свойству. Получим, что
x·(4·x2-y)4·x2-y·4·x2+y=x4·x2+y. Дробь упрощается, тогда при подстановке значений необходимо будет выполнять намного меньше действий, чем при подстановке в исходную.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/osnovnoe-svojstvo-algebraicheskoj-drobi/
Алгебраические дроби
- Сокращение алгебраических дробей
Алгебраическая дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Другими словами, алгебраическая дробь – это деление двух многочленов, записанное с помощью дробной черты.
- Любую алгебраическую дробь можно представить в виде выражения:
- где a и b – это многочлены и b≠0.
- Дробная черта в записи алгебраической дроби заменяет собой скобки, которые должны были бы присутствовать, если частное было бы записано не в виде дроби:
(a + 3) : (a2 + 9) = | a + 3 |
a2 + 9 |
- Примеры алгебраических дробей:
- Обратите внимание на последний пример: обыкновенные дроби являются одновременно и алгебраическими, так как любое число можно считать многочленом, состоящим из одного члена.
- Любой многочлен можно записать в виде алгебраической дроби, знаменатель которой равен единице:
a2 + 9 = | a2 + 9 | ; 15 = | 15 | ; x2 + 2xy + y2 = | x2 + 2xy + y2 |
1 | 1 | 1 |
- Основное свойство алгебраической дроби:
- Если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же многочлен, то получится дробь, равная данной.
- В виде буквенной формулы основное свойство алгебраической дроби можно записать так:
a | = | a · c | и | a | = | a : c |
b | b · c | b | b : c | , |
где c≠0.
Используя основное свойство алгебраических дробей, выполняют их сокращение. Сокращение алгебраических дробей – это деление числителя и знаменателя дроби на их общий множитель.
Чтобы сократить алгебраическую дробь, надо числитель и знаменатель разложить на множители. Если числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если у числителя и знаменателя общих множителей нет, то дробь является несократимой.
Пример 1. Сократить дробь:
Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители, выделим их общий множитель и сократим дробь на него:
ab2 + bc | = | b(ab + с) | = | ab + с |
ab2 | b · ab | ab |
Пример 2. Упростить дробь:
Решение: Сначала мы можем сократить дробь на общий множитель x в первой степени:
3x(a + b) | = | 3(a + b) |
x2(b — a) | x(b — a) |
- Теперь стоит внимательно посмотреть на многочлены, заключённые в скобки:
- a + b и b — a
- Чтобы многочлен из знаменателя привести к тому же виду, что и у многочлена в числителе, надо поменять у многочлена b — a знак на противоположный и переставить члены местами:
- b — a = -(-b + a) = -(a — b)
- Теперь и в числителе и в знаменателе у нас есть общий множитель, который можно сократить:
3(a + b) | = | 3(a + b) | = — | 3 |
x(b — a) | -x(a + b) | x |
Пример 3. Сократите дробь:
Решение: числитель и знаменатель дроби являются одночленами. Каждый одночлен – это произведение, состоящее из множителей, значит, можно сразу переходит к сокращению:
- Начинаем с числового множителя. Числовые множители можно сократить на их наибольший общий делитель. Для чисел 24 и 16 – это число 8. После сокращения от 24 останется 3, а от 16 – 2.
- Буквенные множители сокращаем на степень с наименьшим встречающимся показателем:
- a и a5 сокращаем на a. Единицу в числитель не пишем, а в знаменателе остаётся a4.
- b3 и b3 сокращаем на b3, единицы в результат не записываем.
- c5 и c сокращаем на c, в числитель пишем c4, в знаменатель не пишем ничего.
Следовательно:
Источник: https://naobumium.info/algebra/algebraicheskie_drobi.php