Основное свойство алгебраических дробей — в помощь студенту

• 7 класс
• Основное свойство и сокращение Алгебраических отношений (дробей )
• Подготовил преподаватель

математики и информатики Апинова Е. А.

1. Цели урока.
2. Ц1: Использовать терминологию, соответ-
3. ствующую понятию алгебраическое отношение,
4. в различных контекстах
5. Ц2: Использовать аналогии при выполнении
6. действий с обыкновенными дробями
7. и с алгебраическими отношениями.
8. ЦЗ: Знать и применять основное свойство
9. алгебраических отношений.
10. Ц4: Понимать принцип и выполнять сокращение
11. алгебраических отношений.

• Исследовательская работа
• 1
• 2
• 3

Верю – не верю

Найдите область допустимых значений переменных, входящих в алг. отношение:

любое действительное число

Умножить числитель и знаменатель дроби на 2…      

Разделите числитель знаменатель дроби на 3…

1. Понятие основного свойства дроби известно из курса 6-го класса.
2. Значение обыкновенной дроби не изменится, если ее
3. числитель и знаменатель одновременно умножить или
4. разделить на одно и то же отличное от нуля число.
5. Например:
6. (числитель и знаменатель мы одновременно
7. умножили на одно и то же число 4, значение
8. дроби не изменилось);
9. (числитель и знаменатель мы одновременно
10. разделили на одно и то же число 11, значение
11. дроби не изменилось).
12. 7

• Основное свойство дроби
• При умножении или делении числителя и знаменателя
• алгебраической дроби на одно и то же число, не равное
• нулю, получается равная ей дробь
• Основное свойство дроби можно записать так:
• b ≠ 0, m ≠ 0,
• Правильно! А с новыми дробями так:
• Можно сокращать алгебраическую дробь на общий множитель числителя и знаменателя дроби
• Я это знаю!

Я же это знаю! Это сокращение дроби!

1. Над алгебраическими дробями можно осуществлять
2. преобразования аналогичные тем, которые вы выполнили
3. для обыкновенной дроби.
4. Основное свойство алгебраического отношения:
5. Умножив числитель и знаменатель алгебраического отношения на ненулевое рациональное алгебраическое выражение, получим алгебраическое отношение, равное заданному на области допустимых значений обоих алгебраических отношений.

• Как используют основное свойство алгебраической дроби?
• Пример 1:
• Преобразовать данные дроби так, чтобы получились дроби
• с одинаковыми знаменателями.
• Решение
• Для этого найдем дополнительные множители для

каждой дроби. Это числа 5 и 3 .

5 – дополнительный множитель

3 – дополнительный множитель

1. Пример 2:
2. Преобразовать данные дроби так, чтобы получились дроби
3. с одинаковыми знаменателями.
4. Решение
5. Для этого найдем дополнительные множители для

каждой дроби. Это числа 3b и 2.

3b – дополнительный множитель

2 – дополнительный множитель

• Пример3:
• Преобразовать данные дроби так, чтобы получились дроби
• с одинаковыми знаменателями.
• Решение
• Для этого найдем дополнительные множители для

каждой дроби. Это алгебраические выражения — (x — y) и (x + y).

1. (x — y) – дополнительный
2. множитель
3. (x + y) – дополнительный
4. множитель

• Над алгебраическими дробями можно осуществлять
• преобразования аналогичные тем, которые вы выполнили
• для обыкновенной дроби.
• Сокращение алгебраического отношения:

• Сократить алгебраическое отношение на ненулевое рациональное алгебраическое выражение — значит, разделить числитель и знаменатель этого отношения на данное выражение.
• Сократив алгебраическое отношение, получим алгебраическое отношение равное заданному на ОДЗ обоих отношений.

1. Сократите данные дроби:
2. 1
3. 1
4. 1
5. 1
6. 1
7. 1
8. 1
9. 1

Восстановите, частично стёртые записи:

Ой-ой-ой…

Сократите дробь. Найдите правильный ответ.

• А
• С
• В

Сократите дробь. Найдите правильный ответ.

1. В
2. А
3. С

Сократите дробь. Найдите правильный ответ.

• А
• С
• В

1. Найдите правильный
2. ответ.
3. А
4. В
5. С

Преобразуйте заданные пары алгебраических выражений так, чтобы получились дроби с одинаковыми знаменателями :

№ 58 а). А. Г. Мордкович.

12

Сократите дроби:

Сократите дроби:

• Итоги урока
• Ой, сколько я всего узнала…
• Спасибо, ребята!
• Вы мне очень помогли!

Ответьте на вопросы:

• Назовите основное свойство

алгебраического отношения (дроби);

• Что означает выражение – сократить алгебраическое отношение?
• Какими бывают алгебраические отношения?

1. Домашнее задание
2. Стр 90-91 учить
3. Стр 92 №3
4. № 6 а,б,в
5. № 8 а

Источник: https://videouroki.net/razrabotki/urok-po-tiemie-osnovnoie-svoistvo-alghiebraichieskoi-drobi-sokrashchieniie-alghi.html

Видеоурок «Алгебраические дроби. Основное свойство алгебраической дроби»

Содержание:

§ 1  Алгебраические дроби

Несмотря на довольно большое внешнее отличие, существующее между алгебраическими и обыкновенными дробями, у них много общего, а именно: и обыкновенным, и алгебраическим дробям присущи одинаковое основное свойство и общие правила выполнения арифметических действий. В рамках этого урока мы столкнемся с понятиями: сокращение дроби, умножение и деление числителя и знаменателя на одно и то же выражение; также рассмотрим примеры.

Вспомним основное свойство обыкновенной дроби.

Значение обыкновенной дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, неравное нулю:

Также значение обыкновенной дроби не изменится, если числитель и знаменатель данной дроби разделить на одно и то же, отличное от нуля число (сократить):

Алгебраические дроби являются в некотором смысле обобщением обыкновенных дробей, и над ними можно проводить те же операции, что и над обыкновенными дробями.

§ 2  Решение задач по теме урока

Решим следующую задачу:

1) Для дробей:

наименьшим общим кратным будет знаменатель 36c. Числитель и знаменатель дроби первой дроби необходимо умножить на 3, чтобы получить знаменатель 36c, а для второй дроби умножаем числитель и знаменатель на 2. Получаем:

Таким образом, воспользовавшись основным свойством алгебраической дроби, мы выполнили задание.

2) Чтобы привести данные дроби к общему знаменателю,

необходимо и знаменатель, и числитель второй дроби умножить на –1, получаем:

Не забываем, что m ≠ n. Таким образом, дроби:

имеют одинаковые знаменатели.

3) В данном случае просто умножим знаменатель и числитель первой дроби на знаменатель второй, и наоборот, знаменатель и числитель второй дроби – на знаменатель первой.

Это позволит нам привести дроби к одинаковому знаменателю.

Первая дробь:

• В числителе раскрыли скобки, а в знаменателе воспользовались формулой разности квадратов.
• Вторая дробь:
• Таким образом, с помощью дополнительных множителей (x – y) и (x + y) заданные дроби приведены к общему знаменателю:
• Приводя алгебраические дроби к общему знаменателю, мы заменяли одну алгебраическую дробь другой дробью, тождественно равной первой.

§ 3  Основное свойство алгебраической дроби

1. Основное свойство алгебраической дроби: и числитель, и знаменатель алгебраической дроби можно умножить или разделить на один и тот же многочлен (в частности, одночлен или число, неравное нулю); это – тождественное преобразование заданной алгебраической дроби.
2. Тождественное преобразование алгебраической дроби путем деления её числителя и знаменателя на один и тот же многочлен (одночлен, число отличное от нуля) называют сокращением алгебраической дроби.
3. Например, алгебраическую дробь:
4. при необходимости можно заменить дробью:
5. числитель и знаменатель данной дроби умножили на x – y.
6. Пользуясь основным свойством алгебраической дроби, дробь:

можно сократить на a. Для этого необходимо предварительно разложить на множители числитель и знаменатель дроби, а затем разделить их на общий множитель.

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 9-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2007. – 215с.: ил.
2. Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.2 Задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.. – 8-е изд., – М.: Мнемозина, 2006 – 239с.
3. Алгебра. 8 класс. Контрольные работы для учащихся образовательных учреждений. Л.А. Александрова. Под ред. А.Г. Мордковича. 2-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009. — 40с.
4. Алгебра. 8 класс. Самостоятельные работы для учащихся образовательных учреждений: к учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александрова. Под ред. А.Г. Мордковича. 9-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. – 112с.

Источник: https://znaika.ru/catalog/8-klass/algebra/Algebraicheskie-drobi.-Osnovnoe-svoystvo-algebraicheskoy-drobi.html

Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей

Прежде чем перейти к изучению алгебраических дробей рекомендуем вспомнить, как работать с обыкновенными дробями.

Запомните!

Любая дробь, в которой есть буквенный множитель, называется алгебраической дробью.

Примеры алгебраических дробей.

;  ;  ;  ; 

Как и у обыкновенной дроби, в алгебраической дроби есть числитель (наверху) и знаменатель (внизу).

Сокращение алгебраической дроби

Алгебраическую дробь можно сокращать. При сокращении пользуются правилами сокращения обыкновенных дробей.

• Напоминаем, что при сокращении обыкновенной дроби мы делили и числитель, и знаменатель на одно и тоже число.
• Алгебраическую дробь сокращают таким же образом, но только числитель и знаменатель делят на один и тот же многочлен.
• Рассмотрим пример сокращения алгебраической дроби.

Определим наименьшую степень, в которой стоит одночлен «a» . Наименьшая степень для одночлена «a» находится в знаменателе — это вторая степень.

Разделим, и числитель, и знаменатель на «a2». При делении одночленов используем свойство степени частного.

Напоминаем, что любая буква или число в нулевой степени — это единица.

Нет необходимости каждый раз подробно записывать, на что сокращали алгебраическую дробь. Достаточно держать в уме степень, на которую сокращали, и записывать только результат.

Краткая запись сокращения алгебраической дроби выглядит следующим образом.

Важно!

Сокращать можно только одинаковые буквенные множители.

Нельзя сокращать

Можно сокращать

Другие примеры сокращения алгебраических дробей.

Как сократить дробь с многочленами

Рассмотрим другой пример алгебраической дроби. Требуется сократить алгебраическую дробь, у которой в числителе стоит многочлен.

Важно!

Сокращать многочлен в скобках можно только с точно таким же многочленом в скобках!

Ни в коем случае нельзя сокращать часть многочлена внутри скобок!

Неправильно

Правильно

Определить, где заканчивается многочлен, очень просто. Между многочленами может быть только знак умножения. Весь многочлен находится внутри скобок.

1. После того, как мы определили многочлены алгебраической дроби, сократим многочлен «(m − n)» в числителе с многочленом «(m − n)» в знаменателе.
2. Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами.
3. Чтобы в алгебраических дробях появились одинаковые многочлены иногда нужно вынести общий множитель за скобки.
4. Рассмотрим пример.
5. В таком виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как многочлен «(3f + k)» можно сократить только со многочленом «(3f + k)».
6. Поэтому, чтобы в числителе получить «(3f + k)», вынесем общий множитель «5».

Сокращение дробей с помощью формул сокращенного умножения

• В других примерах для сокращения алгебраических дробей требуется применение формул сокращенного умножения.
• В первоначальном виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как нет одинаковых многочленов.
• Но если применить формулу разности квадратов для многочлена «(a2 − b2)», то одинаковые многочлены появятся.
• Другие примеры сокращения алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения.

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/algebraic_fractions/reducing_algebraic_fractions.php

Основное свойство алгебраической дроби — Гипермаркет знаний

• Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Основное свойство алгебраической дроби
• Основное свойство алгебраической дроби
• Вам известно, что значение обыкновенной дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.
• Например:   (и числитель и знаменатель мы одновременно умножили на одно и то же число 4; значение дроби не изменилось); (и числитель и знаменатель мы одно временно разделили на одно и то же число 11; значение дроби не определенном смысле обобщение обыкновенной дроби; над алгебраическими дробями можно осуществлять преобразования, аналогичные тем, которые мы только что указали для обыкновенных дробей. Эти преобразования можно описать так:

1. И числитель и знаменатель алгебраической дроби можно умножить на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно и то же отличное от нуля число); это — тождественное преобразование заданной алгебраической дроби.

2. И числитель и знаменатель алгебраической дроби можно разделить на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно и то же отличное от нуля число); это — тождественное преобразование заданной алгебраической дроби, его называют сокращением алгебраической дроби.

Сформулированные правила представляют собой основное свойство алгебраической дроби.

Пользуясь основным свойством алгебраической дроби, можно дробь — заменить (если, конечно, в этом есть необходимость) дробью (числитель и знаменатель одновременно умножили на х — 2) или дробью (числитель и знаменатель одновременно умножили на 2х).

Напротив, пользуясь основным свойством алгебраической дроби, можно заменить дробь   более простой дробью — (числитель и знаменатель одновременно разделили на 2х, т. е. сократили дробь).

1. Пример. Преобразовать заданные дроби так, чтобы получились дроби с одинаковыми знаменателями:
2. 
3. Р е ш е н и е. а) Имеем:

Дроби приведены к одинаковому знаменателю (обычно говорят «к общему знаменателю»). Для этого пришлось числитель и знаменатель первой дроби умножить на дополнительный множитель 5, а числитель и знаменатель второй дроби — на дополнительный множитель 3; сделать это позволяет основное свойство дроби.

• б) Имеем
• 
• Дроби приведены к общему знаменателю 12b3 с помощью дополнительных множителей соответственно 3b и 2.
• в) Имеем
• 
• Дроби приведены к общему знаменателю х2 — у2 с помощью дополнительных множителей соответственно х — у и х + у.

Приводя в этом примере алгебраические дроби к общему знаменателю, мы заменяли одну алгебраическую дробь другой дробью, тождественно равной первой. Однако если при сокращении дроби мы ее упрощаем, то в рассмотренном примере каждая дробь заменялась более сложной. Наверное у вас возник вопрос: а нужно ли такое «усложняющее» преобразование?

Оказывается, нужно, и в этом мы с вами скоро убедимся.

С основным свойством алгебраической дроби связаны правила изменения знаков у числителя и знаменателя. Так, имеет место равенство здесь числитель и знаменатель первой дроби мы одновременно умножили на одно и то же число — 1.

Если же изменить знаки только в числителе или только в знаменателе, то следует изменить знак и перед дробью:

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

онлайн библиотека с учебниками и книгами, планы конспектов уроков по математике, задания по математике 8 класса скачать

Содержание урока
конспект урока
опорный каркас презентация урока
акселеративные методы интерактивные технологии Практика
задачи и упражнения самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения
рефераты
статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные
словарь терминов прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год методические рекомендации программы
обсуждения Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.

Источник: http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9_%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%B8

Конспект урока "Алгебраическая дробь

Учебник: Алимов, Ю. М. «Алгебра 7 класс» 1998 год, глава 5, §24, стр. 99-102.

• Тема урока: ««Алгебраическая дробь»
• Тип урока: урок изучения нового
• Учебная задача урока: в совместной деятельности с учащимися ввести определение понятия алгебраической дроби, условия её существования, свойство алгебраической дроби.
• Диагностируемые цели.
• В результате урока ученик:
• Знает:

• Понятие алгебраической дроби;
• Условие существования алгебраической дроби.
• Основное свойство алгебраической дроби.

Умеет:

• записывать алгебраическую дробь;
• записывать условие существования алгебраической дроби
• применять основное свойство дроби к упрощению алгебраических выражений

Понимает:

• понятие и свойство алгебраической дроби является обобщениями понятия и свойства обыкновенной дроби.

Учебные действия, формируемые на уроке:

• Личностные: умение учащегося устанавливать связи между целью учебной деятельности и её мотивом, т.е. между результатом учения, и тем, что побуждает деятельность, ради чего она осуществляется, таким образом должна осуществляться осмысленная организация собственной деятельности ученика;
• Регулятивные: целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что ещё неизвестно, планирование — определение последовательности промежуточных целей с учётом конечного результата, оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения;
• Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, т. е. определение цели сотрудничества, функций участников, способов взаимодействия, умение с достаточно полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и  условиями коммуникации, владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка, умение доказывать собственное мнение;
• Познавательные: анализ объектов  с целью выделения признаков (существенных, несущественных); выдвижение гипотез и их обоснование; построение логической цепи рассуждений, доказательство; подведение под понятие; выведение следствий; установление причинно-следственных связей.

Методы обучения:

• Эвристическая беседа
• частично-поисковые;
• УДЕ
• репродуктивный.

1. Форма работы: фронтальная, парная
2. Средства обучения: традиционные, презентация.
3. Структура урока:

1. Мотивационно-ориентировочная часть (10 мин.)

2. Операционно-познавательная часть (30 мин.)

3. Рефлексивно-оценочная часть (5 мин.)

Ход урока.

Актуализация знаний.

• (фронтальный опрос учащихся с места)
• — Выберите из предложенных чисел обыкновенные дроби:
• 1)0,11 2) 3) 4)7
• Обыкновенные дроби под номерами 2,3
• — Что такое обыкновенная дробь?
• Обыкновенной дробью называется число вида где m и n – натуральные числа.
• — Укажите числитель обыкновенных дробей.
• 1) 2)
• 1) 2)
• -Что такое числитель обыкновенной дроби?
• Числитель дроби это число, записанное над дробной чертой
• -Укажите знаменатель обыкновенных дробей.
• 1)7, 2) 56
• -Что такое знаменатель обыкновенной дроби?
• Знаменатель дроби это число, записанное под дробной чертой
• -Какое действие заменяет знак дробной черты?
• Деление
• Дан список различных обыкновенных дробей, из которых можно указать пары (тройки) равных:
• 3/6, 1/2, 2/4, 1/3, 4/8, 2/5, 1/4, 3/9.

– Как вы определили, что дроби равны? Каким свойством пользовались?

1. – Так в чём заключается основное свойство дроби?
2. — основным свойством обыкновенной дроби
3. — при умножении или делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, отличное от нуля, получается равная ей дробь.
4. — Выберите из предложенного списка алгебраические выражения
5. 1)
6. 2)
7. 3)
8. 4)
9. 5)15+5,37
10. 1,2,3,4
11. Мотивация
12. Из данных алгебраических выражений укажите выражения, похожие по записи на обыкновенную дробь
13. 1)
14. 2)
15. 3)
16. 4)
17. 2,3
18. -Решим следующую задачу:

Скорость катера в стоячей воде равна а километрам в час, скорость течения реки равна b километрам в час. Во сколько раз скорость движения катера по течению реки больше скорости движения катера против течения?

1. Чему равна скорость катера по течению?

2. Чему равна скорость катера против течения?

3. Как мы найдем во сколько раз скорость движения катера по течения реки больше скорости движения катера против течения?

• Дети отвечают и записывают в тетрадь:a+b км/ч
• Дети отвечают и записывают в тетрадь:a-b км/ч
• Дети отвечают и записывают в тетрадь:

Выражение , как и ранее выделенные вами выражения и называют алгебраической дробью. Числитель и знаменатель такой дроби – алгебраические выражения.

1. Постановка учебной задачи
2. Появилось новое понятие, значит нужно его изучить.
3. Планирование решения учебной задачи
4. Нужно дать ему определение и рассмотреть его свойства.
5. Операционно-познавательная часть
6. Тема урока: «Алгебраическая дробь»
7. -Запишем определение в тетрадь:
8. Алгебраическая дробь – это частное двух алгебраических выражений, записанное в виде ,где P-числитель дроби , Q- знаменатель дроби, отличный от нуля.
9. Записывают определение в тетрадь: Алгебраическая дробь – это частное двух алгебраических выражений, записанное в виде ,где P-числитель дроби , Q- знаменатель дроби, отличный от нуля.
10. Cреди данных дробей найдите алгебраические. Запишите их номер в тетради:
11. Записывают: 1), 3),4),5),7)

Буквами в алгебре обозначают числа. Если вместо букв, входящих в алгебраическую дробь, подставить некоторые числа, то после вычислений получится значение этой алгебраической дроби. Например, найти значение алгебраической дроби при a=10, b=8

. Запишите в тетради.

Записывают в тетрадь:

Найдите значение алгебраических дробей при данных значениях переменных. Кто пойдет к доске?

Один решает на доске остальные в тетради:

=

-Что означает дробная черта? -А всегда ли возможно деление? -Условимся в дальнейшем всегда считать, что буквы, входящие в алгебраическую дробь, могут принимать лишь допустимые значения, то есть такие значения, при которых знаменатель этой дроби не равен нулю.	-Деление. -Нет, на ноль делить нельзя.
-Рассмотрим пример:Найти допустимые значения буквы, входящей в дробь 0 a1 все числа, кроме 1.	Записывают в тетрадь 0 a1 все числа, кроме 1.
При каких значениях переменной алгебраическая дробь имеет смысл? А) Б)	Выполняют в тетради: А) x-4≠0 x≠4 б) b(b-2)≠0 b≠0 или b-2≠0 b≠2
-Так как в алгебраической дроби буквами обозначены некоторые числа, то для алгебраических дробей справедливо основное свойство дроби. Запишем основное свойство дроби: значение алгебраической дроби не изменится, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же выражение, значение которого отлично от нуля.	Записывают основное свойство дроби: значение алгебраической дроби не изменится, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же выражение, значение которого отлично от нуля.
Рассмотрим примеры использования основного свойства дроби для алгебраических дробей: -Запишите дроби, равные данной: 1)со знаменателем 9b, 2)с числителем 2а2.	Решают в тетради:
Сократите дробь:
-Выполните устно. Применяя основное свойство дроби, заполните пропуски: 1); 2) 3)-	1); 2) 3)-
Сократите дробь, предварительно разложив её числитель и знаменатель на множители. Кто хочет выйти к доске? 1) 2) 3) Парная работа. Теперь работаем в парах. Вариант 1. Найдите допустимые значения буквы для дроби . Упростить выражение и найти его числовое значение. Заменить дробь, равной ей дробью: Сократить дробь: Вариант 2. Найдите допустимые значения буквы для дроби . Упростить выражение и найти его числовое значение. Заменить дробь, равной ей дробью: Сократить дробь:	Один учащийся у доски, остальные в тетради: 1) 2) 3) Вариант1. 1)k+4≠0; k≠-4 2) M=0,7, n=0,2 Вариант 2. 1)c-3≠0; c≠3 2) a=1, n=-5 4)
Рефлексивно-оценочная часть
Какова была цель урока? Достигли мы ее? Как мы её достигли?	— Изучить новое понятие – алгебраическая дробь — Да — Дали определение понятию алгебраическая дробь, сформулировали основное свойство дроби.
-Дайте определение алгебраической дроби.	Алгебраическая дробь – это частное двух алгебраических выражений, записанное в виде ,где P-числитель дроби , Q- знаменатель дроби, отличный от нуля.
-Что необходимо сделать чтобы найти значения алгебраической дроби при которой она не имеет смысл.	Найти значения при которых знаменатель обращается в ноль.
-Скажите основное свойство дроби.	— значение алгебраической дроби не изменится, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же выражение, значение которого отлично от нуля.
Заполните таблицу:
Домашнее задание. § 24, № 428,432(2, 4, 6), 433(2,4) №428 Записать алгебраическую дробь, числитель которой равен сумме кубов числе c и d, а знаменатель – удвоенному произведению этих чисел. Решение: №432(2, 4, 6) Используя основное свойство дроби, заменить букву а алгебраическим или числовым выражением так, чтобы равенство было верным. 2) 4) 6) Решение: 2) 4) 6) №433(2,4) Показать, что данные две дроби равны: 2) 4) Решение: 2) 3)

Источник: https://infourok.ru/konspekt-uroka-algebraicheskaya-drob-3046594.html

Основное свойство алгебраической дроби

• МБОУ СОШ № 129
• Тел ОУ: 8-(987) 477-12-24
• Тема: «Основное свойство алгебраической дроби»
• Чугаева Олеся Алексеевна
• Должность: учитель математики
• Домашний адрес: г. Уфа, ул Ушакова 90/1, (8347) 263-04-95
• Уфа – 2016
• Тема урока: «Основное свойство алгебраической дроби» .
• Математика (8 класс)

Учебник: Алгебра 8 А. Г. Мордкович

Учитель: Чугаева Олеся Алексеевна, МБОУ Школа № 129.

Тип урока: «открытие» нового знания.

Основные цели: Повторить основное свойство дроби, рассмотреть это свойство для алгебраических дробей; формировать умение самостоятельно работать на уроке, сокращать дроби и приводить дроби к одинаковому знаменателю. Развивать умения, анализировать, применять имеющие знания у учащихся в изменённой ситуации.

Ход урока.

1. Самоопределение к деятельности (орг. момент).

1. Цель: включение учащихся в деятельность на личностно- значимом уровне.
2. «Хочу, потому что могу».
3. Время 1-2 минуты:

– Здравствуйте, ребята! Вспомните, какие темы были на прошлых уроках? (Мы рассмотрели алгебраические дроби и основные понятия, связанные с ней.)

– Как называется, глава, в которую входят названные темы? (Алгебраические дроби.)

– Как вы думаете, что изучается в этой главе ( мы думаем, что алгебраические дроби, так же как обыкновенные, можно сокращать, приводить к общему знаменателю, складывать и вычитать, умножать и делить)

– Хорошо! Сегодня мы продолжим заниматься изучением алгебраических дробей, познакомимся с основным свойством алгебраической дроби, рассмотрим приведение алгебраических дробей к общему знаменателю.

II. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.

Цель: повторение изученного материала, необходимого для «открытия нового знания», и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого учащегося.

Время 4-5 минут;

1. 

2. Найдите значение дробей и при х = 0,6

Решение:

1. = = = = = =

2. = = = = = =

• Вопросы классу:
• – Какая дробь называется алгебраической?
• – Алгебраическая дробь – это отношение многочленов.
• – Когда алгебраическая дробь равна нулю?
• —Когда числительравеннулю.

– Когда алгебраическая дробь не имеет смысла? Почему?

— Алгебраическаядробьнеимеетсмыслапри всехзначенияхх, обращающихзнаменатель в 0. Остальныезначенияпеременной называютсядопустимыми.

1. -Ребята, что помогло нам, решить 2) задачу?
2. -Использование основного свойства дроби.
3. — А как оно звучит?
4. -Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же натуральное число, от чего величина дроби не изменяется.
5. — Ребята, скажите пожалуйста, а где и для чего используется основное свойство дроби?
6. -Основное свойство дроби, используется при приведении дробей к общему знаменателю и для сокращения дробей.

1. Постановка учебной задачи.

• Ребята, а сейчас я предлагаю вам, выполнить следующие примеры:

Предложенное задание может у многих учащихся вызвать затруднение, т.к. раньше они не сталкивались с подобными задачами.

– Почему задача вызвала затруднение у многих ребят? (Мы раньше не приводили к общему знаменателю, и не сокращали алгебраические дроби).

– Сформулируйте цель урока? (Научиться применять основное свойство дроби, для алгебраических дробей).

– Какова тема урока? (Основное свойство алгебраической дроби).

1. «Открытие нового знания» (построение проекта выхода из затруднения).

1. Учитель записывает на доске:
2. =
3. Вопросы к классу:
4. — Ребята, что вы видите на доске? ( Тождество)
5. — Что называют тождеством? ( Верное равенство)

— Есть ли какое либо условие, чтобы записанное равенство было верным? ( это равенство верно при всех допустимых значениях переменных, т. е. при условии b≠0, c≠0)

— Что еще вы видите на доске? ( такое тождество называют основным свойством дроби)

— Как вы думаете, можем ли мы применить это правило для алгебраических дробей? (да, потому что  обыкновенную дробь можно считать частным случаем алгебраической дроби).

Молодцы, ребята. Я предлагаю вам, вернуться к примерам, заданным выше.

1. Приведем дробь к знаменателю 56, для этого числитель и знаменатель данной дроби умножим на 8.

2. Сократим дробь , видно что дроби имеют общий множитель

5q2p, поэтому представим числитель и знаменатель дроби в виде произведений, имеющих один и тот же множитель, и сократим дробь на этот множитель, после сокращения получим дробь 27p2/5.

V. Первичное закрепление во внешней речи.

VI. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону. Самоанализ и

• самоконтроль.
• Цель: каждый для себя должен сделать вывод о том, что он уже умеет.
• Время 4-5 минут;
• Я предлагаю вам выполнить самостоятельно, по вариантам следующие примеры:
• 1 вариант: 2 вариант:

VII. Включение нового знания в систему знаний и повторение.

VIII. Рефлексия деятельности (итог урока).

1. Цель: осознание учащимися своей УД (учебной деятельности), самооценка результатов деятельности своей и всего класса.
2. Время 2-3 минуты;
3. – Что мы сегодня узнали?
4. — Где применяется основное свойство дроби?
5. — Для чего обычно мы приводим дроби к общему знаменателю?
6. – Оцените свою работу на уроке.
7. Домашнее задание.

Источник: https://multiurok.ru/index.php/files/osnovnoie-svoistvo-alghiebraichieskoi-drobi.html

Основное свойство алгебраической дроби: формулировка, доказательство, примеры применения

При изучении обыкновенных дробей, сталкиваемся с понятиями основного свойства дроби. Формулировка упрощенного вида необходима для решения примеров с обыкновенными дробями. Данная статья предполагает рассматривание алгебраических дробей и применение к ним основного свойства, которое будет сформулировано с приведением примеров области его применения.

Формулировка и обоснование

Основное свойство дроби имеет формулировку вида:

Определение 1

При одновременном умножении или делении  числителя и знаменателя на одно и то же число, значение дроби остается неизменным.

То есть, получаем, что a·mb·m=ab и a:mb:m=ab равнозначны, где ab=a·mb·m и ab=a:mb:m считаются справедливыми. Значения a, b, m являются некоторыми натуральными числами.

Деление числителя и знаменателя на число можно изобразить в виде a·mb·m=ab. Это аналогично решению примера 812=8:412:4=23. При делении используется равенство вида a:mb:m=ab, тогда 812=2·42·4=23. Его же можно представить в виде a·mb·m=ab , то есть812=2·43·4=23.

Если  в числителе и знаменателе имеются действительные числа, тогда свойство применимо. Предварительно следует доказать справедливость записанного неравенства для всех чисел. То есть, доказать существование a·mb·m=ab для всех действительных a, b, m, где b и m являются отличными от нуля значениями во избежание деления на ноль.

Доказательство 1

Пусть дробь вида ab считается частью записи z, иначе говоря, ab=z, тогда необходимо доказать, что a·mb·m отвечает z, то есть доказать a·mb·m=z. Тогда это позволит доказать существование равенства a·mb·m=ab.

Черта дроби означает знак деления. Применив связь с умножением и делением, получим, что из ab=z после преобразования получаем a=b·z.

По свойствам числовых неравенств следует произвести умножение обеих частей неравенства на число, отличное от нуля. Тогда произведем умножение на число m, получаем, что a·m=(b·z)·m.

По свойству имеем право записать выражение в виде a·m=(b·m)·z. Значит, из определения следует, что ab=z. Вот и все доказательство выражения a·mb·m=ab.

• Равенства вида a·mb·m=ab и ab=a·mb·m имеют смысл, когда вместо a, b, m будут многочлены, причем вместо b и m – ненулевые.
• Основное свойство алгебраической дроби:  когда одновременно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, получим тождественно равное исходному выражение.
• Свойство считается справедливым, так как действия с многочленами соответствуют действиям с числами.

Пример 1

Рассмотрим на примере дроби 3·xx2-xy+4·y3. Возможно преобразование к виду 3·x·(x2+2·x·y)(x2-xy+4·y3)·(x2+2·x·y).

Было произведено умножение на многочлен x2+2·x·y.  Таким же образом основное свойство помогает избавиться от x2, имеющегося в заданной по условию дроби вида 5·x2·(x+1)x2·(x3+3) к виду 5·x+5×3+3. Это называется упрощением.

Основное свойство можно записать в виде выражений a·mb·m=ab и ab=a·mb·m, когда a, b, m являются многочленами или обычными переменными, причем b и m должны являться ненулевыми.

Сферы применения основного свойства алгебраической дроби

Применение основного свойства актуально для приведения к новому знаменателю или при сокращении дроби.

Определение 2

Приведение к общему знаменателю – это умножение числителя и знаменателя на аналогичный многочлен для получения нового. Полученная дробь равна исходной.

То есть дробь вида x+y·x2+1(x+1)·x2+1 при умножении на x2+1 и приведении к общему знаменателю (x+1)·(x2+1) получит вид x3+x+x2·y+yx3+x+x2+1.

Приведение к общему знаменателю выполняется также при сложении или вычитании дробей. Если даны дробные коэффициенты, то предварительно необходимо произвести упрощение, что позволит упростить вид и само нахождение общего знаменателя. Например, 25·x·y-2x+12=10·25·x·y-210·x+12=4·x·y-2010·x+5.

Применение свойства при сокращении дробей выполняется  в 2 этапа: разложение числителя и знаменателя на множители для поиска общего m, после чего осуществить переход к виду дроби ab, основываясь на равенстве вида a·mb·m=ab.

Если дробь вида 4·x3-x·y16·x4-y2 после разложения преобразуется на x·(4·x2-y)4·x2-y·4·x2+y, очевидно, что общим множителем будет многочлен 4·x2−y. Тогда возможно будет произвести сокращение дроби по основному его свойству. Получим, что

x·(4·x2-y)4·x2-y·4·x2+y=x4·x2+y. Дробь упрощается, тогда при подстановке значений необходимо будет выполнять намного меньше действий, чем при подстановке в исходную.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/osnovnoe-svojstvo-algebraicheskoj-drobi/

Алгебраические дроби

• Сокращение алгебраических дробей

Алгебраическая дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Другими словами, алгебраическая дробь – это деление двух многочленов, записанное с помощью дробной черты.

• Любую алгебраическую дробь можно представить в виде выражения:
• где a и b – это многочлены и b≠0.
• Дробная черта в записи алгебраической дроби заменяет собой скобки, которые должны были бы присутствовать, если частное было бы записано не в виде дроби:

(a + 3) : (a2 + 9) =	a + 3
a2 + 9

1. Примеры алгебраических дробей:
2. Обратите внимание на последний пример: обыкновенные дроби являются одновременно и алгебраическими, так как любое число можно считать многочленом, состоящим из одного члена.
3. Любой многочлен можно записать в виде алгебраической дроби, знаменатель которой равен единице:

a2 + 9 =	a2 + 9	;     15 =	15	;     x2 + 2xy + y2 =	x2 + 2xy + y2
1	1	1

• Основное свойство алгебраической дроби:
• Если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же многочлен, то получится дробь, равная данной.
• В виде буквенной формулы основное свойство алгебраической дроби можно записать так:

a	=	a · c	и	a	=	a : c
b	b · c	b	b : c	,

где c≠0.

Используя основное свойство алгебраических дробей, выполняют их сокращение. Сокращение алгебраических дробей – это деление числителя и знаменателя дроби на их общий множитель.

Чтобы сократить алгебраическую дробь, надо числитель и знаменатель разложить на множители. Если числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если у числителя и знаменателя общих множителей нет, то дробь является несократимой.

Пример 1. Сократить дробь:

Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители, выделим их общий множитель и сократим дробь на него:

ab2 + bc	=	b(ab + с)	=	ab + с
ab2	b · ab	ab

Пример 2. Упростить дробь:

Решение: Сначала мы можем сократить дробь на общий множитель x в первой степени:

3x(a + b)	=	3(a + b)
x2(b — a)	x(b — a)

1. Теперь стоит внимательно посмотреть на многочлены, заключённые в скобки:
2. a + b    и    b — a
3. Чтобы многочлен из знаменателя привести к тому же виду, что и у многочлена в числителе, надо поменять у многочлена b — a знак на противоположный и переставить члены местами:
4. b — a = -(-b + a) = -(a — b)
5. Теперь и в числителе и в знаменателе у нас есть общий множитель, который можно сократить:

3(a + b)	=	3(a + b)	= —	3
x(b — a)	-x(a + b)	x

Пример 3. Сократите дробь:

Решение: числитель и знаменатель дроби являются одночленами. Каждый одночлен – это произведение, состоящее из множителей, значит, можно сразу переходит к сокращению:

• Начинаем с числового множителя. Числовые множители можно сократить на их наибольший общий делитель. Для чисел 24 и 16 – это число 8. После сокращения от 24 останется 3, а от 16 – 2.
• Буквенные множители сокращаем на степень с наименьшим встречающимся показателем:
  • a и a5 сокращаем на a. Единицу в числитель не пишем, а в знаменателе остаётся a4.
  • b3 и b3 сокращаем на b3, единицы в результат не записываем.
  • c5 и c сокращаем на c, в числитель пишем c4, в знаменатель не пишем ничего.

Следовательно:

Источник: https://naobumium.info/algebra/algebraicheskie_drobi.php