Начальные сведения из стереометрии — в помощь студенту

Слайд 1

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Раскрытие информации о вложениях во внеоборотные активы в бухгалтерской отчетности - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Начальные сведения из стереометрии - в помощь студенту

Слайд 2

Начальные сведения из стереометрии - в помощь студентуОписание слайда:

Стереометрия – Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. «стерео» — объёмный,пространственный; «метрео» — измерять

Слайд 3

Начальные сведения из стереометрии - в помощь студентуОписание слайда:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Неоклассическая теория - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

 геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара.  геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара.

Слайд 4

Начальные сведения из стереометрии - в помощь студентуОписание слайда:

называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников. называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.

Слайд 5

Начальные сведения из стереометрии - в помощь студентуОписание слайда:

Вершины Вершины Рёбра Грани Диагонали

Слайд 6

Начальные сведения из стереометрии - в помощь студенту

Слайд 7

Начальные сведения из стереометрии - в помощь студенту

Слайд 8

Начальные сведения из стереометрии - в помощь студентуОписание слайда:

Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра.

Слайд 9

Начальные сведения из стереометрии - в помощь студенту

Слайд 10

Начальные сведения из стереометрии - в помощь студенту

Слайд 11

Описание слайда:

Противоположные грани параллельны и равны. Противоположные грани параллельны и равны. Четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14

Источник: https://mypresentation.ru/presentation/nachalnye-svedeniya-iz-stereometrii

Стереометрия. Классификация и методы решения

Начальные сведения из стереометрии - в помощь студентуНачальные сведения из стереометрии - в помощь студентуНачальные сведения из стереометрии - в помощь студентуНачальные сведения из стереометрии - в помощь студентуНачальные сведения из стереометрии - в помощь студентуНачальные сведения из стереометрии - в помощь студентуНачальные сведения из стереометрии - в помощь студенту

Анна Малкова

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике – стереометрия. Если несколько лет назад с ним справлялся любой гуманитарий, то сейчас задача 14 состоит из двух пунктов.

Пункт (а) – доказательство какого-либо утверждения.

Пункт (б) – вычисление какой-либо величины.

Кстати, там есть и еще один, неявный пункт: построение чертежа. Без хорошего чертежа в этой задаче ничего не получится.

Есть небольшой секрет: то, что вы доказываете в пункте (а), чаще всего помогает решить пункт (б).

И оказывается, что Задачи 14 по стереометрии из Профильного ЕГЭ по математике обычно относятся к одному из нескольких типов – в зависимости от того, что нужно найти. И для каждого типа задач – свои способы решения.

Эта небольшая таблица будет вашим путеводителем. Вы увидите, что делать в той или иной задаче.

Типы задач Методы решения
Угол между прямыми 1) Находим угол между прямыми как угол треугольника (теорема косинусов). Пользуемся определением угла между скрещивающимися прямыми.
2) Возможно – применение теоремы о трех перпендикулярах
3) Векторно-координатный способ
Угол между прямой и плоскостью
  • 1) По определению (как угол между прямой и ее проекцией на плоскость)
  • 2) Векторно-координатный способ
  • 3) В случае перпендикулярности прямой и плоскости – доказываем, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости
Угол между плоскостями 4) По определению (как угол между перпендикулярами, проведенными в этих плоскостях к линии их пересечения)
5) С помощью формулы площади прямоугольной проекции фигуры
6) Векторно-координатный способ – как угол между нормалями к плоскостям
Расстояние от точки до плоскости 1) По определению (как длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость)
2) С помощью метода объемов
3) Координатный способ. Пользуемся формулой расстояния от точки до плоскости.
Расстояние между скрещивающимися прямыми 1) По определению (как длину их общего перпендикуляра)
2) Как расстояние между одной из этих прямых и параллельной ей плоскостью, в которой лежит другая прямая.
3) Как расстояние между параллельными плоскостями, в которых лежат эти прямые.
Нахождение радиуса сферы, вписанной в многогранник 1) Находим центр сферы как точку, равноудаленную от всех граней многогранника
2) Разбиваем многогранник на пирамиды с общей вершиной в центре вписанной сферы. Представляем объем многогранника как сумму объемов этих пирамид.

Источник: https://ege-study.ru/stereometriya-klassifikaciya-i-metody-resheniya/

Введение в стереометрию

Правило Планометрия = Геометрия на плоскости — изучает свойства фигур, расположенных в одной и той же плоскости.

  • Стереометрия = Геометрия в пространстве — изучает свойства фигур, не все точки которых принадлежат одной плоскости.
  • Аксиома — утверждение, принимаемое без доказательства.
  • Основные неопределяемые понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, расстояние.

Аксиома 1 Начальные сведения из стереометрии - в помощь студенту Через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и при этом только одна.

A, B, C a — Точки A, B, C лежат в плоскости a.

Аксиома 2 Начальные сведения из стереометрии - в помощь студенту Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.

A a, B a (A, B a) ? a c a — Прямая a лежит в плоскости а.

Аксиома 3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

A a, A b ? существует прямая a c a,

a c b : a ? b = a — Плоскости a и b пересекаются по прямой a.
Следствие 1 Начальные сведения из стереометрии - в помощь студенту

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Следствие 2 Начальные сведения из стереометрии - в помощь студенту

Через две пересекающихся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

  • а
  • б
  • в
  • г
  • д
  • е
  • з
  • и
  • к
  • л
  • м
  • н
  • о
  • п
  • р
  • с
  • т
  • у
  • ф
  • х
  • ц
  • ч
  • э

© 2020 Все права защищеныПри использовании материалов данного сайта обязательно указывать ссылку на источник

Источник: https://formula-xyz.ru/vvedenie-v-stereometriyu.html

Стереометрия

  • УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
  • ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
  • СТЕРЕОМЕТРИЯ
  • Белова Лариса Григорьевна, преподаватель математики
  • ГБОУ СПО НО «Нижегородский медицинский базовый колледж»

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов по специальностям СД, ЛД и призвано помочь усвоить курс стереометрии. В данном пособии представлен теоретический материал по основным темам стереометрии в конспективной форме.

Краткое изложение теоретических вопросов сопровождается необходимыми простыми рисунками и формулами для вычисления площадей поверхностей и объемов пространственных тел, изучаемых в разделе стереометрии.

Целью пособия является:

  • оказание помощи обучающимся, пропустившим по тем или иным причинам занятия;
  • воспитание навыков самостоятельной и индивидуальной работы;
  • выработка визуального образного мышления;
  • указание путей и возможностей в дальнейшем для решения стереометрических задач.

Пособие окажет помощь учащимся в создании конспекта по предмету в аудиторных и домашних условиях, поможет в изучении нового материала и в повторении, обобщении и систематизации пройденного, а также поможет в подготовке к экзаменам.

Профильная составляющая отражается в требованиях к подготовке обучающихся в части:

  • общей системы знаний: содержательные примеры использования математических идей и методов в профессиональной деятельности;
  • умений: различие в уровне требований к сложности применяемых алгоритмов;
  • практического использования приобретенных знаний и умений: индивидуального учебного опыта в построении математических моделей, выполнении исследовательских и проектных работ.

Учебно-методическое пособие состоит из восьми практических заданий, каждое из которых включает в себя краткий конспект с рисунками и систему контролирующих вопросов и заданий. Результаты практических работ необходимо оформить в тетради, а ответы контролирующих заданий сдать преподавателю для контроля.

  1. Особенностью пособия является наглядность изложения теории, направленная на усвоение теоретических знаний по стереометрии и развитие пространственного воображения и индивидуальных интеллектуальных способностей обучающихся.
  2. Практическое задание № 1. ПРИЗМА
  3. ЦЕЛЬ работы: приобретение и закрепление знаний по теме «Призма».
  4. ХОД работы:
  5. Прочитайте текст.
  6. Выполните краткий конспект в тетради, используйте активно рисунки.
  7. Выполните отдельно контролирующие задания.
  8. ПРИЗМА
  9. Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих и разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.

Многоугольники ABCDE = A1B1C1D1E называются основаниями призмы. Многоугольники AA1B1B1, BB1C1C, … (параллелограммы) называются боковыми гранями призмы (рис. 1).

Читайте также:  Милетская школа - в помощь студенту

Рис. 1

Отрезки AA1, BB1, CC1… называются боковыми рёбрами. Перпендикуляр HH1 опущенный из какой-нибудь точки верхнего основания на плоскость нижнего основания, называется высотой призмы.

Призма называется треугольной, четырёхугольной и т.д., когда её основание-треугольник, четырёхугольник и т.д.

  • Призма называется наклонной, если её боковые рёбра не перпендикулярны к основаниям.
  • Призма называется прямой, если её боковые рёбра перпендикулярны основаниям.
  • Призма называется правильной, если она прямая и её основания — правильные многоугольники.

Плоскость, перпендикулярная к боковому ребру призмы, пересекает её грани. Полученный в сечении многоугольник называется перпендикулярным сечением (рис. 2).

Сечения призмы плоскостью

а) перпендикулярное сечение

б) диагональное сечение

  1. Рис. 2
  2. Рис. 3
  3. Площадь боковой поверхности — это сумма площадей всех боковых граней.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы (на длину бокового ребра), т.е.

  • S=P·H
  • Площадь поверхности призмы — это сумма площадей всех граней.
  • Развертка
  • Площадь полной поверхности призмы
  • вычисляется по формуле:
  • Sполн = Sбок + 2Sосн.
  • Рис. 4
  • Объём прямой призмы вычисляется по формуле: V=Sосн · H
  • где Н-высота призмы; Sосн- площадь основания призмы.
  • Объем наклонной призмы вычисляется по формулам:
  • а)V=Sосн · H б)V=S · L
  • где S — площадь перпендикулярного сечения; L – боковое ребро
  • Контролирующие задания к теме «Призма»:
  • Изобразите наклонную пятиугольную призму
  • а) из одной ее вершины проведите высоту;
  • б) укажите стрелками элементы призмы;
  • в) постойте все диагональные сечения этой призмы.
  • Какая призма не имеет диагональных сечений?
  • Перечислите свойства правильной призмы.
  • Выпишите формулы объема и полной поверхности.
  • Практическое задание № 2. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
  • ЦЕЛЬ работы: приобретение и закрепление знаний по теме «Параллелепипед».
  • ХОД работы:
  • Прочитайте текст.
  • Выполните краткий конспект в тетради, используйте активно рисунки.
  • Выполните отдельно контролирующие задания.
  • ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Параллелепипедом – называется призма, у которой основаниями служат параллелограммы. Параллелепипеды, как и всякие призмы могут быть прямые и наклонные.

  1. Из определения следует:
  2. у параллелепипеда все шесть граней – параллелограммы;
  3. у прямого параллелепипеда четыре боковые грани — прямоугольники, а два основания – параллелограммы;
  4. у прямоугольного параллелепипеда все шесть граней – прямоугольники.
  5. В любом параллелепипеде:
  6. противоположные грани равны и параллельны;
  7. диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
  8. Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
  • Квадрат длинны диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
  • d2=a2+b2+c2
  • где a, b, c –измерения прямоугольного
  • параллелепипеда; d-диагональ.
  • Развертка
  • Площадь полной поверхности параллелепипеда
  • вычисляется по формуле:
  • Sполн = Sбок + 2Sосн
  • Объем параллелепипеда вычисляется по формуле:
  • V=Sосн · H
  • Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
  • V = a · b · c
  • где a, b, c – измерения прямоугольного параллелепипеда.
  • Объем куба вычисляется по формуле:
  • V=a3
  • где a – ребро куба.
  • Контролирующие задания к теме «Параллелепипед»:

Какие виды параллелепипедов Вы знаете? Разместите их в схему.

Какие свойства параллелепипеда следуют из того, что он частный случай призмы?

Чем прямой параллелепипед отличается от наклонного?

В параллелепипеде проведено диагональное сечение. На какие многогранники разбился параллелепипед?

  1. Сколько боковых граней наклонного параллелепипеда могут быть прямоугольниками?
  2. Практическое задание № 3. ПИРАМИДА
  3. ЦЕЛЬ работы: приобретение и закрепление знаний по теме «Пирамида».
  4. ХОД работы:

1. Прочитайте текст.

2. Выполните краткий конспект в тетради, используйте активно рисунки.

3. Выполните отдельно контролирующие задания.

ПИРАМИДА

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника –основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, — вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

На рисунке изображена пирамида SABCD, где АВСD – основание, точка S – вершина. Треугольники SAB, SBC, SCD, CDA называются боковыми гранями. Прямые SA, SB SC, SD называются боковыми рёбрами пирамиды.

Перпендикуляр SO, опущенный из вершины на основание, называется высотой пирамиды и обозначается Н.

Сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагонали, основания, называется диагональным сечением пирамиды.

ASC и BSD диагональные сечения

Пирамида называется треугольной, четырёхугольной и т.д., если её основание — треугольник, четырёхугольник и т.д.

  • Пирамида называется правильной, если основание её — правильный многоугольник, а высота её проходит через центр основания.
  • Боковые грани правильной пирамиды — равнобедренные треугольники, равные вежду собой.
  • Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой пирамиды.

Треугольная пирамида называется также тетраэдром. Если все четыре грани тетраэдра — правильные треугольники, то и тетраэдр называется правильным.

  1. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то:
  2. боковые рёбра и высота разделяется на пропорциональные части;
  3. в сечении получатся многоугольник, подобной основанию;
  4. площадь сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины.
  5. объём двух подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров.
  6. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.
  7. Sбок =ph
  8. где p-полупериметр основания; h- апофема.
  9. Развертка пирамиды
  • Площадь полной поверхности вычисляется по формуле:
  • Sполн=Sбок+Sосн
  • Объём пирамиды вычисляется по формуле:
  • V=1/3 Sосн ·Н
  • Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то получится новый многогранник, который называется усечённой пирамидой.
  • На рисунке треугольник ABC – нижнее основание, треугольник MNK — верхнее основание.
  • Для усечённой пирамиды площадь полной поверхности вычисляется по формуле:
  • S полн=Sбок+S1+S2
  • где S1-площадь нижнего основания;
  • S2-площадь верхнего основания.
  • Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:
  • где h – высота усеченного конуса.
  • Контролирующие задания к теме «Пирамида»:
  • Изобразите правильную четырехугольную пирамиду и покажите на ней стрелками основные элементы.

Нарисуйте развертку правильной четырехугольной пирамиды. Как найти площадь ее полной поверхности?

Перечислите свойства правильной пирамиды.

В пирамиде проведено сечение параллельно ее основанию. Как называются полученные части пирамиды?

Сколько диагональных сечений имеет шестиугольная пирамида?

ЛИТЕРАТУРА

  1. Атанас ян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 кл. (базовый и профильный уровни) М.: Просвещение, 2014.
  2. Афанасьева О.Н., Бродский Я.С., Павлов А.Л. Математика для техникумов. – М.: Наука, 2013.
  3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2012.
  4. Погорелов А. В. Геометрия. 10-11 кл. – М. Дрофа, 2012.

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/stereometriya_173603.html

Начальные сведения из стереометрии 9 класс — презентация

  • 1
  • 2 Работу выполнила Гуляева Виктория 9 а класса
  • 3 Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. «стерео» — объёмный,пространственный; «метро» — измерять

4 геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара.

геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя парольлельными плоскостями, пересекающими её. Цилиндр-

  1. 5 называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.
  2. 6 Вершины Рёбра Грани Диагонали
  3. 7 Тела Архимеда Тела Платона Тела Кеплера- Пуансо
  4. 8 МНОГОГРАННИК, СОСТАВЛЕННЫЙ ИЗ 4 ТРЕУГОЛЬНИКОВ. Правильный тетраэдр – все грани правильные треугольники

9 Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. октаэдра

10 Призма – многогранник, составленный из двух равных многоугольников, расположенных в парольлельных плоскостях, и n парольлелограммов. Призма называется прямой, если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям Прямая призма называется прямой, если ее основания- правильные многоугольники. V =Sh Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

11 Прямоугольный парольлелепипед – боковые рёбра перпендикулярны к основанию, а основания – прямоугольники. V пароль =abc. Объём прямоугольного парольлелепипеда равен произведению трёх его измерений. V пароль =Sh Объём прямоугольного парольлелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

12 Противоположные грани парольлельны и равны. Четыре диагонали парольлелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Квадрат диагонали прямоугольного парольлелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

13 Пирамида – многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников (треугольная пирамида-тетраэдр). h=a/2 V пирамиды равен 1/3 произведения S основания на h.

14 боковые грани (ASB, BSC, CSD, DSA) треугольники, которые сходятся в вершине; боковые ребра (AS, BS, CS, DS) общие стороны боковых граней; вершина пирамиды (т.

S) точка, которая соединяет боковые ребра и которая не лежит в плоскости основания; высота (SO) отрезок перпендикуляра, который проведен через вершину пирамиды к плоскости ее основания (концами такого отрезка будут вершина пирамиды и основание перпендикуляра); диагональное сечение пирамиды сечение пирамиды, которое проходит через вершину и диагональ основания; основание (ABCD) многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. апофема высота боковой грани правильной пирамиды, которая проведена из ее вершины правильной пирамиды

15 Спасибо за внимание!

Источник: http://www.myshared.ru/slide/1329474/

Ссылка на основную публикацию