Дробные числа — в помощь студенту

8 августа 2011

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?

В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:

  1. Сначала выполняется возведение в степень — избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
  2. Затем — деление и умножение;
  3. Последним шагом выполняется сложение и вычитание.

Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.

Задача. Найдите значения выражений:

Дробные числа - в помощь студенту

Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Фирма и отрасль - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Дробные числа - в помощь студенту

Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем — деление. Заметим, что 14 = 7 · 2. Тогда:

Дробные числа - в помощь студенту

Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень — их лучше считать отдельно. Учитывая, что 9 = 3 · 3, имеем:

Дробные числа - в помощь студенту

Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно — знаменатель.

Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:

Дробные числа - в помощь студенту

Многоэтажные дроби

До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.

Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:

Здесь и далее мы будем называть эти дроби многоэтажными. Однако имейте в виду, что общепризнанного названия у них нет, и в разных учебниках могут встречаться другие определения.

Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:

Дробные числа - в помощь студенту

Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:

Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:

Дробные числа - в помощь студенту

В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:

Дробные числа - в помощь студенту

В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.

Специфика работы с многоэтажными дробями

В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:

Это выражение можно прочитать по-разному:

  1. В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе — дробь 12/5;
  2. В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе — отдельное число 5.

Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:

Дробные числа - в помощь студенту

Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в несколько раз.

Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:

Дробные числа - в помощь студенту

Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:

Задача. Найдите значения выражений:

Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:

Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:

Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили число 46/1 в форме дроби, чтобы выполнить деление.

Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем — частное.

Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.

Источник: https://www.berdov.com/docs/fraction/complex_expressions/

Дроби, операции с дробями

Дробь — форма представления числа в математике. Дробная черта обозначает операцию деления. Числителем дроби называется делимое, а знаменателем — делитель. Например, в дроби числителем является число 5, а знаменателем — 7.

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя. Если дробь является правильной, то модуль её значения всегда меньше 1. Все остальные дроби являются неправильными.

Дробь называют смешанной, если она записана как целое число и дробь. Это то же самое, что и сумма этого числа и дроби:

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится, то есть, например,

    Дробные числа - в помощь студенту

Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, нужно:

  1. Числитель первой дроби умножить на знаменатель второй
  2. Числитель второй дроби умножить на знаменатель первой
  3. Знаменатели обеих дробей заменить на их произведение

Действия с дробями

Сложение. Чтобы сложить две дроби, нужно

  1. Привести дроби к общему знаменателю
  2. Сложить новые числители обеих дробей, а знаменатель оставить без изменений
  • Пример:
  •     Дробные числа - в помощь студенту
  • Вычитание. Чтобы вычесть одну дробь из другой, нужно
  1. Привести дроби к общему знаменателю
  2. Вычесть из числителя первой дроби числитель второй, а знаменатель оставить без изменений
  1. Пример:
  2.     Дробные числа - в помощь студенту
  3. Умножение. Чтобы умножить одну дробь на другую, следует перемножить их числители и знаменатели:
  4.     Дробные числа - в помощь студенту
  5. Деление. Чтобы разделить одну дробь на другую, следует числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй:
  6.     Дробные числа - в помощь студенту

Источник: https://umath.ru/theory/drobi-operacii-s-drobyami/

Как решать дроби. Решение дробей

В статье покажем, как решать дроби на простых понятных примерах. Разберемся, что такое дробь и рассмотрим решение дробей!

Понятие дроби вводится в курс математики начиная с 6 класса средней школы.

Дроби имеют вид : ±X/Y, где Y — знаменатель, он сообщает на сколько частей разделили целое, а X — числитель, он сообщает, сколько таких частей взяли. Для наглядности возьмем пример с тортом:

Дробные числа - в помощь студенту

В первом случае торт разрезали поровну и взяли одну половину, т.е. 1/2. Во втором случае торт разрезали на 7 частей, из которых взяли 4 части, т.е. 4/7.

  • Если часть от деления одного числа на другое не является целым числом, ее записывают в виде дроби.
  • Например, выражение 4:2 = 2 дает целое число, а вот 4:7 нацело не делится, поэтому такое выражение записывается в виде дроби 4/7.
  • Иными словами дробь — это выражение, которое обозначает деление двух чисел или выражений, и которое записывается с помощью дробной черты.

Если числитель меньше знаменателя — дробь является правильной, если наоборот — неправильной. В состав дроби может входить целое число.

  1. Например, 5 целых 3/4.
  2. Данная запись означает, что для того, чтобы получить целую 6 не хватает одной части от четырех.
  3. Если вы хотите запомнить, как решать дроби за 6 класс, вам надо понять, что решение дробей, в основном, сводится к понимаю нескольких простых вещей.
  • Дробь по сути это выражение доли. То есть числовое выражение того, какую часть составляет данное значение от одного целого. К примеру дробь 3/5 выражает, что, если мы поделили что то целое на 5 частей и количество долей или частей это этого целого — три.
  • Дробь может быть меньше 1, например 1/2(или по сути половина), тогда она правильная. Если дробь больше 1, к примеру 3/2(три половины или один с половиной), то она неправильная и для упрощения решения, нам лучше выделить целую часть 3/2= 1 целая 1/2.
  • Дроби это такие же числа, как 1, 3, 10, и даже 100, только числа это не целые а дробные. С ними можно выполнять все те же операции, что с числами. Считать дроби не сложнее, и далее на конкретных примерах мы это покажем.

Как решать дроби. Примеры

К дробям применимы самые разные арифметические операции.

Приведение дроби к общему знаменателю

Например, необходимо сравнить дроби 3/4 и 4/5.

Чтобы решить задачу, сначала найдем наименьший общий знаменатель, т.е. наименьшее число, которое делится без остатка на каждый из знаменателей дробей

  • Наименьший общий знаменатель(4,5) = 20
  • Затем знаменатель обоих дробей приводится к наименьшему общему знаменателю
  • Ответ: 15/20 < 16/20

Сложение и вычитание дробей

Если необходимо посчитать сумму двух дробей, их сначала приводят к общему знаменателю, затем складывают числители, при этом знаменатель останется без изменений. Разность дробей считается аналогичным образом, различие лишь в том, что числители вычитаются.

Например, необходимо найти сумму дробей 1/2 и 1/3

Дробные числа - в помощь студенту

Ответ: 5/6

Теперь найдем разность дробей 1/2 и 1/4

Дробные числа - в помощь студенту

Ответ: 1/4

Умножение и деление дробей

Тут решение дробей несложное, здесь все достаточно просто:

  • Умножение — числители и знаменатели дробей перемножаются между собой;
  • Деление — сперва получаем дробь, обратную второй дроби, т.е. меняем местами ее числитель и знаменатель, после чего полученные дроби перемножаем.

Например:

Дробные числа - в помощь студенту

На этом о том, как решать дроби, всё. Если у вас остались какие то вопросы по решению дробей, что то непонятно, то пишите в комментарии и мы обязательно вам ответим.

Для закрепления материала рекомендуем также посмотреть наше видео:

Также рекомендуем к использованию наш онлайн калькулятор дробей! В нем вы можете посмотреть, как строить решение, на собственных примерах.

Если вы учитель , то возможно скачать презентацию для начальной школы (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) будет вам кстати.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Источник: https://reshit.ru/kak_reshat_drobi

Калькулятор дробей онлайн: деление, умножение, вычитание и сложение обыкновенных дробей

Калькулятор предназначен для решения простых дробей и дробей с целыми числами (смешанных). В будущем, планируется внедрение функции решения десятичных дробей, но в данный момент она отсутствует.

Для начала работы с дробным калькулятором необходимо понять очень простой принцип ввода данных. Все целые числа вводятся с помощью больших кнопок, расположенных слева. Все числители вводятся с помощью маленьких белых кнопок, расположенных в правом верхнем блоке цифр.

Все знаменатели, соответственно, вводятся путем нажатия на кнопки в правом нижнем углу.

Данный способ ввода данных является в некотором роде инновационным, поскольку четко разграничивает целое, числитель и знаменатель, что облегчает вычисления, экономит время и делает взаимодействие с приложением более эффективным.

Допустим, вам требуется сложить квадратный корень из двух пятых и одну целую две девятых в шестой степени. Начните вводить пример с кнопки корня. После этого нажмите на цифру 2 в области числителя и на цифру пять в области знаменателя. Первое слагаемое готово.

Теперь нажмите на знак «+» — это действие сложения. Далее введите целое число один на основной клавиатуре, потом число два в области числителя и девять в области знаменателя. Затем, нажмите на кнопку степени «^», после чего на цифру шесть на основной клавиатуре.

В результате, получится готовый пример:

Дробные числа - в помощь студенту

Теперь нажмите на кнопку равно и получите результат калькуляции. В примере выше проиллюстрирован практически весь арсенал возможностей калькулятора дробей.

Точно таким же образом, вы можете осуществлять умножение, деление и вычитание дробей, как простых, так и алгебраических, с одинаковыми и разными знаменателями, целыми числами и т.д.

Также, калькулятор может вычислить проценты от дробей, что требуется не так часто, но тем не менее очень важно для решения многих актуальных задач.

Если вам требуется сделать положительное число отрицательным, то сначала введите число, а потом нажмите на кнопку «+/-». После этого число или дробь автоматически обернется в скобки с отрицательным значением или наоборот (в зависимости от изначального статуса числа).

Если необходимо удалить число, числитель или знаменатель, то воспользуйтесь соответствующей стрелкой Backspace, которая есть в блоке и числителя и знаменателя.

Стрелки работают одинаково и по очереди стирают числа или знаки, находящиеся на дисплее калькулятора.

Использовать калькулятор дробей онлайн можно не только с помощью компьютерной мыши, но и с помощью клавиатуры. Здесь логика очень проста:

  1. Все целые числа вводятся как обычно, нажатиями на клавиши чисел.
  2. Все числители вводятся с добавлением клавиши CTRL (например, CTRL+1).
  3. Все знаменатели вводятся с добавлением клавиши ALT (например, ALT+2).

Действия умножения, деления, сложения и вычитания так же инициируются соответствующими кнопками клавиатуры, если они есть (обычно располагаются в правой части, в так называемой области Numpad).

Удаление производится нажатием на клавишу Backspace. Действие очистки (красная кнопка «C») вызывается нажатием на клавишу «C». Квадратный корень – нажатием на соседнюю клавишу «V» .

Удаление производится нажатием на клавишу Backspace.

Зачем нужен калькулятор дробей онлайн?

Дробные числа - в помощь студенту

Калькулятор дробей онлайн предназначен для решения обыкновенных и смешанных дробей (с целыми числами). Решение дробей часто требуется школьникам и студентам, а также инженерам и аспирантам. Наш калькулятор предоставляет возможность производить с дробями следующие действия: деление дробей, умножение дробей, сложение дробей и вычитание дробей. Также, калькулятор умеет работать с корнями и степенями, а еще с отрицательными числами, благодаря чему он многократно превосходит аналогичные онлайн приложения.

Калькулятор простых дробей онлайн поможет вам решить примеры с дробями и при этом вам не надо беспокоиться о том, как предварительно сократить дробь. Здесь это сделается автоматически, т.к. приложение само вычисляет общий знаменатель и выдает вам готовый результат на экран.

В чем преимущества такого способа решения дробей?

Калькулятор поддерживает работу со скобками, что позволяет решать дроби даже в сложных математических примерах.

В частности, действия со скобками часто требуются при вычислении алгебраических дробей или отрицательных дробей, над которыми постоянно приходится корпеть всем школьникам средних классов.

Читайте также:  Кодирование изображений, звуковой и видеоинформации - в помощь студенту

Дополнительно, вы можете использовать этот калькулятор для сокращения дробей или решения дробей с разными знаменателями. Более того, в отличии от многих других бесплатных сервисов, данный калькулятор умеет работать с двумя, тремя, четырьмя и вообще с любым количеством дробей и чисел.

Калькулятор обыкновенных дробей полностью бесплатный и не требует регистрации. Вы можете использовать его в любое время дня и ночи.

Работать можно с помощью мыши или прямо с клавиатуры (это касается как чисел, так и действий).

Мы постарались реализовать максимально удобный интерфейс дробных вычислений, благодаря чему сложные математические калькуляции превратятся для вас в одно удовольствие! 🙂

Источник: https://drobster.ru/

Доли, обыкновенные дроби: определения, обозначения, примеры, действия с дробями, числитель и знаменатель

Рассмотрение данной темы мы начнем с изучения понятия доли в целом, которое даст нам более полное понимание смысла обыкновенной дроби. Дадим основные термины и их определение, изучим тему в геометрическом толковании, т.е. на координатной прямой, а также определим список основных действий с дробями.

Доли целого

Представим некий предмет, состоящий из нескольких, совершенно равных частей. Например, это может быть апельсин, состоящий из нескольких одинаковых долек.

Определение 1

Доля целого или доля – это каждая из равных частей, составляющих целый предмет.

Очевидно, что доли могут быть разные. Чтобы наглядно пояснить это утверждение, представим два яблока, одно из которых разрезано на две равные части, а второе – на четыре. Ясно, что размеры получившихся долей у разных яблок будут различаться.

Доли имеют свои названия, которые зависят от количества долей, составляющих целый предмет. Если предмет имеет две доли, то каждая из них будет определяться как одна вторая доля этого предмета; когда предмет состоит из трех долей, то каждая из них – одна третья и так далее.

Определение 2

  • Половина – одна вторая доля предмета.
  • Треть – одна третья доля предмета.
  • Четверть – одна четвертая доля предмета.

Чтобы сократить запись, ввели следующие обозначения долей: половина — 12 или 1/2; треть — 13 или 1/3; одна четвертая доля — 14 или 1/4 и так далее. Записи с горизонтальной чертой используются чаще.

Понятие доли естественно расширяется с предметов на величины. Так, можно использовать для измерения небольших предметов доли метра (треть или одна сотая), как одной из единиц измерения длины. Аналогичным образом можно применить доли других величин.

Обыкновенные дроби, определение и примеры

Обыкновенные дробиприменяются для описания количества долей. Рассмотрим простой пример, который приблизит нас к определению обыкновенной дроби.

Представим апельсин, состоящий из 12 долек. Каждая доля тогда будет – одна двенадцатая или 1/12. Две доли – 2/12; три доли – 3/12 и т.д. Все 12 долей или целое число будет выглядеть так: 12/12. Каждая из используемых в примере записей является примером обыкновенной дроби.

Определение 3

Обыкновенная дробь – это запись вида mn или m/n, где m и n являются любыми натуральными числами.

Согласно данному определению, примерами обыкновенных дробей могут быть записи: 4/9, 1134, 91754. А такие записи: 115, 1,94,3 не являются обыкновенными дробями.

Числитель и знаменатель

Определение 4

Числителем обыкновенной дроби mn или m/n является натуральное число m.

Знаменателем обыкновенной дроби mn или m/n является натуральное число n.

Т.е. числитель – число, расположенное сверху над чертой обыкновенной дроби (или слева от наклонной черты), а знаменатель – число, расположенное под чертой (справа от наклонной черты).

Какой же смысл несут в себе числитель и знаменатель? Знаменатель обыкновенной дроби указывает на то, из скольких долей состоит один предмет, а числитель дает нам информацию о том, каково рассматриваемое количество таких долей. К примеру, обыкновенная дробь 754 указывает нам на то, что некий предмет состоит из 54 долей, и для рассмотрения мы взяли 7 таких долей.

Натуральное число как дробь со знаменателем 1

Знаменатель обыкновенной дроби может быть равен единице. В таком случае возможно говорить, что рассматриваемый предмет (величина) неделим, являет собой нечто целое. Числитель в подобной дроби укажет, какое количество таких предметов взято, т.е. обыкновенная дробь вида m1 имеет смысл натурального числа m. Это утверждение служит обоснованием равенства m1 = m.

Запишем последнее равенство так: m = m1.  Оно даст нам возможность любое натуральное число использовать в виде обыкновенной дроби. К примеру, число 74 – это обыкновенная дробь вида 741.

Определение 5

Любое натуральное число m возможно записать в виде обыкновенной дроби, где знаменатель – единица: m1.

В свою очередь, любая обыкновенная дробь вида m1 может быть представлена натуральным числом m.

Черта дроби как знак деления

 Использованное выше представление данного предмета как n долей является не чем иным, как делением на n равных частей. Когда предмет разделен на n частей, мы имеем возможность разделить его поровну между n людьми – каждый получит свою долю.

В случае, когда мы изначально имеем m одинаковых предметов (каждый разделен на n частей), то и эти m предметов возможно поровну разделить между n людьми, дав каждому из них по одной доле от каждого из m предметов. При этом у каждого человека будет m долей 1n, а m долей 1n даст обыкновенную дробь mn. Следовательно, обыкновенную дробь mn можно использовать, чтобы обозначать деление m предметов между n людьми.

Полученное утверждение устанавливает связь между обыкновенными дробями и делением. И эту связь можно выразить следующим образом: черту дроби возможно иметь в виду в качестве знака деления, т.е. m/n = m : n.

При помощи обыкновенной дроби мы можем записать итог деления двух натуральных чисел. К примеру, деление 7 яблок на 10 человек запишем как 710: каждому человеку достанется семь десятых долей.

Равные и неравные обыкновенные дроби

Логичным действием является сравнение обыкновенных дробей, ведь очевидно, что, к примеру, 18 яблока отлична от 78.

Результатом сравнения обыкновенных дробей может быть: равны или неравны.

Определение 6

Равные обыкновенные дроби – обыкновенные дроби ab  и cd, для которых справедливо равенство:  a · d = b · c.

Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби ab  и cd, для которых равенство:  a · d = b · c не является верным.

Пример равных дробей: 13 и 412 – поскольку выполняется равенство 1 ·12 = 3 · 4.

В случае, когда выясняется, что дроби не являются равными, обычно необходимо также узнать, какая из данных дробей меньше, а какая – больше. Чтобы дать ответ на эти вопросы, обыкновенные дроби сравнивают, приводя их к общему знаменателю и затем сравнив числители.

Дробные числа

Каждая дробь – это запись дробного числа, что по сути — просто «оболочка», визуализация смысловой нагрузки. Но все же для удобства мы объединяем понятия дроби и дробного числа, говоря просто – дробь.

Дроби на координатном луче

Все дробные числа, как и любое другое число, имеют свое уникальное месторасположение на координатном луче: существует однозначное соответствие между дробями и точками координатного луча.

Чтобы на координатном луче найти точку, обозначающую дробь mn, необходимо от начала координат отложить в положительном направлении m отрезков, длина каждого из которых составит 1n долю единичного отрезка. Отрезки можно получить, разделив единичный отрезок на n одинаковых частей.

Как пример, обозначим на координатном луче точку М, которая соответствует дроби 1410.  Длина отрезка, концами которого является точка О и ближайшая точка, отмеченная маленьким штрихом, равна 110 доле единичного отрезка. Точка, соответствующая дроби 1410, расположена в удалении от начала координат на расстояние 14 таких отрезков.

Дробные числа - в помощь студенту

Если дроби равны, т.е. им соответствует одно и то же дробное число, тогда эти дроби служат координатами одной и той же точки на координатном луче. К примеру, координатам в виде равных дробей 13, 26, 39, 515, 1133 соответствует одна и та же точка на координатном луче, располагающаяся на расстоянии трети единичного отрезка, отложенного от начала отсчета в положительном направлении.

Здесь работает тот же принцип, что и с целыми числами: на горизонтальном, направленном вправо координатном луче точка, которой соответствует большая дробь, разместится правее точки, которой соответствует меньшая дробь. И наоборот: точка, координата которой – меньшая дробь, будет располагаться левее точки, которой соответствует бОльшая координата.

Правильные и неправильные дроби, определения, примеры

В основе разделения дробей на правильные и неправильные лежит сравнение числителя и знаменателя в пределах одной дроби.

Определение 7

Правильная дробь – это обыкновенная дробь, в которой числитель меньше, чем знаменатель. Т.е., если выполняется неравенство m 

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/dejstvitelnye-ratsionalnye-irratsionalnye-chisla/doli-obyknovennye-drobi/

Реализация класса «Дробь» на C#

В своих программах часто приходится работать с вещественными числами. Для их хранения в c# предусмотрены такие вещественные типы, как float, double и decimal.

Однако не для кого не секрет, что все вещественные числа в компьютере имеют ограниченную точность.

Например, если объявить целую переменную, присвоить ей значение равное двум, а затем извлечь квадратный корень и результат возвести в квадрат, то мы получим число, несколько отличающееся от двух. Чтобы не быть голословным, напишем небольшую программу.

static void Main(string[] args)
{
int a = 2;
double result = Math.Pow(Math.Sqrt(a), 2);
Console.WriteLine(result);
}

Результат в консоли:

#image.jpg

Результат в отладчике:

Дробные числа - в помощь студенту

Результаты показывают, хоть в консоль и вывелось точное значение (из-за особенностей работы метода Console.WriteLine), в действительности оно не такое уж и точное.

Таким образом, мы имеем некоторую погрешность, которая зачастую только мешает, поэтому я предлагаю написать новый тип (а точнее класс) «Дробь», в котором будут реализованы все (ну или почти) действия с дробями. Итак начнем!

Класс Fraction

Поля

В классе будет три поля:

  • числитель
  • знаменатель
  • знак

public sealed class Fraction
{
private int numerator; // Числитель
private int denominator; // Знаменатель
private int sign; // Знак
}

После того, как поля описаны, переходим к конструктору.

Конструкторы

Я предлагаю дать возможность создавать дроби двумя способами:

  1. явно указав числитель и знаменатель
  2. указав лишь один числитель, подразумевая, что в знаменателе будет единица

Как Вы успели заметить, ни в одном конструкторе не указывается знак. Сделал я это преднамеренно, с той целью, чтобы во время создания дроби не возникало вопросов насчет знаков числителя и знаменателя. Иными словами, знак будет определяться знаком произведения числителя на знаменатель.

public Fraction(int numerator, int denominator)
{
if (denominator == 0)
{
throw new DivideByZeroException(«В знаменателе не может быть нуля»);
}
this.numerator = Math.Abs(numerator);
this.denominator = Math.Abs(denominator);
if (numerator * denominator < 0) { this.sign = -1; } else { this.sign = 1; } } // Вызов первого конструктора со знаменателем равным единице public Fraction(int number) : this(number, 1) { }

Арифметические операции над дробями

Мы должны написать класс так, чтобы операции над дробями можно было выполнять так же, как и с обычными числами, то есть нам необходимо перегрузить операторы. Для начала мы реализуем сами методы операций, а затем обернем их методами, переопределяющие операторы.

Поиск наименьшего общего знаменателя

Для выполнения операций сложения и вычитания дробей нам понадобится приводить их к общему знаменателю, причем к наименьшему. Наименьшим общим знаменателем двух дробей является наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. В свою очередь поиск НОК сводится к поиску наибольшего общего делителя (НОД). 

Обобщив все вышесказанное, получаем, что нам нужно реализовать два метода:

  • возвращающий НОК двух чисел
  • возвращающий НОД двух чисел

Метод нахождения наибольшего общего делителя

// Возвращает наибольший общий делитель (Алгоритм Евклида)
private static int getGreatestCommonDivisor(int a, int b)
{
while (b != 0)
{
int temp = b;
b = a % b;
a = temp;
}
return a;
}

Метод нахождения наименьшего общего кратного

// Возвращает наименьшее общее кратное
private static int getLeastCommonMultiple(int a, int b)
{
// В формуле опушен модуль, так как в классе
// числитель всегда неотрицательный, а знаменатель — положительный
// …
// Деление здесь — челочисленное, что не искажает результат, так как
// числитель и знаменатель делятся на свои делители,
// т.е.

при делении не будет остатка
return a * b / getGreatestCommonDivisor(a, b);
}

После написания этих двух методов, можно приступать к написанию методов сложения и вычитания.

Однако ввиду того, что действия при этих операциях в основном схожи, то я предлагаю написать один метод, который будет возвращать результат сложения или вычитания дробей, в зависимости от того, какую функцию мы передадим.

// Метод создан для устранения повторяющегося кода в методах сложения и вычитания дробей.
// Возвращает дробь, которая является результатом сложения или вычитания дробей a и b,
// В зависимости от того, какая операция передана в параметр operation.
// P.S. использовать только для сложения и вычитания
private static Fraction performOperation(Fraction a, Fraction b, Func operation)
{
// Наименьшее общее кратное знаменателей
int leastCommonMultiple = getLeastCommonMultiple(a.denominator, b.denominator);
// Дополнительный множитель к первой дроби
int additionalMultiplierFirst = leastCommonMultiple / a.denominator;
// Дополнительный множитель ко второй дроби
int additionalMultiplierSecond = leastCommonMultiple / b.denominator;
// Результат операции
int operationResult = operation(a.numerator * additionalMultiplierFirst * a.sign,
b.numerator * additionalMultiplierSecond * b.sign);
return new Fraction(operationResult, a.denominator * additionalMultiplierFirst);
}

Перегрузка арифметических операторов

// Перегрузка оператора «+» для случая сложения двух дробей
public static Fraction operator +(Fraction a, Fraction b)
{
return performOperation(a, b, (int x, int y) => x + y);
}
// Перегрузка оператора «+» для случая сложения дроби с числом
public static Fraction operator +(Fraction a, int b)
{
return a + new Fraction(b);
}
// Перегрузка оператора «+» для случая сложения числа с дробью
public static Fraction operator +(int a, Fraction b)
{
return b + a;
}
// Перегрузка оператора «-» для случая вычитания двух дробей
public static Fraction operator -(Fraction a, Fraction b)
{
return performOperation(a, b, (int x, int y) => x — y);
}
// Перегрузка оператора «-» для случая вычитания из дроби числа
public static Fraction operator -(Fraction a, int b)
{
return a — new Fraction(b);
}
// Перегрузка оператора «-» для случая вычитания из числа дроби
public static Fraction operator -(int a, Fraction b)
{
return b — a;
}
// Перегрузка оператора «*» для случая произведения двух дробей
public static Fraction operator *(Fraction a, Fraction b)
{
return new Fraction(a.numerator * a.sign * b.numerator * b.sign, a.denominator * b.denominator);
}
// Перегрузка оператора «*» для случая произведения дроби и числа
public static Fraction operator *(Fraction a, int b)
{
return a * new Fraction(b);
}
// Перегрузка оператора «*» для случая произведения числа и дроби
public static Fraction operator *(int a, Fraction b)
{
return b * a;
}
// Перегрузка оператора «/» для случая деления двух дробей
public static Fraction operator /(Fraction a, Fraction b)
{
return a * b.GetReverse();
}
// Перегрузка оператора «/» для случая деления дроби на число
public static Fraction operator /(Fraction a, int b)
{
return a / new Fraction(b);
}
// Перегрузка оператора «/» для случая деления числа на дробь
public static Fraction operator /(int a, Fraction b)
{
return new Fraction(a) / b;
}
// Перегрузка оператора «унарный минус»
public static Fraction operator -(Fraction a)
{
return a.GetWithChangedSign();
}
// Перегрузка оператора «++»
public static Fraction operator ++(Fraction a)
{
return a + 1;
}
// Перегрузка оператора «—»
public static Fraction operator —(Fraction a)
{
return a — 1;
}

Как Вы наверняка успели заметить, в только что написанном коде используются два неописанных ранее методов:

  • GetReverse — возвращает дробь, обратную данной
  • GetWithChangedSign — возвращает дробь с противоположным знаком

// Возвращает дробь, обратную данной
private Fraction GetReverse()
{
return new Fraction(this.denominator * this.sign, this.numerator);
}
// Возвращает дробь с противоположным знаком
private Fraction GetWithChangedSign()
{
return new Fraction(-this.numerator * this.sign, this.denominator);
}

Операции сравнения

Для перегрузки операторов сравнения необходимо переопределить методы Equals и GetHashCode. Первый будет возвращать значение истины, если заданный объект равен текущему. Второй же метод возвращает хэш-код для текущего объекта.

// Мой метод Equals
public bool Equals(Fraction that)
{
Fraction a = this.Reduce();
Fraction b = that.Reduce();
return a.numerator == b.numerator &&
a.denominator == b.denominator &&
a.sign == b.sign;
}
// Переопределение метода Equals
public override bool Equals(object obj)
{
bool result = false;
if (obj is Fraction)
{
result = this.Equals(obj as Fraction);
}
return result;
}
// Переопределение метода GetHashCode
public override int GetHashCode()
{
return this.sign * (this.numerator * this.numerator + this.denominator * this.denominator);
}

Перегрузка операторов «==» и «!=»

// Перегрузка оператора «Равенство» для двух дробей
public static bool operator ==(Fraction a, Fraction b)
{
// Приведение к Object необходимо для того, чтобы
// можно было сравнивать дроби с null.
// Обычное сравнение a.

Читайте также:  Древнерусское изобразительное искусство - в помощь студенту

Equals(b) в данном случае не подходит,
// так как если a есть null, то у него нет метода Equals,
// следовательно будет выдано исключение, а если
// b окажется равным null, то исключение будет вызвано в
// методе this.Equals
Object aAsObj = a as Object;
Object bAsObj = b as Object;
if (aAsObj == null || bAsObj == null)
{
return aAsObj == bAsObj;
}
return a.

Equals(b);
}
// Перегрузка оператора «Равенство» для дроби и числа
public static bool operator ==(Fraction a, int b)
{
return a == new Fraction(b);
}
// Перегрузка оператора «Равенство» для числа и дроби
public static bool operator ==(int a, Fraction b)
{
return new Fraction(a) == b;
}
// Перегрузка оператора «Неравенство» для двух дробей
public static bool operator !=(Fraction a, Fraction b)
{
return !(a == b);
}
// Перегрузка оператора «Неравенство» для дроби и числа
public static bool operator !=(Fraction a, int b)
{
return a != new Fraction(b);
}
// Перегрузка оператора «Неравенство» для числа и дроби
public static bool operator !=(int a, Fraction b)
{
return new Fraction(a) != b;
}

Хорошо. Сравнивать на равенство дроби уже умеем. Теперь сделаем так, чтобы можно было выяснить, какая из двух дробей больше. Как и ранее, пишем вспомогательный метод.

// Метод сравнения двух дробей
// Возвращает 0, если дроби равны
// 1, если this больше that
// -1, если this меньше that
private int CompareTo(Fraction that)
{
if (this.Equals(that))
{
return 0;
}
Fraction a = this.Reduce();
Fraction b = that.Reduce();
if (a.numerator * a.sign * b.denominator > b.numerator * b.sign * a.denominator)
{
return 1;
}
return -1;
}

Перегрузка операторов «>», «=», «» для двух дробей
public static bool operator >(Fraction a, Fraction b)
{
return a.CompareTo(b) > 0;
}
// Перегрузка оператора «>» для дроби и числа
public static bool operator >(Fraction a, int b)
{
return a > new Fraction(b);
}
// Перегрузка оператора «>» для числа и дроби
public static bool operator >(int a, Fraction b)
{
return new Fraction(a) > b;
}
// Перегрузка оператора «=» для дроби и числа
public static bool operator >=(Fraction a, int b)
{
return a >= new Fraction(b);
}
// Перегрузка оператора «>=» для числа и дроби
public static bool operator >=(int a, Fraction b)
{
return new Fraction(a) >= b;
}
// Перегрузка оператора «

Источник: https://mvblog.ru/archives/601/

Дробные числа

Дробные числа – это вечная проблема школьной программы по математике. Ученикам сложно представлять деление на множество частей. Поэтому рассмотрим все виды дробных чисел.
Дробные числа - в помощь студенту

Числа исследовали еще в Древней Греции. Любая цивилизация нуждается в методе ведения расчетов. Считаются деньги, товары и земли. Как только возникает необходимость в более сложной системе исчисления, человечество придумывает новое число.

Именно поэтому сегодня существует так много различных видов чисел:

  • Натуральные числа. Это первые числа, придуманные человеком. Как только ребенок начинает считать пальцы у себя на руках, он уже использует натуральные числа. К этому виду относят все положительные целые числа от 1 до бесконечности.
  • Целые числа. Сюда относят все отрицательные и положительные целые числа, а так же ноль. Это значит, что к целым числам относят все целые значения.
  • Рациональные числа. Это все значения, кроме значений со знаком корня. Отдельно отметим, что рациональные числа включают в себя целые числа, а целые числа включают в себя натуральные.
  • Иррациональные числа. Этот вид чисел стоит отдельно от рациональных значений. Сюда относятся все корни, которые невозможно вычислить
  • Комплексные числа это еще одно большое множество чисел, которое проходят в высшей математике, поэтому подробно о нем в школьном курсе математике не говорят.

Сразу после изобретения счета понятие нуля не было известно. Позднее в Европе о существовании этой цифры узнали из переводов индийских текстов 9 века нашей эры.

Дробью называют число, обозначающее деление целого на малые части. В знаменателе записывают количество частей, на которое разделили единицу, в числителе – количество таких частей, которые приняты для расчета. Рассмотрим существующие виды дробей:

  • Обыкновенная дробь. Это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Такую дробь так же называют правильной.
  • Неправильная дробь. У этой дроби числитель больше знаменателя. Если результатом решения является неправильная дробь, то ее нужно преобразовать в смешанное число.
  • Смешанное число или смешанная дробь. Это число, которое имеет две части целую и дробную. Чтобы перевести смешанную дробь в неправильную, целую часть умножают на знаменатель и прибавляют к ней числитель. Получившееся число будет числителем неправильной дроби. Знаменатель дроби сохраняется.
  • Десятичная дробь. Это смешанные и обыкновенные дроби, которые записываются без знаменателя. На знаменатель дроби указывает количество знаков после запятой, которое равняется степени числа 10. Это значит, что у дроби 0,01 знаменателем будет являться число 100 – вторая степень 10, так как в дроби 2 знака после запятой.

Понятия дробное число и дробь обозначают одно и то же.

Основное свойство дробей используется при преобразовании и сокращении дробей. Формулировка звучит так: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится.

Мы поговорили о видах чисел. Узнали, к какому виду относят дробные числа. Отдельно обсудили виды дробей. Сказали, что дробное число и дробь – это понятия, которые обозначают одно и то же. Сформулировали основное свойство дробных чисел.

Средняя оценка: 4.5. Всего получено оценок: 47.

Источник: https://obrazovaka.ru/matematika/drobnye-chisla-i-ih-svoystva.html

Дипломная работа: Пропедевтика изучения рациональных чисел в курсе математики начальной школы

Дробные числа - в помощь студенту

Тема: Пропедевтика изучения рациональных чисел в курсе математики начальной школы

Раздел: Бесплатные дипломные работы

Тип: Дипломная работа | Размер: 1.90M | Скачано: 240 | Добавлен 28.01.13 в 06:58 | Рейтинг: 0 | Еще ВКР и дипломы

  •  Содержание
  • Введение 3
  • Глава 1 Теоретические основы формирования понятия рационального числа в курсе математики начальной школы
  • 1.1 Исторический аспект происхождения дробей 5
  • 1.2 Понятие рационального числа и действий над рациональными числами в курсе математики 12

1.3. Положительные рациональные числа 17

1.4. Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел 24

Глава 2 Методические аспекты формирования понятия доли и дроби в курсе математики начальной школы 34

2.1. Методика формирования понятия доли и дроби в курсе математики начальной школы 34

  1. 2.2 Формирование понятия доли и дроби в вариативных программах обучения математики 46
  2. 2.3 Дидактическое обеспечение уроков математики в 4 классе по формированию понятия доли и дроби 57
  3. Заключение 70
  4. Список используемой литературы 72
  5. Введение
  6. В любой современной системе общего образования математика занимает одно из центральных мест, что несомненно говорит об уникальности этой области знаний.

История развития математики тесно связана с измерением величин. Однако, как показала практика, для этих целей натуральных чисел недостаточно; довольно часто единица величины не укладывается целое число раз в измеряемой величине.

Чтобы в такой ситуации точно выразить результат измерения, необходимо расширить запас чисел, введя числа, отличные от натуральных.

К этому выводу люди пришли еще в глубокой древности: измерение длин, площадей, масс и других величин привело к возникновению дробных чисел – что явилось основой введения понятия рационального числа.

 В V в. до н.э. математиками школы Пифагора было установлено, что существуют отрезки, длину которых при выбранной единице длины нельзя выразить рациональным числом. В связи с решением этой проблемы, появились числа иррациональные. Рациональные и иррациональные числа назвали действительными.

Действительные числа – не последние в ряду различных чисел. Процесс, начавшийся с расширения множества натуральных чисел, продолжается и сегодня – этого требует развитие различных наук и самой математики.

Понятие рационального числа в начальных классах в явном виде не вводится. На этом этапе изучения математики идет пропедевтическая работа, направленная на формирование данного понятия.  Младшие школьники знакомятся с понятием доли числа и с дробными числами.

Затем понятие дроби уточняется и расширяется в средней школе. В связи с этим учителю необходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правила выполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий.

Все это нужно не только для того чтобы математически грамотно ввести понятие доли и дроби и обучать младших школьников выполнять с ними простейшие действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множеств рациональных и действительных чисел с множеством натуральных чисел.

Без их понимания нельзя решить проблему преемственности в обучении математике в начальных и последующих классах школы.

  • Все вышеизложенное позволило нам определить тему выпускной квалификационной работы: «Пропедевтика изучения рациональных чисел в курсе математики начальной школы».
  • Объект исследования – процесс обучения математике в начальной школе.
  • Предмет исследования – пропедевтика формирования понятия рационального числа в курсе математики начальной школы.
  • Цель исследования – разработать и апробировать на практике дидактические материалы, способствующие формированию понятий доли и дроби в курсе математики начальной школы.
  • Гипотеза исследования: пропедевтическая работа, направленная на формирование понятия дроби как рационального числа будет успешной, если учитель:
  • — изучил теоретические основы введения понятия рационального числа в курсе математики;
  • — определил методику ознакомления младших школьников с понятиями доли и дроби;
  • — подобрал дидактические средства, способствующие формированию понятия доли и дроби в процессе обучения математики в четвертом классе.
  • В соответствии с целью и гипотезой были поставлены следующие задачи:
  • — выявить теоретические положения, лежащие в основе пропедевтике формирования понятия рационального числа на начальном этапе изучения математики;
  • — выявить методические приемы, способствующие формированию понятия доли и дроби на уроках математики;
  • — разработать и апробировать на практике методическое обеспечение уроков математики, направленных на пропедевтику формирования понятия рационального числа в курсе математики начальной школы.
  • Для решения поставленных задач использованы методы исследования: теоретический анализ психолого-педагогической и научно — методической литературы по проблеме исследования, опрос, опытно – практическая работа.

Экспериментальная база исследования: МОУ Борисоглебская СОШ № 11, 4 класса, учитель Энгель О.А.УМК «Школа России».

  1. Практическая значимость исследования состоит в формировании математического понятия дроби как рационального числа, подборе заданий, направленных на формирование дроби как рационального числа.
  2. Глава 1 Теоретические основы формирования понятия доли и дроби
  3. 1.1 Исторический аспект происхождения дробей

С возникновением представлений о целых числах возникали представления и о частях единицы, точнее, о частях целого конкретного предмета. С появлением натурального числа n возникло представление о дроби вида  , которая называется сейчас аликвотной, родовой или основной [21].

Исторически дроби возникли в процессе измерения. В основе любого измерения всегда лежит какая-то величина (длина, объем, вес и т.д.).

Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей.

Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей.

Так возникали первые конкретные дроби как определенные части каких-то определенных мер. Только гораздо позже названиями этих конкретных дробей начали обозначать такие же самые части других величин, а потом и абстрактные дроби.

Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Они остановили свое внимание на мере «асс», который у римлян служил основной единицей измерения массы, а также денежной единицей. Асс делился на двенадцать частей – унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 1/12, 2/12, 3/12…

Список используемой литературы

  1. Александрова Э.И. Математика // Программы для четырехлетней начальной школы: образовательная система Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова. М.: Издатель Рассказов, 2000. С. 48-76.
  2. Алышева ТВ. Изучение арифметических действий с обыкновенными дробями учащимися вспомогательной шкоды. //Дефектология. -1992. № 4. — С.25-27.
  3. Алышева ТВ. Система работы по изучению арифметических действий с обыкновенными дробями во вспомогательной школе.: Авгореф. Дис. Канд.пед.наук М, 1992. -16с.
  4. Андронов И.К. Арифметика дробных чисел и основных величин: Пособие для средних школ. М: Учпедгизу 1955.-344с.
  5. Андронов И.К. Окунев А.К. Арифметика рациональных чисел: Пособие для учителей -М: Просвещение, 1971.-399с.
  6. Аргинская И.И. Математика // Программы общеобразовательных учреждений. Начальные классы (1-4). По системе Л.В. Занкова. М.: Центр общего развития. 2000.С.87-125.
  7. Аргинская И.И., Дмитриева Н.Я., Полякова А.В., Романовская З.И. Обучаем по системе Л.В.Занкова/ И.И.Аргинская, Н.Я.Дмитриева, А.В.Полякова, З.И.Романовская/.- М., 1993.
  8. Артёмов А.К., Истомина Н.Б. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах/ А.К. Артёмов, Н.Б. Истомина- М., Воронеж, 1996
  9. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах/ М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова: учеб. пособ. для уч-ся шк. отд. пед. училищ. – М.: Просвещение, 1984
  10. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В., Степанова С.В. Методическое пособие к учебнику «Математика. 1 класс»: Пособие для учителя/М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.В. Степанова. – М.: Просвещение, 2001. – 64 с.
  11. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В., Степанова С.В. Методическое пособие к учебнику «Математика. 2 класс»: Пособие для учителя/М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.В. Степанова. – М.: Просвещение, 2002. – 96 с.
  12. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В., Степанова С.В. Методическое пособие к учебнику «Математика. 3 класс»: Пособие для учителя/М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.В. Степанова. – М.: Просвещение, 2001. – 64 с.
  13. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В., Степанова С.В. Методическое пособие к учебнику «Математика. 4 класс»: Пособие для учителя/М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, С.В. Степанова. – М.: Просвещение, 2001. – 64 с.
  14. Белошистая А.В. Счёт предметов. Программа авторского коллектива под руководством М.И. Моро 1 кл. / А.В. Белошистая // Вкладка к журн. «Начальная школа».-2007.- № 8.-с.31-32
  15. Белошистая А.В. Методический семинар: вопросы обучения решению задач. // Начальная школа.- №11.- 2003.- с.50-56.
  16. Белошистая А.В.Методика обучения математике в начальной школе. Курс лекций.М, 2007
  17. Буденная, Л.В. Сложение и вычитание дробных чисел и сказки А.С. Пушкина/ Л.В.Буденная // Математика 1999 г. №17 с.27
  18. Виленкин Н.Я., Пышкало А.Н. и др. Математика: Учеб. пособие для студентов пединститутов по специальности 2121- «Педагогика и методика начального обучения», – М.: Просвещение, 1977.
  19. Волков Д.А. Упражнения для устного счета по теме «Обыкновенные дроби». // Математика в шко. -1997. -№2.-С. 13-14.
  20. Грилю Л.А. Обучение письменным арифметическим действиям с десятичными дробями: Дис. канд пед, наук М, 1995. — С.54-58.
  21. Депман И.Я. История арифметики. М.: Просвещение, 1965. 415 с.
  22. Дорохов, Т.С. Дроби и проценты / Т.С.Дорохов//Математика1997 г. № 30 с.3
  23. Ивлиева, И.А.Как научить трудных подростков теме «Дроби»/ И.А.Ивлиева //Математика 1997 г. №36 с.4
  24. Ивашова, И. Все действия с обыкновенными дробями/ И. Ивашова //Математика 2000 г. №2 с.16
  25. Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В. Математика // Программы для четырехлетней начальной школы: образовательная система Д.Б. Эльконина- В.В. Давыдова. М.: Издатель Рассказов, 2000. С. 114-130.
  26. Депшан, Р.О.За страницами учебника Математика/Р.О.Депшан//Математика 2000 г. №5 с.26
  27. Зайцев В.В. Математика для младших школьников: Метод. пособие для учителей и родителей. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2001. – 72 с.
  28. Зайцев В.В., Гладышева Е.П. Развивающее обучение математике младших школьников в условиях вариативных методических систем: Учеб. пособие. – Волгоград: Перемена, 2001. – 109 с.
  29. Захарова А.М. Математика // Программы для четырехлетней начальной школы: образовательная система Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова. М.: Издатель Рассказов, 2000. С. 131-155.
  30. Иванова, Л.С. Нахождение числа по доле/ Иванова Л.С. //Начальная школа 1999 год. №8 с. 2Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред. и высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. – 288 с.
  31. Истомина Н.Б., Латохина Л.Г., Шмырева Г.Г. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах. М.: Просвещение, 1986. 176 с.
  32. Клюйков С.Ф. Числа и познание мира. – Мариуполь: Полиграфический центр газеты «ИнформМеню». 1997г. – 112 с.
  33. Мигунова, Н.П. Устный журнал «Путешествие в мир чисел» [Текст] / Н.П. Мигунова, Б.Е. Корольков // Математика в школе, 2000. – № 5. – С.64-68.
  34. Общие вопросы преподавания математики в начальной школе: учебное пособие для студентов по специальности «Педагогика и методика начального образования»./Автор-состав. О.В. Науменко. – Волгоград: Изд-во ВГИПК РО, 2004. – 60 с.
  35. Произволов, В.В. Число и задачи о нем [Текст] / В.В. Произволов // Математика в школе, 1996. – №4. – С.56-58.

Источник: https://studrb.ru/works/entry13415

Ссылка на основную публикацию