Тела и поверхности вращения — в помощь студенту

Проект по геометрии: «Тела вращения. Использование тел вращения как элементов в архитектуре города Волгограда и других крупных городов мира» для 11 класса.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

  • Проект по геометрии:
  • Тема: Тела вращения.
  • Использование тел вращения как элементов в архитектуре города Волгограда и других крупных городов мира.
  • Проект выполнила:
  • Ученица 11 «А» класса

МАОУ Светлоярской СШ № 2 им. Ф. Ф. Плужникова

  1. Юркова Алёна
  2. Руководитель:
  3. Учитель математики
  4. Киселева Татьяна Владимировна
  5. 2016 год

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

Основные этапы исследовательской работы:

  • Определение темы проекта.
  • Определение цели проекта.
  • Определение задач проекта.
  • План выполнения проекта.
  • Сбор информации.

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

Актуальность выбранной темы:

  • Я считаю, что данная тема проекта актуальна, потому что она, в первую очередь, расширяет интересы в области геометрии. Затем позволяет нам узнать о том, что геометрические фигуры встречаются и окружают нас в нашей повседневной жизни. Также многие архитекторы создают проекты будущих сооружений с использованием форм тел вращения.

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

  • Цель исследовательской работы:
  • Изучить понятие тела вращения.
  • Изучить какие тела вращения существуют.
  • Исследовать архитектуру крупных городов мира и найти в ней элементы тел вращения.

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

Задачи исследовательской работы:

  • Узнать о том, как появились тела вращения.
  • Использование комбинации тел вращения в архитектуре.

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

Методы исследования:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Интеграция и интеграционные объединения - в помощь студенту

Оценим за полчаса!
  • Работа с интернет ресурсами, школьной литературой: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов учебник по геометрии за 10 – 11 классы, с дополнительной литературой: А. И. Азевич «Двадцать уроков гармонии» (Гуманитарно-математический курс), работа с историческими достопримечатель-ностями.

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

Тела вращения – это…

  • Тела вращения  — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

  1. Какие существуют тела вращения?
  2. Шар
  3. Цилиндр
  4. Конус

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

Цилиндр:

  • Цилиндр   — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.
  • Цилиндрическая поверхность  — поверхность, получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей). Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью, называется боковой поверхностью цилиндра. Другая часть, ограниченная параллельными плоскостями — это основания цилиндра. Таким образом, граница основания будет по форме совпадать с направляющей.

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

Конус:

  • Конус  – тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки ( вершины конуса ) и проходящих через плоскую поверхность.
  • Круглый  конус  может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Шар:

  • Шар  – геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара .

Архитектурные сооружения города Волгограда

Музей – заповедник «Сталинградская битва».

Зал Воинской Славы.

Речной вокзал.

Вечный огонь.

Казанский кафедральный собор.

Строительство стадиона. (Чемпионат мира по футболу 2018 год)

Сфера в виде земного шара. (Городская скульптура)

Другие архитектурные сооружения…

Дом Мельникова (Дом-мастерская архитектора Константина Степановича Мельникова)

Штаб-квартира  BMW

Gate Tower Building

Парфенон

Шуховская башня (Шуховская телебашня, Шаболовская телевизионная башня, Радиобашня Шухова)

Диснейленд

Атомиум

Результаты:

  • Я изучила, что же такое тела вращения.
  • Изучила их понятия и определения.
  • Узнала, какие существуют тела вращения.
  • Тщательно исследовала архитектуру многих архитектурных сооружений.

Заключение:

Математика (геометрия) для творческого труда архитектора издавна признается чем-то очень важным, необходимым и плодотворным.

И все же архитектурная наука так до сих пор и не разработала должным образом этот, можно сказать, кардинальный вопрос теории.

Речь идет не только о ремесленном или техническом вооружении зодчего, о реализации идеи в проекте и сооружении, но и о творческом процессе поиска, о «формах» самой идеи, о «формах» художественного мышления.

На языке архитектуры, можно сказать, что геометрия – это грандиозное мысленное сооружение, которое в свернутом, понятийном, символьном виде моделирует окружающий нас мир и происходящие в нем явления. Я пронаблюдала, как геометрия помогает добиться прочности, удобства, красоты архитектурных сооружений.

Также было совершенно доказано, что геометрия является основой и «оформлением» строительной деятельности.

  • Выводы:
  • Я считаю, что я справилась с поставленными задачами и целями, которые были поставлены в начале моего проекта.
  • А) Я изучила всю ту информацию, которая мне была необходима, интересна.
  • Б) Мне было интересно узнать, что лежит в основе архитектурных сооружений, некоторые из которых я посещала в настоящей жизни.

Спасибо за внимание!

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/presentacii/proiektpoghieomietriitielavrashchieniiaispolzovaniietielvrashchieniiakakeliemientovvarkhitiekturieghorodavolghoghradaidrughikhkrupnykhghorodovmira

Тела и поверхности вращения. Подробная теория

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что такое тела и поверхности вращения?

Тело вращения – это тело в пространстве, которое возникает при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси.
  • Вот самый простой пример: цилиндр.
  • Берем прямоугольник и начинаем вращать его вокруг одной из сторон.
  • Смотри
  • Было Вращаем Стало

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

А теперь гораздо хитрее. Бывает так, что ось вращения находится далеко от фигуры, которая вращается.

Например, так

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

Вращаем

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

Что получится? Бублик. А по научному ТОР.

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

Ну и так вот можно любую фигуру вертеть вокруг любой оси, и будут получаться разные более или менее сложные тела вращения.

Ну, а поверхность вращения – это просто граница тела вращения. Ведь поверхность это всегда граница тела.

Здесь мы рассмотрим подробно несколько тел вращения. Те, которые встречаются в школьных задачах. Это шар, цилиндр и конус.

Шар

Шар – тело вращения, полученное вращением полуокружности вокруг диаметра.

Было Вращаем Стало

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

Вообще-то есть и другое определение шара – через ГМТ (геометрическое место точек)

Шар – геометрическое место точек, удаленных от одной фиксированной точки на расстояние, не более заданного.
  1. Скажу тебе по секрету, что хоть второе определение и пугающее на вид, оно удобнее в обращении. Задумайся, ведь если тебя попросят сказать, что такое шар, ты скажешь что-то вроде
  2. «ну …там есть центр и радиус…, подразумевая, что все точки внутри шара находятся я на расстоянии не большем, чем радиус.
  3. Ну, в общем, шар он и есть шар.
  4. Названия, которые ты должен знать:
  5. Тела и поверхности вращения - в помощь студентуТела и поверхности вращения - в помощь студенту
  6. Незнакомое тебе, наверное, только одно.
Диаметральное сечение шара – сечение, проходящее через центр. Это сечение иногда еще называют большим кругом.

А вообще:

  • Любое сечение шара – круг.
  • Граница шара называется сфера. (Так же, как граница круга – окружность.)

Площадь поверхности сферы

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту   — радиус

Откуда взялось? Умные математики придумали – это не так уж просто – придется просто запомнить.

Объём шара

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту   — радиус

Это еще одна хитрая формула, которую придется запомнить, не понимая, откуда она взялась.

Если ты знаком с производной, то можешь заметить это

И это не случайно! Но почему это так вышло, мы тоже здесь обсуждать не будем – читай теорию для сильного уровня.

Цилиндр

Цилиндр – тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из сторон.

Вообще – то полное имя этого тела «прямой круговой цилиндр», но составители задач и мы вместе с ними по дружбе называем его просто цилиндром. Названия, относящиеся к цилиндру, такие:

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

Основания у цилиндра – это круги

Еще у цилиндра есть так называемая развертка.

Представь, что у нас от цилиндра осталась только боковая поверхность, и мы ее разрезали вдоль образующей и развернули.

Что получится? Представь себе, прямоугольник.

Развертка цилиндра – прямоугольник.

Площадь поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности

  — радиус   — высота, она же образующая.

Откуда взялась эта формула? Это как раз легко! Именно потому, что цилиндр можно развернуть, и получится прямоугольник  .

Площадь этого прямоугольника и есть площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь прямоугольника, как мы хорошо помним равна произведению сторон, поэтому

Площадь полной поверхности цилиндра

Прибавляем теперь площадь двух кругов – оснований и получаем

  • Можно вынести (хотя и не обязательно)  :
  • Но эту формулу неудобно запоминать!
  • Гораздо проще запомнить, что полная поверхность – сумма боковой поверхности и еще двух кругов – оснований, а боковая поверхность – прямоугольник. И тогда   можно вообще не запоминать, ты всегда сам напишешь, что

Объём цилиндра

  — радиус основания   — высота

Это точно как у призмы и параллелепипеда

 , только у призмы и параллелепипеда   — это площадь многоугольника, а у цилиндра   — это площадь круга.

Конус

Конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.
  1. Было Вращаем Стало
  2. И опять же, полное название этого тела: «прямой круговой конус», но во всех задачах у нас говорится просто «конус».

  3. Названия, относящиеся к конусу:
  4. Что тут нужно твердо помнить?
  • Основание корпуса – круг
  • Все образующие конуса – равны.

Ясно ли это? Вроде должно быть ясно, ведь образующая – это гипотенуза (одна и та же!) Треугольника, который вращаем, а радиус основания – катет.

У конуса тоже есть развертка.

Снова представим, что основания нет, разрежем боковую поверхность вдоль образующей и развернём кулек. Что получится?

Представь себе сектор круга. Пусть длина образующей равна  .

Развертка конуса – сектор круга радиуса  

Площадь поверхности конуса:

Как найти площадь боковой поверхности корпуса? Вспомним о развертке, Ведь для цилиндра все было просто именно с помощью развертки.

По формуле площади сектора   Где   — угол при вершине в радианах.

И это уже формула. В некоторых задачах бывает дан именно угол при вершине в развертке конуса. Но если все же даны только образующая и радиус основания? Как быть?

Читайте также:  Раскрытие информации об основных средствах в бухгалтерской отчетности - в помощь студенту

Нужно осознать, что же такое дуга в развертке? Это бывшая окружность основания! Поэтому длина этой дуги равна  .

  • С другой стороны, длина этой же дуги равна  , так как это дуга окружности радиуса  . Поэтому
  • Подставляем
  • Итак,
  •  , где
  •   — радиус окружности основания,
  •   — длина образующей
  • Ну, и осталось площадь полной поверхности конуса. Прибавим к боковой поверхности площадь круга основания, и получаем
Можно вынести  :

Но, как и для цилиндра, не надо запоминать вторую формулу, гораздо проще всегда пользоваться первой.

Объём конуса

  — радиус основания   — высота
  1. Это так же, как у пирамиды
  2.  , только
  3.   — это не площадь многоугольника, а площадь круга.

А вот откуда взялась  ?, по-прежнему остается загадкой, потому что эта   получена в результате довольно хитрых рассуждений умных математиков. А тебе нужно очень твердо запомнить, что в формулах объёма «треугольных» фигур: конуса и пирамиды эта   и есть, а в формулах параллелепипеда, призмы и цилиндра ее нет!

Тела и поверхности вращения. коротко о главном

Тело вращения – это тело в пространстве, которое возникает при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси.
  • Например:
  • Было Вращаем Стало
Поверхность вращения – это граница тела вращения.

В подробной теории, мы рассмотрим несколько тел вращения. Те, которые встречаются в школьных задачах. Это шар, цилиндр и конус.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

  1. Стать учеником YouClever,
  2. Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
  3. А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/tela-i-poverhnosti-vrashheniya-2

КОМПАС-3D Home для чайников. Основы 3D-проектирования. Часть 10.1. Поверхностное моделирование: Теория

3D Today 3D-моделирование КОМПАС-3D Home для чайников. Основы 3D-проектирования. Часть 10.1. Поверхностное моделирование: Теория.

KOMPAS-3D Тела и поверхности вращения - в помощь студенту Загрузка

21.03.2016

30412

Подпишитесь на автора, если вам нравятся его публикации. Тогда вы будете получать уведомления о его новых постах.

Отписаться от уведомлений вы всегда сможете в профиле автора.

Подписаться

20

Эта статья изначально не планировалась, но в х к статье про скребок попросили подробнее рассказать о поверхностном моделировании. Сначала приведу немного теории из книги «Геометрическое моделирование» Николая Николаевича Голованова — нашего главного математика и идеолога геометрического ядра C3D. Текст адаптирован.

В системах автоматизированного проектирования используют понятия Твердотельное моделирование и Поверхностное моделирование.

Комбинация методов твердотельного и поверхностного моделирования называется Гибридным моделированием.

Результатом любого моделирования является оболочка (или набор оболочек), описывающая поверхность проектируемого объекта. Итоговая оболочка не обязательно будет телом и не обязательно будет замкнутой.

В твердотельном моделировании с самого начала работа идет с телами, отделяющими внутренний объем от остальной части пространства. Процесс построения модели в данном случае аналогичен процессу изготовления моделируемого объекта. Сначала создается некоторая заготовка простой формы.

Далее заготовка изменяется необходимым образом. Для этого используются булевы операции над телами, операции построения тонкостенного тела из заготовки, операции скругления ребер, операция построения ребер жесткости и другие операции. С помощью операций телу придается требуемая форма.

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту (Картинки можно посмотреть под статьей)

В поверхностном моделировании сначала создаются и модифицируются требуемым образом поверхности, описывающие отдельные элементы моделируемого объекта. Эти поверхности обрезают по линиям пересечения, сопрягают друг с другом поверхностями скругления или перехода, а также выполняют над ними другие операции.

Затем из полученных поверхностей собирают оболочку. В поверхностном моделировании результирующая оболочка не обязательно должна быть замкнутой. Она может отражать лишь часть (главную часть) моделируемого объекта.

Поверхностное моделирование позволяет сосредоточить усилия на сложных формах объекта и широко применяется для проектирования кузовов автомобилей и планеров самолетов.

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту (Картинки можно посмотреть под статьей)Какие бывают поверхности? Базовые поверхности совпадают с базовыми твердотельными операциями и строятся аналогично. На картинке слева направо: Поверхность выдавливания, Поверхность вращения, Кинематическая поверхность, Поверхность по сечениям.Тела и поверхности вращения - в помощь студенту Проблем с пониманием у вас возникнуть не должно, если проблемы всё таки есть, изучите первые четыре урока данного курса: 1 2 3 4Если требуется закрыть какой-то контур, зазор или отверстие, применяется поверхность Заплатка Тела и поверхности вращения - в помощь студенту Тела и поверхности вращения - в помощь студенту Для создания заплатки можно использовать замкнутую плоскую фигуру, созданную в эскизе, или набор ребер на поверхности, теле или детали.В справке указаны следующие требования к контуру заплатки:– Контур не должен иметь самопересечений.

– Если сегменты лежат в одной плоскости или на одной существующей поверхности, то их количество может быть любым, в противном случае — не менее двух и не более четырех. Но в действительности заплатка будет стараться построить результат несмотря на эти ограничения.

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту Тела и поверхности вращения - в помощь студенту Самопересечение должно быть совсем нерешаемым, чтобы заплатка не построилась:Тела и поверхности вращения - в помощь студенту Если требуется построить плоскую поверхность можно использовать Поверхность выдавливания.Тела и поверхности вращения - в помощь студенту Данные плоские поверхности построены на одном и том же отрезке за счет изменения направления выдавливания. Плоские поверхности можно использовать в качестве заплаток там, где операция заплатка дает неподходящий результат. Обычно требуется усекать плоскую поверхность по месту.

Линейчатая поверхность используется для соединения двух кривых. Кривые могут иметь сколько угодно сложную форму.

Соединение всегда идет по кратчайшему расстоянию. Если соединение не может быть обеспечено единой поверхностью, то линейчатая поверхность разбивается на сегменты.

Поверхность соединения используется для двух ребер или двух гладких цепочек ребер одной из граней. При этом функционал позволяет настроить тип сопряжения поверхностей, соединение может быть касательным, гладким и перпендикулярным. Если же оставить тип сопряжения неизменным, то результат будет совпадать с линейчатой поверхностью.

Эквидистанта поверхности

создает поверхность на определенном расстоянии от указанной.

Если установить нулевое расстояние, то создается копия указанной поверхности.

Поверхность по пласту точек и Поверхность по сети точек. Может быть использована для создания поверхностей из облака точек, например, полученных с 3D-сканера, или из точек, полученных математическими расчетами.

  • Поверхность по сети кривых

позволяет создать поверхность на основе двух взаимно пересекающихся групп кривых. После выбора кривых первой группы необходимо переключить направление. При выборе одной или нескольких кривых в другом направлении форма поверхности меняется: Сшивка поверхностей позволяет объединить разные поверхности в общую группу, чтобы над ними можно было проводить операции, как над единым объектом. Также сшивка позволяет получить твердое тело из замкнутого набора поверхностей.

Две разные поверхности — скругление между ними не строится.

Сшитые поверхности — между ними можно построить скругление. Сшивка с созданием тела: Усечение поверхности напоминает по функционалу твердотельную операцию вырезания. Только режет поверхности и группы сшитых поверхностей с помощью эскизов, кривых и других поверхностей. Разбиение поверхности похоже по принципу на усечение с той лишь разницей, что усеченная часть не удаляется, а остается на месте. Операция Удалить грань позволяет удалить грань или поверхность. С её помощью можно удалять лишние поверхности, результаты разбиения поверхности и превращать твердые тела в набор поверхностей(в дереве при этом появляется сообщение о нарушении целостности тела) Операция Продление поверхности позволяет продлевать существующие поверхности. Для проверки гладкости поверхностей и сопряжения поверхностей применяется Режим проверки гладкости. Гладкое сопряжение Края полосок зебры продолжаются по касательной между поверхностями.

Сопряжение по касательной

Края полосок зебры непрерывны между поверхностями, но резко меняют направление.

Просто стык

Края полосок зебры не взаимосвязаны и расположены на разных поверхностях вразнобой.Также данный режим позволяет находить небольшие неровности на поверхности.

Данная поверхность выглядит ровной.

Но Режим проверки гладкости показывает концентрические полоски, значит есть небольшая выпуклость. Эта же поверхность без вмятины. Полоски параллельны. Если возникли ещё вопросы — задавайте их в х.Скачать КОМПАС-3D Home можно по ссылке:

http://kompas.ru/kompas-3d-home/download/

Подпишитесь на автора, если вам нравятся его публикации. Тогда вы будете получать уведомления о его новых постах.

Отписаться от уведомлений вы всегда сможете в профиле автора.

Подписаться

20

Источник: https://3dtoday.ru/blogs/kompas-3d/kompas3d-home-for-dummies-the-basics-of-3d-design-part-101-surface-mod/

Объем и поверхность тел вращения Тела вращения

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту Тела и поверхности вращения - в помощь студенту Тела и поверхности вращения - в помощь студенту Тела и поверхности вращения - в помощь студенту Тела и поверхности вращения - в помощь студенту Тела и поверхности вращения - в помощь студенту Тела и поверхности вращения - в помощь студенту Тела и поверхности вращения - в помощь студенту Тела и поверхности вращения - в помощь студенту Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

2 Объём тела, образуемого при вращении фигуры, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равна произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой центром масс этой фигуры.

Шар — геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара.

Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой.

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами.

Площадь поверхности S и объём V шара радиуса r определяются формулами:

Цили ндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Цилиндрическая поверхность — поверхность, получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей).

Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью называется боковой поверхностью цилиндра. Другая часть, ограниченная параллельными плоскостями, это основания цилиндра. Таким образом граница основания будет по форме совпадать с направляющей.

Площадь боковой поверхности К вычислению площади боковой поверхности цилиндра Площадь боковой поверхности цилиндра равен длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой h и длиной P, равной периметру основания.

Следовательно площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле: Sb = Ph В частности, для прямого кругового цилиндра: P = 2πR, и Sb = 2πRh

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований. Для прямого кругового цилиндра: Sp = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Объём цилиндра Объём цилиндра равен длине образующей, умноженной на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.

Объём стоящего на плоскости цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания): где l — длина образующей, а — угол между образующей и плоскостью основания.

Для прямого цилиндра h = l. Для кругового цилиндра: где d — диаметр основания.

Тор — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности. Ось тора может лежать вне образующей окружности либо касаться её.

Свойства… Площадь поверхности тора как следствие из первой теоремы Гульдина: S = 4π2 Rr. Объём тела, ограничиваемого тором (полнотория), как следствие из второй теоремы Гульдина: V = 2π2 Rr 2.

При сечении тора бикасательной плоскостью, получающаяся кривая четвёртого порядка оказывается вырожденной: пересечение является объединением двух окружностей Вилларсо. Тор с вырезанным диском ( «проколотый» ) можно вывернуть наизнанку непрерывным образом (топологически, то есть рядом диффеоморфизмов).

При этом две пересекающиеся перпендикулярно окружности на нём ( «параллель» и «меридиан» ) поменяются местами.

Сфе ра — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы.

Площадь сферы Объем шара, ограниченного сферой

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие круги являются геодезическими линиями на сфере; любые два из них пересекаются в двух точках.

Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Площадь сферы в градусной мере с учетом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252. 96 кв. градусов.

Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами.

Свойства объема Равные тела имеют равные объемы. Если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем этого тела равен сумме его частей. Объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице.

Источник: https://present5.com/obem-i-poverxnost-tel-vrashheniya-tela-vrashheniya/

Вращательное движение твердого тела

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

Вращательное движение – это движение твердого тела, имеющего как минимум две неподвижные точки (рисунок 1.3). Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Положение тела определено, если задан угол φ между плоскостями П0 и П, одна из которых неподвижна, а другая жестко связана с телом.

φ=φ(t) – уравнение вращательного движения твердого тела.

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

  • За положительное направление отсчета принимается вращение против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу положительному направлению оси z.
  • Траекториями точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.
  • Для характеристики изменения угла поворота с течением времени вводится величина, называемая угловой скоростью ω:

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

В технике угловая скорость – это частота вращения, выраженная в оборотах в минуту. За одну минуту тело повернется на угол 2πn, где n – число оборотов в минуту (об/мин). Разделив этот угол на число секунд в минуте, получим

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

Вектор угловой скорости – это вектор, направленный по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки, с модулем, равным модулю алгебраической угловой скорости

где k – единичный вектор оси вращения.

Угловое ускорение – мера изменения угловой скорости:

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

Вектор углового ускорения – производная вектора угловой скорости по времени (рис. 1.4)

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту
Тела и поверхности вращения - в помощь студенту
Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

  1. Если ε >0 и ω >0 (рисунок 1.4), то угловая скорость возрастает с течением времени и, следовательно, тело вращается ускоренно в рассматриваемый момент времени в положительную сторону. Направление векторов ω и ε совпадают, оба они направлены в положительную сторону оси вращения Oz.
  2. При ε
Читайте также:  Синтетический учет материально-производственных запасов - в помощь студенту

Источник: https://isopromat.ru/teormeh/kratkaja-teoria/vrasatelnoe-dvizenie-tverdogo-tela

Тела и поверхности вращения — урок. Геометрия, 9 класс

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

Цилиндр можно получить вращением прямоугольника AA1O1O вокруг одной из его сторон OO1 или прямоугольника AA1B1B вокруг прямой OO1, которая проходит через серединные точки противолежащих сторон.

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

  • Прямая OO1 называется осью цилиндра, AA1 и BB1 — образующими.
  • Высота (H) цилиндра совпадает с любым из отрезков OO1 (=) AA1 (=) BB1.
  • Два круга, которые образовались при вращении, называют основаниями цилиндра.

Радиусом (R) (=) (OA) (=) (OB) цилиндра называется радиус его основания.

Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевым сечением цилиндра (прямого кругового цилиндра) является прямоугольник, на данном рисунке — прямоугольник AA1B1B.

Развёртка боковой поверхности цилиндра — тоже прямоугольник.

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

Боковая поверхность прямого кругового цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту:Sбок.=2πRH.

Полная поверхность цилиндра вычисляется по формуле:S=Sбок.+2Sосн.=2πRH+2πR2.

Для объёма прямого кругового цилиндра верно:V=πR2H.

Конус можно получить вращением прямоугольного треугольника (POA) вокруг одного из его катетов (PO) или равнобедренного треугольника (APB) вокруг прямой (PO), проходящей через вершину (P) и середину (O) основания треугольника.

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

  1. Осью прямого кругового конуса называется прямая (PO), содержащая его высоту (H).
  2. Осевое сечение конуса, проходящее через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны (PA) и (PB) являются образующими (l) конуса.
  3. Радиус конуса (R) (=) (OA) (=) (OB) — это радиус основания.
  4. Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор.

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

Радиус этого сектора равен образующей конуса, то есть равен (l), а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, то есть равна (2πr).

Площадь боковой поверхности конуса определяется как площадь данного кругового сектора:

Sбок.=πl2⋅α°360°.

Если рассмотреть длину окружности основания конуса как длину дуги кругового сектора, получаем:

2πR=2πl⋅α°360°;2πR=πl⋅α°180°;α°=2πR⋅180°πl=R⋅360°l;Sбок.=πl2⋅α°360°=πl2⋅R⋅360°360°⋅l=πRl.

Sбок.=πRl — ещё одна формула для определения боковой поверхности конуса.

Полная поверхность конуса:

S=Sбок.+Sосн.=πRl+πR2.

Объём конуса находим по формуле:

V=13πR2H.

Шар и поверхность шара — сфера

Сфера получается при вращении полукруга или круга вокруг его диаметра (AB) как оси.

Тела и поверхности вращения - в помощь студенту

  • Граница шара называется шаровой поверхностью, или сферой.
  • Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра (O) на расстояние, равное радиусу (R).
  • Любой отрезок, такой как (OA), (OB) и (OC) или другие, соединяющие центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром, как (AB) на рисунке. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

  1. Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, называется большим кругом, а сечение сферы — большой окружностью.
  2. Поверхность сферы:
  3. S=4πR2.
  4. Объём шара:
  5. V=43πR3.

Источник: https://www.yaklass.ru/p/geometria/9-klass/nachalnye-svedeniia-o-stereometrii-13313/tela-i-poverkhnosti-vrashcheniia-13315/re-f78fa3ef-0945-4686-b080-5f4e17baf76e

Тела вращения

Тела вращения – это объемные тела, которые возникают при вращении некой плоской фигуры, которая, в свою очередь, ограничена кривой и крутится вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Какие же основные тела вращения существуют?

  1. Шар. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения полукруга вокруг диаметра разреза.
  2. Цилиндр. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.
  3. Конус. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.
  4. Тор. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения окружности вокруг прямой, при этом окружность прямую не пересекает.

Стоит отметить такой интересный факт, что если вращаются контуры фигур, то у нас возникает поверхность вращения. Пример – сфера, которая образовывается в результате вращения окружности. Если же вращаются заполненные контуры, то у нас возникают тела. например, шар, который образовывается в результате вращения круга 9а круг. как всем известно, тело заполненное).

Тела вращения, разумеется, имеют свой объем и свою площадь. И то и другое, можно узнать с помощью теорем Гульдина-Паппа.

Первая теорема гласит о том, что площадь поверхности линии, которая образуется при вращении и лежит целиком в плоскости по одну сторону от оси вращения, равняется произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.

Вторая теорема говорит о том, что объем тела, который образуется при вращении фигуры и лежит целиком в плоскости по одну сторону от оси вращения, равняется произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой центром масс этой фигуры.

Цилиндр
Тела и поверхности вращения - в помощь студенту     
Конус
Тела и поверхности вращения - в помощь студенту     
Усеченный конус
Тела и поверхности вращения - в помощь студенту     
S  полн = S  бок + π(R + r )
Шар
Тела и поверхности вращения - в помощь студенту     
Шаровой сектор
Шаровой сегмент
S  бок = 2πRh = π(a + h )
S  полн = π(2Rh + a ) = π(h + 2a )
Шаровой пояс(слой)
Тела и поверхности вращения - в помощь студенту     
V = 16 πh + 12 π(a 21 + a 22 )h

Источник: http://mateshka.ru/matematika/tela-vrasheniya.html

VII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся Старт в науке

Шишло В.Д. 1
Семенова А.А. 1

Текст работы размещён без изображений и формул. Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Актуальность проекта:

Геометрия – безграничная наука. Невозможно сосчитать, сколько же всего фигур существует на нашем свете. Стереометрические тела – это бесконечный источник вдохновения для архитекторов и рукодельниц. Создаётся множество не только зданий, но и поделок причудливых форм.

  • Цель проекта:
  • Изучить тела вращения, познакомить и заинтересовать своих сверстников данной темой с помощью самодельных наглядных макетов фигур и самодельного задачника.
  • Задачи проекта:
  • Изучить тела вращения, их строение и задачи, связанные с ними.
  • Сделать своими руками наглядные макеты тел вращений с помощью техник квиллинг и папье-маше.
  • Составить математический задачник с заданиями из открытого банка заданий ЕГЭ.
  • Познакомить и заинтересовать одноклассников данной темой.
  • Гипотеза:
  • Изучить тела вращения намного проще при создании самодельных поделок.
  • Методы исследования
  • Поиск информации из литературы и фотографий в Интернете, анкетирование учеников школы, создание поделок с помощью различных техник, фотографирование этапов работы.
  • Сбор и анализ информации по теме
  • Что такое тела и поверхности вращения?

Тело вращения – это тело в пространстве, которое возникает при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси. Любую фигуру вертеть вокруг любой оси, и будут получаться разные более или менее сложные тела вращения. А поверхность вращения – это просто граница тела вращения. Ведь поверхность — это всегда граница тела.

  1. Примеры
  2. Круговая цилиндрическая поверхность (цилиндр) (получается вращением прямой вокруг параллельной ей прямой).
  3. Конус (получается вращением прямой вокруг другой прямой, пересекающей первую).
  4. Сфера (получается вращением окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через её центр).
  5. Тор (получается вращением окружности вокруг не пересекающей её оси, лежащей в той же плоскости).
  6. Эллипсоид вращения ― эллипсоид, длины двух полуосей которого совпадают (получается вращением эллипса вокруг одной из его осей).
  7. Параболоид вращения ― эллиптический параболоид, полученный вращением параболы вокруг своей оси.
  8. Катеноид (получается вращением цепной линии).
  9. Тела вращения в повседневной жизни

Тела вращения встречаются абсолютно везде, даже дома. И знание формул нам поможет в простых на первый взгляд вещах. Например, решим задачу. Перед вами стеклянные чайники четырёх моделей одинаковой вместимости. В каком чайнике заваренный чай останется тёплым дольше?

Решение. Из курса физики известно, что время охлаждения пропорционально площади поверхности тела. Значит, чем меньше поверхность чайника, тем дольше остывает чай. Самая маленькая площадь поверхности у четвёртого чайника, так как его форма близка к сфере (S=4πr2).

Тела вращения в архитектуре городов мира

В здании Тихуанского культурного центра можно познакомиться с историей полуострова Baja с древнейших времен до наших дней, а также культурой и искусством этого региона Мексики.

Гигантский зеркальный шар диаметром 36 м – здание кинотеатра La Geode, расположенное на территории обширного парка в Париже. В зале на 400 мест находится самый большой полусферический экран Европы – изображение на нем в 10 раз крупнее, чем в обычном кинотеатре.

Матримандир (санскрит — Храм Матери) – это главная достопримечательность Ауровиля, города-общины в Индии. Сферическое здание для медитации и практики йоги, облицованное позолоченной «чешуёй» из нержавеющей стали, строилось 37 лет.

Архитектора Jon Jerde, спроектировавшего это здание на Тайване, называют Пикассо от архитектуры. Его Core Pacific City – огромный «мяч для гольфа», плотно зажатый между соседними постройками, — является самым необычным торговым центром в стране.

Spaceship Earth – самая грандиозная постройка на территории тематического парка Уолта Диснея — Walt Disney World Resort. Это 18-уровневый аттракцион в виде геодезической сферы диаметром 50 м, внутри которого посетители совершают 13-минутное виртуальное путешествие во времени.

Ericsson Globe – это национальная крытая спортивная арена в Стокгольме. Это здание – самая большая полусферическая постройка в мире – ее диаметр 110 м. Под сводами Ericsson Globe может одновременно разместиться от 13 до 16 тыс. зрителей.

Собор в Маринге Собор Святого Себастьяна в Рио-де-Жанейро

Westhafen Tower — небоскреб во франкфуртской гавани.

  • Штаб-квартира BMW в Мюнхене состоит из 4-х цилиндров
  • Тела вращения в архитектуре близлежащих районов
  • Дом Правительства Московской области Диспетчерский пункт на Соколе

г. Красногорск, ул. Ленина 30А и 30Б Аэротруба в Путилково

  1. Опрос учеников школы
  2. Место проведения: МБОУ Ульяновская СОШ
  3. Время проведения: февраль 2019
  4. Число опрошенных: 58 человек
  5. Опрашивая учеников, я задала следующие вопросы:
  6. Как вы думаете, используются ли тела вращения при проектировке зданий?
  7. Применяете ли вы свои знания о телах вращения на практике: в быту или при создании поделок?
  8. Легко ли вам даётся это?
  9. (Диаграммы – см. приложение №1)

Вывод: большинство учеников считают, что тела вращения используются при проектировке зданий. Но большинство ребят никак не применяют свои знания на практике. А если и используют, то это им очень трудно даётся.

Открытый урок

Чтобы рассказать одноклассникам побольше информации о телах вращения, я организовала круглый стол. На встрече ребята решали задания из моего задачника. Подобный план проведения занятия им понравился, т.к. это одновременно и отработка темы «Тела вращения», и подготовка к ЕГЭ. Также я показала свои работы, сделанные своими руками. Ребята сделали вывод, что,

  • применяя знания о телах вращения на практике, можно сделать макет той или иной фигуры с помощью различных техник, тем самым хорошо изучить свойства фигур и научиться применять эти свойства при решении задач.
  • Практическая значимость
  • Математический задачник с ответами

Я составила «Математический задачник с ответами» (см. Приложение №2). На уроке алгебры я предложила одноклассникам решить некоторые задачи из сборника. Задачи им показались интересными, и ребята попросили сделать ещё один такой задачник.

  1. Создание шкатулки в технике папье-маше
  2. Создание ёлочных шаров в технике квиллинг
  3. Заключение

Я считаю, что моя работа помогла мне и моим одноклассникам понять, что математика нужна, она может во многом послужить на благо человека.

Во время работы над данным проектом, несмотря на то, что я увлекалась математикой долгое время, и она мне была интересна, данный проект помог мне шире взглянуть на неё и увидеть, что математика – это не только числа и плоские фигуры, но и та геометрия, которая вокруг нас.

Необычные сооружения определяются талантом зодчего, его художественным вкусом и его пониманием прекрасного. Прогуляйтесь по нашему городу и убедитесь, что удачных решений может быть очень много, но неизменным остается одно – стремление архитектора к гармонии, а это в той или иной степени связано с геометрией.

«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период.

Стоит поразмыслить о прошлом, вспомнить то, что было ранее, и мы будем ошеломлены, видя, что окружающий нас мир — это мир геометрии, чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Все вокруг — геометрия.

Никогда мы не видели так ясно таких форм, как круг, прямоугольник, угол, цилиндр, шар, выполненных так отчетливо, с такой тщательностью и так уверенно»

-Ле Корбюзье

Информационные ресурсы

https://ru.wikipedia.org/wiki/Тела_вращения

https://www.yaklass.ru/p/geometria/9-klass/nachalnye-svedeniia-o-stereometrii-13313/tela-i-poverkhnosti-vrashcheniia-13315/re-f78fa3ef-0945-4686-b080-5f4e17baf76e

https://spravochnick.ru/matematika/nachalnye_svedeniya_iz_stereometrii/tela_i_poverhnosti_vrascheniya/

http://mateshka.ru/matematika/tela-vrasheniya.html

  • https://thearchitect.pro/ru/news/3911-TOP_7__Sfericheskie_postrojki
  • Приложение
  • Приложение №1
  • Приложение №2

Источник: https://school-science.ru/7/7/40576

Тела вращения — это… Что такое Тела вращения?

Образование поверхности вращения

Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости[1].

Примеры тел вращения

  • Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза
  • Цилиндр — образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь его развертки: Sбок = 2πrh.

  • Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки: Sбок = πrl Площадь полной поверхности конуса: Sкон = πr(l+ r)

  • Тор — образован окружностью, вращающейся вокруг прямой, не пересекающей его [2]

При вращении контуров фигур возникает поверхность вращения (например, сфера, образованная окружностью), в то время как при вращении заполненных контуров возникают тела (как шар, образованный кругом).

Объём и площадь поверхности тел вращения

Объём и площадь поверхности тел вращения можно узнать при помощи теорем Гульдина-Паппа.

  • Первая теорема Гульдина-Паппа гласит:
Площадь поверхности, образуемой при вращении линии, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равна произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.
  • Вторая теорема Гульдина-Паппа гласит:
Объём тела, образуемого при вращении фигуры, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равен произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой центром масс этой фигуры.

Литература

А.В. Погорелов. «Геометрия. 10-11 класс» §21.Тела вращения. — 2011

Примечания

  1. А. В. Погорелов. §21. Тела вращения // Геометрия. 10-11 класс. — 2011.
  2. Математика. Энциклопедия для детей том 11й ISBN 5-94623-072-7

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/453884

Ссылка на основную публикацию