Полное приращение и полный дифференциал — в помощь студенту

  • МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ ПМР
  • ГОУ «ДНЕСТРОВСКИЙ ТЕХНИКУМ ЭНЕРГЕТИКИ
  • И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»
  • УТВЕРЖДАЮ
  • Зам. директора по учебной работе

__________________М.В. Питель

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
  1. «_____»__________________2019 г
  2. В ПОМОЩЬ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ
  3. по дисциплине: «МАТЕМАТИКА»
  4. РАЗДЕЛ № 3
  5. «Дифференциальное исчисление функции многих действительных переменных»
  6. Разработал преподаватель математики
  7. ГОУ СПО «ДТЭ и КТ»
  8. Демьянова Светлана Васильевна
  9. РАССМОТРЕНО СОГЛАСОВАНО
  10. на заседании ЦМК методист

_____________________ дисциплин ________ Левицкая И.Н. Протокол №__ от «__»_____201__г. «__» _________201__г.

Председатель __________________

______________________________

г. Днестровск, 2019 г.

СОДЕРЖАНИЕ

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Венера - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Введение……………………………………………………………………………………………………3

Глава I. Дифференциальное исчисление функции многих действительных переменных…….4

    1. Понятие функции нескольких переменных…………………………………………………………4

    2. Частные производные………………………………………………………………………..…….…6

    3. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях……………………..…….7

    4. Дифференцирование сложных функций………………………………………………………………..…….8

    5. Неявные функции и их дифференцирование………………………………………………………..9

Глава II. Практика……………………………………………………………………………………..10

2.1.Найти приближенное значение функции………………………………………………………….10

2.2. Определить максимальную абсолютную погрешность заданных функций…………………….10

Глава III. Презентация…………………………………………………………………………………11

Заключение………………………………………………………………………………………………12

Список использованной литературы………………………………………………………………..13

ВВЕДЕНИЕ

В зачетной работе изложены основные теоретические разделы указанной темы, при этом особое внимание уделено основным методам дифференциального исчисления функций многих действительных переменных приведены примеры.

Работа состоит из трех глав, традиционно изучаемых в курсе высшей математики, первая глава содержит пять подразделов, вторая два подраздела, и третья глава презентацию. Первая глава включает основные теоретические положения дифференциального исчисления функций многих действительных переменных и раскрывает основные функции нескольких переменных.

Второй главе приведены примеры дифференциалов функций. Рассмотрим дифференциальное исчисление функций многих действительных переменных.

Глава I. Дифференциальное исчисление функции многих действительных переменных.

    1. Понятие функции нескольких переменных.

Понятие функции одной переменной легко обобщается на случай двух и большего числа аргументов. В случае функции двух переменных будем рассматривать множество упорядоченных пар (x,y), где числовые значения x и y принадлежат множествам x∈X, y∈Y.

Если задан закон, согласно которому каждой паре (x,y) соответствует единственное числовое значение z, то говорят, что задана функция двух переменных.

Обычно такая функция обозначается в виде z=z(x,y)z=f(x,y)z=F(x,y) и т.д.

Аналогичным образом определяется функция n переменных.

Частные производные первого порядка для функций нескольких переменных вводится понятие частной производной первого порядка, то есть производной функции по одной из переменной при условии, что остальные переменные фиксированы. Например, для функции двух переменных z=f(x,y) рассматриваются частные производные по переменной x и по переменной y. Они обозначаются следующим образом:

Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту

  • Частные производные второго порядка  
  • Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту , Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту
  • Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту
  • Если смешанные частные производные являются непрерывными функциями, то они не зависят от порядка дифференцирования:

Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту

  1. Дифференцирование сложной функции двух переменныхЕсли f(x,y)=g(h(x,y)), где g − функция одной переменной h, то частные производные равны 
  2. Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту .
  3. Если h(t)=f(x(t),y(t)), то производная находится по формуле:
  4. hʾ(t)= Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту .
  5. Если z=f(x(u,v),y(u,v)), то частные производные определяются выражениями
  6. Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту , Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту
  7. Малые приращения функции  
  8. Локальные максимум и минимум
  9. Функция f(x,y) имеет локальный максимум в точке (x,y), если f(x,y)(x,y) для всех (x,y), достаточно близких к (x,y).
  10. Аналогично, функция f(x,y) имеет локальный минимум в точке (x,y), если f(x,y)f(x,y) для всех (x,y), достаточно близких к (x,y).
  11. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
  12. Стационарные и критические точки
  13. Точки, в которых все частные производные функции равны нулю, называются стационарными точками. Для функции двух переменных стационарные точки находятся из системы уравнений

Локальные максимум и минимум представляют собой стационарные точки. Стационарные точки вместе с точками из области определения функции, в которых частные производные не существуют, образуют множество критических точек.

Седловая точкаэто такая точка, которая не является ни локальным максимумом, ни локальным минимумом.

Достаточное условие существования экстремума

Пусть (x,y), является стационарной точкой (т.е. частные производные первого порядка в ней равны нулю). Рассмотрим определитель, составленный из значений частных производных второго порядка в данной точке:

Если D0 и частная производная  , то  является точкой локального минимума. Если D0 и частная производная  , то    является точкой локального максимума.

  • Если D, то   является седловой точкой.
  • Если D=0, то для определения типа стационарной точки необходимо дальнейшее исследование.
  • Касательная плоскость
  • Уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке   имеет вид
  • Нормаль к поверхности
  • Уравнение нормали к поверхности z=f(x,y) в точке    записывается как
  • Частные производные первого порядка
  • Рассмотрим функцию двух переменных z = f (x, y). Придавая значению переменной x приращение x, рассмотрим предел (при x 0)

Этот предел называется частной производной (первого порядка) данной функции по переменной x в точке (x, y) и обозначается или fʾx(x,y). Точно так же определяется частная производная этой функции по переменной y и обозначается или fʾy(x,y).

Частные производные вычисляются по обычным формулам дифференцирования, при этом все переменные, кроме одной рассматриваются как постоянные.

Частные производные высших порядков

Пусть z = f (x, y) есть функция двух переменных x и y. Частными производными второго порядка функции f (x, y) называются частные производные от ее частных производных первого порядка, если они существуют. Частные производные второго порядка обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются и обозначаются частные производные более высокого порядка. Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по нескольким различным переменным, называется смешанной частной производной. Относительно смешанных частных производных имеет место следующая теорема.

Теорема. Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.

    1. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.

Определение 1. Если для каждой пары (x,y) значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение z, то говорят, что z является функцией двух переменных (x,y). Обозначение: z=f(x,y).

Пусть дана функция z=f(x,y)двух независимых переменных (x,y). Если аргументу x дать приращение Δx, а аргументу y — приращение Δy, то получается полное приращение заданной функции z=f(x,y).

  1. Определение 2. Полный дифференциал заданной функции z=f(x,y) является линейной частью приращения функции и записывается в виде
  2. dz=fx′(x,y)Δx+fy′(x,y)Δy.
  3. Для функции трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются полный дифференциал:

Определение 3. Приращения независимых переменных, а именно, Δx,Δy,Δz,…,Δt называют дифференциалами независимых переменных x,y,z,…,t. Обозначение: dx,dy,dz,…,dt.

  • В новых обозначениях выражения для полного дифференциала принимает следующий вид: Полный дифференциал находит свое применение в приближенных вычислениях.
  • Рассмотрим заданную функцию z=f(x,y), дифференцируемую в точке (x,y), и запишем для нее полное приращение:
  • Преобразуем формулу следующим образом:
  • f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+Δz (1)
  • Подставив в формулу (1) вместо Δz выражение для полного дифференциала, получим следующую приближенную формулу:
  • f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+fx′(x,y)Δx+fy′(x,y)Δy, (2)

которая является верной с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно приращений Δx,Δy. Формула (2) используется при решении задач на приближенные вычисления.

Определение 4. Если для каждой тройки (x,y,z) значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение w, то говорят, что w является функцией трех переменных (x,y,z) в данной области. Обозначение: w=f(x,y,z).

Определение 5. Если для каждой совокупности (x,y,z,…,t) значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение w, то говорят, что w является функцией переменных (x,y,z,…,t) в данной области. Обозначение: w=f(x,y,z,…

,t).

Замечание 1. Аналогичную формулу можно записать для функции трех и более переменных:

f(x+Δx,y+Δy,z+Δz)=f(x,y,z)+fx′(x,y,z)Δx+fy′(x,y,z)Δy+…+fz′(x,y,z)Δz;

f(x+Δx,y+Δy,…,t+Δt)=f(x,y,…,t)+fx′(x,y,…,t)Δx+fy′(x,y,…,t)Δy+…+ft′(x,y,…,t)Δt.

  1. Также полный дифференциал используют применительно к оценке погрешностей при вычислениях:
  2. Максимальная абсолютная погрешность:
  3. Максимальная относительная погрешность:
    1. Дифференцирование сложных функций.

Теорема. Если     и    – дифференцируемые функции, то производная сложной функции     равна

      Действительно, производная функции представляет собой отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента. Если сократить общий множитель     в числителе и знаменателе выражения в правой части этого равенства, то получим тождество.

Формальное доказательство. По определению производной

Согласно теореме о непрерывности дифференцируемых функциях,     является непрерывной функцией и, следовательно,     при  ∆x → 0. Тогда

    1. Неявные функции и их дифференцирование.

Пусть F — дифференцируемая функция трех переменных x, y и z, и пусть уравнение F(x, y, z)=0 определяет z как функцию независимых переменных x и y. Частные производные этой неявной функции z = z(x, y) в точке (x, y) вычисляются по следующим формулам:

Читайте также:  Обесценение финансовых вложений и создание резерва под обесценение - в помощь студенту

при условии, что Fʾz ( x, y, z) 0, где z=z (x, y) и F(x, y, z) = 0.

Глава II. Практика.

2.1.Найти приближенное значение функции.

  • Вычислить приближенное значение заданной функции
  • f(x,y,z)=x3+y2+z2
  • в точке (1;4;1) при Δx=0,01; Δy=0,02; Δz=0,01.
  • Решение: Запишем частные производные заданной функции:
  • fx′(x,y,z)=3x2, fy′(x,y,z)=2y, fz′(x,y,z)=2z.
  • Вычислим значения частных производных в заданной точке:
  • fx′(1,4,1)=312=3, fy′(1,4,1)=21=2, fz′(1,4,1)=21=2.
  • Вычислим значение функции в заданной точке:
  • f(1,4,1)=13+42+12=1+16+1=18.
  • Воспользуемся формулой f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+fx′(x,y)Δx+fy′(x,y)Δy, и получим: f(1+0,01;4+0,02;1+0,01)=f(1,4,1)+fx′(1,4,1)0,01+fy′(1,4,1)0,02+fz′(1,4,1)0,01= =18+30,01+20,02+20,01=18+0,03+0,04+0,02=18,09.

2.2. Определить максимальную абсолютную погрешность заданных функций.

  1. Определить максимальную абсолютную погрешность заданных функций:
  2. 1) w=x+y−z;
  3. 2) w=xy.
  4. Решение:
  1. Запишем частные производные заданной функции:

Для функции w=x+y−z согласно формуле получаем:

w|=1x|+1y|+|−1|z|=|Δx|+|Δy|+|Δz|.

  1. Запишем частные производные заданной функции:

  • Для функции w=xy согласно формуле получаем:
  • w|=|y|x|+|x|y|.
  • ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Дифференциальные исчисления функций многих действительных переменных одно из фундаментальных понятий математического анализа. В данной работе мы изучили дифференциальные функции многих переменных.

В зачетной работе я раскрыла понятие функции нескольких переменных, частные производные, применение полного дифференциала в приближенных вычислениях, дифференцирование сложных функций, неявные функции и их дифференцирование.

В практической работе решила примеры по дифференциальным исчислениям функций многих действительных переменных и сделала презентацию.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 2001г.

  2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.,2004г.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1.М., 2005г.

  4. Демидовича. М., Ефимова А.В., Линейная алгебра и основы математического анализа. 2003г.

  5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М., 2001г.

  6. http://window.edu.ru/resource/821/76821/files/selivdif2001.pdf

  7. http://portal.tpu.ru:7777/SHARED/k/KONVAL/Sites/Russian_sites/Calc1-ru/4/17.htm

  8. https://spravochnick.ru/matematika/funkcii_neskolkih_peremennyh/primenenie_polnogo_differenciala_v_priblizhennyh_vychisleniyah/

  9. http://www.math24.ru/%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8-%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%B8%D1%85-%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85.html

7

Источник: https://multiurok.ru/files/v-pomoshch-studentu-zaochniku-po-distsipline-mat-2.html

Математика

Тема 5.3. Дифференциал функции двух переменных

Пусть функция z = f(x,y), имеет в точке М0(х0,у0) частные производные f /x (х0,у0) и f /у (х0,у0).

О. Полным приращением функции z = f(x,y) в точке М0(х0,у0) называется разность

Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту
Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту

Пусть приращение функции z =f(x,y) можно представить в виде

Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту

где , то функция называется дифференцируемой в точке M 0 (х0,у0).

О. Полным дифференциалом функции z=f(x,y) называется главная часть полного приращения    , линейная относительно приращений её аргументов . Полный дифференциал функции (если он существует) равен сумме всех ее частных дифференциалов и вычисляется по формуле:

Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту

При достаточно малых (по абсолютному значению) приращениях аргументов, полное приращение функции можно с как угодно малой относительной погрешностью заменить ее полным дифференциалом. Дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у совпадают с их приращениями соответственно    . Таким образом,

Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту
Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту

Уровень 2. Раньше говорилось о том, что из существования частных производных в точке не следует непрерывности функции в этой точке. Однако можно записать

Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту

а это означает непрерывность функции в точке (х0,у0). Следовательно, дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке.

Из сказанного следует, что существование обеих частных производных функции в точке не означает, что функция дифферен­цируема в этой точке. В курсе математического анализа доказывается теорема, о функции, дифференцируемой в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны в этой точке.

Так как

Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту

 дифференциал df даёт приближенное значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.

Источник: https://moodle.kstu.ru/mod/page/view.php?id=4512

Частные и полные дифференциалы

Частные и полные дифференциалы

Приращение, которое получает функция Z=f(x, y), когда изменяется только одна из переменных, называется частным приращением функции по соответствующей переменной: ΔxZ=f(x+Δx,y)-f(x,y), ΔyZ=f(x,y+Δy)-f(x,y).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Частным дифференциалом по х функции Z=f(x, y) называется главная часть частного приращения ΔxZ=f(x+Δx,y)-f(x,y), пропорциональная приращению Δx независимой переменной х. Аналогично определяется частный дифференциал по у, т.е. ΔyZ=f(y+Δy,x)-f(x,y).

Дифференциалы независимых переменных х и у просто равны их приращениям, т.е. dx=Δx, dy=Δy. Частные дифференциалы обозначаются так: dxZ -частный дифференциал по х, dyZ — частный дифференциал по у. При этом:

Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту

  • Таким образом, частный дифференциал функции двух независимых переменных равен произведению соответствующей частной производной на дифференциал этой переменной.
  • Таким же образом, как для функции двух переменных, определяются частные приращения и частные дифференциалы функций любого числа независимых переменных.
  • Приращение, которое получает функция Z=f(x,y) при произвольных совместных изменениях ее обоих аргументов называется полным приращением:
  • ΔZ=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)
  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Полным дифференциалом функции двух переменных называется главная часть полного приращения функции, линейная относительно приращений независимых переменных.

Теорема. Полный дифференциал функции двух независимых переменных равен сумме произведений частных производных функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных.

dZ=f'x(x,y)dx+f'y(x,y)dy или Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту

Так как dx=dxZ и dy=dyZ, то dZ=dxZ+dyZ, т.е. дифференциал функции двух независимых переменных равен сумме ее частных дифференциалов.

Определение дифференциала переносится на функции любого числа независимых переменных.

Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту

Найдем частные производные

Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студентуПолное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту

Порядок вывода комментариев: По умолчанию Сначала новые Сначала старые

Источник: http://testent.ru/publ/studenty/vysshaja_matematika/chastnye_i_polnye_differencialy/35-1-0-1102

Дифференциал сложной функции

Функция многих переменных

Пусть x, y, z,…,t — независимые переменные, а u — величина, зависимая от них.

Величина u называется функцией переменных величин x, y, z,…,t, если каждой рассматриваемой совокупности этих величин соответствует одно определенное значение величины u и пишут: u=f(x,y,z,…,t).

Пусть дана функция с областью определения и множеством значений . Говорят, что точка является пределом функции при и пишут или , если Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту .

Повторный предел

Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту

  • (1) и у функции j(у).существует предел
  • то этот предел наз. повторным пределом
  • (2)
  • функции f(x, у).в точке ( х 0, у 0)
  • Частная производная ФМП
  • В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.
  • В явном виде частная производная функции f определяется следующим образом:
  • Дифференциал ФМП
  • Функция Z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке P(x,y), если ее полное приращение ΔZ можно представить в виде Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy), где Δx и Δy – любые приращения соответствующих аргументов x и y в некоторой окрестности точки Р, А и В – постоянные (не зависят от Δx,Δy),
  • ω(Δx,Δy) – бесконечно малое более высокого порядка, чем расстояние:
  • Если функция Z=f(x,y) дифференцируема в точке P(x,y), то она имеет в точке Р первые частные производные:
  • Теорема 2:

Если же частные производные непрерывны в окрестности точки Р, то эта функция дифференцируема, т.е существует дифференциал.

Дифференциал сложной функции

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке x0, а функция g имеет производную в точке y0 = f(x0), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x0.

  1. Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.
  2. Теорема о равенстве смешанных производных
  3. Если в некоторой окрестности точки функция имеет смешанные частные производные и , причём эти смешанные частные производные непрерывны в точке м0 , то они равны в этой точке: .
  • Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных
  • Из треугольника DMKL: KL = dy = tga×Dx = y¢×Dx
  • Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.
  • Частные производные высших порядков
  • Формула Тейлора
  • Пусть функция f(x,y) имеет полные производные вплоть до n-го порядка включительно в некоторой окрестности точки (x0,y0). Введём дифференциальный оператор
  • Тогда разложением в ряд Тейлора функции f(x,y) по степеням (x − x0)k и (y − y0)k в окрестности точки (x0,y0) будет
  • где Rn(x,y) — остаточный член в форме Лагранжа:

В случае функции одной переменной , поскольку для функции одной переменной частная производная тождественно равна полной. Аналогично формула распространяется на функции от любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе T.

  1. Неявная ФМП
  2. при выполнении соответствующих условий, уравнение задает неявно функцию . Это же уравнение может задавать неявно функцию или
  3. Экстремум ФМП

Пусть функция f (х, у) определена в точке M0 (x0, y0) и в некоторой её окрестности. Функция f (х, у) имеет максимум в точке(x0, y0), если f (x0, y0) > f (х, у) для всех точек (х, у).

из некоторой окрестности точки(x0, y0). Если же f (x0, y0) < f (х, у)., то функция f (х, у) имеет минимум в точке M0 (x0, y0).

Точки, в которых функция принимает максимальное и минимальное значения, называются экстремальными.

  • Метод наименьших квадратов
  • Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки.
  • Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений.

Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины.

Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.

Двойной интеграл

Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных z = f (x,y). Двойной интеграл от функции f (x,y) обозначается как

  1. где R — область интегрирования в плоскости Oxy. Если определенный интеграл от функции одной переменной выражает площадь под кривой f (x) в интервале от x = a до x = b, то двойной интеграл выражает объем под поверхностью z = f (x,y) выше плоскости Oxy в области интегрирования R
  2. Повторный интеграл
  3. понятие интегрального исчисления. Вычисление двойного интеграла
  4. от функции f (x, у) по области S, ограниченной прямыми х = а, х = b и кривыми y = φ1(x), у = φ2(х), при некоторых условиях относительно функций f (x, у), φ1(x), φ2(х), производится по формуле:
  5. где при вычислении внутреннего интеграла х считается постоянным.
  6. Тройной интеграл
  7. Тройным интегралом называют кратный интеграл с d=3.
  8. Здесь — элемент объема в рассматриваемых координатах.
  9. В прямоугольных координатах , где является элементом объема в прямоугольных координатах.
  10. Якобиан

функциональный определитель ½aik½1n с элементами , где yi = fi (X1,…, Xn), l £ i £ n, — функции, имеющие непрерывные частные производные в некоторой области А; обозначение:

  • Якобиан часто применяется при анализе неявных функций
  • Равенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием вырожденности преобразования координат, а неравенство его нулю — необходимым и достаточным условием невырожденности.
  • Замена переменных
  • Для вычисления двойного интеграла иногда удобнее перейти в другую систему координат.
  • Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции.
  • В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается.
  • Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой

где выражение представляет собой так называемый якобиан преобразования , а S − образ области интегрирования R, который можно найти с помощью подстановки в определение области R. Отметим, что в приведенной выше формуле означает абсолютное значение соответствующего определителя.

  1. Двойной интеграл
  2. Пусть область D ограничена линией r = r( ) и лучами = и = , где и r – полярные координаты точки на плоскости, связанные с ее декартовыми координатами x и y
  3. Рис. 5

соотношениями (рис. 5). В этом случае

Замечание. Если область D в декартовых координатах задается уравнением, содержащим бином , например, и т.д., то вычисление двойного интеграла по такой области удобнее производить в полярных координатах.

Если область D в декартовых координатах задается уравнением, содержащим бином , например, и т.д., то вычисление двойного интеграла по такой области удобнее производить в полярных координатах.

Кратные интегралы

Кратный интеграл, интеграл от функции, заданной в какой-либо области на плоскости, в трёхмерном или n-мерном пространстве. Среди К. и. различают двойные интегралы, тройные интегралы и т. д. n-кратные интегралы.

Пусть функция f (x, y) задана в некоторой области D плоскости хОу. Разобьем область D на n частичных областей di, площади которых равны si, выберем в каждой области di точку (xi, hi) (см. рис.) и составим интегральную сумму

  • .
  • Нормаль к поверхности
  • Одной из основных характеристик поверхности является её нормаль — единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в заданной точке:
  • .
  • Знак нормали зависит от выбора координат.
  • Функция многих переменных

Пусть x, y, z,…,t — независимые переменные, а u — величина, зависимая от них.

Величина u называется функцией переменных величин x, y, z,…,t, если каждой рассматриваемой совокупности этих величин соответствует одно определенное значение величины u и пишут: u=f(x,y,z,…,t).

Пусть дана функция с областью определения и множеством значений . Говорят, что точка является пределом функции при и пишут или , если .

Повторный предел

предел функции нескольких переменных, при к-ром предельный переход совершают последовательно по различным переменным. Пусть, напр.

Читайте также:  A4 - в помощь студенту

, функция f двух переменных х и у определена на множестве вида , и пусть х 0, y0 — предельные точки соответственно множеств X и Y или символы оо (в случае, когда m=1 или n=1, х 0 и соответственно y0 могут быть бесконечностями со знаком: ). Если при любом фиксированном существует предел

  1. (1) и у функции j(у).существует предел
  2. то этот предел наз. повторным пределом
  3. (2)
  4. функции f(x, у).в точке ( х 0, у 0)
  5. Частная производная ФМП
  6. В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.
  7. В явном виде частная производная функции f определяется следующим образом:
  8. Дифференциал ФМП
  9. Функция Z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке P(x,y), если ее полное приращение ΔZ можно представить в виде Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy), где Δx и Δy – любые приращения соответствующих аргументов x и y в некоторой окрестности точки Р, А и В – постоянные (не зависят от Δx,Δy),
  10. ω(Δx,Δy) – бесконечно малое более высокого порядка, чем расстояние:
  11. Если функция Z=f(x,y) дифференцируема в точке P(x,y), то она имеет в точке Р первые частные производные:
  12. Теорема 2:

Если же частные производные непрерывны в окрестности точки Р, то эта функция дифференцируема, т.е существует дифференциал.

Дифференциал сложной функции

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке x0, а функция g имеет производную в точке y0 = f(x0), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x0.

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Источник: https://cyberpedia.su/17xdb07.html

Частные производные

  • ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
  • ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
  • ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИКИ
  • КАФЕДРА МАТЕМЕТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКОНОМИКЕ
  • РЕФЕРАТ
  • НА ТЕМУ:
  • ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ”
  • ВЫПОЛНИЛ:
  • СТУДЕНТ II КУРСА ГР. И-04-2

ПИВКОВ В.А.

ПРОВЕРИЛ:

ВОРОНОВА Е.А.

г. Липецк — 2006

Содержание.

  1. Функции нескольких переменных.

    1. Определение функции нескольких переменных

    2. Предел функции двух переменных

    3. Непрерывность функции двух переменных

    1. Частные производные

    2. Полный дифференциал

    3. Производная и дифференциал сложной функции

    4. Неявные функции и их дифференцирования

  1. Частные производные и дифференциалы высших порядков

    1. Частные производные высших порядков

    2. Признак полного дифференцирования

    3. Дифференциалы высших порядков

Список литературы

  1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПРЕМЕННЫХ.

    1. Определение функции нескольких переменных.

Переменная zназывается функцией двух независимых переменных x и y, если некоторым парам значении x и y по какому – либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z.

Множество G пар значений x и y, которые могут принимать переменные x и y, называется областью определения функции, а множество всех значений, принимаемых z в области определения, — областью значений функции z. Переменные x и называются аргументами функции.

Пара чисел x и y определяет положение точки M на плоскости xOy с координатами x и y. Поэтому функцию двух переменных можно рассматривать либо как функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки M , либо как скалярную функцию векторного аргумента .

Каждой тройке (x; y; z) в пространстве Oxyz соответствует точка M(x; y; z). Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функции трех переменных Полное приращение и полный дифференциал - в помощь студенту. Областью определения функции трех переменных будет все пространство или его часть.

Аналогично можно дать определение функции четырех и более переменных.

    1. Предел функции двух переменных.

Множество точек M(x; y), координаты x и y которых удовлетворяют неравенству или называется δ-окрестность точки .

Определение. ЧислоA называет пределом функции при стремлении точки M к точке , если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех точек M из области определения этой функции, удовлетворяющих условию имеет место неравенство . Обозначают это так: или

Функция называется бесконечно малой при если

    1. Непрерывность функции двух переменных.

Пусть точка принадлежит области определения . Определение. Функция называется непрерывной в точке если

или причем точка M стремится к M0 произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Обозначим , . Полным приращением при переходе от точки , к точке M называется разность значении функции в этой точке , т.е.

2.1 Частные производные.

  1. Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных в точке частные производные определяются так:
  2. ,
  3. ,

если эти пределы существуют. Величина называется частным приращением функции z в точке по аргументу . Используются и другие обозначения частных производных:

  • , , , ,
  • , , , .
  • Символы , , , как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной).
  • Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная — угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности и плоскости в соответствующей точке.
  • Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать, что частная производная есть скорость изменения функции относительно при постоянном .
  • Из определения частных производных следует, что правила вычисления их остаются теми же, что для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.

Пример 1. Если , то , .

Пример 2. Если , то , . Величина называется изотермическим коэффициентом упругости идеального газа.

  1. Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции трех и большего числа независимых переменных.
  2. . (1)
  3. Если приращение (1) можно представить в виде , (2)

Где Аи В не зависят от и , а и стремятся к нулю при стремлении к нулю и , то функция называется дифференцируемой в точке , а линейная часть приращения функции (т.е. та часть , которая зависит от и линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке и обозначается символом :

  • . (3)
  • Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.
  • Действительно, если в точке функция дифференцируема, то для этой точки представимо в форме (2), откуда следует, что
  • ,
  • а это и означает, что в точке функция непрерывна.
  • Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости).

В самом деле, пусть функция в точке дифференцируема. Тогда имеет место соотношение (2). Полагая в нем , имеем:

  1. .
  2. Деля на и переходя к пределу при , получаем:
  3. .
  4. Это означает, что в точке существует частная производная функции по и . (4)
  5. Аналогично доказывается, что в точке существует частная производная
  6. . (5)
  7. Используя формулы (4) и (5), можно переписать выражение (3) в виде
  8. .

Если положить , то , т.е. . Аналогично, полагая , получим . Значит, дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, и можно записать дифференциал (3) в следующем виде: .

Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки и эти производные непрерывны в самой точке , то эта функция дифференцируема в точке .

Доказательство. Дадим переменным и столь малые приращения и , чтобы точка не вышла за пределы указанной окрестности точки . Полное приращение можно записать в виде .

Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции. Преобразует каждую из этих разностей по формуле Лагранжа. Получим:

  • (6)
  • Так как производные и непрерывны в точке , то
  • ,
  • Отсюда
  • , , где и — бесконечно малые при , . Подставляя эти значения в равенство (6), находим:
  • ,
  • а это и означает, что функция дифференцируема в точке .

2.3 Производные и дифференциал сложной функции.

Пусть , где , . Тогда в конечном итоге z будет функцией одной переменной t. Предположим, что , непрерывны и , существуют. Найдем . Дадим переменной t приращение . Тогда x, y, а следовательно, и z получат свои приращения , и . В силу достаточного условия дифференцируемости

  1. ,
  2. откуда
  3. .

Устремим теперь к нулю. Тогда и будут стремиться к нулю, так как функции xиy непрерывны (мы предположили существование производных и ), а потому и будут стремиться к нулю. В пределе получим:

  • ,
  • или, короче,
  • . (7)
  • Формула (7) называется формулой производной сложной функции.

Пример 1. Пусть , , . По формуле (7) имеем:

.

Предположим, в частности, что роль независимой переменной играет, т.е. рассмотрим функцию , где . Согласно формуле (7) будем иметь:

, (8)

так как . В формуле (8) — частная производная по первому аргументу функции двух переменных , а — обычная производная сложной функции одной переменной x: . Последнюю производную будем называть полной производной функции. В случае, когда , где , аналогично получает:

( — частная производная по второму аргументу функции , — полная производная функции одной переменной y: ).

Пусть теперь , ( здесь предполагается существование первых производных функций , по и ). В этом случае z будет функцией двух независимых переменных и . Следовательно, для этого случая формулу (7) нужно переписать в виде

  1. . (9)
  2. Аналогично
  3. . (10)

Пример 2. Если , где , от , .

Из формул (9) и (10) видно, что символ частной производной, как уже отмечалось выше, нельзя трактовать как дробь. В самом деле, если бы можно было сократить на и , то из формул (9) и (10) получили бы, что

и .

    1. Неявные функции и их дифференцирование.

Если уравнение, с помощью которого задается функция одной переменной x, не разрешено относительно y, то эта функция называется неявной.

Разрешая это уравнение относительно y, мы получаем ту же функцию, но уже заданную в явной форме.

Однако часто бывает, что разрешить такое уравнение относительно yневозможно (например, ) или нецелесообразно; в этом случае уравнение так и оставляют неразрешенным, в общем виде (когда все его члены перенесены в левую часть):

. (11)

В связи с этим встает вопрос о том, как найти производную неявной функции, не разрешая уравнения (11) относительно у.

Если в уравнении (11), определяющем неявную функцию , задавать значения независимой переменной х, то для нахождения соответствующего значения у надо решать уравнение. Теперь, если в это уравнение подставить его решение, то получится тождество.

Поэтому можно сказать также, что неявная функция , определенная уравнением (11), — это такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение (11), обращает его в тождество.

Дифференцируя это тождество по x согласно правилу дифференцирования сложной функции, получим:

  • .
  • Отсюда при вытекает формула для производной неявной функции
  • . (12)

Пример 1. Пусть y как функция от xзадана соотношением . Найти .

  1. Для имеем: , и согласно формуле (12)
  2. .
  3. Пусть уравнение (13)
  4. Определяет z как неявную функцию независимых переменных xиy.
  5. Пользуясь формулой (12), из равенства (13) имеем:
  6. , . (14)

Пример 2. Найти частные производные неявной функции z, заданной уравнением .

Согласно формулам (14)

,

  1. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

    1. Частные производные высших порядков.

Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные.

Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка.

Так, для функции двух независимых переменных можно определить (предполагается, что все производные существуют) четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами

  • , ,
  • , .
  • Частные производные и , отличающиеся порядком дифференцирования, называются смешанными частными производными второго порядка.
  • Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и старших порядков.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции .

  1. Имеем:
  2. , ,,
  3. , , , .

Здесь =. Оказывается, имеет место следующая теорема.

Теорема. Смешанные производные второго порядка равны, если они непрерывны: =.

Следствие. Смешанные производные высших порядков равны, если они непрерывны и получены в результате дифференцирования по одним и тем же переменным одинаковое число раз, но может быть в разной последовательность.

Покажем это на примере:

,

т.е.

.

Здесь мы дважды пользовались только что отмеченной теоремой: первый раз применительно к функции (мы изменили порядок ее дифференцирования), второй раз использовали равенство =. В общем случае схема рассуждений аналогична.

    1. Признак полного дифференцирования.

  • Выясним, при каких условиях выражение , (1)
  • где и непрерывны и вместе со своими частными производными первого порядка, является полным дифференциалом некоторой функции , или, кратко, полным дифференциалом.
  • Теорема. Выражение (1) есть полный дифференциал тогда и только тогда, когда выполнено равенство
  • .

3.3. Дифференциалы высших порядков.

Заметим прежде всего, что для функции нескольких переменных справедливы те же общие правила дифференцирования, что и для функции одной переменной:

I. ,.

II. .

III. .

IV. .

  1. Пусть имеется функция независимых переменных xиy, обладающая непрерывными частными производными второго порядка. Рассмотрим ее полный дифференциал
  2. (dxиdy – произвольные приращения), который назовем полным дифференциалом первого порядка (или, кратко, первым дифференциалом).

Так как и по предложению имеют непрерывные частные производные первого порядка, то от функции , в свою очередь, можно взять полный дифференциал . Так получим полный дифференциал второго порядка (или, кратко, второй дифференциал), который обозначается .

Аналогично, потребовав существование непрерывных частных производных третьего, четвертого, п-го порядков, можно получить полные дифференциалы соответственно третьего, четвертого, п-ого порядков.

Найдем выражения для второго дифференциала через частные производные. Пользуясь правилами I, III (dxиdy не зависят отxиy, т.е. рассматриваются как постоянные) и приведенной в п. 3.1 теоремой, можно записать:

  • (2)
  • (здесь , ).
  • Формула (2) обобщается на случай дифференциала п-го порядка.

Источник: https://doc4web.ru/matematika/chastnie-proizvodnie.html

Ссылка на основную публикацию