Перпендикулярность плоскостей — в помощь студенту

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студентуПерпендикулярность плоскостей - в помощь студенту
Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

Поэтому так важно не только знать теоремы, но и уметь доказывать утверждение о расположении поверхностей в пространстве.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Общие сведения

Пожалуй, одним из главных понятий в математике является плоскость. Различные вычисления геометрических параметров связаны с ней. Согласно определению, плоскость не имеет ограничений.

То есть это бесконечная поверхность, состоящая из множества точек. Все линии, проходящие через две и более точки, считаются принадлежащими ей.

Поэтому в какой-то мере плоскость можно назвать геометрической фигурой.

Любую поверхность можно описать с помощью уравнения первой степени: Ax + By + Cz + D = 0. Латинскими буквами обозначают постоянные коэффициенты, которые не могут одновременно равняться нулю. В произвольном пространстве может находиться множество различных плоскостей. Они могут принимать три положения относительно друг друга:

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

  1. быть параллельными — не иметь одинаковых точек;
  2. совпадать — если координаты хотя бы трёх их точек совпадают;
  3. пересекаться по прямой — это поверхности, располагающиеся по отношению друг к другу под различным углом.

При этом если в базисе имеется прямая, то через неё может проходить неограниченное число незамкнутых поверхностей. Грани, не имеющие ограничений, обозначают на чертежах маленькими греческими буквами.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Управленческий учет в информационной системе организации - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Изображают их в виде произвольного размера параллелограмма или имеющей любую форму замкнутой линии, образующей область. Рассмотрение плоскости построено на изучении расположения точек и линий. Принадлежащие плоскости геометрические элементы записывают через символ «Є».

Например, если вектор AB принадлежит поверхности γ, то математически это записывают так: AB Є γ.

Расстояние от точки до плоскости является наименьшей длиной между ней и элементами поверхности.

Определяется оно через перпендикуляр, опущенный из этой точки на плоскость. Прямая же может как лежать на поверхности, так и пересекать её.

В первом случае геометрические объекты будут иметь как минимум две общие точки, а во втором — только одну. При рассмотрении темы особое значение имеет ненулевой вектор, располагающийся на линии, перпендикулярной этой поверхности.

Такой отрезок также можно принять за направляющий вектор прямой, поэтому его называют нормальным вектором плоскости.

Аксиомы и теоремы

Вся теория изучения признаков, построения и свойств перпендикулярных плоскостей строится на различии положений линий и точек в пространстве. Занимается этим стереометрия. В науке есть пять основных теорем и аксиом, являющихся базисными для всего курса:

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

  1. В любом пространстве находится плоскость, в которой выполняются без исключения аксиомы планиметрии.
  2. Если взять произвольные три точки, не принадлежащие одной прямой линии, то через них может быть пропущена плоскость и только одна.
  3. По отношению к любой рассматриваемой плоскости существуют точки и прямые как принадлежащие ей, так и нет.
  4. Если через две точки, лежащие в плоскости, можно провести прямую, то можно утверждать, что она также будет принадлежать этой поверхности.
  5. Если две поверхности имеют общую точку, то местом их пересечения будет общая прямая.

Из последнего утверждения следует, что две пересекающиеся поверхности называются перпендикулярными в том случае, когда третья поверхность перпендикулярная прямой пересечения и проходит через них по перпендикулярным прямым. При построении таких плоскостей образуются две полуплоскости. Их общая граница формирует четыре двухгранных угла с общим ребром.

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

Двугранный угол измеряется своим линейным параметром. Для этого на ребре можно выбрать произвольную точку и провести через неё два к нему перпендикуляра. Получится четыре линейных угла: φ, 1800 — φ, φ, 1800 — φ.

Углом между плоскостями называется наименьшим из указанных углов. Так как ∠ φ меньше либо равняется 180 градусам, то угол между поверхностями лежит в пределах от нуля до 90 градусов.

Отсюда следует, что плоскости называются взаимно перпендикулярными, когда угол между ними составляет 90 градусов.

Это означает, что если на ребре L взять точку M и провести перпендикуляр к плоскости альфа и бета, то получится линейный угол ABM. Если его измерить или посчитать и он будет равняться 900, то можно утверждать, что пересекающиеся поверхности перпендикулярны.

Если начертить эту конструкцию в пространстве, то можно увидеть, что прямая L перпендикулярна стороне b, а она, в свою очередь, грани a. Иными словами, прямая b составляет с двумя пересекающими линиями, расположенными на плоскости альфа, угол 90 градусов. А это означает, что она перпендикулярна альфе. Аналогично можно сказать и про поверхность бета.

Признак перпендикулярности

Две плоскости являются перпендикулярными друг другу, если одна из них пересекает прямую, расположенную под ∠ 90 градусов к другой грани. Для наглядности доказательства признака нужно начертить рисунок. На нём изобразить две области — альфа и бета, перпендикулярно пересекающие друг друга.

Будем считать, что прямая, принадлежащая альфа, перпендикулярна бета. За начало этой линии можно принять точку B, а место, в котором грани проникают одна в другую, отрезок С.

А также на полуплоскости бета нужно изобразить линию, берущую начало в точке D и пересекающуюся с прямой, относящейся к альфе в точке A.

Отрезок BA лежит на полуплоскости альфа, то есть она проходит через перпендикуляр другой поверхности.

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

Доказать признак — значит, построить линейный угол и показать, что он не наклонный, а равняется строго 90 градусам. Можно констатировать, что противоположные бока поверхностей пересекаются по некой прямой AC: α n β = AC. Далее, отрезок AB перпендикулярен АС. Это можно утверждать исходя из того, что AB ┴ β .

Для построения линейного угла необходимо из некой точки построить два перпендикуляра к ребру. Посмотрев на рисунок, можно увидеть, что они уже проведены. Это отрезки, лежащие на полуплоскостях AB и AD. То есть на чертеже уже имеется линейный угол BAD, разворот которого равняется 900.

Прямая AB перпендикулярна к поверхности бета, а значит, она будет иметь прямой угол с любой линией или точкой, принадлежащей β. При этом отрезок AD не является исключением.

Отсюда следует, что линейный угол будет равняться 900, а значит, плоскости обладают взаимной перпендикулярностью. Это и нужно было доказать.

Следствие из критерия

Из доказанного признака вытекает важное следствие, которое и используется при решениях задач. Оно гласит, что плоскость, перпендикулярная к прямой, через которую проходят две рассматриваемые поверхности, будет составлять с каждой из них прямой угол.

Доказательство следствия удобно выполнять с помощью рисунка. Пусть имеется грань альфа и бета, которые пересекаются по прямой L.

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

Тогда будет существовать некая поверхность гамма, перпендикулярная этой линии. Нужно доказать, что гамма составляет прямой угол как с альфой, так и с бетой.

Если прямая перпендикулярна к поверхности, это означает то, что они имеют единственную общую точку. Пусть на чертеже она будет обозначена M. По условию L с плоскостью гамма составляет прямой угол. Причём L лежит на грани альфа. Отсюда следует, что альфа будет пересекать прямую, перпендикулярную к другой плоскости. А это значит, что они взаимно перпендикулярные: α ┴ γ.

Учитывая, что линия L принадлежит также и β, верно будет сказать, что плоскость бета проходит через ось, перпендикулярную к грани гамма. Значит, угол между бетой и гаммой составляет девяносто градусов. Следствие доказано.

Правило линейного угла

Эта закономерность позволяет сформулировать правило для линейного угла.

Когда имеется фигура, состоящая из двух полуплоскостей и берущая начало из отрезка вместе с определённой областью пространства, при этом части плоскости ограничивают геометрическое тело, то она называется двугранным углом.

Если угол находится между двумя перпендикулярами к ребру этой фигуры, построенными из её боковых поверхностей и одной точки ребра, то его называют линейным.

Плоскость же такого угла будет перпендикулярна любым элементам соответствующей ему фигуре, то есть ребру и граням. Пусть имеется двугранный угол, образованный полуплоскостями альфа и бета.

Грани этого угла пересекаются по прямой L. Имеется некая третья плоскость угла, построенная из ребра. Образована она путём взятия L произвольной точки и проведения из неё двух перпендикуляров к альфа и бета.

Нужно доказать, что она будет перпендикулярна L, α и β.

Рассуждать нужно следующим образом. Плоскость гамма составляет с L угол, равняющийся девяноста градусам, так как отрезок перпендикулярен двум пересекающимся отрезкам из плоскости гамма.

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

Поверхность альфа проходит через прямую L, перпендикулярную грани гамма. Значит, альфа и гамма пересекаются под ∠ 900. Полярная боковина бета проходит через перпендикуляр L к плоскости гамма. Отсюда следует, что они располагаются относительно друг друга под ∠ 90 градусов. Это и следовало доказать.

Из всего рассмотренного можно вывести ещё одно утверждение, характеризующее геометрию перпендикулярных плоскостей. Если в одной из них проведён отрезок, расположенный под ∠ 900 к общей линии пересечения, то этот отрезок будет составлять с другой плоскостью такой же угол.

Пусть даны две поверхности с линией пересечения L. На гране бета построена прямая B, перпендикулярная к линии пересечения, то есть линия B и альфа образуют прямой угол. Доказательство строится через свойства двугранного угла. Для его видимости нужно построить дополнительно угол, перпендикулярный L.

Тогда получаем, что линия B перпендикулярна А и L. То есть она составляет прямой угол с двумя прямыми, принадлежащим альфа, а это значит, что она также перпендикулярна α, что и требовалось подтвердить.

Примеры решения задач

На уроках учащимся для закрепления результата предлагается решить несколько типовых заданий, касающихся рассматриваемой темы. В своём большинстве они несложные и позволяют на практике воспользоваться полученными знаниями. Вот некоторые из них:

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

  1. Нужно выяснить, являются ли две плоскости перпендикулярными, если они заданы в трёхмерном измерении следующими уравнениями: x — 3y — 4 = 0 и x / (2 / 3) + (y / -2) + z / (4 / 5) = 1. Согласно правилу, если два вектора принадлежат двум поверхностям и при этом перпендикулярны друг другу, то грани также будут перпендикулярными. Поэтому необходимо найти координаты векторов и проверить их на выполнение условия. Из заданного координаты отрезков будут следующими: a = (1, -3, 0); b = (3 / 2, 1 / 2, 5 / 4). Теперь нужно найти скалярное произведение: (a x b) = 3 / 2 + 3 /2 + 0 * 5 / 4 = 3. Так как полученное число больше трёх, то условие не выполняется, вектора не перпендикулярны, а значит, и поверхности тоже.
  2. В пространстве имеются четыре точки: A (-15 / 7, -7 / 8, 1); B (17 / 8, 5 / 16, 0); C (0, 0, 3 / 7); D (-1, 0, 0). Проверить перпендикулярность ABC и ABD. Для решения задачи нужно определить попарные координаты AB, AC, AD.

    После вычитания векторов получится: AB = (47/8, 19 / 16, -1), AC = (15/4, 7 / 8, -4 / 7), AD = (11 / 4, 7 / 8, -1). Следует найти нормальный вектор, образуемый векторным произведением AB на AD и AC: AB * AC = (11 / 56, — 11 /28, 11 / 16); AB * AD = (-5 / 16, 25 / 8, 15 / 8). Далее, нужно искать скалярное произведение.

    После выполнения действия получится ноль. Это указывает на то, что градусный угол между поверхностями будет 900.

  • Таким образом признаки и следствия перпендикулярности позволяют довольно быстро и точно определять расположение плоскостей в пространстве.

Источник: https://nauka.club/matematika/geometriya/perpendikulyarnost-ploskostey.html

Признак перпендикулярности двух плоскостей. Видеоурок. Геометрия 10 Класс

Данный урок поможет желающим получить представление о теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей». В начале него мы повторим определение двугранного и линейного угла. Затем рассмотрим, какие плоскости называются перпендикулярными, и докажем признак перпендикулярности двух плоскостей.

Читайте также:  Учет денежных средств - в помощь студенту

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Признак перпендикулярности двух плоскостей

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, не принадлежащими одной плоскости, и их общей прямой а (а – ребро).

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

Рис. 1

Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 1). Их общая граница – l. Указанная фигура называется двугранным углом. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром.

Двугранный угол измеряется своим линейным углом. На общем ребре l двугранного угла выберем произвольную точку. В полуплоскостях α и β из этой точки проведем перпендикуляры a и b к прямой l и получим линейный угол двугранного угла.

Прямые a и b образуют четыре угла, равных φ, 180° — φ, φ, 180° — φ. Напомним, углом между прямыми называется наименьший из этих углов.

Определение. Углом между плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями. φ – угол между плоскостями α и β, если

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°.

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

Рис. 2

На ребре l выбрана произвольная точка М (рис. 2). Проведем две перпендикулярные прямые МА = а и МВ = b к ребру l в плоскости α и в плоскости β соответственно. Получили угол АМВ. Угол АМВ – это линейный угол двугранного угла. Если угол АМВ равен 90°, то плоскости α и β называются перпендикулярными.

Анализ

Прямая b перпендикулярна прямой l по построению. Прямая b перпендикулярна прямой а, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и l из плоскости α. Значит, прямая b перпендикулярна плоскости α.

Аналогично можно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости β. Прямая а перпендикулярна прямой l по построению. Прямая а перпендикулярна прямой b, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и l из плоскости β. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости β.

  • Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
  • Дано:
  • Доказать:

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

Рис. 3

Доказательство:

Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой АС (рис. 3). Чтобы доказать, что плоскости взаимно перпендикулярны, нужно построить линейный угол между ними и показать, что этот угол равен 90°.

Прямая АВ перпендикулярна по условию плоскости β, а значит, и прямой АС, лежащей в плоскости β.

Проведем прямую АD перпендикулярно прямой АС в плоскости β. Тогда ВАD –линейный угол двугранного угла.

Прямая АВ перпендикулярна плоскости β, а значит, и прямой АD, лежащей в плоскости β. Значит, линейный угол ВАD равен 90°. Значит, плоскости α и β перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей (рис. 4).

  1. Дано:
  2. Доказать:

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

Рис. 4

Доказательство:

Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость α проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости α и γ перпендикулярны.

Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость β проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости β и γ перпендикулярны.

  • Следствие доказано.
  • Плоскость линейного угла перпендикулярна всем элементам соответствующего двугранного угла: ребру и граням.
  • Дано:
  • ,
  • ,
  • .
  • Доказать:
  • ,
  • .

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

Рис. 5

Доказательство:

Мы имеем двугранный угол, образованный полуплоскостями α и β, которые пересекаются по прямой l (l – ребро двугранного угла) (рис. 5).

На ребре l взята точка М, к ребру l проведены два перпендикуляра МА и МВ в плоскостях α и β соответственно. Пусть пересекающиеся прямые МА и МВ образуют плоскость γ. Это и есть плоскость линейного угла.

Прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым АМ и МВ из плоскости γ по построению. Значит, прямая l перпендикулярна плоскости γ.

  1. Плоскость α проходит через прямую l, которая перпендикулярна γ, значит, .
  2. Аналогично, плоскость β проходит через прямую l, которая перпендикулярна γ, значит, .
  3. Итак, доказано, что плоскость линейного угла перпендикулярна всем его элементам: и ребру, и граням.
  4. Если в одной из перпендикулярных плоскостей проведена прямая перпендикулярно к их линии пересечения, то эта прямая перпендикулярна и к другой плоскости.

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

.

Доказать:

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

Рис. 6

Доказательство:

Пусть в плоскости β проведена прямая b = MB, которая перпендикулярна к линии пересечения плоскостей – l. (рис. 6)

Проведем прямую МА = а перпендикулярно прямой l. Тогда из точки М проведены два перпендикуляра к ребру l в плоскостях α и β. Получаем ∠АМВ – линейный угол двугранного угла. Так как плоскости α и β перпендикулярны, то ∠АМВ = 90°. Значит, прямые а и b перпендикулярны.

Тогда прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и l из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая b перпендикулярна плоскости α, что и требовалось доказать.

Определение. Прямая а называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой из плоскости.

Признак. Если прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к самой плоскости, а значит, к любой прямой, лежащей в этой плоскости (рис. 7).

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

  • Рис. 7
  • Здесь мы рассмотрели перпендикулярность двух плоскостей, доказали признак перпендикулярности плоскостей.
  • На следующем уроке мы начнем изучение прямоугольного параллелепипеда.
  • Список литературы
  1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
  3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Домашнее задание

  1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Задания 1, 3, 4 стр. 70.
  3. Докажите, что плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой.
  4. Макет прямоугольника ABCD со сторонами а и b прогнут по диагонали BD так, что плоскости BAD и BCD взаимно перпендикулярны. Найдите AC.
  5. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны,  Плоскости α и β пересекаются по прямой а. Расстояние от точки М до прямой а – 14 см, а от точки N до прямой а – 7 см. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных с точек M и N на прямую а, если MN = 21 см.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. ЕГЭ (Источник).
  2. Школьный страницы (Источник).
  3. Я Класс (Источник).

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/priznak-perpendikulyarnosti-dvuh-ploskostey

Перпендикулярность прямых и плоскостей

  • Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними составляет .
  • При этом прямые могут пересекаться,
  • Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту
  • а могут быть скрещивающимися:Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая  называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

1). Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

2). Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости.

3). Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой

Перпендикулярность плоскостей

Пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

Признак перпендикулярности плоскостей

Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

Свойство перпендикулярных плоскостей

Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.

 Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

Источник: https://egemaximum.ru/perpendikulyarnost-pryamyx-i-ploskostej/

Методикам перпендикулярность плоскостей

Методика работы над теоремой: «Признак перпендикулярности плоскостей»

1. Мотивация.

  • -Сформулируйте определение, какие плоскости называются перпендикулярными?
  • -две пересекающие плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов.
  • -А когда 2 плоскости перпендикулярные?
  • -когда они пересекаются и при пересечении образуется 4 двугранных угла и каждый двугранный угол равен 90 градусов.

-Как вы считаете, будет ли плоскость потолка перпендикулярна плоскости стены? Будет ли плоскость стены перпендикулярна плоскости пола? (не знают, но предположат, что да)

-Будет ли основание куба перпендикулярно какой-либо грани? Будет ли грань перпендикулярна основанию куба?

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

-наверное, да.

-Можете ли вы быть уверены в том, что, потолок перпендикулярен стене? Что грань куба пересекает основание под прямым углом? И т.д.

-нет.

-Значит, нам нужно каким-то образом выяснить это, узнать новую теорему или признак, по которому мы сможем точно ответить на данные вопросы. А еще это нам понадобится при решении задач, где надо установить перпендикулярность плоскостей.

2. Раскрытие содержания теоремы.

Давайте рассмотрим 3 примера.

  1. Возьмем книгу и развернем ее так, чтобы получились 2 пересекающиеся плоскости под углом больше 90 градусов и поставим ручку так, чтобы она была перпендикулярна, например, нижней плоскости.

  1. — Проходит ли верхняя плоскость книги через ручку?
  2. -нет.
  3. -Как при этом были расположены плоскости?
  4. -под углом больше 90 градусов.

2) смоделируем 2 ситуацию. Возьмем книгу и развернем так, чтобы получились 2 пересекающиеся плоскости под углом меньше 90 градусов и поставим опять ручку перпендикулярно нижней плоскости.

  • -Проходит ли верхняя плоскость книги через ручку, принадлежит ли ручка верхней плоскости?
  • -нет, ручка как бы проткнет верхнюю плоскость или, как мы говорим, пересечет ее.
  • -Как при этом расположены плоскости?
  • -под углом меньше 90 градусов.

3) смоделируем последнюю ситуацию. Возьмем книгу и развернем ее так, чтобы получились 2 пересекающиеся плоскости под углом равным 90 градусов и ручку поставим также перпендикулярно нижней плоскости.

  1. -Проходит ли верхняя плоскость через ручку, принадлежит ли ручка в данном случае верхней плоскости?
  2. -да.
  3. — Как при этом расположены плоскости?

-перпендикулярно, т.е. под углом равным 90 градусов.

-Выдвинете свою гипотезу, когда же плоскости будут перпендикулярными?

если одна из 2 плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

3. Мотивация необходимости доказательства теоремы.

— Ребята, мы с вами предположили, что, если 2 пересекающиеся прямые, лежащая в плоскости параллельна двум пересекающимся прямым, другой плоскости, то они параллельны только на основе опыта. А вдруг мы не рассмотрели случай, когда параллельности плоскостей не будет? Чтобы убрать все сомнения докажем нашу гипотезу.

4. Формулировка теоремы, работа над ее структурой.

Гипотеза, которую вы выдвинули, является признаком перпендикулярности плоскостей. Сформулируем его: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

  • — Выделите условие и заключение теоремы.
  • — условие: одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости.
  • — заключение: такие плоскости перпендикулярны.

5. Поиск доказательства теоремы.

-Как вы считаете, с чего нужно начать доказательство? (с чертежа, записи того, что дано и что нужно доказать)

— Что дано в теореме? (2 плоскости, причем одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости.)

— Что нужно доказать? (что плоскости перпендикулярны).

-Рассмотрим плоскости альфа и бетта, такие, что плоскость альфа проходит через прямую АВ, перпендикулярную к плоскости бетта. Точка А – точка пересечения прямой АВ и плоскости бетта.

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

— Обратимся к чертежу, как расположены эти плоскости относительно друг друга?

— они пересекаются по некоторой прямой А*.

-Верно, обозначим эту прямую АС. Значит плоскости альфа и бетта пересекаются по прямой АС.

  1. — Значит, какой вывод мы можем сделать о прямой АС?
  2. — прямая АС одновременно принадлежит и прямой альфа и прямой бетта.
  3. -Как расположена прямая АВ по отношению к плоскости бетта?
  4. — прямая АВ перпендикулярна этой плоскости, это следует из дано.
  5. — А если какая-то прямая перпендикулярна какой-то плоскости, то что из этого следует?

-что прямая, перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости. В нашем случае, если прямая АС лежит в плоскости бетта, то прямая АВ перпендикулярна прямой АС.

— Нам нужно доказать, что плоскости альфа и бетта перпендикулярны. Т.е. что это значит?

  • -из определения, это значит, что угол между плоскостями должен быть равен 90 градусов.
  • -А как найти угол между плоскостями?
  • — нужно определить градусную меру двугранного угла (фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости).

— Как вы заметили при пересечении плоскостей образовалось 4 двугранных угла. А как найти градусную меру двугранного угла?

-нужно определить градусную меру линейного угла, так как градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

-Т.е. нам нужно на чертеже получить линейный угол, который будет равен 90 градусов. Давайте проведем дополнительное построение и построим прямую АД перпендикулярную прямой АС.

  1. -Что вы можете сказать об угле ВАД?
  2. -это линейный угол двугранного угла, образованного пересечением двух плоскостей и будет равен 90 градусов.
  3. — Почему угол ВАД = 90 градусов?
  4. — АД перпендикулярно АС, а АВ перпендикулярна плоскости бетта, или как мы сказали АВ также перпендикулярна АС, а из этого следует, что АД перпендикулярна АВ.

-Верно. А что из этого следует?

-плоскости альфа и бетта перпендикулярны.

6. Оформление доказательства теоремы.

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

7. Усвоение формулировки теоремы.

  • 1. Сформулируйте еще раз признак, по которому можно сделать вывод о перпендикулярности плоскостей:
  • Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
  • 2. Переформулируйте признак, но чтобы смысл не менялся:
  • Если даны две плоскости, и одна из них проходит через прямую, перпендикулярную ко второй плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

8. Усвоение доказательства теоремы.

  1. Как мы доказывали данный признак?
  2. На какие понятия опирались?
  3. Использовали ли дополнительные построения?
  4. Докажите данный признак, если даны плоскости бетта и гамма, причем прямая МN, принадлежащая плоскости бетта, перпендикулярна плоскости гамма, а МN пересекает плоскость гамма в точке N.

9. Решение задач по применению теоремы.

Первичное осмысление и закрепление новых знаний.

  1. В классной комнате, используя признак перпендикулярности плоскостей, укажите перпендикулярные плоскости.

  2. Работа в парах. Использую признак перпендикулярности плоскостей, укажите перпендикулярные плоскости на модели куба.

  3. Укажите плоскости, которым перпендикулярна плоскость АВСД? Перпендикулярна ли плоскость АА1В1В плоскости ДД1С1С?

Читайте также:  Великие географические открытия - в помощь студенту

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

1 решение:

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

( п.23 и есть «Признак перпендикулярности плоскостей»)

2 решение:

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

10. Контроль и оценка усвоения теоремы.

  • Ответить да/нет:
  • Знаете ли вы формулировку теоремы?
  • Умеете ли выделять условие и заключение теоремы?
  • Умеете строить чертеж?
  • Можете доказывать теорему?
  • Можете пользоваться этим признаком при решении задач.

Источник: https://videouroki.net/razrabotki/mietodikam-pierpiendikuliarnost-ploskostiei.html

Решение задач перпендикулярность плоскостей

Урок № 43 (18.12.2019) Геометрия, 10 класс

Тема урока: Решение задач по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

Цели:

  1. закрепить вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;

  2. вырабатывать навыки применения теоретических знаний к решению типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Тип урока: комбинированный

Ход урока

I.Организационный момент.

II. Сообщение темы и целей урока.

III. Актуализация опорных знаний и умений.

  • Теоретический опрос
  • 1. Закончить предложение:
  • а) две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если… (угол между ними равен 90°) б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если… (она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости) в) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они… (параллельны) г) если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она… (перпендикулярна и к другой прямой) д) если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они… (параллельны)
  • 2. Дан параллелепипед

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

а) Назовите: 1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (DCC1) (ответ: AD; A1D1; B1C1; BC)  2) плоскости, перпендикулярные ребру BB(ответ: (АВС); (A1B1C1))

б) Определите взаимное расположение: 1) прямой CC1 и плоскости (DСВ(ответ: они перпендикулярны) 2) прямой D1C1 и плоскости (DCB(ответ: они параллельны)

VI. Решение задач.

1. Решение задач по готовым чертежам (Устно)

1

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

Дано: ∆ ABC — прямоугольный; AMAC; M (ABC) ДоказатьAC (AMB) Доказательство: Т.к. AC ⊥ AB и AC ⊥ AM, а AM ⋂ AB, т.е. АМ и АВ лежат в плоскости (АМВ), то AC ⊥ (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Ч.т.д.

2

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

ДаноВМDC — прямоугольник, M (ABC), MBABдоказатьCD (ABC) ДоказательствоMB ⊥ BC, т.к. ВМDC – прямоугольник, MB ⊥ AB по условию, BC ⋂ AB, т.е.

 ВС и АВлежат в плоскости (АВС) ⇒ MB ⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. СD ∥ МВпо свойству сторон прямоугольника ⇒ CD ⊥ (ABC) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).

Ч.т.д.

3

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

ДаноАВСD – прямоугольник, M (ABC), MBBCДоказатьADAMДоказательство: 1) ∠ABC = 90°, т.к.

 АВСD – прямоугольник ⇒ BC ⊥ ABBS ⊥ MB по условию, MB ⋂ AB = B, т.е. МВ иАВ лежат в плоскости (АМВ) ⇒ BC ⊥ (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

2) BC ∥ AD (по свойству сторон прямоугольника) ⇒ AD ⊥ (AMB) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости). 3) Т.к.

 AD ⊥ (AMB) ⇒ AD ⊥ AM по определению прямой, перпендикулярной плоскости. Ч.т.д.

4

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

ДаноАВСD – параллелограмм, M (ABC), МВ = МDМА = МСДоказать: MO ⊥ (ABC) Доказательство: 1) Т.к. О – точка пересечения диагоналей параллелограмма, то АО = СО и ВО = DO. ∆ BMD — равнобедренный, т. к.

 ВМ = МD по условию, значит МО — медиана и высота, т.е. MO ⊥ BD. 2) Аналогично доказывается в ∆ AMCMO ⊥ AC. 3) Итак, MO ⊥ BD и MO ⊥ AC. а ВD и АС – пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости (АВС) ⇒ MO⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Ч.т.д.

(Устные ответы к каждой задаче требуется обосновывать, проговаривая всякий раз формулировки применяемых теорем)

2. Решение письменных задач №1.2 

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

Через точки P и Q прямой РQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её соответственно в точках P1 и Q1. Найдите P1Q1, если PQ = 15 cм; PP1 = 21,5 cм; QQ1 = 33,5 cм. Решение:

1) PP1 ⊥ α и QQ1 ⊥ α по условию ⇒ PP1 ∥ QQ1 (обосновать); 2) PP1 и QQ1 определяют некоторую плоскость β, α ⋂ β = P1Q1; 3) PP1Q1Q — трапеция с основаниями PP1 и QQ1, проведём PK ∥ P1Q1; 4) QK = 33,5 — 21,5 = 12 (см)

P1Q1 = PK = = 9 см.

Ответ: P1Q1 = 9 см.

2.2

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1DАВ = 9 см; ВС = 8 см; ВD = 17 см. Найдите площадь BDD1B1. Решение:

1) ∆ ABD: ∠BAD = 90°; АD = BC = 8 см;

ВD = см;

2) ∆ DD1B: ∠D1DB = 90°;

DD1 = = 12 см;
3) SBB1D1D = BD ∙ DD1 = см2.
Ответ: см2.

3.2

Отрезок МН пересекает плоскость α в точке К. Из концов отрезка проведены прямые МЕ и НР, перпендикулярные к плоскости α. НР = 4 см; МЕ = 12 см; НК = 5 см. Найдите отрезок РЕ. Решение:

1) Т.к. прямые МЕ и НР перпендикулярны к плоскости α, то МЕ ∥ НР (обосновать) и через них проходит некоторая плоскость β. α ⋂ β = EP; 2)МЕ ⊥ EP; НР ⊥ EP(обосновать), т.е. ∠MEK = ∠HPK = 90°;

3) ∆ HPKKP = = 3 см;

4) ∠EMK = ∠PHK (накрест лежащие для параллельных прямых МЕ и НР и секущей МН),

тогда ∆ MEK ∆ HPK по двум углам и ; т.е. ⇒ EK = = 9 см,
  1. РЕ = РК + КЕРЕ = 3 + 9 = 12 см.
  2. Ответ: РЕ = 12 см.
  3. 3. Самостоятельная работа (направлена на проверку усвоения материала по данной теме)
Вариант I Вариант II
Через вершины А и В прямоугольника АВСD проведены параллельные прямые AA1 и BB1, не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что AA1 ⊥ ABAA1 ⊥ AD. Найдите B1B, если B1D = 25 см, AB = 12 см, AD = 16 см. Через вершины А и В ромба АВСD проведены параллельные прямые AA1 и BB1, не лежащие в плоскости ромба. Известно, что BB1 ⊥ BC,BB1 ⊥ AB. Найдите A1A, если A1C = 13 см, BD = 16 см, AB = 10 см.
Решение: 1) AA1 ⊥ ABAA1 ⊥ AD, а AB ⋂ AD = A ⇒ AA1 ⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. AA1 ∥ BB1, то BB1 ⊥ (ABC) ⇒ BB1 ⊥BD; 2) ∆ ABD: ∠BAD = 90°. По теореме Пифагора:

BD = = 20 см;

3) ∆ B1BD – прямоугольный. По теореме Пифагора:

B1B = = 15 см.

Ответ: 15 см.

Решение:

1) BB1 ⊥ ABBB1 ⊥ BC, а AB ⋂ BC = B ⇒ BB1 ⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. BB1 ∥ AA1, то AA1 ⊥ (ABC) ⇒AA1 ⊥ AC; 2) Используя свойство диагоналей ромба, имеем в ∆ AOB: ∠AOB = 90°, BO = ½ BD = 8 см. По теореме Пифагора:

AO = = 6 см,

AO = ½ AC ⇒ AC = 12 см; 3) ∆ A1AC – прямоугольный. По теореме Пифагора:

AA1 = = 5 см.

Ответ: 5 см.

V. Подводятся итоги урока. Задание на дом: повторить теоретический материал по изученной теме, глава II, № 216 (подг.к к.р.)

  • Индивидуальное задание для более сильных учеников. (Вариант III)
  • Дано: ∆ ABCAB = AC = BCCD ⊥ (ABC); AM = MBDM = 15 дм; CD = 12 дм. Найти: S∆ ADB Решение:

1) Т.к. CD ⊥ (FDC) ⇒ CD ⊥ AC и CD ⊥ BC, т.е. ∆ ADC, ∆ BDC – прямоугольные; 2) ∆ ADC = ∆ BDC (по двум катетам) ⇒ AD = BD, т.е. ∆ ADB – равнобедренный и DM – медиана, а значит и высота; 3) DC ⊥ MC ⇒ MCD – прямоугольный,

тогда MC = = 9;

4) ∆ ABC – равносторонний, поэтому СМ – медиана и высота, т.е. ∆ MCB – прямоугольный, ∠B = 60°,

sin ∠B = , тогда ,

а АВ = ВС (по условию). 5) S∆ ADB = ½ DM ∙ AB;

S∆ ADB = ½ ∙ 15 ∙ .
Ответ:

Источник: https://multiurok.ru/index.php/files/reshenie-zadach-perpendikuliarnost-ploskostei.html

Методика изучения перпендикулярности на плоскости и в пространстве

Математическая карта изучения темы

«Перпендикулярность в планиметрии»

(по учебнику: Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия 7-9)

Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

«Перпендикулярность на плоскости»

(Учебник Атанасяна Л.С.)

  • Глава I. Начальные геометрические сведения
  • §6. Перпендикулярные прямые
  • Вопросы:
  • Смежные и вертикальные углы
  • Перпендикулярные прямые
  • Построение прямых углов на местности

«Перпендикулярность в пространстве»

(Учебник Атанасяна Л.С.)

  1. Глава II. Перпендикулярность прямых и плоскостей
  2. §1. Перпендикулярность прямой и плоскости
  3. Вопросы:
  • Перпендикулярные прямые в пространстве
  • Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости
  • Признак перпендикулярности прямой и плоскости
  • Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

§2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.

Вопросы:

  • Расстояние от точки до плоскости
  • Теорема о трех перпендикулярах
  • Угол между прямой и плоскостью

§3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей

Вопросы:

  • Двугранный угол
  • Признак перпендикулярности двух плоскостей
  • Прямоугольный параллелепипед
  • Основные вопросы каждого раздела из разделов тем «Перпендикулярность на плоскости» и «Перпендикулярность в пространстве» сводятся к определениям соответствующих перпендикулярных фигур, признакам перпендикулярности, а так же к  возможности построения перпендикулярных  прямых или плоскостей.
  • Схема применения теорем-признаков к доказательству параллельности или перпендикулярности фигур.
  • Рассмотреть на примере конкретного признака.
  • Способы доказательства перпендикулярности прямых в пространстве:
  • 1)    Перпендикулярность прямых следует из определения перпендикулярности прямой и плоскости;
  • 2)    Перпендикулярность прямой и плоскости предварительно доказывается с использованием соответствующего признака;
  • 3)    Перпендикулярность прямых доказывается с использованием теоремы о трех перпендикулярах;
  • 4)    Перпендикулярность прямых следует из перпендикулярности соответствующих плоскостей.
  • Для доказательства перпендикулярности прямых  и  с помощью теоремы о трех перпендикулярах можно использовать следующий трафарет:
  • Перпендикулярность плоскостей - в помощь студенту

Источник: https://neudov.net/4students/otvety-po-tmom/metodika-izucheniya-perpendikulyarnosti-na-ploskosti-i-v-prostranstve/

Методическая разработка практического занятия по теме "Решение задач на перпендикулярность прямых и плоскостей" план-конспект занятия на тему

  • Рыжкина Галина Анатольевна
  • ГБОУ СПО Тольяттинский социально-экономический колледж
  • преподаватель математики

Конспект практического занятия по дисциплине   ОДП.10. Математика

для студентов I курса специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет

  1. Тема занятия «Решение задач на перпендикулярность прямых  и плоскостей»
  2. Вид занятия: комбинированное, 2 часа
  3. Цели  занятия: 
  1. Образовательные – систематизировать, закрепить вопросы теории и отработать,
  •       расширить навыки решения основных типов задач по теме «Перпендикулярность
  •       прямых и плоскостей», создать  условия  контроля  усвоения  знаний  и  умений.
  • 2.    Развивающие – развивать пространственное воображение, способствовать  формированию
  •       умений  применять  приемы сравнения,  обобщения,  выявления  главного,  переноса
  •       знаний  в  новую  ситуацию,  развитию  математического  кругозора,  мышления  и  речи;
  •       побуждать к самоконтролю и взаимоконтролю.
  • 3.    Воспитательные – поддерживать интерес к предмету, воспитывать познавательную
  •        активность, способствовать формированию коммуникативной компетентности.  
  •       Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично – поисковый.    
  • Формы организации учебной деятельности: индивидуальная,  фронтальная, самопроверка,
  • взаимопроверка,  групповая.
  •         Результат обучения: После успешного завершения занятия студент должен:
  •      – знать основные определения и теоремы по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»,
  •         иметь представление о необходимости доказательств при обосновании этапов решения задачи      
  •      – уметь выполнять чертежи по условию стереометрической задачи, понимать
  •         стереометрические чертежи, находить на чертежах перпендикуляр, наклонную, проекцию,
  •         линейный угол двугранного угла, вычислять расстояния между прямой и плоскостью;
  •         применять ранее изученный теоретический материал для решения задач. обосновывать с
  •         разумной степенью полноты решения задач и письменно оформлять их, уметь находить
  •         нестандартные способы решения
  •           Оборудование: компьютер, медиапроектор, экран
  •       Наглядный материал: раздаточный материал для решения задач, презентация к уроку,
  •       индивидуальные оценочные листы.
  1.  Организационный момент — проверить готовности группы к занятию. Сообщить тему и

      поставить цели.

Вступительное слово преподавателя: Сегодня на практическом занятии мы обобщим полученные знания по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Закрепим теоретический материал при выполнении теста. Отработаем навыки решения основных типов задач по  теме при выполнении практических заданий.

 На следующем занятии контрольная работа по теме «Прямые и плоскости в пространстве», в которую включены задания, как на параллельность прямых и плоскостей, так и на перпендикулярность прямых и плоскостей.

На контрольной работе вы должны продемонстрировать умение выполнять чертежи по условию стереометрической задачи, находить на чертежах заданные элементы,  применять изученный теоретический материал для решения задач, письменно обосновывать решение, уметь  находить  нестандартные способы решения.

Поэтому, сегодня на занятии, активно работаем и при необходимости задаём вопросы преподавателю с тем, чтобы выяснить все ранее непонятые моменты. Перед вами индивидуальные оценочные листы, на которых вы должны указать свою фамилию.

В течение занятия вы будете вносить  в них оценки за каждый этап работы, по которым в конце занятия выведем итоговую оценку. Сегодня на занятии вы имеете возможность определить уровень своих знаний по данной теме, увидеть свои пробелы и определить на какие вопросы вам необходимо дома обратить внимание при подготовке к контрольной работе.

Повторение теоретического материала по теме.

   Первая часть домашнего задания студентов состояла в повторении теоретического материала по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей» с использованием вопросов для самопроверки (приложение 1).

Студенты выполняют теоретический тест, сидя по одному за партой. По окончании работы меняются листами с сидящим за следующей партой студентом и осуществляют взаимопроверку, выставляя оценку в оценочные листы по предложенным критериям: 9-10 правильных ответа – оценка 3; 11-12 правильных ответа – оценка 4; 13 правильных ответа – оценка 5.

  1. Теоретический тест (слайды 2-5)
  2. 1.Закончите предложение:

Источник: https://nsportal.ru/npo-spo/estestvennye-nauki/library/2015/01/07/metodicheskaya-razrabotka-prakticheskogo-zanyatiya-po

Ссылка на основную публикацию