Осевая и центральная симметрия — в помощь студенту

Симметрия – слово греческого происхождения. Оно означает соразмерность, наличие
определённого порядка, закономерности в расположении частей.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Люди с давних времён
использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, в архитектуре,
художестве, строительстве.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту
Симметрия широко распространена и в природе, где
не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и
цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических
тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, морской звезде.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Симметрия
в геометрии – свойство геометрических фигур.

Рассмотрим две симметрии на плоскости относительно точки и прямой.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Христианство и античная философия в 2-ом веке н. э. - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Две
точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной плоскости (или прямой) по
разные стороны и на одинаковом расстоянии от неё, называются симметричными
относительно этой плоскости (или прямой). Фигура (плоская или пространственная)
симметрична относительно прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости
симметрии), если её точки попарно обладают указанным свойством.

  • Осевая симметрия – это симметрия относительно проведённой
    прямой
    (оси).
  • Две точки  А 
    и 
    В 
    симметричны относительно прямой 
    а (оси симметрии), если эта прямая проходит через середину отрезка
    АВ  и перпендикулярна
    к нему
    .
  • Каждая точка прямой  а  симметрична самой себе.
  • ПРИМЕР:
  • АО
    = ОВ, АВ

    а.

Точка  А 
симметрична сама себе
.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Фигура симметрична относительно прямой – если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно прямой также принадлежит этой фигуре.

  1. Прямая – ось симметрии фигуры, а
    фигура обладает осевой симметрией.
  2. Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.
  3. Иногда у фигур несколько осей симметрии.
  4. Фигуры, обладающие осевой симметрией.
  5. ПРИМЕР:

Неразвёрнутый угол имеет одну ось симметрии –
прямую, на которой расположена биссектриса угла.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Равнобедренный
треугольник имеет одну ось симметрии.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Равносторонний
треугольник имеет три оси симметрии.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Квадрат имеет четыре оси
симметрии.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Прямоугольник имеет две
оси симметрии

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Ромб имеет две оси
симметрии

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Окружность имеет
бесконечно много осей симметрии – любая прямая, проходящая через центр,
является осью симметрии.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Примером фигур, у которых нет ни одной оси симметрии, являются
параллелограмм и треугольник, все стороны которого различны.

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.

ПРИМЕР:

Построим треугольник  А1В1С1, симметричный треугольнику  АВС 
относительно красной прямой линии
(ось симметрии).

Для этого проведём из вершины
треугольника 
АВС  прямые,
перпендикулярные оси симметрии, и продолжим их дальше на другой стороне оси.

  • Измерим расстояние от вершин треугольника
    до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же
    расстояния.
  • Соединим получившиеся точки отрезками и
    получим треугольник 
    А1В1С1, симметричный данному треугольнику  АВС.
  • ЗАДАЧА:

Дан отрезок  АВ.
Построить его симметрию относительно прямой 
l,
не пересекающий данный отрезок.

РЕШЕНИЕ:

Изобразим схематически условие задачи.

Так как осевая симметрия
является движением, то отрезок  АВ 
отобразится на равный ему отрезок 
А'В'.

Для его построения сделаем
следующее
: проведём через точки  А  и  В  прямые  m  и  n  перпендикулярно
прямой 
l.
Пусть 

  1. ml = Х, nl = Y.
  2. Далее проведём отрезки 
  3. А'Х
    = АХ  и 
    В'
    Y = ВY.
  4. ЗАДАЧА:
  5. Построить симметричный
    треугольник для данного треугольника относительно какой-либо его стороны.
  6. РЕШЕНИЕ:

Пусть нам дан треугольник  АВС. Будем строить его
симметрию относительно стороны  ВС.

Сторона  ВС  при осевой симметрии перейдёт в саму себя (следует из
определения
). Точка  А  перейдёт в точку  А1  следующим образом:

  • АА1⊥ ВС, АН = НА1.
  • Треугольник  АВС  перейдёт в треугольник  А1ВС.
  • ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
  • Симметрию относительно точки называют центральной
    симметрией.

Две точки  А  и  В 
симметричны относительно точки  О, если  О – середина отрезка  АВ. Точка  О  называется центром симметрии.

Точка  О  симметрична самой
себе.

Фигура
симметрична относительно точки (центр симметрии), если её точки попарно лежат
на прямых, проходящих через центр симметрии, по разные стороны и на равных
расстояниях от него.

Фигура симметрична относительно точки, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно данной точки также принадлежит этой фигуре. Данная точка – центр симметрии фигуры, а фигура обладает центральной симметрией.

  1. Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.
  2. Фигуры, обладающие центром симметрии.
  3. ПРИМЕР:
  4. Окружность, центр окружности
    является её центром симметрии.
  5. Параллелограмм, его центром
    симметрии является точка пересечения диагоналей.
  6. Прямая имеет бесконечно много
    центров симметрии, так как любая точка прямой является её центром симметрии.
  7. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.
  8. Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.
  9. ПРИМЕР:

Построим треугольник  А1В1С1, симметричный треугольнику  АВС 
относительно центра
(точки)О.

Для этого соединим точки  А,В,С  с центром  О  и продолжим эти отрезки.

  • Измерим отрезки  АО,
    ВО, СО
      и отложим с
    другой стороны от точки  О  равные им отрезки 
  • АО
    = ОА
    1, ВО = ОВ1, СО = ОС1.
  • Соединим получившиеся точки
    отрезками и получим треугольник  
  • А1В1С1, симметричный данному треугольнику  АВС.
  • ЗАДАЧА:

Дан отрезок  АВ.
Построить его симметрию относительно точки 
С, лежащей на прямой 
l.

РЕШЕНИЕ:

Изобразим схематически условие задачи.

Так как центральная симметрия
является движением, то отрезок  АВ 
отобразится на равный ему отрезок 
А''В''.

Для его построения сделаем
следующее
: проведём прямые  АС  и  ВС. Далее проведём отрезки
А''С = АС  и  В''С = ВС.

  1. ЗАДАЧА:
  2. Построить симметричный
    треугольник для данного треугольника относительно какой-либо его вершины.
  3. РЕШЕНИЕ:

Пусть нам дан треугольник  АВС. Будем строить его
симметрию относительно вершины  А.

Вершина  А  при центральной симметрии перейдёт в саму
себя
(следует
из определения
). Точка  В  перейдёт
в точку  В
1  следующим образом  ВА = АВ1, а точка  С  перейдёт
в точку  С
1  следующим образом  СА = АС1. Треугольник 
АВС  перейдёт
в треугольник  АВ
1С1.

Некоторые повороты и осевые симметрии на координатной плоскости.

Пусть на плоскости дана прямоугольная система координат  хОу. Ознакомимся с координатной записью некоторых
перемещений.

1) При осевой симметрии
относительно оси  Оу  точка  Р(х, у) отображается на
точку  Р'

с координатами:

х' =
–х,

у' =
у.

2)При осевой симметрии относительно оси  Ох  точка  Р(х, у) отображается на
точку  Р'

с координатами:

х' =
х,

у' =
–у.

3) При повороте на  90°  вокруг начала координат ось  Ох 
переходит в ось  Оу  так, что положительное направление переходит
в положительное, а ось  Оу  отображается на ось  Ох  так, что
положительное направление переходит в отрицательное. Поэтому  Р(х, у)  отображается на
точку  Р'

с координатами:

  • х' =
    –у,

  • у' =
    х.
  • 4) При центральной симметрии

Источник: https://krasavtsev.blogspot.com/2019/08/geometria32.html

Центральная симметрия — понятие, свойства и примеры фигур

Осевая и центральная симметрия - в помощь студентуОсевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Центральная симметрия – самая интересная и познавательная тема в геометрии, которую изучают в начальных классах школы и более тщательно — в 8 — 11 классах. Знания по этой теме обязательно пригодятся ученику в жизни.

Что такое центральная симметрия

Начнём с определения: центральная симметрия — одно из свойств определённой геометрической фигуры, при котором точке В соответствует некая точка В1, находящая в таком же пространственном положении относительно точки С. Точка С лежит на середине отрезка ВВ1. Точка С называется центром симметрии. Это определение соответствует курсу планиметрии.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Центральную симметрию можно построить и в пространстве. В пространстве центральной симметрией называется словно зеркальное отображение какой-либо геометрической фигуры. Она представляет собой две одинаковые фигуры, соответственные точки которых попарно симметричны относительно точки пространства О.

Свойства центральной симметрии

Основные свойства следующие:

1. Центральную симметрию называют движением, при котором соответствующие точки также остаются симметричными, то есть расстояние между ними остаётся прежним.

Посмотрим на рисунок. Треугольники АВС и А1В1С1 симметричны в пространстве относительно точки О. При каком либо преобразовании пространства сохраняются условия: АО=А1О, ВО=В1О, СО=С1О. Значит, картинка остаётся той же.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

  • Однако если представить геометрическую фигуру в виде векторов, то при преобразовании пространства эти векторы поменяют свои направления;
  • 2. Центральная симметрия имеет только одну центральную точку, которая является неподвижной при преобразовании пространства;
  • 3. Если прямая проходит через центр симметрии, то она соответствует самой себе, то есть симметрична;

4. Центральная симметрия переводит прямую, не проходящую через центр симметрии, в параллельную ей прямую.

Доказывается это свойство достаточно просто. Для этого нужно построить две параллельные прямые АВ и А1В1 относительно точки О.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Далее соединяем симметричные точки и получаем отрезки АА1 и ВВ1. Далее легко заметить, что отрезки АО и А1О будут равны. Соответственно равны и отрезки ВО и В1О. Углы, которые образуются при пересечении двумя прямыми точки О также равны. 

Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, равны углы А,А1 и В,В1. Значит они являются накрест лежащими при секущих АА1 и ВВ1. Задача решена, АВ и А1В1 параллельны;

5. При центральной симметрии отрезки симметричны отрезкам, лучи симметричны лучам, прямые симметричны прямым.

Примеры фигур, обладающих центральной симметрией

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Фигур, как имеющих углы, так и без углов, но при этом обладающих центральной симметрией не так уж мало:

  • параллелограмм;
  • окружность;
  • ромб и квадрат;
  • различные правильные многоугольники.

Интересные факты о центральной симметрии

Вся окружающая нас природа – сплошная центральная симметрия. Многие растения и насекомые обладают центральной симметрией. 

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Практически у каждого фрукта есть своя симметрия. Например, кокос в разрезе представляет собой окружность с центром в некоторой точке. 

Ещё один очевидный пример – бабочка. 

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Великолепные узоры на её крылышках – четкая и яркая симметрия. 

Каждый знает, что видовое разнообразие морских ракушек бесконечно. Наверняка, вы сможете найти несколько как с осевой, так и центральной симметрией.

Великолепные примеры с элементами центральной симметрии можно наблюдать и в архитектуре. Потолки различных храмов и церквей украшаются орнаментами, основой которых является центральная симметрия. 

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

  1. Собор Парижской Богоматери имеет прекрасный, утончённый узор, основанный на центральной симметрии.
  2. Рукодельницы в своих произведениях искусства применяют симметрию, которая заметна в удивительных и затейливых узорах.

Таким образом, центральная симметрия – основа, которая составляет природу, архитектуру и даже иногда музыку. Именно это проявление так радует человеческий глаз при появлении первых снежинок или при знакомстве с сооружениями архитектуры.

Источник: https://nauka.club/matematika/geometriya/tsentralnaya-simmetriya.html

Симметрия и её виды | Обучонок

Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до нашей эры.

Слово “симметрия” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”.

Его широко используют все без исключения направления современной науки.

Немецкий математик Герман Вейль сказал: “Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство”. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века.

Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким образом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века.

1.1. Осевая симметрия

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему (Рисунок 2.1). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a также принадлежит этой фигуре (Рисунок 2.2).

  • Прямая а называется осью симметрии фигуры.
  • Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Осевой симметрией обладают такие геометрические фигуры как угол, равнобедренный треугольник, прямоугольник, ромб (Рисунок 2.3).

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Фигура может иметь не одну ось симметрии. У прямоугольника их две, у квадрата – четыре, у равностороннего треугольника – три, у круга – любая прямая, проходящая через его центр.

Если присмотреться к буквам алфавита (Рисунок 2.4)., то и среди них можно найти, имеющие горизонтальную или вертикальную, а иногда и обе оси симметрии. Объекты, имеющие оси симметрии достаточно часто встречаются в живой и неживой природе.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

В своей деятельности человек создаёт много объектов (в том числе и орнаменты), имеющих несколько осей симметрии.

1.2 Центральная симметрия

Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе (Рисунок 2.5).

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре [1].

Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм (Рисунок 2.6).

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Точка О называется центром симметрии фигуры. В подобных случаях фигура обладает центральной симметрией. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей.

Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии у прямой их бесконечно много — любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

1.3. Поворотная симметрия

Предположим, что объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … В этом случае о поворотной симметрии, а указанную ось называют поворотной осью n-го порядка.

Рассмотрим примеры со всеми известными буквами «И» и «Ф». Что касается буквы «И», то у нее есть так называемая поворотная симметрия. Если повернуть букву «И» на 180° вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой.

Иными словами, буква «И» симметрична относительно поворота на 180°. Заметим, что поворотной симметрией обладает также буква «Ф».

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

На рисунке 2.7. даны примеры простых объектов с поворотными осями разного порядка – от 2-го до 5-го. [3]

Перейти к разделу: 1.4. Зеркальная симметрия

Источник: https://obuchonok.ru/node/2260

Осевая и центральная симметрия — урок. Математика, 6 класс

Симметрия — слово греческого происхождения, как и многие другие слова, которые связаны с математикой. Оно означает соразмерность, наличие определённого порядка, закономерности в расположении частей. Смотря на объекты вокруг, мы не раз восклицаем: «Какая симметрия!»

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту 

Люди с давних времён использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, в архитектуре, художестве, строительстве.

Но симметрия широко распространена и в природе, где не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, морской звезде.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Пока рассмотрим две симметрии на плоскости: относительно точки и прямой.

Симметрию относительно точки называют центральной симметрией.

Точки M и M1 симметричны относительно некоторой точки  (O), если точка (O) является серединой отрезка MM1.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студентуТочка (O) называется центром симметрии.

Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Построим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику (ABC) относительно центра (точки) (O):

1. для этого соединим точки (A), (B), (C) с центром (O) и продолжим эти отрезки;2. измерим отрезки (AO), (BO), (CO) и отложим с другой стороны от точки (O) равные им отрезки AO=OA1;BO=OB1;CO=OC1;3. соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник A1B1C1, симметричный данному треугольнику (ABC).

Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.

Фигура симметрична относительно центра симметрии, если для каждой этой точки фигуры симметричная ей точка также лежит на этой фигуре. Такая фигура имеет центр симметрии (фигура с центральной симметрией).

Есть фигуры с центральной симметрией, это, например, окружность и параллелограмм. У окружности центр симметрии — это её центр, у параллелограмма центр симметрии — это точка, в которой пересекаются его диагонали. Есть очень много фигур, у которых нет центра симметрии.

Осевая симметрия

Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).

Точки M и M1 симметричны относительно некоторой прямой (оси симметрии), если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной, и на одинаковом расстоянии от оси симметрии.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Построим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику (ABC) относительно красной прямой:

1. для этого проведём из вершин треугольника (ABC) прямые, перпендикулярные оси симметрии, и продолжим их дальше на другой стороне оси.2. Измерим расстояния от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния.

3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник A1B1C1, симметричный данному треугольнику (ABC).

Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.

Фигура считается симметричной относительно прямой, если для каждой точки рассматриваемой фигуры симметричная для неё точка относительно данной прямой также находится на этой фигуре. Прямая является в этом случае осью симметрии фигуры.

Иногда у фигур несколько осей симметрии:

  • для неразвёрнутого угла существует единственная ось симметрии — это биссектриса данного угла.
  • Для равнобедренного треугольника есть единственная ось симметрии.
  • Для равностороннего треугольника — три оси.
  • Для прямоугольника и ромба существуют две оси симметрии.
  • Для квадрата — целых четыре.
  • Для окружности осей симметрии бесчисленное множество — это каждая прямая, которая проходит через центр этой фигуры.
  • Есть фигуры без осей симметрии — это параллелограмм и треугольник, все стороны которого различны.

Источник: https://www.yaklass.ru/p/matematika/6-klass/geometricheskie-figury-i-tela-simmetriia-na-ploskosti-13781/osevaia-i-tcentralnaia-simmetriia-14716/re-e5fbbd9b-0519-4f8d-88ee-4bdcfa44b87b

Осевая и центральная симметрии

Наверняка, каждый из вас не раз слышал слово «симметричный». К чему же это интересное слово можно отнести?

Возьмем, к примеру, листок какого-нибудь растения. Если сложить его пополам, то можно заметить, что каждая из получившихся частей (левая и правая) окажутся одинаковыми, т.е. симметричными.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Аналогично можно поступить и с некоторыми цветами.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

В животном мире также можно заметить такую особенность. Вот, например, посмотрим на бабочку. Ее крылья симметричны относительно тельца.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

А если посмотреть на здания, которые нас окружают? То снова заметим симметричные части. То же самое вы можете обнаружить в искусстве, да и просто в быту.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Теперь поговорим о том, что же в математике понимают под словом «симметричный», или «симметрия».

В переводе с греческого слово «симметрия» означает соразмерность, то есть схожесть, одинаковость. Это свойство геометрических объектов сохранять расположение элементов фигуры относительно оси или центра симметрии в неизменном состоянии при некоторых преобразованиях.

  • На этом уроке мы поговорим об осевой симметрии (симметрии относительно прямой) и о центральной симметрии (симметрии относительно точки).
  • Начнём с осевой симметрии.
  • Точки  и называются симметричными относительно прямой , если эта прямая проходит через середину отрезка  и перпендикулярна отрезку .

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Давайте найдём точку симметричную данной относительно прямой.

Возьмём прямую а и точку А. Проведём через точку А прямую АО, перпендикулярную прямой а. Затем отложим на прямой АО отрезок ОА1, равный отрезку АО.

Таким образом, получили точку А1 симметричную точке А относительно прямой а.

На следующем рисунке точки B и B1 симметричны относительно прямой b, точки C и C1 также симметричны относительно прямой b, а вот точка D симметрична самой себе относительно прямой b. Точки Е и E1 не симметричны относительно прямой b, так как прямая b проходит не через середину отрезка EE1.

  1. Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре.
  2. Прямую а называют осью симметрии фигуры.
  3. Осевой симметрией обладает равнобедренный треугольник.

 Он имеет одну ось симметрии, на которой расположена биссектриса, проведённая из вершины к основанию. То есть, если мы перегнём равнобедренный треугольник по оси симметрии, то каждая точка одной половины будет иметь симметричную ей точку на второй половине.

  • Равносторонний треугольник также обладает осевой симметрией и имеет три оси симметрии, на которых расположены биссектрисы углов треугольника.
  • Равнобедренная трапеция имеет ось симметрии, на которой лежит прямая проходящая через середины её оснований.
  • Прямоугольник имеет две оси симметрии, которые проходят через середины его противолежащих сторон.
  • Ромб также имеет две оси симметрии, на которых расположены его диагонали…
  • Квадрат имеет четыре оси симметрии, так как одновременно является и прямоугольником и ромбом.

А вот у окружности каждая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии. Так как таких прямых можно провести бесконечно много, то и осей симметрии у окружности бесконечно много.

Но есть и фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. Примерами таких фигур являются разносторонний треугольник. Или параллелограмм, который не является прямоугольником или ромбом.

  1. Теперь поговорим о центральной симметрии, то есть симметрии относительно точки.
  2. Точки А и A1 называются симметричными относительно точки О, если точка О – середина отрезка АА1.
  3. Давайте найдём точку симметричную данной относительно точки О.

Возьмём произвольные точки А и О. И проведём через них прямую АО. Затем на этой прямой отложим отрезок ОА1 равный отрезку АО.

  • Таким образом, мы получили точку А1 симметричную точке А относительно точки О.
  • Посмотрите на следующий рисунок.

 Здесь точка B симметрична точке B1 относительно точки О. Точки C и C1 также симметричны относительно точки О. Точка О симметрична сама себе. А точки D и D1 не симметричны относительно точки О, так как отрезки DO и OD1 не равны.

  1. Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.
  2. Точку О называют центром симметрии фигуры.
  3. Центральной симметрией обладает окружность.

Её центр является центром симметрии. То есть, для любой точки окружности существует ей симметричная относительно центра.

Параллелограмм также обладает центральной симметрией. Центром его симметрии является точка пересечения диагоналей.

  • Раз параллелограмм обладает центральной симметрией, то известные нам прямоугольник, ромб и квадрат также обладают центральной симметрией, центром которой является точка пересечения их диагоналей.
  • Центральной симметрией обладает и прямая, причём любая точка прямой является центром её симметрии.
  • Примером фигуры, не обладающей центральной симметрией, является произвольный треугольник.
  • А вот, например, такие фигуры, как прямоугольник, ромб, квадрат, окружность имеют обе симметрии (осевую и центральную).

Источник: https://videouroki.net/video/8-osievaia-i-tsientral-naia-simmietrii.html

Осевая и центральная симметрия — сообщение доклад (6, 8 класс)

Симметрия является неотъемлемой частью мира, в котором мы живем. Мы восхищаемся красотой природы, архитектурными сооружениями, механическими приборами и шедеврами искусства, не задумываясь над тем, что в основе их создания лежит симметрия.

«Симметрия» с греческого языка переводится как гармония, соразмерность, красота. Впервые термин стал широко употреблять Пифагор в до н.э. Им он обозначил трехмерное изображение геометрических фигур и их частей в пространстве. Также ученый определил отклонение от симметрии как асимметрию.

Существует два основных виды симметрии: осевая и центральная.

Осевая симметрия или зеркальная – это симметрия относительно оси. То есть одна половинка фигуры полностью соразмерна с другой относительно прямой. Так если согнуть листок пополам, то каждая точка одной половины листа будет иметь своего двойника на другой половине, а сам сгиб станет осью симметрии.

Зеркальную симметрию можно наблюдать в природе: листья растений симметричны относительно среднего стебля, крылья бабочки являются зеркальным отображением друг друга, человек и животные обладают симметрией в расположении частей тела.

Архитектурные сооружения также являются ярким примером осевой симметрии. Фасады зданий, особенно античных, вызывают чувства строгости и восхищения красотой именно благодаря симметрии их частей.

Симметрия в архитектуре служит не только для эстетического удовольствия наблюдателей, но и гарантирует зданиям и сооружениям прочность и надежность конструкции.

Центральная симметрия – это симметрия относительно точки. У такой симметрии обязательно есть неподвижный центр, при вращательных действиях на 180° относительно него фигура переходит сама в себя. Благодаря этому свойству центральная симметрия получила второе название – поворотная.

С древнейших времен ее эталоном считается круг, и действительно, как бы мы не поворачивали его вокруг центра, каждая точка окружности переходит в соответствующую ей.

В природе ярким примером центральной симметрии являются снежинки; цветы таких растений, как одуванчик, мать-и-мачеха, а также ромашки, если количество ее лепестков четное; шестеренки механизмов.

Вариант 2

Наверное, каждый слышал такие понятия, как «симметрия», «симметрично» и тому подобное. Но есть такие люди, которые не понимают значение данных синонимов. Так что же такое симметрия? Где ее применяют? И какие разновидности существуют?

Краткий экскурс о симметрии в общих чертах.

Постараюсь объяснить понятие симметрии на некотором примере. Представьте обыкновенную бабочку. Так, а теперь надо провести через нее линию. Когда линия окончательно проведена, необходимо посмотреть на правую и левую части рисунка. Если эти 2 части рисунка одинаковы по размерам и пропорциям, то это можно называть симметричной моделью.

Короче говоря, симметрия – это полная соразмерность частей тела по отношению к линии. Где же применяется симметрия? Ну, симметрия встречается везде, где только можно. Геометрия, физика, биология, химия, культура – все это содержит симметрию, причем каждая отличается друг от друга. Еще существует понятие асимметрии. То есть, отсутствие правильной соразмерности.

Еще стоит отметить, что симметрия не всегда бывает точной.

Некоторые виды симметрии, их характеристика и применение.

Всего наберется с десяток разных видов симметрий. Но рассмотреть необходимо только те, которые часто встречаются. Сразу стоит сказать, что обе из них находят применение в решении задач по геометрии. Итак, вот 2 главных вида симметрии:

Осевая симметрия.

Этот вид симметрии делится на 4 группы, отличающиеся друг от друга.

1) Отражательная симметрия – это зеркальное движение, в котором точки, не перемещающиеся никуда, соединены в одну линию – ось симметрии. Прямоугольник и параллелограмм – отличные примеры.

  • 2) Вращательная симметрия – это осевая симметрия, которая относительна поворотам вокруг оси.
  • 3) Осевая симметрия n – го порядка – это симметрия относительно поворотов на 360 градусов вокруг оси.
  • 4) Зеркально поворотная осевая симметрия n – го порядка – то же самое, только перпендикулярно оси.
  • Центральная симметрия.

Это преобразование, при котором каждая точка А переходит в точку А1, при этом она симметрична предыдущей относительно оси О. Данная симметрия – это, по сути, тот же поворот на 180 градусов в планиметрии. Центральную симметрию от осевой отличает то, что в первом случае присутствует движение.

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

  • История Древнего мира
    ревним миром называют начальный период человеческой истории, условно разделяющийся на
  • Наука Астрономия
    Наука, которая изучает космос, Вселенную, а также ее структуру, движение, пространство, происхождение и развитие небесных объектов и систем носит название астрономия.
  • Герои Космоса
    Исследование космоса интересовало человечество на протяжении многих сотен лет. Освоение космоса – опасный труд, на который способен не каждый. Великими героями космоса можно назвать немногих.
  • Сова болотная
    Красивая птица из семейства совиных занимает достойное место в нашем мире среди подобных животных. Размеры данной совы достаточно крупные, по сравнению с другими птицами.
  • Витамины
    Витаминами называются органические соединения, содержащиеся в пище и необходимые для полноценного роста и развития организма человека или животного. Каждый витамин отвечает за обеспечение опр
  • Гриб лисичка
    Гриб лисичка обыкновенная — употребляется в пищу человеком. Относится к семейству Лисичковые. Своё имя он получил от русского слова

Источник: https://doklad-i-referat.ru/soobshchenie/matematika/osevaya-i-centralnaya-simmetriya

Доклад Осевая и центральная симметрия 6, 8, 9 класс

Прямая, вокруг которой вращаются различные предметы, и называется ось. Данное слово имеет греческое происхождение и связано как вы уже поняли с математикой.

Может быть, некоторые не знают, но симметрия может быть очень тесно связана с красотой. Она была рождена при помощи природы и спустя некоторое время прочно вошли не только в нашу жизнь, но и в жизнь наших предков.

Вначале были разные кристаллы правильной формы и правильного объема.

Кроме этого если рассматривать землю, то она тоже относится к симметрии. И поэтому природа использовала ее и давала представление по различным формам и объемам. Правой частью тела обычно управляет левое полушарие и наоборот, левой частью тела управляет правое полушарие.

Если организмы не подвижны, то они относятся к лучевой симметрии. Симметрия использовалась еще в древних веках: в орнаментах, строительстве, в разных предметах быта или архитектуре.

Но это еще не все, кроме этого симметрия может встречаться еще и в природе. Это могут быть обычные листья, находящиеся на деревьях или растения.

Также симметрия встречается и в органах животных, снежинке, которая падает с неба или в бабочке, которая порхает по воздуху и наслаждается природой.

Также она может применяться еще и в различной практике. Она применяется не только в строительстве, но еще и в технике. Каждое античное здание строится при помощи симметрии и без нее ни одно здание не могло быть выстроено.

Кроме этого она еще применяется и для создания различных ваз, создания Кремля, различных машин или самолетов. Центральной симметрией называется симметрия относительной точки. А вот осевой симметрией называется симметрия относительной прямой. Сначала мы рассмотрим симметрию относительно точки.

Дается какая-нибудь прямая, по краям которой располагаются точки. Точек может быть очень много.

Вариант №2

Симметрия – вечная спутница жизни каждого человека. Предметы, природа, одежда, даже само тело человека симметрично. Идентичные половины изображений, объектов, предметов могут быть созданы как человеком специально, так и самой природой.

С точки зрения математической науки, симметрия подразделяется на симметричность по прямой линии – оси и симметричность по одной центральной точке.

Осевая симметрия

  • Осевая симметрия (ее еще называют зеркальной, Евклидовой) – симметрия к прямой линии – «оси» предмета, тела.
  • Теорема: Фигура является симметричной относительно линии A, если для любой точки фигуры симметричная для нее точка относительно линии Aтакже находится в пространстве этой фигуры.
  • Объектом с таким видом симметрии является тот предмет (тело, фигура), который, если зрительно или практически сложить пополам, то полученные половины относительно сгиба (оси предмета) будут идентичны.
  • Также стоит отметить, что если фигуры симметричны по прямой линии, то они будут равны между собой по размерам.
  • К таким предметам и фигурам относятся: круг (имеет одну ось), квадрат (четыре оси), прямоугольник (две оси), равнобедренный треугольник (одну ось), тело человека (одну ось), лист бумаги (одну ось), многие насекомые и растения, предметы искусства, отражения объектов в воде или на стекле, зеркале.

Внимание! Существуют фигуры, не имеющие осей симметрии.

К ним относятся параллелограмм и большинство треугольников (оси имеет только равнобедренный), т.к. все их стороны разные.

Практически каждое здание имеет симметричность. А многие дворцы в мире построены симметрично специально – чтобы сложнее было ориентироваться незнакомым с пространством людям, попавшим во дворец. Это являлось своеобразной защитой от чужаков и нежелательных гостей. Всех ценных и желанных гостей встречали, а вот нежеланные посетители блуждали по замкам.

Центральная симметрия

  1. Симметричность относительно  одной  точки называют центральной симметрией.
  2. Теорема: Если фигура переходит в себя, будучи симметричной для точки A, то A будет являться точкой симметрии этой фигуры.
  3. Если предмет относительно одной точки симметричен, то этот предмет обладает именно центральной симметрией.

  4. Такой симметрией обладает шар, круг, параллелограмм, прямая линия, снежинка, цветок, паутина, пчелиные соты, иголки сосновой ветки, ракушки морских обитателей, круги на полях и даже наша галактика – Млечный путь!
  5. Центры геометрических фигур и  объектов вокруг нас:
  • для круга или шара центральной точкой является его центр;
  • для параллелограмма это точка, где пересекаются диагонали фигуры;
  • для прямой линии – точка, лежащая на самой прямой, т.е. прямая линия имеет бесконечное множество центральных точек симметрии;
  • у снежинки центром симметрии является место пересечения всех лучей снежинки;
  • у цветка – место пересечения лучей, проведенных через середину каждого лепестка;
  • для пчелиной соты – точка пересечения лучей из каждой вершины многоугольника;
  • веточка сосны с иголками – сама веточка. Иглы крепятся вокруг центрально стержня ветки.

Таким образом, симметрия становится постоянно спутницей жизни каждого человека. Окружая нас везде, мы сами не замечаем, что почти каждый предмет имеет определенную симметричность. Благодаря симметрии объекты выглядят более полными, объемными и аккуратными.

6, 8, 9 класс

Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Популярные темы сообщений

  • Экологические проблемы использования тепловых машин
    Превращать энергию тепла в механическую энергию приспособились еще двести лет назад. Чтобы создавать механическую энергию, всегда есть потребность в большом количестве топлива. К тому топливо сгорает в камере сгорания и образуется
  • Река Амур
    Река Амур является одной из самых длинных и загадочных рек, которая наполнена легендами. Протяженность этой реки равна 2825 километров, а ширина- 5 километрам. Амур появился благодаря соединению Аргень и Шилки.
  • Головоногие моллюски
    Головоногие моллюски получили свое название из-за щупалец («ног»), которые растут практически из головы. Их может быть 8, 10 и даже больше. У подкласса двужаберных моллюсков нет раковины, к ним относят каракатиц, кальмаров, а также осьминогов.

Источник: https://more-dokladov.ru/doklad-soobshchenie/raznoe/osevaya-i-czentralnaya-simmetriya-6-8-9-klass

Центральная и осевая симметрия

Развернуть структуру обучения

Свернуть структуру обучения

Определение: Симметрия (означает «соразмерность») — свойства геометрических объектов совмещаться с собой при определенных преобразованиях. Под симметрией понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры. Симметрия относительно точки — это центральная симметрия, а симметрия относительно прямой — это осевая симметрия. Осевая и центральная симметрия - в помощь студенту

Симметрия относительно точки предполагает, что по обе стороны от точки на одинаковых расстояниях находится что-либо, например другие точки или геометрическое место точек (прямые линии, кривые линии, геометрические фигуры).

Если соединить прямой симметричные точки (точки геометрической фигуры) через точку симметрии, то симметричные точки будут лежать на концах прямой, а точка симметрии будет ее серединой. Если закрепить точку симметрии и вращать прямую, то симметричные точки опишут кривые, каждая точка которых тоже будет симметрична точке другой кривой линии.

Симметрия относительно прямой (оси симметрии) предполагает, что по перпендикуляру, проведенному через каждую точку оси симметрии, на одинаковом расстоянии от неё расположены две симметричные точки. Относительно оси симметрии (прямой) могут располагаться те же геометрические фигуры, что и относительно точки симметрии.

Примером может служить лист тетради, который согнут пополам, если по линии сгиба провести прямую линию (ось симметрии). Каждая точка одной половины листа будет иметь симметричную точку на второй половине листа, если они расположены на одинаковом расстоянии от линии сгиба на перпендикуляре к оси.

Линия осевой симметрии, как на рисунке,  вертикальна, и горизонтальные края листа перпендикулярны ей. То есть ось симметрии служит перпендикуляром к серединам горизонтальных ограничивающих лист прямых. Симметричные точки (R и F, C и D) расположены на одинаковом расстоянии от осевой прямой — перпендикуляра к прямым, соединяющим эти точки. Следовательно, все точки перпендикуляра (оси симметрии), проведённого через середину отрезка, равноудалены от его концов; или любая точка перпендикуляра (оси симметрии) к середине отрезка равноудалена от концов этого отрезка.

0  

 Векторы | Описание курса | Угол. Углы на плоскости 

Источник: https://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson1121/

Портал Гимназии №1505 ( до 01 сентября 2014)

Год реализации проекта: 

2009

Предметно-содержательная область проекта: 

Доминирующая деятельность в проекте: 

Аннотация проекта: 

 Мы хотим показать всему миру как с помощью программы «Живая математика» строить различные геометричесские фигуры и графики разных функций и построение им симметричных прямых.

Основная задача проекта: 

Наша задача проэкта — это изучение осевой и центральной симметрии в жизни и в программе «Живая математика».

Мы создаём учебный материял по теме симметриям(осевой и центральной) для обучения с её помощью учащихся и проверке их знаний с помощью отдела нашего проэкта, который называется «Проверка знаний».

С помощью этой программы мы создадим файлы, которые могут показать как с помощью этой программы можно показать как строятся геометричесские фигуры по теме осевая и центральная симметрии.

Также мы можем показать ка используется симметрия в жизни и как с её помощью можно показать как строится симметричную прямую для определённого графика функции с помощью этой программы. А в последствии мы покажем презентацию с изображениями из программы «Живая математика» и текстовое описание обоих симметрий.

 

Цель проекта: 

 Мы хотим показать как работает программа «Живая математика». Например как строить некоторые геометричесские фигуры, графики функций и симметричные этим графикам прямые используя правила построения Осевой и Центральной симметрий.

Состав проектной группы с указанием основного вида деятельности участников

Состав проектной группы с указанием основного вида деятельности участников: 

Роль в проекте Настоящее имя пользователя Вид деятельности в проекте Пользователь системы Действия
Руководитель проекта Чепелев Сергей Дмитриевич Работаю над разделом «Осевая симметрия», а также создаю документацию по проекту. Занимаюсь автоматизацией тестового задания в программе PHP Disainer. Чепелев Сергей Дмитриевич Просмотр
Участник проекта Ефименко Денис Рисую графики Ефименко Денис Просмотр
Участник проекта Курносов Владислав Владиславович Составляю тестовые задания. Курносов Владислав Владиславович Просмотр

График работы (Список задач проекта)

Здесь показаны задачи проекта, распределенные по участникам.

Список продуктов проекта

В данном списке показаны продукты проекта, созданные участниками.

Список источников информации по теме проекта

Источники информации по теме проекта: 

Для данного проекта не было добавлено ни одного источника информации.

Консультации по проекту

Здесь отображаются консультации, проведенные по проекту.

Консультации по проекту: 

Еще не проведено ни одной консультации.

Экспертные заключения о проекте

В этом списке представлены рецензии на данный проект.

Рецензии на проект: 

Пока не добавлены рецензии на проект

Источник: https://www.old.gym1505.ru/node/6932

Ссылка на основную публикацию