Натуральные числа и их свойства — в помощь студенту

  • МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ ПМР
  • ГОУ «ДНЕСТРОВСКИЙ ТЕХНИКУМ ЭНЕРГЕТИКИ
  • И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»
  • УТВЕРЖДАЮ
  • Зам. директора по учебной работе

__________________М.В. Питель

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
  1. «_____»__________________2019 г
  2. В ПОМОЩЬ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ
  3. по дисциплине: «МАТЕМАТИКА»
  4. РАЗДЕЛ № 6
  5. «Комплексные числа»
  6. Разработал преподаватель математики
  7. ГОУ СПО «ДТЭ и КТ»
  8. Демьянова Светлана Васильевна
  9. РАССМОТРЕНО СОГЛАСОВАНО
  10. на заседании ЦМК методист

_____________________ дисциплин ________ Левицкая И.Н. Протокол №__ от «__»_____201__г. «__» _________201__г.

Председатель __________________

______________________________

г. Днестровск, 2019 г.

СОДЕРЖАНИЕ

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Великие географические открытия - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Введение…………………………………………………………………………………………………..3

Глава I. Комплексные числа………………………………………………………………………..…4

    1. Понятие комплексного числа.……………………………………………………………………….4

    2. Операции над комплексными числами.…………………………………………………………….7

    3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел..………………………………………..10

Глава II. Практика……………………………………………………………………………………..13 2.1. Найти число, сопряженное к комплексному числу.………………………………………………13 2.2. Найти модуль и аргумент комплексного числа………………………………………………..…13 Глава III. Презентация…………………………………………………………………………………14 Заключение………………………………………………………………………………………………15 Список использованной литературы………………………………………………………………..16

ВВЕДЕНИЕ

В зачетной работе написано одного из основных разделов математического анализа теории комплексных чисел. Рассмотрены все типы комплексных чисел, изучаемых в курсе высшей математики. Для каждого типа приведены основные теоретические сведения, приведены примеры решения комплексных чисел и сделана презентация.

Глава I. Комплексные числа.

    1. Понятие комплексного числа.

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

  1. Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда

  2. Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число

  3. Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib.

Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z.

Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z = a + i · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами. Действительно,

Натуральные числа и их свойства - в помощь студенту
Натуральные числа и их свойства - в помощь студенту

Следовательно, комплексные числа вида a + i · 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается С. Мы установили, что  , а именно 

В отличие от действительных чисел, числа вида 0 + ib называются чисто мнимыми. Часто просто пишут bi, например, 0 + i3 = 3i. Чисто мнимое число i1 = 1i = i обладает удивительным свойством:

Натуральные числа и их свойства - в помощь студенту

Таким образом,

С учётом этого замечательного соотношения легко получаются формулы сложения и умножения для комплексных чисел. Нет нужды запоминать сложную формулу для произведения комплексных чисел – если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учётом равенства i2=-1 то и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле,

Натуральные числа и их свойства - в помощь студенту

то есть как раз получается нужная формула.

Геометрическая интерпретация действительных чисел является действительная прямая. Кроме того, как было установлено выше, на действительной прямой «нет места для новых точек», то есть любой точке на действительной оси отвечает действительное число.

Следовательно, комплексные числа на этой прямой расположить уже нельзя, однако можно попытаться рассмотреть наряду с действительной осью, на которой мы будем откладывать действительную часть комплексного числа, ещё одну ось, ей перпендикулярную; будем называть её мнимой осью.

Тогда любому комплексному числу z = x + iy можно поставить в соответствие точку координатной плоскости. На оси абсцисс будем откладывать действительную часть комплексного числа, а на оси ординат – мнимую часть.

Таким образом мы построим взаимнооднозначное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости. Если такое соответствие построено, то координатная плоскость называется комплексной плоскостью.

Очень важной является интерпретация комплексного числа z = a + ib как вектора   с координатами (ab) на комплексной плоскости с началом в точке O (0; 0) и концом в точке A с координатами (ab). Ясно, что это соответствие является взаимнооднозначным. В самом деле, как было только что отмечено, любому комплексному числу z = a + ib соответствует вектор   и наоборот, каждому вектору    соответствует, и притом единственное, число z = a + ib (Рисунок 1).

Натуральные числа и их свойства - в помощь студенту

Рис. 1

Рассмотренные интерпретации комплексного числа позволяют называть комплексное число вектором или точкой на комплексной плоскости (Рисунок 2).

Натуральные числа и их свойства - в помощь студенту

Рис. 2.Комплексные числа на плоскости

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу:

Модуль комплексного числа z обычно обозначается   или r. Указанная в определении формула легко выводится при помощи теоремы Пифагора (Рисунок 3).

  • Рис.3
  • Если   то   то есть для действительного числа модуль совпадает с абсолютной величиной. Ясно, что   для всех   При этом   тогда и только тогда, когда 
  • Аргументом комплексного числа z = a + ib (z ≠ 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором     величина угла считается положительной, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Угол φ, аргумент комплексного числа, обозначается φ = arg z. Для числа z = 0 аргумент не определён.

Отметим следующий важный факт: заданием своего модуля и аргумента комплексное число фиксируется однозначно. Обратное, вообще говоря, неверно: если задано комплексное число z ≠ 0, то его модуль определяется однозначно, а аргумент – нет.

Действительно, если φ = arg z – аргумент этого комплексного числа, то все числа вида φ + 2πn также будут аргументами этого комплексного числа. Например, аргументами комплексного числа z = 1 + i являются углы   и т. д.

Поэтому в качестве аргумента комплексного числа обычно выбирают значение –π ≤ arg z ≤ π. Заданием только лишь своего модуля определяется только комплексное число z = 0.

Из определения тригонометрических функций следует, что φ = arg z тогда и только тогда, когда для этого φ выполняется система

    1. Операции над комплексными числами.

Арифметические операции над комплексными числами были определены в предыдущем пункте. Эти операции обладают следующими свойствами:

  1. Коммутативность сложения: z1 +z2=z2+z1

для любых z1 ,z2 .

  1. (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

    Ассоциативность сложения:

для любых z1 ,z2 .

  1. Существует такое число z = 0, которое обладает свойством z+0=z

для любого z  .

  1. Для любых двух чисел z1 и z2 существует такое число z, что z1 + z = z2. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z = z2 – z1.

  2. Коммутативность умножения: z1z2= z2z1

для любых   z1z2

  1. Ассоциативность умножения: (z1z2)z3= z1(z2z3)

для любых z1,z2,z3 .

  1. Дистрибутивность сложения относительно умножения: z1(z2+z3)= z1z2 +z1z3

для любых z1,z2,z3 .

  1. Для любого комплексного числа z: z∙1=z.

  2. Для любых двух чисел z1 и z2 существует такое число z, что z1∙z=z2 Такое число z называется частным двух комплексных чисел и обозначается    Деление на 0 невозможно.

  1. Все указанные свойства доказываются с помощью определения операций сложения и умножения.
  2. Рис. 4 Сложение и вычитание комплексных чисел
  3. Рис. 5 Умножение и деление комплексных чисел
  4. Если число z = a + bi, то число   называется комплексно сопряжённым с числом z.
  5. Рис. 6 Комплексное сопряженные числа
  6. Комплексно сопряжённое число обозначается . Для этого числа справедливы соотношения:

Заметим, что последнее соотношение сводит операцию деления комплексных чисел к умножению z1 на z2 последующему делению на действительное число  .

    1. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Та запись комплексного числа, которую мы использовали до сих пор, называется алгебраической формой записи комплексного числа. Часто бывает удобна немного другая форма записи комплексного числа. Пусть   и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

Отсюда получается

Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов. Арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, производятся следующим образом. Пусть z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) и z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2). Имеем:

Видно, что в тригонометрической форме операции умножения и деления производятся особенно просто: для того, чтобы перемножить (разделить) два комплексных числа, нужно перемножить (разделить) их модули и сложить (вычесть) их аргументы.

Отсюда следует, что для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы: если φ1, φ2, …, φn – аргументы чисел z1, z2, …, zn, то

В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.

Первая формула Муавра:

Число z называется корнем степени n,n  из комплексного числа w, если   Корень степени n,n   обозначается   Пусть теперь число w фиксировано. Найдём z из уравнения   .

Если w = 0, то у уравнения    существует единственное решение z = 0.

Если w ≠ 0, то положим, что нам известно тригонометрическое представление числа w = r0(cos φ0 + i sin φ0), и будем искать число z также в тригонометрической форме: z = r(cos φ + i sin φ). Из определения аргумента и геометрической интерпретации комплексных чисел следует, что два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на угол, кратный 2π. Имеем:
откуда получается:

Итак, все решения уравнения   задаются формулой

Заметим, что если в эту формулу подставлять натуральные числа k, то при k = 0, 1, …, n мы будем получать разные комплексные числа, а при k = n имеем:

Значит, и в дальнейшем значения корней будут повторяться. Следовательно, существует ровно n корней уравнения   и все они задаются одной формулой.

Вторая формула Муавра:

Глава II. Практика. 2.1. Найти число, сопряженное к комплексному числу.

Найдите число, сопряжённое к комплексному числу (1 + 2i)(3 – 4i).

Решение:

Имеем   Следовательно,  Ответ. 11 – 2i.

2.2. Найти модуль и аргумент комплексного числа.

Найти модуль и аргумент комплексного числа z = –1 – i.

Решение

Так как Re z = –1 и Im z = –1, то точка z лежит в третьей координатной четверти. Для поиска аргумента решим систему Ответ.  

Глава III. Презентация.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Комплексные числа это одно из фундаментальных понятий математического анализа. В данной работе мы изучили комплексные числа.

Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии.

Именно поэтому нам нужно расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях.

  • В зачетной работе я раскрыла понятие комплексного числа, операции над комплексными числами и тригонометрическая форма записи комплексного числа.
  • В практической работе решила примеры по комплексным числам и сделала презентацию.
  • СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
  1. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. – М., 2008г.

  2. Гордиенко Н.А., Беляева Э.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения: Учебное пособие, 2008г.

  3. Кураш А.Г. «Алгебраические уравнения произвольных степеней». М., 2007г.

  4. Маркушевич А.И. «Комплексные числа и конформные отображения». М., 2009г.

  5. Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики». М., 2009г.

  6. Яглом И.М. Комплексные числа и их приложения в геометрии. Изд. 2-е, стереотипное. – М., 2008г.

  7. https://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2014/01/14/referat-kompleksnye-chisla-ikh-proshloe-i-nastoyashchee

  8. https://mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter1/section4/paragraph1/theory.html#.XdAMMdIzbIU

  9. http://mmmf.msu.ru/zaoch/math/complex.pdf

7

Источник: https://multiurok.ru/files/v-pomoshch-studentu-zaochniku-po-distsipline-mat-5.html

Справочник. Запись натуральных чисел и действия над натуральными числами

Справочник по математике. Числа

Натуральные числа и их свойства - в помощь студенту

содержание справочника

Запись натуральных чисел

Числа 1, 2, 3, 4, 5, …, использующиеся для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называются натуральными.

Любое натуральное число в десятичной системе счисления записывается с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например, запись 5732 означает, что 5 — цифра тысяч, 7 — цифра сотен, 3 — цифра десятков и 2 — цифра единиц, то есть Натуральные числа и их свойства - в помощь студенту.

Читайте также:  Максим исповедник - в помощь студенту

Вообще, если — цифра тысяч, — цифра сотен, — цифра десятков, — цифра единиц, то имеем Натуральные числа и их свойства - в помощь студенту. Используется также сокращенная запись (написать просто нельзя, поскольку такая запись означает произведение чисел a, b, c и d). В общей форме для -значного числа справедлива запись , или , где — цифры.

  • Арифметические действия над натуральными числами
  • Результатом сложения или умножения двух натуральных чисел всегда является натуральное число.
  • Если и — натуральные числа, то  также натуральное число, и — слагаемые, — сумма.
  • Если , то также натуральное число, и — множители, — произведение.
  • Свойства
  • 1)  (переместительное свойство сложения)
  • 2) (сочетательное свойство сложения)
  • 3) (переместительное свойство умножения)
  • 4) ( (сочетательное свойство умножения)
  • 5) (распределительное свойство умножения относительно сложения)

Эти свойства позволяют более эффективно находить значения арифметических выражений. Например, в задаче удобнее по свойству 5) перейти к виду .

  1. В результате вычитания или деления натуральных чисел не всегда получается натуральное число.
  2. Если , то — уменьшаемое, — вычитаемое, — разность.
  3. Если , то — делимое, — делитель, — частное. 
  4. Если , то говорят, что кратно (или делится на ) и является делителем числа .

Порядок арифметических действий в числовом выражении: прежде всего выполняют действия в скобках. Внутри любых скобок сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Например, порядок действий для примера следующий: сначала и , затем умножение на 99, затем сложение, затем деление на 6 и затем вычитание 920.

Источник: http://www.itmathrepetitor.ru/spravochnik-zapis-naturalnykh-chisel/

Умножение натуральных чисел: свойства, примеры

Для операции умножения натуральных чисел ℕ характерен ряд результатов, которые справедливы для любых умножаемых натуральных чисел. Эти результаты называются свойствами. В данной статье мы сформулируем свойства умножения натуральных чисел, приведем их буквенные определения и примеры.

Переместительное свойство умножения натуральных чисел

Переместительное свойство часто называют также переместительным законом умножения. По аналогии с переместительным свойством для сложения чисел, оно формулируется так:

Переместительный закон умножения

  • От перемены мест множителей произведение не меняется.
  • В буквенном виде переместительное свойство записывается так: a·b=b·a
  • a и b — любые натуральные числа.

Возьмем любые два натурльных числа и наглядно покажем, что данное свойство справедливо. Вычислим произведение 2·6. По определению произведения, нужно число 2 повторить 6 раз. Получаем: 2·6=2+2+2+2+2+2=12. Теперь поменяем множители местами. 6·2=6+6=12. Очевидно, переместительный закон выполняется.

На рисунке ниже проиллюститруем переместительное свойство умножения натуральных чисел.

Натуральные числа и их свойства - в помощь студенту

Сочетательное свойство умножения натуральных чисел

Второе название для сочетательного свойства умножения — ассоциативный закон, или ассоциативное свойство. Вот его формулировка.

Сочетательный закон умножения

  1. Умножение числа a на произведение чисел b и c равносильно умножению произведения чисел a и b на число c.
  2. Приведем формулировку в буквенном виде:
  3. a·b·c=a·b·c

a, b, c — любые натуральные числа. Сочетательный закон работает для трех и более натуральных чисел.

Для наглядности приведем пример. Сначала вычислим значение 4·3·2.

  •  4·3·2=4·6=4+4+4+4+4+4=24
  • Теперь переставим скобки и вычислим значение 4·3·2.
  • 4·3·2=12·2=12+12=24
  • 4·3·2=4·3·2
  • Как видим, теория совпадает с практикой, и свойство справедливо. 
  • Сочетательное свойство умножения также можно проиллюстрировать с помощью рисунка.

Натуральные числа и их свойства - в помощь студенту

Распределительное свойство относительно умножения

Без распределительного свойста не обойтись, когда в математическом выражении одновременно присутствуют операции умножения и сложения. Это свойство определяет связь между умножением и сложением натуральных чисел. 

Распределительное свойство умножения относительно сложения

  1. Умножения суммы чисел b и c на число a равносильно сумме произведений чисел a и b и a и c.
  2. Запишем в форме буквенного выражения:
  3. a·b+c=a·b+a·c
  4. a, b, c — любые натуральные числа.

Теперь на наглядном примере покажем, как работает это свойство. Вычислим значение выражения 4·3+2.

4·3+2=4·3+4·2=12+8=20

С другой стороны 4·3+2=4·5=20. Справедливость распределительного свойства умножения относительно сложения показана наглядно. 

Для лучшего понимания приведем рисунок, иллюстрирующий суть умножения числа на сумму чисел.

Натуральные числа и их свойства - в помощь студенту

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Распределительное свойство умножения относительно вычитания формулируется аналогично данному свойству относительно сложения, следует лишь учитывать знак операции.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

  • Умножения разности чисел b и c на число a равносильно разности произведений чисел a и b и a и c.
  • Запишем в форме буквенного выражения:
  • a·b-c=a·b-a·c
  • a, b, c — любые натуральные числа.

В предыдущем примере заменим «плюс» на «минус» и запишем:

4·3-2=4·3-4·2=12-8=4

С другой стороны 4·3-2=4·1=4. Таким образом, справедливость свойства умножения натуральных чисел относительно вычитания показана наглядно.

Умножение единицы на натуральное число

Умножение единицы на натуральное число

Умножение единицы на любое натуральное число в результате дает данное число.

1·a=a

  1. По определению операции умножения, произведение чисел 1 и a равно сумме, в котором слагаемое 1 повторяется a раз.
  2. 1·a=∑i=1a1
  3. Умножение натурального числа a на единицу представляет собой сумму, состоящую из одого слагаемого a. Таким образом, переместительное свойство умножения остается справедливым:
  4. 1·a=a·1=a

Умножение нуля на натуральное число

Число 0 не входит в множество натуральных чисел. Тем не менее, есть смысл рассмотреть свойство умножения нуля на натуральное число. Данное свойство часто используется при умножении натуральных чисел столбиком.

Умножение нуля на натуральное число

Произведение числа 0 и любого натурального числа a равно числу 0.

0·a=0.

По определению, произведение 0·a равно сумме, в которой слагаемое 0 повторяется a раз. По свойствам сложения, такая сумма равна нулю. 

В результате умножения единицы на нуль получается нуль. Произведение нуля на сколь угодно большое натуральное число также дает в результате нуль.

Напимер: 0·498=0; 0·9638854785885=0

Справедливо и обратное. Произведение числа на нуль также дает в результате нуль: a·0=0.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/dejstvitelnye-ratsionalnye-irratsionalnye-chisla/umnozhenie-naturalnyh-chisel/

Ненатуральные числа. Как отличить натуральные от ненатуральных :

Что же такое натуральные и ненатуральные числа? Как объяснить ребенку, а может и не ребенку, в чем же отличия между ними? Давайте разбираться. Насколько известно, ненатуральные и натуральны числа изучают в 5 классе, и нашей целью является объяснить ученикам так, чтобы они действительно поняли и усвоили, что и как.

История

Натуральные числа — это одно из давних понятий.

Давным-давно, когда люди еще не умели считать и не имели понятия о числах, когда им требовалось что-либо пересчитать, к примеру, рыбу, животных, они выбивали на различных предметах точечки или черточки, как это позже выяснилось археологами.

В то время им было очень тяжело жить, но цивилизация развилась сначала до римской системы счисления, а затем до десятичной системы счисления. Сейчас же почти все используют арабские цифры

Натуральные числа и их свойства - в помощь студенту

Все о натуральных числах

Натуральные числа — это простые числа, которыми мы пользуемся в повседневной нашей жизни для подсчета предметов для того, чтобы определить количество и порядок. В настоящее время для записи чисел мы используем десятичную систему счисления. Для того чтобы записать любое число, мы используем десять цифр — от нуля до девяти.

Натуральные числа — это те числа, которые мы используем при счете предметов или указании порядкового номера чего-либо. Пример: 5, 368, 99, 3684.

Числовым рядом называют натуральные числа, которые расположены в порядке возрастания, т.е. от единицы до бесконечности. Такой ряд начинается с наименьшего числа — 1, а наибольшего натурального числа не бывает, так как ряд чисел просто бесконечен.

Вообще, ноль — натуральным числом не считается, так как он означает отсутствие чего-либо, и счет предметов так же отсутствует

Арабская система счисления — это современная система, которой мы пользуемся каждый день. Она является одним из вариантов индийской (десятичной).

Такая система счисления стала современной из-за цифры 0, которую и изобрели арабы. До этого в индийской системе она отсутствовала.

Натуральные числа и их свойства - в помощь студенту

Ненатуральные числа. Что это?

  • К натуральным числам не относятся отрицательные числа и нецелые. Значит, они и есть — ненатуральные числа
  • Ниже приведены примеры.
  • Ненатуральные числа бывают:
  • Отрицательные числа, например: -1, -5, -36.. и так далее.
  • Рациональные числа, которые выражены десятичными дробями: 4,5, -67, 44,6.
  • В виде простой дроби: 1/2, 40 2/7 и т.д.
  • Иррациональные числ, такие, как e = 2,71828, √2 = 1,41421 и тому подобное.

Мы надеемся, что очень помогли вам разобраться с ненатуральными и натуральными числами. Теперь вам станет легче объяснить своему малышу данную тему, и он усвоит ее так же хорошо, как великие математики!

Источник: https://www.syl.ru/article/403912/nenaturalnyie-chisla-kak-otlichit-naturalnyie-ot-nenaturalnyih

Натуральные числа

Натуральные числа составляют ряд, начинающийся с 1 и охватывающий множество всех положительных целых чисел. Такая последовательность состоит из чисел 1,2,3, … . Это означает, что в натуральном ряду:

  1. Есть наименьшее число и нет наибольшего.
  2. Каждое следующее число больше предыдущего на 1 (исключение – сама единица).
  3. При стремлении к бесконечности числа растут неограниченно.

Иногда в ряд натуральных чисел вводят и 0. Это допустимо, и тогда говорят о расширенном натуральном ряде.

Классы натуральных чисел

Каждая цифра натурального числа выражает определенный разряд. Самая последняя – это всегда количество единиц в числе, предыдущая перед ней – количество десятков, третья от конца – количество сотен, четвертая – количество тысяч и так далее.

Пример:

  • в числе 276: 2 сотни, 7 десятков, 6 единиц
  • в числе 1098: 1 тысяча, 9 десятков, 8 единиц; разряд сотен здесь отсутствует, поскольку выражен нулем.

Для больших и очень больших чисел можно увидеть устойчивую тенденцию (если исследовать число справа налево, то есть от последней цифры к первой):

  • три последних цифры в числе – это единицы, десятки и сотни;
  • три предыдущие – это единицы, десятки и сотни тысяч;
  • три стоящие перед ними (т.е.7-я, 8-я и 9-я цифры числа, считая от конца) – это единицы, десятки и сотни миллионов и т.д.

Итак:

  • 4-й класс, следующий за классом миллионов и представляющий собой числа из 10-12 цифр, называется миллиард (либо биллион);
  • 5-й класс – триллион;
  • 6-й класс – квадриллион;
  • 7-й класс – квинтиллион;
  • 8-й класс – секстиллион;
  • 9-й класс – септиллион.

Сложение натуральных чисел

  • Небольшие числа складывают (суммируют) устно, письменно такие действия записывают в строку.
  • Пример:
  • 28+63=91

Многозначные числа, которые прибавлять в уме затруднительно, принято складывать в столбик.

Для этого числа записывают одно под другим, выравнивая по последней цифре, то есть пишут разряд единиц под разрядом единиц, разряд сотен под разрядом сотен и так далее. Далее нужно попарно сложить разряды.

Если сложение разрядов происходит с переходом через десяток, то этот десяток фиксируется как единица над разрядом слева (то есть следующим за ним) и суммируется вместе с цифрами этого разряда.

Пример:

Если в столбик складывается не 2, а больше чисел, то при суммировании цифр разряда избыточным может оказаться не 1 десяток, а несколько. В этом случае на следующий разряд переносится количество таких десятков.

Пример:

Вычитание натуральных чисел

При переходе к сложению вычитаемое и разность превращаются в слагаемые, а уменьшаемое – в сумму. Сложением обычно проверяют правильность выполненного вычитания, и наоборот.

  1. Пример:
  2. 74–18=56
  3. Здесь 74 – уменьшаемое, 18 – вычитаемое, 56 – разность.

Обязательным условием при вычитании натуральных чисел является следующее: уменьшаемое обязательно должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае полученная разность тоже будет натуральным числом. Если действие вычитания осуществляется для расширенного натурального ряда, то допускается, чтобы уменьшаемое было равно вычитаемому. И результатом вычитания в этом случае будет 0.

  • Пример:
  • 21–21=0
  • Примечание: если нулю равно вычитаемое, то операция вычитания не изменяет величины уменьшаемого.
  • Пример:
  • 38–0=38

Вычитание многозначных чисел обычно производят в столбик. Записывают при этом числа так же, как и для сложения. Вычитание выполняется для соответствующих разрядов.

Если же оказывается, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то берут единицу из предыдущего (находящегося слева) разряда, которая после переноса, естественно, превращается в 10.

Эту десятку суммируют с цифрой уменьшаемого данного разряда и после этого производят вычитание. Далее при вычитании следующего разряда обязательно учитывают, что уменьшаемое стало на 1 меньше.

Пример:

Произведение натуральных чисел

Действие умножение незаменимо при необходимости складывать большое количество слагаемых. Например, если нужно число 4 прибавить 7 раз, то перемножить 4 на 7 проще, нежели выполнять такое сложение: 4+4+4+4+4+4+4.

Числа, которые перемножают, называются множителями, результат умножения – произведением. Соответственно, термин «произведение» может в зависимости от контекста выражать собой как процесс умножения, так и его результат.

Многозначные числа перемножают в столбик. Для этого числа записывают так же, как и для сложения и вычитания. Рекомендуется первым (выше) записывать то из 2-х чисел, которое длиннее. В этом случае процесс умножения будет более простым, а следовательно, более рациональным.

При умножении в столбик выполняют последовательное умножение цифры каждого из разрядов второго числа на цифры 1-го числа, начиная с его конца. Найдя первое такое произведение, записывают цифру единиц, а цифру десятков держат в уме.

При умножения цифры 2-го числа на следующую цифру 1-го числа к произведению прибавляют ту цифру, которую держат в уме. И снова записывают цифру единиц полученного результата, а цифру десятков запоминают.

При умножении на последнюю цифру 1-го числа полученное таким способом число записывают полностью.

Результаты умножения цифры 2-го разряда второго числа записывают вторым рядом, сместив его на 1 клетку вправо. И так далее. В итоге будет получена «лесенка». Все получившиеся ряды цифр следует сложить (по правилу сложения в столбик). Пустые клетки при этом нужно считать заполненными нулями. Полученная сумма и есть конечное произведение.

Примеры:

Деление натуральных чисел

Число, которое делят, называют делимым; число, на которое делят, – делителем; результат деления называется частным. Знаком деления является «:» (иногда, реже – «÷»).

  1. Пример:
  2. 48:6=8
  3. Здесь 48 – делимое, 6 – делитель, 8 – частное.

Не все натуральные числа можно поделить между собой. В этом случае выполняют деление с остатком. Заключается оно в том, что для делителя подбирается такой множитель, чтобы его произведение на делитель было бы числом, максимально близким по значению к делимому, но меньшим него.

Делитель умножают на этот множитель и вычитают его из делимого. Разность и будет остатком от деления. Произведение делителя на множитель называют неполным частным.

Внимание: остаток обязательно должен быть меньше подобранного множителя! Если остаток больше, то это означает, что множитель подобран неверно, и его следует увеличить.

Пример:

38:7

Подбираем множитель для 7. В данном случае это число 5. Находим неполное частное: 7·5=35. Вычисляем остаток: 38-35=3. Поскольку 3

Источник: https://spadilo.ru/naturalnye-chisla/

Натуральные числа — История математики 5 класс

Можно ли представить мир без чисел? Вспомните, что мы с вами делаем изо дня в день: без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь. А космические корабли, лазеры и все другие достижения! Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах.

      Число одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения.

            Люди так часто пользуются числами и счетом, что трудно даже представить себе, что они существовали не всегда, а были изобретены человеком.

Читайте также:  Молекулярно-орбитальная интерпретация ориентации электрофильного ароматического замещения - в помощь студенту

КАК ПОЯВИЛИСЬ ЦИФРЫ И ЧИСЛА.

                             1. Арифметика каменного века.

      Сначала люди научились узнавать число предметов или животных, делая особые зарубки на счетных палочках, вести счет.

      Мысль о счете пришла людям в голову раньше, чем появились цифры. Люди могли сообщить друг другу, что в одном стаде животных больше чем в другом, а вот, сколько именно – сосчитать не умели.

      Древние люди не умели считать. Да и считать им было нечего, потому что предметов, которыми они пользовались – орудий труда, — было совсем немного: один топор, одно копье… Постепенно количество вещей увеличивалось, обмен ими все усложнялся и возникла потребность в счете.

      Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменные топор и нож.

И ему приходилось считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни.

Постепенно возникла необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: по сколько плодов достанется каждому, чтобы хватило всем; сколько расходовать сегодня, чтобы оставить про запас; сколько нужно сделать ножей и т.п. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.

      Несколько десятков лет назад ученые-археологи обнаружили стойбище древних людей. В нем они нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад какой-то древний охотник нанес 55 зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из 11 групп, по 5 зарубок в каждой.

При этом первые 5 групп он отделил от остальных длинной чертой. Позднее в Сибири и других были найдены сделанные в ту далекую эпоху каменного века (каменные орудия) и украшения, на которых тоже были черточки и точки, сгруппированные по 3, по 5 или по 7.

                                                                                                    Много тысячелетий прошло с того времени. Но и сейчас швейцарские крестьяне, отправляя молоко на сыроварни, отмечают число фляг такими же зарубками. До сих пор в русском языке сохранилось слово «бирка».

Теперь так называют дощечку с номером или надписью, которую привязывают к кулям с товаром, ящикам и тюкам и т.д. А еще двести –триста лет назад это слово означало совсем иное. Так называли куски дерева, на которых зарубками отмечали сумму долга и подати.

Бирку с зарубками раскладывали пополам, после чего одна половинка оставалась у должника, а другая у сборщика податей. При счёте

половинки складывали вместе, и это позволяло определить сумму долга или подати без спора и сложных вычислениях.

                         2. Числа начинают получать имена.

      Они могли представить себе такие числа как один, два, три. Все другие числа они означали понятием «Много». Именно так считают и сейчас некоторые племена, живущие в джунглях Южной Америки.

      Ещё недавно существовали племена, в языке которых были названия только двух чисел: «один» и «два». Туземцы островов, расположенных в Торресовом проливе, знали два числа: «урапун» — один, «окоза» — два и умели считать до шести.

Островитяне считали так: «окоза-урапун» — три, «окоза-окоза» — четыре, «окоза-окоза-урапун» — пять, «окоза-окоза-окоза» — шесть. О числах, начиная с 7, туземцы говорили «много», «множество». Наши предки, наверняка, тоже начинали с этого.

В старинных пословицах и поговорках как, например, «Семеро одного не ждут», «Семь бед – один ответ», «У семи нянек дитя без глазу», «Один с сошкой, семеро с ложкой» 7 тоже означало «много».

      В древние времена, когда человек хотел показать, сколькими животными он владел, он клал в большой мешок столько камешков, сколько у него было животных. Чем больше животных, тем больше камешков. Отсюда и произошло слово «калькулятор», «калькулюс» по латински означает «камень».

      Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги. Поэтому, если в те времена кто-то хвалился, что у него «две руки и одна нога кур», это означало, что у него пятнадцать кур, а если это называлось «весь человек», то есть две руки и две ноги.

      Перуанские инки вели счет животных и урожая, завязывая узелки на ремешках или шнурках разной длины и цвета (Рис. 1). Эти узелки назывались кипу. У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают 4 узелочка    шнурочке! Поэтому того, кто завязывал узелки, называли вспоминателем.

Источник: https://www.sites.google.com/site/istoriamatematiki5klass/ucenikam/istoriceskie-svedenia/naturalnye-cisla

Натуральные числа

Натуральные числа — одно из старейших математических понятий.

В далёком прошлом люди не знали чисел и, когда им требовалось пересчитать предметы (животных, рыбу и т.д.), они делали это не так, как мы сейчас.

Количество предметов сравнивали с частями тела, например, с пальцами на руке и говорили: «У меня столько же орехов, сколько пальцев на руке».

Со временем люди поняли, что пять орехов, пять коз и пять зайцев обладают общим свойством — их количество равно пяти.

Запомните!

  • Натуральные числа — это числа, начиная с 1, получаемые при счете предметов.
  • 1, 2, 3, 4, 5…
  • Наименьшее натуральное число — 1.
  • Наибольшего натурального числа не существует.

При счёте число ноль не используется. Поэтому ноль не считается натуральным числом.

Записывать числа люди научились гораздо позже, чем считать. Раньше всего они стали изображать единицу одной палочкой, потом двумя палочками — число 2, тремя — число 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Затем появились и особые знаки для обозначения чисел — предшественники современных цифр. Цифры, которыми мы пользуемся для записи чисел, родились в Индии примерно 1 500 лет назад. В Европу их привезли арабы, поэтому их называют арабскими цифрами.

Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С помощью этих цифр можно записать любое натуральное число.

Запомните!

  1. Натуральный ряд — это последовательность всех натуральных чисел:
  2. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
  • В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на 1.
  • Натуральный ряд бесконечен, наибольшего натурального числа в нём не существует.
  • Систему счёта (счисления), который мы пользуемся, называют десятичной позиционной.

Десятичной потому, что 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной потому, что значение цифры зависит от её места в записи числа, то есть от разряда, в котором она записана.

Важно!

Разряды и классы (включая класс миллионов) подробно разобраны на нашем сайте в материалах для начальной школы.

Класс миллиардов

Если взять десять сотен миллионов, то получим новую разрядную единицу — один миллиард или в записи цифрами.

1 000 миллионов = 1 000 000 000 = 1 млрд

Десять таких единиц — десять миллиардов, десять десятков миллиардов образуют следующую единицу — сто миллиардов.

Запомните!

Миллиарды, десятки миллиардов и сотни миллиардов образуют четвёртый класс — класс миллиардов.

Разряды и классы натурального числа

Рассмотрим натуральное число 783 502 197 048

Название класса

Название разряда

Цифра (символ)

Миллиарды Миллионы Тысячи Единицы
Сотни миллиардов Десятки миллиардов Миллиарды Сотни миллионов Десятки миллионов Миллионы Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Единицы
7 8 3 5 2 1 9 7 4 8
Название класса

Название разряда

Цифра (символ)

Миллиарды Миллионы Тысячи Единицы
Сотни миллиардов Десятки миллиардов Миллиарды Сотни миллионов Десятки миллионов Миллионы Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Единицы
7 8 3 5 2 1 9 7 4 8

C помощью таблицы разрядов прочитаем это число. Для этого надо слева направо по очереди называть количество единиц каждого класса и добавлять название класса.

Название класса единиц не произносят, также не произносят название класса, если все три цифры в его разрядах — нули.

Теперь прочтем число 783 502 197 048 из таблицы: 783 миллиарда 502 миллиона 197 тысяч 48.

Числа 1, 10, 100, 1000… называются разрядными единицами. С их помощью натуральное число записывается в виде разрядных слагаемых. Так, например, число 307 898 будет выглядеть в виде разрядных слагаемых.

307 898 = 300 000 + 7 000 + 800 + 90 + 8

Проверить свои вычисления вы можете с помощью нашего калькулятора разложения числа на разряды онлайн.

Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.

  • 1 000 миллиардов = 1 000 000 000 000 = 1 триллион («три» — по латыни «три»)
  • 1 000 триллионов = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадриллион («квадра» — по латыни «четыре»)
  • 1 000 квадриллионов = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квинтиллион («квинта» — по латыни «пять»)

Все числа пересчитать невозможно, поскольку за каждым числом следует число на единицу большее, но очень большие числа в повседневной жизни не нужны.

Однако, физики нашли число, которое превосходит количество всех атомов (мельчайших частиц вещества) во всей Вселенной.

Это число получило специальное название — гугол. Гугол — число, у которого 100 нулей.

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages%2Fset-of-numbers%2Fnatural.php

1.1.1. Понятие натуральных чисел

Понятия «число» и «операция» не так просты, как это может показаться с первого взгляда. Почему, пользуясь одними и теми же числами, мы можем считать камушки и звезды? Это позволяет нам думать, что, сколько бы ни было объектов, мы всегда сможем их пересчитать, и операции сложения, умножения будут также применимы к ним. Подобные вопросы ставились и древними греками, и в наше время.

В этом курсе мы будем исходить из того, что умение считать и различать разные количества предметов – врожденные способности человека.

Возьмем в руки камушки, как это делали пифагорейцы, будем прибавлять их по одному, называть последовательно каждое количество своим именем и таким «наглядным» способом определим сразу два основных для алгебры понятия – число и операцию увеличения на единицу.

Повторяя эту процедуру и предполагая, что ничто не мешает нам делать это бесконечно, мы сможем определить сложение и умножение на бесконечном множестве натуральных чисел.

Натуральными называются числа, которые используются для счёта предметов или обозначения номера предмета в ряду однородных предметов: 1, 2, 3, 4, 5, …

При сложении и умножении натуральных чисел снова получается натуральное число.

Пусть p и q – натуральные числа. Тогда:

  • s = p + q – натуральное число, s – сумма, p и q – слагаемые;
  • t = pq – натуральное число, t – произведение, p и q – сомножители.

Приведем без доказательства законы, которые впоследствии позволят определить операции сложения и умножения не только для чисел, но и для гораздо более сложных объектов, таких, как множества, функции, группы и так далее.

Сложение и умножение натуральных чисел обладают следующими свойствами:

  1. a + b = b + a (переместительный закон сложения).
  2. (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения).
  3. ab = ba (переместительный закон умножения).
  4. (ab)c = a(bc) (сочетательный закон умножения).
  5. a(b + c) = ab + ac (распределительный закон умножения относительно сложения).

К сложению и умножению можно добавить обратные операции – вычитание и деление.

Если p, q и k – натуральные числа, то при натуральном k = p – q говорят, что

  • p – уменьшаемое; q – вычитаемое; k – разность.

Если же натуральное k = p : q, то говорят, что

  • p – делимое; q – делитель; k – частное.

При этом число p называется кратным числа q, а число q – делителем числа p. Другими словами, если число p кратно числу q, то существует такое число k, что k = p : q.

Вычитание и деление натуральных чисел, вообще говоря, не всегда приводит опять к натуральному числу: 15 – 3 = 12 – натуральное число, но 4 – 9 = –5 – не натуральное число. 25 : 5 = 5 – натуральное число, 22 : 7 – не натуральное число.

Увы, нам придется вводить ограничения на применимость новых операций, так как в некоторых случаях они выводят нас за рамки натуральных чисел, а другие числа мы еще не определили. Так что будем пока считать, что нельзя вычитать большее из меньшего, и делить на число, которое не укладывается нацело в делимом. Но с этими ограничениями мы можем уже записывать числовые выражения.

Числовым называется выражение, составленное из чисел с помощью знаков арифметических действий. Если в числовом выражении выполнить все указанные действия, то получится число, которое называется значением данного выражения.

Для того, чтобы определить порядок действий в выражении, введем еще один, парный, знак – скобки.

Приоритет арифметических операций в числовом выражении следующий: вначале выполняются действия в скобках; внутри скобок вначале выполняют умножение и деление, после чего сложение и вычитание.

Пример 1

В каком порядке нужно выполнять действия в выражении

Порядок действий указан цифрами над знаками арифметических действий:

Пример 2

В каком порядке нужно выполнять действия в выражении

Порядок действий указан цифрами над знаками арифметических действий:

Еще один простой вопрос – можем ли мы наше множество упорядочить? Существует ли последовательность действий, выполнив которую, мы можем перечислить все элементы множества? Это было бы равнозначно введению какого-то однозначного отношения между элементами. Самым простым упорядочивающим отношением служит понятие «больше», и, чтобы ввести его, расположим натуральные числа на числовой прямой.

1
Рисунок 1.1.1.1.Координатная прямая

Нарисуем горизонтальную прямую x, выберем на ней точку O и назовём её началом отсчёта, выберем на этой прямой направление (обычно слева направо) и единичный отрезок (то есть отрезок, длина которого по определению равна 1) (см. рисунок). Говорят, что задана координатная прямая.

Каждому натуральному числу можно поставить в соответствие одну и только одну точку. Именно, если, например, задано число 5, отложим от точки O вправо выбранный единичный отрезок 5 раз. Точно так же можно поступить с любым натуральным числом.

Если некоторая точка A соответствует некоторому числу a, то говорят, что число a является координатой точки A. В этом случае пишут A (a).

  • Говорят, что натуральное число a меньше другого натурального числа b, и записывают этот факт так: a  b, если точка на числовой оси, отвечающая числу a, лежит правее точки, отвечающей числу b.

Ясно, что число 0 (нуль) – координата точки O – меньше любого натурального числа.

Для любых двух натуральных различных чисел a и b справедливо одно и только одно утверждение: a  b или a = b. Знаки < и > называются знаками строгих неравенств, знаки ≤ и ≥ – знаками нестрогих неравенств. Запись a ≤ b означает, что верно одно из двух утверждений: либо a 

Источник: https://mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter1/section1/paragraph1/theory.html

Ссылка на основную публикацию