Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник — в помощь студенту

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять   каких-либо точек   и соединить их последовательно отрезками.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту
  • Точки   — вершины многоугольника.
  • Отрезки   – стороны многоугольника.

При этом смежные стороны (имеющие общую вершину) не должны лежать на одной прямой, а несмежные стороны не должны иметь общих точек (то есть не должны пересекаться).

Многоугольник с   сторонами называют  -угольником.

Произвольные многоугольники

Давай-ка нарисуем, какие бывают многоугольники.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

А теперь вопрос: какой из этих многоугольников выпадает из ряда?

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Эллинистическая философия - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Посмотри внимательно на второй многоугольник — он по-существу отличается от всех остальных. Чем же? Он не выпуклый. Это конечно математическое название, но с человеческой интуицией не расходится.

Ну вот, а мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники, то есть такие, как 1),3),4) и т.п.

Итак, основной факт:

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту В любом многоугольнике сумма внутренних углов равна  , где буква « » означает число углов многоугольника.

Давай сразу к примерам:

Четырехугольник

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

Пятиугольник

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

Шестиугольник

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

Ах да, про треугольник забыли.

Треугольник

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

А теперь давай все-таки разберемся, откуда же взялась формула  . Зачем? Понимаешь, приемчик, который мы сейчас применим, часто оказывается полезным при решении разных задач. Несмотря на то, что теорема о сумме углов многоугольника верна для всякого многоугольника, доказательство красивое и простое только для выпуклых многоугольников. Итак, давай разделим многоугольник на треугольники.

Вот так: из одной точки проведем все диагонали, что можно. Сколько их будет? Считаем:

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Всего вершин:   Из вершины   можем провести диагонали во все вершины, кроме:

  • Самой вершины  
  • Вершины  
  • Вершины  

Значит всего диагоналей  . А на сколько треугольников распался наш многоугольник?

Представь себе: на  . Порисуй, посчитай – удостоверься, что треугольников оказывается ровно на один больше.

Итак, у нас ровно   треугольника. И сумма углов многоугольника просто равна сумме углов треугольников, на которые мы разбили многоугольник. Чему равна сумма углов треугольника? Помнишь? Конечно  .

Ну вот,   треугольника, в каждом по  , значит:

Сумма углов многоугольника равна   

Что же из этого может оказаться полезным? А вот что:

  1. Разделение на треугольники.
  2. Осознание того, что если провести какую-нибудь диагональ, то получится два новых многоугольника, сумма углов которых равна сумме углов большого многоугольника.

Вот смотри, был  -угольник:

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Его сумма углов  . Провели диагональ, скажем  :

Получился пятиугольник   и семиугольник  . Сумма углов   равна  , а сумма углов   равна  . А вместе :   — все сошлось! Ну и на этом о произвольных многоугольниках – хватит.

Правильные многоугольники

Многоугольник называется правильным, если все его углы и все его стороны равны.

Так, например: квадрат – правильный четырехугольник, а вот прямоугольник – нет, хоть и все углы у него равные, и ромб – нет, хоть и все стороны равны. Нужно непременно, чтобы все углы и все стороны были равны.

  • Первый вопрос:
  • А можно ли найти величину одного (а значит и всех) угла правильного многоугольника?
  • И ответ: можно!
  • Давай посмотрим на примере.
  • Пусть есть, скажем, правильный восьмиугольник:
Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Сумма всех его углов равна  . А сколько всего углов? Восемь конечно, и они все одинаковые.
  1. Значит любой угол, скажем   можно найти:
  2.  .
  3. Что мы еще должны знать?
Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.
  • При этом центры этих окружностей совпадают.
  • Смотри как это выглядит!
  • И более того, всегда можно посчитать соотношение между радиусом вписанной и описанной окружностей.

Давай опять на примере восьмиугольника. Посмотри на  . В нем  

  1. Значит,   — и это не только в восьмиугольнике!
  2. Чему же равен в нашем случае  ?
  3. Ровно половине  , представь себе!

Значит  . Смешно? Но так и есть! Поэтому для восьмиугольника  .

Может возникнуть еще один вопрос: а можно ли посчитать углы «около» точки  ? И тот же ответ: конечно можно! Опять рассмотрим наш восьмиугольник. Вот мы хотим найти   (то есть  ).

  • Мы знаем, что в   сумма углов равна  . Значит:
  • Потому  
  • И так можно все находить не только для восьмиугольника, но и для любого правильного многоугольника.

МНОГОУГОЛЬНИКИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять   каких-либо точек   и соединить их последовательно отрезками.

  • Точки   — вершины многоугольника.
  • Отрезки   – стороны многоугольника.

Многоугольник с   сторонами называют  -угольником.

Например: многоугольник c   сторонами называют четырехугольником, многоугольник с   сторонами — шестиугольником и так далее по аналогии.

Четырехугольник Шестиугольник
  • Выпуклый многоугольник — многоугольник лежащий по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины.
  1. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна   или  , где   — внутренний угол многоугольника.
  2. Правильный выпуклый многоугольник — многоугольник все стороны и внутренние углы которого равны.
  3. Внутренний угол правильного  -угольника равен  .
  • Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и окружности, описанной около него, совпадают.

Если многоугольник такой, что в него можно вписать окружность, то его площадь выражается формулой:  , где  .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

  • Стать учеником YouClever,
  • Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
  • А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/mnogougolniki-2

Многоугольник

На этом уроке мы поговорим о геометрической фигуре, которую называют многоугольником. Уже само слово «многоугольник» указывает на то, что эта фигура имеет много углов.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

Давайте посмотрим на следующую фигуру, которая составлена из отрезков AB, BC, CD, DE, EA. Причем смежные отрезки, то есть отрезки AB и BC, BC И CD, CD и DЕ, DE и ЕА, ЕА и АB не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки, например, AB и CD, BC и ED, АЕ и CD, не имеют общих точек. Такую фигуру называют многоугольником.

  • Точки A, B, C, D и Е называются вершинами этого многоугольника, а отрезки AB, BC, CD, DE и ЕА – его сторонами.
  • Периметром многоугольника называется сумма длин всех его сторон.
  • Обратите внимание, что рассматриваемый многоугольник имеет 5 вершин и 5 сторон, а поэтому его называют пятиугольником.

Многоугольник с n вершинами называется n-угольником. N-угольник имеет n сторон.

Треугольник является примером многоугольника. Четырёхугольник и семиугольник также являются примерами многоугольников.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

А вот следующая фигура не является многоугольником, так как несмежные отрезки и имеют общую точку.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

  1. Вернёмся к многоугольнику, рассматриваемому вначале урока.
  2. Две вершины, которые принадлежат одной стороне, например, A и B , B и C, D и Е, называются соседними.
  3. А вот отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины, например, AC, BЕ, АD, называется диагональю многоугольника.
  4. Многоугольник разделяет плоскость на две части, а именно, на внутреннюю область многоугольника и на внешнюю.
  5. Следует отметить, что многоугольником также называют фигуру, состоящую из отрезков и внутренней области.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

Все многоугольники делят на выпуклые и невыпуклые. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любые две соседние вершины.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

 А вот если многоугольник лежит по разные стороны хотя бы от одной прямой, проходящей через две соседние вершины, то его называют невыпуклым.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

Теперь давайте выясним, чему же равна сумма углов выпуклого n-угольника.

Давайте возьмём выпуклый четырёхугольник и проведём в нем диагональ,  Получили два треугольника.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

Мы знаем, что сумма углов треугольника равна ста восьмидесяти градусам. А тогда сумма углов выпуклого четырёхугольника равняется сумме углов этих двух треугольников, то есть равняется 180º умножить на 2 и равняется 360º.

Теперь возьмем выпуклый пятиугольник и, проведя в нём две диагонали, разобьём его на три треугольника.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

И возьмем еще, например, выпуклый шестиугольник. Проведём в нем три диагонали.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

 И получим четыре треугольника. А тогда сумма углов выпуклого шестиугольника будет равна .

Таким образом, мы могли бы продолжать находить суммы углов других выпуклых многоугольников. Но обратите внимание, что в четырёхугольнике четыре стороны и мы его разбили на  два треугольника. В пятиугольнике: пять сторон – три треугольника. А в шестиугольнике: шесть сторон – четыре треугольника

  • То есть в каждом случае получается, что треугольников на два меньше, чем сторон у рассматриваемой фигуры.
  • На основании этого сделаем вывод: сумма углов выпуклого n-угольника равна , где n – количество сторон (углов).
  • А теперь давайте решим несколько задач.

Задача. Найти сумму углов выпуклого: а) пятиугольника; б) десятиугольника.

  1. Решение.
  2. Для того чтобы найти сумму углов выпуклого пятиугольника, мы в полученное выше выражение вместо n подставим 5, выполним вычисления и получим 540º.
  3. а) ;
  4. А вот чтобы найти сумму углов десятиугольника, подставим в выражение вместо n 10:
  5. б) .
  6. Ответ: 540 градусов, 1440 градусов.

Задача. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) ; б) ?

  • Решение.
  • Ответ: 4 и 6.

Источник: https://videouroki.net/video/1-mnoghoughol-nik.html

Многоугольники / math4school.ru

  • Основные определения
  • Выпуклые многоугольники
  • Правильные многоугольники
Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять n каких-либо точек A1, A2, …, An и соединить их последовательно отрезками. Многоугольник с n сторонами называют ещё n-угольником.  Точки A1, A2, …, An называются вершинами многоугольника, а отрезки A1A2, A2А3, …, AnA1 – его сторонами. Многоугольник разбивает плоскость на две части – ограниченную (ее можно заключить в некоторый круг) и неограниченную. Первая называется внутренней областью многоугольника, вторая – внешней областью. Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Плоским многоугольником или многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная некоторым многоугольником.
Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту
  1. Окружность, которая касается всех сторон многоугольника, называется вписанной в этот многоугольник; многоугольник, соответственно, называется описанным.
  2. Центр окружности, вписанной в многоугольник, является точкой пересечения всех биссектрис внутренних углов этого многоугольника.
  3. Площадь описанного многоугольника:
  4. S = pr,
  5. где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр многоугольника.
Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Окружность, которая содержит все вершины многоугольника, называется описанной около этого многоугольника; многоугольник, соответственно, называется вписанным. Центр окружности, описанной около многоугольника, является точкой пересечения всех серединных перпендикуляров сторон этого многоугольника.
Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:

  • многоугольник не имеет самопересечений и каждый его внутренний угол меньше 180°
  • многоугольник лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон и не проходят через другие вершины);
  • многоугольник является пересечением (то есть общей частью) нескольких полуплоскостей;
  • каждая диагональ многоугольника лежит внутри него;
  • любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит;

Углом (внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°·(n–2): α1+α2+ … +αn= 180°·(n–2).

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту
  • Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине:
  • α1 + β1=180°,
  • α2 + β2=180°,

. . . αn + βn=180°. Сумма внешних углов любого выпуклого n-угольника равна 360°: β1+ β2+ … + βn=360°.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту
  1. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
  2. Количество диагоналей выпуклого n-угольника равно
  3. ½·n·(n – 3).
Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Выпуклый четырёхугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его внутренние углы равны. Внутренний угол правильного  n-угольника  Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

  • Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и окружности, описанной около него, совпадают.
  • Каждая сторона правильного n-угольника видна из его центра под углом 2γ, где
  • Радиусы описанной и вписанной окружностей правильного n-угольника:
  • Площадь правильного n-угольника можно определить:
  • через сторону многоугольника:

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

  • через радиус описанной окружности:
  • через радиус вписанной окружности:

Источник: http://math4school.ru/mnogougolniki.html

Разработка урока геометрии по теме: «Сумма углов многоугольника»

  • Разработка урока геометрии
  • по теме:
  • «СУММА УГЛОВ
  • МНОГОУГОЛЬНИКА»
  • учитель: Саяпина
  • Светлана Владимировна
  • Г. Костанай
  • Класс: 8
  • Тема урока:
  • Сумма углов выпуклого многоугольника
  • Тип урока: урок усвоения нового материала
  • Цели: а) повторить определение многоугольника, особенности его построения, определения вершин, сторон, углов, диагоналей, соседних и противоположных вершин, смежных и противоположных сторон многоугольника, выводы о количестве диагоналей, проведенных из одной вершины, и общего количества всех диагоналей n- угольника, определения выпуклого и невыпуклого многоугольника, правильного многоугольника, периметра многоугольника.
  • б) организовать деятельность учащихся по изучению и первичному закреплению свойств углов многоугольника: суммы внутренних углов многоугольника и суммы внешних углов.
  • в) обеспечить закрепление изученных теорем в решении задач и проблемных ситуаций.
  • г) обеспечить проверку и оценку знаний и способов действий учащихся по теме;

д) создать условия для развития у учащихся умений рассуждать, делать логические выводы, обобщать. Способствовать воспитанию внимательности, аккуратности, организованности.

  1. ТСО: интерактивная доска или мультимедийный комплекс, карточки с тестом по теме «Многоугольник», плакаты по теме
  2. План урока:
  3. Организационный момент
  4. а) Активизация знаний по пройденной теме «Многоугольник и его элементы»
  5. б) Повторная проверка усвоения знаний учащихся, показавших недостаточно хорошие результаты на предыдущем уроке.
  6. 3. Усвоение теоремы о сумме внутренних углов выпуклого
  7. многоугольника:
  8. а) Вывод правила;
  9. б) Закрепление: решение задач.
  10. 4. Усвоение теоремы о сумме внешних углов выпуклого
  11. многоугольника:
  12. а) Вывод правила;
  13. б) Закрепление: решение задач.

5. Пояснения и запись домашнего задания.

  • 6. Подведение итогов урока:
  • а) обобщение изученного на уроке;
  • б) оценивание работы учащихся на уроке;

7. Резерв: творческое задание.

1.

Здравствуйте ребята! Садитесь. Сегодня мы продолжаем знакомство с многоугольниками. На прошлом уроке вы приобрели только самые начальные знания, и вам необходимо было применить их к решению домашних задач. Какие проблемы возникли при выполнении домашней работы?

2.

Поднимите руки те, кто на прошлом уроке в задании «Проверь себя» получил оценки «3» и ниже. Вам предстоит еще раз выполнить похожие задания, поработав по карточкам. (раздаются карточки). На работу у вас 3 минуты. Если закончите раньше, сдаете работу и присоединяетесь к работе класса. (приложение1)

Всем остальным предлагаю вспомнить основные понятия, изученные на прошлом уроке, связанные с многоугольником. Вы можете говорить по одной законченной мысли. Победит тот, кто вспомнит то, что больше не смог вспомнить никто из одноклассников, то есть тот, кто будет последним. Итак начали.

Учащиеся должны вспомнить определение многоугольника, особенности его построения, определения вершин, сторон, углов, диагоналей, соседних и противоположных вершин, смежных и противоположных сторон многоугольника, выводы о количестве диагоналей, проведенных из одной вершины, и общего количества всех диагоналей n- угольника, определения выпуклого и невыпуклого многоугольника, правильного многоугольника, периметра многоугольника.. Высказывания учащихся учитель сопровождает демонстрацией соответствующих чертежей с прошлого урока. Эти же чертежи, но без подписей, могут напомнить учащимся необходимые правила и определения, если вдруг возникнет заминка. (приложение 2)

Учитель отмечает активных ребят, просит исправить неточности, помогает с помощью соответствующих рисунков восстановить знания полученные на прошлом уроке. По окончанию устной работы собирает работы тех, кто работал по карточкам.

  1. 3.
  2. Далее учитель демонстрирует презентацию, организуя деятельность учащихся по усвоению новых знаний. (Предлагаю описание деятельности с сопровождением рисунка, который будет появляться на интерактивной доске или на экране мультимедийного комплекса при каждом щелчке «мышью»)
  3. а) Объяснение.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

Сегодня особое внимание мы уделим внутренним и внешним углам выпуклого многоугольника. Откройте тетради, запишите тему: «Сумма углов выпуклого многоугольника»

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

  • Начертите любой выпуклый n –угольник.
  • Ученики выполняют построение.
  • Учитель просматривает, все ли уяснили понятие «выпуклый многоугольник»

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

Проведите из одной вершины все диагонали.

Ученики выполняют построение.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

На какие фигуры разделился многоугольник?

Учащиеся отвечают на вопрос.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

Сколько треугольников получилось?

Учащиеся с помощью учителя рассуждают, что треугольник образуется с помощью трех точек. А поэтому треугольников будет на два меньше, чем вершин.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

  1. Что вы можете сказать о сумме углов каждого треугольника?
  2. (На чертеже поочередно выделяются углы в каждом треугольнике)
  3. Учащиеся вспоминают, что сумма углов каждого треугольника равна 180º

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

Если сумма углов 180º, а треугольников n – 2, то как найти сумму всех углов, выделенных на рисунке?

Учащиеся отвечают на вопрос.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

  • Чем для многоугольника являются выделенные углы?
  • (На чертеже «стираются» диагонали)
  • Учащиеся выясняют, что сумма углов всех полученных треугольников является суммой углов многоугольника, и поэтому сумма углов многоугольника будет вычисляться по этой же формуле.
  • Попробуйте сформулировать правило, которое мы только что вывели.
  • Ученики делают выводы.
  • Запишите и запомните теорему о сумме углов выпуклого многоугольника.
  • Учащиеся делают необходимые записи.
  • А теперь рассмотрим ряд задач, решить которые нам поможет данная теорема.
  • б) Закрепление.
  • Найти сумму углов выпуклого двенадцатиугольника.

Что дано в задаче? Что надо найти?

  1. Учащиеся отвечают на вопрос.
  2. Учащиеся записывают условие.
  3. Как будем решать задачу?
  4. Ученики предлагают решение.

Один из учащихся записывает решение задачи на доске. Остальные в тетради.

  • Важно: Если презентация показывается на экране компьютера или телевизора, то решение записывается мелом на доске. Если на интерактивной доске, то перед переходом к новой задаче необходимо выбрать на панели «инструмент очистки» и в появившейся вкладке выбрать «удалить примечания»
  • Учитель предлагает новую задачу.
  • Сколько вершин имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 900º?
  • Учащиеся записывают условие.
  • Обсуждается решение.

 

Один из учащихся записывает решение задачи на доске. Остальные в тетради.

Важно: не забыть после оформленного решения «удалить примечания»

Следующая задача. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна 1000º?

  1. Под руководством учителя учащиеся приходят к пониманию, что надо просто попробовать найти количество углов такого многоугольника, решая задачу аналогично предыдущей.
  2. Учащиеся записывают условие.
  3. Учитель каждый шаг решения демонстрирует на экране.
  4. Ученики записывают решение в тетрадь.

Что у нас обозначено буквой n? Какие значения может принимать количество углов? Может ли в нашем случае число n быть натуральным?

Ученики отвечают на вопросы. Рассуждения записывают в тетрадь.

  • Итак, как выяснить существует ли выпуклый многоугольник с заданной суммой углов?
  • Ученики формулируют вывод.

Задача 4. Сколько сторон имеет правильный пятиугольник, каждый угол которого равен 150º?.

Что дано в задаче? Что надо найти?

  1. Учащиеся отвечают на вопрос.
  2. Учащиеся записывают условие.
  3. Что можно сказать об углах правильного n-угольника?
  4. Сколько их?
  5. Как тогда найти сумму всех углов?

Ученики отвечают на вопросы. Делают записи в тетради.

Если же рассматривать данный n-угольник, как любой другой многоугольник, то как еще можно найти сумму углов?

Ученики отвечают на вопрос. Делают записи в тетради.

  • Что вы можете сказать о значениях сумм, найденных по одной и второй формул?
  • Учащиеся приходят к выводу, что значения равны, а значит, правые части нужно приравнять.

 

Ученики самостоятельно решают полученное уравнение. Объявляют ответ.

Учитель демонстрирует полное решение на экране, чтобы учащиеся проверили свои записи.

Важно: «удалить примечания»

А эту задачу решите самостоятельно. Первые три ученика получат за решение оценку. Поэтому прежде чем нести решение проверьте. Если решение будет неверным или с ошибкой, то оценку вы все равно получите, но уже не «5».

Ученики решают задачу самостоятельно.

Учитель проверяет работы тех, кто справился скорее всех. Одного из тех, кто решил задачу правильно, просит записать решение на доске и объяснить его всем.

 

  1. Итак, мы выяснили, что сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле………?
  2. И рассмотрели задачи разного типа на применение данной формулы.
  3. 4а) Объяснение

Рассмотрим еще один вид углов любого многоугольника. Кроме внутренних углов можно еще рассмотреть внешние углы.

  • Рассмотрим все такие углы n- угольника, взятые по одному при каждой вершине, и попробуем найти сумму всех таких углов.
  • Посмотрите на рисунок, обратите внимание на цвет, и подумайте, что можно вписать на пропущенное место.
  • Учащиеся отвечают на вопрос.
  • Продолжите рассуждение.
  • Учащиеся отвечают на вопрос.
  • Следующая проблема.
  • Учащиеся отвечают на вопрос.
  • А что надо сделать, чтобы остались только внешние углы?
  • На чертеже «стираются» внутренние углы.
  • Учащиеся отвечают на вопрос.

Упростите выражение. Что получится?

  1. Учащиеся преобразуют выражение.
  2. Формулируют вывод.
  3. Записывают теорему в тетрадь для ИСЭТов.
  4. б) Закрепление.
  5. И попробуем убедиться в необходимости запоминания данной теоремы на примере следующих задач.

Задача 1. Чему равна сумма внешних углов выпуклого двенадцатиугольника?

 

  • Учащиеся «решают» задачу.
  • Еще одна задача, для решения которой не придется применять сложных вычислений и решения уравнений:
  • Сколько вершин имеет правильный многоугольник, если каждый его внешний угол равен 12º?
  • Учащиеся решают задачу устно.

А эту задачу мы уже решали в первой части урока. Вспомнили?

  1. А теперь попробуйте решить ее с помощью теоремы о внешних углах.
  2. Кто желает решить задачу у доски?

Один из учащихся записывает решение задачи на доске. Остальные в тетради.

  • Важно: «удалить примечания» перед переходом к следующей задаче.
  • И эту задачу мы уже решали в первой части урока.

Один из учащихся записывает решение задачи на доске. Остальные в тетради.

  1. Важно: «удалить примечания» перед переходом к следующему кадру.
  2. И ее решите с помощью теоремы о внешних углах.
  3. Кто придумал, как ее решать и готов идти к доске?

5. Домашнее задание.

Как видите, и одна и вторая теоремы находят достаточно много применения в решениях задач.

Дома вам также предстоит прорешать ряд задач, с применением изученных сегодня формул.

Откройте дневники, запишите домашнее задание: глава I, §1, прочитать, уметь отвечать на вопросы, напечатанные после параграфа. Решить задачи группы А со страницы 14. Для экономии времени сразу записывайте необходимую формулу и вычисления, без записи условий. Желающие могут повторить материал сегодняшнего урока, скачав сегодняшнюю презентацию на перемене.

Учащиеся записывают д/з. Задают уточняющие вопросы.

6. а) Итак, еще раз повторяем, что мы выяснили на сегодняшнем уроке.

  • Учитель задает вопросы.
  • По какой формуле можно найти сумму всех внутренних углов выпуклого многоугольника?
  • По какой формуле можно найти количество вершин или сторон многоугольника, если известна сумма всех внутренних углов этого выпуклого многоугольника?
  • Как можно еще вычислить сумму углов выпуклого многоугольника, если известно, что многоугольник правильный?

Зависит ли сумма внешних углов выпуклого многоугольника от количества его вершин? Почему?

  1. А от величины внутреннего угла?
  2. А чему равна сумма всех внешних углов выпуклого многоугольника?
  3. Учащиеся отвечают на вопросы.
  4. б) Сегодня на уроке активно работали…….
  5. Недостаточно внимательными были…….
  6. Оценки за урок…………

Урок окончен. Благодарю всех за работу.

7. Резерв

Учитель предлагает подумать над следующими проблемами

Попробуйте построить многоугольник, чтобы все его углы были острые. У кого получится больше сторон, тот выиграл.

Постройте четырехугольник, чтобы один из углов был больше, чем сумма трех других углов. Кто первый это сделает, тот победил.

Постройте многоугольник, у которого сумма внешних углов равна сумме внутренних. Кто первый?

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/razrabotka_uroka_geometrii_po_teme_summa_uglov_065831.html

Элементы многоугольника и свойства многоугольника

Многоугольник – это геометрический объект, который имеет свои элементы и свойства. Вначале нам необходимо дать определение многоугольнику.

Дать определение чему-либо – значит объяснить, что это такое. Когда мы даем определение новому понятию, мы должны обратиться к тем понятиям, которые уже известны. В нашем случае это понятие ломаной.

К элементам многоугольника относят вершины, стороны, углы, диагонали.

Свойства многоугольника – это определенные теоремы, которые мы далее сформулируем и докажем.

Все многоугольники можно разделить на две группы: выпуклые и невыпуклые. Вам нужно будет ясно понимать, как провести такое разделение.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту рис.1

1.2 Ломаная

Ломаная – геометрическая фигура, которая состоит из последовательно соединенных отрезков. Ломаные могут быть замкнутыми и незамкнутыми.

Основным элементом ломаной является отрезок, который называют звеном. Часто используют термин смежные отрезки. Здесь нужно обратить внимание на два момента:

  • cмежные отрезки имеют общий конец;
  • cмежные отрезки не лежат на одной прямой.

Ломаная может пересекать саму себя. Такая ломаная называется самопересекающейся или непростой ломаной. Если пересечений нет, то мы имеем дело с простой ломаной.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту рис.2

1.3 Определение многоугольника

Теперь мы можем дать определение геометрическому объекту многоугольник.

Очевидно, что многоугольником называется простая замкнутая ломаная. Но такое определение будет не полным. Достаточно вспомнить понятия круга и окружности. В первом случае это линия, во втором часть плоскости, ограниченная этой линией.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту рис.3

Если идти таким путем, то в нашем случае тоже появится два понятия. Это, конечно, излишне. Итак, ломаная ограничивает часть плоскости, поэтому нам нужно учесть этот момент и сформулировать определение так:

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает.

1.4 Выпуклые и невыпуклые многоугольники

Все многоугольники делятся на два типа: выпуклые и невыпуклые многоугольники.

На рисунке представлены эти два вида. Интуитивно мы можем определить какой выпуклый, а какой нет. Нам нужно сформулировать правило по которому мы сможем относить любой многоугольник к определенной группе.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту рис.4 В обоих случаях проведем прямую, которая содержит сторону А1А6. Слева многоугольник целиком лежит по одну сторону от прямой, а справа только часть многоугольника. Это правило позволяет дать нам следующее определение:

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. В противном случае он называется невыпуклым.

1.5 Элементы многоугольника

Рассмотрим элементы многоугольника.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту рис.5

Здесь нужно выделить такие элементы как:

  • смежные стороны (стороны, которые имеют общую вершину);
  • внешний угол (угол смежный с внутренним углом);
  • диагональ (отрезок, который соединяет две не соседние вершины многоугольника).

1.6 Четырехугольник

В нашем курсе будут рассматриваться в основном четырехугольники (многоугольники с четырьмя углами).

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Здесь можно выделить такие элементы как:

  • противоположные стороны (две несоседние стороны);
  • противоположные углы (углы при противоположных вершинах).

Диагональ четырехугольника разбивает его на два треугольника.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Сумма углов четырехугольника будет равна сумме углов двух треугольников. То есть 1800 + 1800 =3600. Итак: сумма углов четырехугольника равна 3600

1.7 Теорема о сумме углов n-угольника

Многоугольник у которого n-углов называют n-угольником.

Используя термин n-угольник, мы тем самым показываем, что нам не важно сколько углов и сторон у нашего многоугольника. Для того чтобы нарисовать n-угольник, достаточно выделить пунктиром сторону содержащую предпоследнюю вершину.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Свойство, которое позволяет находить нам сумму углов любого многоугольника называется теоремой о сумме углов n-угольника.

Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна $180 cdot (n-2) $

Для доказательства теоремы воспользуемся методом, который был рассмотрен при нахождении суммы углов четырехугольника.

  1. Проведем из вершины A1 диагонали ко всем несоседним сторонам. Диагонали разбивают многоугольник на треугольники. Теперь нам нужно определить какое количество треугольников получилось.
  2. Мы можем рассуждать следующим образом:
  • если разбить диагоналями 5-угольник, то получится 3 треугольника;
  • если 6-угольник, то 4 треугольника;
  • если 7-угольник, то 5 треугольников.

Значит n-угольник разобьется на n-2 треугольника. Такое рассуждение называют рассуждением по индукции (от частного переходим к общему).

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

Рассуждение по индукции — это когда из частичных знаний мы получаем выводы о ситуации в целом.

Можно рассуждать по-другому. Когда мы проводим диагональ, на каждую сторону приходится по треугольнику за исключением двух смежных сторон A1A2 и A1An, то есть n-2 треугольника.

3.В каждом треугольнике сумма углов равна 180, значит сумма углов n-угольника: $180 cdot (n-2)$.

Источник: http://edututor.ru/courses/quadrangle/example1/

Правильные многоугольники

О нас
Демоверсии
Учебные пособия
Справочник по математике
Справочник по математике Геометрия (Планиметрия) Многоугольники

      Фигуру называют выпуклой, если для любых двух точек этой фигуры соединяющий их отрезок полностью принадлежит фигуре.

      Правильными многоугольниками называют выпуклые многоугольники, у которых все углы равны и все стороны равны.

      Замечание 1. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

      Замечание 2. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

      Замечание 3. Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и описанной около правильного многоугольника окружности совпадают. Эту точку называют центром правильного многоугольника.

      Используемые обозначения

Число вершин правильного многоугольника Сторона правильного многоугольника Радиус вписанной окружности Радиус описанной окружности Периметр Площадь
n a r R P S
Число вершин правильного многоугольника   n  
Сторона правильного многоугольника   a  
Радиус вписанной окружности   r  
Радиус описанной окружности   R  
Периметр   P  
Площадь   S  

Формулы для стороны, периметра и площади правильного n – угольника

Величина Рисунок Формула Описание
Периметр Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту P = an Выражение периметра через сторону
Площадь Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
Площадь Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Выражение площади через сторону
Сторона Выражение стороны через радиус вписанной окружности
Периметр Выражение периметра через радиус вписанной окружности
Площадь Выражение площади через радиус вписанной окружности
Сторона Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Выражение стороны через радиус описанной окружности
Периметр Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Выражение периметра через радиус описанной окружности
Площадь Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Выражение площади через радиус описанной окружности
Формулы для периметра правильного n – угольника
Выражение периметра через сторонуМногоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студентуP = anВыражение периметра через радиус вписанной окружностиМногоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

  • Выражение периметра через радиус описанной окружности
Формулы для площади правильного n – угольника
  1. Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
  2. Выражение площади через сторону
  3. Выражение площади через радиус вписанной окружности
  4. Выражение площади через радиус описанной окружности
Формулы для стороны правильного n – угольника
  • Выражение стороны через радиус вписанной окружности
  • Выражение стороны через радиус описанной окружности

Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника

Величина Рисунок Формула Описание
Периметр P = 3a Выражение периметра через сторону
Площадь Посмотреть вывод формулы Выражение площади через сторону
Площадь Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
Сторона Выражение стороны через радиус вписанной окружности
Периметр Выражение периметра через радиус вписанной окружности
Площадь Посмотреть вывод формулы Выражение площади через радиус вписанной окружности
Сторона Выражение стороны через радиус описанной окружности
Периметр Выражение периметра через радиус описанной окружности
Площадь Посмотреть вывод формулы Выражение площади через радиус описанной окружности
Формулы для периметра правильного треугольника
  1. Выражение периметра через сторону
  2. P = 3a
  3. Выражение периметра через радиус вписанной окружности
  4. Выражение периметра через радиус описанной окружности
Формулы для площади правильного треугольника
  • Выражение площади через сторону
  • Посмотреть вывод формулы
  • Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
  • Выражение площади через радиус вписанной окружности
  • Посмотреть вывод формулы
  • Выражение площади через радиус описанной окружности
  • Посмотреть вывод формулы
Формулы для стороны правильного треугольника
  1. Выражение стороны через радиус вписанной окружности
  2. Выражение стороны через радиус описанной окружности

Формулы для стороны, периметра и площади правильного шестиугольника

Величина Рисунок Формула Описание
Периметр P = 6a Выражение периметра через сторону
Площадь Выражение площади через сторону
Площадь S = 3ar Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
Сторона Выражение стороны через радиус вписанной окружности
Периметр Выражение периметра через радиус вписанной окружности
Площадь Выражение площади через радиус вписанной окружности
Сторона a = R Выражение стороны через радиус описанной окружности
Периметр P = 6R Выражение периметра через радиус описанной окружности
Площадь Выражение площади через радиус описанной окружности
Формулы для периметра правильного шестиугольника
  • Выражение периметра через сторону
  • P = 6a
  • Выражение периметра через радиус вписанной окружности
  • Выражение периметра через радиус описанной окружности
  • P = 6R
Формулы для площади правильного шестиугольника
  1. Выражение площади через сторон
  2. Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
  3. S = 3ar
  4. Выражение площади через радиус вписанной окружности
  5. Выражение площади через радиус описанной окружности
Формулы для стороны правильного шестиугольника
  • Выражение стороны через радиус вписанной окружности
  • Выражение стороны через радиус описанной окружности
  • a = R

Формулы для стороны, периметра и площади квадрата

Величина Рисунок Формула Описание
Периметр P = 4a Выражение периметра через сторону
Площадь S = a2 Выражение площади через сторону
Сторона a = 2r Выражение стороны через радиус вписанной окружности
Периметр P = 8r Выражение периметра через радиус вписанной окружности
Площадь S = 4r2 Выражение площади через радиус вписанной окружности
Сторона Выражение стороны через радиус описанной окружности
Периметр Выражение периметра через радиус описанной окружности
Площадь S = 2R2 Выражение площади через радиус описанной окружности
Формулы для периметра квадрата
  1. Выражение периметра через сторону
  2. P = 4a
  3. Выражение периметра через радиус вписанной окружности
  4. P = 8r
  5. Выражение периметра через радиус описанной окружности
Формулы для площади квадрата
  • Выражение площади через сторону
  • S = a2
  • Выражение площади через радиус вписанной окружности
  • S = 4r2
  • Выражение площади через радиус описанной окружности
  • S = 2R2
Формулы для стороны квадрата
  1. Выражение стороны через радиус вписанной окружности
  2. a = 2r
  3. Выражение стороны через радиус описанной окружности

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/regular.htm

Правильный многоугольник. Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника

Определение. Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.

Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту
Рис.1 Рис.2

Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие:

Все стороны и углы одинаковы:

a1 = a2 = a3 = … = an-1 = an

α1 = α2 = α3 = … = αn-1 = αn

1. Все стороны равны:

a1 = a2 = a3 = … = an-1 = an

2. Все углы равны:

α1 = α2 = α3 = … = αn-1 = αn

3. Центр вписанной окружности Oв совпадает з центром описанной окружности Oо, что и образуют центр многоугольника O

4. Сумма всех углов n-угольника равна:

180° · (n — 2)

5. Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°:

β1 + β2 + β3 + … + βn-1 + βn = 360°

6. Количество диагоналей (Dn) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины: 7. В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника:

8. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O

1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности: 2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности: Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны: Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны: 1. Формула площади n-угольника через длину стороны: 2. Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности: 3. Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности: Формула периметра правильного n-угольника:

P = na

Формула угла между сторонами правильного n-угольника:

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту
Рис.3

1. Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r √3

2. Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности:

a = R√3

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника через длину стороны: 4. Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны: 5. Формула площади правильного треугольника через длину стороны: 6. Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 3√3

7. Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности: 8. Угол между сторонами правильного треугольника:

α = 60°

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту
Рис.4

Правильный четырехугольнику — квадрат.

1. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r

2. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:

a = R√2

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны: 4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны: 5. Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны:

S = a2

6. Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:

S = 4 r2

7. Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:

S =  2 R2

8. Угол между сторонами правильного четырехугольника:

α = 90°

1. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности: 2. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

a = R

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны: 4. Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

R = a

5. Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны: 6. Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 2√3

7. Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности: 8. Угол между сторонами правильного шестиугольника:

α = 120°

1. Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r · (√2 — 1)

2. Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

a = R√2 — √2

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны: 4. Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны: 5. Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны:

S = a2 2(√2 + 1)

6. Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 8(√2 — 1)

7. Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

S = R2 2√2

8. Угол между сторонами правильного восьмиугольника:

α = 135°

© 2011-2020 Довжик МихаилКопирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool. Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/formula/regular_polygon/

Выпуклый многоугольник

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. На рис.1 многоугольник М1 является выпуклым многоугольником, а многоугольник М2невыпуклым.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

Сумма углов выпуклого многоугольника

Рассмотрим выпуклый n-угольник (рис.2,). АnА1А2, А1А2А3, …, Аn-1АnА1 — углы этого многоугольника. Найдем их сумму.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

Соединим вершину А1 диагоналями с другими вершинами (рис.2, б). В итоге получим n-2 треугольника, сумма углов которых равна сумме углов n-угольника.

Сумма углов каждого треугольника равна 1800, поэтому сумма углов многоугольника А1А2…Аn равна (n-2)1800.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n — 2)1800.

Примечание: Сумма углов невыпуклого n-угольника также равна (n — 2)1800.

Внешний угол выпуклого многоугольника

Внешний угол выпуклого многоугольника — угол, смежный с углом многоугольника. На рис.3 угол OAB внешний угол многоугольника АВСDE смежный с углом ВАЕ.

Если при каждой вершине выпуклого многоугольника А1А2…Аn взять по одному внешнему углу, то сумма этих внешних углов окажется равной

     1800 — А1 + 1800 — А2 + … + 1800 — Аn = n1800 — (A1 + A2 + … + An) = n1800 — (n-2)1800 = n1800 — n1800 + 21800 = 3600.           

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 3600.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

  • Многоугольник
  • Четырехугольник
  • Параллелограмм
  • Признаки параллелограмма
  • Трапеция
  • Прямоугольник
  • Ромб и квадрат
  • Осевая и центральная симметрии
  • Четырехугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

  1. 7 класс
  2. Задание 364, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  3. Задание 365, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  4. Задание 430, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  5. Задание 811, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  6. Задание 812, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  7. Задание 856, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  8. Задание 1059, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  9. Задание 1082, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  10. Задание 1092, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  11. Задание 1129, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • © budu5.com, 2020
  • Пользовательское соглашение
  • Copyright
  • Нашли ошибку?
  • Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3467

Выпуклый многоугольник невыпуклый многоугольник

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник - в помощь студенту

Многоугольники классифицируются по числу сторон или углов: треугольники (рис. 67), четырехугольники (рис. 68), пятиугольники

(рис. 69) и т.д.

  • Задание 40
  • 1. Какой геометрической фигурой является:
  • — вершине многоугольнике,
  • — сторона многоугольника,
  • — вершина угла,
  • — сторона угле.

2. Назовите известные вам виды многоугольников, изображенных на рисунках 65, 66, 67.

Дошкольники, знакомясь с треугольником, квадратом и други­ми многоугольниками, учатся показывать и считать их углы и сто­роны.

Например, при знакомстве с треугольником может происходить такая беседа:

— Как называется эта фигура? — Треугольник.

— Почему она так называется? — У нее 3 угла.

— Что еще есть у треугольника? — Стороны.

Сколько сторон? — 3 стороны.

  1. Вывод: «Треугольник — это фигура, у которой 3 стороны и 3 угла».
  2. Это, конечно, не математическое определение треугольника, а описание его свойств.
  3. Треугольник — это многоугольник, у которого 3 угла.
  4. Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все сто­роны равны.
  5. Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две сто­роны равны.
  6. Задание 41
  7. Дайте определения остроугольного, тупоугольного и прямоугольного треугольников.

С остроугольным, тупоугольным, прямоугольным треугольниками можно знакомить детей только после изучения видов углов. С градусной мерой углов дошкольников и учащихся начальной школы не знакомят, но можно смоделировать прямой угол при полоши пере­гибания листа бумаги, а тупой и острый дать в сравнении с прямым.

  • Приобретенные знания позволяют детям давать характеристику геометрическим фигурам;
  • «Квадрат — это фигура, у которой 4 стороны и 4 угла, все сторо­ны равны, все углы прямые».
  • «Прямоугольник — это фигура, у которой 4 стороны и 4 прямых угла».
  • «Четырехугольник имеет 4 стороны и 4 угла».
  • В геометрии эти понятия могут быть последовательно определе­ны через род и видовое отличие, например, так:
  • Четырехугольник — это многоугольник, у которого 4 угла.
  • Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы пря­мые.
  • Квадрат— это прямоугольник, у которого все стороны равны.
  • Задание 42

1. Дайте определение параллелограмма, трапеции, ромба.

2. Назовите другие виды многоугольников и сформулируйте их определения.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/18_61760_vipukliy-mnogougolnik-nevipukliy-mnogougolnik.html

Ссылка на основную публикацию