Затухающие колебания в контуре и их уравнение — в помощь студенту

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

Федеральное агентство по образованию

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный горный
институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

  • Лабораторная работа №4
  • По
    дисциплине:
                  Физика
  • Тема: «Исследование затухающих колебаний в колебательном
    контуре»

студентка гр. ИЗ-05-2         _________________                  / Хорошилова
А.Д. /

                                                                        (подпись)                                    (Ф.И.О.)

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Стример - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Дата: ___________________

ПРОВЕРИЛ: асс.
Чернобай В. И.

  1. Санкт-Петербург
  2. 2006 год
  3. Цель работы:исследовать зависимость периода колебаний от
    индуктивности, а также емкости и добротности контура от активного
    сопротивления.
  4. Краткие теоретические сведения:
  5. Изучаемое явление: возникновение электромагнитных
    затухающих колебаний в простом колебательном контуре.
  6. Электромагнитные колебания – периодические процессы превращения
    энергии электрического поля в энергию магнитного поля, и наоборот.
  7. Электрическое поле – вид материи, который создается
    электрическим зарядом и обнаруживается по действию на электрический заряд.
  8. Магнитное поле – вид материи, которое создается
    электрическим током и обнаруживается по действию на проводник с током.
  9. Электромагнитное поле – это особая форма материи,
    осуществляющая взаимодействия между заряженными частицами.
  10. Колебательный контур – цепь, состоящая из включенных
    последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью C и резистора сопротивлением R.
  11. Конденсатор – система из двух проводников с
    одинаковым по модулю, но противоположными по знаку зарядами, разделенных
    диэлектриком.
  12. Емкость конденсатора – физическая величина, которая
    показывает какой заряд способен накопить конденсатор.
  13.  Индуктивность контура
    – коэффициент пропорциональности, в общем случае зависит от геометрической
    формы контура, его размеров и магнитной проницаемости той среды, в которой он
    находится.
  14. Логарифмический декремент контура – это натуральный логарифм отношения
    последующих амплитуд заряда конденсатора.
  15. Добротность – величина обратно пропорциональная
    логарифмическому декременту, следовательно, характеристика резонансных свойств
    колебательной системы, равная отношению амплитуды установившихся вынужденных
    колебаний при резонансе к амплитуде вынужденных колебаний вдали от резонанса.
  16. Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых из-за
    потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается.
  17. Электронный осциллограф – прибор, позволяющий регистрировать
    временный ход электрических процессов с помощью электронно-лучевой  трубки, в
    которой очень узкий пучок электронов используется как карандаш, рисующий
    изображение.

Теоретически предполагаемый
результат:
В
случае затухающих колебаний период равен: Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту.
Следовательно, графики зависимости периода от индуктивности будут иметь
полиномиальную зависимость, так как индуктивность находится в знаменателе дроби
в степени 1/2, а графики зависимости коэффициента затухания и добротности от
сопротивления будут выглядеть как график натурального логарифма, так как для
вычисления  и Q мы используем логарифмический декремент контура.

Схема установки:

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

  • С – емкость;
  • L – индуктивность;
  • R – активное сопротивление;
  • K – переключатель, поставленный в
    положение 1 или 2.
  • Расчетные формулы:
  • 1.Период затухающих колебаний (с):
Читайте также:  Предпосылки образования государства в древней руси - в помощь студенту

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

  1. где:
  2.      L – индуктивность (Гн);
  3.      C – емкость (Ф);
  4.      R – активное сопротивление (Ом).
  5.   2.Логарифмический
    декремент контура:

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

  • где:
  •      qn и qn+1 –
    амплитуды заряда конденсатора в момент времени tn и tn+1;
  • 3.Коэффициент затухания (с-1):
  • где:
  •            — логарифмический декремент контура;
  •           T – период
    (с).
  • 4.Добротность:
  • где:
  •            — логарифмический декремент контура.
  • Формулы погрешности:
  • Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту 
  • Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту
  • Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту
  • Таблицы для записи результатов измерений
  1. Исследование зависимости периода колебаний от индуктивности контура.
№ опыта R С L Tэксп. Tрасч.
Размерность Ом Ф Гн с с
1 7 0,5∙10-6 58∙10-3 0,84∙10-3 1,1∙10-3
2 50∙10-3 0,84∙10-3 0,99∙10-3
3 40∙10-3 0,8∙10-3 0,89∙10-3
4 20∙10-3 0,66∙10-3 0,63∙10-3
5 15∙10-3 0,64∙10-3 0,54∙10-3
6 10∙10-3 0,46∙10-3 0,44∙10-3

2.Исследование
зависимости добротности контура и коэффициента затухания от активного
сопротивления контура.

№ опыта С L R Т qn qn+1 Q
Размерность Ф Гн Ом с мм мм с-1
1 0,5 50 10 0,84∙10-3 5 4 0,22 0,26 14,27
2 20 0,84∙10-3 5 3 0,51 0,61 6,16
3 30 0,8∙10-3 4 2 0,69 0,86 4,55
4 40 0,82∙10-3 4 1,5 0,98 1,19 3,2
5 50 0,86∙10-3 4 3 0,69 0,8 4,55
6 60 0,88∙10-3 4 2 0,69 0,78 4,55
7 70 0,88∙10-3 3 1 1,09 1,24 2,88
8 80 0,9∙10-3 3 1 1.09 1,21 2,88
  1. Примеры расчёта результатов.
  2. Тэксп1=4,2*0,2*10-3=0,84∙10-3
    (с)
  3. Трасч1=Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту (с)
  4. Тср
    эксп= мс
  5. Qср=
  6. Примеры расчёта погрешностей.
  7. =1,5∙10-4
  8. =0,34
  9. =4,4
  10. ΔL=0.5
  11. Класс сопротивления=0,2
  12. Графики.
  13. Окончательный результат.
  14. T= 10-3(0,710,15) (c)
  15. =0,90,3
  16. Q=5,44,1
  17. Вывод: Проанализировав
    полученные результаты, видим, что они почти полностью совпали с предполагаемыми.
    Графики зависимости Тэксп и Трасч имеют расхождение в
    связи с тем, что в периоде, измеренном экспериментально, имеет место
    погрешность измерений прибора

T= 10-3(0,710,15). Коэффициент затухания мал=0,90,3, следовательно, можно сделать вывод, что потери
энергии  в контуре тоже малы. А добротность контура не очень высока,
следовательно, колебательный контур достаточно быстро рассеивает запас энергии

Источник: https://vunivere.ru/work19865

Уравнение затухающих колебаний в физике

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?! Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

Свободные колебания в реальных условиях не могут продолжаться вечно. Для механических систем всегда имеет место сопротивление среды, вследствие чего энергия движения объекта рассеивается при трении. В электромагнитных контурах колебания затухают за счет сопротивления проводников.

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

Уравнение затухающих колебаний

  • Уравнение затухающих колебаний описывает движение реальных колебательных систем. В дифференциальной форме оно записывается следующим образом:
  •     Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту
  • Из этого выражения можно получить еще одну каноническую форму:
  •     Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

Здесь x и t – координаты пространства и времени, А – первоначальная амплитуда. – коэффициент затухания, который зависит от сопротивления среды r и массы колеблющегося объекта m:

Чем больше сопротивление среды, тем больше энергии рассеивается при вязком трении. И наоборот – чем больше масса (а значит, инерционность) тела, тем дольше оно будет продолжать движение.

  1. Циклическая частота свободных колебаний (такой же системы, но без трения) учитывает силу упругости в системе (например, жесткость пружины k):
  2. Строго говоря, в случае затухающих колебаний нельзя говорить про период – время между повторяющимися движениями системы постоянно увеличивается. Однако если колебания затухают медленно, для них с достаточной точностью можно определить период Т:
  3.     Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

Циклическая частота затухающих колебаний

  • Еще одна характеристика затухающих колебаний – циклическая частота:
  •     Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту
  • Время релаксации – это коэффициент, показывающий, за какое время амплитуда колебаний уменьшится в е раз:
  • Отношение амплитуды изменяющейся величины в двух последовательных периодах называют декрементом затухания:
  • Эту же характеристику при расчетах часто представляют в виде логарифма:
  • Добротность Q характеризует, насколько силы упругости системы превышают силы сопротивления среды, препятствуя диссипации энергии:

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/uravneniya-po-fizike/uravnenie-zatuxayushhix-kolebanij/

Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре. Период свободных электрических колебаний — Класс!ная физика

«Физика — 11 класс»

Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре

Есть колебательный контур, сопротивлением R которого можно пренебречь.

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

Уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре, можно получить с помощью закона сохранения энергии. Полная электромагнитная энергия W контура в любой момент времени равна сумме его энергий магнитного и электрического полей:

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

Полная энергия не меняется с течением времени, если сопротивление R контура равно нулю, тогда производная полной энергии по времени равна нулю. Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей:

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

Физический смысл вышеприведенного уравнения состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля. Знак «—» указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает (и наоборот).

После вычисления производных в уравнении, получается

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

Производная заряда по времени представляет собой силу тока в данный момент времени:

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

Тогда:

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

Производная силы тока по времени есть не что иное, как вторая производная заряда по времени, подобно тому как производная скорости по времени (ускорение) есть вторая производная координаты по времени. Тогда основное уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре:

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

Полученное уравнение ничем, кроме обозначений, не отличается от уравнения, описывающего колебания пружинного маятника.

Формула Томсона В основном уравнении коэффициент представляет собой квадрат циклической частоты для свободных электрических колебаний:

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

Период свободных колебаний в контуре, таким образом, равен:

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

Эта формула называется формулой Томсона в честь английского физика У. Томсона (Кельвина), который ее впервые вывел.

Период свободных колебаний зависит от L и С. При увеличении индуктивности L ток медленнее нарастает со временем и медленнее падает до нуля. А чем больше емкость С, тем большее время требуется для перезарядки конденсатора.

  • Гармонические колебания заряда и тока.
  • Координата при механических колебаниях изменяется со временем по гармоническому закону:
  • х = хm cos ω0t
  • Заряд конденсатора меняется с течением времени по такому же закону:
  • q = qm cos ω0t
  • где qm — амплитуда колебаний заряда.
  • Сила тока также совершает гармонические колебания:

где Im = qmω0 — амплитуда колебаний силы тока. Колебания силы тока опережают по фазе на колебания заряда.

Точно так же колебания скорости тела в случае пружинного или математического маятника опережают на колебания координаты (смещения) этого тела.

В действительности, из-за неизбежного наличия сопротивления электрической цепи, колебания будут затухающими. Сопротивление R также будет влиять и на период колебаний, чем больше сопротивление, тем бо́льшим будет период колебаний. При достаточно большом сопротивлении колебания совсем не возникнут.

  1. Конденсатор разрядится, но перезарядки его не произойдет, энергия электрического и магнитного полей перейдет в тепло.
  2. Источник: «Физика — 11 класс», учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин

Следующая страница «Переменный электрический ток» Назад в раздел «Физика — 11 класс, учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин»

Электромагнитные колебания. Физика, учебник для 11 класса — Класс!ная физика

Свободные и вынужденные электромагнитные колебания. Колебательный контур. Превращение энергии при электромагнитных колебаниях — Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями — Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре.

Период свободных электрических колебаний — Переменный электрический ток — Активное сопротивление.

Действующие значения силы тока и напряжения — Конденсатор в цепи переменного тока — Катушка индуктивности в цепи переменного тока — Резонанс в электрической цепи — Генератор на транзисторе. Автоколебания — Краткие итоги главы

Источник: http://class-fizika.ru/11_25.html

Свободные затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решения. Времярелаксации. Логарифмический декремент затухания. Добротность

Рассмотрим свободные затухающие колебания – колебания, у которых амплитуды из-за потерь энергии колебательной системой с течением времени убывают.

Простейшим механизмом убывания энергии колебаний есть ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах, а также потерь, связанных с выделением теплоты, и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.

Вид закономерностей затухания колебаний задается свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы — идеализированные реальные системы, параметры которых, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса остаются неизменными.

Например, линейными системами являются пружинный маятник при малых растяжениях пружины (когда выполняется закон Гука), колебательный контур, у которого сопротивление, индуктивность и емкость не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения.

Различные по своей природе линейные системы описываются аналогичными линейными дифференциальными уравнениями, что дает основания подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также моделировать их, в том числе и на ЭВМ.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы определяется как

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

где s – колеблющаяся величина, которая описывает тот или иной физический процесс, δ = const — коэффициент затухания, ω0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при δ=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.

Решение уравнения (1) запишем в виде

где u=u(t). После взятия первой и второй производных (2) и подстановки их в выражение (1) найдем

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

Решение уравнения (3) зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай положителньного коэффициента:

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

(если (ω02 — σ2)>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим выражение , у которого решение будет функция Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту . Значит, решение уравнения (1) в случае малых затуханий (ω02 >> σ2 )

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

где

амплитуда затухающих колебаний, а А0 — начальная амплитуда. Выражение (5) представлено графики рис. 1 сплошной линией, а (6) — штриховыми линиями. Промежуток времени τ = 1/σ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний становится мешьше в е раз, называется временем релаксации.

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

Затухание не дает колебаниям быть периодичными и, строго говоря, к ним нельзя применять понятие периода или частоты. Но если затухание мало, то можно условно использовать понятие периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 1). В этом случае период затухающих колебаний с учетом выражения (4) будет равен

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

  • Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, которые отличаются на период, то отношение
  • называется декрементом затухания, а его логарифм
  • (7)

логарифмическим декрементом затухания; Ne — число колебаний, которые совершаются за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания является постоянной величиной для данной колебательной системы.

  1. Для характеристики колебательной системы также применяют понятие добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента будет равна
  2. (8)
  3. (так как затухание мало (ω02 >> σ2 ), то T принято равным Т0).
  4. Из формулы (8) вытекает, что добротность пропорциональна числу колебаний Ne, которые система совершает за время релаксации.
  5. Выводы и уравнения, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, можно использовать для колебаний различной физической природы — механических (в качестве примера возьмем пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера возьмем электрический колебательный контур).
Читайте также:  Скалярное произведение векторов - в помощь студенту

Вынужденные колебания осциллятора при гармоническом воздействии. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Время установления колебаний. Явление резонанса. Связь параметров резонансных кривых с добротностью.

Чтобы в реальной колебательной системе осуществлять незатухающие колебания, надо компенсировать каким-либо потери энергии. Такая компенсация возможна, если использовать какой-либо периодически действующего фактора X(t), который изменяется по гармоническому закону:

  • При рассмотрении механических колебаний, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила
  • Закон движения для пружинного маятника (формула (9) предыдущего раздела) запишется как
  • Используя формулу для циклической частоты свободных незатухающих колебаний прижинного маятника и (10) предыдущего раздела, получим уравнение

При рассмотрении электрического колебательный контура роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя соответсвующим образом периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение

  1. Тогда дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в простейшем контуре, используя (3), можно записать как
  2. Зная формулу циклической частоты свободных колебаний колебательного контура и формулу предыдущего раздела (11), придем к дифференциальному уравнению

Колебания, которые возникают под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.



Источник: https://infopedia.su/12x7be0.html

Затухающие колебания в контуре и их уравнение

Определение 1

Существуют колебания в системе без источника энергии, называемые затухающими. Рассмотрим реальный контур с сопротивлением не равным нулю. Для примера используют контур с включенным сопротивлением R, с емкостью конденсатора C, с катушкой индуктивности L, изображенный на рисунке 1. Колебания, происходящие в нем, — затухающие.

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

Рисунок 1

Именно наличие сопротивления становится главной причиной их затухания. Данный процесс возможен посредствам потерь энергии на выделение джоулева тепла. Аналог сопротивления в механике – действие сил трения.

Характеристики затухающих колебаний

  • Затухающие колебания характеризуют коэффициентом затухания β. Применив второй закон Ньютона, получим:
  • ma=-kx-yv,d2xdt2+rmdxdt+kmx=0,ω02=km,β=r2m.
  • Из записи видно, что β действительно является характеристикой контура. Реже вместо β применяют декремент затухания δ,
  • Значение a (t) является амплитудой заряда, силы тока и так далее, δ равняется количеству колебаний, а Ne — период времени уменьшения амплитуды в e раз.
  • Для RLC контура применима формула с ω частотой.
  • При небольшой δ≪1 говорят, что β≪ω0 ω0=1LC — собственная частота, отсюда ω≈ω0.
  • При рассмотрении затухающих колебаний последовательного контура колебательный контур характеризуется добротностью Q :

Q=1RLC=ω0LR, где R, L и C — сопротивление, индуктивность, емкость, а ω0- частота резонанса. Выражение LC называют характеристическим или волновым сопротивлением. Для параллельного контура формула примет вид:

Q=RLC=Rω0L.

R является входным сопротивлением параллельного контура.

Определение 2

Эквивалентное определение добротности применяется при слабых затуханиях. Его выражают через отношение энергий:

Q=ω0WPd=2πf0WPd, называемое общей формулой.

Уравнения затухающих колебаний

  1. Рассмотрим рисунок 1. Изменение заряда q на конденсаторе в таком контуре описывается дифференциальным уравнением:
  2. q(t)=q0e(-βt)cosωt+a'0=q0e-βtcos(ωt).
  3. Если t=0, то заряд конденсатора становится равным q0, и ток в цепи отсутствует.

  4. Если R>2LC изменения заряда не относят к колебаниям, разряд называют апериодическим.
  5. Значение сопротивления, при котором колебания превращаются в апериодический разряд конденсатора, критическое Rk.
  6. rкр=2LC.
  7. Функция изображается аналогично рисунку 2.

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

Рисунок 2

Пример 1

Записать закон убывания энергии, запасенной в контуре W (t) при W (t=0)=W0 с затухающими колебаниями. Обозначить коэффициент затухания в контуре β, а собственную частоту — ω0.

  • Решение
  • Отправная точка решения – это применение формулы изменения заряда на конденсаторе в RLC — контуре:
  • q(t)=q0e(-βt)cosωt+a'0=q0e-βtcos(ωt).
  • Предположим, что при t=0, a'0=0. Тогда применим выражение
  • I=dqdt.
  • Для нахождения I(t):
  • I(t)=-ω0q0e(-2βt)sin(ωt+α), где tg α=βω.
  • Очевидно, что электрическая энергия Wq запишется как:
  • Wq=q22C=q022Ce(-2βt)cos2(ωt)=W0e(-2βt)cos2(ωt).
  • Тогда значение магнитной энергии контура Wm равняется:
  • Wm=L2ω02q02e(-2βt)sin2ωt+a=W0e-2βtsin2ωt+a.
  • Запись полной энергии будет иметь вид:
  • W=Wq+Wm=W0e(-2βt)(cos2(ωt)+sin2(ωt+a))==W0e(-2βt)1+βω0sin(2ωt+α).
  • Где sin α=βω0.
  • Ответ: W (t)=W0e(-2βt)1+βω0sin (2ωt+a).

Пример 2

Применив результат предыдущего примера, записать выражение для энергии, запасенной в контуре W (t), при медленно затухающих колебаниях. Начертить график убывания энергии.

  1. Решение
  2. Если колебания в контуре затухают медленно, то:
  3. βω0≪1.
  4. Очевидно, выражение энергии, запасенной в контуре, вычислим из
  5. W (t)=W0e(-2βt)1+βω0sin (2ωt+a), предварительно преобразовав до W (t)=W0e(-2βt).
  6. Такое упрощение возможно по причине выполнения условия βω0≪1, sin (2ωt+a)≤1, что означает βω0sin (2ωt+a)≪1.

Затухающие колебания в контуре и их уравнение - в помощь студенту

Рисунок 3

Ответ: W (t)=W0e(-2βt). Энергия в контуре убывает по экспоненте.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/elektromagnitnye-kolebanija-volny/zatuhajuschie-kolebanija-v-konture/

Уравнение затухающих колебаний

Затухание колебаний

Свободные колебания в реальных условиях не могут длиться вечно. Для механических систем всегда имеет место сопротивление среды, в результате чего энергия движения объекта рассеивается трением. В электромагнитных цепях колебания затухают из-за сопротивления проводников.

  • График затухания
  • Затухающее уравнение
  • Уравнение затухающих колебаний описывает движение реальных колебательных систем. В дифференциальной форме он записывается следующим образом:

Из этого выражения вы можете получить другую каноническую форму:

Чем больше сопротивление среды, тем больше энергии рассеивается вязким трением. И наоборот — чем больше масса (и, следовательно, инерция) тела, тем дольше он будет продолжать двигаться.

Строго говоря, в случае затухающих колебаний невозможно говорить о периоде — время между повторяющимися движениями системы постоянно увеличивается. Однако, если колебания медленно исчезают, для них с достаточной точностью вы можете определить период T:

Циклическая частота затухающих колебаний

Другой характеристикой затухающих колебаний является циклическая частота:

  1. Время релаксации — это коэффициент, указывающий, как долго амплитуда колебаний уменьшается в e раз:
  2. Отношение амплитуды переменной в два последовательных периода называется коэффициентом затухания:
  3. Такая же характеристика в расчетах часто представляется как логарифм:
  4. Коэффициент качества Q характеризует, насколько упругие силы системы превышают силы сопротивления среды, предотвращая диссипацию энергии:
  5. Примеры решения проблем
  6. ПРИМЕР 1
  • Задача

    После того, как груз был подвешен к весне, он растянулся на 9,8 см. Весна колеблется в вертикальном направлении .Определите период колебаний.

  • Решение
    • Поскольку весна растягивается под весом, на ней действует гравитация:
    • Сила тяжести противодействует пружинной силе:
    • Из двух выражений получаем коэффициент упругости:
    • Замените коэффициент упругости в формуле для периода затухающих колебаний:
    • Зная, что декремент логарифмического демпфирования , из него выражаем неизвестную величину , подставляем в знаменатель формулы и выражаем T:
  • Ответ
    1. Т = 0,7 с
    2. ПРИМЕР 2
  • Задача

    Затухающие колебания характеризуются следующими параметрами: периодом T = 4 с, логарифмическим декрементом демпфирования . В начальный момент не было фазового отклонения. Когда система прошла четверть периода, отклонение точки составляло 4,5 см. Получите уравнение этого колебания, а также график.

  • Решение.
    • Используйте уравнение для затухающих колебаний в канонической форме:
    • Поскольку при t = 0 не было фазового отклонения, второй член в аргументе косинуса равен нулю.
    • Определите циклическую частоту:
    • Найти коэффициент затухания:
    • Подставим найденные параметры, а также отклонение точки в момент времени в каноническое уравнение:
    • Тогда уравнение для этих колебаний примет окончательный вид:
    • В соответствии с этим мы вычисляем значения x для моментов времени до t = 3T = 12 c включительно и строим график.
  • Ответ
    1. Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/uravnenie-zatuhayushih-kolebanij/

      16)Затухающие колебания. Уравнение затухающих колебаний в дифференциальной форме и его решение, логарифмический декремент затухания

      Затухающие
      колебания
       —
      колебания, энергия которых уменьшается
      с течением времени. Бесконечно длящийся
      процесс вида в
      природе невозможен. Свободные колебания
      любого осциллятора рано или поздно
      затухают и прекращаются.

      Поэтому на
      практике обычно имеют дело с затухающими
      колебаниями. Они характеризуются тем,
      что амплитуда колебаний Aявляется
      убывающей функцией. Обычно затухание
      происходит под действием сил сопротивления
      среды, наиболее часто выражаемых линейной
      зависимостью от скорости колебаний 

      nHgO/img-OxqIEJ.png» width=»13″>или
      её квадрата.

      В
      акустике: затухание — уменьшение
      уровня сигнала до полной неслышимости.

      Дифференциальное
      уравнение свободных затухающих колебаний
      линейной системы

      где
      s — колеблющаяся величина, описывающая
      тот или иной физический процесс, δ =
      const — коэффициент затухания, (ω0 —
      циклическая частота свободных незатухающих
      колебаний той же колебательной системы,
      т. е. при δ =0 (при отсутствии потерь
      энергии) называется собственной частотой
      колебательной системы. Решение уравнения
      рассмотрим в виде

      После
      нахождения первой и второй производных
      и их подстановки в (1) получим

      Решение
      уравнения зависит от знака коэффициента
      перед искомой величиной. Пусть этот
      коэффициент положителен:

      Тогда
      получим уравнение решением которого
      является функция u=A0cos(ωt+φ). Значит,
      решение уравнения (7.1) в случае малых
      затуханий

       где 

      Если
      A(t) и A(t+Т) — амплитуды двух последовательных
      колебаний, соответствующих моментам
      времени, отличающимся на период, то
      отношение

      называется
      декрементом затухания, а его логарифм

      — логарифмическим
      декрементом затухания; Ne — число
      колебаний, совершаемых во время уменьшения
      амплитуды в е раз. Логарифмический
      декремент затухания — постоянная для
      данной колебательной системы величина.

      17)Вынужденные колебания. Резонанс

      Вынужденные
      колебания – это незатухающие колебания.

      Колебания,
      совершающиеся под воздействием внешней
      периодической силы, называются вынужденными.

      В
      этом случае внешняя сила совершает
      положительную работу и обеспечивает
      приток энергии к колебательной системе.
      Она не дает колебаниям затухать, несмотря
      на действие сил трения.

      Периодическая
      внешняя сила может изменяться во времени
      по различным законам. Особый интерес
      представляет случай, когда внешняя
      сила, изменяющаяся по гармоническому
      закону с частотой ω,
      воздействует на колебательную систему,
      способную совершать собственные
      колебания на некоторой частоте ω0.

      Если
      свободные колебания происходят на
      частоте ω0,
      которая определяется параметрами
      системы, то установившиеся
      вынужденные колебания всегда происходят
      на
      частотеωвнешней
      силы
      .

      После
      начала воздействия внешней силы на
      колебательную систему необходимо
      некоторое время Δt для
      установления вынужденных колебаний.
      Время установления по порядку величины
      равно времени затухания τ свободных
      колебаний в колебательной системе.

      В
      начальный момент в колебательной системе
      возбуждаются оба процесса – вынужденные
      колебания на частоте ω и
      свободные колебания на собственной
      частоте ω0.
      Но свободные колебания затухают из-за
      неизбежного наличия сил трения. Поэтому
      через некоторое время в колебательной
      системе остаются только стационарные
      колебания на частоте ω внешней
      вынуждающей силы.

      Если
      частота ω внешней
      силы приближается к собственной
      частоте ω0,
      возникает резкое возрастание амплитуды
      вынужденных колебаний. Это явление
      называется резонансом.
      Зависимость амплитуды xmвынужденных
      колебаний от частоты ω вынуждающей
      силы называется резонансной
      характеристикой
       или резонансной
      кривой

      Источник: https://studfile.net/preview/2010519/page:2/

      Ссылка на основную публикацию