Угол между прямой и плоскостью — в помощь студенту

Презентация к уроку «Угол между прямой и плоскостью. Решение задач». Презентация содержит 25 слайдов и предназначена для более наглядного представления информации, используемой на уроке.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Первые несколько слайдов направлены на актуализацию знаний и повторения материала, который будет использован на уроке. Далее следуют слайды на которых представлены задачи предложенные учащимся для решения. Последние слайды соответствуют домашнему заданию.

Отличительной особенностью данной презентации является то, что наряду с задачами геометрического содержания в ней представлены задачи практической направленности.

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Угол между прямой и плоскостью

Родионова Т.В.

ГБОУ СПО АПК им. П.И. Пландина

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Актуализация знаний учащихся

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Задача 1.

  • В треугольнике АВС катеты равны 16 и 12 см. Найдите длину гипотенузы .

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Задача 2.

  • В треугольнике АВС длина ВС рана 2 см, а длина гипотенузы АВ – 4 см. Определите градусные меры углов В и А

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Задача 3.

  • Длина катета b треугольника АВС равна 6, а катета а — 6 см. Вычислите тангенс угла А.

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Задача 4.

  • Медианна правильного треугольника АВС равна 33 см. Найдите Длины отрезков АО и ОН. Чем являются эти отрезки для треугольника АВС?

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Как можно вычислить радиус окружности описанной около правильного треугольника? Предложите несколько вариантов.

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Поиск радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Рассмотрим некоторую плоскость  и точку М, не лежащую на ней. Проведем через точку М несколько прямых, пересекающих плоскость  .

  • МО  , МО- ?
  • О — ?
  • М
  • МК,МА,МВ , МN — ?
  • К, А, В, N – ?
  • О
  • К
  • В
  • N
  • А
  • Назовите проекцию МК на плоскость .
  • Назовите проекцию МВ на плоскость .
  • Назовите проекцию МN на плоскость .

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Задача 5

  • Из точки А к плоскости проведен перпендикуляр АН и наклонная АМ длиной 17 см. Длина ее проекции МН на эту плоскость 8 см. Вычислите синус и косинус угла между наклонной и ее проекцией.

Историческая справка

  1. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называют угол между прямой и её проекцией на плоскость
  2. При решении задач углом между прямой и плоскостью будет служить угол между наклонной и её проекцией. Наибольшее затруднение при построении такого угла вызывает построение перпендикуляра от точки до плоскости
  3. Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости , образует с этой плоскостью прямо й угол .
Читайте также:  Фондовый рынок - в помощь студенту

Алгоритм

  • Чётко выяснить где прямая, где плоскость
  • Выделить основание наклонной (точку пересечения прямой с плоскостью)
  • Отправиться от этой точки вдоль этой прямой в поисках удобной точки, из которой могли бы опустить перпендикуляр на данную плоскость

Задача 6.

В кубе A D 1 найдите угол между прямой AA 1 и плоскостью ABC .

Задача 7

В кубе A D 1 найдите угол между прямой AB 1 и плоскостью BCC 1 .

Задача 7 (№ 163)

  • Наклонная АМ, проведенная из точки А к плоскости, равна d. Чему равна проекция наклонной на плоскость, если угол между прямой АМ и плоскостью равен:
  • а) 45° б) 60° в) 30°?

Задача 8

  • Каждое боковое ребро тетраэдра равно 4 см и образует с плоскостью основания угол равный 30 градусам. Вычислите расстояние от вершины А тетраэдра до плоскости основания и длину ребра его основания.

Работа в группах.

  • Определить длину стропил для сборки двускатной крыши здания, если ширина дома 8 метров, а угол между стропилами и плоскостью потолка составляет 35 градусов. Длина свеса стропила равна 0,5 метра.

Работа в группах.

Длина горной выработки 300 метров. Определить глубину залегания горизонтального пласта руды, если угол наклона горной выработки к поверхности земли составляет 33 градуса. (Определение угла производилось с помощью теодолита)

Работа в группах.

  • Какой высоты не должно превышать здание строящееся на соседнем садовом участке чтобы оно не затеняло его если строение находится на расстоянии 7 метров от края соседнего участка, а угол солнцестояния над горизонтом равен 42 градуса.

Работа в группах.

  • Длина стропил равна 4,2 метра, они свисают на 0,2 метра. Угол наклона стропил над плоскостью потолка равен 40 градусов. Вычислите ширину дома.

Работа в группах.

Глубина залегания горизонтального пласта руды равна 25 метров, если угол наклона горной выработки к поверхности земли составляет 37 градусов. Определите длину горной выработки шахты. (Определение угла производилось с помощью теодолита)

Работа в группах.

  • Высота дома 6 метров, его длина 10 метров. Определите площадь затенения участка домом в момент когда угол солнцестояния над горизонтом составляет 40 градусов, считая, что дом оставляет тень в форме прямоугольника.

Домашнее задание: Задача : Рёбра основания прямоугольного параллелепипеда имеют длину 4см и 3см; высота параллелепипеда равна 5см.Найти его диагональ и угол между диагональю и плоскостью основания.

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/presentacii/ughol-miezhdu-priamoi-i-ploskost-iu-rieshieniie-zadach

Угол между прямой и плоскостью: определение, примеры нахождения

Статья начинается с определение угла между прямой и плоскостью. В данной статье будет показано нахождение угла между прямой и плоскостью методом координат. Подробно будут рассмотрены решение примеров и задач.

Угол между прямой и плоскостью – определение

Предварительно необходимо повторить понятие о прямой линии в пространстве и понятие плоскости. Для определения угла между прямой и плоскостью необходимый несколько вспомогательных определений. Рассмотрим эти определения подробно.

Определение 1

Прямая и плоскость пересекаются в том случае, когда они имеют одну общую точку, то есть она является точкой пересечения прямой и плоскости.

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Прямая, пересекающая плоскость, может являться перпендикулярной  относительно плоскости.

Определение 2

Прямая является перпендикулярной к плоскости, когда она перпендикулярна любой прямой, находящейся в этой плоскости.

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Определение 3

Проекция точки M на плоскость γ является сама точка, если она лежит в заданной плоскости, либо является точкой пересечения плоскости с прямой, перпендикулярной плоскости γ, проходящей через точку M, при условии, что она не принадлежит плоскости γ.

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Определение 4

Проекция прямой а на плоскость γ — это множество проекций всех точек заданной прямой на плоскость.

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Отсюда получаем, что перпендикулярная к плоскости γ проекция прямой имеет точку пересечения.  Получаем, что проекция прямой a – это прямая, принадлежащая плоскости γ и проходящая через точку пересечения прямой a и плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

На данный момент имеем все необходимые сведения и данные для формулировки определения угла между прямой и плоскостью

Определение 5

Углом между прямой и плоскостью называют угол между этой прямой и ее проекцией на эту плоскость, причем прямая не перпендикулярна к ней.

Определение угла, приведенное выше, помогает прийти к выводу о том, что угол между прямой  и плоскостью представляет собой угол между двумя пересекающимися прямыми, то есть заданной прямой вместе с ее проекцией на плоскость. Значит, угол между ними всегда будет острым. Рассмотрим на картинке, приведенной ниже.

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Угол, расположенный между прямой и плоскостью, считается прямым, то есть равным 90 градусов, а угол, расположенный между параллельными прямыми, не определяется. Бывают случаи, когда его значение берется равным нулю.

Нахождение угла между прямой и плоскостью

Задачи, где необходимо найти угол между прямой и плоскостью, имеет множество вариация решения. Ход самого решения зависит от имеющихся данных  по условию. Частыми спутниками решения являются признаки подобия или равенства фигур,  косинусы, синусы, тангенсы углов. Нахождение угла возможно при помощи метода координат. Рассмотрим его более детально.

Если в трехмерном пространстве вводится прямоугольная система координат Охуz, тогда в ней задается прямая a, пересекающая плоскость γ в точке M, причем она не перпендикулярна плоскости. Необходимо найти угол α, находящийся между заданной прямой и плоскостью.

Для начала необходимо применить определение угла между прямой и плоскостью методом координат. Тогда получим следующее.

 В системе координат Охуz задается прямая a, которой соответствуют уравнения прямой в пространстве  и направляющий вектор прямой пространства,  для плоскости γ соответствует уравнение плоскости  и нормальный вектор плоскости.

Тогда a→=(ax, ay, az) является направляющим вектором заданной прямой a, а n→(nx, ny, nz) — нормальным вектором для плоскости γ.

 Если представить, что у нас имеются координаты направляющего вектора прямой a и нормального вектора плоскости γ, тогда известны их уравнения, то есть заданы по условию, тогда есть возможность определения векторов a→ и n→, исходя из уравнения.

Для вычисления угла необходимо преобразовать формулу, позволяющую получить значение этого угла при помощи имеющихся координат направляющего вектора прямой и нормального вектора.

Необходимо отложить векторы a→ и n→, начиная от точки пересечения прямой a с плоскостью γ. Существуют 4 варианта расположения этих векторов относительно заданных прямых и плоскости. Рассмотри рисунок, приведенный ниже, на котором имеются все 4 вариации.

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Отсюда получаем, что угол между векторами a→ и n→ имеет обозначение a→, n→^ и является острым, тогда искомый угол α , располагающийся между прямой и плоскостью, дополняется, то есть получаем выражение вида a→, n→^=90°-α. Когда по условию a→, n→^>90°, тогда имеем a→, n→^=90°+α.

Отсюда имеем, что косинусы равных углов являются равными, тогда последние равенства записываются в виде системы

cosa→, n→^=cos 90°-α, a→, n→^90°

Необходимо использовать формулы приведения для упрощения выражений. Тогда получим равенства вида cosa→, n→^=sin α, a→, n→^90°.

  • Проведя преобразования, система приобретает вид sin α=cosa→, n→^, a→, n→^90°⇔sin α=cosa→, n→^, a→, n→^>0sin α=-cosa→, n→^, a→, n→^

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/ugol-mezhdu-prjamoj-i-ploskostju/

Угол между прямой и плоскостью онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямой и плоскостью. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямой и плоскостью введите элементы уравнения и плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

В данной статье мы рассмотрим задачу определения угла φ между прямой L, заданной каноническим уравнением

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту (1)
  • и плоскостью P, заданной общим уравнением
  • где q=(m, l, p) направляющий вектор прямой L, а n=(A, B, C) нормальный вектор плоскости P.
  • Нормальный вектор плоскости n и направляющий вектор прямой q могут составить острый угол, прямой угол и тупой угол.

Вариант 1. Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q острый (Рис.1):ψ90°.

Тогда имеем:

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Поскольку угол φ между прямой и плоскостью всегда меньше или равно 90°, то

Из определения скалярного произведения векторов имеем:

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту (6)

Из уравнений (5) и (6) можно найти синус угла φ

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту (7)

или

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту (8)
  1. Из формулы (8) можно найти угол между прямой L и плоскостью P.
  2. Пример 1. Найти угол между прямой L:
  3. и плоскостью P:
  4. Решение.

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=(m, p, l)=(1, 3, 2). Нормальный вектор плоскости P имеет вид n=(A, B, C)=(2, 6, 1).

Поскольку угол φ между прямой L и плоскостью P является дополнительным к углу ψ между направляющим вектором прямой q=(m,p,l) и нормальным вектором плоскости n=(A,B,C), то cosψ=sinφ. Из определения скалярного произведения (q,n)=|q||n|cosψ. Тогда для угла между прямой L и плоскостью P
получим следующую формулу:

  • Подставляя значения A, B, C, m, p, l в (11), получим:
  • Упростим и решим:
  • Найдем угол φ:
  • Ответ:
  • Пример 2. Найти угол между прямой L:
  • и плоскостью P:
  • Решение.

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=(m, p, l)=(4, 1, 3). Нормальный вектор плоскости P имеет вид n=(A, B, C)=(8, 2, 6).

Поскольку угол φ между прямой L и плоскостью P является дополнительным к углу ψ между направляющим вектором прямой q=(m,p,l) и нормальным вектором плоскости n=(A,B,C), то cosψ=sinφ. Из определения скалярного произведения (q,n)=|q||n|cosψ. Тогда для угла между прямой L и плоскостью P
получим следующую формулу:

  1. Подставляя значения A, B, C, m, p, l в (14), получим:
  2. Упростим и решим:
  3. Найдем угол φ:
  4. Ответ:
Читайте также:  Модуль числа, сравнение чисел - в помощь студенту

Замечание. Мы могли бы избежать вышеизложенных вычислений, если заметили, что векторы n и q коллинеарны. Действительно:

В этом случае прямая L и плоскость P перпендикулярны, т. е. угол между ними равен 90°.

Источник: https://matworld.ru/analytic-geometry/ugol-prjamaja-ploskost.php

Угол между прямой и плоскостью

Мы говорили ранее, что когда из одной точки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонная, то проекцией этой наклонной на плоскость называется отрезок, соединяющий основание перпендикуляра с основанием наклонной.

Дадим теперь более общее определение проекции.

1) Ортогональной (или прямоугольной) проекцией какой-нибудь точки на данную плоскость (например, точки M на плоскость Р, черт.

35) называется основание (m) перпендикуляра, опущенного на эту плоскость из взятой точки.

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

2) Ортогональной проекцией какой-нибудь линии на плоскость называется геометрическое место проекций всех точек этой линии.

В частности, если проектируемая линия есть прямая (например, АВ, черт. 35), не перпендикулярная к плоскости (Р), то проекция её на эту плоскость есть также прямая.

В самом деле, если мы через прямую АВ и перпендикуляр Мт, опущенный на плоскость проекций из какой-нибудь одной точки М этой прямой, проведём плоскость Q, то эта плоскость должна быть перпендикулярна к плоскости Р; поэтому перпендикуляр, опущенный на плоскость P из любой точки прямой АВ (например, из точки М), должен лежать в этой плоскости Q и, следовательно, проекции всех точек прямой АВ должны лежать на прямой аb, по которой пересекаются плоскости Р и Q.

Обратно, всякая точка этой прямой аb есть проекция какой-нибудь точки прямой АВ, так как перпендикуляр, восставленный из любой точки прямой аb, лежит на плоскости следовательно, пересекается с АВ в некоторой точке. Таким образом, прямая аb представляет собой геометрическое место проекций всех точек данной прямой АВ и, следовательно, есть её проекция.

Для краткости речи вместо «ортогональная проекция» мы будем говорить просто «проекция».

Углом прямой (АВ, черт. 36) с плоскостью (Р) в том случае, когда прямая наклонна к плоскости, называется острый угол (ABC), составленный этой прямой с ee проекцией на плоскость.Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Угол этот обладает тем свойством, что он есть наименьший из всех углов, которые наклонная образует с прямыми, проведёнными на плоскости P через основание наклонной.

Докажем, например, что угол ABC меньше угла ABD.

Для этого отложим отрезок BD = ВС и соединим D с А. У треугольников ABC и ABD две стороны одного равны соответственно двум сторонам другого, но третьи стороны не равны, а именно: AD > АС. Вследствие этого угол ABD больше угла ABC.

Рассмотрим прямую l с направляющим вектором а и плоскость р с нормальным вектором п. Обозначим через φ угол между прямой l и плоскостью р, а черезψ — угол между векторами а и n. Легко видеть, что φ = 90° — ψ , если ψ 90° (рис. 209,6).

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

  • В обоих случаях справедливо равенство sin φ = |cos ψ|.
  • По формуле (косинус угла между ненулевыми векторами а и b равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин) находим
  • и, следовательно,
  • Если известны прямоугольные декартовы координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости a = (a1; a2; a3) и n = (А; В; С), то угол φ может быть вычислен с помощью формулы

$$ cospsi=coswidehat{(a; n)}=frac{acdot n}{|a|cdot |n|} $$
$$ sinphi=frac{|acdot n|}{|a|cdot |n|} $$
$$ sinphi=frac{|a_{1}A+a_{2}B+a_{3}C|}{sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}sqrt{A^2+B^2+C^2}} ;; (1)$$

Источник: http://razdupli.ru/teor/59_ugol-mezhdu-pryamoj-i-ploskostyu.php

Построение угла между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью называется угол, который прямая образует со своей проекцией на данную плоскость. Его величина может быть определена графически в соответствии с приведенным ниже алгоритмом.

Алгоритм построения

  1. Из произвольной точки, взятой на прямой, проводят перпендикуляр к заданной плоскости.
  2. Способом вращения вокруг линии уровня определяют величину угла β° между построенным перпендикуляром и прямой.
  3. Вычисляют искомый угол α° = 90° – β°.

Задача 1

Рассмотрим, как осуществляется описанный нами алгоритм на практике. На рисунке ниже приведены построения, с помощью которых вычислен угол α° между прямой a и плоскостью γ, заданной параллельными прямыми c и d.

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Решение

  1. Строим проекции фронтали f и горизонтали h плоскости γ. Для этого используем вспомогательные точки 1 и 2, 3 и 4.
  2. Из произвольной точки K, лежащей на прямой a, опускаем перпендикуляр b на плоскость γ. Как видно на рисунке, проекция b'⊥h', а b''⊥f''.
  3. Определяем величину угла β° между прямыми a и b способом поворота вокруг линии уровня. Для этого сначала строим горизонталь h1 и перпендикулярно её проекции h'1 проводим луч K'O'. Центр поворота O' = K'O' ∩ h'1. Определяем радиус вращения R как гипотенузу прямоугольного треугольника K0K'O', катет которого K0K' равен величине ZO – ZK. После этого по дуге окружности переводим точку K0 в положение K'1, как это показано на рисунке выше. Угол β° находится при вершине K'1.
  4. Вычисляем значение искомого ∠α° = 90° – ∠β°.

Задача 2

В данном примере прямая e занимает общее положение, а плоскость γ задана следами. В отличие от предыдущей задачи здесь нет необходимости достраивать горизонталь и фронталь, поскольку их роль выполняют следы h0γ и f0γ.

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Решение

  1. На прямой e возьмем произвольную точку N и из неё опустим перпендикуляр m на плоскость γ. Проекцию m' нужно провести перпендикулярно h0γ, а m''⊥f0γ соответственно.
  2. Определяем величину угла β° между прямыми m и е способом вращения вокруг линии уровня, в качестве которой в нашей задаче была использована горизонталь h.
  3. Вычисляем величину искомого ∠α° = 90° – ∠β°.

Похожие задачи:

Источник: https://ngeometry.ru/ugol-mezhdu-pryamoy-i-ploskostyu.html

Способ вращения. Угол между прямой и плоскостью

  • Вопрос №15
  • Способ определения угла
    наклона плоскости общего положения к плоскостям проекций H и V.
  •                              
    Ответ:
  • Способ вращения:

Заданы плоскости Р и
Q следами. Требуется определить угол наклона плоскости Р к плоскости Н и
плоскости Q к плоскости V (рис. 59).

Решение: Определяется
натуральная величина угла , составленного
плоскостями Р и Н:

Выбирается ось
вращения m’n’, перпендикулярная плоскости  Н и расположенная в плоскости
V (см.рис.59,а).

Из точки n’ опускается
перпендикуляр на след Рн. Точка К – основание перпендикуляра.

След Рн
поворачивается вокруг точки    Õ n’ до положения, когда
между осью Х и следом образуется угол 90° (точка К1).

Точка m’ расположена на следе Рv. Очевидно, при вращении  плоскости Р вокруг оси m’n’ точка m’
будет неподвижной. Она и определит положение следа Рv1  совместно
с точкой К1   (Рх).

В результате
выполненных преобразований получили фронтально – проектирующую плоскость Р1.
Угол образованный следом Рv1  и осью Х представляет натуральную
величину угла наклона плоскости Р к плоскости Н (угол a°
, см.рис.59,а).

Определяется угол,
образованный плоскостями Q и  V. Ось вращения плоскости располагается в
плоскости Н перпендикулярно плоскости V (ось ab – см.рис.59,б).

След  Qv  поворачивается
вокруг точки  а  до положения, когда между следом и осью Х образуется
угол  90°. В результате получают новое положение
следа  — Qv1.

След  QH1  определяется положением неподвижной точки “в
расположенной на следе Qн и точкой С1.

Из рис.59,б видно,
что после преобразования плоскость  Q  стала горизонтально – проектирующей
плоскостью. Угол, образованный следом QH1  и
осью Х является натуральной величиной угла наклона плоскости Q к плоскости V.

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

  1. Вопрос №18
  2. Способ определения угла между
    прямой и плоскостью ( прямая и плоскость — общего положения).
  3.                                   
    Ответ:
  4. Угол между прямой и
    плоскостью:

Угол между прямой и плоскостью
называется острый угол, образованный этой прямой и ее проекцией на данную
плоскость (рис.44,а).

Угол между прямой и плоскостью - в помощь студенту

Заданы проекции
прямой АВ и следы плоскости Р. Требуется определить угол между прямой и
плоскостью (рис.44,б).

Решение: Определяется
точка пересечения прямой АВ с плоскостью Р: через проекцию ab проводится
горизонтально – проектирующая плоскость Q и находится  линия пересечения
плоскостей Р и Q  (линия МN, см.рис. 44,б). Затем  определяется точка
пересечения линий МN и АВ – точка D.

Из точки А опускается
перпендикуляр на плоскость Р. С помощью вспомогательной горизонтально –
проектирующей плоскости находится точка пересечения перпендикуляра с линией
пересечения плоскостей S и Р (точка С, см.рис.44,б). На горизонтальной и
фронтальной проекциях через точки D и С проводятся  прямые.

В результате
построения получают проекции угол АВС.

Источник: https://vunivere.ru/work3271

Решу егэ

Задание 14 № 513098

  • В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3. Длины боковых рёбер пирамиды
  • а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
  • б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

Решение.

  1. а) Рассмотрим треугольник SAB, у которого стороны и Значения этих сторон удовлетворяют равенству следовательно, треугольник SAB прямоугольный, SAAB.
  2. Рассмотрим треугольник SAD со сторонами Длины сторон треугольника удовлетворяют равенству то есть он является прямоугольным, SA ⊥ AD.
  3. Из перпендикулярности SA ⊥ AB и SA ⊥ AD следует, что SA ⊥ (ABC) и, следовательно, SA — высота пирамиды.

б) Проекция SC на плоскость SAB будет прямая SB. Таким образом, нужно найти угол между прямыми SC и SB (смотри рисунок), то есть угол φ = ∠CSB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SCB. Тангенс угла φ равен

  • Ответ: 30°.
  • Примечание.

Можно было бы найти косинусы углов DAS и BAS из треугольников DAS и BAS, применив по теорему косинусов.

Оба косинуса равны нулю, из чего следует, что прямая SA перпендикулярна двух пересекающимся прямым DA и BA, лежащим в одной плоскости.

Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая SA перпендикулярна плоскости основания, а ребро SA — высота пирамиды.

Аналоги к заданию № 513098: 515920 Все

  1. Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016
  2. Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах
  3. Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямой и плоскости, Угол между прямой и плоскостью, Четырехугольная пирамида

Источник: https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=284

Ссылка на основную публикацию