Соотношения между сторонами и углами треугольника — в помощь студенту

Определение. Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

По величине углов

  1. Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту Остроугольный треугольник — все углы треугольника острые.
  2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту Тупоугольный треугольник — один из углов треугольника тупой (больше 90°).
  3. Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту Прямоугольный треугольник — один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

  1. Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту Разносторонний треугольник — все три стороны не равны.
  2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту Равнобедренный треугольник — две стороны равны.
  3. Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту Равносторонним треугольник или правильный треугольник — все три стороны равны.

Свойства углов и сторон треугольника

Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту

Сумма углов треугольника равна 180°:

α + β + γ = 180°

  • В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:
  • если α > β, тогда a > b
  • если α = β, тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c b + c > a c + a > b

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Годовое планирование в детском саду - в помощь студенту

Оценим за полчаса!
a  =  b  =  c  = 2R
sin α sin β sin γ
  1. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
  2. a2 = b2 + c2 — 2bc·cos α
  3. b2 = a2 + c2 — 2ac·cos β
  4. c2 = a2 + b2 — 2ab·cos γ
  • Для остроугольного треугольника:
  • a = b cos γ + c cos β
  • b = a cos γ + c cos α
  • c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

  1. a = 23√2(mb2 + mc2) — ma2
  2. b = 23√2(ma2 + mc2) — mb2
  3. c = 23√2(ma2 + mb2) — mc2

Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту

Определение. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

  1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

  2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

    AOOD = BOOE = COOF = 21

  3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

    • S∆ABD = S∆ACD
    • S∆BEA = S∆BEC
    • S∆CBF = S∆CAF
  4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

    S∆AOF = S∆AOE = S∆BOF = S∆BOD = S∆COD = S∆COE

  5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

  1. ma = 12√2b2+2c2-a2
  2. mb = 12√2a2+2c2-b2
  3. mc = 12√2a2+2b2-c2

Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту

Определение. Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника:

  1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — центре вписанной окружности.

  2. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

    AEAB = ECBC

  3. Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

    Угол между lc и lc' = 90°

  4. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

  • la = 2√bcp(p — a)b + c
  • lb = 2√acp(p — b)a + c
  • lc = 2√abp(p — c)a + b

где p = a + b + c2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

  1. la = 2bc cos α2b + c
  2. lb = 2ac cos β2a + c
  3. lc = 2ab cos γ2a + b

Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту

Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться

  • внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
  • совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
  • проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.

ha:hb:hc = 1a:1b:1c = (bc):(ac):(ab)

Формулы высот треугольника

Формулы высот треугольника через сторону и угол:

  • ha = b sin γ = c sin β
  • hb = c sin α = a sin γ
  • hc = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь:

  1. ha = 2Sa
  2. hb = 2Sb
  3. hc = 2Sc

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности:

  • ha = bc2R
  • hb = ac2R
  • hc = ab2R

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

Свойства окружности вписанной в треугольник

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру: Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны:

r = (a + b — c)(b + c — a)(c + a — b)4(a + b + c)

Радиус вписанной в треугольник окружности через три высоты:

Определение. Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

  1. Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к уго сторонам.
  2. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

  3. Свойства углов
  4. Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности через три стороны и площадь: Радиус описанной окружности через площадь и три угла: Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов):

R = a2 sin α = b2 sin β = c2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то.

rR = 4 sinα2 sinβ2 sinγ2 = cos α + cos β + cos γ — 1

Средняя линия треугольника

Определение. Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника

1. Любой треугольник имеет три средних линии

2. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

MN = 12AC     KN = 12AB     KM = 12BC

MN || AC     KN || AB     KM || BC

3. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника

  • S∆MBN = 14 S∆ABC
  • S∆MAK = 14 S∆ABC
  • S∆NCK = 14 S∆ABC
Читайте также:  Учет налога на имущество физических лиц - в помощь студенту

4. При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.

  1. ∆MBN ∼ ∆ABC
  2. ∆AMK ∼ ∆ABC
  3. ∆KNC ∼ ∆ABC
  4. ∆NKM ∼ ∆ABC

Признаки. Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

  1. Формула площади треугольника по стороне и высоте Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты

    S = 12a · ha S = 12b · hb S = 12c · hc

  2. Формула площади треугольника по трем сторонам

    S = √p(p — a)(p — b)(p — c)

    где p = a + b + c2 — полупериметр треугльника.

  3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

    S = 12a · b · sin γ S = 12b · c · sin α S = 12a · c · sin β

  4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Определение. Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны.

Свойства. У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны)

Признаки равенства треугольников

Теорема 1.

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 2.

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 3.

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Определение. Подобные треугольники — треугольники соответствующие углы которых равны, а сходственные стороны пропорциональны.

∆АВС ~ ∆MNK => α = α1, β = β1, γ = γ1 и ABMN = BCNK = ACMK = k,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Свойства. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

S∆АВСS∆MNK = k2

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/

Урок 24. соотношения между сторонами и углами треугольника. неравенство треугольника — Геометрия — 7 класс — Российская электронная школа

  • Геометрия
  • 7 класс
  • Урок № 24
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника
  • Перечень рассматриваемых вопросов:
  • Установление соотношений между сторонами и углами треугольника.
  • Формулирование неравенства треугольника.
  • Теоремы о сравнении сторон и углов треугольника, их применение при решении задач.
  • Проведение исследования о существовании треугольника с заданными элементами.

Тезаурус

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Против большего угла лежит большая сторона.

Основная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.
  1. Теоретический материал для самостоятельного изучения.
  2. Ранее, на уроках геометрии, вы познакомились с различными фигурами, в том числе и с треугольником.
  3. Сегодня мы продолжим изучать треугольники и рассмотрим соотношение между его элементами.
  4. Теорема: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
  5. Дано: ∆АВС.
  6. AB > AC.
  7. Доказать:
  8. ∠С > ∠В
  9. Доказательство:

Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту

Отложим на стороне AB отрезок, равный стороне AC.

Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту

  • Так как AD < AB, то точка D лежит между точками A и B.
  • Следовательно, угол 1 является частью угла C и, значит,
  • ∠C > ∠1.
  • Угол 2 – внешний угол треугольника BDC, поэтому ∠2 > ∠B (по свойству внешнего угла треугольника).
  • ∠1 = ∠2 как углы при основании равнобедренного ∆ADC (по свойству равнобедренного треугольника).
  • →∠C > ∠1, ∠1 = ∠2, ∠2 > ∠B →∠C > ∠B.
  • Теорема доказана.

Справедлива и теорема, обратная данной. Против большего угла лежит большая сторона.

  1. Дано: ∆АВС.
  2. ∠С > ∠В
  3. Доказать:
  4. AB > AC.
  5. Доказательство:

Предположим, что АВ = АС или АВ < АС. Если АВ = АС → ∆АВС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника) →∠С = ∠В (по свойству равнобедренного треугольника). Что противоречит условию, т. к. ∠С > ∠ В.

Если АВ < АС → ∠С < ∠В (по теореме доказанной выше: против большей стороны лежит больший угол) Что противоречит условию, т. к. ∠С > ∠В.

  • Поэтому наше предположение неверное → AB > AC.
  • Теорема доказана.
  • Докажем два следствия из этих теорем.

1 следствие. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

  1. Дано: ∆АВС – прямоугольный.
  2. ∠В = 90°
  3. Доказать: АС > СВ.

Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту

Доказательство: ∠В > ∠А, т. к. ∠В = 90° ( по условию), ∠А –острый → АС > СВ (по обратной теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника: против большего угла лежит большая сторона).

  • Что и требовалось доказать.
  • Докажем второе следствие из этих теорем.
  • 2 следствие:

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Это следствие называется признак равнобедренного треугольника.

  1. Дано: ∆АВС
  2. ∠А = ∠С
  3. Доказать: ∆АВС – равнобедренный

Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту

Доказательство:

Докажем, что АВ = ВС.

Пусть АВ > ВС →∠С > ∠А (по теореме доказанной выше: против большей стороны лежит больший угол), противоречит условию, т. к. ∠А = ∠С . → АВ = ВС →∆АВС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника).

  • Что и требовалось доказать.
  • Докажем теорему по соотношению между сторонами треугольника.
  • Теорема:
  • Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
  • Дано:
  • ∆АВС
  • Доказать: АВ < АС + СВ.

Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту

  1. Доказательство:
  2. Продолжим сторону AC и отложим отрезок CD = BC.
  3. ∆BCD – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника) →∠1 = ∠2 (по свойству равнобедренного треугольника).
  4. В ∆ABD: ∠ABD > ∠1 (так как угол 1 часть угла АВD), →∠ABD > ∠2 (так как ∠1 = ∠2).

Так как против большего угла лежит большая сторона (по теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника) → AB < AD, AD = AC + CD, т.к. CD = BC, поэтому AD = AC + CВ → AB < AC + СВ.

  • Что и требовалось доказать.
  • Сформулируем следствие из этой теоремы.
  • Для любых трёх точек A, B и C, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: AB < AC + CB, AC < AB + BC, BC < BA + AC.

Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту

Решим задачу на доказательство, используя теоремы о соотношениях между углами и сторонами треугольника.

Докажем, что в произвольном треугольнике, если медиана и высота проведены из одной вершины, то эта медиана не меньше высоты, проведённой из то же вершины.

Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту

  1. Дано: ∆АВС.
  2. ВМ – медиана,
  3. ВН – высота.
  4. Доказать: ВМ ≥ ВН.
  5. Доказательство:

Рассмотрим случай, когда АВ ≠ ВС. То ВМ и ВН не совпадают (т. к. по свойству равнобедренного треугольника, высота и медиана совпадают, если проведены к его основанию).

Рассмотрим ∆ВНМ – прямоугольный (по определению прямоугольного треугольника), т. к. ∠Н = 90°, при этом угол в 90° единственный в данном треугольнике (по теореме о сумме углов треугольника) → ∠Н – самый большой → ВМ > ВН (по обратной теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника).

Рассмотрим ещё случай АВ = ВС → ∆АВС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника). То ВМ = ВН (по свойству равнобедренного треуголника, высота и медиана совпадают, если проведены к его основанию)→ ВМ ≥ ВН.

  • Что и требовалось доказать.
  • Разбор заданий тренировочного модуля.
  • 1 Дано: ABC, равнобедренный, вычислите чему равна третья сторона треугольника, если две других равны 8 см и 4 см?
  • Объяснение: По определению равнобедренного треугольника, две его боковые стороны равны, следовательно это будет сторона равная 4 см или 8см.

Сторона 4см не может быть, т. к. 8см = 4 см + 4 см., что противоречит теореме о соотношениях между сторонами треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

  1. Предположим, что боковые стороны равны 8 см. Тогда, по теореме о соотношениях между сторонами треугольника, каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, получим следующее соотношение между сторонами треугольника:
  2. 4 см < 8 см + 8 см
  3. 8 см < 8 см + 4 см.
  4. Соотношение верно, следовательно, третья сторона равна 8 см.
  5. Ответ: третья сторона равна 8 см.

2. Дано: ∆АВК – равнобедренный, ВК – основание треугольника, его периметр равен 29 см, разность двух сторон равна 5 см, при этом один из его внешних углов – острый. Найдите длину боковой стороны АВ и основания ВК.

Объяснение: т. к.

по условию, один из внешних углов острый, то один из внутренних углов будет тупым, а это может быть, в равнобедренном треугольнике, только вершина над основанием треугольника (следствие из теоремы о сумме углов треугольника). → Основание ВК – самая длинная сторона треугольника АВК (по теореме о соотношении между углами и сторонами треугольника). → ВК – АВ = 5 см →ВК = 5см + АВ.

По определению равнобедренного треугольника, две его боковые стороны равны → АВ = АК. Периметр треугольника – сумма длин трёх его сторон.

Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту

  • Р∆АВК = АВ + АК + ВК = 29 см (по условию).
  • 2АВ + ВК = 29 см
  • 2АВ +5см + АВ = 29 см
  • 3АВ = 24 см
  • АВ = 8 см, ВК = 8 + 5 =13 см.
  • Ответ: ВК = 13 см; АВ = 8 см.

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/7307/conspect/

Видеоурок «Соотношения между сторонами и углами треугольника»

§ 1  Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту

Треугольник может быть остроугольным, тупоугольным или прямоугольным. Рассмотрим тупоугольный треугольник АВС. Обратите внимание, что напротив тупого угла расположена наибольшая из сторон треугольника. В геометрии существует теорема, подтверждающая этот факт.

Теорема: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Рассмотрим доказательство данной теоремы.

Для этого возьмем треугольник, в котором сторона АВ больше стороны АС. Докажем, что угол С, лежащий против АВ, больше угла В, лежащего против АС. Отложим на стороне АВ отрезок АК, равный стороне АС. Соединим точки К и С, обратите внимание, что угол АСК является частью угла С, то есть угол АСК меньше угла С.

Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту

Теперь рассмотрим угол АКС, он является внешним углом треугольника ВКС, то есть равен сумме углов В и ВСК, значит, угол АКС больше угла В. Поскольку треугольник АКС равнобедренный (по построению АК=АС), угол АКС равен углу АСК.

Таким образом, угол С больше угла АСК, но АСК равен углу АКС, который, в свою очередь, больше угла В. Отсюда следует, что угол С больше угла В, что и требовалось доказать.

Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту

Теперь докажем вторую часть теоремы. Пусть в треугольнике АВС угол С больше угла В, докажем, что сторона АВ больше АС. Предположим, что это не так. Тогда либо АВ равна АС, либо АВ меньше АС.

Если сторона АВ равна АС, тогда треугольник АВС равнобедренный и угол С равен углу В, что противоречит условию. Если сторона АВ меньше стороны АС, тогда по первой части теоремы угол С меньше угла В, что также противоречит условию.

Значит наше предположение неверно, и, следовательно, сторона АВ больше АС, что и требовалось доказать.

Имея в виду доказанную теорему, рассмотрим прямоугольный треугольник.

В прямоугольном треугольнике самый большой угол 90 градусов, а против этого угла лежит гипотенуза, это означает, что гипотенуза – наибольшая сторона в прямоугольном треугольнике и соответственно больше любого из катетов. Утверждение о том, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета, является следствием теоремы.

Следствие 1: в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту

  • Также теорема имеет второе следствие
  • Следствие 2: если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
  • Это утверждение называют признаком равнобедренного треугольника.

§ 2  Неравенство треугольника

В вопросе соотношения между сторонами и углами треугольника есть ещё одна теорема.

Теорема: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что АВ меньше суммы сторон АС и СВ. Отложим на продолжении стороны АС отрезок СК, равный стороне СВ. Угол СВК обозначим как первый, а угол ВКС — как второй. Треугольник ВСК равнобедренный (по построению СК=СВ), значит, угол 1 равен углу 2.

Но в треугольнике АВК угол АВК больше первого угла, значит, угол АВК больше второго угла. Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то сторона АВ меньше стороны АК, но сторона АК равна сумме сторон АС и СК, то есть равна сумме сторон АС и СВ (т.к.

СК=СВ по построению), поэтому сторона АВ меньше суммы сторон АС и СВ. Теорема доказана.

  1. Исходя из рассмотренной теоремы, получается
  2. Следствие: для любых точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: AB< AC + CB, AC< AB + BC, BC< BA + AC.
  3. Каждое из этих неравенств принято называть неравенством треугольника.

§ 3  Краткие итоги урока

  • Подведем итоги урока:
  • — В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона. 
  • — В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. 
  • — Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный. 
  • — Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. 
  • — Неравенства треугольника: AB< AC + CB, AC< AB + BC, BC< BA + AC.

Источник: https://znaika.ru/catalog/7-klass/geometry/Sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika.html

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Теорема:

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство:

  • 1) Дано: АВС, АВАС.
  •    Доказать: СВ.
  •    Доказательство:

Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту

Отложим на стороне АВ отрезок АD, равный стороне АС.

 АDАВ, т.к. по построению АD = АС, а по условию АСАВ, значит, точка D лежит между точками А и В. Следовательно, 1 является частью С, т.е. С1. Угол 2 внешний угол DBC, поэтому 2В. АDС — равнобедренный с основанием DC, т.к. по построению АD = АС, следовательно, 1 =2 (углы при основании).

  1. Итак, С1, 1 =2, значит, С2, при этом 2В, следовательно, СВ.
  2. 2) Дано: АВС, СВ.
  3.    Доказать: АВАС.
  4.    Доказательство:
  5. Предположим, что это не так. Тогда возможны два варианта:
  1. либо АВ = АС, тогда АВС — равнобедренный с основанием ВС, значит, С =В (как углы при основании), что противоречит условию: СВ.
  2. либо АВАС, тогда СВ, т.к. против большей стороны лежит больший угол (смотри 1 часть доказательства), что противоречит условию: СВ

Значит, наше предположение неверно, следовательно, АВАС. Что и требовалось доказать.

Следствие 1

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Доказательство:

  • Дано: АВС, ВС — гипотенуза, А — прямой.
  • Доказать: ВСАСВС АВ.
  • Доказательство:

АВС — прямоугольный, А — прямой, следовательно, углы В и С острые, тогда АВ и АС, значит, ВСАСВСАВ (в треугольнике против большего угла лежит большая сторона). Что и требовалось доказать.

Следствие 2

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Доказательство:

  1. Дано: АВС, В =С.
  2. Доказать: АС = АВ.
  3. Доказательство:

Предположим, что одна из сторон будет больше, т.е.

АСАВ, тогда и угол лежащий против этой стороны будет больше, т.е.

ВС (в треугольнике против большей стороны лежит больший угол), а это противоречит условию: В =С,следовательно, наше предположение неверно, значит АС = АВ.

Итак, в АВС равны две стороны (АС = АВ), следовательно, данный треугольник — равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

  • Теорема о сумме углов треугольника
  • Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники
  • Неравенство треугольника
  • Некоторые свойства прямоугольных треугольников
  • Признаки равенства прямоугольных треугольников
  • Уголковый отражатель
  • Расстояние от точки до прямой
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними
  • Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам
  • Построение треугольника по трем его сторонам
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника

Правило встречается в следующих упражнениях:

  1. 7 класс
  2. Задание 238, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  3. Задание 241, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  4. Задание 242, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  5. Задание 253, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  6. Задание 256, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  7. Задание 312, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  8. Задание 821, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  9. Задание 852, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  10. Задание 1025, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  11. Задание 3, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • © budu5.com, 2020
  • Пользовательское соглашение
  • Copyright
  • Нашли ошибку?
  • Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3428

Соотношение сторон в треугольнике

Соотношение сторон в треугольнике всегда подчиняется следующему правилу:длина любой стороны треугольника не может быть больше суммы длин двух других сторон.

Это правило так же называется теоремой о неравенстве треугольника. С помощью этой теоремы можно для любых трех сторон ответить на вопрос: можно ли из них построить треугольник?

  • Пример 1.
  • Существует ли треугольник со сторонами 3, 4, 5?
  • Решение:
  • Необходимо сравнить каждую сторону с суммой длин двух других.

Возьмем сторону длиной 3. Тогда сумма длин двух других сторон равна: 4 + 5 = 9; 3 < 9.

Возьмем сторону длиной 4. Тогда сумма длин двух других сторон равна: 3 + 5 = 8; 4 < 8.

Возьмем сторону длиной 5. Тогда сумма длин двух других сторон равна: 3 + 4 = 7; 5 < 7.

  1. Во всех трех случаях правило выполняется, значит, треугольник со сторонами 3, 4, 5 существует.
  2. Пример 2.
  3. Существует ли треугольник со сторонами 9, 5, 2.
  4. Решение:

Возьмем сторону длиной 9. Тогда сумма длин двух других сторон равна 5 + 2 = 7; 9 > 7.

  • Правило не выполняется, значит, треугольник со сторонами 9, 5, 2 построить невозможно.
  • Соотношение углов и сторон в треугольнике
  • Для любого треугольника верно следующее:
  • · Сумма углов треугольника равна 180°.
  • · Напротив большего угла лежит большая сторона треугольника.
  • · Напротив меньшего угла лежит меньшая сторона треугольника.
  • По присутствующим углам в треугольнике выделяют:
  • · остроугольные треугольники (содержат только острые углы);
  • · прямоугольные треугольники (содержат один прямой угол);
  • · тупоугольные треугольники (содержат один тупой угол).
  • Зная длины всех сторон треугольника, всегда можно определить, к какому из перечисленных типов треугольника относится данный:
  • · для прямоугольного треугольника выполняется равенство: а2 + b2 = c2, где a, b ― катеты, ас ― гипотенуза;
  • · для остроугольного треугольника для всех сторон выполняется неравенство:
  • a2 + b2 > c2;
  • · для тупоугольного треугольника выполняется неравенство: a2 + b2 < c2, где с ― сторона, лежащая против тупого угла.
  • Пример:
  • Докажите, что треугольник со сторонами 4, 5, 8 является тупоугольным.

Решение:

Т. к. тупой угол будет наибольшим в данном треугольнике, против него должна лежать наибольшая сторона, т. е. длиной 8.

  1. Проверим, будет ли выполняться неравенство a2 + b2 < c2, где с – сторона, лежащая против тупого угла:
  2. 42 + 52 < 82;
  3. 16 + 25 < 64;
  4. 41 < 64.
  5. Неравенство выполняется, значит, данный треугольник является тупоугольным, причем против тупого угла лежит сторона, длиной 8.
  6. Особые треугольники
  7. Среди всех треугольников выделяют три особых треугольника: правильный, равнобедренный, прямоугольный.
  8. У таких треугольников есть ряд особых свойств.
  9. Равносторонний треугольник:
  10. · Все стороны равны.
  11. · Все углы равны 60°.
  12. · Биссектриса, проведенная из любого угла, является медианой и высотой.
  13. · Все биссектрисы/медианы/высоты пересекаются в одной точке ― в центре вписанной и описанной окружностей.
  14. Равнобедренный треугольник:
  15. · Боковые стороны равны.
  16. · Углы при основании равны.
  17. · Высота, проведенная из вершины, является медианой и высотой.
  18. Прямоугольный треугольник:
  19. · Для сторон выполняется теорема Пифагора: а2 + b2 = c2, где a, b ― катеты, а с ― гипотенуза.
  20. · Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
  21. · Центр описанной окружности является серединой гипотенузы.
  22. · Соотношение сторон и углов лежит в основе тригонометрических функций: sin ― отношение противолежащего катета к гипотенузе; cos ― отношение прилежащего катета к гипотенузе; tg ― отношение противолежащего катета к прилежащему; ctg ― отношение прилежащего катета к противолежащему.
  23. Формулы для нахождения площади треугольника
  24. S = ah, где h ― высота, проведенная к стороне a.
  25. S = absinα, где α ― угол между сторонами a и b.
  26. S = , где R ― радиус описанной окружности.
  27. S = rp, где r ― радиус вписанной окружности, а p ― полупериметр.
  28. S = Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту , где p ― полупериметр.
  29. Иррациональные уравнения
  30. Арифметический корень
  31. Пусть n — натуральное число, отличное от единицы, а — неотрицательное число.
Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа а называетсянеотрицательное число, n-я степень которого равна а.

Для арифметического корня n−й степени из неотрицательного числа а, используется обозначение . Если n = 2, пишут .

По определению = a.

Для любых, в том числе отрицательных, значений а справедлива формула = │a│, в частности, = │a│ и =│ab│.



Источник: https://infopedia.su/12xa73f.html

технологическая карта урока по теме Соотношение между сторонами и углами треугольника

Технологическая карта урока

Тема урока: «Соотношение между сторонами и углами треугольника», геометрия 7 класс.

Учебник: Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций/[Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2014.

Автор урока: учитель математики МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №2» г. Югорск, Ханты-Мансийский автономный округ-Югра, Никифорова Марина Владимировна.

  • Тип урока: урок открытия новых знаний, обретения новых умений.
  • Цель обучения:
  • деятельностная: научить обучающихся новым способам нахождения знания, ввести новые свойства геометрической фигуры «треугольник».
  • содержательная: создать условия для организации деятельности учащихся по первичному усвоению новых знаний, умению применять соотношение между сторонами и углами треугольника и теорему о неравенстве треугольника при решении задач.
  • Задачи урока:
  • Образовательные:
  • рассмотреть теорему о неравенстве треугольника и показать ее применение при решении задач;
  • установить соотношение между сторонами и углами треугольника;
  • совершенствовать навыки решения задач.
  • Развивающие:
  • формировать технологическую и информационную компетентность;

продолжить развитие логического мышления учащихся в процессе формирования «технических приемов» умственной деятельности (анализ, абстрагирование, дедукция и т.д.) при обучении;

  1. развивать критическое мышление.
  2. Воспитательные:
  3. способствовать воспитанию трудолюбия и настойчивости в достижении цели при решении практических задач;
  4. содействовать воспитанию интереса к математике.
  5. Планируемые результаты:
  6. Учащийся должен знать:
  7. теорему о неравенстве треугольника;
  8. соотношение между сторонами и углами треугольника.
  9. Учащийся должен уметь:
  10. применять неравенство треугольника при решении задач;
  11. применять соотношение между сторонами и углами треугольника при решении задач.
  12. Организация пространства: смена рабочих зон.
  13. Виды деятельности на уроке: коллективная (фронтальная) работа, кооперативно-групповая работа, индивидуальная (самостоятельная) работа, исследовательская работа.

Необходимое оборудование и программное обеспечение: компьютер для учителя, компьютеры для обучающихся (один на двоих) с возможностью выхода в сеть Интернет, интерактивная доска, проектор, рабочие листы, макеты сторон треугольника (полоски различной длины) в конвертах, карточки для рефлексии. ПО

Источник: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/389574-tehnologicheskaja-karta-uroka-po-teme-sootnos

Ссылка на основную публикацию