Скалярное произведение векторов — в помощь студенту

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Почему скалярное произведение векторов называется именно скалярным и что представляет собой? Чем оно отличается от результатов других операций над векторами? Что такое скаляр? Скаляр — это число.

И скалярное произведение векторов — это тоже число. Этим оно и отличается от уже рассмотренной суммы векторов, и от векторного произведения векторов, которое ещё предстоит рассмотреть.

В отличие от скалярного произведения, сумма векторов — это вектор, и векторное произведение — тоже вектор.

Скалярное произведение векторов - в помощь студенту

Определение 1. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними. Формула скалярного произведения векторов согласно определению 1: Скалярное произведение векторов - в помощь студенту   (1)

Можно встретить и другое название этой операции: внутреннее произведение.

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом.

На этом уроке будем решать распространённые задачи не только на непосредственное вычисление скалярного произведения, но и на выяснение ортогональности (перпендикулярности) векторов, вида угла (тупой, острый, прямой) между векторами, вычисление скалярного произведения векторов, которые даны в координатах, вычисление длин диагоналей параллелограма, построенного на вектора. Но все по порядку. Перед каждым видом задач будем обращать внимание на то, что на этот счёт гласит теория. По ходу урока вам пригодится онлайн-калькулятор для проверки решения задач на скалярное произведение векторов.

Если в задаче и длины векторов, и угол между ними преподнесены «на блюдечке с голубой каёмочкой», то условие задачи и её решение выглядят так:

Пример 1. Даны векторы . Найти скалярное произведение векторов , если их длины и угол между ними представлены следующими значениями:

Скалярное произведение векторов - в помощь студенту

Решение:

Скалярное произведение векторов - в помощь студенту

Справедливо и другое определение, полностью равносильное определению 1.

Определение 2. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длины одного их этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Формула согласно определению 2:

  •    (2)
  • или
  •    (3)

Задачу с применением этой формулы решим после следующего важного теоретического пункта.

Определение скалярного произведения векторов через координаты

То же самое число можно получить, если перемножаемые векторы заданы своими координатами.

Определение 3. Скалярное произведение векторов — это число, равное сумме попарных произведений их соответствующих координат.

На плоскости

  1. Если два вектора и на плоскости определены своими двумя декартовыми прямоугольными координатами
  2. и
  3. ,
  4. то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

Скалярное произведение векторов - в помощь студенту

Пример 2. Найти численную величину проекции вектора на ось, параллельную вектору .

Решение. Находим скалярное произведение векторов, складывая попарные произведения их координат:

Скалярное произведение векторов - в помощь студенту

Теперь нам требуется приравнять полученное скалярное произведение произведению длины вектора на проекцию вектора на ось, параллельную вектору (в соответствии с формулой ).

Находим длину вектора как квадратный корень из суммы квадратов его координат:

Скалярное произведение векторов - в помощь студенту

Составляем уравнение и решаем его:

Скалярное произведение векторов - в помощь студенту

Ответ. Искомая численная величина равна минус 8.

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними.

В пространстве

Если два вектора и в пространстве определены своими тремя декартовыми прямоугольными координатами

Скалярное произведение векторов - в помощь студенту

и

Скалярное произведение векторов - в помощь студенту

то скалярное произведение этих векторов также равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, только координат уже три:

.

Задача на нахождение скалярного произведения рассмотренным способом — после разбора свойств скалярного произведения. Потому что в задаче потребуется определить, какой угол образуют перемножаемые векторы.

Свойства скалярного произведения векторов

1.   (переместительное свойство: от перемены местами перемножаемых векторов величина их скалярного произведения не меняется).

2.   (сочетательное относительно числового множителя свойство: скалярное произведение вектора, умноженного на некоторый множитель, и другого вектора, равно скалярному произведению этих векторов, умноженному на тот же множитель).

3.   (распределительное относительно суммы векторов свойство: скалярное произведение суммы двух векторов на третий вектор равно сумме скалярных произведений первого вектора на третий вектор и второго вектора на третий вектор).

4. (скалярный квадрат вектора больше нуля), если — ненулевой вектор, и , если — нулевой вектор.

В определениях изучаемой операции мы уже касались понятия угла между двумя векторами. Пора уточнить это понятие.

На рисунке выше видны два вектора, которые приведены к общему началу. И первое, на что нужно обратить внимание: между этими векторами существуют два угла — φ1 и φ2.

Какой из этих углов фигурирует в определениях и свойствах скалярного произведения векторов? Сумма рассмотренных углов равна 2π и поэтому косинусы этих углов равны. В определение скалярного произведения входит только косинус угла, а не значение его выражения.

Но в свойствах рассматривается только один угол. И это тот из двух углов, который не превосходит π, то есть 180 градусов. На рисунке этот угол обозначен как φ1.

  • 1. Два вектора называют ортогональными и угол между этими векторами — прямой (90 градусов или π/2), если скалярное произведение этих векторов равно нулю:
  • .
  • Ортогональностью в векторной алгебре называется перпендикулярность двух векторов.

2. Два ненулевых вектора составляют острый угол (от 0 до 90 градусов, или, что тоже самое — меньше π/2) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно.

3. Два ненулевых вектора составляют тупой угол (от 90 до 180 градусов, или, что то же самое — больше π/2) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.

Пример 3. В координатах даны векторы:

.

Вычислить скалярные произведения всех пар данных векторов. Какой угол (острый, прямой, тупой) образуют эти пары векторов?

Решение. Вычислять будем путём сложения произведений соответствующих координат.

  1. .
  2. Получили отрицательное число, поэтому векторы образуют тупой угол.
  3. .
  4. Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.
  5. .
  6. Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.
  7. .
  8. Получили нуль, поэтому векторы образуют прямой угол.
  9. .
  10. Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.
  11. .
  12. Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними.

  • Пример 4. Даны длины двух векторов и угол между ними:
  • .
  • Определить, при каком значении числа векторы и ортогональны (перпендикулярны).
  • Решение. Перемножим векторы по правилу умножения многочленов:
  • .
  • Теперь вычислим каждое слагаемое:
  • .
  • Составим уравнение (равенство произведения нулю), приведём подобные члены и решим уравнение:
  • Ответ: мы получили значение λ = 1,8, при котором векторы ортогональны.
  1. Пример 5. Доказать, что вектор ортогонален (перпендикулярен) вектору
  2. Решение. Чтобы проверить ортогональность, перемножим векторы и как многочлены, подставляя вместо его выражение, данное в условии задачи:
  3. .
  4. Для этого нужно каждый член (слагаемое) первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить:
  5. .
  6. В полученном результате дробь за счёт сокращается. Получается следующий результат:
  7. .
  8. Вывод: в результате умножения получили нуль, следовательно, ортогональность (перпендикулярность) векторов доказана.
Читайте также:  Гарантии работникам в рамках трудового законодательства - в помощь студенту

Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними.

Матричное представление скалярного произведения векторов и произведение n-мерных векторов

  • Иногда выигрышным для наглядности является представление двух перемножаемых векторов в виде матриц. Тогда первый вектор представлен в виде матрицы-строки, а второй — в виде матрицы-столбца:
  • Тогда скалярное произведение векторов будет произведением этих матриц:

Результат тот же, что и полученный способом, который мы уже рассмотрели. Получили одно единственное число, и произведение матрицы-строки на матрицу-столбец также является одним единственным числом.

В матричной форме удобно представлять произведение абстрактных n-мерных векторов. Так, произведение двух четырёхмерных векторов будет произведением матрицы-строки с четырьмя элементами на матрицу-столбец также с четырьмя элементами, произведение двух пятимерных векторов — произведением матрицы-строки с пятью элементами на матрицу-столбец также с пятью элементами и так далее.

  1. Пример 7. Найти скалярные произведения пар векторов
  2. и
  3. ,
  4. используя матричное представление.

Решение. Первая пара векторов. Представляем первый вектор в виде матрицы-строки, а второй — в виде матрицы-столбца. Находим скалярное произведение этих векторов как произведение матрицы-строки на матрицу-столбец:

  • Аналогично представляем вторую пару и находим:
  • Как видим, результаты получились те же, что и у тех же пар из примера 2.

Угол между двумя векторами

Вывод формулы косинуса угла между двумя векторами очень красив и краток.

  1. Чтобы выразить скалярное произведение векторов
  2.                               (1)
  3. в координатной форме, предварительно найдём скалярные произведение ортов. Скалярное произведение вектора на само себя по определению:

То, что записано в формуле выше, означает: скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины. Косинус нуля равен единице, поэтому квадрат каждого орта будет равен единице:

  • Так как векторы
  • попарно перпендикулярны, то попарные произведения ортов будут равны нулю:
  1. Теперь выполним умножение векторных многочленов:
  2. Подставляем в правую часть равенства значения соответствующих скалярных произведений ортов:

Получаем формулу косинуса угла между двумя векторами:

Пример 8. Даны три точки A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

  • Найти угол .
  • Решение. Находим координаты векторов:
  • ,
  • .
  • По формуле косинуса угла получаем:
  • Следовательно, .

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними.

  1. Пример 9. Даны два вектора
  2. и
  3. Найти сумму, разность, длину, скалярное произведение и угол между ними.
  4. Решение.
  5. 1.Сумма
  6. 2.Разность
  7. 3.Длина
  8. 4.Скалярное произведение
  9. 5.Угол между и :

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними.

  • Пример 13. Среди векторов
  • Найти а) коллинеарные; б) ортогональные.
  • Решение.
  • а) проверим пропорциональность соответствующих координат векторов — условие коллинеарности (повторение материала предыдущей части темы «Векторы»).
  • Для векторов и :
  • Равенство не выполняется.
  • Для векторов и :
  • Равенство выполняется.
  • Для векторов и :
  • Равенство не выполняется.
  • Наше исследование показало, что коллинеарны векторы и .
  • б) найдём скалярные произведения векторов.
  • Наше исследование показало, что ортогональны векторы и и и .

Применения скалярного произведения векторов

Расчёт работы постоянной силы

Посмотрите ещё раз на рисунок в начале статьи. Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из начала координат в конец вектора B под действием постоянной силы F = A, образующей угол с перемещением S = A.

Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна .

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении её точки приложения равна скалярному произведению вектора силы F = B на вектор перемещения S = A.

Скалярное произведение векторов позволяет находить угол между двумя векторами. Поэтому оно часто встречается в последующих разделах математики, особенно, аналитической геометрии.

Стоит ли говорить о том, что нахождение скалярного произведения векторов — фундаментальный навык для любого будущего инженера, проектирующего всё что угодно, от гладильных досок и лестниц-стремянок до зданий, или для программиста, собирающегося разрабатывать игры?

Экономический смысл скалярного произведения векторов

В экономических задачах можно рассматривать скалярное произведение вектора цен p на вектор объёма проданных товаров x . Скалярное произведение px в этом случае даёт суммарную стоимость проданных товаров x при ценах p .

Например, если объём всех товаров, проданных предприятием, выражается вектором x = (400; 750; 200; 300), элементы которого означают соответственно количество товаров различных групп, а цены в одних и тех же денежных единицах заданы в соответствующем порядке вектором p = (3; 2,1; 1,2; 0,5), то скалярное произведение

выражает суммарную стоимость всех товаров x.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Векторы

Поделиться с друзьями

Начало темы «Векторы»

Векторы: определения и действия над векторами Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов

Продолжение темы «Векторы»

Линейная зависимость векторов Базис системы векторов. Аффинные координаты Векторное и смешанное произведение векторов

Источник: https://function-x.ru/vectors_scalar.html

Скалярное произведение векторов. Он-лайн калькуляторы скалярного произведения и угла между векторами по координатам

Скалярное произведение векторов — это операция над двумя векторами, результатом которой является число (не вектор).

Определяется скалярное произведение, как правило, следующим образом:

Скалярное произведение векторов - в помощь студенту                                          Скалярное произведение векторов - в помощь студенту 

Иными словами, скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними . Необходимо заметить, что угол между двумя векторами — это угол, который они образуют, если отложить их от одной точки, то есть начала векторов должны совпадать.

Непосредственно из определения следуют следующие простейшие свойства:

1. Скалярное произведение произвольного вектора а на себя же (скалярный квадрат вектора а) всегда неотрицательно, и равно квадрату длины этого вектора. Причем скалярный квадрат вектора равен нулю тогда и только тогда, когда данный вектор — нулевой.

Скалярное произведение векторов - в помощь студенту

2.Скалярное произведение любых перпендикулярных векторов a и b равно нулю.

Скалярное произведение векторов - в помощь студенту

3. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перепендикулярны или хотя бы один из них — нулевой.

4. Скалярное произведение двух векторов a и b положительно тогда и только тогда, когда между ними острый угол.

5.Скалярное произведение двух векторов a и b отрицательно тогда и только тогда, когда между ними тупой угол.

  • Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами.
  • (Вычислить координаты вектора, если заданы координаты его начала и его конца очень просто —
  • Пусть есть вектор AB, А — начало вектора, В — конец, и координаты этих точек
  • А=(a1,a2,a3),        В=(b1,b2,b3)
  • Тогда координаты вектора АВ:
  • АВ={b1-a1, b2-a2, b3-a3}.
  • Аналогично в двухмерном пространстве — просто отсутствуют третьи координаты)
  • Итак, пусть даны два вектора, заданные набором своих координат:
  • а) В двухмерном пространстве(на плоскости).
Читайте также:  Особенности учета затрат в торговых организациях - в помощь студенту

Скалярное произведение векторов - в помощь студенту

Тогда их скалярное произведение можно вычислить по формуле:

Скалярное произведение векторов - в помощь студенту

б) В трехмерном пространстве

Скалярное произведение векторов - в помощь студенту

Аналогично двухмерному случаю, их скалярное произведение вычисляется по формуле:

Скалярное произведение векторов - в помощь студенту

Вычисление угла между векторами с помощью скалярного произведения.

Самое распространенное математическое приложение скалярного произведения двух векторов — это вычисление угла между векторами, заданными своими координатами. Для примера возьмем трехмерный случай. (Если вектора заданы на плоскости, то есть двумя координатами, во всех формулах просто отсутствуют третьи координаты.)

Итак, пусть у нас есть два вектора:

Скалярное произведение векторов - в помощь студенту

И нам нужно найти угол между ними. С помощью их координат найдем их длины, а затем просто приравняем две формулы для скалярного произведения. Таким образом мы получим косинус искомого угла.

Длина вектора а вычисляется как корень из скалярного квадрата вектора а, который мы вычислим по формуле для скалярного произведения векторов, заданных координатами:

Скалярное произведение векторов - в помощь студенту

  1. Аналогично вычисляется длина вектора b.
  2. Итак,
  3. Значит,
  4. Искомый угол найден.

Он-лайн калькулятор скалярного произведения двух векторов.

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов с помощью данного калькулятора, нужно ввести в первую строку по порядку координаты первого вектора, во вторую- второго.

Координаты векторов могут быть вычислены по координатам их начала и конца (см.

выше Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами. )

  • Если вектора заданы двумя координатами, то на месте третьей координаты каждого вектора нужно поставить ноль.
  • Он-лайн калькулятор угла между векторами.
  • Аналогично предыдущему калькулятору, необходимо ввести координаты обоих векторов по порядку, и если вектора заданы двумя координатами — на месте третьих координат следует поставить ноль.

Источник: https://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/ScalarVectorsMultiplication/

Скалярное произведение векторов

Пусть даны векторы $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $.

Как найти скалярное произведение векторов? Для того, чтобы найти скалярное произведение векторов необходимо воспользоваться формулой: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y $$ Стоит заметить, что скалярное произведение записывается в скобках, в которых векторы записываются через запятую. Данное обозначение широко применяется в математике и его нужно запомнить.

Если в задаче векторы заданы тремя координатами (в пространстве), то найти скалярное произведение векторов нужно по другой формуле, основанной на предыдущей. Но с тем же смыслом: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z $$

По сути скалярное произведение – это сумма произведений соответствующих координат данных векторов. Первая координата умножается на первую, вторая на вторую и затем произведения суммируются.

Примеры решений

Пример 1
Найти скалярное произведение векторов $ overline{a} = (-1;2) $ и $ overline{b} = (2;1) $
Решение
  • В данном примере векторы заданы двумя координатами, поэтому применяем первую формулу для плоской задачи. Умножаем соответствующие координаты, а потом складываем их:
  • $$ (overline{a},overline{b}) = -1 cdot 2 + 2 cdot 1 = -2 + 2 = 0 $$
  • Произведение получилось равным нулю, а это кстати означает, что векторы оказались ортогональными (перпендикулярными) друг к другу.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ (overline{a},overline{b}) = 0 $$
Пример 2
В пространстве заданы начала и концы векторов: $$ A = (1;3;-2), B = (-1;4;1), C = (2; 1; -2) $$ Требуется найти скалярное произведение векторов $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $.
Решение
В примеры решения данной задачи даны только точки и сразу вычислить произведение векторов не представляется возможным. Сначала нужно найти сами векторы $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $. Вычисляются они с помощью разности соответствующих координат точек (из конца вычитается начало вектора):

  1. $$ overline{AB} = (-1 — 1; 4-3; 1-(-2)) = (-2; 1; 3) $$
  2. $$ overline{AC} = (2 — 1; 1 — 3; -2 — (-2)) = (1; -2; 0) $$
  3. Теперь, когда необходимые векторы найдены, то вычисляем их произведение:
  4. $$ (overline{AB},overline{AC}) = -2 cdot 1 + 1 cdot (-2) + 3 cdot 0 = -2-2+0 = -4 $$
Ответ
$$ (overline{AB},overline{AC}) = -4 $$

В статье мы ответили на вопрос: «Как найти скалярное произведение векторов?», а так же привели формулы и примеры решений задач.

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov.html

Скалярное произведение двух векторов (теория и примеры)

Что такое скалярное произведение векторов

  • На основании свойства 1 проекции (1): прl = ,^ уравнение запишется:
  • x = x пр =  пр x
  • (2)
  • В физике работа постоянной силы при прямолинейном перемещении вдоль вектора пути находится как скалярное произведение этих векторов:
  • x cos =  x 

Основные свойства скалярного произведения

  1. Скалярное произведение 2 векторов имеет 4 основных свойств. Так как практически в каждом примере, где нужно находить скалярные произведения, необходимо хорошо знать  свойства, рассмотрим их:
  2. 1. Скалярное произведение коммутативное (получается из формулы 1):
  3. x  =  x 
  4. 2.

    Числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения:

  5. x  = x  x 
  6. 3. Для произвольных векторов  ,  ,  :
  7. x  +  =  x  +  x 
  8. 4.

    Скалярное произведение 2 векторов  и равняется нулю x  тогда, и только тогда, когда один из них нулевой вектор, или когда эти векторы перпендикулярны

Скалярное произведение векторов в координатной форме

  • При помощи основных свойств, которые расписаны выше, можем находить скалярное произведение в координатной форме.
  • Если  = , тогда  x  =
  • Действительно, при помощи свойств, у нас получается:
  • + +
  • Как помним, произведение одноимённых ортов равняется 1, а разноимённых = 0, тогда получаем форму скалярного произведения в координатной форме:

(3)

Формулы для нахождения скалярного произведения

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов, необходимо знать не только свойства, но и несколько важных основных формул, которые подводят к правильному решению.

Длина вектора

Если в формуле (1) , тогда:

(4)

Расстояние между двумя точками

Допустим, есть две точки:

  1. ;
  2. .

(5)

Косинус угла между двумя векторами

  1. Косинус угла между двумя векторами получим из формулы (1) с учётом (3) и (4):
  2. =
  3. (6)

Условия перпендикулярности двух ненулевых векторов

  • и выходит из свойства 4 и формулы (3):
  • (7)

Проекция вектора на вектор

  1. Проекция вектора на вектор находится с учётом формул (3) и (4):
  2. пр = = .
  3. (8)
  4. пр = = .
  5. (9)
  6. Декартовые прямоугольные координаты вектора в базисе есть его проекциями на соответствующие оси координат.
  7. Действительно, согласно формуле (9) получается:
  8. пр =  = = , пр = = , пр = = .

Направляющие косинусы вектора

  • Направляющие косинусы вектора называются косинусы углов , созданные между вектором и координатными осями .
  • = = = , = = ,  =  
  • (10)

Примеры нахождения скалярного произведения и направления векторов

Зная все необходимые формулы, легко найти не только скалярное произведение вектора, но и длину сторон, косинус угла, площадь, модуль вектора и т. д. Посмотрите, как решаются задачи при помощи основных формул, которые рассмотрены выше.

Пример 1

  1. Задача
  2. Найти скалярное произведение векторов:
  3. = и = .
  4. Решение
  5. Исходя из формулы (3) у нас получается:
  6. x =

Следующий пример тоже на нахождение скалярного произведения, но решение будет немного другим, хоть и по той же формуле, что и первый пример.

Пример 2

  • Задача
  • Даны точки Найти скалярное произведение векторов .
  • Решение
  • Сначала найдём векторы:
  • Согласно формуле (3) получается:

Часто попадаются и примеры, где нужно найти площадь, длину сторон, косинус и синус угла. Рассмотрим на примере:

Пример 3

  1. Задача
  2. Даны точки
  3. Для параллелограмма, построенного на векторах и вычислить:
  1. длину сторон, то есть и ;
  2. косинус и синус угла;
  3. площадь.

  • Решение
  • Находим векторы тогда:
  • 1) = ,
  • 2) = = = = (угол – тупой), = = =
  • 3) = = * * =

Пример 4

  1. Задача
  2. Найти модуль вектора   = , если  , , , ^ =
  3. Решение

Согласно формуле (4) = . Находим = = = + = , тогда .

Пример 5

  • Задача
  • Найти направляющие косинусы вектора и значения выражения .
  • Решение
  • =
  • = = ; = ; = .
  • = + + = .
  • Проверим, что для произвольного вектора
  • = .
  • Направляющие косинусы вектора полностью определяют направление вектора и они есть координатами единичного вектора , что совпадает за направлением с , то есть:
  • = = .
  • Ответ
  • .

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/skaljarnoe-proizvedenie-dvuh-vektorov/

Скалярное произведение векторов и его свойства

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то угол между ними не определён, а скалярное произведение считается равным нулю.

Скалярное произведение векторов и обозначается

(1.7)

где — величина угла между векторами и .

Пример 1.13. Найти скалярные произведения , если известно, что , угол между векторами и равен , , а вектор образует с вектором угол (рис.1.36).

Решение. По определению находим

Так как векторы и противоположно направленные, то угол между векторами и равен . Поэтому

Угол между противоположно направленными векторами и равен , поэтому

Вектор ортогонален вектору (и вектору ), так как величина угла между ними равна , а . Поэтому .

Угол между векторами и равен , поэтому .

Геометрический смысл скалярного произведения векторов

Рассмотрим ортогональную проекцию ненулевого вектора на ось, задаваемую вектором (рис. 1.37). Согласно пункту 1 замечаний 1.4, алгебраическое значение длины проекции равно произведению длины вектора на косинус угла между векторами и :

Умножив обе части этого равенства на , получим . Сравнивая с (1.7), делаем вывод: скалярное произведение ненулевых векторов и равно произведению длины вектора на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора на ось, задаваемую вектором :

(1.8)

Эта формула остается справедливой и в случае , так как .

Аналогично (см. пункт 2 замечаний 1.4) доказывается формула и делается вывод о том, что скалярное произведение ненулевых векторов и равно произведению длины вектора на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора на ось, задаваемую вектором .

Алгебраические свойства скалярного произведения

  • Для любых векторов и любого действительного числа :
  • 1. ;
  • 2. ;
  • 3. ;

4. , причем из равенства следует, что .

Первое свойство определяет симметричность скалярного произведения, второе и третье — аддитивность и однородность по первому множителю, четвертое свойство — неотрицательность скалярного квадрата.

Эти свойства аналогичны свойствам произведения чисел: первое свойство соответствует закону коммутативности умножения чисел, второе — закону дистрибутивности умножения по отношению к сложению, третье — закону ассоциативности умножения. Поэтому рассматриваемая операция и называется произведением векторов.

Поскольку ее результатом является число (скаляр), то такое произведение векторов называется скалярным.

Свойства 1 и 4 следуют непосредственно из определения. Докажем, например, аддитивность скалярного произведения по первому множителю (свойство 2): .

Если вектор — нулевой, то все скалярные произведения равны нулю по определению, т.е. для имеем верное равенство. Пусть .

Учитывая, что проекция суммы векторов равна сумме проекций (то же относится и к алгебраическим значениям длин ортогональных проекций), можно записать .

Умножая обе части на , получаем .

Учитывая (1.8), последнее равенство равносильно , что и требовалось доказать. Однородность скалярного произведения по первому множителю (свойство 3) доказывается аналогично, используя соответствующее свойство ортогональных проекций векторов.

Замечания 1.9

1. Свойства аддитивности и однородности скалярного произведения означают линейность скалярного произведения по первому множителю:

для любых векторов и любых действительных чисел и .

2. В силу коммутативности скалярное произведение линейно и по второму множителю, т.е. линейно по любому множителю.

3. Для любых векторов справедливо неравенство Коши — Буняковского

Это неравенство выражает условие ограниченности косинуса угла между ненулевыми векторами. В самом деле, поскольку , то из (1.7)

и, следовательно, справедливо доказываемое неравенство. Заметим, что неравенство Коши — Буняковского выполняется как равенство только для коллинеарных векторов, т.е. при .

4. Из неравенства Коши — Буняковского следует неравенство треугольника (длина стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон и больше модуля их разности):

Докажем последнее неравенство . Используя неравенство , которое следует из неравенства Коши — Буняковского, оценим скалярный квадрат суммы векторов:

т.е. , что равносильно доказываемому неравенству.

Геометрические свойства скалярного произведения

С помощью скалярного произведения можно находить основные метрические величины: длины отрезков (или, что то же самое, длины векторов) и величины углов.

1. Длина вектора а находится по формуле: .

2. Величина угла между ненулевыми векторами находится по формуле:

  1. Отсюда заключаем, что:
  2. — ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: ;
  3. — угол между ненулевыми векторами и острый тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно;
  4. — угол между ненулевыми векторами и тупой тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.

3. Алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора на ось, задаваемую вектором .

4. Ортогональная проекция вектора на ось, задаваемую вектором .

Если ось задается единичным вектором , то .

Свойства 1 и 2 следуют непосредственно из определения скалярного произведения. Третье и четвертое свойства вытекают из геометрического смысла скалярного произведения (см. (1.8)) и п.1 замечаний 1.4.

Пример 1.14. Доказать тождества

Решение. Используя коммутативность и линейность скалярного произведения, запишем равенства

Заменяя скалярные квадраты векторов квадратами их длин (см. геометрическое свойство 1), получаем

Если из первого равенства вычесть второе, то придем к тождеству (а). Если же сложить оба равенства, то получим тождество (б).

  • Доказанные равенства выражают следующие свойства параллелограмма, построенного на векторах и ( и — его диагонали):
  • а) скалярное произведение векторов равно одной четвертой от разности квадратов диагоналей параллелограмма, построенного на множителях;
  • б) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=skalyarnoe-proizvedenie-vektorov

Ссылка на основную публикацию