Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби — в помощь студенту

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

Метод введения новой переменной был использован ранее при решении трехчленных уравнений, однако этот метод с успехом применяется и при решении многих других уравнений, где возможна и полезна замена переменной. Для закрепления этого метода рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Решить уравнение (х² + х)² — 8(х² + х) + 12 = 0.
Решение.
Положив х² + х = t, получим уравнение t² — 8t +12 = 0, откуда находим t₁ =2; t₂ = 6. Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений х² + х = 2; х² + х = 6, то есть

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

Уравнение (а) имеет корни x₁=-2, х₂=1; уравнение (б) имеет корни х₃ = -3, х₄ = 2.
Ответ: {-2;1;-3;2}.

Пример 2. Решить уравнение

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту
Решение.

Замена

приводит исходное уравнение к квадратному t²-5t + 6 = 0, корни которого t₁=2, t₂=3. Взяв t₁=2 =>

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Соотношения между сторонами и углами треугольника - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

Взяв t₂ =3 => Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту
Ответ:
Пример 3. Решить уравнение
Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту
Решение.
Замена х² + х + 1 = t приводит исходное уравнение к такому:

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

Ответ: {0; -1; -3; 2}

Пример 4. Решить уравнение

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту
Решение.

Положим Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

Тогда Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту
=х² + х⁻² + 2 => х² + х⁻² = t²-2. Исходное уравнение записывается в виде
Ответ: Пример 5. Решить уравнение (х + 3)⁴ + (х + 5)⁴ = 16.
Решение.

Уравнения вида

решаются с помощью замены
(с — среднее арифметическое чисел а и b). Для уравнения (х + З)⁴ + (х + 5)⁴ = 16
с = (3+5)/2 = 4 => делаем замену t = x + 4 =>
=> x = t — 4, x + 3 = t — 4 + 3 = t — 1, x + 5 = t- 4 + 5 = t + 1 => исходное уравнение записывается в виде (t-1)⁴ +(t + l)⁴ = 16. Применяя треугольник Паскаля, получаем
t⁴-4t³ + 6t²-4t +1 + t⁴ + 4t³ + 6t² + 4t +1 = 16
2t⁴ + 12t² + 2 = 16 2t⁴ + 12t² -14 = 0 t⁴ + 6t² — 7 = 0.
Решая это биквадратное уравнение, получаем t₁ =1, t₂ = -1. Взяв t₁ = 1 => х + 4 = 1 х = -4 + 1 = -3.  Взяв t₂ = -1 => х + 4 = -1 х = -4 -1 = -5 .
Ответ: {-3;-5}.

Пример 6. Решить уравнение Зх⁴ — 2х³ — 9х² — 4х + 12 = 0.

Решение.
В данном уравнении отношение первого коэффициента к свободному члену и квадрата второго коэффициента к квадрату предпоследнего равны между собой, то есть
Такие уравнения называются возвратными.
В общем случае уравнение вида ах⁴ + bх³ + сх² + dx + m = 0 называется возвратным, если
выполнено условие
Поскольку х=0 не является решением возвратного уравнения, то можно разделить обе части уравнения на х² и после замены переменных получить квадратное уравнение. Разделив исходное уравнение на х², получаем
Группируя слагаемые, имеем
Положив
имеем
Таким образом, приходим к уравнению
Зх² +7х + 6 = 0. Т. к. дискриминант этого уравнения D=7²-4·3·6=49-72 = -23 < 0 , то оно действительных корней не имеет. Ответ: {1;2}.

Источник: https://math-helper.ru/elementarnaya-matematika/matematika-dlya-postup/reshenie-ratsionalnyih-i-drobno-ratsionalnyih-uravneniy-metodom-vvedeniya-novoy-peremennoy

Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратные уравнения

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

Решать дробные уравнения удобно в следующем порядке:

  • найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, если каждая дробь имеет смысл,
  • заменить данное уравнение целым, умножив обе его часть на общий знаменатель,
  • решить получившееся целое уравнение,
  • исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример 1. Решить дробное уравнение:

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

Решение. Воспользуемся основным свойством дроби с представим левую и правую части этого уравнения в виде дробей с одинаковым знаменателем:

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

Эти дроби равны при тех и только тех значениях, при которых равны их числители, а знаменатель отличен от нуля. Если знаменатель равен нулю, то дроби, а следовательно, и уравнение не имеет смысла.

Таким образом, чтобы найти корни данного уравнения, нужно решить уравнение

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

Упростив уравнение (раскрыв скобки и приведя подобные члены), получим квадратное уравнение

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

При решении квадратного уравнения получаем его корни:

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

Найденные корни не обращают знаменатель в нуль, поэтому они являются корнями исходного дробного уравнения.

Пример 2. Решить дробное уравнение:

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное дробное уравнение. Общий знаменатель —

.

Заменим исходное уравнение целым. Для этого умножим обе его части на общий знаменатель. Получим:

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

  • Выполним необходимые преобразования в полученном уравнении и придём к квадратному уравнению
  • .
  • Решенив квадратное уравнение, получаем его корни:
  • .
  • Если x = -3, то найденный на первом шаге знаменатель обращается в нуль:

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

то же самое, если x = 3.

Следовательно, числа -3 и 3 не являются корнями исходного уравнения, а, поскольку никакие другие корни не найдены, данное уравнение не имеет решения.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное уравнение. Для этого знаменатели дробей разложим на множители:

  1. .
  2. Общий знаменатель — выражение
  3. Заменим исходное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель. Получим:
  4. Выполнив преобразования, придём к квадратному уравнению
  5. .
  6. Решенив квадратное уравнение, получаем его корни:
  7. .

Ни один из корней не обращает общий знаменатель в нуль. Следовательно, числа -4 и 9 — корни данного уравнения.

Пример 4. Решить дробное уравнение:

.

Решение. Введём новую переменную, обозначив . Получим уравнение с переменной y:

  • .
  • Корни этого уравнения:
  • Значит
  • или .
  • Из уравнения находим, что
  • .
  • Из уравнения находим, что
  • .
  • Итак, данное уравнение имеет четыре корня:
  • , .

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Действия со степенями и корнями Решение квадратных уравнений

Источник: https://function-x.ru/sq_fractional_equations.html

Дробно рациональные уравнения. Решения

Уравнение которые можно свести к дроби f(x)/g(x)=0 называется дробно рациональным уравнением. Решение дробно рациональных уравнений не слишком сложная задача если Вы знаете методику, а она достаточно проста.

Если уравнение имеет несколько слагаемых то переносим их по одну сторону знака равенства и сводим к общему знаменателю. В результате получим дробную функцию f(x)/g(x), которая равна нулю

Следующим шагом находим корни числителя. Отвергаем среди них те, которые не принадлежат области допустимых значений (нули знаменателя) и записываем правильный ответ.

В теории все просто, однако на практике и у школьников и у студентов возникают проблемы при сведены к общему знаменателю, отыскании корней и т.д. Для ознакомления с решением рассмотрим несколько распространенных задач.

Примеры дробно рациональных уравнений

Пример 1. Найти корни уравнения Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

Решение: По методике переносим слагаемые и сводим к общему знаменателю Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студентуРешение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

Если от корней числителя отбросить нули знаменателя то получим только одно решение x=-7.

Внимание: Всегда проверяйте совпадают ли корни числителя и знаменателя. Если такие есть то не учитывайте их в ответе.

  • Ответ: х=-7.
  • ————————————
  • Пример 2. Решить уравнение Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту
  • Решение: Задано дробное рациональное уравнение. Находим сначала корни числителя, для этого решаем квадратное уравнение Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студентуРешение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

  1. Получили три нуля числителя . Квадратное уравнение в знаменателе проще и можем решить по теореме Виета
  2. Числитель и знаменатель не имеют общих корней поэтому все три найденные значения будут решениями.
  3. ————————————
  4. Пример 3. Найти корни уравнения
  5. Решение: Переносим слагаемое за знак равенства и сводим к общему знаменателю
  6. Раскрываем в числителе скобки и сводим к квадратному уравнению
  7. Полученное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений
  8. Корни первого вычисляем через дискриминант
  9. Нули второго находим без проблем
  10. Исключаем из решений числителя значение и получим.
  11. Ответ: х=3.
  12. ————————————

Задачи на движение

Задача 4. Вертолет пролетел по ветру расстояние 120 км и обратно вернулся, потратив на весь путь 6 час. Найдите скорость ветра если скорость в штиль составляет 45 км/час.

Решение: Обозначим скорость ветра через х км/час. Тогда за ветром скорость вертолета составит (45+х) км/час, и в обратном направлении (45-х) км/час. По условию задачи вертолет потратил 6 часов на дорогу. Разделив расстояние на скорость и просуммировав получим время

  • Получили дробно рациональное уравнение схема решения которого неоднократно повторялась
  • Решением второго уравнения будут значения x=-45; x=45.
  • Корни числителя найдем после упрощений
  • С физических соображений первое решение отвергаем.
  • Ответ: скорость ветра 15 км/час.
  • ————————————

Задачи о совместной работе

Задача 2. Два лесорубы работая вместе выполнили норму вырубки за 4 дня. Сколько дней нужно на выполнение этой работы каждому лесорубу отдельно если первому для вырубки нормы нужно на 6 дней меньше чем другому?

Решение: Пусть первый лесоруб выполняет норму по х дней. Тогда второму необходимо (х+6) дней. Это означает что за один день первый выполнит , а второй — часть всей нормы. По условию выполняют норму за 4 дня, то есть оба в день могут выполнить нормы. Составляем и решаем уравнение

  1. Данное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений
  2. Одно решение не соответствует физической сути задачи. Время второго лесоруба х+6=6+6=12 (дней)
  3. Ответ: Работу первый лесоруб выполнит за 6 дней, а второй за 12.
  4. ————————————

Подобных дробно рациональных уравнений можно рассмотреть множество, схема их решения неизменна. В теоретических задачах правильно составляйте уравнение и не заблуждайтесь при сведении к общему знаменателю. Все остальное сводится к решению преимущественно линейных или квадратных уравнений.

Источник: https://yukhym.com/ru/matematika/drobno-ratsionalnye-uravneniya-resheniya.html

Как решать уравнения с дробями. Показательное решение уравнений с дробями

Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, как решать уравнения с дробями.
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.

Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.

Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.

  • Например, как решить дробное уравнение:
    x/5+4=9
    Умножаем обе части на 5. Получаем:
    х+20=45
  • x=45-20=25
  • Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:
  • b/x + c = d
  • Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.
  • Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:
  • значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
  • нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.

Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.

Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.

Например, требуется решить дробное уравнение:

1/x + 2 = 5

Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.

  1. Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х
  2. 1 + 2x = 5х
  3. И решаем обычное уравнение
  4. 5x – 2х = 1
    3x = 1
  5. х = 1/3
  6. Ответ: х = 1/3
  7. Решим уравнение посложнее:

Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.

Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую — на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

Запишем это же уравнение, но несколько по-другому

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби - в помощь студенту

  • Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:
  • 4 = х + 2
  • х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ
  • Ответ: х = 2.
  • Для закрепления материала рекомендуем еще посмотреть видео.
Читайте также:  Годовое планирование в детском саду - в помощь студенту

Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями, то отписывайтесь в х.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Источник: https://reshit.ru/Kak-reshat-uravneniya-s-drobyami

Как решать дробные уравнения?

        Итак, друзья, продолжаем осваивать решение основных типов алгебраических уравнений. Мы с вами уже хорошо (надеюсь) знаем, как именно надо решать линейные и квадратные уравнения. Осталось разобрать ещё одним основным типом уравнений – дробными уравнениями.

        Иногда их называют более научно и солидно — дробные рациональные уравнения. Или дробно-рациональные уравнения. Это сути не меняет.)

        Дробные уравнения – незаменимая вещь во многих других темах математики. Особенно – в текстовых задачах. Но для успешного их решения жизненно необходимо ориентироваться в трёх смежных темах:

        1. Дроби и действия с дробями и дробными выражениями.

        2. Тождественные преобразования уравнений.

        3. Решение линейных и квадратных уравнений.

        Без этих трёх китов браться за решение дробных уравнений слишком уж самонадеянно, я бы сказал. Почему? Да потому, что непонимание, как, скажем, работать с дробями (сокращать, приводить к общему знаменателю и т.д.) автоматически будет приводить к полному провалу и в дробных уравнениях. Намёк понятен?)

        Так что тем, у кого проблемы хотя бы по одной из вышеперечисленных тем – настоятельно рекомендую освежить их в памяти, да и по ссылочкам пройтись.

        Итак, вперёд!

Что такое дробное уравнение? Примеры.

        Дробное уравнение, как следует непосредственно из названия, — это уравнение, в котором есть дроби. Обязательно. Причём (важно!) не просто дроби, а дроби, у которых есть икс в знаменателе. Хотя бы в одном.

  •         Например, вот такое уравнение:
  •         
  •         Или такое:
  •         
  •         Или вот такое:
  •         

        И так далее.) Напоминаю, что, если в знаменателях сидят только числа, то такие уравнения к дробным не относятся. Либо это линейные уравнения, либо квадратные.

        Например:

        

        Это линейное уравнение, хотя тут тоже есть дроби. Почему? Да потому, что знаменатели дробей – четвёрка и пятёрка. Т.е. просто числа. И ни один из знаменателей не содержит иксов.

        Или такое уравнение:

        

        Это обычное квадратное уравнение, несмотря на двойку в знаменателе. Опять же, по причине того, что двойка – не икс, и деления на неизвестное в дроби нету.

        В общем, вы поняли.

Как решать дробные уравнения? Убираем дроби!

        Как это ни странно, дробные уравнения в большинстве своём решаются довольно просто. По чётким и несложным правилам. Каким же именно образом?

        Первым делом надо избавиться от дробей! Это ключевой шаг в решении любого дробного уравнения, который должен быть освоен идеально. Ибо после того, как все дроби исчезли, уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы уже с вами знаем, что делать.)

        Но… Как же нам избавиться от дробей?! Легко! Применяя всё те же старые добрые тождественные преобразования! В чём же суть?

        Вникаем. Нам надо помножить обе части уравнения на одно и то же выражение. Но не на какое попало, а на такое, чтобы все знаменатели посокращались! Одним махом.) Ибо дальше, без знаменателей, жизнь становится гораздо проще и приятнее.)

        Это только на конкретном примере показать можно. Итак, решаем первое уравнение из нашего списка:

        Первое, что приходит на ум – перенести всё в одну сторону, привести всё к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как кошмарный сон! Так делают только в одном случае – при решении дробно-рациональных неравенств методом интервалов. Это отдельная большая тема.

        А в уравнениях нам надо сразу умножить обе части на такое выражение, которое нам позволит сократить все знаменатели. И какое же это выражение?

        Давайте его конструировать.) Смотрим ещё раз на уравнение:

        

        Понятно, что в левой части для ликвидации знаменателя нам необходимо умножение на (х+3), а в правой – на 3. Но математика позволяет умножать обе части уравнения только на одно и то же выражение! На разные – не катит. Ничего не поделать, так уж она устроена…)

        Значит, нам надо скомбинировать такое выражение, которое одновременно делилось бы как на (х+3), так и на тройку. Причём очень важно – только с помощью умножения! И какое же это выражение? Очевидно, это 3(х+3). То есть, по сути, общий знаменатель обеих дробей.

  1.         Итак, для ликвидации всех дробей наше уравнение надо умножать на выражение 3(х+3).
  2.         Умножаем:
  3.         
  4.         Это самое обычное умножение дробных выражений, но, так уж и быть, расписываю детально:
  5.         

        Прошу обратить внимание: скобки (х+3) я не раскрываю! Прямо так, целиком, их и пишу, как будто бы это одна буква. Ибо наша основная на данный момент задача – дроби убрать. Чего без произведения никак не сделаешь… И зачем же нам тогда париться с раскрытием скобок?!

        А вот теперь мы видим, что в левой части сокращается целиком (х+3), а в правой 3. Чего мы и добивались! И теперь с чувством глубокого удовлетворения производим сокращение:

        

        Вот и отлично. Дроби исчезли. После сокращения получилось безобидное линейное уравнение:

  •         2∙3 = х+3
  •         А его (надеюсь) уже решит каждый:
  •         х = 3
  •         Решаем следующий примерчик:

        И опять избавляемся от того, что нам не нравится. В данном примере это дробь 20/х. Одна единственная. Для её ликвидации правую часть надо домножить на знаменатель. То есть, просто на х. Но тогда и левую часть тоже надо домножить на х: так уж второе тождественное преобразование требует.

  1.         Вот и домножаем! Всю левую часть и всю правую часть:
  2.         Напоминаю, что эта вертикальная чёрточка с умножением всего лишь означает, что обе части нашего уравнения мы умножаем на «х».    
  3.         Вперёд!

        А вот теперь – снова внимание! Очередные грабли. Заметьте, что при умножении левой части на икс, выражение (9 – х) я взял в скобки! Почему? Потому, что мы умножаем на икс всю левую часть целиком, а не отдельные её кусочки!

  •         Дело всё в том, что частенько после умножения народ записывает левую часть вот так:
  •         Это категорически неверно. Дальше можно уже не решать, да…)
  •         Но у нас всё хорошо, будем дорешивать.
  •         С чистой совестью сокращаем икс справа и получаем уравнение уже безо всяких дробей, в одну строчку.
  •         (9 – х)∙х = 20
  •         Вот и отлично. Все дроби исчезли напрочь, теперь можно и скобки раскрыть:
  •         9х – х2 = 20
  •         Переносим всё влево и приводим к стандартному виду:

        Получили классическое квадратное уравнение. Но минус перед квадратом икса – нехорош. Забыть его проще простого! От него всегда можно избавиться умножением (или делением) уравнения на (-1). Проще говоря, меняем в левой части все знаки на противоположные. А справа как был ноль, так ноль же и останется:

  1.         Решаем через дискриминант (или подбираем по теореме Виета) и получаем два корня:
  2.         х1 = 4
  3.         х2 = 5
  4.         И все дела.)
  5.         Как вы видите, в первом случае уравнение после преобразований стало линейным, а здесь – квадратным.

        А бывает и так, что после ликвидации дробей вообще все иксы сокращаются и остаётся чистая правда. Что-нибудь типа 3=3.  Это означает, что икс может быть любым. Какой икс ни возьми – всё равно всё посокращается и останется железное равенство 3=3.

        Или наоборот, может получиться какая-нибудь белиберда, типа 3=4. А это будет означать, что корней нет. Какой икс ни возьми – всё сократится и останется бред…

        Надеюсь, такие сюрпризы вас уже нисколько не удивят.) Если всё же удивят, то прогуляйтесь по ссылочке: Линейные уравнения. Как решать линейные уравнения? А чуть конкретнее – особые случаи при решении линейных уравнений. Эти сюрпризы (полная пропажа иксов после преобразований) – они ко всем видам уравнений относятся. И дробные – не исключение.)

        Разумеется, при попытке ликвидации дробей встречаются и неожиданности. И одну из них мы рассмотрим прямо сейчас.

  • Раскладываем на множители!
  •         Решаем третье уравнение по списку:

        А вот тут некоторые могут и зависнуть. На что же такое надо домножить всё уравнение, чтобы за один шаг сократились все знаменатели? Можно, конечно, взять и тупо перемножить все три знаменателя, получить

        x(x2+2x)(x+2)

        и домножить на эту конструкцию всё уравнение. Математика не возражает.) Но… Может быть, есть выражение попроще?

        Что ж, вскрою тайну: да, всё гораздо проще! Если в совершенстве владеть таким мощным приёмом, как разложение на множители. Привет седьмому классу!)

        А попробуем-ка разложить на множители каждый из знаменателей? Ну, с х и х+2 точно ничего не сделать, а вот х2+2х вполне себе раскладывается! Выносим один икс за скобку и получаем:

  1.         х2+2х = х(х+2)
  2.         Отлично. Вставим наше разложение в исходное уравнение:

        Вот теперь всё и прояснилось.) Теперь уже отчётливо видно, что гораздо проще будет умножать обе части уравнения на х(х+2). Это выражение гораздо короче и прекрасно делится на каждый из знаменателей: и на x, и на (х+2), и само на себя – на х(х+2).

        Вот на х(х+2) и умножаем:

        И снова расписываю подробно, дабы не запутаться. В левой части я буду использовать скобки: там сумма дробей. В правой части скобки не нужны: там одна дробь. Вот и пишем:

        А теперь производим умножение. В левой части большие скобки умножаем на наше выражение х(х+2). Разумеется, по правилу раскрытия скобок, сначала первую дробь, затем – вторую. Ну, а в правой части, по правилу умножения дробей, просто умножаем числитель:

        Я уж не стал здесь рисовать единички в знаменателях, несолидно… И, опять же, малые скобки в числителях я не раскрываю! Они нам сейчас для сокращения понадобятся! И да… Откуда появились скобки (х – 3) в числителе первой дроби – думаю, уже не стоит объяснять?)

  •         С удовольствием сокращаем все дроби:
  •         (x-3)(x+2) + 3 = x
  •         Раскрываем оставшиеся скобки, приводим подобные и собираем всё слева:
  •         x2 + 2x – 3x – 6 + 3 – х = 0
  •         x2 – 2x – 3 = 0
  •         И снова получили квадратное уравнение.) Решаем и получаем два корня:
  •         x1 = -1
  •         x2 = 3

        Вот и всё. Это и есть ответ.)

        Из этого примера можно сделать важный вывод:

        Если знаменатели дробей можно разложить на простые множители – обязательно делаем это! Пригодится при ликвидации дробей. Причём раскладываем всё до упора, используя все возможные способы из алгебры седьмого класса!

        Как вы видите, всё просто и логично. Мы меняем исходное уравнение так, чтобы после наших преобразований из примера исчезло всё то, что нам не нравится. Или мешает. В данном случае это – дроби. И точно так же мы будем поступать и со всякими логарифмами, синусами, показателями и прочей жестью.) Мы всегда будем от всего этого избавляться.)

  1.         Ну что, порешаем?)
  2.         Решить уравнения:
  3.         Ответы (как обычно, вразброс):
  4.         x = 3
  5.         x1 = 0,5;    x2 = 3
  6.         x = 2
  7.         х = 6
  8.         x = 2,6
  9.         x1 = 2;    x2 = 5
  10.         Последнее задание не решается? Что ж, формулы сокращённого умножения всяко помнить надо, да…)

        Всё решилось? Что ж, здорово! Значит, полпути в решении дробных уравнений мы с вами уже преодолели. Эта первая часть пути – избавление от дробей. Осталась вторая. Не менее важная!

        Всё просто, но… Пришло время открыть вам горькую правду. Успешное решение дробных уравнений этого урока вовсе не гарантирует успех в решении всех остальных примеров этой темы. Даже очень простых, подобных этим. К сожалению…

        Но об этом – дальше.)

Источник: http://abudnikov.ru/shkolnikam/uravneniya/page102.html

Рациональные уравнения. Подробная теория с примерами

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ

Определение рационального уравнения Разберемся что такое рациональные уравнения, а что – иррациональные Целые рациональные уравнения Дробно рациональные уравнения Алгоритм правильного решения рациональных уравнений РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ. Рациональные уравнения. краткое изложение и основные формулы

Читайте также:  Предпосылки появления философии - в помощь студенту

Определение рационального уравнения

  • Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части рациональные выражения. 
  • Ну… это было сухое математическое определение и слово-то какое, «рациональные».
  • А по сути, рациональные выражения это просто целые и дробные выражения без знака корня.
  • Что же получается?
  • А получается что под пугающим «рациональным уравнением» скрывается всего лишь уравнение, в котором могут присутствовать сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень с целым показателем, но НЕ корень из переменной.

Разберемся что такое рациональные уравнения, а что – иррациональные

  1. Как думаешь, какое это уравнение?
  2. Тут есть сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное!
  3. А это?
  4. Вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (или иррациональное).
  5. Что скажешь насчет этого?
  6. А это – рациональное.

  7. А здесь?
  8. Тут вот степень, но она с целым показателем степени ( – целое число) – значит это тоже рациональное уравнение.

  9. А вот это с отрицательным показателем степени?
  10. Даже уравнение с отрицательным показателем степени тоже является рациональным, ведь по сути  , это  
  11. Ну и вот это?

Тоже рациональное, т.к.  

  • И последней с дробной степенью?
  • А с ним поосторожнее, степень-то дробная, а по свойству корней  
  • Как ты помнишь корня в рациональных уравнениях не бывает.
  • Надеюсь, теперь ты сможешь различать, к какому виду относится уравнение.

Целые рациональные уравнения

Важно знать, что рациональные уравнения в свою очередь тоже разные бывают.

Если в дроби нет деления на переменную (то есть на  ,   и т.д.), тогда рациональное уравнение будет называться целым (или линейным) уравнением.

Вот примеры:

Умеешь такие решать? 

Конечно, умеешь, упрощаешь и находишь неизвестное. Но, рассмотрим первый из примеров на всякий случай.

Пример 1

  1. Все неизвестные переносим влево, все известные вправо:
  2.  ;
  3. Какой наименьший общий знаменатель будет?
  4. Правильно  !
  5. Чтоб к нему привести домножаем и числитель и знаменатель первого слагаемого на  , а второго на  ,
  6. А   не трогаем, оно нам не мешает, имеем:
  7.   ,
  8. А теперь делим обе части на  :
  9. Тут все просто?
  10. Поскольку уравнение целое, что мы уже определили, то и ограничений никаких нет,  , так  
  11. Можно для верности подставить этот ответ в исходное уравнение, получим  , значит все верно и ответ подходит.

Дробно рациональные уравнения

А вот еще одно уравнение  .

Это уравнение целое?

НЕТ!!!

  • Тут есть деление на переменную  , а это говорит о том, что уравнение не целое.
  • Тогда какое же оно?
  • Это дробно рациональное уравнение.
  • Дробно рациональное уравнение — рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

На первый взгляд особой разницы не видно…

Ну давай попробуем решать его как мы решали целое (линейное) уравнение.

Для начала найдем наименьший общий знаменатель, это будет  .

Важный момент!!!

В предыдущем примере, где было целое уравнение мы не стали свободный член   приводить к знаменателю, т.к. умножали все на числа без переменных. 

  1. Но тут-то наименьший общий знаменатель  .
  2. А это тебе не шутки, переменная в знаменателе!
  3. Решая дробно рациональное уравнение, обе его части умножаем на наименьший общий знаменатель!
  4. Это надеюсь, ты запомнишь, но давай посмотрим что вышло:
  5.  .
  6. Что-то оно огромное получилось, надо все посокращать:
  7.  .
  8. Раскроем скобки и приведем подобные члены:
  9. Ну как, это уже попроще выглядит, чем в начале было?
  10. Выносим за скобку общий множитель:  
  11. У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при   и  .
  12. Вроде бы все, ну ладно давайте напоследок подставим корни   и   в исходное уравнение, чтобы проверить, нет ли ошибок.
  13. Сначала подставим  , получается   
  14. Нет претензий?
  15. С ним все нормально.
  16. А теперь  , и тут же видим в знаменателе первого члена  !
  17. Но ведь это же будет ноль!

На ноль делить нельзя, это все знают, в чем же дело???

Дело в ОДЗ! (если забыл что это, повтори тему «ОДЗ») — 

Области Допустимых Значений

  • Всякий раз когда ты видишь уравнение, где есть ПЕРЕМЕННЫЕ в знаменателе, прежде всего, нужно найти ОДЗ.
  • Найти какие значения может принимать икс.
  • Хотя удобнее в ОДЗ написать чему икс НЕ может быть равен, ведь таких значений не так много, как правило.
  • Просто запомни, что на ноль делить нельзя!
  • И перед тем как решать наше уравнение нам следовало сделать так:
  • ОДЗ:   и     и  .
  • Если бы мы сразу так написали, то заранее бы знали, что эти ответы стоит исключить.

И так, из полученных нами   и   мы смело исключаем  , т.к.

он противоречит ОДЗ.

  1. Значит, какой ответ будет у решенного уравнения?
  2. В ответ стоит написать только один корень,  .
  3. Стоит заметить, что ОДЗ не всегда сказывается на ответе. 
  4. Возможны случаи, когда корни, которые мы получили, не попадают под ограничения ОДЗ.
  5. Но писать ОДЗ в дробно рациональных уравнениях стоит всегда – так просто спокойнее, что ты ничего не упустил и да,
  6. ВСЕГДА по окончании решения сверяй свои корни и область допустимых значений!

Алгоритм правильного решения рациональных уравнений

  1. Понять, точно ли перед тобой рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
  2. Определить ОДЗ;
  3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Усвоил, говоришь? Вот тебе 3 примера на закрепление.

3 примера на закрепление

Пример 2

Пример 3

Пример 4

РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

  • Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной   с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.
  • Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.
  • Дробно рациональные уравнения — рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.
  • Например:
  • Чаще всего мы встречаем именно дробно рациональные уравнения.
  • В общем случае при решении рациональных уравнений мы стремимся преобразовать его к виду: 
  • Произведение = » » или Дробь = » «, например:
  •  .
  • Тогда мы сможем сказать, что любой из множителей числителя может быть равен нулю, но знаменатель при этом нулю не равен.
  • Для этого нам нужно сначала всё перенести в левую часть уравнения (не забываем при этом поменять знаки между слагаемыми: » » на » » и наоборот).
  • Затем мы обычно приводим все к общему знаменателю, и пишем систему:

Пример 5

Если знаменателя нет, или он является числом, – тем лучше, не придется решать неравенство.

Как бы то ни было, в ЕГЭ все рациональные выражения степени больше   легко преобразуются в произведение более простых выражений при помощи либо перегруппировки, либо замены переменных (см. раздел «Разложение многочлена на множители»).

Пример 6

  1. Перегруппируем:
  2. Раскроем скобки в каждой группе:
  3. Сделаем замену:
  4. Тогда:
  5.   .
  6. Решив квадратное уравнение, получим:
  7. Обратная замена:
  8. Таким образом, нам пришлось решить три квадратных уравнения вместо одного уравнения 4-й степени.
  9. Еще примеры дробно рациональных уравнений (реши их самостоятельно):

Пример 7

1.  

Ответ:  

Пример 8

2.  

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, разложим знаменатель правой дроби на множители.

Это квадратный трехчлен, поэтому надо вспомнить, как расклажывать на множители (подробное описание см. в разделе «Разложение на множители»).

  • Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:
  •  .
  • Решаем его с помощью теоремы Виета: произведение корней равно  , а сумма  .
  • Подбором устанавливаем, что это числа   и  .
  • Тогда:
  •  Теперь видно, что знаменатели дробей имеют общий множитель  :
  •  При таком раскладе очевидно, что корней вообще нет.
  • Если  , получим деление на  .
  • Значит, ответом здесь будет пустое множество (пишется  ).
  • Ответ:  .

Пример 9

  1. 3.  
  2.  Сперва уростим выражение в левой части, то есть приведем к нормальному «двухэтажному» виду:
  3.  Теперь переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю.

  4. Квадратный трехчлен в левой части раскладывается на множители следующим образом:
  5.  Очевидно, что общих множителей у знаменателей нет, поэтому их нужно просто перемножить:
  6. Ответ:  .

Рациональные уравнения. краткое изложение и основные формулы

Рациональное уравнение – это равенство двух рациональных (без знака корня) выражений.

Алгоритм решения рациональных уравнений:

  1. Понять, точно ли это рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
  2. Определить ОДЗ;
  3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.
  • Дробно рациональное уравнение — рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.
  • Система для решения дробно рациональных уравнений: 
  •  .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

  1. Стать учеником YouClever,
  2. Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
  3. А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/ratsionalnye-uravneniya-1

Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения

Дробно-рациональные уравнения – уравнения, которые можно свести к виду (frac{P(x)}{Q(x)})(=0), где (P(x)) и (Q(x)) — выражения с иксом (или другой переменной)

  • Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе. 
  • Например:
  • (frac{9x^2-1}{3x})(=0) (frac{1}{2x}+frac{x}{x+1}=frac{1}{2}) (frac{6}{x+1}=frac{x^2-5x}{x+1})
  • Пример не дробно-рациональных уравнений:
  • (frac{9x^2-1}{3})(=0) (frac{x}{2})(+8x^2=6)

Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать ОДЗ. И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

  1. Выпишите и «решите» ОДЗ.

  2. Найдите общий знаменатель дробей.

  3. Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

  4. Запишите уравнение, не раскрывая скобок.

  5. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.

  6. Решите полученное уравнение.

  7. Проверьте найденные корни с ОДЗ.

  8. Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7.

  1. Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам.
  2. Пример. Решите дробно-рациональное уравнение (frac{x}{x-2} — frac{7}{x+2}=frac{8}{x^2-4})
  3. Решение:
  • (frac{x}{x-2} — frac{7}{x+2}=frac{8}{x^2-4}) ОДЗ:   (x-2≠0⇔x≠2) (x+2≠0 ⇔x≠-2)
  • (x^2-4≠0⇔ x≠±2)
Сначала записываем и «решаем» ОДЗ.
(frac{x}{x-2} — frac{7}{x+2}=frac{8}{x^2-4}) По формуле сокращенного умножения: (x^2-4=(x-2)(x+2)). Значит, общий знаменатель дробей будет ((x-2)(x+2)). Умножаем каждый член уравнения на ((x-2)(x+2)).
(frac{x(x-2)(x+2)}{x-2} — frac{7(x-2)(x+2)}{x+2}=frac{8(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}) Сокращаем то, что можно и записываем получившееся уравнение.
(x(x+2)-7(x-2)=8) Раскрываем скобки
(x^2+2x-7x+14=8) Приводим подобные слагаемые
(x^2-5x+6=0) Решаем полученное квадратное уравнение.
(x_1=2;)            (x_2=3) Согласуем корни с ОДЗ. Замечаем, что по ОДЗ (x≠2). Значит первый корень — посторонний. В ответ записываем только второй.
  1. Ответ: (3).
  2. Пример. Найдите корни дробно-рационального уравнения (frac{x}{x+2} + frac{x+1}{x+5}-frac{7-x}{x^2+7x+10})(=0)
  3. Решение:
  • (frac{x}{x+2} + frac{x+1}{x+5}-frac{7-x}{x^2+7x+10})(=0) ОДЗ: (x+2≠0⇔x≠-2) (x+5≠0 ⇔x≠-5) (x^2+7x+10≠0) (D=49-4 cdot 10=9) (x_1≠frac{-7+3}{2}=-2)
  • (x_2≠frac{-7-3}{2}=-5)
  1. Записываем и «решаем» ОДЗ.
  2. Раскладываем   квадратный трехчлен (x^2+7x+10) на  множители по формуле: (ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)).

Благо (x_1) и (x_2) мы уже нашли.

(frac{x}{x+2} + frac{x+1}{x+5}-frac{7-x}{(x+2)(x+5)})(=0) Очевидно, общий знаменатель дробей: ((x+2)(x+5)). Умножаем на него всё уравнение.
(frac{x(x+2)(x+5)}{x+2} + frac{(x+1)(x+2)(x+5)}{x+5}-) (-frac{(7-x)(x+2)(x+5)}{(x+2)(x+5)})(=0) Сокращаем дроби
(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0) Раскрываем скобки
(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0) Приводим подобные слагаемые
(2x^2+9x-5=0) Находим корни уравнения
(x_1=-5;)        (x_2=frac{1}{2}.) Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень.

Ответ: (frac{1}{2}).

Источник: http://cos-cos.ru/math/151/

Дробно рациональные уравнения

  • Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .
  • Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .
  • Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.
  • ОДЗ – область допустимых значений переменной.
  • В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0
  • ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).
  • Алгоритм решения дробно рационального уравнения:
  1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
  2. Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
  3. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.

  4. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.
  1. Пример решения дробного рационального уравнения:
  2. Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.
  3. Решение:
  4. Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

  1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

  • Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:
  • x 2 − 4 2 − x − 1 2 − x = 0
  • x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0
  • x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0
  • x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0
  • x 2 + x − 6 2 − x = 0
  • Первый шаг алгоритма выполнен успешно.
  • g ( x ) ≠ 0
  • 2 − x ≠ 0
  • − x ≠ − 2
  • x ≠ 2
  • Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2
  1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

  1. a = 1, b = 1, c = − 6
  2. D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25
  3. D > 0 – будет два различных корня.
  4. x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3
  5. [ x 1 = 2 x 2 = − 3
  1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.
  • Корни, полученные на предыдущем шаге:
  • [ x 1 = 2 x 2 = − 3
  • ОДЗ: x ≠ 2
  • Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.
  • Ответ: x = − 3.

Задания для самостоятельного решения

№1. Решите уравнение: 3 x − 19 = 19 x − 3 .

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

  1. Решение:
  2. 3 x − 19 = 19 x − 3
  3. ОДЗ:
  4. [ x − 19 ≠ 0 x − 3 ≠ 0 ⇒ [ x ≠ 19 x ≠ 3
  5. Приводим обе дроби к общему знаменателю, записываем дополнительные множители к числителям:
  6. 3 ( x − 3 ) x − 19 − 19 ( x − 19 ) x − 3 = 0
  7. 3 ( x − 3 ) − 19 ( x − 19 ) ( x − 19 ) ( x − 3 ) = 0
  8. В соответствии с алгоритмом, приравниваем числитель к нулю:
  9. 3 x − 9 − 19 x + 361 = 0
  10. − 16 x + 352 = 0
  11. − 16 x = − 352
  12. x = − 352 − 16 = − 352 16 = 22
  13. Полученный корень не входит в ОДЗ, так что смело можем его включать в ответ.
  14. Ответ: 22

№2. Решите уравнение x − 4 x − 6 = 2.

Решение:

Можно решать эту задачу способом, который использовался при решении задачи №8. Но сейчас мы используем еще один способ решения таких уравнений.

  • Представим число 2 в виде дроби со знаменателем 1 .
  • x − 4 x − 6 = 2 1
  • Выпишем ОДЗ:
  • x − 6 ≠ 0 ⇒ x ≠ 6
  • Воспользуемся основным свойством пропорции:
  • произведение крайних членов равно произведению средних (правило «креста»):
  • a b = c d ⇒ a ⋅ d = b ⋅ c
  • x − 4 x − 6 = 2 1 ⇒ ( x − 4 ) ⋅ 1 = ( x − 6 ) ⋅ 2
  • x − 4 = 2 x − 12
  • x − 2 x = − 12 + 4
  • − x = − 8
  • x = − 8 − 1 = 8
  • Полученный корень не входит в ОДЗ, так что смело можем его включать в ответ.
  • Ответ: 8

Источник: https://epmat.ru/drobno-racionalnye-uravnenija/

Ссылка на основную публикацию