Решение треугольников — в помощь студенту

На этом уроке мы потренируемся решать треугольники, то есть находить неизвестные элементы (стороны, углы) по известным. Мы уже знаем, что из шести элементов треугольник почти всегда однозначно задается тремя. Найти остальные нам помогут теоремы синусов и косинусов.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

У треугольника шесть основных элементов, которые можно измерить, – три стороны и три угла (см. рис. 1).

Решение треугольников - в помощь студенту

Рис. 1. Шесть основных элементов треугольника, которые можно измерить, – три стороны и три угла

Мы уже говорили, что треугольник почти всегда однозначно задается любыми тремя из них. Что значит «однозначно»? Это значит, что можно построить только один треугольник с такими элементами (или, если точнее: все треугольники с такими элементами будут эквивалентны – равны друг другу) (см. рис. 2).

Решение треугольников - в помощь студенту

Рис 2. Равные треугольники

Почему почти? Есть два исключения. Первое – три угла. Действительно, если мы знаем два угла треугольника, то можем найти третий (сумма равна ). Значит, никакой новой информации величина третьего угла нам не дает. Поэтому мы можем говорить о том, что в этом случае знаем всего лишь два элемента, а этого достаточно, чтобы задать треугольника с точностью до подобия (см. рис. 3).

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Хеттское царство, великая хеттская держава - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Решение треугольников - в помощь студенту

Рис. 3. Подобные треугольники

Еще одно исключение – две стороны и угол не между ними. Действительно, у этих двух треугольников равны две стороны и по одному углу, но они не равны друг другу (см. рис. 4).

Решение треугольников - в помощь студенту

Рис. 4. Неравные треугольники, у которых равны две стороны и угол не между ними

Во всех остальных случаях три элемента (длины сторон или величины углов) однозначно задают треугольник (см. рис. 5). А значит, мы можем попытаться вычислить значения остальных неизвестных элементов треугольника по известным.

Решение треугольников - в помощь студенту

Рис. 5. Три элемента (длины сторон или величины углов) однозначно задают треугольник

Нахождение всех шести основных элементов треугольника называется «решением треугольника». Для этих целей нам понадобятся два важных инструмента: теорема синусов и теорема косинусов. Вспомним их.

Теорема синусов – в любом треугольнике:

Решение треугольников - в помощь студенту

где  – длины сторон,  – углы треугольника,  – радиус описанной окружности (см. рис. 6).

Решение треугольников - в помощь студенту

Рис. 6. Окружность радиуса  описана около треугольника со сторонами  и углами

При этом чаще всего мы будем использовать не всю теорему синусов, а равенство двух выражений из нее, например:

Теорема косинусов – в любом треугольнике (см. рис. 7):

Решение треугольников - в помощь студенту Решение треугольников - в помощь студенту

Рис. 7. Треугольник со сторонами , где  – угол, лежащий напротив стороны

В каких случаях использовать каждую из теорем? Логика очень простая: если нам известны три элемента из четырех, которые фигурируют в формулировке какой-то из теорем, то эту теорему можно использовать, чтобы найти четвертый неизвестный элемент.

Например, если мы знаем длины двух сторон и угол между ними, то с помощью теоремы косинусов легко найдем длину третьей стороны (см. рис. 8).

Решение треугольников - в помощь студенту

Рис. 8. Если известны длины двух сторон  и угол  между ними, то с помощью теоремы косинусов легко можно найти длину третьей стороны

Если мы знаем углы треугольника и одну из сторон, то с помощью теоремы синусов можем найти длины оставшихся сторон (см. рис. 9).

Рис. 9. Если известны градусные меры углов  треугольника и длина одной из сторон , то с помощью теоремы синусов легко можно найти длины двух других сторон

В некоторых случаях можно использовать любую из теорем – тогда выбор можно сделать на свой вкус. Даже если вы сразу не видите, какую из теорем использовать, не переживайте. Их всего две – попробуйте воспользоваться одной, если не получается или получается слишком громоздко, то вернитесь и используйте вторую теорему.

Задача 1. Решить треугольник, если две его стороны  и  см, а угол между ними  (см. рис. 10). 

Рис. 10. Иллюстрация к задаче 1

Решение.

Т. е. требуется найти оставшиеся три элемента – сторону и два угла. Мы знаем длины двух сторон и угол между ними. Напрашивается использование теоремы косинусов, чтобы найти длину третьей стороны.

  • Получаем:
  • Откуда:
  • Если нас интересует приближенный результат, то можно считать, что:

Теперь мы знаем три стороны и один из углов (см. рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к задаче 1

Как найти оставшиеся углы? Можно использовать как теорему косинусов, так и теорему синусов. Рассмотрим оба способа.

  1. Способ 1 (теорема косинусов).
  2. Применим теорему косинусов для неизвестного угла :
  3. Выразим  (кстати, полезно помнить, как выводится эта формула – с ее помощью можно найти любой из углов треугольника, в котором известны три стороны):
  4. Хоть мы и получили точное значение косинуса угла, мы до сих пор плохо себе представляем, чему равен сам угол. Здесь нужно посчитать приближенное значение:
  5. Осталось найти сам угол. Для этого можно использовать таблицы Брадиса или инженерный калькулятор (функцию арккосинус), получим:
  6. Третий угол найти совсем легко, используя то, что сумма углов треугольника равна :
  7. Способ 2 (теорема синусов).
  8. Рассмотрим второй способ нахождения углов  и  с использованием теоремы синусов. Мы знаем угол , хотим найти, к примеру, угол , значит, будем использовать равенство:
  9. Откуда:
  10. Несложно проверить себя: мы уже находили . Мы знаем, что для любого угла должно выполняться:
  11. Проверим:

Верно. Итак, нашли синус угла, можно вычислить его приблизительное значение, найти с помощью таблиц или калькулятора  – естественно, получим тоже около .  в этой ситуации мы уже искать умеем.

Ответ: .

Решим теперь треугольник по известной стороне и двум углам.

Задача 2. Пусть дан треугольник со стороной  и углами , .

Найти остальные элементы этого треугольника (см. рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к задаче 2

  • Решение.
  • Легче всего найти :

Чтобы использовать теорему косинусов, нужно знать длины двух сторон. Мы же пока знаем лишь одну. Поэтому воспользуемся теоремой синусов, только запишем ее в другом виде: если равны дроби, то равны и обратные к ним (надо не забыть, что равны они будут ):

  1. Подставим известные нам величины:
  2. Подставим приближенные значения синусов:
  3. Из двух пропорций находим длины сторон  и :
  4. Ответ: .
  5. Наконец, решим треугольник, зная длины трех его сторон.

Задача 3. Пусть в треугольнике стороны равны . Найти углы (см. рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к задаче 3

  • Решение.
  • Теорему синусов есть смысл использовать, если мы знаем хотя бы один угол. Поэтому в данном случае воспользуемся теоремой косинусов:
  • Выразим :
  • Найдем , используя таблицы Брадиса или калькулятор:
  • Аналогично можем найти, например, :
  • Выразим :

Косинус получился отрицательный. Вспомним, что это означает: косинус – это координата  точки . Значит, в данном случае точка находится во второй четверти, а соответствующий ей угол – тупой (см. рис. 14). Действительно, получаем:

Рис. 14. Иллюстрация к задаче 3

  1.  можно найти так же, как мы искали  и . А можно воспользоваться свойством суммы углов треугольника:
  2. Ответ: .
  3. В рассмотренной задаче, после того как мы нашли угол , угол  можно было искать, используя теорему синусов, а не косинусов. Действительно:
  4. Подставим значение первого синуса и найдем синус угла :
  5. Пока все просто. Но если теперь с помощью калькулятора искать значение соответствующего угла, то получим:
  6. И этот результат совсем не похож на тот, который мы получили с помощью теоремы косинусов:

Посмотрим снова на единичную окружность. Синус – это координата . Если , то этому значению соответствует два возможных значения угла треугольника:  и .

Рис. 15. Значению  соответствует два возможных значения угла треугольника:  и

Калькулятор выдаст только одно значение угла – , а в нашей задаче как раз нужно второе значение. И по одному значению синуса нельзя понять, какое именно значение угла нужно выбрать. Потребуются дополнительные условия (например, известен вид угла: острый или тупой).

Именно поэтому в общем случае нельзя решить треугольник, зная две его стороны и угол не между ними. В самом деле, теорему косинусов использовать не получится, только теорему синусов.

Но в этом случае мы найдем значение синуса неизвестного угла и не получим два возможных треугольника – с острым и тупым углом (см. рис. 16).

Обязательно нужно дополнительное условие, например, что треугольник остроугольный или тупоугольный.

Рис. 16. В общем случае нельзя решить треугольник, зная две его стороны и угол не между ними

С косинусом таких сюрпризов не бывает. Поскольку для углов от  до  косинус меняется в пределах от  до  и каждое свое значение принимает только один раз, то по известному значению косинуса угла треугольника мы всегда сможем однозначно восстановить сам угол (см. рис. 17).

Рис. 17. Для углов от  до  косинус меняется в пределах от  до

Если косинус положительный, то угол острый. Если отрицательный – тупой. Если равен  – прямой. Поэтому в задачах на решение треугольников угол предпочтительнее находить по теореме косинусов, а не синусов, чтобы не допустить ошибку.

Напоследок рассмотрим практическую задачу решения треугольников.

Задача 4. Как определить расстояние от наблюдателя на берегу до корабля на прямой видимости.

Решение.

Пусть наблюдатель находится в точке . И видит корабль в море. Мы хотим измерить расстояние  от наблюдателя до корабля. Замерим угол  между береговой линией и направлением на корабль (см. рис. 18).

Рис. 18. Иллюстрация к задаче 4

Если наблюдатель пройдет расстояние  (чем больше расстояние, тем точнее будут расчеты) до точки  и там измерит угол между направлением наблюдения и берегом, то в полученном треугольнике нам будет известна сторона и два прилежащих к ней угла (см. рис. 19). Это второй тип задачи на решение треугольника из рассмотренных сегодня.

Рис. 19. Иллюстрация к задаче 4

  • Третий угол треугольника равен:
  • Найти  мы сможем по теореме синусов.
  • Откуда:
  • Подставив конкретные значения, сможем для любой такой задачи вычислить интересующее нас расстояние.
  • Ответ: .
  • Список литературы
  1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

  1. Стороны треугольника равны . Найти углы.
  2. Одна из сторон треугольника вдвое больше другой, а угол между этими сторонами равен . Доказать, что треугольник – прямоугольный.
  3. Решить треугольник, одна из сторон которого равна , а прилежащие к ней углы равны  и .

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/8-klass/podobnye-treugolniki/reshenie-treugolnikov

Решение треугольников

  • Треугольник ΔABC, a = BC, b = AC, c = AB — стороны треугольника,
  • A = CAB, B = ABC, C = BCA — углы, противолежащие сторонам a, b, c соответственно.

Решение треугольников - в помощь студенту

Как пользоваться онлайн-калькулятором. В форме укажите три значения: одну сторону и 2 дополнительных параметра (например, угол и сторону, два угла или две стороны). Заполните поле «Текст с картинки». Нажмите «Решить».

Калькулятор прямоугольного треугольника онлайн

Теоретический урок для решения задач по теме «Решение треугольников». Бесплатное обучение.

Содержание данной онлайн страницы электронного справочника по предмету математики для школьников:

  • – задачи 76 — 77 представлены с примерами решений и ответами;
  • – онлайн задания, как найти решение треугольника через синус и косинус угла, рассматриваются в тестах 78 — 81;
  • – решения, как найти угол, сторону треугольника, объясняются на данном уроке в контрольных работах 82 — 85.
  1. Задача 76.

Решение треугольников - в помощь студенту

  • Треугольник ΔABC,
  • стороны треугольника a=10, b=7
  • Угол A = 60°
  • Решить треугольник: Угол по сторонам треугольника B, C, сторону c
  • Решение:
  • Известно, что формула синуса
  • , получаем выражение
  • Sin B = = = = ≈ 0,6062
  • Используя Sin B ≈ 0,6062, находим из тригонометрической таблицы («Четырехзначные математические таблицы» Владимира Модестовича Брадиса)
  • B = 37°19’
  • Тогда C = 180° — (60° + 37°19’) = 82°41’
  • Используя теорему синусов
  • , получаем равенство
  • с=≈ 11
  • Ответ: B = 37°19’; C = 82°41’; c ≈ 11
  • ***
  • Задача 77.
  • Дано:
  • Треугольник ΔABC, стороны треугольника
  • a=6,3
  • b=6,3

Решение треугольников - в помощь студенту

Найти: Угол по сторонам треугольника A, B, сторону c

Решение:

Т.к. a=b=6,3, то треугольник ΔABC — равнобедренный.

Тогда A =B = (180° — 54°): 2 = 63°

Используя теорему синусов

Решение треугольников - в помощь студенту

  1. Решение треугольников - в помощь студенту с = = ≈ 5,7
  2. Ответ: A =B = 63°; с ≈ 5,7
  3. ***
  4. Наверх

Решение треугольников через синус и косинус угла

  • Задача 78.
  • Дано:
  • Треугольник ΔABC
  • A = 60°

Решение треугольников - в помощь студенту

  1. c=14
  2. Найти: угол треугольника C, стороны a,b
  3. Решение:
  4. C = 180° — (40° + 60°) = 80°
  5. Используя теорему синусов
Читайте также:  Инвентаризация основных средств - в помощь студенту

Решение треугольников - в помощь студенту

  • Решение треугольников - в помощь студенту a = ≈ 12
  • Решение треугольников - в помощь студенту b= ≈ 9
  • Ответ: C = 80°; a ≈ 12; b ≈ 9
  • ***
  • Задача 79.

Решение треугольников - в помощь студенту

  1. Треугольник ΔABC
  2. BC=a=6
  3. AC=b=7,3
  4. AB=c=4,8
  5. Найти: углы треугольника A, B, C по сторонам
  6. Решение:
  7. Известно, что формула косинуса
  8. , находим косинус угла B
  9. Cos B = = = = ≈ 0,0998263

Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим значение угла B

  • B = 84°16’
  • Используя формулу теоремы косинусов, находим косинус угла C
  • Cos C = = =
  • = ≈ 0,7562785

Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим значение угла C

  1. C = 40°52’
  2. Тогда угол A равен A =180° — (40°52’ + 84°16’) = 54°52’
  3. Ответ: A = 54°52’ ; C = 40°52’ ; B = 84°16’
  4. ***
  5. Задача 80.
  6. Дано:
  7. Треугольник ΔABC
  8. A = 30°
  9. C = 75°
  10. b = 4,5
  11. Найти: угол B, стороны треугольника a,c
  12. Решение:
  13. B = 180° — (30° + 75°) = 75°

Т.к. два угла в треугольнике равны B =C = 75°, тогда треугольник ΔABC — равнобедренный.

  • Значит, две стороны равны AC=AB=b=c=4,5
  • Используя теорему синусов
  • ,
  • находим сторону BC=a
  • a = ≈ 2,3
  • Ответ: B = 75°; a ≈ 2,3 ; c= 4,5
  • ***
  • Задача 81.
  • Дано:
  • Треугольник ΔABC, длины трех его сторон
1) a=5 , b=c=4 2) a=5 , b=9 , c=6 3) a=17 , b=15 , c=8

Найти: является ли треугольник тупоугольным, прямоугольным, остроугольным

Решение:

1) Т.к. b=c=4, то треугольник ΔABC — равнобедренный, и, значит, остроугольный.

  1. 2) Используя формулу теоремы косинусов
  2. , находим косинус угла A
  3. Cos A = = =0

Тогда угол A равен A = 90°. Следовательно, треугольник ΔABC — прямоугольный.

  • 3) Используя формулу теоремы косинусов
  • , находим косинус угла B
  • Cos B = == —< 0.

Т.к. значение косинуса угла B меньше нуля, следовательно, угол B — тупой, а треугольник ΔABC — тупоугольный.

***

Наверх

Решение треугольника через угол по сторонам

  1. Задача 82.

  2. Дано:
  3. Треугольник ΔABC, два угла и сторона
  4. A = 45°
  5. C = 30°
  6. AD = 3 м
  7. Найти: длину всех сторон треугольника ΔABC = ?
  8. Решение:
  9. Зная размер двух углов в треугольнике ΔABC, находим третий уголB = 180° — (30° + 45°) = 105°
  10. Найдем угол DAB и рассмотрим ΔADC
  11. DAB = 180° — (90° + 45 + 30°) = 15°
  12. DAC = 15° + 45° = 60°
  13. Используя теорему синусов
  14. , находим сторону AC
  15. AC = (3 • 1) • 2 = 6 (м)
  16. Используя теорему синусов
  17. , находим сторону AB
  18. AB = ≈ 3 (м)
  19. Используя теорему синусов
  20. , находим сторону BC
  21. BC =≈ 4 (м)
  22. Ответ: AB ≈ 3 м, AC = 6 м, BC ≈ 4 м.
  23. ***
  24. Задача 83.
  25. Дано:
  26. Треугольник ΔABC
  27. Три стороны a = 14, b = 18,
  28. c = 20
  29. Найти:
  30. все углы треугольника ΔABC = ?
  31. Решение:

Т.к. против большего угла лежит большая сторона, то используя формулу теоремы косинусов

Cos C =, находим косинус угла C

Cos C = = ≈ 0,24

Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла C

  • C ≈ 76°07’
  • Используя формулу теоремы косинусов
  • Cos B =, находим косинус угла B
  • Cos B = ==≈ 0,4857

Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла B

  1. B ≈ 60,941 ≈ 60°57’
  2. Следовательно, A = 180° — (76°13’ + 60°57’) ≈ 42°56’
  3. Ответ: A ≈ 42°56’ ; B ≈ 60°57’ ; C ≈ 76°07’
  4. ***
  5. Задача 84.
  6. Дано:
  7. Треугольник ΔEKP, сторона и два угла
  8. EP = 0,75
  9. P = 40°
  10. K = 25°
  11. Найти: сторону треугольника PK = ?
  12. Решение:
  13. Используя теорему синусов
  14. , находим сторону PK
  15. E = 180° — (40° + 25°) =115°
  16. Sin 115° = Sin (180° — 65°) = Sin 65°
  17. Тогда
  18. PK = ≈ 1,61
  19. Ответ: PK ≈ 1,61.
  20. ***
  21. Задача 85.
  22. Дано:
  23. Треугольник ΔABC, две стороны и угол
  24. b = 18, c = 12
  25. A = 50°
  26. Найти: решить треугольник — определить значение стороны и двух углов
  27. (a, B, C ) = ?
  28. Решение:
  29. Используя формулу теоремы косинусов
  30. , получаем
  31. a = = ≈ 13,8
  32. Используя формулу теоремы косинусов
  33. Cos C =, находим косинус угла C
  34. Cos C == ≈ 0,7457

Используя тригонометрические таблицы («Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла C

  • C ≈ 41°47’
  • Следовательно, B = 180° — (50° + 41°47’) ≈ 88°13’
  • Ответ: a ≈ 13,8 ; B ≈ 88°13’ ; C ≈ 41°47’
  • ***

Источник: http://www.petrovskov.ru/uchebniki/geometriya-9/reshenie-treugolnikov.html

Формулы, теоремы и свойства элементов треугольника. Справочник репетитора по математике

Теоретичесикие шпаргалки по элементарной геометрии для занятий с репетитором по математике. Базовый школьный уровень. Свойства элементов треугольника. В помощь для решению задач по всему курсу планиметрии. Для тренировки решения задач С4 на ЕГЭ по математике.

1) Определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике и теорема Пифагора
Решение треугольников - в помощь студенту
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть Решение треугольников - в помощь студенту

2) Формулы площади треугольника
Решение треугольников - в помощь студенту

Решение треугольников - в помощь студенту
Решение треугольников - в помощь студенту

  • 3) Подобие треугольников
  • Решение треугольников - в помощь студенту Определение: два треугольника называются подобными, если у них соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны, то есть
    и
  • Обозначение:
  • 4) Признаки подобия двух треугольников
  • 1-й признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  • Коротко: если , то
  • 2-й признак:если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами равны, то треугольники подобны
  • Коротко: если и , то
  • 3-й признак:если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны, то есть
  • Коротко: если , то
  • 5) Свойства подобных треугольников
  • если , то
  • , где
  • и  — любые соответствующие медианы (проведенные к соответствующим сторонам)
  • и  — любые соответствующие биссектрисы (проведенные к соответствующим сторонам)
  • и  — любые соответствующие высоты (проведенные к соответствующим сторонам)
  • 6) Подобие прямоугольных треугольников. Высота, проведенная из вершины прямого угла
  • Теорема: высота в прямоугольном треугольнике, поведенная из вершины прямого угла образует два треугольника, подобных исходному. Для катетов и высоты исходного треугольника верны следующие формулы:
  • 7) Свойство медиан в треугольнике.
  • Теорема 1: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершин. То есть
  • Теорема 2: Каждая медиана, проведенная в треугольнике делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями),
  • То есть
  • Теорема 3: все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников, то есть
  • 8) Свойство биссектрис в треугольнике
    Теорема 1: Каждая биссектриса угла в треугольнике делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные к двум другим сторонам треугольника.
  • То есть

Теорема 2: Все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной с треугольник окружности. В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.

9) Свойство точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника:

Теорема: все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Вокруг любого треугольника можно описать окружность и только одну.

  1. 10) Теорема о разделительном отрезке в треугольнике

    Теорема: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной делит ее на отрезки, пропорциональные площадям образованных треугольников.

  2. То есть
  3. 11) Средняя линия треугольника
  4. Теорема: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон параллельна третьей стороне и равна ее половине.
  5. То есть и
  6. 12) Теорема синусов и теорема косинусов
  7. Теорема синусов: Cтороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и каждое отношение стороны к синусу равно диаметру описанной около треугольника окружности.
  8. То есть
  9. Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равне сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на синус угла между ними, то есть
  10. 13) Теорема Менелая

    Теорема: Произведение отношений отрезков, на которые произвольная прямая делит стороны треугольника (или их продолжения) равно единице

  11. То есть

Комментарий репетитора по математике: несправедливо выброшенная теорема из школьного курса геометрии. Рекомендую репетиторам включить ее в подготовку, по крайней мере к вузовским олимпиадам и вступительным экзаменам по математике в МГУ. В программу ЕГЭ теорема Менелая не входит, но несколько типов задач без нее решаются очень сложно.

  • 14) Теорема Чевы
  • Теорема:если через вершины треугольника и произвольную внутреннюю точку провести отрезки к противоположным сторонам (чевианы), то их точки пересечения разделят стороны на отрезки, произведение отношений которых равно единице.
  • То есть

Колпаков А.Н. Репетитор по математике.

Источник: https://ankolpakov.ru/2010/09/30/formuly-teoremy-i-svojstva-elementov-treugolnika-spravochnik-repetitora-po-matematike/

Практическое решение треугольников

Решение треугольников.

Цель: закрепить и углубить знания учащихся теоремы косинусов и синусов и их применение к решению треугольников; проверить знания, умения и навыки учащихся применения теоремы косинусов и синусов при решении задач, учить рационально использовать время урока ; воспитывать умение работать в коллективе и в малых группах; формировать навыки контроля и самоконтроля личности, прививать у учащихся интерес к предмету посредством включения их в решение практических задач; развивать логическое мышление, инициативу, творчество, активизировать познавательную деятельность учащихся. Тип урока: применения знаний, умений и навыков. Оборудование: таблицы Брадиса; рисунки к задачам; таблица-инструкция по определению используемой теоремы; задачи для групп.

Ход урока:

І. Организационный момент.

ІІ. Сообщение темы и цели урока.

На прошлых уроках мы с вами изучали очень важные теоремы, которые имеют большое практическое применение в жизни человека. Треугольник является одной из основных геометрических фигур.

Многие из известных фигур ( параллелограмм, трапеция) и вообще произвольные многоугольники можно разбить на треугольники. Именно поэтому, начиная с давних времен, людей интересовало решение треугольников, т. е. вычисление одних элементов треугольника по другим его элементам.

Сегодня решая задачи такого типа, мы говорим …( решаем треугольник). Записали сегодняшнее число . Классная работа. Решение треугольников.

ІІІ. Актуализация опорных знаний учащихся.

  1. Что значит решить треугольник?

  2. Сколько элементов имеет треугольник?

  3. Сколько элементов необходимо знать, чтобы решить треугольник?

  4. Какие теоремы используются для решения треугольников? Посмотрите на плакат:

Решение треугольников - в помощь студенту

Скажите мне, почему нельзя решить треугольник по трем углам?

IV. Работа в парах.

А сейчас поработайте в парах:

  1. Какие теоремы применяются при решении треугольников?

  2. Сформулируйте теорему синусов.

  3. Сформулируйте теорему косинусов.

  4. Сформулируйте условие того, что противолежащий угол:

1) острый; 2) тупой.

  1. Чему равна сумма углов треугольника?

V. Решение задач. Работа в группах. (раздается задания трем группам учащихся)

  1. Два парохода начинают движение одновременно из одного и того же пункта и двигаются равномерно по прямым пересекающимся под углом 600. Скорость первого 40км/ч, второго – 30км/ч. Вычислите , на каком расстоянии друг от друга будут находиться пароходы через 3 часа?

  • Решение:
  • V1= 40 км/ч s1 =120 км
  • V2 = 30км/ч s2=90 км
  • По теореме косинусов:
  • ВС2 = АС2 + АВ2 – 2АС АВ
  • ВС2 =1202 + 902 — 2
  • ВС2 =14400 + 8100 – 10800
  • ВС2 =11700; ВС
  • Ответ: 108 км.
  1. Измерение расстояния до недоступного предмета.

Решение треугольников - в помощь студенту

  1. 30; 42
  2. айти: ширину реки.
  3. Решение:
  4. АС =
  5. СН = 67,07 м
  6. Ответ: 14,5м.
  1. Два вектора напряжения V1 = 50В и V2 = 90В. Определите величину результирующего вектора( т. е. длину СА) и угол между результирующим вектором и вектором V1

  • Решение:
  • ;
  • =
  • СА2 = 2500 + 8100 + 6300
  • = 16900 СА = 130В.

VI. Историческая справка.

Рассказ из истории геометрии.

Зачем нужны эти задачи? В Древней Греции, наряду с блестящим развитием теоретической геометрии, научных методов исследования и логических доказательств, большое значение имела прикладная геометрия. Римляне вообще занимались лишь одной практической и прикладной стороной математики, необходимой для землемерия, строительства городов, технических военных сооружений.

Решение треугольников - в помощь студенту

Нить практической геометрии тянулась от вавилонян и древних египтян через Герона вплоть до новых времен. Теорему косинусов знали еще древние греки, ее доказательство содержится во 2 книге «Начал» Евклида как обобщенная теорема Пифагора. В итальянском учебнике XVIII в.

есть иллюстрация, представленная выше. Измерение расстояния от берега до замка, расположенного на острове. Тригонометрия— «измерение треугольников» — развивалась, прежде всего в связи с потребностями астрономии, географии, навигации.

Поэтому её зачатки были в Древнем Вавилоне, где астрономия получила значительное развитие. Синус и косинуспоявляются в астрономических сочинениях индийских ученных 9-10вв.

Тангенс появился в связи с задачей определения высоты Солнца по длине тени, решение которой необходимо для изготовления солнечных часов.

В XVI – XVII вв. все более развивающаяся промышленность и торговля требуют удовлетворения, в первую очередь, практических нужд. Появление новых инструментов и аппаратов для научных исследований (термометра, телескопа, барометра, микроскопа и др.

) вызвало интерес к практической стороне науки и, особенно к практической геометрии, которая нужна была для военных целей, мореплавания, строительства и землемерия.

В этот период появляется много руководств по геометрии, в которых излагаются правила, формулы и рецепты для решения тех или иных практических задач.

Выделение тригонометрии в специальный раздел математики связано с именем выдающегося персидского ученого Н а с и р э д д и н а Т у с и (1201-1274). В Европе первое изложение тригонометрии было дано в 15в.

немецким ученым Р е г и о м о н т а н о м ( 1436-1476). Современный вид тригонометрия получила в трудах крупнейшего математика 18в. Леонарда Э й л е р а (1707-1783).

Нить практической геометрии тянулась от вавилонян и древних египтян через Герона вплоть до новых времён.

VII. Математический диктант.

  1. Дан треугольник СДМ (ВСЕ). Используя теорему косинусов, записать чему равен квадрат стороны СМ (СЕ).

  2. В треугольнике АВС ( ВСД) сторона АВ ( ВС) равна 3 ( 4 ), сторона ВС ( СД) равна 5 ( 3 ), угол В ( С ) равен 300 ( 450 ). Найдите сторону АС ( ВД ).

  3. Квадрат стороны х ( а ) в треугольнике меньше ( больше ) суммы квадратов двух других сторон. Против какого угла, острого, прямого или тупого лежит сторона х ( а ).

  4. В треугольнике АВС угол С – тупой ( МКР угол М — прямой ). Сравните стороны АВ и ВС

( МК и КР ) .

  1. В треугольнике KLM сторона KL = 10, ( В треугольнике АВС сторона АВ = 20, ). Найдите сторону LM(AC ).

/ Двое учащихся решали на обратной стороне доски. По окончании диктанта – доски развернули и все сверили свои ответы с ответами на доске/

VIII. Итоги урока. Сегодня мы решили несколько задач на нахождение неизвестных сторон и углов треугольника, попробовали свои силы в определении расстояния до недоступного предмета и в определении расстояния между движущимися судами. Сдайте мне тетради, я посмотрю и оценю вашу работу на сегодняшнем уроке.

IX. Домашнее задание: № 1032; 1034.

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/praktichieskoierieshieniietrieugholnikov

Методическая разработка по геометрии (9 класс) на тему: Решение треугольников | Социальная сеть работников образования

Урок по геометрии в 9 классе «Решение треугольников».

Цели урока:

  1. систематизировать и обобщить знания учащихся по теме «Треугольники» Познакомить учащихся с методами решения треугольников, закрепить знание  теорем о сумме углов треугольника, синусов, косинусов, теоремы Пифагора, научить применять их в ходе решения задач.
  2. способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, анализировать условие задачи, составлять модель решения.
  3. способствовать развитию умений и навыков применять математические знания к решению практических задач, ориентироваться в простейших геометрических конструкциях.
  1. содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться.

Задачи урока:

  1. Выявить уровень подготовки учащихся по геометрии по данной теме, систематизировать полученные знания с помощью приема «Кластер»
  2. Помочь в развитии и самореализации творческих способностей личности; обучить приемам организации интеллектуального труда
  3. Научить учащихся находить главное
  4. Продолжить воспитание у учащихся уважительного отношения друг к другу, чувства      товарищества, культуры общения, чувства ответственности.

План урока

Содержание этапов урока  Виды  и формы работы 
1. Организационный момент.  1. Приветствие учащихся. 2. Постановка целей урока и  знакомство учащихся с планом урока. 
2. Обобщение и коррекция  опорных знаний по теме «Решение треугольников» Стадия вызова. Диктант. Повторение некоторого теоретического материала по теме: «Треугольник».
3.  . Обобщение и коррекция  опорных знаний по теме «Решение прямоугольных треугольников» и по теме: «Решение произвольных треугольников»Стадия вызова. Составление и заполнение таблиц  учителем на доске и учащимися в тетрадях по теме.
4.Решение четырех видов задач по теме. Нахождение трех элементов треугольника по трем известным. Работа с текстом по группам (метод «Зигзаг»). Стадия осмысления. Работа в группах по 4 человека. Решение осуществляется по составленной учителем программе. Каждая группа решает задачу одного вида.
5.Решение задач на нахождение неизвестных элементов треугольника по трем известным. Каждой группе предлагается набор треугольников, для которых нужно измерить три элемента, а остальные вычислить.
6. Меняются группы. Каждый под своим номером собирается в группы №1, №2, №3, №4. Рассказывают, как решили задачу. Ход решения задач.
7. Возвращение в первоначальную группу. Заполнение таблицы формул. Каждой группе в начале работы выдавалась таблица, которую в конце работы учащиеся должны заполнить.
8.  Деятельность учащихся по самостоятельному применению знаний и умений при решении геометрических задач Стадия рефлексии. Решение задач из сборника ЕГЭ (работа в тетрадях), с последующей проверкой. Выполнение тестовых заданий.
 9.Обобщение и коррекция  опорных знаний по теме «Решение треугольников» Составление второй части кластера.
10.  Подведение итогов урока. синквейн 1. Домашнее задание2. Рефлексия  урока учащимися и учителем3. Выставление оценок 

Ход урока

1. Организационный момент.

  • 2. Обобщение и коррекция  опорных знаний по теме «Решение треугольников» 
  • Стадия вызова.
  •  Диктант.
  • Тест на определение истинности (ложности) утверждения и правильности формулировок определений ( подготовка к восприятию нового материала). Повторение некоторого теоретического материала по теме: «Треугольник»
  1. В треугольнике против угла в 150° лежит большая сторона. (И)
  2. В равностороннем треугольнике внутренние углы равны между собой и каждый равен 60°.(И)
  3. Существует треугольник со сторонами: 2 см, 7 см, 3 см. (Л)
  4. Прямоугольный равнобедренный треугольник имеет равные катеты. (И)
  5. Если один из углов при основании равнобедренного треугольника равен 50°, то угол, лежащий против основания, равен 90°.(Л)
  6. Если острый угол прямоугольного треугольника равен 60°, то прилежащий к нему катет равен половине гипотенузы. (И)
  7. В равностороннем треугольнике все высоты равны. (И)
  8. Сумма длин двух сторон любого треугольника меньше третьей стороны. (Л)
  9. Существует треугольник с двумя тупыми углами. (Л)
  10. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.(И)
  11. Если сумма двух углов меньше 90°, то треугольник тупоугольный. (И)

3.Что я знаю по данной теме?

  1. Учащиеся обсуждают ответ на вопрос в парах, записывают результаты обсуждения на листах бумаги.
  2. Общее обсуждение и запись на доске в виде кластера или таблицы по теме: «Решение прямоугольных треугольников».

Решение прямоугольных треугольников основано на теореме Пифагора и понятиях sin a, cos а, tg а.

Коллективно намечаются условия четырех основных задач на решение прямоугольных треугольников. (Данные элементы в таблице выделены красным цветом.)

Источник: https://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2012/05/11/reshenie-treugolnikov

Начертательная геометрия

Начертательная геометрия – одна из фундаментальных дисциплин инженерного образования, где пространственные фигуры изучаются по их проекционным изображениям. Основной целью данной дисциплины является разработка методов изображения геометрических фигур на плоскости или на другой поверхности и дальнейшее их применение при решении задач.

Методы начертательной геометрии позволяют с высокой степенью точности решать математические задачи графически. В изобразительном искусстве, архитектуре и строительстве метод проекций позволяет получать наглядные изображения создаваемых объектов.

Задачи начертательной геометрии решаются графическим путем. Знание базовых правил и теорем позволяет решать сложные задания путем расчленения процесса их решения на ряд элементарных однотипных операций. Основополагающей операцией, которую приходится выполнять в процессе решения, является определение точки пересечения двух линий.

Начертательная геометрия является одним из лучших средств развития у человека пространственного воображения, логического мышления, без которых сложно представить любое инженерное творчество.

Основные виды задач

Метрическими называются задачи, в которых требуется определить действительные значения величин плоских фигур, углов, отрезков, расстояний или построить геометрические объекты заданных размеров.

В общем случае геометрические фигуры произвольно расположены по отношению к плоскостям проекций и проецируются на эти плоскости с искажением их линейных и угловых величин. Чтобы определить натуральную величину любой плоской фигуры, ее нужно перевести в положение, при котором она будет параллельна одной из плоскостей проекций.

Позиционными называются задачи, в которых требуется определить взаимное положение геометрических объектов – построить линию их пересечения или определить принадлежность точки некоторой фигуре.

Для решения позиционных задач обычно используют ряд вспомогательных поверхностей.

Их выбирают таким образом, чтобы они пересекались с заданными фигурами по линиям, которые просты для построения – например, по прямым и окружностям.

В начертательной геометрии существуют базовые задачи, без освоения которых невозможно дальнейшее изучение предмета. Это построение ортогональных проекций точек и поверхностей, определение следов прямых и плоскостей. Владение методами преобразования проекций позволяет самостоятельно анализировать и значительно упрощать решение многих задач.

Источник: https://ngeometry.ru/

Решение треугольников

  • «Решение треугольников»
  • ( Урок – практикум в 9 классе)
  • ТЕМА: «Решение треугольников»
  • ЦЕЛИ: обобщить и повторить изученные ранее случаи решения треугольников; развивать способности учеников и их интерес к математике путем решения нестандартных задач; формировать заинтересованность в результатах совместной работы.
  • ХОД УРОКА

На уроке – практикуме ученики работают небольшими группами по 4-5 человек. Состав групп: 1) группа сильных учеников; 2) группа смешанного состава; 3) группа слабых учеников.

  1. I.АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ ( в форме фронтального опроса)
  2. 1) Сформулируйте теорему косинусов.
  3. 2) Сформулируйте следствие теоремы косинусов.
  4. 3) Сформулируйте теорему синусов.
  5. 4) Чему равно каждое из отношений a/sina, b/sinb, c/sinc, если около треугольника описана окружность радиуса R?
  6. 5) Какое соотношение между углами и противолежащими сторонами треугольника?
  7. 6) В чем состоит решение треугольников?

7) Для треугольника АВС утверждается равенство а2 = в2 + с2 – вс. Что можно утверждать про величину угла А этого треугольника?

  • 8) Что можно сказать про величину угла С треугольника АВС, если выполняется равенство с2 = а2 + в2 + ав?
  • 9) Можно ли применять теорему косинусов к равностороннему треугольнику?
  • 10) Можно ли вывести теорему Пифагора из теоремы косинусов?
  • 11) Сформулируйте теорему обратную теореме Пифагора.

12) Треугольник со сторонами 3,4,5 – прямоугольный. «Это вытекает из теоремы Пифагора», — сказал ученик. В чем его ошибка?

  1. 13) Записать теорему синусов для прямоугольного треугольника.
  2. 14) Чему равна сумма квадратов диагоналей параллелограмма?
  3. 15) Чему равна сумма квадратов диагоналей ромба?

16) Чему равен cosc (по теореме косинусов)? Cosb? Cosa?

II. ЗАДАЧИ ПРАКТИКУМА.

  1. Для группы слабых учеников

а) Дан треугольник АВС, с=3 /2, угол А = 75 градусов, угол В = 60 градусов. Вычислить в.

в) Дан треугольник АВС, а = 6/2, с = 2, угол В = 135 градусов. Вычислить в.

г) Дан треугольник АВС, а = 7, В = 13, с = 5/3. Вычислить угол А.

  1. Для группы смешанного состава

а) Стороны параллелограмма равны /3 см и 4 см, а угол между ними 30 градусов. Вычислить диагональ параллелограмма, которая лежит против этого угла.

в) В треугольнике АВС а = /2 см, с = /5 см, в = 1 см. Вычислить наибольший угол треугольника.

г) В треугольнике АВС АС = /2 см, ВС = /3 см, угол А = 60 градусов. Вычислить угол В и сторону АВ.

д) Диагонали параллелограмма относятся как 8:9, а стороны равны 13 см и 11 см. Найдите диагонали.

  1. Для группы сильных учеников.

а) Угол при основании равнобедренного треугольника равен а, биссектриса треугольника , проведенная из этого угла, равна 1. Найти периметр треугольника.

в) В трапеции АВСD основания равны 60 см и 18 см, боковые стороны 28см и 35 см. Вычислить углы трапеции.

г) Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 1. Косинус среднего по величине угла этого треугольника равна 2/3. Найти периметр треугольника. ( Р = 3/10 ).

Каждая группа получает задание. Время на выполнение – разное. Больше времени получают группы сильных и группы слабых учеников. Группы смешанного состава, справившись со своим заданием, начинают его защищать у доски, а потом внимательно слушают такую же защиту представителей других групп.

  • Во время решения задач учитель внимательно следит за работай слабых групп и при необходимости помогает им.
  • III. РАБОТА У ДОСКИ
  • Каждая группа рассматривает все случаи решения треугольников, а один из этих случаев предоставляется на обсуждение.
  • IV. ИТОГ УРОКА

Мы обобщили и повторили все случаи решения треугольников. Рассмотрели нестандартные задачи. Как работала каждая группа? Какие результаты работы?

ОЦЕНКИ:

все ученики получают оценки, зависимо от того, как прошла защита работ. Эти оценки выставляются в журнал.

Источник: https://multiurok.ru/files/rieshieniie-trieugol-nikov.html

Решение задач по начертательной геометрии

Данный сборник задач и упражнений соответствует программа курса начертательной геометрии для машиностроительных, приборостроительных и механико-технологических специальностей высших технических учебных заведений.

Сборник составлен в соответствии и применительно к учебнику «Курс начертательной геометрии» В. О. Гордона и М. А. Семенцова-Огиевского, из которого в данный сборник перенесен ряд примеров и задач.

Авторы стремились помочь изучающим курс в их самостоятельной работе. Этим определился характер пособия, а именно показ процесса решения ряда типовых задач, относящихся к основным вопросам курса.

Вместе с тем даны и условия задач для самостоятельного их решения.

Условия большинства задач подобны условиям решенных задач, но имеются также задачи и без решенных прототипов, что требует от учащегося проявления большей самостоятельности и творческой инициативы.

Ограничение курса начертательной геометрии в часах и его преимущественно одно семестровое прохождение обусловливают и программное ограничение круга рассматриваемых вопросов. Очевидно, это предельный минимум; авторы исходили из него при составлении сборника.

В основном задачи, решенные1) и предлагаемые для решения, относятся к взаимному сочетанию геометрических элементов и их расположению в пространстве и к применению способов преобразования чертежа вращением и введением дополнительных плоскостей проекций.

Объектами рассмотрения являются точки, прямые и кривые линии, плоские и некоторые другие поверхности — отдельно и в их взаимном расположении.

Рассматриваются задачи на определение расстояний и углов, на построение аксонометрических проекций — прямоугольных — изометрических (с сокращением по оси y вдвое).

Чертежи в большинстве случаев даны в поэтапном их выполнении. Это облегчит чтение чертежей и рассмотрение последовательности их построений. Для лучшего понимания сущности вопроса и представле-

1) Их номера отмечаются звездочкой вверху.

ния пространственной картины в некоторых из решенных задач даны наглядные изображения. Даны также примеры составления планов решения задач и анализа полученных решений.

Такие сборники задач по начертательной геометрии с их решениями уже издавались, например, в 1928 г. «Сборник задач по ортогональным проекциям с подробными решениями» С. К. Руженцова и Б. А. Иванова. Опыт показывает их полезность.

Особенностью данного сборника является наличие ответов к задачам, предложенным для самостоятельного решения. Правильно ли решена задача? Этот вопрос при самостоятельном решении по большей части является открытым, что затрудняет работу учащегося.

Для того чтобы он сам мог убедиться в правильности полученного им решения, в сборнике помещены ответы. Они даны в текстовой или графической форме в зависимости от поставленных в задаче вопросов.

Ответ к задаче в форме чертежа содержит положение искомых элементов на фоне задания.

В сборнике даны преимущественно чертежи с указанием оси x как базы для отсчета размеров при построениях и для удобства при перечерчивании заданий. Наличие оси x как направляющей линии облегчает введение в чертеж любой информации и построение чертежей-ответов.

Если же ось не показана (как это сделано в некоторых задачах), то ее роль для отсчета размеров может быть присвоена какой-либо из прямых на данном чертеже. Все это находится в логической связи с техническими чертежами, где всегда имеет место база отсчета, хотя и не обозначаемая так, как на чертежах в начертательной геометрии.

Однако ось x сохраняет и присущее ей знaчениe линии nepeceчeния плоcкоcтeй пpоeкций V и H, что имеет значение для представления пространственной картины рассматриваемого положения. Но и вне этого значения (определяемого названием «ось проекций») такая прямая является неотъемлемой составляющей каждого чертежа для построения его по заданным размерам.

При этом выбор положения оси не является ограниченным и определяется исходя из необходимости и целесообразности.

Авторы придерживаются в основном обозначений, примененных еще в XIX столетии отечественными учеными Н И. Макаровым и В. И. Курдюмовым и в настоящее время используемых в учебной литературе и в практике кафедр без каких-либо осложнений. Эти обозначения, в отличие от всех других, в достаточной степени просты, выразительны, легко читаемы и не загромождают чертежи.

В сборнике применен термин пpoeциpoвaть (от латинск. projicere) взамен пpoeктиpoвaть, так как последнее имеет и другое значение, а именно «разрабатывать, составлять проект» (например, сооружения, механизма, перевозок и т. д.). Переход на слово пpoeциpoвaть вызвал также такие названия, как пpoeциpующaя пpямaя, гopизoнтaльнo-пpoециpующaя плоскость и т. п.

В том же смысле, в каком в некоторых курсах начертательной геометрии применено слово «эпюр» (а иногда «эпюра»), в данном сборнике взято слово «чертеж» (что, вообще, не является новым).

Для лучшего понимания решенных в сборнике задач и усвоения построений рекомендуется перечерчивать исходный чертеж и выполнять на нем все описанные построения.

Следует обратить особое внимание на то, что для сравнимости полученного учащимся чертежа-ответа предложенной для самостоятельного решения задачи с приведенным в сборнике ответом необходимо как можно точнее воспроизвести чертеж-задание, пользуясь осью x как базой отсчета. При желании можно чертеж-задание увеличить> что должно быть учтено при сравнении полученного ответа с ответом в сборнике.

  • При решении задач, для которых нет решенных прототипов, можно использовать помещенные в конце сборника краткие указания.
  • Выражение изoбpaзить наглядно, дать наглядное изображение, означает построить изображение в косоугольной фронтальной диметрической проекции (хотя бы в известной под названием «кабинетная»).
  • Рекомендуется при самостоятельном решении задач предварительно дать рисунок требуемого построения и составить план решения, как это сделано в сборнике для некоторых решенных задач, а лишь затем выполнять построение.

Согласованность данного сборника задач с учебником «Курс начертательной геометрии» В. О. Гордона и М. А.

Семенцова-Огиевского не исключает возможности пользоваться другими учебниками, так как для понимания и решения задач по данному сборнику требуется знание тех основных положений, которые должны содержаться в любом учебнике.

При этом, если имеется различие в некоторых обозначениях, можно сопоставить обозначения при помощи таблицы, которую можно найти в учебнике.

Для линий связи применена штрих-пунктирная линия с одной точкой между смежными штрихами. Но если линия связи проведена лишь для проверки правильности построения, то использована линия с двумя точками.

Номера решенных задач отмечены звездочками. Ответы на нерешенные задачи помещены в конце сборника.

Некоторые сокращения слов и условные обозначения в сборнике: пл.— плоскость;

горизонт. — горизонтальный, -ая, -ое; фронт.—фронтальный, -ая, -ое; X — перпендикулярно;

|| — параллельно; ≡ — совпадает;

Источник: http://nachert.ru/decision/

Ссылка на основную публикацию