Положительные и отрицательные числа — в помощь студенту

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Но это не всегда удобно. Например, мы можем вычислять остаток вещей на каком-нибудь складе и нам необходимо знать промежуточный результат.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Мы знаем, что , значит, результатом будет вычитание из  числа . Это значит, что надо вычесть , но пока не из чего. Когда будет из чего вычесть, вычтем:

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Но мы можем «схитрить» и обозначить . Таким образом, мы введем новый объект – отрицательные числа.

Такую операцию мы уже проделывали – в природе, например, числа «» тоже не существовало, но мы ввели такой объект, чтобы облегчить запись действий.

Представьте, что нам на спортивном складе поручили выдавать и принимать мячи. Нам нужно вести учет. Можно писать словами:

Выдал , Принял , Выдал , Принял , … (См. Рис. 1.)

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Логические элементы компьютера - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Рис. 1. Учет

Согласитесь, если выдавать и принимать за день нужно много раз, то запись не очень удобная.

Можно разделить лист на две колонки, одна – Принял, другая – Выдал. (См. Рис. 2.)

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Рис. 2. Упрощенная запись

Запись стала короче. Но вот проблема: как понять, сколько мячей взяли (или отдали) в какой-то конкретный момент времени?

Можно использовать для записи следующее соображение: когда мы выдаем со склада мячи, то их количество на складе уменьшается, а когда принимаем, то увеличивается.

Но как записать «выдал  мяча»? Можно ввести такой объект: .

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Рассмотрим еще один пример.

На счету вашего телефона  рублей. Вы вышли в Интернет, и это стоило  рублей. Получился долг  рублей. Оператор мог так и записать: «клиент должен  рублей». Вы положили  рублей. Оператор вычел долг. Получилось на счету  рублей.

Но удобно записывать и операции и деньги на счету с помощью знаков «» и «». (См. Рис. 3.)

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Рис. 3. Удобная запись

Отрицательное число мы вводим, чтобы записать результат вычитания из меньшего числа большего: .

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Чтобы отрицательные числа отличать от положительных чисел, с которыми мы имели дело раньше, перед ним договорились ставить знак минус: .

Можно было бы обойтись без них? Да можно. В каждой конкретной ситуации мы бы использовали слова «назад», «в долг» и так далее. Но они, эти слова, были бы разные.

А так у нас появляется универсальный удобный инструмент. Один для всех таких случаев.

Можем провести аналогию с автомобилем. Он состоит из большого количества деталей, многие из которых в отдельности не нужны, но все вместе позволяют ездить. Так же и отрицательные числа – инструмент, который вместе с другими математическими инструментами позволяет облегчить вычисления и упростить решение и запись многих задач.

Итак, мы ввели новый объект – отрицательные числа. Для чего их используют в жизни?

Для начала вспомним роли положительных чисел:

Количество: например  дерева,  литра молока. (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Количество

Упорядочивание: например, дома нумеруются положительными числами. (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Упорядочивание

Имя: например, номер футболиста. (См. Рис. 6.)

Рис. 6. Число в качестве имени

Теперь посмотрим на функции отрицательных чисел:

Обозначение недостающего количества. Количество отрицательным не бывает. Но отрицательное число используют, чтобы показать, что количество отнимают. Например, мы может вылить из бутылки  и записать это как . (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Обозначение недостающего количества

Упорядочивание. Иногда при нумерации выбран ноль и нужно пронумеровать объекты в обе стороны от нуля. Например, этажи, расположенные ниже -го, в подвале. (См. Рис. 8.) Или температура, которая ниже выбранного нуля. (См. Рис. 9.)

Рис. 8. Этаж, расположенный ниже -го, в подвале

Рис. 9. Отрицательные числа на шкале термометра

Но все-таки основное предназначение отрицательных чисел – это инструмент для упрощения математических расчетов.

Но чтобы отрицательные числа стали таким удобным инструментом, нужно:

  • Чтобы у них было строгое определение.
  • Свойства отрицательных чисел должны согласовываться со свойствами уже изученных положительных чисел и со здравым смыслом (например, мы знаем, что если взять со склада  мяча и положить на склад  мяча, то общее количество мячей на складе не изменится. Значит,  должно равняться ). Нам нужно уметь складывать, умножать, делить эти числа, нужно уметь сравнивать, какое больше, какое меньше. И тому подобное.

Отрицательная температура – это та, которая ниже нуля, ниже нулевой температуры. Но что такое нулевая температура? Чтобы измерять, записывать температуру нужно выбрать единицу измерения и точку отсчета. И то и другое является договоренностью. Мы используем шкалу Цельсия по имени ученого, который ее предложил. (См. Рис. 10.)

Рис. 10. Андерс Цельсий

В качестве точки отсчета здесь выбрана температура замерзания воды. Все, что ниже, обозначается отрицательным значением. (См. Рис. 11.)

Рис. 11.  – температура замерзания воды

Но понятно, что если взять другую точку отсчета, другой ноль, то отрицательная температура по Цельсию может быть положительной в этой другой шкале. Так и происходит.

В физике широко используется шкала Кельвина. Она похожа на шкалу Цельсия, только в качестве нуля выбрано значение самой низкой возможной температуры (ниже не бывает). Это значению называют «абсолютный ноль».

По Цельсию это примерно . (См. Рис. 12.)

Рис. 12. Две шкалы

  • То есть, в шкале Кельвина вообще нет отрицательных значений.
  • Так, наши летние .
  • А морозные .
  • То есть отрицательная температура – это условность, договоренность людей так ее называть.

Начнем с нуля. Ноль занимает особенное положение среди чисел.

  1. Если к любому числу добавить ноль, то число не изменится: .
  2. Если от числа отнять равное ему, то получим ноль: .

Как мы уже обсудили, мы для своего удобства вычитание семи можем обозначить как отрицательное число. Так как оно означает вычитание, то и оставляем знак «» как его признак. Назовем новое число . 

То есть, «» – это такое число, которое в сумме с  дает ноль: . Причем в любом порядке . Это определение отрицательного (или противоположного) числа.

Для каждого числа, которое мы изучали раньше, введем новое число, отрицательное, признаком которого является знак минус перед ним. То есть для каждого прежнего числа появился его отрицательный близнец. Такие близнецы назовем противоположными числами. (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Противоположные числа

Итак, определение: противоположными числами называются два числа, сумма которых равна нулю.

Внешне они отличаются только знаком «».

Если перед переменной стоит знак «», например , что это означает? Это не значит, что данная величина отрицательна. Знак минус означает, что данная величина противоположна числу : . Какое из этих чисел положительное, какое отрицательное, мы не знаем.

Если , то .

Если  (отрицательное число), то  (положительное число).

Какое число противоположно нулю? Мы это уже знаем.

Если ноль прибавить к любому числу, в том числе и к нулю, то исходное число не изменится. То есть сумма двух нулей равна нулю: . Но числа, сумма которых равна нулю, противоположны. Таким образом, ноль противоположен сам себе.

  1. Итак, мы с вами дали определение отрицательных чисел, выяснили, зачем они нужны.
  2. Теперь немного времени уделим технике. Пока нам нужно научиться для любого числа находить ему противоположное:
  3. В последней части урока поговорим о новых названиях и обозначениях множеств, которые появляются после введения отрицательных чисел.
  1. У чисел, использующихся для счета предметов, есть свое название – натуральные числа:
  2. Для отрицательных чисел, противоположных натуральным, не стали придумывать отдельного названия. Но если их рассмотреть вместе с натуральными числам и нулем, то их уже называют специальным термином – целые числа. То есть целые числа – это все натуральные, все противоположные натуральным и ноль:

Множество натуральных чисел обозначают буквой : .

Множество целых чисел обозначают буквой : .

Чем множество целых чисел «лучше» множества натуральных? Для натуральных чисел было верно, что сумма двух натуральных тоже натуральное: .

  • С вычитанием так уже было не всегда: .
  • Расширение множества натуральных чисел до целых решило эту проблему: разность двух любых целых чисел – целое число.
  • Тот факт, что часть целых чисел является натуральными, обозначают так: .
  • И говорят: множество  включено в , или  является подмножеством .

Не путайте знак включения  со знаком принадлежности . Принадлежать множеству может его элемент, но не подмножество. Например:

Итак, кратко повторим:

Для каждого положительного числа есть одно отрицательное число, которое отличается только знаком:  и ,  и . Такие числа мы называем противоположными.

Противоположные числа в сумме равны нулю: . Ноль противоположен сам себе: . Натуральные числа, противоположные им и ноль назвали целыми числами: .

Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел: .

Список литературы

  1. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс. – М.: ИОЦ «Мнемозина», 2014 – 264 с.
  2. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Учебник в 3 частях. – М. «Просвещение»: 2-е изд., перераб. – М.: 2010; Ч. 2 – 128 с.  
  3. Виленкин Н.Я. и др. Математика. Учебник для 6 класса. – М.: ИОЦ «Мнемозина», 2013 – 288 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

  1. Если , то значение выражения .
  2. Найдите , если .
  3. Приведите примеры: а) целых чисел; б) натуральных чисел; в) отрицательных чисел, не являющихся целыми; г) положительных чисел, не являющихся натуральными; д) двух противоположных целых чисел; е) двух целых чисел, сумма которых равна ; равна .

Источник: https://interneturok.ru/lesson/matematika/6-klass/polozhitelnye-i-otricatelnye-chisla/otritsatelnye-chisla-protivopolozhnye-chisla-slupko-m-v

Отрицательные числа

Отрицательные числа — это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.

Примером применения отрицательных чисел является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).

Например, −10 градусов холода:

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).

Читайте также:  Натуральные числа - в помощь студенту

При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.

Координатная прямая

Координатная прямая это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Здесь показаны только числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.

Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.

Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞, а положительное символом +∞. Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

(−∞; +∞)

Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя — это любая латинская буква. Координата — это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.

Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2« и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Здесь A — это имя точки, 2 — координата точки A.

Пример 2. Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4« и будет обозначаться на координатной прямой так:

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Здесь B — это имя точки, 4 — координата точки B.

Пример 3. Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три» и будет обозначаться на координатной прямой так:

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Здесь M — это имя точки, −3 — координата точки M.

Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат принято обозначать большой латинской буквой O

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.

Существуют такие словосочетания как «чем левее, тем меньше» и «чем правее, тем больше». Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.

Сравнение отрицательных и положительных чисел

Правило 1. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше, чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.

Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

−5 < 3

«Минус пять меньше, чем три»

Правило 2. Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.

Например, сравним числа −4 и −1. Минус четыре меньше, чем минус единица.

Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что

−4 < −1

Минус четыре меньше, чем минус единица

Правило 3. Ноль больше любого отрицательного числа.

Например, сравним 0 и −3. Ноль больше, чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше». И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что

0 > −3

Ноль больше, чем минус три

Правило 4. Ноль меньше любого положительного числа.

Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше, чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

0 < 4

Ноль меньше, чем четыре

Задания для самостоятельного решения

Источник: http://spacemath.xyz/otricatelnie_chisla/

Видеоурок «Положительные и отрицательные числа»

:

§ 1  Понятие положительных и отрицательных чисел Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

В этом уроке познакомимся с понятиями «положительные» и «отрицательные» числа.

Как известно, для измерения температуры воздуха используется термометр. Если на улице зима, то температура воздуха на термометре может быть 200 мороза или говорят -200С, а если лето, то 200 тепла или +200С.

Температура, которая записывается со знаком «плюс» называется положительной, а температура, которая записывается со знаком «минус» называется отрицательной. Заметим, что положительное значение температуры часто записывается без знака «плюс»: 200С, 250С – это то же самое.

Рассмотрим задачу.

Днем температура воздуха была +10С, а к вечеру понизилась на 50С. Какой стала температура вечером?

Если температура понизилась, значит, она уменьшилась, следовательно, нужно найти разность. +10С — 50С = — 40С. Мы записали действие с именованными числами. Попробуем записать без «имен»: получится 1 – 5 = -4. Результат разности записан со знаком «минус». Это уже не температура воздуха.

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

-4 – это отрицательное число, а число 1 или +1 – положительное число.

Числа со знаком плюс называют положительными, а со знаком минус – отрицательными.

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Положительные числа больше нуля, а отрицательные числа меньше нуля.

§ 2  Правила чтения положительных и отрицательных чисел

Остановимся на правилах чтения положительных и отрицательных чисел. Если число записано со знаком + или −, то произносят название знака, после чего произносят число. Например, плюс восемь, минус одна целая две пятых. Названия знаков + и − не склоняются по падежам. Примером правильного произношения является фраза «a равно минус трем».

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Разберемся, какой смысл несут положительные и отрицательные числа.

Положительные числа можно интерпретировать как приход, как прибавку, как увеличение какой-либо величины. Отрицательные числа, в свою очередь, означают строго противоположное – расход, недостаток, долг, уменьшение какой-либо величины. Разберемся с этим на примерах.

Пусть сказано, что Ваня обладает 3 предметами. Здесь положительное число 3 указывает количество находящихся у Вани предметов. А как можно интерпретировать отрицательное число −3? Например, число −3 может означать, что Ваня должен кому-нибудь отдать 3 предмета, которых у него даже нет в наличии.

Аналогично можно сказать, что в кассе нам выдали 3000 рублей. То есть, число 3000 связано с нашим приходом. В свою очередь отрицательное число −3000 будет указывать на уменьшение денег в кассе, выдавшей эти деньги нам. Т.е. –3000 – это расход кассы.

Еще пример: повышение температуры на 17,3 градуса можно описать положительным числом +17,3, а понижение температуры на 2,4 можно описать с помощью отрицательного числа, как изменение температуры на −2,4 градуса.

§ 3  История появления положительных и отрицательных чисел Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Немного истории. Понятие об отрицательных числах возникло очень давно, причем при решении таких практических задач, где из меньшего числа приходилось вычитать большее число.

Египтяне и древние греки для производства вычислений пользовались счетной доской. А так как знаков «плюс» и «минус» не существовало, то они на этой доске положительные числа отмечали красными счетными палочками, а отрицательные – синими. И числа долгое время назывались словами, отрицательные означали «долг», «недостача», а положительные трактовались как «имущество».

Древнегреческий ученый Диофант вообще не признавал отрицательных чисел, и если при решении уравнения у него получался отрицательный корень, то он отбрасывал его как недоступный.

Древнеиндийские математики относились к отрицательным числам по-другому: они признавали их существование, но относились к таким числам с некоторым недоверием, считая их своеобразными, не совсем реальными.

Долго не одобряли такие числа и европейцы, потому что истолкование «имущество – долг» вызывало недоумение и сомнение. Действительно, можно складывать и вычитать имущество – долг, а как умножать и делить? Это было непонятно и нереально.

Всеобщее признание отрицательные числа получили в первой половине XIX века. Была создана теория, по которой мы сейчас их и изучаем.

Итак, на этом уроке мы познакомились с понятиями «положительные» и «отрицательные» числа, научились их правильно читать, разобрались в смысле, который несут эти понятия, узнали интересные факты истории возникновения отрицательных чисел.

Список использованной литературы:

  1. Математика.6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича //автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина 2009 г.
  2. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013 г.
  3. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2013 г.
  4. Справочник по математике — http://lyudmilanik.com.ua
  5. Справочник для учащихся в средней школе http://shkolo.ru

Источник: https://znaika.ru/catalog/6-klass/matematika/Polozhitelnye-i-otritsatelnye-chisla

Репетитор по математике о работе с правилом вычитания отрицательных чисел

Выработка вычислительных навыков – важнейшая цель, преследуемая программами по математике с 1 по 6 класс.

От того, насколько быстро и правильно ребенок научится выполнять арифметические действия, будет зависеть скорость выполнения им логических (смысловых) операции в старших класах и уровень понимания предмета в целом.

Репетитор по математике довольно часто сталкивается с вычислительными проблемами учащихся, мешающими добиваться высоких результатов.

С какими только учениками не приходится работать репетитору. Родителям нужна подготовка к ЕГЭ по математике, а их чадо не может разобраться в обыкновенных дробях или путается в отрицательных числах.

Какие действия должны предприниматься репетитором по математике в таких случаях? Как помочь ученику? Времени на неспешное и последовательное изучение правил у репетитора нет, поэтому традиционные методы часто приходится заменять некими искусственными «полуфабрикатами-ускорителями», если можно так выразиться.

В этой статье я опишу один из возможных путей формирования навыка выполнения действий с отрицательными числами, а именно вычитания таковых.

Предположим, что репетитор по математике имеет удовольствие работать с очень слабым учеником, знания которого дальше простейших вычислений с положительными числами не распространяются. Предположим также, что репетитору удалось объяснить законы сложения и вплотную подойти к правилу a-b=a+(-b). Какие моменты должен учесть репетитор по математике?

Сведения вычитания к сложению не является простым и очевидным преобразованием. Учебники предлагают строгие и точные математические формулировки: «Чтобы из числа «а» вычесть число «b» надо к числу «а» прибавить число, противоположное к « b».

Формально к тексту не придерешься, но как только он начинает применяться репетитором по математике в качестве инструкции к выполнению конкретных вычислений — возникают проблемы. Одна только фраза чего стоит: «Чтобы вычесть – надо прибавить». Без внятного комментария репетитора ученик не разберется.

В самом деле, что же делать: вычитать или складывать?

Если работать с правилом согласно замыслу авторов учебника, то помимо отработки понятия «противоположное число», нужно научить школьника соотносить обозначения «а» и «b» с реальными числами в примере. А на это потребуется время.

Учитывая еще и тот факт, что ученик думает и пишет одновременно, задача репетитора по математике еще большет усложняется.

Хорошей зрительной, смысловой и двигательной памятью слабый ученик не обладает, а поэтому лучше предложить альтернативный текст правила:

  • Чтобы из первого числа вычесть второе, нужно
    А) Первое число переписать
    Б) Поставить плюс
    B) Заменить знак второго числа на противоположный
  • Г) Сложить полученные числа
  • Здесь этапы алгоритма четко разделяются по пунктам и не привязываются к буквенным обозначениям.

По ходу решения практического задания на переводы, репетитор по математике перечитывает этот текст ученику по нескольку раз (для запоминания). Я советую записать его в теоретическую тетрадь. Только после отработки правила перехода к сложению можно записать общую форму a-b=a+(-b)

Движение знаков «минус» и «плюс» в голове ребенка (как маленького, так и слабого взрослого) в чем-то напоминает броуновское. Навести порядок в этом хаосе репетитору по математике нужно как можно быстрее.

В процессе решения примеров применяются опорные подсказки (словесные и визуальные), которые в сочетании аккуратным и подробным офофрмлением делают свое дело. Нужно помнить, что каждое слово, произнесенное репетитором по математике в момент решения любой задачи несет или подсказку или помеху.

Каждая фраза анализируется ребенком на предмет установления связи с теми или иным математическим объектом (явлением) и его образом на бумаге.

Типичная проблема слабых школьников — отделение знака действия от знака числа в нем участвующего. Одинаковый визуальный образ мешает распознавать уменьшаемое «a» и вычитаемое «b» в разности a-b. Когда в процессе объяснений репетитор по математике читает выражение, нужно следить за тем, чтобы вместо «-» употреблялось слово «вычесть».

Это обязательно! Например, запись следует читать так: «Из минус пяти вычесть минус три». Нельзя забывать и о правиле перевода в сложение: «Чтобы из числа «а» вычесть число «b» надо … ».

Если у репетитора по математике постоянно слетит с языка «минус 5 минус минус 3», то понятно, что ученику будет труднее представить себе структуру примера. Однозначное соответствие между словом и арифметическим действием помогает репетитору по математике точно транслировать информацию.

Как репетитору объяснить переход к сложению?

Конечно, можно обратиться к определению понятия «вычесть» и искать число, которое надо прибавить к «b» для получения «а».

Однако, слабый ученик мыслит далек от строгой математики и репетитору в работе с ним потребуются некие аналогии с простыми действиями. Я часто говорю своим шестиклашкам: «В математике нет такого арифметического действия, как «разность».

Читайте также:  Дополнительное оборудование - в помощь студенту

Запись 5 – 3 является простым обозначением результата сложения 5+(-3). Знак «плюс» просто опускают и не пишут».

Дети удивляются словам репетитора и непроизвольно запоминают, что нельзя вычитать числа напрямую. Репетитор по математике объявляет 5 и -3 слагаемыми, и для большей убудительности своих слов сравнивает результаты действий 5-3 и 5+(-3). После этого записывается тождество a-b=a+(-b)

Каков бы ни был ученик, и сколько бы времени не отводилось репетитору по математике на занятия с ним, нужно вовремя отработать понятие «противоположное число». Отдельного внимания репетитора по математике заслуживает запись «-х». Ученик 6 класса должен усвоить, что она отображает не отрицательное число, а противоположное к иксу.

Необходимо отдельно остановиться на вычислениях с двумя знаками «минус», расположенными рядом. Возникает проблема понимания операции их одновременного удаления.

Нужно аккуратно пройти по всем пунктам изложенного алгоритма перехода к сложению.

Будет лучше, если в работе с разностью -5- (-3) до каких-либо комментариев репетитор по математике выделит числа -5 и -3 в рамочку или подчеркнет их. Это поможет ученику выделить компоненты действия.

Нацеленность репетитора по математике на запоминание

Надежное запоминание – результат практического применения математических правил, поэтому репетитору важно обеспечить хорошую плотность самостоятельно решенных примеров. Для улучшения устойчиваости запоминания можно призвать на помощь визуальные подсказки — фишечки.

Например, интересный способ перевовода вычитания отрицательного числа в сложение.Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту Репетитор по математике соединяет два минуса одной линией (как показано на рисунке), и взору ученика открывается знак «плюс» (в пересечении со скобкой).

Для предотвращения рассеивания внимания я рекомендую репетиторам по математике выделять уменьшаемое и вычитаемое рамками.Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту Если репетитор по математике использует рамки или кружочки для выделения компонентов арифметического действия, то ученик легче и быстрее найчится видеть структуру примера и соотносить ее с соответствующим правилом. Не следует располагать кусочки целого объекта при оформлении решений на разных строчках тетрадного листа, а также приступать к сложению до тех пор, пока оно не будет записано. Все действия и переходы в обязательном порядке показываются (по крайней мере на старте изучения темы).

Некоторые репетиторы по математике стремятся к 100% точному обоснованию правил перевода, считая эту стратегию единственно правильной и полезной для формирования вычислительных навыков.

Однако, практика показывает, что этот путь не всегда приносит хорошие дивиденды.

Потребность в осознании того, что человек делает, чаще всего появляется после запоминания этапов применяемого алгоритма и практического закрепления вычислительных операций.

Крайне важно отработать переход к сумме в длинном числовом выражении с несколькими вычитаниями, например Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту. Перед тем, как приступить к подсчету или преобразованию, я заставляю ученика обвести в кружочки числа вместе с их знаками, расположенными слева. На рисунке показан пример того, как репетитор по математкие выделяет слагаемыеПоложительные и отрицательные числа - в помощь студенту Для очень слабых шестиклассников можно дополнительно подкрашивать кружочки. Для положительных слагаемых использовать один цвет, а для отрицательных другой. В особых случаях беру в руки ножницы и режу выражение на кусочки. Их можно произвольно перекладывать, иммитируя таким образом перестановку слагаемых. Ребенок увидит, что знаки перемещаются вместе с самими слагаемыми. То есть, если знак минус стоял слева от числа 5, то куда бы мы не перекладывали соответствующую карточку, он от пятерки не оторвется.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике 5-6 класс. Москва. Строгино.

Источник: https://ankolpakov.ru/repetitor-po-matematike-o-rabote-s-pravilom-vychitaniya-otricatelnyx-chisel/

Положительные и отрицательные числа в современном мире

Положительные и отрицательные числа — это не абстрактные математические понятия, а часто встречающиеся в современной жизни явления.

Чтобы ребенку объяснить положительные и отрицательные числа, сначала необходимо вспомнить теорию.

ТЕОРИЯ. Положительные и отрицательные числа служат для описания величин. Если величина растет, то говорят, что ее изменение положительно (+), а если она убывает, то изменение называют отрицательным (-).

Положительные и отрицательные числа - в помощь студентуПлакат «Сделай уроки сам!» 5-6 класс

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Приведём несколько примеров из жизни

1. Уличный термометр.

За нулевую отметку здесь принята температура, при которой вода начинает превращаться в лёд. Положительные цифры означают тепло, отрицательные — мороз.

2. Физическая карта.

За нулевую отметку здесь принято считать уровень воды в мировом океане. Положительные числа означают высоту, а отрицательные — глубину.

3. Баланс на телефоне.

Если у человека на телефоне отрицательный баланс, значит, он потратил денег больше, чем было у него на счету, то есть влез в долг. Когда человек в следующий раз пополнит баланс, сумма долга будет вычтена из положенных денег.

4. Этажи зданий.

Часто, в крупных городах, где не хватает места, большие здания строятся не только над землёй, но и под ней. Отрицательные числа обозначают этажи, расположены под землёй, положительные — над ней.

5. Линзы.

Одни из них вогнутой формы, другие выпуклой. Положительные — увеличивают изображение (лупа, микроскоп), отрицательные — уменьшают (зеркало для просмотра солона у водителя автобуса).

6. Атом.

Он состоит из положительного ядра и вращающихся вокруг него отрицательных электронов.

Вот так на наглядных примерах, можно легко объяснить одну из трудных тем «Положительные и отрицательные числа».

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Источник: https://xn--80aakeqfhfoqvpv.xn--p1ai/blog/polozhitelnye-i-otritsatelnye-chisla-v-sovremennom-mire/

Положительные и отрицательные числа

Можно ли из меньшего числа вычесть большее? Рассмотрение этого вопроса мы начали в предыдущей статье.

Для того чтобы прояснить ситуацию, нарисуем вертикальную линию и отметим на ней точкой положение города. Эту точку мы будем считать точкой отсчета или нулем. Теперь нанесем на прямую по несколько равных делений выше и ниже нулевой точки. Пусть каждое деление соответствует одному километру.

Положительные и отрицательные числа - в помощь студенту

Числа выше точки отсчета (то есть к северу от города) будем называть обычными (или положительными), а числа ниже точки отсчета (то есть к югу от города) будем называть числами, меньшими нуля, или отрицательными.

Теперь нам понадобится специальный символ, который поможет различить положительные и отрицательные числа. Обычно для этого используют систему обозначений, основанную на способе, которым можно получить это число.

Любое положительное число получается в результате сложения других положительных чисел. Символом сложения является знак «+», поэтому положительные числа обозначаются +1, +2, +3 и так далее.

Само название «положительное число» говорит о том, что это число реально существует.

Отрицательные числа получаются как результат вычитания, скажем, при вычитании (2-3) мы получаем число на единицу меньше нуля. Его обозначают -1. Таким образом, отрицательные числа обозначают — -1, -2, -3, и так далее.

То, что числа, меньшие нуля, получили название отрицательных, не случайно. Даже когда математики освоили операции с числами, меньшими нуля, надо было подчеркнуть, что эти числа не существуют в действительности.

Обратите внимание, ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Теперь у нас вертикальная размеченная линия, то есть шкала, и мы можем использовать ее для операций сложения и вычитания.

Поскольку положительные числа увеличиваются вверх по шкале, а операции сложения положительных чисел приводят к увеличению чисел, будем считать, что сложение – это движение вверх по шкале.

Вычитание – это операция, противоположная сложению, поэтому вычитание – это движение вниз по шкале.

Предположим, надо сложить +2 и +5. Записать это выражение можно следующим образом: (+2) + (+5). Скобки нам понадобились по той причине, что необходимо отделить плюс как знак операции сложения от плюсов, обозначающих положительные числа.

Но поскольку мы привыкли к тому, что обычно имеем дело с положительными числами, то часто знаки «+» перед положительными числами просто опускают. Тогда получаем: 2+5.

Необходимо ставить знаки «+» перед положительными числами только в тех случаях, когда надо привлечь особое внимание к знаку числа.

Теперь отложим на нашей шкале два деления вверх. Это число 2. Прибавим еще 5 делений и остановимся на делении 7, то есть 2+5=7. Мы можем начать с 5 и прибавить два деления. Мы опять получим 7. Тут я еще раз хочу обратить ваше внимание на тот факт, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Теперь займемся вычитанием. Предположим, надо вычесть 2 из 5. От точки 5 на шкале мы откладываем вниз два деления и оказываемся в точке 3. Таким образом, получаем 5-2=3.

Теперь нам надо выяснить, как обращаться с отрицательными числами. Можно ли производить с ними такие же действия, как и с положительными числами? Если да, то они окажутся очень полезными, несмотря на то что не являются «настоящими» числами.

И действительно, отрицательные числа нашли широчайшее применение не только в науке и инженерной практике, но и в повседневной деятельности.

Они применяются, например, в бухгалтерии, где запасы и доходы обозначаются положительными числами, а расходы – отрицательными.

(3

Источник: https://matemonline.com/2012/09/positive-and-negative-numbers/

Положительные и отрицательные числа: определение, примеры, какое число больше положительное или отрицательное

В этом материале мы объясним, что такое положительные и отрицательные числа. После того, как будут сформулированы определения, мы покажем на примерах, что это такое, и раскроем основной смысл этих понятий.

Что такое положительные и отрицательные числа

Для того чтобы объяснить основные определения, нам понадобится координатная прямая. Она будет расположена горизонтально и направлено слева направо: так будет удобнее для понимания.

Определение 1

Положительные числа – это те числа, которые соответствуют точкам в той части координатной прямой, которая расположена справа от начала отсчета.

Отрицательные числа – это те числа, которые соотносятся с точками в части координатной прямой, расположенной с левой стороны от начала отсчета (нуля).

Нуль, от которого выбираем направления, сам по себе не относится ни к отрицательным, ни к положительным числам.

Из данных выше определений следует, что положительные и отрицательные числа образуют некие множества, противоположные друг другу (положительные противопоставляются отрицательным, и наоборот). Ранее мы об этом уже упоминали в рамках статьи о противоположных числах.

Определение 2

Мы всегда записываем отрицательные числа с минусом.

После того, как мы ввели основные определения, мы можем без труда привести примеры. Так, к положительным относятся любые натуральные числа – 1, 9, 134 345 и др.

Положительные рациональные числа – это, например, 79, 7623, 4,65 и 0,(13)=0,126712… и так далее.

К положительным иррациональным числам относится число π, число e, 95, 809,030030003… (это так называемая бесконечная непериодическая десятичная дробь).

Приведем примеры отрицательных чисел. Это -23 , −16, −57,58 −3,(4). Иррациональные отрицательные числа – это, например, минус пи, минус e и др.

Можно ли сразу сказать, что значение числового выражения log3 4-5 является отрицательным числом? Ответ неочевиден. Нам придется выразить это значение десятичной дробью и потом посмотреть (подробнее см. в материале о сравнении действительных чисел).

Для того чтобы уточнить, что число положительное, перед ним иногда ставят плюс, так же, как и перед отрицательным – минус, но чаще всего он опускается. Не забывайте, что +5=5, +123=123, +17=17и так далее. По сути, это разные обозначения одного и того же числа.

В литературе также можно встретить определения положительных и отрицательных чисел, данные на основе наличия у них того или иного знака.

Определение 3

Положительное число – это число, имеющее знак плюс, а отрицательное – имеющее знак минус.

Есть также определения, основанные на положении данного числа относительно нуля (вспомним, что на правой стороне координатной прямой расположены большие числа, а на левой — меньшие).

Определение 4

Положительные числа – это все числа, значение которых больше нуля. Отрицательные числа – это все числа, меньшие нуля.

Выходит, что нуль является своеобразным разделителем: он отделяет отрицательные числа от положительных.

Отдельно остановимся на том, как правильно читать записи положительных и отрицательных чисел, хотя, как правило, с этим не возникает особых проблем. Для отрицательных чисел мы всегда озвучиваем минус, т.е. -125 – это «минус одна целая две пятых».

В случае положительных чисел мы озвучиваем плюс только тогда, когда он явно указан в записи, т.е. +7 – это «плюс семь». Названия математических знаков неправильно склонять по падежам. Например, верно будет прочесть фразу a=-5 как «а равно минус пяти», а не «минусу пяти».

Основной смысл положительных и отрицательных чисел

Мы уже дали основные определения, но для того, чтобы делать верные подсчеты, необходимо понять сам смысл положительности или отрицательности числа. Попробуем помочь вам это сделать.

Положительные числа, то есть те, которые больше 0, мы рассматриваем как прибыль, прибавку, увеличение количества чего-либо, а отрицательные – недостаток, убыток, расход, долг. Приведем примеры:

У нас есть 5 любых предметов, например, яблок. Цифра 5 – положительная, она указывает на то, что у нас что-то есть, мы обладаем некоторым количеством реально существующих предметов. А как тогда рассматривать -5? Оно может, например, значить, что мы должны отдать кому-то пять яблок, которых у нас в данное время нет.

Проще всего это понять на примере денег: если у нас есть 6,75 тыс. рублей, то наш доход положительный: нам дали денег, и они у нас есть. В то же время в кассе эти расходы указываются как -6,75, то есть для них это убыток.

На градуснике рост температуры на 4,5 значений можно описать как +4,5, а снижение, в свою очередь, как -4,5. В приборах, предназначенных для измерения, часто используются положительные и отрицательные числа, поскольку с помощью них удобно отображать изменения величин.

Например, в термометре отрицательные числа указываются синим цветом – это падение, холод, уменьшение тепла; положительные же отмечены красным – это цвет огня, роста, увеличения тепла. Эти цвета очень часто используются для записи таких чисел, т.к.

они очень наглядны – с их помощью всегда можно четко выделить приход и расход, прибыток и убыток.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/dejstvitelnye-ratsionalnye-irratsionalnye-chisla/polozhitelnye-i-otritsatelnye-chisla/

Ссылка на основную публикацию