Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда — в помощь студенту

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Урок: Прямоугольный параллелепипед

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и А1В1С1D1 и четырех параллелограммов АВВ1А1, ВСС1В1, СDD1С1, DАА1D1, называется параллелепипедом (рис. 1).

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Рис. 1 Параллелепипед

То есть: имеем два равных параллелограмма АВСD и А1В1С1D1 (основания), они лежат в параллельных плоскостях так, что боковые ребра АА1, ВВ1, DD1, СС1 параллельны. Таким образом, составленная из параллелограммов поверхность называется параллелепипедом.

Таким образом, поверхность параллелепипеда — это сумма всех параллелограммов, из которых составлен параллелепипед.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Фундаментальные взаимодействия и основные классы элементарных частиц - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

  • (фигуры равны, то есть их можно совместить наложением)
  • Например:
  • АВСD = А1В1С1D1 (равные параллелограммы по определению),
  • АА1В1В = DD1С1С (так как АА1В1В и DD1С1С – противоположные грани параллелепипеда),
  • АА1D1D = ВВ1С1С (так как АА1D1D и ВВ1С1С – противоположные грани параллелепипеда).

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Диагонали параллелепипеда АС1, В1D, А1С, D1В пересекаются в одной точке О, и каждая диагональ делится этой точкой пополам (рис. 2).

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Рис. 2 Диагонали параллелепипеда пересекаются и деляться точкой пересечения пополам.

3. Имеются три четверки равных и параллельных ребер параллелепипеда: 1 – АВ, А1В1, D1C1, DC, 2 – AD, A1D1, B1C1, BC, 3 – АА1, ВВ1, СС1, DD1.

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Пусть боковое ребро АА1 перпендикулярно основанию (рис. 3). Это означает, что прямая АА1 перпендикулярна прямым АD и АВ, которые лежат в плоскости основания. А, значит, в боковых гранях лежат прямоугольники. А в основаниях лежат произвольные параллелограммы. Обозначим, ∠BAD = φ, угол φ может быть любым.

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Рис. 3 Прямой параллелепипед

Итак, прямой параллелепипед — это параллелепипед, в котором боковые ребра перпендикулярны основаниям параллелепипеда.

Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. Основания являются прямоугольниками.

Параллелепипед АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный (рис. 4), если:

1. АА1⊥ АВСD (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть параллелепипед прямой).

2. ∠ВАD = 90°, т. е. в основании лежит прямоугольник.

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Рис. 4 Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда. Но есть дополнительные свойства, которые выводятся из определения прямоугольного параллелепипеда.

Итак, прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию. Основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник.

1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.

АВСD и А1В1С1D1 – прямоугольники по определению.

2. Боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, все боковые грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Рассмотрим, например, двугранный угол прямоугольного параллелепипеда с ребром АВ, т. е. двугранный угол между плоскостями АВВ1 и АВС.

АВ – ребро, точка А1 лежит в одной плоскости – в плоскости АВВ1, а точка D в другой – в плоскости А1В1С1D1. Тогда рассматриваемый двугранный угол можно еще обозначить следующим образом: ∠А1АВD.

Возьмем точку А на ребре АВ. АА1 – перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВВ­1, AD перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВС. Значит, ∠А1АD – линейный угол данного двугранного угла. ∠А1АD  =  90°, значит, двугранный угол при ребре АВ равен 90°.

  1. ∠(АВВ1, АВС) = ∠(АВ) = ∠А1АВD= ∠А1АD = 90°.
  2. Аналогично доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
  3. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Примечание. Длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда, являются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Их иногда называют длина, ширина, высота.

Дано: АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный параллелепипед (рис. 5).

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Рис. 5 Прямоугольный параллелепипед

Доказательство:

Прямая СС1 перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой АС. Значит, треугольник СС1А – прямоугольный. По теореме Пифагора:

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора:

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Но ВС и AD – противоположные стороны прямоугольника. Значит, ВС = AD. Тогда:

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Так как Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту, а , то. Поскольку СС1 = АА1, то что и требовалось доказать.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. 

Обозначим измерения параллелепипеда АВС как a, b, c (см. рис. 6), тогда АС1 = СА1 = В1D = DВ1 =

Рис. 6

Определение. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.

Все грани куба – это равные квадраты.

Найти диагональ куба с ребром 1 (рис. 7).

  • Рис. 7
  • Решение:
  •  см.
  • Ответ:   см.
  • Рисунок

Дан куб АВСDА1В1С1D1 (рис. 8). Докажите, что плоскости АВС1 и А1В1D перпендикулярны.

  1. Рис. 8
  2. Доказательство:
  3. Прямые ВС1 и В1С перпендикулярны как диагонали квадрата ВВ1С1С.
  4. Прямая DC перпендикулярна плоскости ВВ1С1, а значит, и прямой ВС1, которая лежит в этой плоскости.

Имеем, прямая ВС1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым В1С и DC плоскости, значит А1В1D. Значит, прямая ВС1 перпендикулярна плоскости А1В1D.

Плоскость АВС1 проходит через перпендикуляр ВС1 ко второй плоскости А1В1D, значит, плоскости АВС1 и А1В1D перпендикулярны по признаку, что и требовалось доказать.

Итак, мы познакомились с прямоугольным параллелепипедом и прямым параллелепипедом, рассмотрели его основные свойства. Этой важной геометрической фигуре будет посвящен и следующий урок.

Список литературы по теме «Прямой параллелепипед», «Ребра прямоугольного параллелепипеда», «Основание параллелепипеда», «Поверхность параллелепипеда», «Длина диагонали параллелепипеда»

  1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
  3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Домашнее задание для закрепления темы «Основание параллелепипеда», «Поверхность параллелепипеда», «Основание прямоугольного параллелепипеда», «Вершины параллелепипеда», «Основание прямого параллелепипеда», «Измерения параллелепипеда»

  1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Задания 8, 14 стр. 68.
  3. Каково взаимное расположение двух смежных граней прямого параллелепипеда? А не смежных?
  4. Найдите угол между диагональю параллелепипеда и его гранями в прямоугольном параллелепипеде с измерениями a, b, c.
  5. Найдите площадь поверхности прямого параллелепипеда АВСDА1В1С1D1, если AB = 5 см, AD = 4 см, AA1 = 7 см, а двугранный угол при ребре AA1 равен 30°.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/perpendikulyarnost-pryamyh-i-ploskostejb/pryamougolnyy-parallelepiped

Прямоугольный параллелепипед — Лекция 10 класс

Сохрани ссылку в одной из сетей:

10
класс. Материал к уроку.

Прямоугольный параллелепипед

Лекция

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Параллелепипедом
называется призма, основанием которой
служит параллелограмм.

Параллелограммы,
из которых составлен параллелепипед,
называются его гранями, их стороны
ребрами, а вершины параллелограммов
вершинами параллелепипеда. У
параллелепипеда все грани —
параллелограммы.

Параллелепипеды
могут быть прямые и наклонные.

Обычно
выделяют какие-нибудь две противоположные
грани и называют их основаниями, а
остальные грани — боковыми гранями
параллелепипеда
. Ребра параллелепипеда,
не принадлежащие основаниям, называют
боковыми ребрами.

Две
грани параллелепипеда, имеющие общее
ребро, называются смежными, а не
имеющие общих ребер — противоположными.

Отрезок,
соединяющий две вершины, не принадлежащие
одной грани, называется диагональю
параллелепипеда
.

Прямой
параллелепипед, у которого основанием
является прямоугольник, называется
прямоугольным параллелепипедом
. У
прямоугольного параллелепипеда все
грани — прямоугольники.

Длины
не параллельных ребер прямоугольного
параллелепипеда называются его линейными
размерами (измерениями)
. У прямоугольного
параллелепипеда три линейных размера.

Читайте также:  Учет формирования резервов под снижение стоимости материальных ценностей - в помощь студенту

  • Свойства
    параллелепипеда:
  •  Противоположные грани параллелепипеда
    равны и параллельны.
  •  Все четыре диагонали параллелепипеда
    пересекаются в одной точке и делятся
    этой точкой пополам.
  •  Боковые грани прямого параллелепипеда
    — прямоугольники.

 Квадрат диагонали прямоугольного
параллелепипеда равен сумме квадратов
трех его измерений. d2
=
a2 + b2 + c2.

Давайте
для краткости назовем эту формулу
«трёхмерной теоремой Пифагора».

Площадь
прямоугольного параллелепипеда

  1. ФПараллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студентуормула
    площади поверхности прямоугольного
    параллелепипеда
  2. S = 2(a
    ·
    b+ a
    ·
    h+ b
    ·
    h)
  3. где
    S- площадь прямоугольного параллелепипеда,
  4. a- длина,
  5. b- ширина,
  6. h- высота.
  7. Формула
    объема прямоугольного параллелепипеда
    V = a · b · h

Площадь
куба

  • ППараллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студентулощадь
    поверхности куба
  • Формула
    площади куба S = 6 a2
  • где S-
    площадь куба,
  • a- длина
    грани куба.
  • Формула
    объема куба V = a3

Алгоритм
решения задач:
1. Чертим прямоугольный
параллелепипед. Не обязательно в
масштабе, можно от руки.2. Подписываем
вершины. Отмечаем на чертеже упомянутые
в условии точки. Соединяем линиями, где
это необходимо. 3. Ставим известные
(заданные) значения прямо на чертеже.
4. Если получился треугольник внутри
тела, то выясняем есть ли в нем прямой
угол и какой именно. Для этого пользуемся
теоремами о перпендикуляре к плоскости
или о трех перпендикулярах.5. Чертим
этот треугольник на плоскости. На нем
также отмечаем заданные и искомые
величины, если нужно, перенося числа с
параллельных ребер.

6. Проводим
необходимые вычисления по известным
формулам. Как правило, это будут теорема
Пифагора и определения синуса и косинуса
острых углов прямоугольного треугольника.

Решение
ключевых задач
.

B9 № 245359.
Найдите квадрат расстояния между
вершинами C и A1 прямоугольного
параллелепипеда, для которого AB = 5,
AD = 4, AA1=3.

Решение.Рассмотрим
прямоугольный треугольник в
котором является
гипотенузой. По теореме Пифагора

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

В
прямоугольнике  
– диагональ, =.
Значит,

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту
Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Ответ:
50.

B9 № 245361.
Найдите угол прямоугольного
параллелепипеда, для которого ,
,
.
Дайте ответ в градусах.

Решение.

В
прямоугольнике отрезок
является
диагональю, По
теореме Пифагора

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту
Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Ответ:
45.

B9 № 245363.
Найдите угол прямоугольного
параллелепипеда, для которого =4,
=3,
=5.
Дайте ответ в градусах.

Решение.

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту
Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Рассмотрим
прямоугольный треугольник Так
как ==
то треугольник является
равнобедренным, значит, углы при его
основании равны по .

Ответ:
45.

9 № 271071.
Найдите квадрат расстояния между
вершинами и
прямоугольного
параллелепипеда, для которого .

  1. Решение.Рассмотрим
    прямоугольный треугольник ,
    в котором является
    гипотенузой, и найдем квадрат ее длины
    по теореме Пифагора
  2. В
    квадрате отрезок

    диагональ. Значит,
  3. Откуда
  4. Ответ:
    59.

B9 № 271571.
Найдите расстояние между вершинами и
прямоугольного
параллелепипеда, для которого .

  • Решение.Рассмотрим
    треугольник ,
    в котором является
    гипотенузой и найдем ее длину по теореме
    Пифагора:
  • Значит,
    .
  • Ответ:
    13

B9 № 272551.
Найдите угол прямоугольного
параллелепипеда, для которого ,
,
.
Ответ дайте в градусах.

  1. Решение.Рассмотрим
    прямоугольный треугольник ,
    в нём По
    теореме Пифагора
  2. Рассмотрим
    прямоугольный треугольник Так
    как ,
    треугольник является
    равнобедренным, значит, углы при его
    основании равны .
  3. Ответ:
    45.
  4. Материал
    для урока- практикума
  5. Устная
    работа

B9 № 245360.
Найдите расстояние между вершинами А
и D
прямоугольного параллелепипеда, для
которого AB = 5, AD = 4, AA
= 3.

B9 № 245362.
Найдите угол прямоугольного
параллелепипеда, для которого =5,
=4,
=4.
Дайте ответ в градусах.

27055.
Площадь поверхности куба равна 18. Найдите
его диагональ.

Тренировочный
материал к уроку

270527.
Найдите квадрат расстояния между
вершинами и
прямоугольного
параллелепипеда, для которого ,
,
.

271075.
Найдите расстояние между вершинами и
прямоугольного
параллелепипеда, для которого ,
,
.

285399.В
прямоугольном параллелепипеде известно,
что ,
,
.
Найдите длину ребра .

271579.
Найдите угол прямоугольного
параллелепипеда, для которого ,
,
.
Ответ дайте в градусах.

271827.
Найдите угол прямоугольного
параллелепипеда, для которого ,
,
.
Ответ дайте в градусах.

272321.
Найдите угол прямоугольного
параллелепипеда, для которого ,
,
.
Ответ дайте в градусах.

245359.Найдите
квадрат расстояния между вершинами и
прямоугольного
параллелепипеда, для которого ,
,
.

245360.
Найдите расстояние между вершинами и
прямоугольного
параллелепипеда, для которого ,
,
.

245361.
Найдите угол прямоугольного
параллелепипеда, для которого ,
,
.
Ответ дайте в градусах.2

245362.
Найдите угол прямоугольного
параллелепипеда, для которого ,
,
.
Ответ дайте в градусах.

245363.
Найдите угол прямоугольного
параллелепипеда, для которого ,
,
.
Ответ дайте в градусах.

27060. Два ребра прямоугольного
параллелепипеда, выходящие из одной
вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности
параллелепипеда равна 16. Найдите его
диагональ.

27077.
Объем прямоугольного параллелепипеда
равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите
площадь грани параллелепипеда,
перпендикулярной этому ребру.

27079.
Два ребра прямоугольного параллелепипеда,
выходящие из одной вершины, равны 2 и 6.
Объем параллелепипеда равен 48. Найдите
третье ребро параллелепипеда, выходящее
из той же вершины.

27080.
Три ребра прямоугольного параллелепипеда,
выходящие из одной вершины, равны 4, 6,
9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

27081.
Во сколько раз увеличится объем куба,
если его ребра увеличить в три раза?

27082.Диагональ
куба равна .
Найдите его объем.

Источник: https://gigabaza.ru/doc/90350.html

Параллелепипед. Свойства и формулы. Примеры решения задач

Параллелепипед – это геометрическая фигура, все 6 граней которой представляют собой параллелограммы.

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

В зависимости от вида этих параллелограммов различают следующие виды параллелепипеда:

  • прямой;
  • наклонный;
  • прямоугольный.

Прямым параллелепипедом называют четырехугольную призму, ребра которой составляют с плоскостью основания угол 90 °.

Прямоугольным параллелепипедом называют четырехугольную призму, все грани которой являются прямоугольниками. Куб есть разновидность четырехугольной призмы, у которой все грани и ребра равны между собой.

Свойства параллелепипеда

Особенности фигуры предопределяют ее свойства. К ним относят 4 следующих утверждений:

  1. Противолежащие ребра и грани фигуры параллельны и равны между собой. Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту
  2. Углы сонаправленных сторон равны между собой. На фотографии ниже представлено графическое изображение сонапрвленных лучей OA и O1А1. Прямая рассекает пространство на две плоскости. Если лучи расположены в одной полуплоскости и параллельны друг другу, то их называют сонаправленными. Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту
  3.  4 главные диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке внутри фигуры. Любой отрезок, проведенный между двумя плоскостями граней, через данную точку будет поделен ею пополам. Следствием данного свойства можно сформулировать следующим образом: плоскости, в которых лежат главные диагонали параллелепипеда, симметрично делят геометрическое тело. Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту
  4. Согласно теореме Пифагора, квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов ее измерений. Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Запомнить все приведенные свойства просто, они легки для понимания и выводятся логически исходя из вида и особенностей геометрического тела. Однако, незамысловатые утверждения могут быть невероятно полезны при решении типовых заданий ЕГЭ и позволят сэкономить время необходимое для прохождения теста.

Формулы параллелепипеда

Для поиска ответов на поставленную задачу недостаточно знать только свойства фигуры. Также могут понадобиться и некоторые формулы для нахождения площади и объема геометрического тела.

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Площадь оснований находится также как и соответствующий показатель параллелограмма или прямоугольника. Выбирать основание параллелограмма можно самостоятельно. Как правило, при решении задач проще работать с призмой, в основании которой лежит прямоугольник.

Формула нахождения боковой поверхности параллелепипеда, также может понадобиться в тестовых заданиях.

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Примеры решения типовых заданий ЕГЭ

Задание 1

Дано: прямоугольный параллелепипед с измерениями 3, 4 и 12 см.
Необходимо найти длину одной из главных диагоналей фигуры.

Решение: Любое решение геометрической задачи должно начинаться с построения правильного и четкого чертежа, на котором будет обозначено «дано» и искомая величина.

На рисунке ниже приведен пример правильного оформления условий задания.

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Рассмотрев сделанный рисунок и вспомнив все свойства геометрического тела, приходим к единственно верному способу решения. Применив 4 свойство параллелепипеда, получим следующее выражение:

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

После несложных вычислений получим выражение b2=169, следовательно, b=13. Ответ задания найден, на его поиск и чертеж необходимо потратить не более 5 минут.

Задание 2

Дано: наклонный параллелепипед с боковым ребром 10 см, прямоугольник KLNM с измерениями 5 и 7 см, являющийся сечением фигуры параллельным указанному ребру.
Необходимо найти площадь боковой поверхности четырехугольной призмы.
Решение: Сначала необходимо зарисовать дано.

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Для решения данного задания необходимо применить смекалку. Из рисунка видно, что стороны KL и AD – неравны, как и пара ML и DC. Однако, периметры данных параллелограммов очевидно равны.

Следовательно, боковая площадь фигуры будет равна площади сечения помноженной на ребро AA1, так как по условию ребро перпендикулярно сечению. Ответ: 240 см2.

Источник: https://karate-ege.ru/matematika/parallelepiped-osnovnye-svojstva-i-formuly.html

Решение задач на свойства прямоугольного параллелепипеда — ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ — ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

  • Цели урока:
  • 1) повторить свойства прямоугольного параллелепипеда;
  • 2) решить часть задач на свойства прямоугольного параллелепипеда.
  • Ход урока
  • I. Актуализация знаний
  • 1) Один ученик у доски доказывает свойства прямоугольного параллелепипеда, другой теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда.
  • 2) Устный счет:

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

3) Формирование навыков и умений у учащихся.

№ 195. Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед; АС1 = 12 см; D1; AA1D1 = 30°; ∠BD1D = 45° (рис. 2).

Найти: АВ, AD, АА1.

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

  1. Решение:
  2. 1) BD1 = AC1 = 12 см;
  3. 2) АВ ⊥ ADD1, значит, AD1 — проекция BD1 на плоскость AA1D1, значит, ∠AD1B = 30°;

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

4) ΔDD1B — прямоугольный равнобедренный; ∠D1DB = 90°, так как ∠DD1B = 45° ⇒ DD1 = DB = х, по теореме Пифагора Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту то есть Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту Из прямоугольного треугольника АОВ найдем AD по теореме Пифагора (∠DAB = 90°), Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студентуПараллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту (Ответ: 6 см, 6 см, 6√2 см.)

№ 1966. Дано: ABCDA1B1C1D1 — куб (рис. 3).

Построить: сечение плоскостью, проходящей через АВ и ⊥ CDА.

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Вопросы: Какой фигурой является АВО1О? Ответ объясните. Найдите его площадь, если ребро куба а.

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Самостоятельная работа

I уровень

1) Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед; АВ = 6 см, AD = 4 см, АА1 = 12 см (рис. 4).

  • Найти: АС1.
  • Решение: (Ответ: 14 м.)
  • 2) Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед; АВ = 4 м, AD = 3,

Найти: Sбок..

Решение: по теореме Пифагора (Ответ: 56 см2.)

II уровень

Дан прямоугольный параллелепипед. Угол между диагональю основания и одной из его сторон равен β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если диагональ основания равна k.

Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, ∠BDC = α, ∠B1DC = β; диагональ BD = k (рис. 5).

Найти: Sбок..

  1. Решение: Рассмотрим прямоугольный ΔBDC: так как
  2. Из прямоугольного ΔB1CD:
  3. III уровень

Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с меньшей гранью угол β. Через большие стороны верхнего и нижнего основания проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол. Зная, что периметр равен Р, найдите измерения параллелепипеда.

Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед; ∠A1DC1 = β; AB1C1D — сечение параллелепипеда; (рис. 6).

  • Найти: AD, АВ, АА1.
  • Решение: LB1C1D = 90° по теореме о 3-х перпендикуляpax; подставить в (1), получим вынесем
  • (Ответ: )
  • V. Подведение итогов
  • Домашнее задание
  • А — № 192, 194, 196 a.

В — 1) Стороны основания и диагональ прямоугольного параллелепипеда равны 8 дм, 9 дм. Чему равна площадь диагонального сечения?

2) Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда, сходящихся в одной вершине, равны 8 м, 10 м и 12 м. Найдите линейные размеры этого параллелепипеда.

Источник: https://compendium.su/mathematics/geometry10/41.html

Прямоугольный параллелепипед на занятиях с репетитором

Теоретические сведения о прямоугольном паралеллелепипеде: для работы репетитора по математике со старшеклассниками и подготовки к ЕГЭ.

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студентуПрямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники, называется прямоугольным. Частный случай прямоугольного параллелепипеда – куб. Кубом называется такой прямоугольный параллелепипед, все 12 ребер которого равны друг другу.

Свойства прямоугольного параллелепипеда с длиной a, шириной b и высотой c:

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

4) Квадрат диагонали AK прямоугольного параллелепипеда (см. рисунок) равен квадратному корню из суммы квадратов длин его измерений, то есть Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту
Доказательство: Рассмотрим прямоугольный треугольник AKC. По теоерме Пифагора Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту (см. предыдущий рисунок). Теперь в треугольнике ADC: Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту. Осталось вставить в первое равенство вместо правую часть последнего.

6) Площадь боковой поверхности S=2ab+2bc+2ac

8) Свойство диагоналей куба: диагональ MC куба ABCDMNKP

  • перпендикулярна плоскостям (ANP) и (KBD)
  • делится этими плоскостями на три равных отрезка: MQ=QE=EC

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Копилка задач репетитора по математике на параллелепед

2) Диагональ в прямоугольном параллелепипеда равна и составляет углы и с двумя смежными боковыми гранями. Определите объем этого параллелепипеда.

3) В кубе , . Найти MN, если ребро куба равно .
Замечание репетитора математики: При наличие неудобных для вычислений чисел, таких как я бы советовал репетиторам математики прибегать к приему подобия. Решить задачу для какого-нибудь удобного размера ребра, например, для 2см, а затем полученный ответ умножить на

4) В кубе , . Найти MN, если ребро куба равно

5) В прямоугольном параллелепипеде ABCDEFGH AB=6см, BC=8см. Через середины сторон AD и CD и вершину F проведена плоскость, под углом к плоскости основания. Найдите полную поверхность параллелепипеда.

6) В прямоугольном параллелепипеде ABCDTKLP: AB=3см, BC=4см. Через диагональ KD данного параллелепипеда параллельно диагонали AC проведена плоскость. Определите угол, образуемый данной плоскостью и плоскостью основания, если объем имеющегося параллелепипеда куб.см.

7) В прямоугольном параллелепипеде ABCDSQPE: AB=6м, AD=3м, AS=4м. Точками M,N и K боковые ребра параллелепипеда делятся так, что AM:MB=1:1, SN:NQ=5:1,EK:KP=1:2. Вычислите площадь его сечения плоскостью MNK.

8) В прямоугольном параллелепипеде ABCDFESQ: AB=3м, AD=10м, AF=4м. Точки M,N и K делят его боковые ребра на отрезки так, что AM:MD=1:4, FN:NQ=2:3,EK:KS=1:2. Вычислите площадь сечения, образуемого плоскостью MNK.

Читайте также:  Греческая патристика - в помощь студенту

Александр Николаевич Колпаков,
репетитор по математике в Москве. Частные уроки в Строгино

Источник: https://ankolpakov.ru/pryamougolnyj-parallelepiped-na-zanyatiyax-s-repetitorom/

Урок 29 Получить доступ за 50 баллов Прямоугольный параллелепипед

Если посмотреть вокруг, то мы можем заметить огромное множество объектов, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда или напоминающих его форму.

Так, например, большинство зданий и помещений, шкаф (тумбочка), столешница, аквариум, коробка, кирпичи и многое другое представляют собой прямоугольный параллелепипед.

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

  • Такой многогранник имеет широкое применение в различных областях нашей жизни, и это неспроста:
  • 1) прямоугольная форма параллелепипеда удобна для деления целого на части
  • 2) объекты прямоугольной формы легко надстраивать и совмещать
  • 3) прямоугольный параллелепипед является одним из самых устойчивых многогранников
  • Часто приходится определять площадь поверхности объекта, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда.
  • Давайте разберемся, как и с помощью каких формул можно вычислить площадь его поверхности.
  • Допустим, у нас есть коробка, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда.
  • Попробуем изобразить развертку данного геометрического тела.
  • Развертка параллелепипеда — это изображение его поверхности в виде плоской фигуры, составленной из двух равных оснований: прямоугольников и четырех боковых граней (прямоугольников, попарно равных друг другу).

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

  1. Площадь этой развертки- это и есть площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.
  2. Так как прямоугольный параллелепипед состоит из шести граней, имеющих форму прямоугольников, причем противоположные грани равны по величине, то площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда будет равна сумме площадей всех его шести граней.
  3. Пусть для нашего прямоугольного параллелепипеда три ребра, выходящие из одной вершины, имеют значения а, b, h.

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

  • а— ширина прямоугольного параллелепипеда
  • b— длина прямоугольного параллелепипеда
  • h— высота прямоугольного параллелепипеда
  • Найдем площадь всех граней.
  • Воспользуемся формулой для расчета площади прямоугольника: площадь прямоугольника равна произведению его ширины на длину.
  • Ребра, лежащие напротив ребер а, b, h, будут иметь такие же значения длины, так как противолежащие ребра прямоугольного параллелепипеда равны.
  • В таком случае получаем:
  • 1) Площадь нижнего основания равна произведению (a ∙ b)
  • 2) Площадь верхнего основания также равна произведению (a ∙ b)
  • 3) Площадь левой боковой и правой боковой граней равны, как противолежащие, площадь каждой из них определяется произведением (bh)
  • 4) Передняя и задняя боковые грани равны, а значение площади каждой из них будет определяться произведением (а ∙ h)
  • Сложим площади всех граней прямоугольного параллелепипеда, получим общую площадь его поверхности.

Упростим выражение, вынесем 2 за скобку.

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда будет выглядеть так:

  1. Площадь двух оснований прямоугольного параллелепипеда (это два прямоугольника) найдем по формуле:
  2. Sосн = 2 (a ∙ b).
  3. Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле:
  4. Sбок = 2h ∙ (a + b).
  5. В нашем случае а, b— это стороны основания, h— это высота прямоугольного параллелепипеда (боковое ребро).
  6. Так как основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник, то периметр основания прямоугольного параллелепипеда определяется равенством
  7. Роснов = 2 ∙ (a + b).
  8. Подставим Роснов в формулу Sбок = 2h ∙ (a + b) вместо выражения 2 ∙ (a + b).
  9. Тогда площадь боковой поверхности можно найти так:
  10. Sбок = Роснов ∙ h.
  11. Определим площадь поверхности куба.
  12. Известно, что куб — это прямоугольный параллелепипед, поверхность которого состоит из шести одинаковых граней, имеющих форму квадрата.
  13. Чтобы найти площадь поверхности куба, необходимо сложить площади всех его граней.
  14. Площадь одной грани куба найдем по формуле площади квадрата:
  15. S = a2
  16. а— это сторона квадрата (ребро куба).
  17. Так как все 6 граней куба представляют собой равные по площади квадраты, следовательно, чтобы найти площадь всей поверхности куба, необходимо площадь одной грани умножить на их количество.
  18. Формула площади поверхности куба выглядит так:
  • Рассмотрим решение нескольких практических задач.
  • В процессе любого строительства или ремонта очень часто встает вопрос о том, сколько необходимо потратить строительного и отделочного материала или как рассчитать расход краски.
  • Задача №1.
  • Какое количество краски понадобится, чтобы полностью покрасить бак прямоугольной формы?
  • Ширина бака 2 метра, длина 3 метра, высота 1 метр.
  • Известно, что на 1 м2 расходуется 200 г краски.

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

  1. Чтобы рассчитать количество краски, которое нужно затратить на покраску бака, необходимо определить площадь окрашиваемой поверхности, затем, зная норму расхода краски на единицу площади, можно рассчитать расход краски на всю окрашиваемую поверхность.
  2. Пусть m1— масса краски, которая расходуется на 1 м2
  3. m2— масса краски, которая необходима для покраски всего бака.

Задача №2

Сколько квадратных метров стекла понадобится на изготовление аквариума кубической формы длиной 100 см?

Для вычисления площади поверхности аквариума в квадратных метрах необходимо длину аквариума перевести из сантиметров в метры.

Вспомним, 1 м = 100 см.

  • Если бы аквариум необходимо было изготовить только из боковых стенок и основания, то из стекла пришлось бы вырезать всего 5 квадратных граней.
  • В таком случае формула для вычисления площади поверхности аквариума приняла бы вид
  • S = 5 а2.
  • Задача №3
  • Хозяйка решила покрасить стены в комнате.
  • Вычислите площадь поверхности стен комнаты, в которой имеется дверной проем площадью 2 м2 и оконный проем площадью 1 м2.
  • Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда.
  • Ширина комнаты 3 метра, длина комнаты 4 метра, высота комнаты 3 метра.

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

  1. Пусть Sc— общая площадь стен комнаты.
  2. Sд— площадь дверного проема.
  3. Sо— площадь оконного проема.
  4. S— площадь стен комнаты за исключением площади дверного и оконного проемов.

Источник: https://ladle.ru/education/matematika/5class/pryamougolnyj-parallelepiped

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Измерениями прямоугольного параллелепипеда называются длины трёх рёбер с общей вершиной. Например,  в качестве измерений у прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1  можно взять длины рёбер D1D, D1C1 и D1A1, которые имеют общую вершину D1.

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

У прямоугольника два измерения — длина и ширина.При этом квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений (данное утверждение основывается на теореме Пифагора).

Свойство

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
  • Доказательство
  • Дано: ABCDA1B1C1D1  — прямоугольный параллелепипед, В1В, В1С1, В1А1 — измерения
  • Доказать: BD12 = В1В2 + В1С12 + В1А12
  • Доказательство:

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

ВВ1 A1B1C1D1, т.е. данное ребро перпендикулярно любой прямой, которая принадлежит плоскости этой грани и проходит через точку В1. Следовательно, D1B1B = 900. По теореме Пифагора для D1B1B запишем:  BD12 = В1В2 + В1D12 . ABCDA1B1C1D1  — прямоугольный параллелепипед, то есть основание A1B1C1D1 является прямоугольником, значит, В1D1 есть диагональ прямоугольника и В1D12 = В1С12 + В1А12. Следовательно, BD12 = В1В2 + В1С12 + В1А12, что и требовалось доказать.

Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его измерений. По аналогии для прямоугольного параллелепипеда справедливо:

Объём  прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Чтобы доказать данное утверждение воспользуемся принципом Кавальери:

Рассмотрим сначала прямоугольный параллелепипед с измерениями , и 1 и  куб с ребром 1, которые «стоят» на плоскости .

Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Нам известно, что данный куб будет являться единицей измерения объёмов, т.е. его объём равен 1. Любая секущая плоскость, параллельная плоскости , даёт в качестве сечения данного параллелепипеда прямоугольник, площадь которого равна , а куба — квадрат, площадь которого равна 1. То есть площадь сечения параллелепипеда в раз больше площади сечения куба, а, значит, согласно принципу Кавальери, объём рассматриваемого параллелепипеда больше объёма куба в раз, то есть равен .

Далее рассмотрим два прямоугольных параллелепипеда с измерениями  , , и , , 1, которые «стоят» на плоскости так, чтобы основания принадлежащие этой плоскости имели измерения , и , 1.

Объём второго параллелепипеда равен (см. доказано выше). Любая секущая плоскость, параллельная плоскости , даёт в качестве сечения первого параллелепипеда прямоугольник, площадь которого равна , а второго  — прямоугольник, площадь которого равна .

То есть площадь сечения первого параллелепипеда в раз больше площади сечения второго параллелепипеда, а, значит, согласно принципу Кавальери, объём первого параллелепипеда больше объёма второго параллелепипеда в раз, то есть равен V = , что и требовалось доказать.

В прямоугольном параллелепипеде с измерениями , , , который изображен выше, площадь основания S равна , а высота равна боковому ребру: = . Значит, формулу V = можно записать в виде: V = S.

Объём прямоугольного параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Объём призмы

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3592

§22. Прямоугольный параллелепипед. Пирамида — Ответы (ГДЗ) рабочая тетрадь (Мерзляк Полонский Якир) 5 класс часть 1

ПОВТОРЯЕМ ТЕОРИЮ

260. Заполните теорию.

1) Каждая грань прямоугольного параллелепипеда является прямоугольником.

2) Сторона граней прямоугольного параллелепипеда называют ребрами, вершины граней — вершинами прямоугольного параллелепипеда.3) У параллелепипеда 6 граней, 12 ребер, 8 вершин.4) Грани прямоугольного параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называют противолежащими.5) Противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда равны.6) Площадью поверхности параллелепипеда называют сумму площадей его граней.7) Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.8) Чтобы различать измерения прямоугольного параллелепипеда, пользуюятся названиями: длина, ширина и высота.9) Кубом называют прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны.10) Поверхность куба состоит из шести равных квадратов.РЕШАЕМ ЗАДАЧИ

261. На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед ABCDMKEF. Заполните пропуски.

1) Вершина В принадлежит граням АМКВ, АВСD, КВСЕ.

2) Ребру ЕF равны ребра КМ, АВ, СD.3) Верхняя грань параллелепипеда — прямоугольник МКЕF.4) Ребро DF является общим ребром граней АМFD и FЕСD.5) Грани АМКВ равна грань FЕСD.

262. Вычислите площадь поверхности куба и ребром 6 см.

  • Решение:
  • 62-6*6 = 36 (см2)
  • 6*36 = 216 (см2)
  • Ответ: Площадь поверхности равна 216 см2.

Площадь одной грани равна Площадь повехности равна

263. На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед MNKPEFCD, измерения которого равны 8 см, 5 см и 3 см. Вычислите сумму длин всех его ребер и площадь поверхности.

  1. Решение:
  2. 2*(8*3+8*5+5*3) = 158 (см2)
  3. Ответ: сумма длин всех его ребер равна 64 см,  площадь поверхности — 158 см2.

Сумма ребер 4*(8+5+3) = 64 (см)Площадь поверхности равна:

264. Заполните пропуски.

1) Поверхность пирамиды состоит из боковых граней — треугольников, имеющих общую вершину и основание.

2) Общую вершину боковых граней называют вершиной пирамиды.3) Стороны основания пирамиды называют ребрами основания, а стороны боковых граней, не принадлежащие основанию, — боковыми ребрами.

265. На рисунке изображена пирамида SABCDE. Заполните пропуски.

1) На рисунке изображена 5 угольная пирамида.

2) Боковыми гранями пирамиды являются треугольники SAB, SBC, SCD, SDE, SEA, а основанием — 5 угольник, ABCDE.3) Вершиной пирамиды является точка S.4) Ребрами основания пирамиды являются отрезки AB, BC, CD, DE, EA, боковыми ребрами — отрезки  SA, SB, SC, SD, SE.

266. На рисунке изображена пирамида DАВС.ю все грани которой — равносторонние треугольники со сторонами по 4 см. Чему равна сумма длин всех ребер пирамиды?

Решение:

Сумма длин ребер равна6*4 = 24 (см)

Ответ: 24 см.

267. На рисунке изображена пирамида МАВСD, боковые грани которой — равнобедренные треугольники с боковыми сторонами по 7 см, а основание — квадрат со стороной 8 см. Чему равна сумма длин всех ребер пирамиды?

  • Решение:
  • Ответ: сумма длин всех ребер пирамиды равна 60 см.
  • 268. Может ли иметь (да, нет) форму прямоугольного параллелепипеда:
  • Ответ: 1) нет; 2) да; 3) да; 4) нет; 5) да; 6) да.

Сумма длин боковых ребер равна4*7 = 28 (см)Сумма длин ребер основания равна4*8 = 32 (см)Сумма длин всех ребер28+32 = 60 (см)1) яблоко; 2) коробка; 3) торт; 4) дерево; 5) кусок сыра; 6) кусок мыла?

269. На рисунке показана последовательность шагов изображения прямоугольного параллелепипеда. Начертите так же параллелепипед.

270. На рисунке показана последовательность шагов изображения пирамиды. Начертите так же пирамиду.

271. Чему равно ребро куба, если площадь его поверхности равна 96 см2.

Решение:

1) 96:6 = 16 (см2) — площадь одной грани куба.2) 4*4 = 16, значит ребро куба равна 4 см.

  1. Ответ: 4 см.
  2. 272. Запишите формулу для вычисления площади S поверхности:
  3. Ответ: 1) S = 6а2; 2) S = 2( аb+ас+bс)

1) куба, ребро которого равно а;2) прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны а, b, c. 

273. Для покраски куба, изображенного на рисунке слева, требуется 270 г краски. Часть куба вырезали. Сколько потребуется граммов краски, чтобы покрасить часть поверхности полученного тела, выделенную голубым цветом.

Решение:

1) 270:6:9 = 45:9 = 5 (г) — на покраску единичной грани2) 5*12 = 60 (г) — на покраску голубой поверхности

Ответ: потребуется 60 г раски

274. Какая из фигур А, Б, В, Г, Д дополняет фигуру Е до параллелепипеда?

275. Прямоугольный параллелепипед и куб имеют равные площади поверхности. Высота параллелепипеда равна 4 см, что в 3 раза меньше его длины и на 5 см меньше его ширины. Найдите ребро куба.

Решение:

1) 4*3 = 12 (см) длина переллелепипеда2) 4+5 = 9 (см) ширина параллелепипеда

3) 2*(4*12+4*9+12*9) = 384 (см2) площадь поверхности параллелепипеда

4) 384:6 = 64 (см2) площадь грани куба5) 64 = 8*8 = 82, значит ребро куба 8 см.

Ответ: ребро куба 8 см.

276. Обведите на изображении куба цветным карандашом видимые ребра так, чтобы куб был виден: 1) сверху и справа; 2) снизу и слева.

277. Грани куба пронумерованы числами от 1 до 6. На рисунке изображены два варианта развертки отдного и того же куба, полученные при равном разрезании. Какое число должно стоять вместо знака вопроса?

Источник: https://matem-gdz.ru/5-klass/otvety-gdz-rabochaya-tetrad-merzlyak-polonskij-yakir-5-klass-chast-1/22.-pryamougolnyj-parallelepiped.-piramida.html

Ссылка на основную публикацию