Отношения и пропорции — в помощь студенту

Отношения и пропорции - в помощь студенту

Отношения и пропорции - в помощь студенту Отношения и пропорции - в помощь студенту Отношения и пропорции - в помощь студенту

Главная › Справочные материалы › Пропорция

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

02 Июн 2013

Елена Репина 2013-06-02 2019-08-08

Пропо́рция – равенство двух отношений, т. е. равенство вида a : b = c : d, или, в других обозначениях, равенство  

Если a : b = c : d,   то a и d называют крайними, а b и c — средними членами пропорции.

От « пропорции» никуда не деться, без нее не обойтись во многих задачах. Выход только один – разобраться  с этим отношением  и пользоваться пропорцией как палочкой-выручалочкой.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Троянская война - в помощь студенту

Оценим за полчаса!
  • Прежде чем приступать к рассмотрению задач на пропорцию, важно вспомнить основное правило пропорции:
  • В пропорции
  • произведение крайних членов равно произведению средних
  • Если какая-то величина  в пропорции неизвестна, ее легко будет найти, опираясь на это правило.
  • Например,
  • Отношения и пропорции - в помощь студенту
  • или
  • Отношения и пропорции - в помощь студенту
  • То есть неизвестная величина пропорции – значении дроби, в знаменателе которой – то число, которое стоит напротив неизвестной величины, в числителе – произведение оставшихся  членов пропорции (независимо от того, где эта неизвестная величина стоит). Отношения и пропорции - в помощь студенту
  • Задача 1.

Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?

Решение:+ показать

Мы понимаем, что уменьшение веса семени во сколько-то раз, влечет за собой уменьшение веса получаемого масла во столько же раз. То есть величины связаны прямой зависимостью.

  1. Заполним таблицу: Отношения и пропорции - в помощь студенту
  2. Неизвестная величина – значение дроби , в знаменателе которой – 21 – величина, стоящая напротив неизвестного в таблице, в числителе – произведение оставшихся членов таблицы-пропорции.
  3. Поэтому получаем, что из 7 кг семени  выйдет 1,7 кг масла.
  4. Ответ: 1,7
  5. Чтобы правильно заполнять таблицу, важно помнить правило:

Одинаковые наименования нужно записывать друг под другом. Проценты записываем под процентами, килограммы под килограммами и т.д

  • Задача 2.
  • Перевести в  радианы.
  • Решение:+ показать
  • Мы знаем, что . Заполним таблицу:
  • Отношения и пропорции - в помощь студенту

Ответ:  

Задача 3.

На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 27?

Решение: + показать

Хорошо видно, что незаштрихованный сектор  соответствует углу в (например, потому, что стороны сектора образованы биссектрисами двух смежных прямых углов). А поскольку вся окружность составляет , то на закрашенный сектор приходится .

  1. Составим таблицу:
  2. Откуда площадь круга – есть .
  3. Ответ:  

Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

  • Решение: + показать
  • Все поле составляет 100%, и поскольку вспахано 82%, то осталось вспахать 100%-82%=18% поля.
  • Заполняем таблицу: 
  • Откуда получаем, что  все поле составляет (га).
  • Ответ:  

А следующая задача – с засадой.

Задача 5.

Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80км/ч за 3 часа. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч?

Решение: + показать

Если вы будете решать эту задачу аналогично предыдущей, то получите следующее:

время, которое потребуется товарному поезду, чтобы пройти то же расстояние, что и пассажирским, есть часа. То есть, получается, что идя с меньшей скоростью, он преодолевает (за одно и тоже время) расстояние быстрее, нежели поезд  с большей скоростью.

В чем ошибка рассуждений?

До сих пор мы рассматривали задачи, где величины  были прямопропорциональны друг другу, то есть рост одной величины  во сколько-то раз, дает рост связанной с ней второй величины во столько же раз (аналогично с уменьшением, конечно).

А здесь у нас другая ситуация: скорость пассажирского  поезда больше скорости товарного во сколько-то раз, а  вот время, требуемое на преодоление одного и того же расстояния, требуется пассажирскому поезду меньшее во столько же раз, нежели товарному поезду.

То есть величины друг другу обратно пропорциональны.

  1. Схему, которой мы пользовались до сих пор, надо чуть изменить в данном случае.
  2. Решение: 
  3. Рассуждаем так:

Пассажирский поезд со скоростью 80 км/ч   ехал   3 ч,  следовательно, он проехал км. А значит товарный поезд это же расстояние преодолеет за ч.

То есть, если бы мы составляли пропорцию, нам следовало бы поменять местами ячейки правой колонки предварительно. Получили бы: ч.

Ответ: .

Поэтому, пожалуйста, будьте внимательны при составлении пропорции. Разберитесь сначала, с какой зависимостью имеете дело – с прямой или обратной. 

egeMax |

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Печать страницы

Источник: https://egemaximum.ru/proporciya/

Урок по теме «Отношения и пропорции»

Дата проведения урока: 13.12.18

Ф.И. О. учителя Дружинина Надежда Николаевна

Предмет Математика
Класс 6
Тип урока  Урок обобщения и систематизации знаний
Тема Обобщающий урок по теме «Отношения и пропорции»
Цель Способствовать обобщению и систематизации знаний обучающихся по изученной теме.
Задачи Образовательные: повторить понятия: пропорция, члены пропорции, верная и неверная пропорция; основное свойство пропорции и научиться применять его для определения верной и неверной пропорции, определять крайние и средние члены пропорции, формировать умения решать задачи и уравнения , используя основное свойство пропорции. 2. Развивающие: развивать умение ставить перед собой цель – целеполагание, как постановку учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено, и того, что еще неизвестно; добывать новые знания путём исследования; учиться оформлять свои мысли в устной и письменной речи, высказывать свою точку зрения, пытаясьее обосновать, приводя аргументы; развивать умения анализировать, сравнивать, делать соответствующие выводы. 3. Воспитательные: развивать познавательные интересы и учебные мотивы обучающихся, формировать позитивную самооценку; формировать опыт равноправного взаимодействия (сотрудничества) учителя и учащихся на уроке.
Планируемые результаты Предметные: Записывают пропорции и проверяют полученные пропорции, определяя отношения чисел. Читают пропорции и проверяют, верны ли они, используя основное свойство пропорции. Находят неизвестный член пропорции. Составляют новые верные пропорции из данной пропорции, переставив средние или крайние члены пропорции. Метапредметные:

  •  Личностные УУД: формирование устойчивой мотивации к обучению на основе алгоритма выполнения задачи; формирования осознанного выбора наиболее эффективного способа решения.
  • Регулятивные УУД: корректировать деятельность: вносить изменения в процесс с учетом возникших трудностей и ошибок, намечать способы их устранения; обнаруживать учебную проблему, составлять план выполнения работы; выстраивать последовательность необходимых операций ( алгоритм действий).
  • Коммуникативные УУД: адекватно использовать речевые средства для представления результата.
  • Познавательные УУД: использовать приобретённые знания для развития учебных достижений.
Основные понятия Пропорция, основное свойство пропорции, крайние и средние члены пропорции.
  1. Ресурсы:
  2. -основные
  3. -дополнительные
Математика:6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/А.Г. Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир.-М.:Вентана –Граф,2016. Презентация.
Организация пространства Фронтальная работа, работа в парах, индивидуальная работа.
Этапы урока Деятельность Учителя- Деятельность учеников Планируемые результаты
I. Организационный Цели: — Создать благоприятный психологический настрой на работу, подготовка к уроку необходимых принадлежностей. Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку. Учитель Здравствуйте, ребята. Девиз нашего урока таков «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед». (слайд 2). Перед вами листок настроения и самооценки (приложение1) (слайд 3). Отношения и пропорции - в помощь студенту Вы моё настроение видите, оно зависит от вас, от ваших знаний. А какое ваше настроение? Покажите его, закрасив карандашом то личико на первой строке, которое соответствует вашему настроению к началу урока. Я очень хочу, чтобы наш урок получился интересным, познавательным, поэтому предлагаю вам настроиться на работу. Готовятся к уроку, настраиваются на работу, закрашивают смайлик.
  • Личностные самоопределяются, настраиваются на урок
  • Познавательные: ставят перед собой цель: «Что я хочу получить сегодня от урока»
  • Коммуникативные: планируют учебное сотрудничество с учителем и одноклассниками. Регулятивные: организация своей учебной деятельности
  1. II. Актуализация опорных знаний
  2. Цели:
  3. организовать актуализацию изученных способов действий.
Организует выполнение устных упражнений. Задает учащимся наводящие вопросы. Учитель: А теперь разгадайте ребус (Слайд 4; ). Отношения и пропорции - в помощь студенту Сегодня на уроке мы с вами продолжим изучать пропорции и отношения. А сейчас займемся повторением. У каждого из вас на столе лежит лист-опросник, на котором указаны этапы урока. На каждом этапе вы должны ставить количество баллов, набранных вами(от 0 до 5) (приложение1)

  • Заполним 1 пункт листа самооценки.
  • Работа по карточкам у доски.(приложение2)(4 человека)
  • Устный счет
  • (слайд 5)
  • 1) — Что такое отношение?
  • — Что показывает отношение?
  • (слайд 6)
  • -Прочитайте данные отношения

Отношения и пропорции - в помощь студенту

  1. (слайд 7)
  2. По данной картинке определите:
  3. а) какую часть жёлтая краска составляет от белой? (Ответ: )
  4. б) во сколько раз белая краска больше желтой? (Ответ: в 2 раза)
  5. Найдите указанное отношение и сократите его.
  6. А) Отношение площади белой раскраски ко всей площади круга.
  7. Б) Отношение площади желтой раскраски ко всей площади круга.
  8. 2)(слайд 8 ).
  9. -Найдите отношения
  10. -Что вы заметили?( Некоторые из отношений равны)
  11. -Составьте пропорцию из данных отношений.
  12. — Из всех ли отношений можно составить пропорции?
  13. — Из каких отношений можно составить пропорции?
  14. — Что называется пропорцией?
  15. — Назовите крайние и средние члены пропорции.
  16. — Основное свойство пропорции?
  17. -Состаьте еще верные пропорции.
  18. 3) (слайд 9).
  19. — Какие из равенств являются пропорциями :
  20. () 1) 45 : 5 = 4 + 5;
  21. () 2) 30 : 5 =  : ?

— Как проверить, что это пропорция? (Два способа.)

  • — Назовите крайние и средние члены пропорции.
  • 4) (слайд 10 ).
  • Как называются записи
  • 1)  = ; 2)  = ;
  •  Когда уравненье решаешь, дружок,
  • Ты должен найти у него корешок…
  • Заполним 2 пункт листа самооценки.
  • Проверка заданий у доски.
Учащиеся устно выполняют задания по слайдам презентации, участвуют в обсуждении трудных или спорных вопросов. 4 ученика работают у
  1. Личностные: самоопределение.
  2. Коммуникативные: планирование ученического сотрудничества с учителем и одноклассниками.
  3. Познавательные: соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно; умение устанавливать аналогии.
  • III. Обобщение знаний
  • Цель:
  • Закрепить знания по теме пропорция, заполнить пробелы
Открыли тетради записали тему урока 1.Найди ошибку (слайд 11 ). Незнайка решил найти отношение массы мышки к массе слона. Мышка весит 50 грамм, а слон – 5 тонн. «Составим отношение 50 : 5, — сказал Незнайка. — Мышка в 10 раз тяжелее слона». Верно ли, ребята? (Ребята высказывают свое мнение). — Какое основное условие составления отношений? (Отношение величин находят, если они выражены в одних единицах измерения).

  1. Решение (в тетради и на доске):
  2. 5 т = 5 000 кг = 5 000 000 г
  3. 50 : 5 000 000 = 1 : 100 000
  4. Ответ: мышка в 100 000 раз легче слона.
  5. 2. Решение уравнений №608(3)
  6. 3.Решить уравнения №619 (4,6)
  7. Заполним 3 -4 пункты листа самооценки.
Записывают тему урока в тетрадь. Отвечают на вопрос учителя, выполняют задания. Коммуникативные: инициативное сотрудничество в поиске и выборе информации. Познавательные: Выполняют деление обыкновенных дробей; решают уравнения. Выполняют деление смешанных чисел, составляют уравнение как математическую модель задачи. Выполняют деление обыкновенных дробей и смешанных чисел, используют математическую терминологию при записи и выполнении арифметического действия. Регулятивные: определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата; составление плана и последовательности действий.
Физкультминутка
  • (слайд 12 ).
  • Создаёт условия для минутки отдыха 
  • Все ребята дружно встали
  • И на месте зашагали,
  • На носочках потянулись,
  • А теперь назад прогнулись,
  • Как пружинки мы присели
  • И тихонько вместе сели.
Учащиеся выполняют физические упражнения Смена видов деятельности
  1. III. Обоб-щение знаний – решение залач
  2. Цель:
  3. Закрепить знания по решению задач на пропорции, решение задачи на масштаб
  • 3. Решить задачу №610(2,6)
  • 2) Давайте составим краткую запись
  • Что известно в задаче?
  • В первом столбце мы запишем время, во втором столбце расстояние.
  • Что у нас неизвестно?
  • Что примем за х? (Пусть за 8 часов турист пройдет х км)
  • 5ч-24км
  • 8ч-хкм

Смотрим на первую строку. Какое отношение можно составить? Какую пропорцию можно составить? Отношения 24/5 и х/8 равны так как они показывают скорость туриста. А скорость у туриста одинаковая. 6)Площадь поля 48 га возьмем его за 100% Пшеницей засеяли 24% площади поля. Пусть х га засеяли пшеницей. Смотрим на первую строку. Какое отношение можно составить? ( 48/100. Оно показывает сколько гектар в 1%.)

  1. А во второй строке как мы узнаем сколько гектар в 1%? (х/24)
  2. Что можно сказать об этих отношениях? (они равны)
  3. Заполним 5 пункт листа самооценки.

4. Задачи с масштабом. (приложение3) На столе у каждого лист с изображением карты. Необходимо найти расстояние на местности между пунктом А и пунктом В, расположенным на г. Голая. Отношения и пропорции - в помощь студенту Первый выполнивший задание, получает оценку. Заполним 6 пункт листа самооценки.

Отвечают на вопросы, решают задачи на доске и в тетради 1 человек, выпол-нивший быстрее всех, пишет на доске.
  • Личностные: .
  • 1.Креативность мышления, инициативы, находчивости, активность при решении арифметических задач;
  • 2. Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;
  • Регулятивные:
  • 1.Планирование учебного сотрудничества;
  • 2. Формировать способность адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения поставленной задачи, ее объективную трудность и собственные возможности ее
  • решения.
  • Коммуникативные:
  • 1. Умение точно выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации;
  • 2.Инициативное сотрудничество в группе;
  • Познавательные:
  • 1. Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;
  • 2. Построение логической цепи рассуждений;
V. Самостоятельная работа Дает тестовое задание. Организует работу в парах.

  1. Приложение4
  2. Взаимопроверка (слайд 13 ).
  3. Заполним 7 пункт листа самооценки.
  • Ученики выполняют задания, осуществляют: самооценку, самопроверку, взаимопроверку, предварительную оценку.
  • Критерии оценивания:
  • «5» — верно выполнены все 5 заданий.
  • «4» — 1 ошибка
  • «3» — 2 ошибки
  • «2» — Прочитай еще раз 19,20
  1. Регулятивные: умение планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; умение вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок
  2. Познавательные: умение классифицировать и систематизировать; уметь действовать по алгоритму.
  3. Коммуникативные: умение оформлять свои мысли в письменной и устной форме; слушать и понимать речь других.
VI Мне очень часто задают вопрос “Зачем учить математику, где она пригодится в жизни?” (доклад читают 3 ученика (слайд 14-18 ). Приложение5 Слушают и дополняют рассказ своих товарищей, активно участвуют в диалоге. Иметь представление о практической значимости пропорции в жизни человека. Совершенствование умений обучающихся решать задачи с помощью составления пропорций, усиление прикладной и практической направленности изученных тем; установление внутрипредметных и межпредметных связей с другими темами курса математики, географии, литературы..
VII Решение задачи Большинство учёных стран Запада, исследуя отравляющее действие табачного дыма на организм человека, пришли к выводу, что курение – очень опасный враг для здоровья и жизни человека. В развитых странах мира за последние 30 лет количество курящих сократилось в 2-3 раза; в нашей стране, наоборот, количество курящих увеличилось в 3 раза. Жить или курить? Частично дать ответ на этот вопрос поможет решение следующей задачи(слайд 18 ) : Задача 1: Курящие дети сокращают себе жизнь на 15%. Определите, какова предположительная продолжительность жизни нынешних курящих детей, если средняя продолжительность жизни в России 72 года.

  • Оформляем решение:
  • 72 года -100%
  • х лет — 15%
  • х=10.8
  • Составляем пропорцию и решаем её.

Ответ: 61.2 года.

  1. Так жить или курить?
  2. Выбирайте сами.
  3. Заполним 8 пункт листа самооценки.
Решают задачу. Объясняют полученный результат опираясь на правило и оценивают свое решение.
  • Регулятивные: тренировать способность к рефлексии собственной деятельности и деятельности своих товарищей.
  • Коммуникативные: умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.
  • Познавательные: способность к использованию выведенного алгоритма.
VIII Рефлексия Формулирует вопросы, выводы. Проводит рефлексию.

  1. Задает вопросы: (слайд 15)
  2. Какую тему мы сегодня повторяли?
  3. Какие задачи мы сегодня ставили?
  4. Наши задачи выполнены ?
  5. Закрасив карандашом то личико на второй строке, которое соответствует вашему настроению к концу урока.
  6. Собирает листы с таблицей, выставляет оценки
Формулируют конечный результат своей работы на уроке, вспоминая каждый свою цель, поставленную в начале урока. Называют основное правило нового материала и как они его усвоили (что получилось, что не получилось и почему).
  • Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
  • Познавательные:-рефлексия способов и условий действия, их контроль и оценка; критичность.
  • Личностные: установление учащимся значения результатов своей деятельности для удовлетворения своих потребностей, мотивов, жизненных интересов.
IX Домашнее задание Формулирует домашнее задание. Дает пояснения по его выполнению.

  1. Домашнее задание:
  2. с. 116-117 правила №№609 (3;4) – «3»
  3. №611(3) — «4»
  4. 613 «5»  
Записывают домашнее задание . Найти информацию о «золотой пропорции», подготовить выступление Личностные: умение контролировать процесс и результат учебной деятельности Регулятивные: планирование своих действий в соответствии с поставленной задачей

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/urok_po_teme_otnosheniya_i_proportcii_122547.html

Пропорции, формула

Определение Пропорция — это верное равенство двух отношений.

Отношения и пропорции - в помощь студенту

Где a ? 0, b ? 0, c ? 0, d ? 0.

a и d — называют крайними членами пропорции;

b и c — называют средними членами пропорции. Пример

3  =  18   или 3 : 5 = 18 : 30;
5 30
7  =  21   или 7 : 3 = 21 : 9;
3 9
12  =  48   или 12 : 15 = 48 : 60.
15 60

Основное свойство пропорции

Свойство Отношения и пропорции - в помощь студенту

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Пример

12  =  24 , значит 12 • 8 = 4 • 24;
4 8
11  =  33 , значит 11 • 21 = 7 • 33;
7 21
23  =  69 , значит 23 • 42 = 14 • 69.
14 42

Обратное свойство

Свойство Отношения и пропорции - в помощь студенту Пример

11 • 4 = 2 • 22 значит,  11  =  22 ;
2 4
21 • 6 = 42 • 3 значит,  21  =  42 ;
3 6
33 • 21 = 7 • 99 значит,  33  =  99 .
7 21

Производные пропорции

Правило Отношения и пропорции - в помощь студенту Пример

4  =  8  или  7  =  14  или  8  =  17  или  4  =  7 ;
7 14 4 8 4 7 8 14
5  =  10  или  6  =  12  или  10  =  12  или  5  =  6 ;
6 12 5 10 5 6 10 12
9  =  18  или  3  =  6  или  6  =  18  или  9  =  3 .
3 6 9 18 3 9 18 6

Правило ! По трем известным членам пропорции всегда можно найти ее неизвестный член. Пример

15  =  x , значит x = 15 • 14  = 15 • 2 = 30;
7 14 7
21  =  x , значит x = 21 • 9  = 21 • 3 = 63;
3 9 3
33  =  99 , значит x = 4 • 99  = 4 • 3 = 12.
4 x 33

Отношения

Определение Отношением двух чисел a и b называется их частное a : b.

Показывает во сколько раз a больше b или какую часть число a составляет от b.1

Примеры отношений

Пример 1 Отношение числа 16 к числу 4 равно 16 : 4 = 4, т.е. 16 в 4 раза больше чем, чем 4. Пример 2 Отношение числа 4 к числу 12 равно 4 : 12 = 13, т.е.

4 составляет треть от числа 12. Пример 3 Масса стакана с жидкостью равна 440г. Стакан весит 40г.

Какую часть всей массы составляет масса стакана? Во сколько раз масса стакана с жидкостью больше массы жидкости?

Решение:

Масса стакана составляет 40 : 440 =  1 11 часть полной массы.

Масса жидкости равна 440 — 40 = 400г; масса стакана с жидкостью больше массы самой жидкости в 440 : 400 = 1,1 раза.

  • а
  • б
  • в
  • г
  • д
  • е
  • з
  • и
  • к
  • л
  • м
  • н
  • о
  • п
  • р
  • с
  • т
  • у
  • ф
  • х
  • ц
  • ч
  • э

© 2020 Все права защищеныПри использовании материалов данного сайта обязательно указывать ссылку на источник

Источник: https://formula-xyz.ru/proportsii.html

Что такое отношения и пропорции. Отношения и пропорции. Решение задач на проценты с помощью пропорций

В математике отношением
называется то частное, которое получается при делении одного числа на другое.

Ранее сам этот термин использовался только в тех случаях, когда было необходимо выражение какой-либо одной величины в долях другой, причем такой, которая однородна первой.

К примеру, отношения использовались при выражении площади в долях другой площади, длины в долях другой длины и т.п. Решение этой задачи производилось с помощью деления.

Определите, истинна или ложна пропорция. Найдите неизвестное в пропорции. Решать проблемы приложений с использованием пропорций. Истина — это уравнение, которое утверждает, что два равны.

Если вы знаете одно соотношение в пропорции, вы можете использовать эту информацию для поиска значений в другом эквивалентном соотношении.

Использование пропорций может помочь вам решить такие проблемы, как увеличение рецепта для подачи большего количества людей, создания дизайна с определенными согласованными функциями или увеличения или уменьшения изображения в масштабе.

Таким образом, сам смысл термина «отношение
» был несколько иной, чем термина «деление
»: дело в том, что второй означал разделение определенной именованной величины на любое совершенно отвлеченное абстрактное число.

В современной математике понятия «деление
» и «отношение
» по своему смыслу абсолютно идентичны и являются синонимами. Например, и тот, и другой термин с одинаковым успехом применяют для отношения
величин, являющихся неоднородными: массы и объема, расстояния и времени и т.п.

При этом многие отношения
величин однородных принято выражать в процентах .

Например, представьте, что вы хотите увеличить фотографию размером 5 дюймов на 8 дюймов в соответствии с деревянной рамкой, которую вы приобрели. Если вы хотите, чтобы более короткий край увеличенной фотографии измерялся 10 дюймов, как долго должна быть фотография для правильного масштабирования изображения? Вы можете установить пропорцию, чтобы определить длину увеличенной фотографии.

Определение того, является ли Пропорция истиной или ложной. Соотношение обычно записывается как две эквивалентные доли. Обратите внимание, что уравнение имеет отношение на каждой стороне знака равенства. Каждое соотношение сравнивает одни и те же единицы, дюймы и футы, а коэффициенты эквивалентны, потому что единицы являются согласованными и эквивалентны.

ПРИМЕР

В супермаркете насчитывается четыреста наименований различных товаров. Из них двести произведено на территории Российской Федерации. Определить, каково отношение
отечественных товаров к общему числу товаров, продаваемых в супермаркете?

400 – общее число товара

Ответ: двести разделить на четыреста равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов.

Пропорции могут также сравнивать два отношения с теми же единицами. Она могла бы установить пропорцию, чтобы сравнить количество унций в каждом контейнере с количеством порций лимонада, которые могут быть сделаны из каждого контейнера. Поскольку единицы для каждого отношения одинаковы, вы можете выразить пропорцию без единиц.

При использовании такого типа пропорций важно, чтобы числители отображали ту же ситуацию — в приведенном выше примере, 40 унций на 10 порций — и знаменатели представляют ту же ситуацию, 84 унции за 21 порцию. Иногда вам нужно выяснить, действительно ли два соотношения являются истинными или ложными. Ниже приведен пример, показывающий шаги, определяющие, является ли пропорция истинной или ложной.

200: 400 = 0,5 или 50%

В математике делимым принято называть предыдущий член отношения
, а делителем – последующий член отношения
. В приведенном выше примере предыдущим членом являлось число двести, а последующим – число четыреста.

Два равных отношения образуют пропорцию

В современной математике принято считать, что пропорцией
является два равным между собой отношения
.

К примеру, если общее количество наименований товаров, продаваемых в одном супермаркете, – четыреста, а в России из них произведено двести, а те же значения для другого супермаркета составляют шестьсот и триста, то соотношение
количества российских товаров к общему их числу, реализовываемых в обеих торговых предприятиях, одинаково:

Иногда вам нужно создать пропорцию, прежде чем определять, действительно ли она или нет. Существует еще один способ определить, истинна или ложна пропорция. Этот метод называется «нахождение перекрестного произведения» или «перекрестное умножение».

Чтобы перекрестно умножить, вы умножаете числитель первого отношения в пропорции на знаменатель другого отношения. Затем умножьте знаменатель первого отношения на числитель второго отношения в пропорции.

Если эти продукты равны, пропорция истинна; если эти продукты не равны, пропорция не соответствует действительности.

  • 1.Двести разделить на четыреста равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов
  • 200: 400 = 0,5 или 50%
  • 2.Триста разделить на шестьсот равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов
  • 300: 600 = 0,5 или 50%
  • В данном случае имеется пропорция
    , которую можно записать следующим образом:

Если формулировать это выражение так, как это принято делать в математике, то говорится, что двести относится
к четыремстам так же, как триста относится
к шестистам. При этом двести и шестьсот называются крайними членами пропорции
, а четыреста и триста – средними членами пропорции
.

Эта стратегия определения, является ли пропорция истиной, называется кросс-умножением, потому что шаблон умножения выглядит как х или крест-крест. Ниже приведен пример поиска перекрестного продукта или перекрестного умножения. Оба продукта равны, поэтому соотношение верно.

Ниже приведен еще один пример определения, является ли пропорция истинным или ложным, используя перекрестные продукты. Поиск неизвестного количества в пропорции. Если вы знаете, что соотношение между величинами пропорционально, вы можете использовать пропорции, чтобы найти недостающие количества.

Произведение средних членов пропорции

  1. Согласно одному из законов математики, произведение средних членов любой пропорции
    равняется произведению ее крайних членов. Если возвратиться к приведенным выше примерам, то проиллюстрировать это можно следующим образом:
  2. Двести умноженное на шестьсот равняется сто двадцать тысяч;
  3. 200 × 600 = 120 000
  4. Триста умноженное на четыреста равняется сто двадцать тысяч.

Вернемся к исходному примеру. Представьте, что вы хотите увеличить фотографию размером 5 дюймов на 8 дюймов, чтобы сделать длину 10 дюймов и сохранить пропорцию ширины до такой же длины. Вы можете установить пропорцию, чтобы определить ширину увеличенной фотографии.

Решение проблем приложений с использованием пропорций. Настройка и решение проблемы является полезной стратегией для решения различных проблем пропорционального рассуждения. В этих проблемах всегда важно определить, что такое неизвестное значение, а затем определить пропорциональное соотношение, которое можно использовать для решения неизвестного значения.

300 × 400 = 120 000

Из этого следует, что любой из крайних членов пропорции
равен произведению ее средних членов, деленному на другой крайний член. По тому же самому принципу каждый из средних членов пропорции
равен крайних ее членов, деленному на другой средний член.

Если вернуться к приведенному выше примеру пропорции
, то:

Соотношение представляет собой уравнение, сравнивающее два отношения. Если коэффициенты эквивалентны, пропорция истинна. Если нет, пропорция ложна.

Поиск перекрестного продукта — это еще один метод определения, является ли пропорция истинным или ложным. Перекрестное умножение также полезно для нахождения неизвестной величины в пропорциональном соотношении.

Настройка и решение пропорций — это умение, которое полезно для решения множества проблем.

Соотношения — это просто выражения одной меры относительно другой. Существует несколько типов отношений, которые часто используются в общественном здравоохранении. Рассмотрим класс, в котором учатся 20 мужчин и 80 женщин.

Мы можем думать об этом несколькими способами. Мы также можем упростить это, разделив как числитель, так и знаменатель на число, которое равномерно делит на числитель и знаменатель.

Это указывает на то, что для каждого мужчины есть четыре женщины.

Двести равняется четыреста умноженное на триста и деленное на шестьсот.

Эти свойства широко используются в практических математических вычислениях тогда, когда требуется найти значение неизвестного члена пропорции
при известных значениях трех членов остальных.

Частное от деления одного числа на другое называется также их отношением. Термин «отношение»
применялся прежде только в тех случаях, когда требовалось выразить) одну величину в долях другой, однородной с первой,
например одну длину в долях другой, одну площадь в долях другой площади и т. д., что выполняется с помощью деления.

Отсюда понятно, почему появился особый термин «отношение»: раньше его смысл был иной, чем термина «деление», который
относили к делению некоторой именованной величины на отвлеченное число. Сейчас этого различия не делают; говорят, например,
об отноше¬нии неоднородных величин, скажем веса тела к его объёму и т. д.

Когда речь идет об отношении однородных величин,
его часто выражают в процентах. Пример. В библиотеке 10 000 книг; из них 8000 на русском языке; каково отношение числа русских книг к общему их числу?
8000:10 000 = 0,8. Искомое отношение есть 0,8 или 80 %.
Делимое называют предыдущим членом отношения, делитель — последующим.

В нашем примере 8000 — предыдущий член,
10 000 — последующий.
Два равных отношения образуют пропорцию. Так, если в одной библиотеке 10000 книг, из них 8000 на русском языке, в, другой
библиотеке — 12 000 книг, из них 9600 на русском языке, то отношение числа русских книг к общему числу книг в обеих
библиотеках одинаково: 8000:10000 = 0,8; 9600:12 000 = 0,8.

Мы имеем здесь пропорцию, которая записывается
так:8000:10 000 = 9600:12 000. Говорят: «8000 относится к 10 000 так, как 9600 к 12 000». 8000 и 12 000 — крайние
члены; 10000, и 9600 — средние члены пропорции.
Произведение средних членов пропорции равно произведению крайних. В нашем примере 8000 12 000= 96 000 000; 10 000 9600 = 96 000 000.

Один из крайних членов пропорции равен произведению средних членов,
деленному на другой крайний. Точно так же один из средних членов равен произведению крайних, деленному на другой средний.
Если a:b =c:d, то и т. д. Так в нашем примере

Отношения и пропорции - в помощь студенту
Этим свойством постоянно пользуются для вычисления неизвестного члена пропорции, когда три остальных члена известны.
Пример. 12: х = 6: 5 (х обозначает неизвестное число).
x =

Пропорция, в которой средние члены равны, называется непрерывной; например, 18:6 = 6:2. Средний член непрерывной пропорции
есть среднее, геометрическое крайних членов; в нашем примере 6 =

Источник: https://myfb2books.ru/what-is-the-relationship-and-proportion-relations-and-proportions.html

Отношения и пропорции

Отношения и пропорции - в помощь студенту

В математике отношением называется то частное, которое получается при делении одного числа на другое. Ранее сам этот термин использовался только в тех случаях, когда было необходимо выражение какой-либо одной величины в долях другой, причем такой, которая однородна первой. К примеру, отношения использовались при выражении площади в долях другой площади, длины в долях другой длины и т.п. Решение этой задачи производилось с помощью деления.

Таким образом, сам смысл термина «отношение» был несколько иной, чем термина «деление»: дело в том, что второй означал разделение определенной именованной величины на любое совершенно отвлеченное абстрактное число.

В современной математике понятия «деление» и «отношение» по своему смыслу абсолютно идентичны и являются синонимами. Например, и тот, и другой термин с одинаковым успехом применяют для отношения величин, являющихся неоднородными: массы и объема, расстояния и времени и т.п.

При этом многие отношения величин однородных принято выражать в процентах.

Пример

В супермаркете насчитывается четыреста наименований различных товаров. Из них двести произведено на территории Российской Федерации. Определить, каково отношение отечественных товаров к общему числу товаров, продаваемых в супермаркете?

  • 400 – общее число товара
  • 200 – РФ
  • Ответ: двести разделить на четыреста равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов.
  • 200 : 400 = 0,5 или 50%

В математике делимым принято называть предыдущий член отношения, а делителем – последующий член отношения. В приведенном выше примере предыдущим членом являлось число двести, а последующим – число четыреста.

  1. В современной математике принято считать, что пропорцией является два равным между собой отношения. К примеру, если общее количество наименований товаров, продаваемых в одном супермаркете, – четыреста, а в России из них произведено двести, а те же значения для другого супермаркета составляют шестьсот и триста, то соотношение количества российских товаров к общему их числу, реализовываемых в обеих торговых предприятиях, одинаково:
  2. 1.Двести разделить на четыреста равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов
  3. 200 : 400 = 0,5 или 50%
  4. 2.Триста разделить на шестьсот равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов
  5. 300 : 600 = 0,5 или 50%
  6. В данном случае имеется пропорция, которую можно записать следующим образом:

Если формулировать это выражение так, как это принято делать в математике, то говорится, что двести относится к четыремстам так же, как триста относится к шестистам. При этом двести и шестьсот называются крайними членами пропорции, а четыреста и триста – средними членами пропорции.

  • Согласно одному из законов математики, произведение средних членов любой пропорции равняется произведению ее крайних членов. Если возвратиться к приведенным выше примерам, то проиллюстрировать это можно следующим образом:
  • Двести умноженное на шестьсот равняется сто двадцать тысяч;
  • 200 × 600 = 120 000
  • Триста умноженное на четыреста равняется сто двадцать тысяч.
  • 300 × 400 = 120 000

Из этого следует, что любой из крайних членов пропорции равен произведению ее средних членов, деленному на другой крайний член. По тому же самому принципу каждый из средних членов пропорции равен крайних ее членов, деленному на другой средний член.

  1. Если вернуться к приведенному выше примеру пропорции, то:
  2. Двести равняется четыреста умноженное на триста и деленное на шестьсот.
  3. Эти свойства широко используются в практических математических вычислениях тогда, когда требуется найти значение неизвестного члена пропорции при известных значениях трех членов остальных.

Источник: http://simple-math.ru/arithmetics/ratio-proportion.php

Пропорция в жизни человека

В школе на уроках естественных наук: физики, химии, биологии, астрономии, географии и на уроках гуманитарных наук: истории, литературы, родного и иностранного языков мы изучаем природу и общество. На уроках музыки, рисования, черчения, гимнастики нас вводят в мир искусств.

Кроме этих дисциплин, этих предметов, на протяжении всех школьных лет мы изучаем математику: арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию.

К каким же наукам причислить эти дисциплины? Что составляет предмет их изучения? Многие учёные относят математику к естественным наукам, так как математика изучает окружающий нас мир: предметы и явления природы, общества и человеческого мышления.

Физика, химия, биология изучают предметы и явления окружающего нас мира со стороны их качества. Математика изучает те же предметы, явления со стороны их количества, пространства и времени, говорят – со стороны их формы.

Поэтому математику учёные считают естественной наукой, изучающей наш материальный мир. Математика пронизывает все отрасли знания, в том числе и гуманитарные науки. Без математики сейчас не обходятся экономические, филологические и другие науки. Поэтому некоторые учёные считают математику прослойкой между естественными и гуманитарными науками.

Великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс в своё время назвал математику «царицей всех наук» и «царицей и слугой всех наук». Так её называют за благородное служение практически всем наукам.

В математике много методов, позволяющих решать те или иные задачи. Ещё в древней Греции математики использовали такой аппарат, как ПРОПОРЦИЯ.

Пропорцией называют равенство отношений двух или нескольких пар чисел или величин. Например, размеры модели машины или сооружения отличаются от размеров оригинала одним и тем же множителем, задающим масштаб модели.

Поэтому, если выбрать на оригинале 4 точки А,В,С и Д и обозначить на через А1,В1,С1 и Д1 соответствующие точки на модели, то будет выполняться равенство ==. Такое равенство отношений и называют пропорцией.

Она показывает, что отношение расстояний между точками на оригинале такое же, как отношение расстояний между соответствующими точками на модели.

В древности в неявной форме идеей пропорциональности пользовались при решении задач методом сложного положения: давали искомой величине значение, вычисляли, какое значение должна при этом иметь одна из данных величин, и сравнивали с условием задачи. Отношение величин давало коэффициент, на который надо умножить выбранное значение, чтобы получить правильный ответ.

Систематически пропорции начали изучать в Древней Греции. Сначала рассматривали лишь пропорции, составленные из натуральных чисел, и поэтому считали, что числа а, в, с, d образуют пропорцию, если а является тем же кратным, той же долей или той же дробью от в, что и с от d.

В IV в. до н. э. древнегреческий математик Евдокс дал определение пропорции, составленной из величин любой природы.

Древнегреческие математики решали задачи, которые в наши дни решают с помощью уравнений, а место алгебраических преобразований занял переход от одной пропорции к другой.

  • В современной математике применяют различные СВОЙСТВА ПРОПОРЦИЙ.
  • Основное свойство пропорции. Если a : b = c : d, то a∙d = b∙c
  • Обращение пропорции. Если a : b = c : d, то b : a = d : c

Перестановка средних и крайних членов. Если a : b = c : d, то a : c = b : d (перестановка средних членов пропорции), d : b = c : a (перестановка крайних членов пропорции).

  1. Увеличение и уменьшение пропорции. Если a : b = c : d, то
  2. (a + b) : b = (c + d) : d (увеличение пропорции),
  3. (a – b) : b = (c – d) : d (уменьшение пропорции).
  4. Составление пропорции сложением и вычитанием. Если a : b = c : d, то
  5. (a + с) : (b + d) = a : b = c : d (составление пропорции сложением),
  6. (a – с) : (b – d) = a : b = c : d (составление пропорции вычитанием)

Математика применяется практически во всех сферах жизни человека. И в повседневной жизни мы используем математические навыки, в том числе и пропорцию.

КУЛИНАРИЯ

Понятие пропорции используется в кулинарии. Когда мы готовим какое-либо блюдо, мы стараемся использовать то количество продуктов, которое указано в поварской книге.

Это делается для того, чтобы не испортить блюдо. Если мы возьмём больше соли, то пересолим, а если меньше, то будет не вкусно.

Ещё пропорция позволяет рассчитать количество продуктов для приготовления одного и того же блюда для разного числа гостей.

МЕДИЦИНА

В медицинской практике врачи следят за тем, сколько и когда надо давать лекарства больному. В правильных дозах лекарство даёт лечебный эффект, в меньших – оно бесполезно, а в больших – приносит вред. При изготовлении лекарств тоже соблюдаются пропорции. Здесь необходима точность, так как при нарушении пропорций, составляющих лекарство ингредиентов, может получиться не лекарство, а яд.

ТЕХНОЛОГИЯ

На уроках технологии мы также используем пропорцию. Когда мы хотим сшить какую-либо вещь меньшего или большего размера, мы уменьшаем или увеличиваем выкройку до нужного нам размера. Например, выкройка фартука на себя и на куклу. Размеры элементов кукольного фартука отличаются от соответствующих размеров моего фартука в одно и тоже число раз.

ГЕОГРАФИЯ

В географии также применяют пропорцию – масштаб. Масштабом называют отношение длины отрезка на карте или плане к длине соответствующего отрезка на местности. Масштаб показывает во сколько раз расстояние на плане меньше, чем указанное расстояние на самом деле.

Существуют разные виды масштаба: численный, линейный и именованный. Численный масштаб записывают в виде дроби, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе — степень уменьшения проекции. Например, масштаб 1:5 000 показывает, что 1 см на плане соответствует 5 000 см (50 м) на местности.

Более крупным является тот масштаб, у которого знаменатель меньше. Например, масштаб 1:1 000 крупнее, чем масштаб 1:25 000. По численному масштабу узнают, во сколько раз уменьшены на плане все расстояния.

Чем больше число в знаменателе дроби, тем в большее число раз уменьшено настоящее расстояние, тем мельче карта.

Запись «в 1 см – 10 м» называют именованный масштабом, а расстояние на местности, соответствующее 1 см на плане, называют величиной масштаба. С помощью величины масштаба очень удобно определять расстояния.

На планах помещают также и линейный масштаб. Линейный масштаб — это графический масштаб в виде масштабной линейки, разделённой на равные части. Это – прямая линия, разделённая на равные части (обычно сантиметры).

У каждого деления линии подписывают соответствующее ему расстояние на местности. Первое деление слева от 0 делят на более мелкие части.

С помощью линейного масштаба узнают точные размеры объектов, изображённых на плане местности, и расстояния между ними.

Задача. Найдите расстояние от Москвы до Северного полюса, если на карте это расстояние – 3,5 см, а М 1:100000000.

Решение.

Составим пропорцию: х= , т. е. х= 350000000см=3500км.

Ответ. Расстояние на местности от Москвы до Северного полюса – 3500км.

ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОЕ ИСКУССТВО

Алексей Петрович Стахов, доктор технических наук (1972 г. ), профессор (1974 г. ), академик Академии инженерных наук Украины так пишет о гармонии:

«С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами. Уже предметы обихода жителей древности, которые, казалось бы, преследовали чисто утилитарную цель — служить хранилищем воды, оружием на охоте и т. д. , демонстрируют стремление человека к красоте.

На определенном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного, сформировалось в самостоятельную ветвь науки — эстетику, которая у античных философов была неотделима от космологии.

Тогда же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония.

Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый — красоту в истине. Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы.

Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов — от цветка ромашки до красоты обнаженного человеческого тела?. «.

Известный итальянский теоретик архитектуры Леон-Баттиста Альберти, написавший много книг о зодчестве, говорил о гармонии следующее:

«Есть нечто большее, слагающееся из сочетания и связи трех вещей (числа, ограничения и размещения), нечто, чем чудесно озаряется весь лик красоты. Это мы называем гармонией, которая, без сомнения, источник всякой прелести и красоты.

Ведь назначение и цель гармонии — упорядочить части, вообще говоря, различные по природе, неким совершенным соотношением так, чтобы они одна другой соответствовали, создавая красоту. Она охватывает всю жизнь человеческую, пронизывает всю природу вещей. Ибо все, что производит природа, все это соизмеряется законом гармонии.

И нет у природы большей заботы, чем та, чтобы произведенное ею было совершенным. Этого никак не достичь без гармонии, ибо без нее распадается высшее согласие частей».

В Большой Советской Энциклопедии дается следующее определение понятия «гармония»:

«Гармония — соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в единое органическое целое. В гармонии получают внешнее выявление внутренняя упорядоченность и мера бытия».

«Золотая пропорция» — это понятие математическое и ее изучение – это прежде всего задача науки. Но она же является критерием гармонии и красоты, а это уже категория искусства и эстетики, которая изучает гармонию и красоту с математической точки зрения.

В классике изобразительного искусства на протяжении многих веков прослеживается приём построения пропорции, называемый золотым сечением, или золотым числом. (этот термин ввел Леонардо да Винчи).

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

  • a : b = b : c или с : b = b : а.
  • В искусстве за золотое сечение принимают число 1:1,62 или
  • = , то есть приближённое выражение отношения меньшей величины в пропорции к её большей величине.
  • Золотое число наблюдается в пропорциях гармонично развитого человека: длина головы делит в золотом сечении расстояние от талии до макушки.

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела: расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1. 618 расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1. 618 расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.

618 расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1. 618 расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1. 618 расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.

618 расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1. 618

В произведениях изобразительного искусства художники и скульпторы осознанно или подсознательно, доверяя своему тренированному глазу часто применяют соотношение размеров в золотой пропорции.

Это же явление наблюдается и в иных конструкциях природы: в спиралях моллюсков, в венчиках цветков и ещё во многих знакомых нам вещах, например, расположение листьев на побеге тоже подчиняется золотому числу!

С глубокой древности люди используют математический аппарат в повседневной жизни. Одним из них является пропорция. Она используется, начиная с приготовления пищи и заканчивая произведениями искусства, такими как скульптура, живопись, архитектура, а также в живой природе.

Источник: http://www.hintfox.com/article/proportsija-v-zhizni-cheloveka.html

Ссылка на основную публикацию