Основные понятия комбинаторики — в помощь студенту

Основные понятия комбинаторики - в помощь студенту Основные понятия комбинаторики - в помощь студенту Основные понятия комбинаторики - в помощь студенту Основные понятия комбинаторики - в помощь студенту Основные понятия комбинаторики - в помощь студенту Основные понятия комбинаторики - в помощь студенту Основные понятия комбинаторики - в помощь студенту Основные понятия комбинаторики - в помощь студенту

Основные понятия комбинаторики - в помощь студенту Размещениями из n элементов по m элементов (m

Основные понятия комбинаторики - в помощь студенту

Размещения с повторениями.

Различные кортежи длины m, составленные из элементов данного множества, содержащего n элементов, так, что эти элементы в кортеже могут повторяться, называются размещениями с повторениями из n элементов по m элементов.

Их число равно: Пример. Группа из 25 студентов сдает экзамен. Возможные оценки – 2, 3, 4, 5. Сколькими способами может быть заполнена экзаменационная ведомость? Решение: n=4, m=25. Получаем: .

Перестановки Перестановками из n элементов называются размещения из этих n элементов по n элементов. Перестановки – частный случай размещений.

Так каждая перестановка содержит все n элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов. Число перестановок из n элементов обозначают через.

Перестановки без повторений – это различные кортежи, которые можно построить из элементов данного множества, взятых ровно по одному разу:

Пример. Для дежурства в общежитии в течение учебной недели (5 дней) выделены 5 студентов. Сколькими способами можно установить очередность дежурств, если каждый студент дежурит один раз? Пример. Сколькими способами 10 человек могут встать в очередь друг за другом?

Перестановки с повторениями: это кортежи, в которых элемент повторяется раз. Пример. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «мама» ? Решение: В слове «мама» 4 буквы: n=4 Буква «м» встречается в слове 2 раза: Буква «а» — 2 раза: . По формуле получаем:

Сочетаниями из n элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Отличие сочетаний от размещений в том, что в сочетаниях не учитывается порядок элементов. Число всех сочетаний из n элементов по m элементов обозначается символом: . Сочетания без повторений (n различных элементов, взятых по m):

Пример. Для проведения экзамена создается комиссия из двух преподавателей. Сколько различных комиссий можно составить, если есть пять преподавателей? n=5, m=2 Различные неупорядоченные наборы, составленные из m элементов этого множества так, что элементы в наборе могут повторяться, и порядок их не важен, называются сочетаниями с повторениями из n по m. Их число равно:

Пример. Возьмем плоды банан, ананас, киви, яблоко и репа. Какие сочетания из этих плодов, взятых по два, можно получить? Сколько таких наборов получится, если 1) плоды в наборе не повторяются; 2) можно брать по два одинаковых плода? Решение: n=5, m=2 1) 2)

Название Размещения без повторений с повторениями Перестановки без повторений с повторениями Сочетания без повторений с повторениями Формула Характеристик а отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов (порядок важен) отличаются друг от друга только порядком следования элементов (m=n) отличаются хотя бы одним элементом (порядок не важен)

Алгоритм решения комбинаторных задач 1. 2. 3. 4.

При решении комбинаторных задач следует ответить на следующие вопросы: Из какого множества осуществляется выбор (найти n – количество элементов из которых составляются комбинации)? Определить сколько элементов в одной комбинации (найти m; если n=m – это перестановки, переходим к вопросу 4)? Важен ли порядок (изменится ли комбинация, если в ней поменять элементы местами)? если важен – это размещения , если нет – это сочетания. Возможны ли повторения элементов в одной комбинации?

Пример. В фортепианном кружке дома детского творчества занимается 10 человек, в кружке художественного слова – 15, в вокальном – 12 и в фотокружке – 20.

Сколькими способами можно составить команду из 4 чтецов, 3 пианистов, 5 певцов и одного фотографа для выезда на экскурсию? Решение: Разобьем решение задачи на подзадачи. 1.

Сначала найдем сколькими способами можно выбрать чтецов: • производим выбор из 15 человек, n=15; • выбираем 4 человека, m=4; • порядок не важен, т. е. используем правило сочетаний ; • сочетания без повторений, так как люди выбираются разные.

2. Проводя подобные рассуждения, выбираем пианистов: 3 из 10 – способов. 3. Певцов: 5 из 12 – способов. 4. Фотографа: 1 из 20 – способов. Поскольку выбор производится по всем четырем позициям, а не по одной, применяем правило произведения: . Ответ: команду можно составить 2, 595· способами.

Основоположники комбинаторики как раздела математики Блез Паскаль Пьер де Ферма 1623 – 1662 гг. 1601 – 1665 гг.

Источник: https://present5.com/lekciya-na-temu-kombinatorika-osnovnye-formuly-kombinatoriki-vypolnila/

Урок на тему "Основные понятия комбинаторики"

  • ПЛАН УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ
  • УД: Математика
  • Тема: Основные понятия комбинаторики
  • Цели:
  • — обучения:
  • создавать условия для осознанного понимания решения простейших задач на применение элементов комбинаторики; изучить формулы размещения, перестановки и сочетания; сформировать у студентов первичные умения и навыки решения задач.
  • — развития:
  • развивать познавательный интерес студентов, логическое мышление, умение применять знания в изменённой ситуации, делать выводы и обобщения; развивать умения сравнивать, систематизировать, обобщать; навыки контроля и самоконтроля.
  • — воспитания:
  • формировать научное мировоззрение у студентов, культуру математической речи, информационную и коммуникативную культуру студентов; воспитание дружелюбного отношения друг другу, умение работать в коллективе.
  • Тип учебного занятия: комбинированный урок
  • Форма учебного занятия: урок
  • Используемые технологии:
  • Элементы проблемного обучения;

Используемые методы обучения:

  • словесный: устный опрос, эвристическая беседа, публичное выступление студентов;
  • наглядный: показ иллюстраций;
  • практический: решение задач.

Используемые формы организации познавательной деятельности студентов: работа в парах, фронтальная, индивидуальная форма организации познавательной деятельности.

Читайте также:  Предпосылки появления философии - в помощь студенту

Развитие общих компетенций:

  • ОК 4. Осуществлять поиск и использовать информацию, необходимую для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
  • ОК 6. Работать в коллективе и команде, взаимодействовать с руководством, коллегами, социальными партнерами
  • ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий

Учебно-методическое обеспечение урока:

  • дидактические средства и методические средства: тексты самостоятельной работы;
  • технические средства: карточка студента, учебная доска.

Учебно-материальное оснащение:

  1. Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 класса: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). – 5-е изд. – М.: Издательский центр «Академия», 2012.

  2. Башмаков М.И. Математика: 10 класс. Сборник задач: среднее (полное) общее образование. – 3-е изд. – М.: Издательский центр «Академия», 2011.

Прогнозируемый результат:

Обучающийся должен знать:

  • Основные формулы комбинаторики;
  • Понятие факториала;

Обучающийся должен уметь:

  • решать простейшие комбинаторные задачи;
  • анализировать предложенный текст задачи;
  • работать в парах, приводить аргументы;
  • делать обоснованные выводы.

Преподаватель проверяет готовность к уроку.

Я рада приветствовать всех Вас на сегодняшнем уроке. Все мы с вами пришли на урок с разным настроением, но я надеюсь, что в конце нашего занятия у нас у всех будут только положительные эмоции. Девизом нашего занятия я предлагаю взять слова английского математика Д. Сильвестра

  1. «Число, положение и комбинация —
  2. три взаимно пересекающиеся,
  3. но различные сферы мысли,
  4. к которым можно отнести
  5. все математические идеи»
  6. Английский математик
  7. Джеймс Джозеф Сильвестр(1814-1897)
  8. Рассказ
  9. Учебная доска
  10. История
  11. 2
  12. 1
  13. Актуализация знаний, умений и навыков
  14. Прежде чем перейти к изучению нового материала, проведем небольшую разминку по ранее изученному материалу.
  15. Что называется соединениями?
  16. Группы, составленные из каких-либо элементов.
  17. Дайте определение факториала числа.

Факториал числа – это произведение натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число). Обозначается факториал восклицательным знаком.

Факториал 0 и 1 равен единице.

Вычислите факториалы следующих чисел.

3! =6 5! = 120 6! = 720 7! = 5040

Вычислите значения выражений.

5!+6! = 120+720=840

15!/ (13!(15-13)!) = 15*7=105

  • Как Вы думаете, для чего мы повторили данные понятия?
  • Демонстрация, словесный; работают самостоятельно
  • Учебная доска, карточка студента
  • Физика, психология
  • 5
  • Подготовка к активному и сознательному усвоению нового материала
  • Настроить на позитив.
  • Математику, физику и психологу задают одну и ту же задачу:
  • «Монету бросили 100 раз, и все 100 раз выпала решка.
  •  Что выпадет в 101-ый раз?»  
  •  Математик: «С вероятностью 1/2 выпадет орёл»
  • Физик: «Эксперимент показал, что должна выпасть решка»
  • Психолог: «Выпадет орёл».
  • Математик с физиком: «Но почему?»

-Ну, как же, всё решка да решка! Орлу ведь тоже хочется!

Сейчас я предлагаю Вам решить задачу.

Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

  1. ВРФ ВФР РФВ РВФ ФРВ ФВР (6)
  2. Как называются задачи такого типа?
  3. Задачи такого типа называются комбинаторными задачами.
  4. Как называется раздел математики, в котором решаются задачи на составление различных комбинаций?
  5. Комбинаторика.
  6. Как Вы думаете, какова тема нашего занятия?
  7. Какую цель можно поставить? (знакомство с новой темой, применение на практике и в жизни человека)
  8. Каковы задачи нашего занятия?
  9. Словесный, работа в парах, поиск решения задач, формулирование темы урока и задач
  10. Учебная доска, карточка студента
  11. Физика
  12. 7
  13. 2
  14. Изучение и усвоение новых знаний

Вы сейчас предложили несколько способов решения выше указанной задачи. Но есть более простой способ решения данной задачи – это решение с использованием основных понятий комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания). Давайте более подробно остановимся на каждом понятии.

1. Перестановки. Перестановками из n элементовназываются такие соединения из всех n элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.

Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn и вычисляется по формуле:

Pn = n!

Вернемся к нашей задаче. Нам известно, что туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

Pn = n! = 3! = 1*2*3=6 (способов)

Ответ: 6 способов.

Рассмотрим еще одну задачу.

В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

2. Сочетания. Сочетаниями из n элементов по k в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Количество сочетаний обозначается  и вычисляется по формулеОсновные понятия комбинаторики - в помощь студенту

Вернемся к задаче.

Основные понятия комбинаторики - в помощь студенту Основные понятия комбинаторики - в помощь студенту

Мы рассмотрели два основных понятия комбинаторики. Скажите, о каком понятии мы еще не говорили.

Размещения.

Совершенно верно – размещения.

3. Размещения. Размещениями изn элементов по k в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения. Количество размещений обозначается и вычисляется по формуле

Основные понятия комбинаторики - в помощь студенту

Предлагаю Вам составить задачу на нахождения количества размещений.

Пример.Сколько различных двузначных чисел можно составить из множества цифр , причем так, чтобы цифры числа были различны? Искомое число чисел Основные понятия комбинаторики - в помощь студенту

  • Словесный, работа в парах, эвристическая беседа
  • Карточка студента
  • 10
  • 3
  • Первичный контроль знаний
  • 1) Решение простейших комбинаторных задач
  • Студенты работают у доски, решают простейшие комбинаторные задачи.
  • Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?
Читайте также:  Занимательные уроки русского языка - в помощь студенту

В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?

Основные понятия комбинаторики - в помощь студенту способами.

Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

Основные понятия комбинаторики - в помощь студенту

  1. 2) Найти ошибки в решениях задач:
  2. Проверьте, верно, ли решены задачи:
  3. Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?
  4. С = Основные понятия комбинаторики - в помощь студенту
  5. Ответ: 56. (верно)
  6. Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова сапфир?
  7. P4=4! = 1*2*3*4 =24 (неверно)
  8. АОсновные понятия комбинаторики - в помощь студенту.

3) Студенты работают самостоятельно по вариантам. Взаимопроверка.

  • 1 вариант.
  • Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?
  • Решение. Общее число комбинаций равно числу размещений из 6 элементов по 4  Основные понятия комбинаторики - в помощь студенту
  • 2 вариант.

В группе 10 студентов. Сколькими способами можно выбрать из этой группы троих студентов для участия в конференции?

  1. Решение. Число способов равно числу сочетаний из 10 элементов по 3 элемента: 
  2. =120
  3. Самостоятельная работа, работа в парах, публичное выступление
  4. раздаточный материал (карточка с задачами)
  5. 13
  6. 4
  7. Подведение итогов занятия. Рефлексия

Подведем итоги нашего занятия. Обсуждение и выставление оценок за урок.

  • Достиг ли ты своих целей? ______________
  • Оцени степень усвоения: _______________
  • Продолжи одно из предложений:
  • “Мне понятно…
  • “Я запомнил…
  • “Мне на уроке…
  • “Я думаю…
  • Беседа
  • Карточка студента
  • 5
  • Домашнее задание

Творческое. Составить сводную таблицу по изученному материалу.

Решить задачу (дифференцированные задачи)

Задача на «3»

  1. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 5, 7.

Задачи на «4»

  1. Восемь студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?

  2. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из пяти различных по цвету отрезков материи?

Задача на «5»

  1. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было выполнять переводы с любого из шести языков на любой из них?

  1. Рассказ
  2. 2
  3. Вы молодцы!
  4. Каждый из вас «научился тому, что следует знать».
  5. Спасибо за урок!

Источник: https://infourok.ru/urok-na-temu-osnovnie-ponyatiya-kombinatoriki-1321972.html

Урок 1. Основные понятия комбинаторики

ТЕМА: Основные понятия комбинаторики.

Ответьте на вопросы письменно: (20-25 мин)

  1. Что называют факториалом? (примеры вычисления)

  2. Комбинаторика-это…

  3. Что такое соединения? виды соединений?

  4. Решить задачу 1 и задачу 2 методом подбора!

Часто в математике нужно вычислить произведение натуральных чисел по порядку, начиная с 1. Например, 1*2*3*4*5*6*7 и т.д. Чтобы запись была короче используют знак «!»

Произведением всех натуральных чисел от 1 до n называется факториалом числа n и записывается n!(читается как эн факториал)

n!=123(n−2)(n−1)n

Чему, к примеру, равны 2!, 3!, 4!, 5!, 6! ? Посчитайте в тетради!

2!= … 3!=… 4!=… 5!=… 6!=…

  • Комбинаторикой называют область математики, которая изучает вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов.
  • Комбинаторика – раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составляемой по заданным правилам.
  • Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями.
  • Различают три вида соединений: размещенияперестановки и сочетания.
  • Задачи, в которых производится подсчет возможных различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся их решением, — комбинаторикой.

Рассмотрим три основных вида соединений и формулы вычисления их количества. Для этого сначала рассмотрим 2 задачи, которые помогут нам сосредоточиться на сути новых понятий.

Задача 1. В некотором учреждении имеются две различные вакантные должности, на каждую из которых претендуют три сотрудника: A, B, C. Сколькими способами из этих трех кандидатов можно выбрать два лица на эти должности?

Задача 2. Для участия в соревнованиях требуется выбрать двоих спортсменов из трех кандидатов: A, B, C. Сколькими способами можно осуществить этот выбор?

1) Размещения.

Определение. Размещениями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

2) Перестановки.

Определение. Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n.

  1. Число перестановок из n элементов обозначается  и вычисляется по формуле:
  2. 3) Сочетания.
  3. Определение.
  4. Сочетаниями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.
  5. Число сочетаний из n элементов по m обозначают  (от французского «combination» — «сочетание») и вычисляют по формуле:

Основные понятия комбинаторики - в помощь студенту

  • Решение комбинаторных задач.
  • При решении комбинаторных задач важно научиться различать виды соединений.
  • Чтобы отличать задачи на подсчёт числа размещений от задач на подсчёт числа сочетаний, определим, важен или нет порядок в следующих выборках:
  • а) судья хоккейного матча и его помощник;
  • б) «Шесть человек останутся убирать класс!»
  • в) две серии для просмотра из многосерийного фильма.

Задача 1. Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

Задача 2. Из 30 обучающихся группы надо выбрать старосту и помощника старосты. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 3. Сколькими способами можно составить букет из трёх цветков, выбирая цветы из девяти имеющихся?

Задача 4. В группе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

  1. Домашнее задание Подготовка сообщений по темам: «Истории комбинаторики», «Комбинаторика и ее применение в реальной жизни».
  2. Проверь себя!
  3. 1.Определите вид соединений:
  4. а) Соединения из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются __________
  5. б) Соединения из m элементов по n, отличающихся друг от друга только составом элементов, называются _______________
  6. в) Соединения из m элементов по n, отличающихся друг от друга составом элементом и порядком их расположения, называются _________
  7. 2.Восстановите соответствие типов соединений и формул для их подсчёта
Читайте также:  Гарантии работникам в рамках трудового законодательства - в помощь студенту
А.сочетания
В. размещения
Основные понятия комбинаторики - в помощь студенту С. перестановки

3. Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать: а)двух дежурных; б)старосту и помощника старосты?

4. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл да косолапый Мишка задумали сыграть квартет». Сколькими способами они могут выбрать каждый для себя по одному инструменту из 10 данных различных инструментов?

Источник: https://multiurok.ru/files/urok-1-osnovnyie-poniatiia-kombinatoriki.html

Учебно-методическое пособие по теме: Комбинаторика | Социальная сеть работников образования

  • Министерство образования и науки РФ.
  • ГБОУ СПОМО Фрязинский государственный техникум электроники, управления и права.
  • КОМБИНАТОРИКА
  • Учебное пособие
  • I курс
  • Специальности 210912
  •     030912
  • г. Фрязино
  • 2012 год
  • Согласовано        Утверждаю
  • предметно – цикловой комиссией        Зам. директора по УВР

протокол №                                                                                       _______Морозова О.Н.

«___»________  201___

Председатель ПЦК

 ________ Морозова Н.Е.

Рецензент:

__________Ивонин В.И.

Преподаватель:

__________Морозова Н.Е.

  1. 2
  2. АННОТАЦИЯ
  3. Данное методическое пособие содержит  теоретический материал по теме «Комбинаторика», рекомендации по применению формул комбинаторики, разобранные с объяснениями решения задач, подборку задач для самостоятельного решения с ответами.
  4. Предназначено для самостоятельной работы студентов и для аудиторной работы преподавателя.
  5. 4
  6. ВВЕДЕНИЕ

Данная методическая разработка необходима, т.к. тема Комбинаторика опять включена в программу всех специальностей техникума.

Представляет собой теоретический материал для одного занятия, пояснительные задачи к каждому эпизоду темы. Изложения полны, но доступны.

Материал разработки можно использовать преподавателям для подготовки к занятию и студентам для самостоятельной работы, ознакомительной и для подготовки докладов и рефератов.

Т.к. на разных специальностях на эту тему отводится разное количество часов, то материал дан максимально полный и к уроку его можно отбирать или компоновать по  разному.  Изложение лекционное, поэтапное с закрепительными вопросами по каждому этапу, задачами для самостоятельной работы.

Начать надо с истории развития темы и основного определения.

Комбинаторикой называется область математики, где подсчитывается число различных комбинаций,  подчиненных тем или иным условиям и которые можно составить из элементов данного множества.

Комбинации, которые возникали при бросании кости и в других играх всегда привлекали людей. Самая древняя кость была найдена при раскопках в северном Ираке. Её возраст около 5.000 лет.

Различные игры (например, кости, лото, домино) ставят вопросы о числе исходов, способов, вариантов, т.е. комбинаторных соединений, требующих применения  серьезной математической техники.

Со временем выяснилось, что  аналогичные вопросы возникают не только в играх, но и в самых разнообразных  и внешне далеких друг от друга сферах человеческой деятельности: экономике и планировании, лингвистике и криптографии, теории стрельбы и организации движения транспорта.

  • С помощью комбинаторики и тесно связанных с ней разделов математики, таких как статистика и теория вероятностей, найдены строгие закономерности там, где их не должно было бы быть по самому смыслу – в мире случайных явлений, среди хаоса и беспорядка.
  • Родоначальники комбинаторики и теории вероятности: Б. Паскаль
  •                           П.Ферма
  •                           Я. Бернулли
  •                           П. Лаплас
  •                           Л. Эйлер

По этим фамилиям видно, что комбинаторика не является древним разделом математики. Интерес к ней и ее включение в программу связанно с наступлением компьютерной эры, повышением роли дискретной математики, имеющей дело с множествами.

  1. 6
  2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
  3. КОМБИНАТОРИКА, ЕЁ ПРАВИЛА И ВИДЫ.

Если во множестве есть элементы, то их можно комбинировать друг с другом по различным свойствам и правилам. Это и есть комбинаторика – подсчет числа различных соединений элементов. Существует два основных правила: правило суммы и правило произведения.

Правила суммы: Если объект А можно выбрать К способами, а объект В – L способами, то объект   А либо В можно выбрать К+L способами.

Пример: В первом ящике 8 шаров, во втором – 5. Сколько существует способов извлечь шар или из первого или из второго ящика. Ответ: 8+5=13 способов.

Правило произведения: Если объект А можно выбрать К способами, а после этого другой объект В – L способами, то пары объектов и А и В можно выбрать К∙L способами.

Пример: В первом ящике 8 шаров, во втором – 5. Сколько существует способов извлечь один шар из первого и один из второго ящика. Ответ: 8∙5=40 способов, т.к. на каждый из 8 способов достать шар из первого ящика, существует 5 способов достать шар из второго, что видно из рисунка 1.

Источник: https://nsportal.ru/npo-spo/estestvennye-nauki/library/2013/09/13/kombinatorika

Ссылка на основную публикацию