Обратная пропорциональность — в помощь студенту

Обратная пропорциональность - в помощь студентуОбратная пропорциональность - в помощь студенту

Одно из основных понятий курса математики в 6 классе – это прямая и обратная пропорциональность. Если некоторая величина (время, масса, цена) изменяется, и одновременно другая величина (расстояние, объем, затраты) тоже меняется, то величины находятся в зависимости между собой, то есть пропорциональны друг другу.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Взаимосвязь между величинами не всегда означает наличие пропорциональности. Так, высота дерева растет с его возрастом, но не во столько же раз. Составление пропорций помогает решить многие задачи как в математике, так и на практике.

Прямая пропорциональность

Если при изменении одного параметра другой изменяется таким же образом, то эти величины прямо пропорциональны друг другу. В этой пропорции увеличение расстояния вдвое означает увеличение времени также двукратно.

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Например, при движении автомобиля с постоянной скоростью, время, затраченное на преодоление расстояния, будет прямо пропорционально этому расстоянию. То есть, если 50 км автомобиль проедет за 1 час, то 100 км с той же скоростью он преодолеет за 2 часа.

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

  • Эта зависимость описывается следующей формулой:
  • y = k * x.
  • Здесь k и называется коэффициентом пропорциональности.

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Графически функция изображается прямой, которая пройдет через начальную точку координат. Строят график следующим образом: находят одну точку, затем чертят прямую через эту точку и начало координат.

Пример построения

Нужно построить график у = 3х. Подставляем вместо х единицу, вычисляем y = 3, то есть находим координаты (1; 3). Отмечаем эту точку на координатной плоскости, проводим прямую линию через нее и точку (0; 0).

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Теория возмущения молекулярных орбиталей - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Вот так будет выглядеть график y = k * x при k > 0 (слева) и при k < 0 (справа).

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Свойства функции прямой пропорциональности

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Основные свойства следующие:

  • область определения, значений составляют все действительные числа;
  • является нечетной;
  • возрастает при всех значениях x, если k > 0;
  • если коэффициент со знаком «-», т. е. если k < 0, то убывает;
  • если k > 0, то прямая располагается в 1 — 3 координатных четвертях и образует острый угол с осью Х, если k < 0, то прямая находится во 2 - 4 четвертях и образует тупой угол с осью Х.

Обратная пропорциональность

Рост одного параметра ведет к уменьшению другого в такое же количество раз, и наоборот, при уменьшении одной величины другая увеличивается во столько же. Это значит, что они обратно пропорциональны друг другу.

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Пример: трое рабочих выполнят порученную им работу за 2 часа, а 6 человек такое же задание осилят за 1 час. То есть двукратное увеличение числа работников привело к уменьшению затраченного времени вдвое. Конечно, если прочие факторы неизменны (производительность труда, условия работы).

  1. Функция задается формулой:

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

где k – любое действительное число, кроме 0.

График данной зависимости — это гипербола, ее ветви находятся в 1 и 3 четвертях системы координат при k > 0, или во 2 и 4, если коэффициент меньше 0. Ветви гиперболы симметричны относительно точки (0; 0).

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Строят график так: нужно задать значения х, затем вычислить значения у, результаты оформить в виде таблицы. Верхняя строка таблицы заполняется значениями х, нижняя — y.

Пример построения

  • Нужно построить график функции y = 8/x. 
  • Вот так выглядит таблица для данной функции:
  1. Полученные точки отмечают на координатной плоскости, затем соединяют плавной линией. График будет выглядеть так:

Свойства функции обратной пропорциональности

Основные следующие:

  • области определения, значений функции D(y) – это все действительные числа, кроме 0, т. е. D(y):= x ≠ 0;
  • если коэффициент больше 0, функция является убывающей для всех x; если меньше 0, то y увеличивается для любых значений x;
  • оси координат 0х и 0у — это асимптоты по отношению к ветвям гиперболы, которые приближаются к ним, но не достигают их.

К составлению математических пропорций во многих случаях сводится решение самых разнообразных задач. Например, покупая 1 булочку по определенной цене, подсчитывают затраты на 4 булочки – получается в 4 раза больше. 

Ускоряют шаг при ходьбе в 2 раза – достигнут цели вдвое быстрее. Вводят второго кассира в магазине – убывает очередь вдвое. Во всех этих случаях и им подобным применима теория о прямой и обратной пропорциональности.

Источник: https://nauka.club/matematika/pryamaya-i-obratnaya-proportsionalnost.html

Обратная зависимость. Подробная теория с примерами (2020)

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Сейчас мы будем говорить об обратной зависимости, или другими словами – обратной пропорциональности, как о функции. Ты помнишь, что функция – это определенного рода зависимость? Если ты еще не читал тему «Функции», настоятельно рекомендую бросить все и прочитать, ведь нельзя изучать какую-либо конкретную функцию, не понимая, что это такое – функция.

Также очень полезно перед началом этой темы освоить две более простые функции: линейную и квадратичную. Там ты закрепишь понятие функции и научишься работать с коэффициентами и графиками.

Итак, ты вспомнил, что такое функция? Повторим: функция — это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).

То есть, если у тебя есть функция  , это значит что каждому допустимому значению переменной   (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной   (называемой «функцией»).

Что значит «допустимому»? Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции»! Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы одинаково полезны можно подставить в зависимость. Например, для функции   отрицательные значения аргумента   – недопустимы.

Функция, описывающая обратную зависимость

Это функция вида  , где  .

По-другому ее называют обратной пропорциональностью: увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции. Давай определим область определения. Чему может быть равен  ? Или, по-другому, чему он не может быть равен?

  • Единственное число, на которое нельзя делить – это  , поэтому  :
  • или, что то же самое,
  • (такая запись означает, что   может быть любым числом, кроме  : знак « » обозначает множество действительных чисел, то есть всех возможных чисел; знаком « » обозначается исключение чего-нибудь из этого множества (аналог знака «минус»), и число   в фигурных скобках означает просто число  ; получается, что из всех возможных чисел мы исключаем  ).
  • Множество значений функции, оказывается, точно такое же: ведь если  , то на что бы мы его не делили,   не получится:
  •   или  .

Также возможны некоторые вариации формулы  . Например,   – это тоже функция, описывающая обратную зависимость. Определи самостоятельно область определения и область значений этой функции. Должно получиться:

Давай посмотрим на такую функцию:  . Является ли она обратной зависимостью?

  1. На первый взгляд сложно сказать: ведь при увеличении   увеличивается и знаменатель дроби, и числитель, так что непонятно, будет ли функция уменьшаться, и если да, то будет ли она уменьшаться пропорционально? Чтобы понять это, нам необходимо преобразовать выражение таким образом, чтобы в числителе не было переменной:
  2.  .
  3. Действительно, мы получили обратную зависимость, но с оговоркой:  .
  4. Вот еще пример:  .
  5. Тут сложнее: ведь числитель и знаменатель теперь уж точно не сокращаются. Но все-же мы можем попробовать:

Ты понял, что я сделал? В числителе я добавил и вычел одно и то же число ( ), таким образом я вроде бы ничего не изменил, но теперь в числителе есть часть, равная знаменателю. Теперь я почленно поделю, то есть разобью эту дробь на сумму двух дробей:

(и правда, если привести то что у меня получилось к общему знаменателю, получится как-раз наша начальная дробь):

Ух ты! Снова получается обратная зависимость, только теперь к ней еще прибавляется число  . Этот метод нам очень пригодится позже при построении графиков.

  • А теперь самостоятельно приведи выражения к виду обратной зависимости:
  • Ответы:
  • 1.  

2. Здесь нужно вспомнить, как квадратный трехчлен раскладывается на множители (это подробно описано в теме «Разложение на множители»). Напомню, что для этого надо найти корни соответствующего квадратного уравнения:  . Я найду их устно с помощью теоремы Виета:  ,  . Как это делается? Ты можешь научиться этому, прочитав тему «Квадратные уравнения». Итак, получаем:  , следовательно:

3. Ты уже попробовал решить сам? В чем загвоздка? Наверняка в том, что в числителе у нас  , а в знаменателе – просто  . Это не беда. Нам нужно будет сократить на  , поэтому в числителе следует вынести   за скобки (чтобы в скобках   получился уже без коэффициента):

  дальше сам. Ответ:  .

График обратной зависимости

Как всегда, начнем с самого простого случая:  . Составим таблицу:

Нарисуем точки на координатной плоскости:

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Теперь их надо плавно соединить, но как? Видно, что точки в правой и левой частях образуют будто бы несвязанные друг с другом кривые линии. Так оно и есть. График будет выглядеть так:

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Этот график называется «гипербола» (есть что-то похожее на «параболу» в этом названии, правда?). Как и у параболы, у гиперболы две ветки, только они не связаны друг с другом. Каждая из них стремится своими концами приблизиться к осям   и  , но никогда их не достигает. Если посмотреть на эту же гиперболу издалека, получится такая картина:

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Оно и понятно: так как  , график не может пересекать ось  . Но и  , так что график никогда не коснется и оси  .

Ну что же, теперь посмотрим, на что влияют коэффициенты. Рассмотрим такие функции:  :

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Ух ты, какая красота! Все графики построены разными цветами, чтобы легче было их друг от друга отличать.

Итак, на что обратим внимание в первую очередь? Например, на то, что если у функции перед дробью стоит минус, то график переворачивается, то есть симметрично отображается относительно оси  .

Второе: чем больше число в знаменателе, тем дальше график «убегает» от начала координат.

А что, если функция выглядит сложнее, например,  ?

В этом случае гипербола будет точно такой же, как обычная  , только она немного сместится. Давай думать, куда?

Чему теперь не может быть равен  ? Правильно,  . Значит, график никогда не достигнет прямой  . А чему не может быть равен  ? Теперь  .

Значит, теперь график будет стремиться к прямой  , но никогда ее не пересечет. Итак, теперь прямые   и   выполняют ту же роль, которую выполняют координатные оси для функции  .

Такие прямые называются асимптотами (линии, к которым график стремится, но не достигает их):

Читайте также:  Предпосылки образования государства в древней руси - в помощь студенту

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Более подробно о том, как строятся такие графики, мы выучим в теме «Построение графика обратной зависимости».

А теперь попробуй решить несколько примеров для закрепления:

1. На рисунке изображен график функции  . Определите  .

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

2. На рисунке изображен график функции  . Определите  

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

3. На рисунке изображен график функции  . Определите  .

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

4. На рисунке изображен график функции  . Определите  .

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

5. На рисунке приведены графики функций   и  .

  1. Выбери верное соотношение:
  2. a.  
  3. b.  
  4. c.  
  5. d.  

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

  • Ответы:
  • 1.  
  • 2.  
  • 3.  
  • 4.  
  • 5.  

Обратная зависимость в жизни

Где же нам встречается такая функция на практике? Примеров множество. Самый распространенный – это движение: чем больше скорость, с которой мы движемся, тем меньшее время нам потребуется, чтобы преодолеть одно и то же расстояние. И правда, вспомним формулу скорости:  , где   – скорость,   – время в пути,   – расстояние (путь).

Отсюда можно выразить время:  

Пример:

Человек едет на работу со средней скоростью   км/ч, и доезжает за   час. Сколько минут он потратит на эту же дорогу, если будет ехать со скоростью   км/ч?

Решение:

Вообще, такие задачи ты уже решал в 5 и 6 классе. Ты составлял пропорцию:

  км/ч –   мин.   км/ч –   мин.

Далее ты определял, что это обратная пропорциональность, так как чем больше скорость, тем меньше время. Значит, чтобы решить эту пропорцию, нужно поделить числа «крест-накрест»:

 (мин).

То есть понятие обратной пропорциональности тебе уже точно знакомо. Вот и вспомнили. А теперь то же самое, только по-взрослому: через функцию.

  1. Функция (то есть зависимость) времени в минутах от скорости:
  2.  .
  3. Известно, что  , тогда:
  4.  .
  5. Нужно найти  :
  6.   (мин).

Теперь придумай сам несколько примеров из жизни, в которых присутствует обратная пропорциональность. Придумал? Молодец, если да. Удачи!

Обратная зависимость. коротко о главном

  • 1. Определение
  • Функция, описывающая обратную зависимость — это функция вида  , где  .
  • По-другому эту функцию называют обратной пропорциональностью, так как увеличение аргумента вызывает пропорциональное уменьшение функции.
  • При этом  
  •   или, что то же самое,  
  • График обратной зависимости — гипербола.

2. Коэффициенты  ,   и  .

  – отвечает за «пологость» и направление графика: чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок). Знак коэффициента   влияет на то, в каких четвертях расположен график:

  • если  , то ветви гиперболы расположены в   и   четвертях;
  • если  , то во   и  .
  1. x=a – это вертикальная асимптота,то есть вертикаль, к которой стремится график.
  2. Число   отвечает за смещение графика функции вверх на величину  , если  , и смещение вниз, если  .
  3. Следовательно,   – это горизонтальная асимптота.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

  • Стать учеником YouClever,
  • Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
  • А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/obratnaya-zavisimost-1

Прямая и обратная пропорциональные зависимости

  • Сегодня на уроке мы продолжим работать с пропорциями, а точнее познакомимся с прямой и обратной пропорциональными зависимостями.
  • Задача
  • Сколько нужно сахара, чтобы сварить варенье из 5 кг черешни, если по рецепту на 2 кг ягод нужно 3 кг сахара?
  • Решение:

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Из решения видно, что во сколько раз больше имеется черешни, во столько раз больше понадобится сахара. 

Эту же задачу можно решить и при помощи пропорции. Запишем кратко условие задачи в виде таблицы, обозначив за неизвестную нам массу сахара буквой х.

Смотрите, у нас есть столбик, где мы будем записывать массу ягод, и столбик, где мы укажем соответствующую массу сахара на массу ягод. Итак, по условию задачи известно, что по рецепту на 2 кг ягод нужно 3 кг сахара.

Нам нужно узнать, сколько кг сахара потребуется на 5 кг ягод.

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Такая зависимость между массой ягод и массой сахара условно обозначается в таблице одинаково направленными стрелками. Их направление говорит о том, что если первая величина возрастает (стрелка вверх), то и вторая тоже возрастает (стрелка тоже вверх).

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Задача

Велосипедист, двигаясь с постоянной скоростью, проехал 10 км за 20 минут. Какой путь проедет велосипедист за 50 минут?

Решение: для наглядности запишем кратко условие задачи в виде таблицы.

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Понятно, что путь увеличится во столько раз, во сколько раз увеличится время. Ставим стрелки в одном направлении.

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Такие величины, как масса ягод для варенья и масса сахара, время и пройденный за это время при постоянной скорости путь, и т.д. называют прямо пропорциональными величинами.

  1. Определение
  2. Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
  3. Задача

Автомобиль ехал 3 часа со скоростью 60 км/ч. За какое время он продет это же расстояние, если будет ехать со скоростью 90 км/ч?

Решение:

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Из решения видно, что во сколько раз скорость автомобиля больше, во столько раз меньше времени тратится на этот же путь. 

Эту же задачу решим при помощи пропорции. Запишем в таблицу кратко условие задачи. За х обозначим неизвестное нам время.

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Понятно, что чем больше скорость автомобиля, тем меньше времени ему понадобится на преодоление этого же пути.

Такая зависимость между скоростью и временем, затраченным на пройденный путь, условно обозначается в таблице противоположно направленными стрелками.

Их направление говорит о том, что если первая величина возрастает (стрелка вверх), то вторая убывает (стрелка вниз). Составим пропорцию. Т.к. стрелки направлены в разные стороны, то второе отношение перевернём.

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Задача

5 рабочих выполнили заказ за 132 часа. За какое время этот же заказ смогут выполнить 12 рабочих?

Решение:

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Понятно, что чем больше будет задействовано рабочих, тем быстрее выполнится заказ. Значит, ставим стрелки в противоположном направлении. Составим пропорцию:

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Такие величины, как скорость автомобиля и время, за которое он проедет определённый путь, число работников и время, за которое они выполняют заказ, и т.д. называют обратно пропорциональными величинами.

  • Определение
  • Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
  • Не всякие две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными.

Например, возраст человека и размер его обуви не связаны пропорциональной зависимостью. Зависимость между величинами есть. Размер обуви с возрастом увеличивается, но не во столько же раз.

Возраст дерева и его высота не связаны пропорциональной зависимостью. В этом случае зависимость между величинами есть. Действительно, высота дерева с возрастом увеличивается, но не во столько же раз.

Источник: https://videouroki.net/video/22-priamaia-i-obratnaia-proportsional-nyie-zavisimosti.html

Прямая и обратная пропорциональная зависимость

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Проще всего понять прямо пропорциональную зависимость на примере станка, изготавливающего детали с постоянной скоростью. Если за два часа он делает 25 деталей, то за 4 часа он изготовит деталей вдвое больше — 50.

Во сколько раз дольше времени он будет работать, во столько же раз больше деталей он изготовит.

  • Математически это выглядит так:                      
  •   4 : 2 = 50 : 25    или так:         2 : 4 = 25 : 50
  • Прямо пропорциональными величинами тут являются  время работы станка и число изготовленных деталей. 
  • Говорят: Число деталей прямо пропорционально времени работы станка.
  • Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих величин равны. (В нашем примере — это отношение времени 1 к времени 2 = отношению количества деталей за время 1 к количеству деталей за время 2)

 Обратная пропорциональность

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Обратно пропорциональная зависимость часто встречается в задачах на скорость. Скорость и время являются обратно пропорциональными величинами.

Действительно, чем быстрее движется объект, тем меньше времени у него уйдет на путь.

Например:Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины (скорости в нашем примере) равно обратному отношению другой величины ( времени в нашем примере). ( В нашем примере — отношение первой скорости к второй скорости равно отношению второго времени к первому времени.

Задача 1:

Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?
  1. Решение:
  2. Запишем краткое условие задачи:Обратная пропорциональность - в помощь студенту
  3. Задача 2:
Для перевозки груза потребовалось 24 машины грузоподъемностью 7,5 тонн. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз?
  • Решение: 
  • Краткая запись:
  • Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Если у вас не открываются игры или тренажёры, читайте здесь.

Источник: http://kid-mama.ru/pryamaya-i-obratnaya-proporcionalnaya-zavisimost/

Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность занимает куда больше времени при изучении, нежели прямая. Поэтому ученикам стоит быть готовым к тому, что обратная пропорциональность потребует времени и усилий для решения задач. Главное, помнить основные определения и быть внимательным при решении задач.
Обратная пропорциональность - в помощь студенту

Пропорциональностью зовется зависимость одного числа от другого. Например, если в кошельке у человека определенное количество денег, а он покупает конфеты, то при увеличении цены на конфеты, уменьшиться число конфет, которые человек сможет купить.

Можно выделить две разновидности пропорциональностей:

  • Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одно числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.
  • Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.

Несколько раз в определении повторялась фраза «в столько же раз». Бывают ситуации, в особенности в физике, когда величины пропорциональны, но не имеют ярко выраженного коэффициента пропорциональности. Например, температура ведет к увеличению внутренней энергии тела, но не прямо пропорционально. В таких ситуациях говорят, что числа пропорциональны.

И прямую и обратную пропорциональность проще рассматривать на задачах движения. Представим себе автомобиль, который едет со скоростью 90 км в час. Если примем расстояние между двумя городами за 180 км, то такой путь машина должна проехать за 2 часа. Пока все понятно.

Но что будет, если водитель поспешит и увеличит скорость до 180 км/ч, то требуемый отрезок пути он проедет быстрее. То есть на тоже расстояние водитель потратит не 2 часа, а 1. То есть, увеличение скорости привело к уменьшению времени в дороге.

А что будет, если водитель уменьши скорость в два раза? Со 120 км/ч до 60 км/ч? Значит, время в пути увеличится так же в два раза и будет составлять не 2, а 4 ч. Так уменьшение скорости привело к увеличению времени в пути.

Для любой зависимости можно построить график функции.

Что такое функция? Это зависимость двух чисел. Одно из них, как правило, у, зовется функцией и зависит от х, то есть аргумента.

  • Если представить обратную пропорциональность в виде формулы, то это будет выглядеть так:
  • у=к:х, где у – зависимое число или функция
  • х – независимое число или аргумент
  • к – постоянная величина, которая называется коэффициентом обратной пропорциональности.

Кстати, для приведенного нами примера, коэффициентом обратной пропорциональности является величина пути между двумя городами, которую мы сделали постоянной. Если бы величина пройденного пути была плавающей, то обратной пропорциональности не получилось бы.

В качестве примера, проверим, насколько верно работает приведенная формула и действительно ли она отображает обратную пропорцию. Выберем коэффициент пропорциональности, например число 3. Тогда функция примет вид:

у=3:х. В качестве первого значения х выберем число 6, тогда у=0,5. Если мы уменьшим число х в 2 раза, то получится число 3, которому соответствует у=1.

То есть в результате уменьшения х в два раза, у в два раза увеличился, что полностью соответствует определению обратной пропорциональности.

Для построения графика требуется несколько точек, поэтому, если по условиям задачи нужны построения, лучше записывать все значения в таблицу.

Особенно отметим, что коэффициент пропорциональности не может равняться нулю или быть отрицательным числом. А аргумент не может быть равным нулю, но отрицательным числом быть может.

Мы поговорили о том, что такое пропорциональность. Разделили определение обратной пропорциональности и прямой пропорциональности. Привели пример обратной пропорциональной зависимости. А также записали формулу обратной пропорциональности.

Средняя оценка: 4.7. Всего получено оценок: 57.

Источник: https://obrazovaka.ru/matematika/obratnaya-proporcionalnost-formula.html

Урок 23 Получить доступ за 50 баллов Прямая и обратная пропорциональные зависимости

На этом уроке мы рассмотрим, что такое прямая и обратная пропорциональные зависимости, научимся оформлять и решать задачи с помощью пропорции, устанавливая пропорциональную зависимость между величинами в ней, рассмотрим примеры задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость.

  • Давайте сначала разберемся, что такое пропорциональность.
  • Пропорциональность — это зависимость двух величин друг от друга таким образом, что значение отношения этих величин остается постоянным.
  • Зависимость величин друг от друга может быть прямой и обратной.
  • Отношение между величинами описываются прямой или обратной пропорциональностью.
  • Прямая пропорциональность выражается так: (mathbf{y = kx})
  • Обратная пропорциональность выражается так: (mathbf{y = frac{k}{x}})
  • где — это число, которое называют коэффициентом пропорциональности.
  • x и y величины, зависящие друг от друга.
  • Пример
  • Площадь прямоугольника равна (mathbf{S = a cdot b}), где S— это площадь прямоугольника, а — длина прямоугольника, b — ширина прямоугольника.
  • Если один из множителей произведения — постоянная величина, то произведение прямо пропорционально второму множителю.
  • Если постоянно значение произведения, то множители зависят друг от друга обратно пропорционально.
  • По формуле видно, что площадь квадрата зависит от длины (ширины) его стороны, а длина стороны (ширина) зависит от его площади.
  • Какова эта зависимость, сейчас и рассмотрим.
  • (mathbf{S = a cdot b})
  • Зависимость площади прямоугольника от длины при постоянном значении ширины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.
  • Зависимость площади прямоугольника от ширины при постоянном значении длины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.
  • (mathbf{a = frac {S}{b}}) или (mathbf{b = frac {S}{a}})
  • Пусть одна клетка равна 1 см. Рассмотрим рисунок:
  1. Ширина прямоугольника b постоянная величина
  2. b = 4 см
  3. a1 = 6 см
  4. Увеличим ширину прямоугольника — сторону a1 на 1 см, получим
  5. a2 = 7 см
  • Найдем площади прямоугольников S1 и S2
  • (mathbf{S_{1} = a_{1} cdot b = 6 cdot 4 = 24}) см2
  • (mathbf{S_{2} = a_{2} cdot b = 7 cdot 4 = 28})  см2
  • Вывод: при увеличении стороны прямоугольника увеличилась площадь прямоугольника.
  • Рассмотрим другой вариант зависимости
  • Зависимость одной из сторон прямоугольника от второй стороны при постоянном значении площади прямоугольника является обратно пропорциональной зависимостью. Пусть одна клетка равна 1 см
  1. Площадь прямоугольника S постоянная величина
  2. S = 24 см2
  3. b1 = 4 см
  4. (mathbf{a_{1} = frac{S}{b_{1}} = 6}) (см)
  5. Увеличим высоту прямоугольника- сторону прямоугольника b1 на 2 см, получим
  6. b2 = 6 см
  7. Найдем ширину прямоугольника- сторону a2
  8. (mathbf{a_{2} = frac{S}{b_{2}} = 4}) (см)
Читайте также:  Учет финансовых вложений в ценные бумаги - в помощь студенту

Вывод: при увеличении одной стороны прямоугольника и постоянном значении площади, вторая сторона уменьшается.

Таким образом, мы подошли к основным понятиям пропорциональной зависимости. Чтобы было легко разобраться в несложных схемах ниже, мы дадим пояснение символам:

Итак:

1)    Две величины прямо пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, так же увеличивается (уменьшается) в n количество раз.

2)    Две величины обратно пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, уменьшается (увеличивается) в n количество раз.

  • Примеров прямой и обратной пропорциональности множество.
  • Однако не все величины зависят друг от друга прямо пропорционально или обратно пропорционально, встречаются и более простые и более сложные зависимости величин.
  • Надо понимать, что даже если какие-нибудь две величины возрастают или убывают, то между ними не обязательно существует пропорциональная зависимость.
  • Например, с течением времени увеличивается возраст человека и его размер ноги, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста размер ноги человека не удваивается

Алгоритм решения задач на пропорциональную зависимость состоит из нескольких основных пунктов:

  1. Обозначить буквой значение неизвестной величины (чаще всего для этого выбирают латинскую букву Х)
  2. Проанализировать задачу и кратко записать ее условия (краткую запись можно делать в виде таблицы или изображать в виде логической схемы)
  3. Установить зависимость между величинами
  4. В краткой записи задачи обозначить стрелками пропорциональную зависимость
  1. — Стрелки, которые направлены в одну сторону, обозначают прямую пропорциональную зависимость величин
  2. — Стрелки, которые направлены в разные стороны, обозначают обратную пропорциональную зависимость величин.
  3.         5. Записать пропорцию, учитывая характер пропорциональности величин
  4.         6. Составить уравнение
  5.         7. Найти неизвестный член уравнения (искомую величину)
  6.         8. Записать ответ задачи
  7. Важно помнить, что при составлении краткой записи задачи величины с одинаковыми единицами измерения записывают друг под другом.
  8. Если между величинами прямая пропорциональная зависимость, то пропорция составляется точно в соответствии с краткой записью задачи.
  9. Если между величинами обратная пропорциональная зависимость, то при составлении пропорции одноименные величины меняются местами в одном любом из столбцов таблицы (логической схемы) краткой записи задачи.
  10. Другими словами, при прямо пропорциональной зависимости отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.
  11. При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
  • Рассмотрим некоторые варианты задач на пропорциональную зависимость, в которых величины зависят прямо пропорционально одна от другой.
  • Задача 1
  • Для приготовления из 3 кг черной смородины по рецепту требуется 3,3 кг сахара.
  • Сколько сахара потребуется для приготовления варенья из 5 кг черной смородины?
  1. Решение:
  2. Пусть х (кг) сахара потребуется для приготовления варенья из 5 кг ягод.
  3. Составим краткую запись задачи в виде таблицы:
  • Определим, как зависят масса сахара и масса ягод.
  • Чем больше ягод, тем больше нужно сахара, следовательно, между величинами прямо пропорциональная зависимость.
  • В таблице вертикальными стрелками изображаем прямо пропорциональную зависимость величин.
  • Так как зависимость величин прямо пропорциональная, составим пропорцию в точном соответствии с таблицей.
  • Отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.
  • Получим (mathbf{frac{3,3}{x} = frac{3}{5}})
  • Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:
  • (mathbf{{3}cdot{x} = {5}cdot{3,3}})
  • (mathbf{ {x} = {(5}cdot{3,3)}div{3}})
  • (mathbf{ {x} = {5,5}}) (кг) сахара потребуется для приготовления варенья из 5 кг ягод.
  • Ответ: (mathbf{ {x} = {5,5}})  (кг)
  • Задача 2
  • Автомобиль, двигаясь с постоянной скоростью, проехал 400 км за 5 часов.
  • За какое время автомобиль проедет 600 км?
  1. Решение:
  2. Пусть х (ч) – время, за которое автомобиль проедет 600 км.
  3. Составим краткую запись задачи в виде таблицы:
  • Определим, как зависят величины S от t, где — это путь, а — это время.
  • Так как движение происходит с постоянной скоростью, то (mathbf{ {S} = {V}cdot{t}}).
  • Чем больше расстояние, тем больше требуется времени для преодоления этого расстояния, значит, зависимость между величинами S и t прямо пропорциональная.
  • Изображаем в таблице краткой записи задачи вертикальными стрелками прямо пропорциональную зависимость величин.
  • Так как зависимость величин прямо пропорциональная, составим пропорцию в точном соответствии с таблицей.
  • Отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.
  • Получим (mathbf{frac{5}{x} = frac{400}{600}})
  • Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:
  • (mathbf{ {400}cdot{x} = {5}cdot{600}})
  • (mathbf{ {x} = {(5}cdot{600)}div{400}})
  • (mathbf{ {x} = {7,5}})   (ч) время, за которое автомобиль проедет 600 км
  • Ответ: (mathbf{ {x} = {7,5}})  (ч)
  • Примеры решения задач, в которых величины зависят обратно пропорционально одна от другой.
  • Задача 1
  • Для перевозки гравия потребовалось 42 машины грузоподъемностью т.
  • Сколько нужно машин грузоподъемностью т, чтобы перевезти тот же объем гравия?
  1. Решение:
  2. Пусть х (шт) — это количество машин грузоподъемностью 7 т, необходимых для перевозки груза.
  3. Краткую запись задачи оформим в виде таблицы:
  • Определим, как зависят величины друг от друга.
  • Чем больше грузоподъемность машины, тем меньше машин потребуется для перевозки груза.
  • Получаем обратно пропорциональную зависимость.
  • Изображаем на краткой записи задачи вертикальными стрелками, направленными в разные стороны, обратно пропорциональную зависимость величин.
  • При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
  • А это значит, что при составлении пропорции одно из отношений получится перевернутым.
  • Получим (mathbf{frac{42}{x} = frac{7}{5}})
  • Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:
  • (mathbf{ {7}cdot{x} = {42}cdot{5}})
  • (mathbf{ {x} = {(42}cdot{5)}div{7}})

(mathbf{ {x} = {30}}) (шт.) машин грузоподъёмностью 7 т понадобится для перевозки гравия.

Ответ: (mathbf{ {x} = {30}})  (шт.)

Задача 2

Велосипедист проехал путь от дачи до дома за час со скоростью 10 км/ч. Сколько понадобится времени велосипедисту на преодоление этого пути со скоростью 20 км/ч?

Решение:

Пусть х (ч) время велосипедиста, если он будет двигаться со скоростью 20 км/ч. Составим краткую запись задачи в виде таблицы:

  1. Определим, как зависят V и t, где V— скорость движения велосипедиста, t— время движения.
  2. Чем больше скорость велосипедиста, тем меньше времени ему потребуется для преодоления пути.
  3. Получаем обратно пропорциональную зависимость величин друг от друга.
  4. Изображаем на краткой записи задачи вертикальными стрелками, направленными в разные стороны, обратно пропорциональную зависимость величин.
  5. При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
  6. А это значит, при составлении пропорции одно из отношений получаем перевернутым.
  7. Получим  (mathbf{frac{x}{1} = frac{10}{20}})
  8. Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:
  9. (mathbf{ {20}cdot{x} = {10}cdot{1}})
  10. (mathbf{ {x} = {(10}cdot{1)}div{20}})
  11. (mathbf{ {x} = {0,5}}) (ч) время велосипедиста, если он будет двигаться со скоростью 20 км/ч.
  12. Ответ: (mathbf{ {x} = {0,5}}) (ч)

Обратная пропорциональность - в помощь студенту

  • Видео
  • Изображения
  • Дополнительная информация
  • Таблицы
  • Тесты

Получить доступ

Источник: https://ladle.ru/education/matematika/6class/pryamaya-i-obratnaya

Прямая и обратная пропорциональность

Пропорциональность – это зависимость одной величины от другой, при которой изменение одной величины приводит к изменению другой во столько же раз.

Пропорциональность величин может быть прямой и обратной.

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность – это зависимость двух величин, при которой одна величина зависит от второй величины так, что их отношение остаётся неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными или просто пропорциональными.

  • Рассмотрим пример прямой пропорциональности на формуле пути:
  • s = vt
  • где s – это путь, v – скорость, а t – время.
  • При равномерном движении путь пропорционален времени движения. Если взять скорость v равной 5 км/ч, то пройденный путь s будет зависеть только от времени движения t:
Скорость v = 5 км/чВремя t (ч)

Путь s (км)

1 2 4 8 16
5 10 20 40 80

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается время движения t, во столько же раз увеличивается пройденное расстояние s. В примере мы увеличивали время каждый раз в 2 раза, так как скорость не менялась, то и расстояние увеличивалось тоже в два раза.

В данном случае скорость (v = 5 км/ч) является коэффициентом прямой пропорциональности, то есть отношением пути ко времени, которое остаётся неизменным:

s   =  v,   следовательно,    5  =  10  =  20  =  40  =  80  = 5
t 1 2 4 8 16

Если время движения остаётся неизменным, то при равномерном движении расстояние будет пропорционально скорости:

Время t = 2 чСкорость v (км/ч)

Расстояние s (км)

5 15 45 90
10 30 90 180

В этом примере коэффициентом прямой пропорциональности, то есть, отношением пути к скорости, которое остаётся неизменным, является время (t = 2 ч):

s   =  t,   следовательно,    10  =  30  =  90  =  180  = 2
v 5 15 45 90
  1. Из данных примеров следует, что две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.
  2. Формула прямой пропорциональности:
  3. y = kx
  4. где y и x – это переменные величины, а k – это постоянная величина, называемая коэффициентом прямой пропорциональности.
  5. Коэффициент прямой пропорциональности – это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x равное одному и тому же числу.
  6. Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность – это зависимость двух величин, при которой увеличение одной величины приводит к пропорциональному уменьшению другой. Такие величины называются обратно пропорциональными.

  • Рассмотрим пример обратной пропорциональности на формуле пути:
  • s = vt
  • где s – это путь, v – скорость, а t – время.
  • При прохождении одного и того же пути с разной скоростью движения время будет обратно пропорционально скорости. Если взять путь s равным 120 км, то потраченное на преодоление этого пути время t будет зависеть только от скорости движения v:
Путь s = 120 кмСкорость v (км/ч)

Время t (ч)

10 20 40 80
12 6 3 1,5

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается скорость движения v, во столько же раз уменьшается время t. В примере мы увеличивали скорость движения каждый раз в 2 раза, а так как расстояние, которое нужно преодолеть, не менялось, то количество времени на преодоление данного расстояния сокращалось тоже в два раза.

  1. В данном случае путь (s = 120 км) является коэффициентом обратной пропорциональности, то есть произведением скорости на время:
  2. s = vt,  следовательно    10 · 12 = 20 · 6 = 40 · 3 = 80 · 1,5 = 120
  3. Из данного примера следует, что две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
  4. Формула обратной пропорциональности:
  5. где y и x – это переменные величины, а k – это постоянная величина, называемая коэффициентом обратной пропорциональности.
  6. Коэффициент обратной пропорциональности – это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
  7. Формула коэффициента обратной пропорциональности:
  8. xy = k

Источник: https://naobumium.info/algebra/proportsionalnost.php

Обратная пропорциональность — это… Что такое Обратная пропорциональность?

  • обратная пропорциональность — atvirkštinis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. inverse proportionality vok. umgekehrte Proportionalität, f rus. обратная пропорциональность, f pranc. proportionnalité inverse, f …   Fizikos terminų žodynas
  • ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ — (от лат. proportionalis соразмерный, пропорциональный). Соразмерность. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ отлат. proportionalis, пропорциональный. Соразмерность. Объяснение 25000… …   Словарь иностранных слов русского языка
  • ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ — ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, пропорциональности, мн. нет, жен. (книжн.). 1. отвлеч. сущ. к пропорциональный. Пропорциональность частей. Пропорциональность телосложения. 2. Такая зависимость между величинами, когда они пропорционально (см. пропорциональный …   Толковый словарь Ушакова
  • Пропорциональность — Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.[1]. Содержание 1 Пример 2 Коэффициент пропорциональности …   Википедия
  • ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ — ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, и, жен. 1. см. пропорциональный. 2. В математике: такая зависимость между величинами, при к рой увеличение одной из них влечёт за собой изменение другой во столько же раз. Прямая п. (при к рой с увеличением одной величины… …   Толковый словарь Ожегова
  • пропорциональность — и; ж. 1. к Пропорциональный (1 зн.); соразмерность. П. частей. П. телосложения. П. представительства в парламенте. 2. Матем. Зависимость между пропорционально изменяющимися величинами. Коэффициент пропорциональности. Прямая п. (при которой с… …   Энциклопедический словарь
  • пропорциональность — и; ж. 1) к пропорциональный 1); соразмерность. Пропорциона/льность частей. Пропорциона/льность телосложения. Пропорциона/льность представительства в парламенте. 2) матем. Зависимость между пропорционально изменяющимися величинами. Коэффициент… …   Словарь многих выражений
  • Прямая пропорциональность — Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.[1]. Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно,… …   Википедия
  • Корреляция — (Correlation) Корреляция это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин Понятие корреляции, виды корреляции, коэффициент корреляции, корреляционный анализ, корреляция цен, корреляция валютных пар на Форекс Содержание… …   Энциклопедия инвестора
  • МИКРОФОТОГРАФИЯ — МИКРОФОТОГРАФИЯ, получение при помощи светописи изображений микроскоп. объектов, обыкновенно наблюдаемых субъективно через окуляр микроскопа. Основные достоинствам., это точность и объективность даваемых ею изображений, сравнительная быстрота и… …   Большая медицинская энциклопедия

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/402519

Ссылка на основную публикацию