Объем прямой и наклонной призмы — в помощь студенту

  • Цели урока:
  • — вывести формулу объема наклонной призмы с помощью интеграла;
  • — показать применение полученной формулы для решения задач;
  • — сформировать навык по нахождению объема наклонной призмы.
  • Ход урока
  • I. Организационный момент

Проверка домашнего задания. Вывод формулы у доски.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
  1. II. Теорема об объеме наклонной призмы
  2. Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.
  3. Доказательство:

Рис. 1 на слайде (или ватм. лист).

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

1) Рассмотрим треугольную призму с объемом V и площадью основания S, высотой h.

Точка О принадлежит одному из оснований призмы, направим ось ох перпендикулярно основаниям. Рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной к оси ох и, значит, параллельно плоскости основания.

х — абсцисса точки пересечения этой плоскости с осью ох, площадь полученного сечения — S(x).

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

S(x) = S.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Цветок. строение и функции цветка. формула и диаграмма цветка - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

По основной формуле:

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

2) Докажем для любой призмы с высотой h и площадью основания S.

Разбиваем призму на 3 призмы с общей высотой h. Выразим объем каждой призмы и сложим их. Вынося h за скобки, получаем сумму площадей оснований 3-угольных призм, т.е. площадь основания исходной призмы. Имеем: V = S · h.

III. Решение задач: № 682,680, 676.

Дома: п. 68, № 681, 683.

  • Решение задач у доски.
  • Задача № 676.
  • Найти объем наклонной призмы, у которой основанием является треугольник со сторонами 10 см, 10 см, 12 см, а боковое ребро равное 8 см, составляет с плоскостью основания угол 60°.

Дано: АВСА1В1С1 — наклонная призма, АВ = 10 см, ВС = 10 см, АС = 12 см, ВВ1 = 8 см, ∠B1BK = 60° (рис. 2).

Найти: Vnp. — ?

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

Решение.

1) Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту (ф-ла Герона). Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

(Ответ: Vnp. = 192√3 см3.)

Задача № 680.

Основанием наклонной призмы является прямоугольник со сторонами а и b. Боковое ребро длины с составляет со смежными сторонами основания углы, равные φ. Найти объем призмы.

Дано: АВСDА1В1С1D1 — призма, ABCD — прямоугольник, АВ = а, AD = b, АА1 = с. ∠A1AD = ∠A1AB = φ (рис. 3).

  1. Найти: Vnp.
  2. Решение:

1) ∠A1AD = ∠A1AB, значит, точка А1 проецируется на биссектрису ∠А. А1O ⊥ (ABC), АО — биссектриса ∠A.

  • 3) ΔAA1M — прямоугольный, АМ = С · соsφ.
  • 4) ΔАОМ — прямоугольный,
  • (Ответ: )
  • Задача № 682.
  • Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь сечения призмы, плоскостью, перпендикулярной к боковым ребрам и их пересекающей.

Или перпендикулярного ему сечения (рис. 4).

Доказательство:

1) (МЕК) — плоскость перпендикулярного сечения призмы, (ABC) — плоскость основания. (МЕК) ∩ (ABC) по прямой PQ. АА1 ⊥ (МЕК), ⇒ АА1 ⊥ PQ.

2) Проведем высоту А1О — призмы, А1О ⊥ PQ.

3) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

4) (АА1О) || PQ в точке Н, ∠AHM — линейный угол двугранного угла ∠QPM. ∠AHM = φ, тогда ∠MAH = 90° — φ.

  1. 5) ΔМЕК — ортогональная проекция ΔАВС на плоскость перпендикулярного сечения.
  2. 6) (APQ) ⊥ (АМН), так как (APQ) проходит через PQ, перпендикулярно (АМН).
  3. 7) Из ΔАА1O:
  4. 8)
  5. Что и требовалось доказать.
  6. Произвольная призма состоит из треугольных призм, следовательно,
  7. IV. Групповая работа по готовым чертежам
  8. Оценивается работа всей группы, задаются теоретические вопросы в качестве проверки знания теоретического материала и дополнительного задания.

1. Дано: ВВ1С1С — ромб, B1С ⊥ (ABC), В1С = 3, ΔАВС — равносторонний, ВВ1 = 5 (рис. 5).

  • Найти: Vnp.
  • Решение:
  • 1) (по условию).
  • 2)
  • 3) ∠B1CK = 90° (по определению угла между прямой и плоскостью); В1С = 3. (Ответ: )

2. Дано: АВ = АС = 3 см; ВС = 2 см; АА1 = 4 см; ∠А1АН = 45°. Vnp. = Vкуба. (рис. 6).

  1. Найти: а — ребро куба.
  2. Решение:
  3. 1) по формуле Герона;
  4. 2) AK ⊥ BС; M ∈ АК; ΔАА1Н — прямоугольный,
  5. (Ответ: а = 2 см.)

3. Дано: ABCDA1B1C1D1 — призма; ABCD — прямоугольник; АВ = 6 см; AD = 8 см, AA1B1B — квадрат; ∠KHF = 60° (рис. 7).

  • Найти: Vnp — ?
  • Решение:
  • 1.
  • 2. КО — высота призмы; ΔКОН — прямоугольный,
  • 3.
  • (Ответ: 144√3 см3.)
  • V. Подведение итогов
  • — Напишите формулу для определения объема наклонной призмы.
  • Проверка решений задач;
  • Выставление оценок.

Источник: https://compendium.su/mathematics/geometry11/41.html

Методическая разработка урока по теме "Объем наклонной призмы"

  • ОГАПОУ
  • «Борисовский агромеханический техникум»
  • п. Борисовка
  • Методическая разработкаурока по теме
  • «Объем наклонной призмы»
  • Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студентуОбъем прямой и наклонной призмы - в помощь студентуОбъем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту
  • Разработала
  • преподаватель математики
  • Усенко Ольга Александровна
  • 2015-2016 уч.год
  • Тип урока: урок изучения нового материала.
  • Цели урока:
  • Обучающая: продолжить систематическое изучение многогранников, в ходе решения задач на нахождение объема наклонной призмы.
  • Развивающая: развитие индуктивных и дедуктивных навыков мышления.
  • Воспитательная: привитие навыков активной учебной деятельности, формирование навыков самостоятельного поиска и отбора информации. Создание условий для исследовательской деятельности учащихся, демонстрация приемов такой деятельности
  1. Формы работы на уроке: коллективная, устная, письменная.
  2. Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, презентация, модели наклонных призм, сделанных учащимися.
  3. Структура урока:
  1. Организационный момент, постановка домашнего задания

  2. Повторение изученного материала и подготовка к усвоению нового материала

  3. Проверка домашнего задания, перетекающая в изучение нового материала

  4. Первичное закрепление

  5. Применение изучаемого материала в реальной жизни

  6. Организация процесса усвоения знаний в ходе выполнения практической работы

  7. Итоги работы, рефлексия

ХОД УРОКА

Тема урока “Объем наклонной призмы”

  1. Организационный момент, постановка домашнего задания.

Наша задача сегодня выяснить, как найти объем наклонной призмы?

Запишите домашнее задание № 678, 679, 680 по учебнику Л.С.Атанасяна (решение этих задач нужно закончить, высоты призм вы уже нашли, теперь найдите их объем)

  1. Повторение изученного материала и подготовка к усвоению нового материала .

Начинаем урок с устного решения задач, для того чтобы повторить все, что необходимо для усвоения нового материала.

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студентуОбъем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

  1. Проверка домашнего задания, перетекающая в изучение нового материала .

а) Дома перед вами была поставлена проблема – как найти объем наклонной призмы, если мы знаем, что объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту. Для этого мы разделились на 4 творческие группы. Первая и вторая группа должна была найти практический выход из этой ситуации. Им слово.

Учащиеся первой группы сделали модели двух призм. Одна из них прямая, а другая наклонная, но высоты и основания у этих призм равны. В прямую призму был насыпан сахарный песок, который пересыпали в наклонную призму и сделали вывод, что их объемы равны.

б) Учащиеся второй группы использовали идею о равновеликости равносоставленных многогранников. С помощью модели они продемонстрировали эту идею.

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

в) Теперь давайте подойдем к этому вопросу с теоретической точки зрения. Вывод формулы объема подготовила нам третья группа.

  • Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студентуОбъем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту
  • Выводы записываем в тетрадь.

Теперь мы знаем, по какой формуле можно найти объем наклонной призмы, давайте вернемся к задаче № 7 из устной работы и найдем объем данной призмы. Что надо знать? Какие величины неизвестны? Какие еще данные необходимы? Найдите объем, если стороны основания 10 м, 10 м и 12 м. (записываем решение в тетради)

  1. Применение изучаемого материала в реальной жизни.

Есть ли наклонные призмы вокруг нас? Так уж важна задача нахождения их объема? На такой вопрос отвечала четвертая группа.

Сопроводительный текст к презентации (приложение). Вывод: не часто, не много, но есть. Наверно это дизайн будущего, судя по тому, что мы видели сейчас на слайдах.

  1. Организация процесса усвоения знаний в ходе выполнения практической работы.

Теперь возьмите свои модели. Ваша задача – найти объем вашей наклонной призмы, выполнив необходимые измерения. Помните, что элемент, который можно вычислить, зная другие, не должен находиться практическим путем, его надо найти путем вычислений.

Один – два учащихся, которые выполнили задание, дают отчет о проделанной работе.

Из предложенных фраз выбрать одну и закончить ее:

  1. Мне был полезен сегодняшний урок, потому что…

  2. Урок был не интересен, потому что…

  3. Было не просто…

  4. Теперь я знаю…

  5. У меня получилось…

  6. Меня удивило…

  7. Урок дал мне для жизни…

  8. Я попробую…

  9. Мне захотелось…

  10. Я выполнял задания…

Выставление оценок. Подведение итогов, формулирование выводов.

Приложение

Мы никогда не задумывались о том, как много наклонных призм в нашей жизни. Если оглядеться вокруг, то внезапно становится ясно, что в современной архитектуре они являются своеобразным трендом. (слайд 1)

  1. Итак, например, сваи дома, на которые мы, как правило, не обращаем внимания, имеют форму наклонной призмы.(слайд 2)
  2. Призмы также помогают в проектировании: будь то чертежное проектирование (слайд 3) или же компьютерное моделирование зданий. (слайд 4)
  3. Сегодня нередко, следуя канонам абстракционизма, фрагментарно в форме наклонной призмы строятся офисные здания (слайд 5), проектируются гостиницы и отели экстра-класса ( слайд 6,7,8)
  4. Одни из первых небоскребов в форме наклонной призмы появились в
  5. Сан – Франциско (слайд 9)
  6. Необычными зданиями с фрагментами наклонных призм знаменитые японские крупнейшие корпорации (слайд 10) и казино Лас – Вегаса (11 слайд)
  7. А так же австралийские торговые центры, близкие веяниям конструктивизма (12 слайд)
  8. Так же наклонная призма наблюдается и в формах знаменитых нью-йоркских небоскребов, где понятия конструктивизма значительно отличаются от привычных советских многоэтажек. (13 слайд)
  9. Конечно, не могут не выделиться формами и знаменитые дома моды, такие как, например, Джоржио Армани (14 слайд), где снова мы наблюдаем фрагменты наклонной призмы. Но американские архитекторы не останавливаются на обычных высотках, а разрабатывают все новые формы, где также участвуют наклонные призмы, в центре Нью-Йорка
  10. (15 слайд), а также в элитных районах, вроде Манхеттена и Беверли Хиллз (16 слайд)
  11. То же самое можно сказать и об офисах Нью-Йорка (17 слайд)
  12. Наклонные призмы сегодня активно используются и дизайнерами. Как, например, камин в стиле «хай тек»(18 слайд)
  13. А так же дают почву для формирования таких стилей как неопластицизм. (19 слайд)
  14. Он отличается обилием крупных призмообразных форм. (20 слайд)
  15. Современные японские небоскребы с вертолетными площадками так же по форме напоминают наклонные призмы.( 21 слайд)
  16. А современный авангард очень умело сочетает призмы и черное стекло (22 слайд)
  17. Знаменитое здание в Праге в виде стакана так же позволяет разглядеть наклонные призмы в нашей жизни (23 слайд)
  18. Наклонные призмы нашли свое место везде: и в конструировании скейтбордистских площадок (24 слайд), и в строительстве уютных австрийских гостиниц (25 слайд), и в зданиях модных ночных клубов (26 слайд)
  19. Они используются даже в многочисленном Китае и строительстве его скромных центров (27 слайд)
  20. Ну и, конечно же, где мы непосредственно можем увидеть элементы наклонной призмы, это в зданиях наших российских казино (28 слайд)
  21. Таким образом, можно сделать вывод, что все – таки наклонным призмам есть место в нашей жизни, причем не самое малое.
Читайте также:  Физическая защита данных на дисках - в помощь студенту

Источник: https://infourok.ru/metodicheskaya-razrabotka-uroka-po-teme-obem-naklonnoy-prizmi-2399882.html

Призмы

Справочник по математике Геометрия (Стереометрия) Призмы

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

      Определение 1. Рассмотрим две паралллельные плоскости паралллельные плоскости   α   и   β ,   прямую   p ,   пересекающую эти плоскости прямую   p ,   пересекающую эти плоскости, и произвольный выпуклый n – угольник   A1A2 … An ,   лежащий в плоскости   α   (рис. 1).

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студентуОбъем прямой и наклонной призмы - в помощь студентуОбъем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

Рис.1

      Если через каждую точку многоугольника   A1A2 … An   провести прямую, параллельную прямой параллельную прямой   p ,   и обозначить символами   A'1, A'2, …

, A'n   точки пересечения с плоскостью   β   прямых, параллельных прямой параллельных прямой   p   и проходящих через точки   A1, A2, … , An,   то полученную фигуру   A1A2 … An A'1A'2 …

 A'n   называют n – угольной призмой (рис.2).

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студентуОбъем прямой и наклонной призмы - в помощь студентуОбъем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

Рис.2

      Утверждение 1. Каждый из   n   четырехугольников

A1A2A'2A'1,   A2A3A'3A'2,   … ,   AnA1A'1A'n

является параллелограммом.

      Доказательство. Докажем сначала, что параллелограммом является, например, четырехугольник   A1A2A'2A'1.   Для этого заметим, что стороны   A1A'1   и   A2A'2   параллельны по построению.

Заметим также,что прямая   A1A2   параллельна плоскости параллельна плоскости   β ,   так как лежит в плоскости α ,   которая параллельна плоскости параллельна плоскости   β .   Прямая A'1A'2   является линией пересечения плоскости   A1A2A'2A'1   с плоскостью   β .

  Из признака параллельности прямой и плоскости следует, что прямая   A'1A'2   параллельна прямой   A1A2 .   Таким образом, у четырехугольника   A1A2A'2A'1   противоположные стороны попарно параллельны, то есть   A1A2A'2A'1   – параллелограмм.

     Для остальных четырехугольников доказательство проводится аналогично.

      Определение 2. Параллелограммы

A1A2A'2A'1,   A2A3A'3A'2,   … ,   AnA1A'1A'n

называют боковыми гранями призмы. Совокупность всех боковых граней призмы составляет боковую поверхность призмы.

     Определение 3. Многоугольники   A1A2 … An   и   A'1A'2 … A'n   называют основаниями призмы.

     Определение 4. Точки   A1, A2, … , An , A'1, A'2, … , A'n   (вершины многоугольников   A1A2 … An   и   A'1A'2 … A'n )   называют вершинами призмы.

     Определение 5. Отрезки   A1A'1 , A2A'2 , … , AnA'n   называют боковыми ребрами призмы.

      Утверждение 2 . Все боковые ребра призмы равны.

      Это утверждение непосредственно вытекает из утверждения 1.

      Определение 6. Отрезки   A1A2 , A2A3 , … , AnA1 , … , A'1A'2 , A'2A'3 , … , A'nA'1   (стороны многоугольников   A1A2 … An   и   A'1A'2 … A'n )   называют ребрами оснований призмы.

      Замечание 1. В случае, когда не требуется делать специальных уточнений,

боковые ребра и ребра оснований называют ребрами призмы,
боковые грани и основания призмы называют гранями призмы
совокупность всех граней призмы (всех боковых граней и оснований) называют полной поверхностью призмы,
n – угольные призмы называют призмами.

      Теорема Эйлера . Для любой призмы справедливо равенство:

+ = 2
+ = 2

      Доказательство. Заметим, что у n – угольной призмы   2n   вершин,   n   боковых граней,   2   основания,   2n   ребер основания и   n   боковых ребер. Следовательно, у n – угольной призмы   (n + 2)   грани и   3n   ребер.

  •       Поскольку
  • 2n + (n + 2) – 3n = 2
  • то теорема Эйлера доказана.

      Определение 7. Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями, на которых лежат основания призмы, называют высотой призмы.

      Замечание 2. С различными формулами для вычисления объема призмы и площадей боковой и полной поверхности призмы можно ознакомиться в разделе «Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности призмы».

     Замечание 3. С определением сечения призмы и способами построения сечений призмы ожно ознакомиться в разделе «Сечения призмы. Перпендикулярные сечения призмы».

Виды призм. Прямые и наклонные призмы. Правильные призмы

      Существует следующая классификация призм.

Рис.3

      Определение 8. Прямой призмой называют призму, боковые ребра которой перпендикулярны к плоскостям оснований. Призмы, боковые ребра которых не перпендикулярны к плоскостям оснований, называют наклонными призмами.

      Замечание 4. Все боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.

      Определение 9. Правильной призмой называют прямую призму, основаниями которой служат правильные многоугольники.

      Определение 10. Диагональю призмы называют отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Примеры призм. Треугольные призмы. Четырехугольные призмы.Параллелепипеды

Призма Рисунок Свойства
Наклонная треугольная призма Боковые ребра   AA1, BB1, CC1 не перпендикулярны плоскостям  ABС   и   A1B1C1.ABС – произвольный треугольник.
Прямая треугольная призма
  1. Боковые ребра   AA1, BB1, CC1   перпендикулярны плоскостям  ABС   и   A1B1C1.
  2. ABС – произвольный треугольник.
  3. Боковые грани прямой треугольной призмы – прямоугольники.
  4. Высота прямой треугольной призмы равна длине бокового ребра.
Правильная треугольная призма
  • Боковые ребра   AA1, BB1, CC1   перпендикулярны плоскостям  ABС   и   A1B1C1.
  • ABС   – равносторонний треугольник.
  • Боковые грани правильной треугольной призмы – прямоугольники.
  • Высота правильной треугольной призмы равна длине бокового ребра.
Наклонная четырехугольная призма Боковые ребра   AA1, BB1, CC1,DD1 не перпендикулярны плоскостям   ABСD   и   A1B1C1D1.ABСD – произвольный четырехугольник.
Прямая четырехугольная призма
  1. Боковые ребра   AA1, BB1, CC1, DD1   перпендикулярны плоскостям   ABСD   и   A1B1C1D1.
  2. ABСD – произвольный четырехугольник.
  3. Боковые грани прямой четырехугольной призмы – прямоугольники.
  4. Высота прямой четырехугольной призмы равна длине бокового ребра.
Правильная четырехугольная призма
  • Боковые ребра   AA1, BB1, CC1, DD1   перпендикулярны плоскостям   ABСD   и  A1B1C1D1.
  • ABСD – квадрат.
  • Боковые грани правильной четырехугольной призмы – прямоугольники.
  • Высота правильной четырехугольной призмы равна длине бокового ребра.
Параллелепипед Наклонная четырехугольная призма, все грани которой паралллелограммы.Противоположные грани параллелепипеда равны.
Прямой параллелепипед Прямая четырехугольная призма, основания  ABСD   и   A1B1C1D1 которой – параллелограммы.Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.
Прямоугольный параллелепипед Прямая четырехугольная призма, основания   ABСD   и   A1B1C1D1   которой – прямоугольники.Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.
Правильный параллелепипед
  1. Синоним термина «правильная четырехугольная призма»
  2. Основания  ABСD   и   A1B1C1D1   – равные квадраты, боковые грани – равные прямоугольники.
  3. Высота правильного параллелепипеда равна длине бокового ребра.
Куб
  • Правильный параллелепипед, у которого все грани равные квадраты.
  • У куба все ребра равны и попарно перпендикулярны.
  • Высота куба равна длине ребра.
Наклонная треугольная призма
  1. Свойства:Боковые ребра   AA1, BB1, CC1   не перпендикулярны плоскостям  ABС   и   A1B1C1.
  2. ABС   – произвольный треугольник.
Прямая треугольная призма
Свойства:Боковые ребра   AA1, BB1, CC1   перпендикулярны плоскостям  ABС   и  A1B1C1.ABС   – произвольный треугольник.Боковые грани прямой треугольной призмы – прямоугольники.Высота прямой треугольной призмы равна длине бокового ребра.
Правильная треугольная призма
Свойства:Боковые ребра   AA1, BB1, CC1   перпендикулярны плоскостям  ABС   и   A1B1C1.ABС   – равносторонний треугольник.Боковые грани правильной треугольной призмы – прямоугольники.Высота правильной треугольной призмы равна длине бокового ребра.
Наклонная четырехугольная призма
Свойства:Боковые ребра   AA1, BB1, CC1, DD1 не перпендикулярны плоскостям  ABСD   и  – произвольный четырехугольник.
Прямая четырехугольная призма
Свойства:Боковые ребра   AA1, BB1, CC1, DD1   перпендикулярны плоскостям   ABСD   и   – произвольный четырехугольник.Боковые грани прямой четырехугольной призмы – прямоугольники.Высота прямой четырехугольной призмы равна длине бокового ребра.
Правильная четырехугольная призма
Свойства:Боковые ребра   AA1, BB1, CC1, DD1   перпендикулярны плоскостям   ABСD   и     – квадрат.Боковые грани правильной четырехугольной призмы – прямоугольники.Высота правильной четырехугольной призмы равна длине бокового ребра.
Параллелепипед
Свойства:Наклонная четырехугольная призма, все грани которой паралллелограммы.Противоположные грани параллелепипеда равны.
Прямой параллелепипед
  • Свойства:Прямая четырехугольная призма, основания  ABСD   и  A1B1C1D1 которой – параллелограммы.
  • Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.
Прямоугольный параллелепипед
  1. Свойства:Прямая четырехугольная призма, основания   ABСD   и   A1B1C1D1   которой – прямоугольники.
  2. Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.
Правильный параллелепипед
Свойства:Синоним термина «правильная четырехугольная призма»Основания   ABСD   и   A1B1C1D1   – равные квадраты,боковые грани – равные прямоугольники.Высота правильного параллелепипеда равна длине бокового ребра.
Куб
Свойства:Правильный параллелепипед, у которого все грани равные квадраты.У куба все ребра равны и попарно перпендикулярны.Высота куба равна длине ребра.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/uslugi/uslugischoolmar.htm

Треугольная призма все формулы и примеры задач

Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.

Определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

Элементы треугольной призмы

  • Треугольники ABC и A1B1C1 являются основаниями призмы.
  • Четырехугольники A1B1BA, B1BCC1 и A1C1CA являются боковыми гранями призмы.
  • Стороны граней являются ребрами призмы (A1B1, A1C1, C1B1, AA1, CC1, BB1, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.
  • Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Виды треугольных призм

Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.

У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)

Прямая треугольная призма

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.

Наклонная треугольная призма

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.

Основные формулы для расчета треугольной призмы

Объем треугольной призмы

  1. Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.
  2.  Объем призмы = площадь основания х высота
  3. или
  4. V=Sосн . h

Площадь боковой поверхности призмы

  • Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.
  • Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота
  • или
  • Sбок=Pосн.h 

Площадь полной поверхности призмы

Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

так как Sбок=Pосн.h, то получим:

Sполн.пов.=Pосн.h+2Sосн

Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Свойства призмы:

Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.

Боковые ребра призмы параллельные и равны.

Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см2, то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см3 . Если площадь основания в мм2, то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм3 и т. д.

Пример призмы

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

  1. В этом примере:
    — ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
    — ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
    — Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
  2. — Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро.

Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

V = 1/2  · 6 · 8 · 5 = 120.

Задача 2.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Читайте также:  Гарантии работникам в рамках трудового законодательства - в помощь студенту

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

Решение: 

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S2 = S1k2 = S122 = 4S1.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

Таким образом, искомый объём равен 20.

Источник: https://novstudent.ru/treugolnaya-prizma-vse-formulyi-i-primeryi-zadach/

Урок «Объем наклонной призмы»

Бесплатно Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

  • ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
  • Сегодня мы выведем формулу объема наклонной призмы с помощью интеграла.
  • Вспомним, что такое призма и какая призма называется наклонной?
  • ПРИЗМА — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а другие грани (боковые) — параллелограммы.

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

  1. Если боковые ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, то призма прямая, в противном случае призма называется наклонной.
  2. Теорема
  3. Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

 1)  Рассмотрим треугольную наклонную призму ВСЕВ2С2Е2. Объем данной призмы равен  V,  площадь основания — S, высота — h.

Воспользуемся формулой: объем равен интеграл от 0 до h S от икс дэ икс.

V= , где  площадь перпендикулярного оси Ох сечения. Выберем ось Ох, причем точка О — начало координат и лежит в плоскости ВСЕ (нижнее основание наклонной призмы). Направление оси Ох перпендикулярно плоскости ВСЕ.

Тогда ось Ох пересечет плоскость   в точке h, и проведем плоскость  Е1 параллельную основаниям наклонной призмы и перпендикулярную оси Ох.

Поскольку плоскости параллельны и боковые грани — это параллелограммы, то ВЕ=  , СЕ=С1Е1=С2Е2; ВС=В1С1=В2С2

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

Откуда следует, что треугольники ВСЕ = E2  равны по трем сторонам. Если треугольники равны, значит, равны их площади. Площадь произвольного сечения S(х) равна площади основания Sосн.

S(х)= Sосн.

В данном случае площадь основания является постоянной. В качестве пределов интегрирования  возьмем 0 и h. Получаем формулу: объем равен интеграл от 0 до h S от икс дэ икс или интеграл от 0 до h площади основания от икс дэ икс, площадь основания – это константа (постоянная величина), мы можем вынести ее за знак интеграла и получится, что интеграл от 0 до h дэ икс равен аш минус 0:

Получается, что объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

2) Докажем эту формулу для произвольной n- угольной наклонной призмы. Для доказательства возьмем пятиугольную наклонную призму.

Выполним  разбиения наклонной призмы на несколько треугольных призм, в данном случае — на три (так же, как при доказательстве теоремы об объеме прямой призмы). Обозначим объем наклонной призмы за V.

Тогда объем наклонной призмы будет состоять из суммы объемов трех треугольных призм (по свойству объемов).

  • V=V1+V2+V3, а объем треугольной призмы мы ищем по формуле: объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.
  • VΔ=Sосн∙h
  • Значит,  объем наклонной призмы равен сумме произведений площадей основания на высоту, выносим высоту h за скобки (так как она одинаковая у трех призм) и получаем:
  • Теорема доказана.
  • Задача

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

Боковое ребро наклонной призмы — 4 см, составляет с плоскостью основания угол 30°.Стороны треугольника, которые лежат в основании, равны 12, 12, и 14 см. Найти объем наклонной призмы.

  1. Дано:   — наклонная призма,
  2.  АВ = 12 см, ВС = 12 см, АС = 14 см, В  = 4 см, BK = 30° .
  3. Найти: V — ?
  4. Решение.
  5. Дополнительное построение: В наклонной призме проведем высоту  Н.
  6. Мы знаем, что  объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.
  7.  В основании наклонной призмы лежит произвольный треугольник, у которого известны все стороны, значит, применим формулу Герона: площадь треугольника равна квадратному корню из произведения пэ на разность пэ и а, на разность пэ и бэ, на разность пэ и цэ, где пэ — полупериметр треугольника, который ищем по формуле: половина суммы всех сторон а, в и с:
  8. считаем полупериметр:
  9. Подставим значение полупериметра в формулу площади основания, упростим и получим ответ: семь корней из 95.

Рассмотрим ΔB H. Он прямоугольный, так как  Н – высота наклонной призмы. Из определения синуса, катет равен произведению гипотенузы на синус противолежащего угла

  Н =   • sin30°

значение синус 30° равен одной второй, значит

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

  • Так как
  • Мы узнали, что   
  • А высота  Н – высота наклонной призмы — равна 2.
  • Следовательно, объем равен

Источник: https://urokimatematiki.ru/urok-obem-naklonnoy-prizmi-1012.html

Понятие о призме. Формулы объема призм разного типа: правильной, прямой и наклонной. Решение задачи

Объем является характеристикой любой фигуры, имеющей ненулевые размеры во всех трех измерениях пространства. В данной статье с точки зрения стереометрии (геометрии пространственных фигур) мы рассмотрим призму и покажем, как находить объемы призм различного вида.

Что такое призма?

Стереометрия располагает точным ответом на этот вопрос. Под призмой в ней понимают фигуру, образованную двумя многоугольными одинаковыми гранями и несколькими параллелограммами. На рисунке ниже показаны четыре разные призмы.

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

Каждую из них можно получить следующим образом: необходимо взять многоугольник (треугольник, четырехугольник и так далее) и отрезок определенной длины. Затем каждую вершину многоугольника следует перенести с помощью параллельных отрезков в другую плоскость. В новой плоскости, которая будет параллельна исходной, получится новый многоугольник, аналогичный выбранному изначально.

Призмы могут иметь разный тип. Так, они могут быть прямыми, наклонными и правильными. Если боковое ребро призмы (отрезок, соединяющий вершины оснований) перпендикулярно основаниям фигуры, то последняя является прямой. Соответственно, если это условие не выполняется, то речь идет о наклонной призме. Правильная фигура — это прямая призма с равноугольным и равносторонним основанием.

Далее в статье мы покажем, как рассчитывать объем призмы каждого из названных типов.

Объем правильных призм

Начнем с самого простого случая. Приведем формулу объема призмы правильной, имеющей n-угольное основание. Формула объема V для любой фигуры рассматриваемого класса имеет следующий вид:

V = So*h.

То есть для определения объема достаточно рассчитать площадь одного из оснований So и умножить ее на высоту h фигуры.

В случае правильной призмы обозначим длину стороны ее основания буквой a, а высоту, которая равна длине бокового ребра, буквой h. Если основание n-угольник правильный представляет, то для расчета его площади проще всего воспользоваться следующей универсальной формулой:

Sn = n/4*a2*ctg(pi/n).

Подставляя в равенство значение числа сторон n и длину одной стороны a, можно вычислить площадь n-угольного основания. Отметим, что функция котангенса здесь вычисляется для угла pi/n, который выражен в радианах.

Учитывая записанное для Sn равенство, получаем конечную формулу объема призмы правильной:

Vn = n/4*a2*h*ctg(pi/n).

Для каждого конкретного случая можно записать соответствующие формулы для V, но все они однозначно следуют из записанного общего выражения. Например, для четырехугольной призмы правильной, которая в общем случае является прямоугольным параллелепипедом, получаем:

V4 = 4/4*a2*h*ctg(pi/4) = a2*h.

Если в этом выражении принять h=a, то мы получаем формулу для объема куба.

Объем прямых призм

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

Отметим сразу, что для прямых фигур не существует общей формулы для вычисления объема, которая была приведена выше для правильных призм. При нахождении рассматриваемой величины следует использовать исходное выражение:

V = So*h.

Здесь h — это длина бокового ребра, как и в предыдущем случае. Что касается площади основания So, то она может принимать самые разные значения. Задача расчета у прямой призмы объема сводится к нахождению площади ее основания.

Расчет величины So следует проводить, исходя из особенностей самого основания. Например, если оно является треугольником, тогда площадь вычислить можно так:

So3 = 1/2*a*ha.

Здесь ha — апофема треугольника, то есть его высота, опущенная на основание a.

Если основанием является четырехугольник, то он может быть трапецией, параллелограммом, прямоугольником или иметь совершенно произвольный тип. Для всех названых случаев следует воспользоваться соответствующей формулой планиметрии для определения площади. Например, для трапеции эта формула имеет вид:

So4 = 1/2*(a1 + a2)*ha.

Где ha — высота трапеции, a1 и a2 — это длины ее параллельных сторон.

Чтобы определить площадь для многоугольников более высокого порядка, следует разбивать их на простые фигуры (треугольники, четырехугольники) и рассчитывать сумму площадей последних.

Объем наклонных призм

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

Это самый сложный случай расчета объема призмы. Общая формула для таких фигур также применима:

V = So*h.

Тем не менее, к сложности нахождения площади основания, представляющего многоугольник произвольного типа, добавляется проблема определения высоты фигуры. Она в наклонной призме всегда меньше длины бокового ребра.

Проще всего эту высоту найти, если известен какой-либо угол фигуры (плоский или двугранный). Если такой угол дан, тогда следует с его использованием построить внутри призмы прямоугольный треугольник, который бы содержал в качестве одной из сторон высоту h и, пользуясь тригонометрическими функциями и теоремой Пифагора, найти величину h.

Геометрическая задача на определение объема

Дана правильная призма с треугольным основанием, имеющая высоту 14 см и длину стороны 5 см. Чему равен объем треугольной призмы?

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

Поскольку речь идет о правильной фигуре, то мы вправе воспользоваться известной формулой. Имеем:

V3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151,55 см3.

Треугольная призма является достаточно симметричной фигурой, в форме которой часто выполняют разные архитектурные сооружения. Эту призму из стекла используют в оптике.

Источник: https://News4Auto.ru/poniatie-o-prizme-formyly-obema-prizm-raznogo-tipa-pravilnoi-priamoi-i-naklonnoi-reshenie-zadachi/

Объем наклонной призмы

  • Сегодня на уроке мы выведем формулу для нахождения объёма наклонной призмы.
  • Прежде чем приступить к изучению нового материала давайте вспомним формулу для нахождения объёма геометрического тела Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту, повторим формулу для вычисления объёма прямой призмы .
  • Давайте сформулируем и докажем теорему.
  • Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Доказательство. Сначала докажем эту теорему для треугольной наклонной призмы.

Рассмотрим треугольную призму с объёмом , площадью основания  и высотой .

Объем прямой и наклонной призмы - в помощь студенту

Отметим на одном из оснований призмы точку  и направим ось  перпендикулярно основаниям.

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной к оси  и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим буквой  абсциссу точки пересечения этой плоскости с осью , а через  – площадь получившегося сечения.

Теперь давайте покажем, что площадь . Четырёхугольник  – параллелограмм, значит, . Аналогично, четырёхугольник  – параллелограмм, значит, . Четырёхугольник – параллелограмм, значит, и отрезки . Тогда получим, что треугольники  по трём сторонам, то есть мы доказали, что площади этих треугольников равны .

  1. Теперь давайте применим основную формулу для вычисления объёмов тел .
  2. Теперь давайте докажем эту теорему для произвольной призмы высоты  и площадью основания .

Такую призму можно разбить на треугольные призмы с общей высотой . Рассмотрим, например, выпуклую пятиугольную призму.

Вычислим объём каждой полученной треугольной призмы по доказанной нами формуле. Мы знаем, что если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

  • Тогда объём нашей пятиугольной призмы равен сумме объёмов треугольных призм.

Поскольку мы разбивали пятиугольную призму на треугольные с общей высотой, то в сумме объёмов высоту можно вынести за скобки. В скобках получим сумму площадей треугольников, на которые мы разбили пятиугольник. То есть в скобках мы получили площадь пятиугольника, который лежит в основании призмы. Тогда получим, что объём наклонной призмы равен , что и требовалось доказать.

Но объём наклонной призмы можно вычислить по другой формуле.

Объём наклонной призмы равен . Эту формулу мы доказывать не будем, просто рассмотрим несколько задач и посмотрим случаи, в которых проще вычислить объём призмы именно с помощью этой формулы.

  1. Решим несколько задач.
  2. Задача: найти объём наклонной призмы, у которой основанием является треугольник со сторонами , , , а боковое ребро, равное , составляет с плоскостью основания угол в .
  3. Решение: для вычисления объёма призмы, воспользуемся только что доказанной формулой.
  4. Площадь основания вычислим по формуле Герона.
  5. Получим, что площадь основания призмы равна

Теперь давайте проведем высоту призмы и рассмотрим . Так как  – высота, значит, треугольник прямоугольный. По условию, боковое ребро равно , а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен .

Это будет угол между боковым ребром призмы и его ортогональной проекцией на плоскость основания. В данном случае, это будет , тогда . По свойству катета, лежащего напротив угла в тридцать градусов, .

Тогда по теореме Пифагора нетрудно найти чему равна высота призмы. Высота призмы равна .

Подставим найденные значения в формулу для вычисления объёма призмы и получим, что объём призмы равен .

Задача: найти объём наклонной призмы, основанием которой является параллелограмм . Сторона , сторона , . Высота призмы равна .

  • Решение: воспользуемся только что доказанной формулой.
  • Для вычисления площади параллелограмма, лежащего в основании, воспользуемся формулой: .
  • Площадь основания будет равна .
  • Подставим полученное значение в формулу для вычисления объёма, получим, что объём призмы равен .
  • Задача: найти объём наклонной треугольной призмы, если расстояния между ее боковыми рёбрами равны ,  и , а площадь боковой поверхности равна .

Решение: расстояния между боковыми рёбрами – длина перпендикуляров. Таким образом, проведя все перпендикуляры мы получим треугольник, который будет перпендикулярным сечением призмы.

  1. Поэтому нетрудно увидеть, что для вычисления объёма мы воспользуемся тем, что объём наклонной призмы равен .
  2. Но прежде вспомним, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна .

Периметр перпендикулярного сечения равен . Тогда длина бокового ребра равна .

  • Вычислим площадь перпендикулярного сечения по формуле Герона. Получим, что площадь сечения равна
  • Подставим полученные значения в формулу для вычисления объёма и получим, что объём призмы равен .
  • Итоги:
  • Сегодня на уроке мы вывели формулу для вычисления объёма наклонной призмы.

Показали ещё одну формулу для вычисления объёма наклонной призмы. Решили несколько задач.

Источник: https://videouroki.net/video/26-obiem-naklonnoi-prizmy.html

Ссылка на основную публикацию