Натуральные числа — в помощь студенту

Вопрос ученому: — Я слышал, что сумма всех натуральных чисел равна −1/12. Это какой-то фокус, или это правда?

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Ответ пресс-службы МФТИ — Да, такой результат можно получить при помощи приема, называемого разложением функции в ряд.

Вопрос, заданный читателем, достаточно сложный, и потому мы отвечаем на него не обычным для рубрики «Вопрос ученому» текстом на несколько абзацев, а некоторым сильно упрощенным подобием математической статьи.

В научных статьях по математике, где требуется доказать некоторую сложную теорему, рассказ разбивается на несколько частей, и в них могут поочередно доказываться разные вспомогательные утверждения.

Мы предполагаем, что читатели знакомы с курсом математики в пределах девяти классов, поэтому заранее просим прощения у тех, кому рассказ покажется слишком простым — выпускники могут сразу обратиться к http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation.

Сумма всего

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Решение треугольников - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Начнем с разговора о том, как можно сложить все натуральные числа. Натуральные числа — это числа, которые используются для счета цельных предметов — они все целые и неотрицательные. Именно натуральные числа учат дети в первую очередь: 1, 2, 3 и так далее. Сумма всех натуральных чисел будет выражением вида 1+2+3+… = и так до бесконечности.

Ряд натуральных чисел бесконечен, это легко доказать: ведь к сколь угодно большому числу всегда можно прибавить единицу. Или даже умножить это число само на себя, а то и вычислить его факториал — понятно, что получится еще большая величина, которая тоже будет натуральным числом.

Детально все операции с бесконечно большими величинами разбираются в курсе математического анализа, но сейчас для того, чтобы нас поняли еще не сдавшие данный курс, мы несколько упростим суть.

Скажем, что бесконечность, к которой прибавили единицу, бесконечность, которую возвели в квадрат или факториал от бесконечности — это все тоже бесконечность.

Можно считать, что бесконечность — это такой особый математический объект.

И по всем правилам математического анализа в рамках первого семестра сумма 1+2+3+…+бесконечность — тоже бесконечна. Это легко понять из предыдущего абзаца: если к бесконечности что-то прибавить, она все равно будет бесконечностью.

Однако в 1913 году блестящий индийский математик-самоучка Сриниваса Рамануджан Айенгор придумал способ сложить натуральные числа несколько иным образом.

Несмотря на то, что Рамануджан не получал специального образования, его знания не были ограничены сегодняшним школьным курсом — математик знал про существование формулы Эйлера-Маклорена.

Так как она играет важную роль в дальнейшем повествовании, о ней придется тоже рассказать подробнее.

Формула Эйлера-Маклорена

Для начала запишем эту формулу:

Натуральные числа - в помощь студенту

Как можно видеть, она достаточно сложна. Часть читателей может пропустить этот раздел целиком, часть может прочитать соответствующие учебники или хотя бы статью в Википедии, а для оставшихся мы дадим краткий комментарий.

Ключевую роль в формуле играет произвольная функция f(x), которая может быть почти чем угодно, лишь бы у нее нашлось достаточное число производных.

Для тех, кто не знаком с этим математическим понятием (и все же решился прочитать написанное тут!), скажем еще проще — график функции не должен быть линией, которая резко ломается в какой-либо точке.

Производная функции, если предельно упростить ее смысл, является величиной, которая показывает то, насколько быстро растет или убывает функция. С геометрической точки зрения производная есть тангенс угла наклона касательной к графику.

Слева в формуле стоит сумма вида «значение f(x) в точке m + значение f(x) в точке m+1 + значение f(x) в точке m+2 и так до точки m+n». При этом числа m и n — натуральные, это надо подчеркнуть особо.

Справа же мы видим несколько слагаемых, и они кажутся весьма громоздкими. Первое (заканчивается на dx) — это интеграл функции от точки m до точки n. Рискуя навлечь на себя гнев всей кафедры математики за примитивность подхода к интегралам, скажем, что это площадь под кривой f(x) на графике от m до n; интегралы очень широко используются в самых разных науках.

На графике «по горизонтальной оси — время, по вертикальной — скорость» интеграл, то есть площадь под кривой, будет равен пройденному пути. На графике «ежемесячные платежи по вертикали, по горизонтали время» интегралом будет сумма, пришедшая на счет за все время.

Второе слагаемое, обозначенное как B1(f(n) + f(m)), — это так называемое число Бернулли.

Третье слагаемое — сумма от чисел Бернулли (B2k), поделенных на факториал удвоенного значения числа k и умноженных на разность производных функции f(x) в точках n и m. Причем, что еще сильнее усложняет дело, тут не просто производная, а производная 2k-1 порядка. То есть все третье слагаемое выглядит так:

  • Число Бернулли B2 («2» так как в формуле стоит 2k, и мы начинаем складывать с k=1) делим на факториал 2 (это пока просто двойка) и умножаем на разность производных первого порядка (2k-1 при k=1) функции f(x) в точках n и m
  • +
  • Число Бернулли B4 («4» так как в формуле стоит 2k, а k теперь равно 2) делим на факториал 4 (1×2х3×4=24) и умножаем на разность производных третьего порядка (2k-1 при k=2) функции f(x) в точках n и m
  • +
  • Число Бернулли B6 (см.выше) делим на факториал 6 (1×2х3×4х5×6=720) и умножаем на разность производных пятого порядка (2k-1 при k=3) функции f(x) в точках n и m
  • +

Суммирование продолжается вплоть до k=p. Числа k и p получаются некоторыми произвольными величинами, которые мы можем выбирать по-разному, вместе с m и n — натуральными числами, которыми ограничен рассматриваемый нами участок с функцией f(x). То есть в формуле целых четыре параметра, и это вкупе с произвольностью функции f(x) открывает большой простор для исследований.

Оставшееся скромное R, увы, тут не константа, а тоже довольно громоздкая конструкция, выражаемая через уже упомянутые выше числа Бернулли. Теперь самое время пояснить, что это такое, откуда взялось и почему вообще математики стали рассматривать столь сложные выражения.

Числа Бернулли и разложения в ряд

В математическом анализе есть такое ключевое понятие как разложение в ряд.

Это значит, что можно взять какую-то функцию и написать ее не напрямую (например y = sin(x^2) + 1/ln(x) + 3x), а в виде бесконечной суммы множества однотипных слагаемых.

Например, многие функции можно представить как сумму степенных функций, умноженных на некоторые коэффициенты — то есть сложной формы график сведется к комбинации линейной, квадратичной, кубической… и так далее — кривых.

В теории обработки электрических сигналов огромную роль играет так называемый ряд Фурье — любую кривую можно разложить в ряд из синусов и косинусов разного периода; такое разложение необходимо для преобразования сигнала с микрофона в последовательность нулей и единиц внутри, скажем, электронной схемы мобильного телефона. Разложения в ряд также позволяют рассматривать неэлементарные функции, а ряд важнейших физических уравнений при решении дает именно выражения в виде ряда, а не в виде какой-то конечной комбинации функций.

В XVII столетии математики стали вплотную заниматься теорией рядов.

Несколько позже это позволило физикам эффективно рассчитывать процессы нагрева различных объектов и решать еще множество иных задач, которые мы здесь рассматривать не будем.

Заметим лишь то, что в программе МФТИ, как и в математических курсах всех ведущих физических вузов, уравнениям с решениями в виде того или иного ряда посвящен как минимум один семестр.

Якоб Бернулли исследовал проблему суммирования натуральных чисел в одной и той же степени (1^6 + 2^6 + 3^6 + … например) и получил числа, при помощи которых можно разложить в упомянутый выше степенной ряд другие функции — например, tg(x). Хотя, казалось бы, тангенс не очень-то похож хоть на параболу, хоть на какую угодно степенную функцию!

Полиномы Бернулли позже нашли свое применение не только в уравнениях матфизики, но и в теории вероятностей. Это, в общем-то, предсказуемо (ведь ряд физических процессов — вроде броуновского движения или распада ядер — как раз и обусловлен разного рода случайностями), но все равно заслуживает отдельного упоминания.

-1/12

Громоздкая формула Эйлера-Маклорена использовалась математиками для разных целей. Так как в ней, с одной стороны, стоит сумма значений функций в определенных точках, а с другой — есть и интегралы, и разложения в ряд, при помощи этой формулы можно (в зависимости от того, что нам известно) как взять сложный интеграл, так и определить сумму ряда.

Сриниваса Рамануджан придумал этой формуле иное применение. Он ее немного модифицировал и получил такое выражение:

Натуральные числа - в помощь студенту

В качестве функции f(x) он рассмотрел просто x — пусть f(x) = x, это вполне правомерное допущение. Но для этой функции первая производная равна просто единице, а вторая и все последующие — нулю: если все аккуратно подставить в указанное выше выражение и определить соответствующие числа Бернулли, то как раз и получится −1/12.

Это, разумеется, было воспринято самим индийским математиком как нечто из ряда вон выходящее.

Поскольку он был не просто самоучкой, а талантливым самоучкой, он не стал всем рассказывать про поправшее основы математики открытие, а вместо этого написал письмо Годфри Харди, признанному эксперту в области как теории чисел, так и математического анализа.

Читайте также:  Учет расходов по элементам затрат - в помощь студенту

Письмо, кстати, содержало приписку, что Харди, вероятно, захочет указать автору на ближайшую психиатрическую лечебницу: однако итогом, конечно, стала не лечебница, а совместная работа.

Парадокс

Суммируя все сказанное выше, получим следующее: сумма всех натуральных чисел получается равной −1/12 при использовании специальной формулы, которая позволяет разложить произвольную функцию в некоторый ряд с коэффициентами, называемыми числами Бернулли. Однако это не значит, что 1+2+3+4 оказывается больше, чем 1+2+3+… и так до бесконечности. В данном случае мы имеем дело с парадоксом, который обусловлен тем, что разложение в ряд — это своего рода приближение и упрощение.

Можно привести пример намного более простого и наглядного математического парадокса, связанного с выражением чего-то одного через что-то другое. Возьмем лист бумаги в клеточку и нарисуем ступенчатую линию с шириной и высотой ступеньки в одну клетку.

Длина такой линии, очевидно, равна удвоенному числу клеток — а вот длина спрямляющей «лесенку» диагонали равна числу клеток, умноженному на корень из двух.

Если сделать лесенку очень мелкой, она все равно будет той же длины и практически не отличимая от диагонали ломаная линия окажется в корень из двух раз больше той самой диагонали! Как видите, для парадоксальных примеров писать длинные сложные формулы вовсе не обязательно.

Формула Эйлера-Маклорена, если не вдаваться в дебри математического анализа, является таким же приближением, как и ломаная линия вместо прямой. Используя это приближение можно получить те самые −1/12, однако это далеко не всегда бывает уместно и оправдано.

В ряде задач теоретической физики подобные выкладки применяются для расчетов, но это тот самый передний край исследований, где еще рано говорить о корректном отображении реальности математическими абстракциями, а расхождения разных вычислений друг с другом — вполне обычное дело.

Так, оценки плотности энергии вакуума на основе квантовой теории поля и на основе астрофизических наблюдений различаются более чем на 120 порядков. То есть в 10^120 степени раз. Это одна из нерешенных задач современной физики; тут явно просвечивает пробел в наших знаниях о Вселенной.

Или же проблема — в отсутствии подходящих математических методов для описания окружающего мира.

Физики-теоретики совместно с математиками пытаются найти такие способы описать физические процессы, при которых не будет возникать расходящихся (уходящих в бесконечность) рядов, но это далеко не самая простая задача.

Источник: https://MIPT.ru/newsblog/lenta/naturalsum

Простые и составные числа: примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена

В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.

Простые и составные числа – определения и примеры

Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.

Определение 1

Простыми числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют два положительных делителя, то есть себя и 1.

Определение 2

Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.

Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.

Определение 3

Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.

Определение 4

Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.

Любое число, которое больше 1 является либо простым, либо составным. Из свойства делимости имеем, что 1 и число а всегда будут делителями для любого числа а, то есть оно будет делиться само на себя и на 1. Дадим определение целых чисел.

Определение 5

Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.

Простые числа: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Они делятся только сами на себя  и на 1. Составные числа: 6, 63, 121, 6697. То есть число 6 можно разложить на 2 и 3, а 63 на 1, 3, 7,9, 21, 63, а 121 на 11, 11, то есть его делители будут 1, 11, 121. Число 6697 разложится на 37 и 181. Заметим, что понятия простых чисел и взаимно простых чисел – разные понятия.

Таблица простых чисел

Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:

Натуральные числа - в помощь студенту

Таблица для всех существующих натуральных чисел нереальна, так как их существует бесконечное множество. Когда числа достигают размеров 10000 или 1000000000, тогда следует задуматься об использовании решета Эратосфена.

Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.

Теорема 1

Наименьший положительный и  отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Доказательство 1

Возьмем, что а является натуральным числом, которое больше 1, b является наименьшим отличным от единицы делителем для числа а. Следует доказать, что b является простым числом при помощи метода противного.

Допустим, что b – составное число. Отсюда имеем, что есть делитель для b, который отличен от 1 как и от b. Такой делитель обозначается как b1. Необходимо, чтобы условие 1

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/delimost/prostye-i-sostavnye-chisla/

Уроки математики для младших школьников: сложение, деление, натуральные числа

Как много было и будет исписано тетрадей для того, чтобы ученик понял, что собой представляют натуральные числа, как проводятся сложение, деление, вычитание и умножение.

Натуральные числа: начало школьной программы

Натуральные числа — именно с этим понятием знакомятся ученики младших классов, приходя на свои первые уроки по математике. Всё потому, что натуральные числа относятся к ряду таких чисел, которые образуются в процессе перечисления, счета. Ознакомившись с этим понятием до конца, школьники переходят к изучению процессов сложения и вычитания.

Изучение натуральных чисел идет по следующей схеме:

  • введение самого понятия натурального числа;
  • первичное закрепление полученных знаний;
  • введение позиционного числа;
  • формирование понятий о четных и нечетных числах;
  • решение комбинаторных задач;
  • упражнения для освоения многозначных чисел;
  • закрепление всего пройденного курса на примерах и задачах.

Сложение на уроках математики

Чаще всего о принципах сложения дети получают представление еще в дошкольных образовательных учреждениях, а в стенах школ этот понятие закрепляется.

В итоге ученики получают достаточно знаний для того, чтобы складывать в уме не только однозначные, но также  и двух-, и  трехзначные цифры.

В целом, умение складывать и вычитать цифры — тот необходимый толчок, без которого невозможно изучать математику вообще.

В программе курса обучения сложению (раздел арифметики школьной программы) ученики обучаются вычислению суммы положительных чисел, положительных чисел и нуля, а также сумму отрицательных чисел (отрицательных чисел и нуля). Дополнительно объясняются такие понятия как целые и противоположные числа, а также модуль самого числа.

Умножение на уроках математики

Многие родители предпочитают, чтобы их ребенок выучил таблицу умножения заранее, еще до прихода в школу. Хотя, стоит отметить, что требования знать эту полезную таблицу предъявляются только во втором классе общеобразовательных учебных учреждений. Выучив таблицу умножения, школьники со временем на многих примерах и в процессе решения задач учатся умножать самые разнообразные цифры.

Курс школьной программы математики включает обучение следующим навыкам:

  • обнаружение суммы одинаковых слагаемых;
  • разбивание чисел на одинаковые слагаемые;
  • введение самого понятия умножения;
  • замена сложения одинаковых слагаемых умножением;
  • решение простых задач, где требуется найти ответ при решении несложных примеров на умножение;
  • понимание компонентов умножения и изучение результатов этого математического действия;
  • пошаговое изучение таблицы умножения, начиная с цифры 2, заканчивая цифрой 9.

Все полученные знания закрепляются путем решения примеров и различных задач.

Деление и натуральные числа

О процессе деления в школьной программе рассказывается практически параллельно с умножением, поскольку этот процесс является его обратной версией. Деление объясняется подобно тому, как объясняется принцип вычитания. При этом также подчеркивает, что при умножении самое большое число является ответом, в то время как при делении ответом будет наименьшее число.

Методика изучения деления разделяется на несколько этапов:

  • поиск результата деления, даже в том случае, если поделить на целые части число не получается;
  • решение примеров с целым частным;
  • решение примеров с частным и остатком.

Как правило, в школьной программе деление изучается с восстановлением и закреплением знаний о натуральных числах, полученных в начальных классах.

Общие цели и задачи курса математики в начальных классах

Основной целью обучающей программы по математике в начальных классах является формирование представлений о самых базовых математических понятиях. К практическим целям относится применение математических навыков в жизненной сфере.

Обучающая программа в начальных классах по курсу математики предполагает следующее:

  1. Обучение понятию натуральных чисел (о натуральном ряде чисел, нуле, их свойствах, а также десятичных дробях);
  2. Формирование представлений об основных геометрических и алгебраических величинах (объеме и площади фигур, массы тел, величине отрезка, времени, длине и т.д.);
  3. Обучение практическому использованию метрических систем мер и мер времени;
  4. Обучение осуществлять сложение, вычитание, умножение и деление как с обычными, так и с дробными числами.
  5. Оттачивание знаний на простых (односложных) и составных задачах в несколько действий.

InternetUrok.ru —изучение математики в доступной форме

Информационно-образовательный портал InternetUrok.ru предлагает всем школьникам, родителям и представителям педагогического состава общеобразовательных учреждений воспользоваться полезной информаций. Не только сложение, умножение и деление станут понятными для всех, но и другие термины.

Обучение в видеоформате позволит сэкономить время на поиск информации, не нанимать репетиторов для получения дополнительных знаний, а также обучаться в приятной домашней обстановке, планируя собственное время.

Ученикам предлагаются простые и увлекательные видеоуроки, позволяющие получить необходимую математическую базу. Родители при этом могут принимать участие в процессе обучения детей, контролировать при необходимости время на обучение.

Дополнительным плюсом обучения на дому является то, что каждый ученик сможет просматривать уроки и изучать материал без суеты, не торопясь. Никакие отвлекающие факторы в виде соседей по парте не будут мешать работе, а при желании видеоурок можно всегда пересмотреть заново для закрепления знаний.

Что касается школьных педагогов, то им также будет полезно просматривать такие уроки, дополняя свои профессиональные знания. Классные уроки могут быть превращены в более интересные и познавательные благодаря информации, полученной на портале InternetUrok.ru.

Источник: https://interneturok.ru/article/uroki-matematiki-dlya-mladshih-shkolnikov-slozhenie-delenie-naturalnye-chisla

Урок 2 Бесплатно Запись и чтение натуральных чисел

  • Сейчас поговорим про особенности записи натуральных чисел: цифры, разряды, классы.
  • Определение: цифра — знак, используемый для обозначения чисел.
  • Мы пользуемся арабскими цифрами, их всего 10: , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
  • Запись чисел с помощью арабских цифр называют десятичной.
  • Разряд, если говорить простым языком, это место, на котором стоит цифра.
  • От того, в каком разряде стоит цифра, она будет иметь разные значения.

Разряды нумеруются справа налево: 1-й, 2-й и т. д.

Им также даются названия в зависимости от того, какому значению они соответствуют. Так, например, первый разряд еще называют разрядом единиц.

  1. В самом деле, цифра, стоящая в нем, показывает число единиц в числе.
  2. Аналогично, цифра в разряде десятков (второй разряд) будет показывать число десятков в числе.
  3. Посмотрим на число 367.
  4. В разряде единиц (первом) стоит 7, значит, в числе 7 единиц.
  5. В разряде десятков (втором) стоит 6, значит, в числе 6 десятков.
  6. В разряд сотен (третьем) стоит 3, значит в числе 3 сотни.
  7. Проверим, что такая запись действительно соответствует нашему числу:
  8. (mathbf{3cdot100+6cdot10+7cdot1=300+60+7=367})
  9. Числа, запись которых состоит только из одной цифры, называют однозначными. Примеры: 7, 2

Всего однозначных чисел может быть только 10, так как всего 10 цифр. Кстати, натуральными будут только 9 из них, так как не является натуральным.

  • Аналогично двузначными числами называют такие, чья запись использует два знака (цифры), трехзначные— три цифры и так далее.
  • Числа, для записи которых используется больше одного знака, называют многозначными.
  • показывает отсутствие единиц данного разряда.
  • Таким образом, читая число 205, мы понимаем, что оно содержит в себе две сотни, ни одного десятка и 5 единиц.
  • Вы наверняка замечали в различных калькуляторах, что запись числа для удобства чтения разбивают на группы по 3 цифры.
  • Такие группы называют классами.
  • Классы так же, как и разряды, нумеруют справа налево.
  • Первый класс (первые три цифры) называют классом единиц, второй класс (следующие три цифры), называют классом тысяч и так далее.
  • Понимать классы можно точно также, как и разряды, каково число в классе, столько будет единиц соответствующего класса.
  • Например, имеем число 123 456 789
  • В классе единиц 789, значит число содержит 789 единиц.
  • В классе тысяч 456,значит число содержит 456 тысяч.
  • В классе миллионов 123, значит число содержит 123 миллиона.
  • Проверим, что такая запись соответствует числу:
  • (mathbf{123cdot1 000 000 +456cdot1 000+789cdot1=123 000 000 + 456 000 +789=123 456 789})

Тысячи иногда записывают обозначение “тыс.”, запись “23 тыс.” обозначает 23 000

  1. Миллион— это тысяча тысяч, его сокращение “млн”, запись “40 млн” обозначает 40 000 000
  2. Миллиард— тысяча миллионов, обозначение “млрд”, “1 млрд” обозначает 1 000 000 000
  3. Распишем подробно запись числа 26 490 103 397
  • Читая такое число, мы прочитываем содержимое класса, говоря потом его название (за исключение класса единиц):
  • 26 миллиардов 490 миллионов 103 тысячи 397
  • Подробно про то, как записывать числительные правильно и грамотно, вам расскажут в курсе русского языка.
Читайте также:  Закон стефана-больцмана, формула смещения вина - в помощь студенту

Источник: https://ladle.ru/education/matematika/5class/zapis-i-chtenie

Методические рекомендации по методике математического развития (в помощь студенту)

Тема
№ 2

Возникновение
математики и развитие ее как науки.
Развитие понятия натурального числа
.

План
– конспект: три

этапа
развития математики по А.М. Колмогорову.
(Щербакова стр.12 – 16).

Придерживаясь
схемы, предложенной академиком
А.М.Колмогоровым,
всю историю развития математики можно
разделить на три
основные этапа
.

Первый
этап

самый продолжительный. Он охватывает
тысячелетия
— от начала человеческого общества до
XVII
в. В
этот период формировались и разрабатывались
понятия дей­ствительного
числа, величины, геометрической фигуры.

Поз­же
были освоены действия с натуральными
числами, дробя­ми,
разработаны возможности и способы
измерения длины, угла,
площади, объема. Большим достижением в
этот период стало
открытие существования иррационального
числа типа 2
(иррациональные числа записываются в
виде бесконеч­ной
периодической дроби).

Характерным для
первого периода
является то, что математика была призвана
удовлетворять непосредственные
потребности, которые возникали в
хозяй­ственной и военной деятельности
человека: простой счет го­лов
скота, разнообразный раздел урожая,
сравнение длин разных
отрезков, планирование земельных
участков, изме­рение их площадей,
вычисление объема, а позже всякие
денежные
расчеты и др. Математика была тесно
связана с аст­рономией,
физикой, механикой.

Известно,
что в Вавилоне и Египте (2 тыс. лет до
н.э.) решали
математические задачи арифметического,
алгебраи­ческого
и геометрического содержания. При этом
нередко обращались к определенным
правилам, таблицам.

Но тео­рий,
из которых выводились бы эти правила,
чаще всего не существовало.
Поэтому не удивительно, что среди этих
пра­вил
были и такие, которые давали в некоторых
случаях пра­вильные
результаты, а в других — ошибочные.

Следует так­же
подчеркнуть, что накопление математических
знаний в
Египте
имело эмпирический характер.

Становление
математики как науки началось в Древней
Греции,
где появились значительные достижения
в области геометрии.
Именно в Греции начиная с XII
в. до н.э. разраба­тывается математическая
теория. Из науки практической ма­тематика
превращается в логическую, дедуктивную.

Знаменательным
событием в истории развития математики
было появление, меньше чем за 300 лет до
н.э., класси­ческого
произведения Эвклида «Начало», где
систематически изложена геометрия
приблизительно в том объеме, в котором
она теперь изучается в средней школе.

Кроме того, в нем есть данные
о делении чисел и решении квадратных
уравнений. В
III
в. до н.э. Аполоний написал книгу о
свойствах некоторых чудесных
кривых — эллипса, гиперболы и параболы.
Однако
в эпоху рабовладельческого общества
развитие науки
осуществлялось очень медленно.

Это
объясняется прежде всего
отрывом теории от практики, господством
убеждений, что
настоящая наука не должна интересоваться
жизненными потребностям
людей, что применять науку на практике
— означает
унижать ее.

В этот период в Древней
Греции господ­ствовала
идеалистическая философская школа
Платона, ко­торая
установила в математике ряд запретов
и ограничений, негативное
значение которых чувствуется иногда и
до сих пор (например,
пользование только циркулем и линейкой
при геометрических
построениях).

Но уже тогда были ученые,
ко­торые
правильно рассматривали взаимоотношения
теории и практики, опыта и логики,
логической дедукции. К ним следует
отнести Архимеда, Демокрита, Евклида и
других.

Одновременно
с греческой и в основном независимо от
нее
развивалась математическая наука в
Индии, где не было характерного
для греческой математики отрыва теории
от практики,
логики от опыта.

И хотя индийская
математика не
достигла уровня развития математики
греков, она созда­ла немало ценного,
что вошло в мировую науку и сохрани­лось
до нашего времени, например десятичная
система счисления,
решение уравнений 1-й и 2-й степени,
введение синуса
и т.д.

Преемниками
как греческой, так и индийской
математической
науки стали народы, которые были
объединены в VIII
в. арабским халифатом. Среди них необычайно
важную роль
в истории культуры сыграли народы
Средней Азии и Закавказья — узбеки,
таджики, азербайджанцы. Научные работы
тогда писались на арабском языке, который
был международным
языком стран Ближнего и Среднего Востока.
Начиная
с VIII
в.

на арабский язык переводятся
произведе­ния
индийских и греческих математиков,
благодаря чему с ними
смогли познакомиться европейцы. Период
с XII
по XV
в. характеризуется началом овладения
учеными Европы древней математической
наукой. Этого требовали торговые операции
большого масштаба. На латинский язык
качали переводить
научные произведения и первые книги по
мате­матике,
написанные в Азии.

В
конце XV
ст. введение книгопечатания ускорило
разви­тие
математики как науки в целом. В XVI
в. было сделано несколько
выдающихся математических открытий:
найдено решение уравнений 3-й и 4-й степени
в радикалах, установлены методы
приближенных вычислений, нахождение
корней
уравнений любой степени с числовыми
коэффицентами,
достигнуты большие успехи в создании
алгебраической символики.

На
основании археологических данных,
изучения летописей
можно сделать вывод, что общий уровень
математи­ческих
знаний на Руси в XII—XVI
вв. был не ниже, чем в Западной
Европе того времени, несмотря на
татаро-монголь­ское
нашествие, тормозившее развитие культуры.

Второй
этап

развития математики по продолжительности
намного
короче, чем первый. Он охватывает XVI
— начало XIX
в. С XVI
в. начинается расцвет математики в
Европе. В это время
зарождаются новые математические
теории, которые принадлежат
к области высшей математики.

Основу
высшей математики составляют аналитическая
геометрия, дифферен­циальное
и интегральное исчисления. Их возникновение
свя­зано
с именами великих ученых XVII
в. Декарта, Ферма, Ньютона, Лейбница.
Появилась возможность с помощью
математических
методов изучать движение, процессы
изме­нения
величин и геометрических фигур.

Огромное
значение имело
введение системы координат, измерение
величин и понятие
функции.

Выдающимся
открытием философии этого периода
явля­ется признание общности движения
и измерения (функции).

Следует
отметить, что на первом этапе математика
несо­вершенно
отображала количественные отношения
и простран­ственные
формы действительности. Во втором этапе
разви­тия
математики основным объектом изучения
стали зависи­мости
между изменяющимися величинами.

Особенно
бурно на этом этапе развивалась математика
в России.
В XVI
в. появилось много рукописей математического
содержания,
посвященных арифметике и геометрии.
Имен­но
тогда вышла книга по элементарной
математике Л.Ф.Магницкого
«Арифметика» (1703 г.). По этой книге
обучался ма­тематике
М.В Ломоносов.

Л.Ф.Магницкий
был достаточно образованным челове­ком
своего времени. Он закончил Московскую
славяно-гре­ко-латинскую академию,
где получил разностороннее обра­зование.
Зная много европейских языков,
Л.Ф.Магницкий ознакомился
с методической литературой разных
стран, в том
числе и по математике.

Свои знания он
изложил в кни­ге,
которая стала первым российским учебником
по ариф­метике.
По своему характеру учебник не был
по-настоящему академическим.
Часто мысли излагались в стихотворной
фор­ме,
текст сопровождался символическими
рисунками. Одна­ко
это было более менее систематизированное
изложение начальной
математики.

Кроме того, в учебнике был
поме­щен
материал по алгебре, геометрии и
тригонометрии.

Долгое
время единственным высшим учебным
заведени­ем
Восточной Европы была Киево-Могилянская
академия. Она играла важную роль в
развитии науки, культурного и литературного
процесса на Украине XVII—XVIII
вв., вхо­дившей
тогда в состав России.

В этот период
весьма плодо­творными
были научные связи Киево-Могилянской
акаде­мии
с образовательными учреждениями Кракова,
Магдебур­га,
Константинополя и др. С конца XVIII
в. академия постепенно
теряет роль культурно-образовательного
центра ив
1817 году закрывается.

Ее функции приняли
Киевская духовная
академия (1819) и Киевский университет
(1834).

В
1724 году была создана Петербургская
академия наук, где
с 1727 года работал великий математик Л.
Ейлер, опубликовавший большую часть
своих трудов (473) в изданиях Академии.

В
1755 году благодаря заботам выдающегося
российского ученого
М.В.Ломоносова был основан первый
российский университет
в Москве.

Появились многочисленные
русские переводы лучших иностранных
учебников по математике, а также
ряд оригинальных российских учебников
по арифме­тике,
алгебре, геометрии, тригонометрии и
анализу, кото­рые
по научному уровню не уступали
западноевропейским учебникам
того времени.

Третий
этап

развития математики — с XIX
в. до наших дней.

Он
характеризуется интенсивным развитием
классичес­кой
высшей математики. Математика стала
наукой о количе­ственных и пространственных
формах действительного мира в
их взаимосвязи.

Она переросла предыдущие
рамки, огра­ничивавшие
ее изучением чисел, величин, процессов
изме­нения геометрических фигур и их
превращений, и стала на­укой
о более общих количественных отношениях,
для кото­рых
числа и величины являются лишь отдельными
случаями.

Большой
вклад в развитие математики внесли
российские ученые
(М.И.Лобачевский, П.Л.Чебышев, А.М.Колмогоров
и
др.). Современная математика достигла
очень высокого уровня развития.
Теперь насчитывается несколько десятков
разных областей
математики, каждая из которых имеет
свое содержа­ние,
свои методы исследования и сферы
применения.

Во
второй половине XX
в. возникли математическая экономика,
математическая биология и лингвистика,
математическая
логика, теория информации и др., Современное
развитие общества, экономики и культуры
предусматривает высокий уровень
обработки информации.

Решение
многих научных и хозяйственных задач
невозможно
без использования вычислительной
техники, создания специального
оборудования и машин.

Сейчас широко
используются
вычислительно-аналитические и
электронно-вычислительные
машины, работающие с недоступной для
человека
быстротой.

Тема
№ 3 (2 ч.)

Источник: https://studfile.net/preview/7286109/

Натуральные числа

2014-05-26   

Натуральные числа арифметическими (рациональные) действия Переместительный (коммутативный) закон сложения Переместительный (коммутативный) закон умножения Сочетательный (ассоциативный) закон сложения Сочетательный (ассоциативный) закон умножения Распределительный (дистрибутивный) закон умножения

Натуральные числа выражают количество подлежащих счету однотипных или неоднотипных предметов; таковы, например, числа один, два, десять, двадцать, сто, двести пятьдесят шесть, тысяча и т. д.

Понятие натурального числа относится к простейшим, первоначальным понятиям математики и не подлежит определению через другие, более простые понятия. Натуральные числа могут быть естественным образом расположены по их возрастанию: каждое следующее натуральное число получается из предыдущего прибавлением единицы. Записанные в порядке возрастания: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, cdots ,$ натуральные числа образуют натуральный ряд. Многоточие показывает возможность неограниченного продолжения этого ряда. В этом смысле говорят, что имеется бесконечное множество натуральных чисел. Единица – наименьшее натуральное число; наибольшего числа натуральный ряд не имеет. Напомним принцип записи натуральных чисел в десятичной системе счисления при помощи десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры, участвующие в записи числа, при чтении их справа налево указывают последовательно, сколько в данном числе содержится единиц, затем десятков, сотен, тысяч и т. д. Вообще, цифра стоящая на k-м месте, считая справа, покажет, сколько данное число содержит единиц разряда $10^{k-1}$. Так, например, $18=1 cdot 10 + 8$, $347 = 3 cdot 10^{2} + 4 cdot 10 + 7$, $5096 = 5 cdot 10^{3} + 0 cdot 10^{2}+ 9 cdot 10 + 6$ и, в общей форме, для m — значного числа $a_{m}$: $a_{m}=c_{1} cdot 10^{m-1} + c_{2} cdot 10^{m-2} + cdots + c_{m-1} cdot 10 + c_{m}$, (1) где $c_{1},c_{2}, cdots, c_{m}$ — цифры, при помощи которых число $a_{m}$ записывается в виде $overline{c_{1}c_{2} cdots , c_{m}}$ (здесь черта сверху ставится, чтобы не смешивать число $a_{m}$ с произведением чисел $c_{1},c_{2}, cdots , c_{m}$).

В арифметике и алгебре рассматривают различные действия над числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и т, д. Первые четыре из этих действий называют арифметическими или рациональными

. Но только два из них — сложение и умножение — безусловно выполнимы в области натуральных чисел: сумма и произведение натуральных чисел суть снова натуральные числа. Сформулируем законы, которым подчиняются действия сложения и умножения; строгие определения этих действий и обоснование их свойств (выводимых из небольшого числа аксиом) рассматриваются в теоретической арифметике и здесь опускаются. Переместительный (или коммутативный) закон сложения: $a + b = b + a$ (2)

— от перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Переместительный (или коммутативный) закон умножения: $a cdot b = b cdot a$ (3) — от перестановки сомножителей произведение не изменяется. В дальнейшем, по большей части, в записи произведения $a cdot b$ точку опускаем и пишем просто $ab$.Сочетательный (или ассоциативный) закон сложения: $(a + b) + c = a + (b + c)$ (4)

— сумма не зависит от группировки слагаемых.

Этот закон позволяет записывать сумму нескольких слагаемых без скобок. Например: $(a+b) + c = a + (b + c) = a + b + c$.

Сочетательный (или ассоциативный) закон умножения: $(ab)c=a(bc)$ (5)

— произведение не зависит от группировки сомножителей. Этот закон позволяет писать произведение нескольких сомножителей без скобок. Например: $(ab)c=a(bc)=abc$.Распределительный (или дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: $(a+b)c=ac+bc$. (6) Этот закон лежит в основе правила раскрытия скобок, которым часто пользуются в вычислениях и преобразованиях.

Источник: https://earthz.ru/science/Naturalnye-chisla

Ссылка на основную публикацию