Наибольший общий делитель, взаимно простые числа — в помощь студенту

Давайте разберемся, что означает понятие «наибольший общий делитель».

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Попробуем объяснить в не строгой форме.

Допустим у нас есть два числа, у этих двух чисел есть число, на которое они оба делятся. Максимально большое такое число и есть наибольшим общим делителем. Т.е. наибольший общий делитель – наибольшее число, на которое можно разделить несколько чисел без остатка. Строгое определение мы рассмотрим чуть позже.

Сейчас рассмотрим пример, который иллюстрирует данную идею:

У нас есть 48 шоколадок, и 36 конфет. Мы хотим из этого набора составить некоторые комплекты, которые мы подарим детям на Новый Год. Какое наибольшее количество комплектов мы можем сделать так, чтобы всем детям досталось поровну?

Решение:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Глоссарий по психологии - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Чтобы поделить шоколадки и конфеты поровну нам нужно разделить и шоколадки и кофеты нацело на количество подарков. Например, если поделить их на два подарка, то в каждом подарке будет по 24 шоколадки, и 18 конфет. То есть количество шоколадок или конфет нужно поделить на количество подарков, и оно будет делителем количества шоколадок или конфет.

Давайте найдем наибольший общий делитель чисел 48 и 36.

Выпишем все делители для обоих чисел:48:

  • 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
  • 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
  •  Давайте выделим из них общие делители:
  •  Наибольший из общих делителей – 12.
  • Значит, мы можем сделать 12 подарков, и не сложно посчитать, что в каждом из них будет по 4 шоколадки, и по 3 конфеты.
  • Ответ: 12 комплектов.
  • Давайте дадим точное определение наибольшему общему делителю.
  • Наибольший общий делитель(НОД)двух и более натуральных чисел – это наибольшее из натуральных чисел, на которое делится каждое из данных чисел.
  • Есть два числа ,  их наибольший делитель будет записан так:

Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту

  1. Числа в скобках написаны через точку с запятой, чтобы не путать числа с десятичной дробью.
  2. Существует еще такая форма записи НОД:
  3. Но чаще используют первый вариант.
  4. Давайте подумаем в каких границах может находиться НОД двух чисел.
  5. Первое свойство.
  6. У любых двух чисел есть хотя бы один общий делитель, и это число 1.
  7. И здесь мы введем понятие взаимно простых чисел.
  8. Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.

Что это значит? Это значит, что на самом деле у них нет других общих делителей, кроме единицы. Какие примеры взаимно простых чисел мы можем привести?

Например, числа 2 и 3, которые мы рассматривали выше. Числа 3 и 7 также взаимно простые.

Очень важно не путать понятия взаимно простых чисел, и простых чисел.

Из того что числа взаимно простые еще не следует, что они простые.

Например, Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту. Тем не менее ни 9, ни 10 не являются простыми числами, но они взаимно простые.

Второе свойство.

Как вы думаете, если даны два числа  и , причем  нацело делится на  (), чему тогда равен ?

 – такое наибольшее число, на которое делятся и , и . Логично, что наибольшее число, на которое делится  – , а  – по условию.

Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту

Теперь давайте найдем удобный способ нахождения НОД.

В первом примере мы просто выписывали все числа, но такой способ не особо удобен при рассмотрении больших чисел. Давайте рассмотрим метод разложения на множители.

Рассмотрим все те же числа 36 и 48:

  • Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту – это т.н. «каноническое разложение» числа 36;
  • Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту

Давайте выделим общие множители столько раз, сколько они встречаются в результате разложения каждого числа: 2 ,2 ,3.

При перемножении этих чисел мы и получим НОД.

Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту

Ответ: 12.

Давайте рассмотрим другой пример.

Возьмем числа 25 и 40. Найдем НОД.

  • ;
  • Ответ: 5.
  • Между прочим, если мы будем искать НОД трех чисел, то это делается без труда по такому же методу.
  • Давайте попробуем на примере.
  • Найти .
  1. Ответ: 4;
  2. Итак, мы с вами научились вычислять НОД двух чисел и трех чисел.
  3. Давайте теперь рассмотрим еще несколько свойств НОД.
  • ;

Вспомним, что такое простые числа. Простое число – это число, которое имеет ровно два натуральных делителя – единицу и себя.

  • ; ,  – различные простые числа, следовательно эти числа – взаимно простые;
  • ; т.е. последовательные числа также взаимно простые

Мы с вами научились считать НОД двух чисел, научились считать НОД трех чисел, ввели некоторые свойства, по которым мы сможем быстро считать НОД в некоторых случаях. Но у нас могут возникнуть проблемы с разложением на множители.

Если взять числа больше, например, 143 и 257, разложение на множители уже не так очевидно, как в случае с 16 и 36, поэтому нужно найти универсальный метод, который бы работал для любых чисел, даже если разложение на множители затруднено. И такой универсальный метод есть. Он называется алгоритм Евклида. Этому алгоритму уже более двух тысяч лет, и тем не менее он радует глаз математиков и по сей день.

  • Найдем .
  • Идея алгоритма в следующем: заменяем большее из чисел их разностью.
  •  при этом НОД не меняется.
  • Алгоритм Евклида с вычитанием заключается в последовательной замене наибольшего числа из двух данных чисел, для которых вычисляется НОД, разностью этих чисел.
  • Продолжим
  • Можно продолжать и дальше, но тут ответ уже очевиден

, т.к. .

Ответ 11.

Мы можем использовать этот алгоритм и для тех чисел, которые мы уже разобрали.

, т.к.

К сожалению, для трех чисел этот алгоритм настолько легко не работает. С другой стороны, у этого алгоритма есть несколько улучшений, есть алгоритм Евклида не с вычитанием, а с делением, поэтому если вам интересно, обязательно спросите у своего учителя, в чем он заключается и возможно вы сами сможете использовать этот более сильный метод.

Давайте не углубляясь разберемся, откуда же берется сама идея алгоритма с вычитанием. Наверняка вы знаете свойство делимости, что если два числа делятся на третье, то и сумма или разность двух чисел также делится на это третье, если  и , то . Это свойство мы здесь и используем.

Сегодня мы с вами познакомились с новым понятием — наибольший общий делитель, определили его, обсудили его свойства и рассмотрели несколько способов вычисления НОД. Первый – выписать делители и найти из них наибольший.

Второй – разложить на множители и выбрать сомножитель, являющийся общим, этот способ, как мы помним, работает для трех и более чисел. И третье – алгоритм Евклида.

Когда мы буде говорить о дробях, о сложении дробей с разными знаменателями, идея НОД нам очень понадобится. На этом наш урок закончен.

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2.      Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

  1. Рекомендованные ссылки на интернет ресурсы
  2. Интернет портал «CleverStudents» (Источник)
  3. Интернет портал «Фестиваль педагогических идей» (Источник)
  4. Интернет портал «База презентаций» (Источник)
  5. Рекомендованное домашнее задание
  6. Найдите НОД чисел: 27, 15 и 9.
  7. Найдите НОД (424;477) при помощи алгоритма Евклида.

Туристы проехали за первый день 56 км, а за второй – 72 км, причем их скорость была одинаковой и выражалась целым числом км/ч, и каждый день они были в пути целое число часов. Найдите скорость, с которой ехали туристы, если она была наибольшей из удовлетворяющих условию задачи.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/matematika/6-klass/delimost-chisel/naibolshiy-obschiy-delitel-algoritm-evklida?seconds=0

Наибольший общий делитель, взаимно простые числа

Справочник по математике Арифметика Делимость и деление с остатком

Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту

      Определение 1. Общим делителем нескольких натуральных чисел называют число, которое является делителем каждого из этих чисел.

      Определение 2. Самый большой из общих делителей называют наибольшим общим делителем (НОД).

      Пример 1. Общими делителями чисел   30 , 45   и   60   будут числа   3 , 5 , 15 .   Наибольшим общим делителем этих чисел будет

НОД ( 30 , 45 , 10) = 15 .

      Определение 3. Если наибольший общий делитель нескольких чисел равен   1 ,   то эти числа называют взаимно простыми.

      Пример 2. Числа   40   и   3   будут взаимно простыми числами, а числа   56   и   21   не являются взаимно простыми, поскольку у чисел   56   и   21   есть общий делитель  7 ,   который больше, чем   1.

      Замечание. Если числитель дроби и знаменатель дроби являются взаимно простыми числами, то такая дробь несократима.

Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя

      Рассмотрим алгоритм нахождения наибольшего общего делителя нескольких чисел на следующем примере.

      Пример 3. Найти наибольший общий делитель чисел   100, 750   и   800 .

      Решение. Разложим эти числа на простые множители:

Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студентуНаибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту

      Простой множитель   2   в первое разложение на множители входит в степени   2 ,   во второе разложение – в степени   1 ,   в третье разложение – в степени   5 .   Обозначим наименьшую из этих степеней буквой   a .   Очевидно, что   a = 1 .

      Простой множитель   3   в первое разложение на множители входит в степени   0   (другими словами, множитель   3   в первое разложение на множители вообще не входит), во второе разложение входит в степени   1 ,   в третье разложение – в степени   0 .   Обозначим наименьшую из этих степеней буквой   b .  Очевидно, что   b = 0 .

      Простой множитель   5   в первое разложение на множители входит в степени   2 ,   во второе разложение – в степени   3 ,   в третье разложение – в степени   2 .   Обозначим наименьшую из этих степеней буквой   c .  Очевидно, что   c = 2 .

      Теперь рассмотрим число:

Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студентуНаибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту

      Это число и есть наибольший общий делитель чисел   100, 750   и   800 .

      Ответ:   50 .

      Замечание. Чтобы сократить дробь, нужно её числитель и знаменатель разделить на их наибольший общий делитель.

Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/uslugi/ege/egepracticprice.htm

Как найти НОД

  • Нахождение путём разложения на множители
  • Алгоритм Евклида

Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.

Пример 1. Найдём НОД (84, 90).

Раскладываем числа 84 и 90 на простые множители:

Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту

Итак, мы подчеркнули все общие простые множители, осталось перемножить их между собой: 1 · 2 · 3 = 6.

Таким образом, НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найдём НОД (15, 28).

Раскладываем 15 и 28 на простые множители:

Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту

  • Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель – единица.
  • НОД (15, 28) = 1.
  • Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.
  • Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.
  • Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.

Пример 1. Возьмём два числа 27 и 9. Так как 27 делится на 9 и 9 делится на 9, значит, 9 является общим делителем чисел 27 и 9. Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что 9 не может делиться ни на какое число, большее 9. Следовательно, НОД (27, 9) = 9.

В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:

  1. Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
  2. Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
  3. Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
  4. Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
  5. Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.
  1. Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел 140 и 96:
  2. 1) 140 : 96 = 1 (остаток 44)
  3. 2) 96 : 44 = 2 (остаток 8)
  4. 3) 44 : 8 = 5 (остаток 4)
  5. 4) 8 : 4 = 2
  6. Последний делитель равен 4 – это значит, что НОД (140, 96) = 4.
  7. Последовательное деление так же можно записывать столбиком:

Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту

Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:

  1. Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
  2. Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
  3. Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.

Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел 140, 96 и 48. НОД чисел 140 и 96 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 4). Осталось найти наибольший общий делитель числа 4 и третьего данного числа – 48:

1) 48 : 4 = 12

48 делится на 4 без остатка. Таким образом, НОД (140, 96, 48) = 4.

Читайте также:  Детские общественные объединения в воспитательной системе школы - в помощь студенту

Источник: https://naobumium.info/arifmetika/nod2.php

Наибольший общий делитель

Найти наибольший общий делитель(НОД) Найти наименьшее общее кратное (НОК Запомните!

Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.

Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.

Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные.

Простых чисел много, и первое среди них — число 2. Однако нет последнего простого числа. В разделе «Для учёбы» вы можете скачать таблицу простых чисел до 997.

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

Например:

  • число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;
  • число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа.

Запомните!

Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число «a» без остатка.

Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.

Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел — 12.

Общий делитель двух данных чисел «a» и «b» — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа «a» и «b».

Запомните!

Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел «a» и «b» — это наибольшее число, на которое оба числа «a» и «b» делятся без остатка.

  • Кратко наибольший общий делитель чисел «a» и «b» записывают так:
  • НОД (a; b).
  • Пример: НОД (12; 36) = 12.
  • Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».
  • Пример.

Д (7) = {1, 7}

Д (9) = {1, 9}

НОД (7; 9) = 1

Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми числами.

Запомните!

Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1. Их НОД равен 1.

Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:

  1. разложить делители чисел на простые множители;

Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.

Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64.

Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту

  1. Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах. 28 = 2 · 2 · 7

    64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

  2. Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ; НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4

    Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».

Первый способ записи НОД

Найти НОД 48 и 36.

Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12

Второй способ записи НОД

Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15.

Д (10) = {1, 2, 5, 10}

  1. Д (15) = {1, 3, 5, 15}
  2. Д (10, 15) = {1, 5}
  3. НОД (10; 15) = 5

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages%2Ffind_nod_and_nok%2Ffind_nod.php

Урок 6 Получить доступ за 50 баллов Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа

Сейчас мы научимся определять наибольший общий делитель для двух или трех чисел, познакомимся с алгоритмом Евклида и узнаем много всего интересного.

  • Самое большое натуральное число, на которое делятся нацело два или более чисел, называется их наибольшим общим делителем (НОД).
  • При поиске НОД, например, 36 и 24, надо:
  • 1. Записать их в виде разложения на простые множители
  • $$mathbf{36 = 2cdot2cdot3cdot3}$$
  • $$mathbf{24 = 2cdot2cdot2cdot3}$$
  • 2. Среди множителей (mathbf{2cdot2cdot3cdot3}) и (mathbf{2cdot2cdot2cdot3}), которые входят в разложения этих чисел, нужно оставить только одинаковые множители — это (mathbf{2cdot2cdot3})
  • 3. Вычислить произведение множителей, которые остались: (mathbf{2cdot2cdot3 = 12})
  • В итоге НОД чисел 36 и 24 равен 12.
  • Если при нахождении НОДа среди чисел есть одно, на которое делятся все остальные, то оно и будет тем самым НОДом.
  • Например, у чисел 12, 36 и 48 НОД = 12
  1. Пример 1
  2. Найдите все общие делители чисел:
  3. А) 70, 105
  4. Б) 18, 24
  5. В) 45,75
  6. Г) 324, 111, 432
  7. Д) 320, 640, 960
  8. Решение
  9. А)
  10. $$mathbf{70  = 2cdot5cdot7}$$
  11. $$mathbf{105 = 3cdot5cdot7}$$
  12. $$mathbf{НОД (70; 105) = 5cdot7 = 35}$$
  13. Б)
  14. $$mathbf{18 = 2cdot3cdot3}$$
  15. $$mathbf{24 = 2cdot2cdot2cdot3}$$
  16. $$mathbf{НОД (18; 24) = 2cdot3 = 6}$$
  17. В)
  18. $$mathbf{45 = 3cdot3cdot5}$$
  19. $$mathbf{75 = 3cdot5cdot5}$$
  20. $$mathbf{НОД (45; 75) = 3cdot5 = 15}$$
  21. Г)
  22. $$mathbf{324 = 2cdot2cdot3cdot3cdot3cdot3}$$
  23. $$mathbf{111 = 3cdot37}$$
  24. $$mathbf{432 = 2cdot2cdot2cdot2cdot3cdot3cdot3}$$
  25. $$mathbf{НОД (324; 111; 432) = 3}$$
  26. Д)
  27. $$mathbf{320 = 2cdot2cdot2cdot2cdot2cdot2cdot5}$$
  28. $$mathbf{640 = 2cdot2cdot2cdot2cdot2cdot2cdot2cdot5}$$
  29. $$mathbf{960 = 2cdot2cdot2cdot2cdot2cdot2cdot3cdot5}$$
  30. $$mathbf{НОД (320; 640; 960) = 2cdot2cdot2cdot2cdot2cdot2cdot5 = 320}$$
  31. Пример 2

На новогоднем утреннике дети получили пакеты с подарками. Всего во всех пакетах находилось 159 апельсинов и 106 яблок. Сколько детей было на новогодней ёлке? Сколько в каждом пакете было яблок и сколько апельсинов?

  • Решение
  • $$mathbf{159 = 3cdot53}$$
  • $$mathbf{106 = 2cdot53}$$
  • $$mathbf{НОД (159; 106) = 53}$$

Ребят на елке было 53 человека. В каждом пакете подарка было по 3 апельсина и 2 яблока.

Пример 3

Для выезда на природу работникам предоставили несколько автобусов. В каждом автобусе равное число мест для сидения. 184 человека выехали в лес, а 138 отправились на озеро. Так вышло, что все места в автобусах были заняты, и, стоя, никто не ехал. Сколько автобусов было и сколько пассажиров ехало в каждом из них?

  1. Решение
  2. $$mathbf{184 = 2cdot2cdot2cdot23}$$
  3. $$mathbf{138 = 2cdot3cdot23}$$
  4. $$mathbf{НОД (184; 138) = 23}$$

В каждом автобусе было по 23 места. В лес поехало 8 автобусов, а на озеро поехало 6 автобусов. Всего было 8 + 6 = 14 автобусов.

  • Давайте разберёмся с некоторыми натуральными числами.
  • Число 15 имеет делители 1, 3, 5, а число 16 имеет делители 1, 2, 4, 8
  • У этих чисел единственный одинаковый делитель — это число 1 , поэтому они будут называться взаимно простыми.
  • Рассмотрев этот и другие примеры, не сложно догадаться, что натуральные числа, у которых НОД равен 1, называются взаимно простые.
  • Пример 1

Возьмем две пары чисел 12 и 18, 13 и 21. Выясним, есть ли среди них взаимно простые числа. Для этого каждое из чисел распишем по простым делителям.

12 имеет делители 1, 2, 3, 4, 6, 12

18 имеет делители 1, 2, 3, 6, 9, 18

Значит, числа 12 и 18 кроме единицы имеют общие делители 2, 3, 6, поэтому они не являются взаимно простыми числами. Повторим действия с другой парой чисел 13 и 21.

Число 13 делится нацело на 1, 13, а число 21 делится нацело на 1, 3, 7, 21.

Тут уже ситуация другая. 13 и 21 имеют единственный общий делитель — 1.

  1. Значит, вторая пара чисел состоит из взаимно простых.
  2. Пример 2 
  3. Пусть у нас есть два числа 45 и 32, которые являются натуральными и составными.
  4. Первое из них 45 имеет делители 1, 3, 5, 9, 15, 45, а натуральное число 32 имеет делители 1, 2, 4, 8, 16, 32
  5. Оба числа из этой пары имеют единственный общий делитель- 1
  6. Значит, числа 45 и 32 являются взаимно простыми. Запишем оба числа в виде разложения на простые множители
  7. $$mathbf{45 = 3cdot3cdot5}$$
  8. $$mathbf{32 = 2cdot2cdot2cdot2cdot2}$$

Числа из нашего примера, 45 и 32, в записи на множители не содержат равных чисел. Значит, разложения на простые множители двух и более взаимно простых чисел не включают одинаковых простых множителей.

  • Пример 3
  • Являются ли взаимно простыми числа:
  • А) 55 и 40
  • Б) 77 и 92
  • В) 14, 32 и 41
  • Г) 231 и 298
  • Д) 68 и 137
  • Решение:
  • А)
  • $$mathbf{55 = 5cdot11}$$
  • $$mathbf{40 = 2cdot2cdot2cdot5}$$
  • $$mathbf{НОД (55; 40)  = 5}$$
  • Нет, не являются взаимно простыми числами
  • Б)
  • $$mathbf{77 = 7cdot11}$$
  • $$mathbf{92 = 2cdot2cdot23}$$
  • $$mathbf{НОД (77; 92) = 1}$$
  • Да, являются взаимно простыми числами
  • В)
  • $$mathbf{14 = 2cdot7}$$
  • $$mathbf{32 = 2cdot2cdot2cdot2cdot2}$$
  • $$mathbf{41 — простое:число}$$
  • $$mathbf{НОД (14; 32; 41) = 1}$$
  • Да, являются взаимно простыми числами
  • Г)
  • $$mathbf{231 = 3cdot7cdot11}$$
  • $$mathbf{298 = 2cdot149}$$
  • $$mathbf{НОД (231; 298) = 1}$$
  • Да, являются взаимно простыми числами
  • Д)
  • $$mathbf{68 = 2cdot2cdot17}$$
  • $$mathbf{137- простое}$$
  • $$mathbf{НОД (68; 137) = 1}$$
  • Да, являются взаимно простыми числами
  • Пример 4
  • Найдите разложение на простые множители наибольшего общего делителя чисел a и b, если:
  • А) (mathbf{a = 2cdot3cdot5cdot2cdot3}) и  (mathbf{b = 2cdot2cdot5cdot7})
  • Б) (mathbf{a = 3cdot5cdot5cdot7cdot17}) и (mathbf{b = 5cdot3cdot3cdot17})
  • Решение
  • А) (mathbf{НОД (a; b) = НОД (2cdot3cdot5cdot2cdot3; 2cdot2cdot5cdot7) = 2cdot2cdot5 = 20})
  • Б) (mathbf{НОД (a; b) = НОД (3cdot5cdot5cdot7cdot17; 5cdot3cdot3cdot17) = 5cdot3cdot17 = 255})
  1. Признак делимости на произведение взаимно простых чисел: если данное натуральное число делится на каждое из взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение.
  2. Рассмотрим этот признак на примере трех взаимно простых чисел.
  3. Возьмем, например, 420.
  4. Число 420 без остатка делится на 2, на 5 и на 7.

Числа 257 являются взаимно простыми (так как их НОД равен 1). Проверим, будет ли делиться 420 на произведение взаимно простых чисел 25 и 7.

  • (mathbf{2cdot5cdot7 = 70})
  • (mathbf{frac{420}{70} = 6})
  • Очевидно, что 420 делится нацело на произведение чисел двух, пяти и семи.
  • Правило можно применять для любого количества множителей.

Алгоритм Евклида, который используется для нахождения НОДа и с которым мы познакомились выше, широко применяется при решении других математических задач. Например, он связан с цепными дробями и позволяет с их помощью уменьшать большие дроби до маленьких.

$$frac{105}{38} = 2+frac{1}{1+frac{1}{3+frac{1}{4+frac{1}{2}}}}$$

Кроме того, алгоритм используется при решении линейных диофантовых уравнений. Это такие уравнения, у которых могут быть несколько неизвестных целых величин, и все их нужно найти. Например, может быть такое уравнение:

  1. $$mathbf{2x+3y = 1}$$
  2. Решением этого уравнения будет пара чисел
  3. $$mathbf{x = 5}$$ и $$mathbf{y = -3}$$

Могут быть и другие пары решений. Решение таких уравнений начинается обычно с нахождения НОДа чисел, стоящих перед неизвестными. В нашем случае мы бы находили (mathbf{НОД(2, 3)})

Не всегда данный алгоритм позволяет быстро решать задачи. Иногда можно потратить много времени, сделать много вычислений, прежде чем найти нужный результат. Это единственный большой минус одного из старейших численных алгоритмов.

Наибольший общий делитель, взаимно простые числа - в помощь студенту

  • Видео
  • Изображения
  • Дополнительная информация
  • Таблицы
  • Тесты

Получить доступ

Источник: https://ladle.ru/education/matematika/6class/naibolshij-obshchij

Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа

Урок математики в 5 классе по теме

«Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа».

Цель обучения: формирование учебных навыков по нахождению наибольшего общего делителя, знакомство с понятием взаимно простых чисел.
Задачи
Образовательные:
  • совершенствовать приемы быстрого счета в примерах;
  • познакомить с понятием НОД натуральных чисел, научиться находить его различными способами;
  • познакомить с понятием взаимно простых чисел;
  • формировать функциональную математическую грамотность;
  • формулировать и записывать результаты решения.
Развивающие:
  • распознавать проблемы, которые возникают в окружающей действительности и могут быть решены средствами математики;
  • формулировать эти проблемы на языке математики;
  • анализировать использованные методы решения;
  • учиться систематизировать полученную информацию в таблицу, используя прием «Знаю- хочу узнать — узнал».
Социокультурные:
  • уметь работать в группе, оказывать помощь друг другу;
  • повышать ответственность не только за собственные знания, но и за успехи всего коллектива;
  • формировать интерес учащихся к предмету математика;
  • формировать уверенность в своих силах, трудолюбие, активность, внимание.
Тип урока: Урок открытия новых знаний с использованием приемов критического мышления
Формы работы: Групповая, парная, индивидуальная и фронтальная.
Ожидаемые результаты:
  • использовать алгоритмы для нахождения НОД натуральных чисел;
  • находить взаимно простые числа;
  • использовать полученные знания при решении задач практического содержания.
Ресурсные материалы: Интерактивная доска, учебник, дидактический материал.
Действия учителя Действия ученика Методическое обоснование
Эмоциональный настрой на урок
  • «Если вам нравится учиться в школе – хлопните!
  • Если у вас хорошее настроение – улыбнитесь!
  • Если вы хотите получить удовольствие от урока – сядьте правильно, будьте активны и внимательны!»
Выполняют действия, которые предлагает учитель. Эмоциональный настрой – важный момент урока. Как начнется, на какой ноте, с каким настроением дети будут начинать выполнять задания – так и пройдет весь урок.
Стадия вызова (подготовительный этап)
  1. Учитель предлагает поиграть в игру «Верю-не верю», дается лист с вопросами, на которые каждому ученику предлагается самостоятельно ответить на поставленный вопрос согласен он или нет, а затем обменяться мнением с партнером по парте. (Приложение 1)
  1. Ученики самостоятельно, затем в парах обдумывают и обсуждают вопросы.

Один ученик выполняет на интерактивной доске, после чего открываются правильные ответы.

  1. Этот прием носит информационную функцию, направленную на вызов у учащихся уже имеющихся знаний по изучаемому вопросу.
  1. Учитель выводит на слайде примеры для быстрого счета, которые ребята должны самостоятельно посчитать, и ответы один из учеников записывает на доске, на которой шторкой закрыты правильные, затем происходит проверка. (Приложение 2, слайд 2)
  1. Ученики самостоятельно выполняют действия, сверяя свои результаты с верными.
  1. Мотивационная функция – побуждение к работе с новой информацией, стимулирование интереса.
Стадия осмысления (восприятия нового)
  1. Учащимся предлагается, после прочтения параграфа в учебнике о НОД, заполнить таблицу «Знаю – Хочу узнать — Узнал», не заполняя последний столбец.

(Приложение 3)

  1. Ученики читают материал учебника и стараются заполнить таблицу, учитывая уже знакомые понятия. Вначале работают индивидуально, затем сверяют свои ответы в четверках.
  1. Непосредственная работа с новой информацией, постепенное продвижение от знания старого к новому. Оценочная функция этого приема позволяет учащимся сопоставлять новую информацию с уже имеющейся.
  1. Учитель раздает задания с конкретными примерами нахождения НОД.

(Приложение 4)

  1. Ученики в парах разбирают задания, и выполняют новые, используя образец.
  1. Совместная работа над новым материалом позволяет одновременно и разобраться в нем и закрепить, обсуждая решение с одноклассником.
  1. Учитель предлагает высказаться по прочитанному материалу, и закрепить полученные знания на конкретных примерах.
  1. Ученики рассказывают способы и алгоритмы нахождения НОД, дают понятия взаимно простых чисел, решают примеры со слайдов в тетрадях.
  1. Информационная функция, которая позволяет применять полученную информацию по новой теме.
  1. Раздает задания группам (четверкам) по задаче функциональной направленности, с применением нахождения НОД. (Приложение 5)
  1. Ученики по группам решают задачи, обсуждая решение в группах, оформляют на постерах, затем происходит их защита.
  1. При решении задач практической направленности формируется видение роли математики в повседневной жизни, математическое мировоззрение.
Стадия рефлексии (присвоение информации)
  1. Учитель предлагает вернуться к заполнению таблицы и проставить плюсами те моменты со второго столбца, которые ученики хотели узнать на уроке и узнали.
  1. Ученики, анализируя прошедший урок, возвращаются к таблице и заполняют последний столбец, опираясь на полученные знания.
  1. Коммуникационная функция предусматривает обмен мнениями по новой информации.
  1. Учитель выводит на ИД «Ромашку вопросов», за каждым лепестком которой скрыт вопрос

(Приложение 6)

  1. Учащиеся открывают вопросы и отвечают на них.
  1. Каждый вопрос составлен согласно таксономии Блума, и учащимся дается возможность обсудить ответ, высказав свою точку зрения.
  1. Подача домашнего задания творческого характера. Необходимо самостоятельно придумать по две задачи и решить их.
  1. Записывают домашнее задание, задают вопросы.
  1. Творческое домашнее задание повышает интерес к предмету, функциональную грамотность.
  1. Прием рефлексии «Мишень», при котором учащиеся должны «выстрелить» в мишень 4 раза, проанализировав свою деятельность, было ли интересно, понятно, узнал ли сегодня что-нибудь нового (Приложение 7)
  1. Ученики, вспоминая урок, настраиваются на «выстрел» именно по своему желанию.
  1. Данный прием позволяет учащимся выразить свое отношение к уроку, к своей деятельности, позволяет учителю увидеть свой урок глазами детей.

Приложение 1.

Верите ли Вы …

ВОПРОСЫ ДА НЕТ
  1. Что делителем натурального числа а называют натуральное число, которое делится без остатка на а?
  1. Что существует прямоугольник, стороны которого выражаются натуральными числами, а площадь — простым числом?
  1. Что если число делится на 3, то оно делится и на 9?
  1. Что при делении числа на нуль в результате получиться нуль?
  1. Если один множитель увеличить в 3 раза, а другой в 5 раз, то произведение увеличится в 8 раз?
  1. Чтобы найти во сколько одно число больше другого, необходимо найти разность этих чисел?
  1. Что натуральное число делится на 25, если две последние цифры нули, или составляют число, кратное 25?
  1. Что натуральное число делится на 3, если последняя цифра его кратна 3?
  1. Что все четные числа составные?

Приложение 2.

Приемы быстрого счета

  1. Умножение двузначного числа на 11.

При умножении двузначного числа на 11 цифры этого числа раздвигают и в середину ставят сумму этих цифр.

Примеры:

  1. Задание 1. Найдите значение произведения указанным способом:
  2. ; .
  3. Задание 2. Найдите значение частного, используя данный способ умножения:
  4. ; .
  1. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся цифрой 5, достаточно число его десятков умножить на число, увеличенное на 1, и к произведению справа дописать 25.

Пример: , т.к. и приписываем 25.

  • Задание 3. Найдите значение произведения указанным способом:
  • ; .
  • Задание 4. Найдите значение частного, используя данный способ возведения в квадрат:
  • ; .
  1. Возведение в квадрат числа, имеющего 5 десятков.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, имеющее 5 десятков, достаточно к 25 прибавить цифру единиц и к результату приписать справа квадрат числа единиц так, чтобы в результате получилось четырехзначное число.

Пример: т.к. и приписать

  1. Задание 5. Найдите значение произведения указанным способом:
  2. ; .
  3. Задание 6. Найдите значение частного, используя данный способ возведения в квадрат:
  4. ; .
  1. Умножение на число, состоящее из девяток.

Чтобы умножить на число, написанное девятками, надо к множимому приписать справа столько нулей, сколько девяток во множителе, и из результата вычесть множимое.

Пример: , т.к.

  • Задание 7. Найдите значение произведения указанным способом:
  • ;
  • Задание 8. Найдите значение частного, используя данный способ умножения:
  • ; .
  1. Умножение двух чисел близких к ста.

Чтобы умножить два числа, близких к ста, надо найти их недостатки до 100 (вычесть каждое из чисел из 100), вычесть из одного множителя недостаток другого, к результату приписать двумя цифрами произведение недостатков сомножителей до сотни.

Пример: , т.к. (7 и 3 недостатки до ста), и приписать произведение .

  1. Задание 9. Найдите значение произведения указанным способом:
  2. ;
  3. Задание 10. Найдите значение частного, используя данный способ умножения:
  4. ; .
  1. Деление трехзначных чисел, состоящих из одинаковых цифр, на число 37. Результат равен сумме этих одинаковых цифр трехзначного числа (или числу, равному утроенной цифре трехзначного числа).

Примеры.

а) 222:37=6. Это сумма 2+2+2=6.

б) 333:37=9, т. к. 3+3+3=9.

  • Задание 11. Найдите значение частного указанным способом:
  • Приложение 3.
  • Приложение 4.
  • Нахождение наибольшего общего делителя чисел методом перебора.
Пример. Найти НОД (42; 56) Задание 1:
  1. Решение:
  2. D (42) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}
  3. D (56) = {1; 2; 4; 7; 8; 14; 28; 56}
  4. D (42; 56) = {1; 2; 7; 14}
  5. НОД (42; 56) = 14
Найти НОД (30;36) методом перебора.

Нахождение наибольшего общего делителя чисел методом разложения чисел на простые множители.

Пример. Найти НОД (42; 56) Задание 2:
  • Решение:
  • НОД (42; 56) =
Найти НОД (30;36) методом разложения на множители.

Приложение 5.

1 группа. Имеется по 48 синих, желтых и зеленых карандашей, 72 красных карандаша и 120 картинок для раскрашивания. Какое наибольшее число одинаковых наборов можно составить из этих картинок и карандашей? По сколько предметов в каждом наборе?

2 группа. На нефтебазу прибыло три состава с бензином. В первом составе 504 т нефти, во втором – 288 т, а в третьем – 648 т. Известно. Что масса бензина в каждой цистерне одинакова. Чему равна наибольшая масса бензина в каждой цистерне? Сколько цистерн в каждом составе?

3 группа. Для детского сада купили 60 игрушечных машин, 80 кукол, 48 конструкторов. Каждой группе досталось одинаковое количество машин, одинаковое количество кукол и конструкторов. Скольким группам в детском саду были розданы игрушки и по сколько?

4 группа. На новый год для украшения елки ученикам 5 класса было поручено сделать одинаковые гирлянды. Ребята 5 класса купили 36 синих, 24 желтых и 60 красных флажков. Сколько смогут сделать гирлянд ученики и сколько флажков каждого цвета будет в каждой гирлянде?

  1. Приложение 6.
  2. Приложение 7.
  3. 3

Источник: https://multiurok.ru/files/naibol-shii-obshchii-dielitiel-vzaimno-prostyie-ch.html

Теоретический материал: Понятие натурального числа

Алгебра

Глава 1. Натуральные числа

1.1. Понятие натурального числа

Учитель

Понятие натурального числа относится к простейшим, первоначальным понятиям математики и не определяется через другие, более простые понятия.Натуральные числа естественным образом можно расположить в порядке возрастания: каждое следующее натуральное число получается из предыдущего прибавлением единицы.

При этом записанные в порядке возрастания числа и обозначаемые символами , , , , , , , , , , , … образуют натуральный ряд. Как видно из записи, наименьшее натуральное число — единица.

Определение

Если имеется совокупность каких-нибудь предметов, то ее называют множеством, а предметы — элементами множества. Множество может содержать только один элемент и даже не иметь ни одного элемента (пустое множество).

  • Ученик
  • А что означает многоточие в конце ряда?
  • Учитель

Многоточие означает, что натуральный ряд можно продолжать бесконечно, т.е. множество всех натуральных чисел бесконечно. Наибольшего натурального числа нет, потому что, какое бы большое число мы не взяли, к нему можно прибавить единицу и получить еще большее число.

Ученик

Значит весь натуральный ряд на компьютере не изобразить.А можно построить ряд натуральных чисел, например, до ?

  1. Учитель
  2. Конечно можно!
  3. Учитель
  4. Можно изобразить натуральный ряд от до
  5. Ученик

А чтобы не через ? А скажем через (по пятилеткам).

  • Учитель
  • Пожалуйста.,,,,
  • Учитель
  • Множество натуральных чисел обозначают так:
  • Ученик
  • А зачем двойная палочка посередине?
  • Учитель

Это делается для того, чтобы не спутать с латинской буквой N. Наша же буква из алфавита Double-Struck. Вот он как выглядит:, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

  1. Дополнительная информация:
  2. — множество натуральных чисел
  3. — множество целых чисел
  4. — множество рациональных чисел
  5. — множество иррациональных чисел
  6. — множество вещественных(действительных) чисел
  7. — множество комплексных чисел.

Обратите внимание!!!Единица — наименьшее натуральное число.

не является натуральным числом!

Натуральный ряд не имеет наибольшего числа .

Источник: https://dl.bsu.by/mod/book/view.php?id=10161&chapterid=1166

Взаимно простые числа: определение, примеры и свойства

В этом статье мы расскажем о том, что такое взаимно простые числа.

В первом пункте сформулируем определения для двух, трех и более взаимно простых чисел, приведем несколько примеров и покажем, в каких случаях два числа можно считать простыми по отношению друг к другу.

После этого перейдем к формулировке основных свойств и их доказательствам. В последнем пункте мы поговорим о связанном понятии – попарно простых числах.

Что такое взаимно простые числа

Взаимно простыми могут быть как два целых числа, так и их большее количество. Для начала введем определение для двух чисел, для чего нам понадобится понятие их наибольшего общего делителя. Если нужно, повторите материал, посвященный ему.

Определение 1

Взаимно простыми будут два таких числа a и b, наибольший общий делитель которых равен 1, т.е. НОД (a, b) =1.

Из данного определения можно сделать вывод, что единственный положительный общий делитель у двух взаимно простых чисел будет равен 1. Всего два таких числа имеют два общих делителя – единицу и минус единицу.

Какие можно привести примеры взаимно простых чисел? Например, такой парой будут 5 и 11. Они имеют только один общий положительный делитель, равный 1, что является подтверждением их взаимной простоты.

Если мы возьмем два простых числа, то по отношению друг к другу они будут взаимно простыми во всех случаях, однако такие взаимные отношения образуются также и между составными числами. Возможны случаи, когда одно число в паре взаимно простых является составным, а второе простым, или же составными являются они оба.

Это утверждение иллюстрирует следующий пример: составные числа -9 и 8 образуют взаимно простую пару. Докажем это, вычислив их наибольший общий делитель.

Для этого запишем все их делители (рекомендуем перечитать статью о нахождении делителей числа). У 8 это будут числа ±1, ±2, ±4, ±8, а у 9 – ±1, ±3, ±9. Выбираем из всех делителей тот, что будет общим и наибольшим – это единица.

Следовательно, если НОД (8, −9)=1, то 8 и -9 будут взаимно простыми по отношению друг к другу.

Взаимно простыми числами не являются 500 и 45, поскольку у них есть еще один общий делитель – 5 (см. статью о признаках делимости на 5). Пять больше единицы и является положительным числом. Другой подобной парой могут быть -201 и 3, поскольку их оба можно разделить на 3, на что указывает соответствующий признак делимости.

На практике довольно часто приходится определять взаимную простоту двух целых чисел. Выяснение этого можно свести к поиску наибольшего общего делителя и сравнению его с единицей.

Также удобно пользоваться таблицей простых чисел, чтобы не производить лишних вычислений: если одно из заданных чисел есть в этой таблице, значит, оно делится только на единицу и само на себя.

Разберем решение подобной задачи.

Пример 1

  • Условие: выясните, являются ли взаимно простыми числа 275 и 84.
  • Решение
  • Оба числа явно имеют больше одного делителя, поэтому сразу назвать их взаимно простыми мы не можем.
  • Вычисляем наибольший общий делитель, используя алгоритм Евклида: 275=84·3+23, 84=23·3+15, 23=15·1+8, 15=8·1+7, 8=7·1+1, 7=7·1.
  • Ответ: поскольку НОД (84, 275) =1, то данные числа будут взаимно простыми.

Как мы уже говорили раньше, определение таких чисел можно распространить и на случаи, когда у нас есть не два числа, а больше.

Определение 2

Взаимно простыми целые числа a1, a2, …, ak, k>2 будут тогда, когда они имеют наибольший общий делитель, равный 1.

Иными словами, если у нас есть набор некоторых чисел с наибольшим положительным делителем, большим 1, то все эти числа не являются по отношению друг к другу взаимно обратными.

Возьмем несколько примеров. Так, целые числа −99, 17 и −27 – взаимно простые.

Любое количество простых чисел будет взаимно простым по отношению ко всем членам совокупности, как, например, в последовательности 2, 3, 11, 19, 151, 293 и 667.

А вот числа 12, −9, 900 и −72 взаимно простыми не будут, потому что кроме единицы у них будет еще один положительный делитель, равный 3. То же самое относится к числам 17, 85 и 187: кроме единицы, их все можно разделить на 17.

Обычно взаимная простота чисел не является очевидной с первого взгляда, этот факт нуждается в доказательстве. Чтобы выяснить, будут ли некоторые числа взаимно простыми, нужно найти их наибольший общий делитель и сделать вывод на основании его сравнения с единицей.

Пример 2

Условие: определите, являются ли числа 331, 463 и 733 взаимно простыми.

Решение

Сверимся с таблицей простых чисел и определим, что все три этих числа в ней есть. Тогда их общим делителем может быть только единица. 

Ответ: все эти числа будут взаимно простыми по отношению друг к другу.

Пример 3

Условие: приведите доказательство того, что числа −14, 105, −2 107 и −91 не являются взаимно простыми.

Решение

Начнем с выявления их наибольшего общего делителя, после чего убедимся, что он не равен 1. Поскольку у отрицательных чисел те же делители, что и у соответствующих положительных, то НОД (−14, 105, 2 107, −91) =НОД (14, 105, 2 107, 91). Согласно правилам, которые мы привели в статье о нахождении наибольшего общего делителя, в данном случае НОД будет равен семи.

Ответ: семь больше единицы, значит, взаимно простыми эти числа не являются.

Основные свойства взаимно простых чисел

Такие числа имеют некоторые практически важные свойства. Перечислим их по порядку и докажем.

Определение 3

Если разделить целые числа a и b на число, соответствующее их наибольшему общему делителю, мы получим взаимно простые числа. Иначе говоря, a: НОД (a, b) и b: НОД (a, b) будут взаимно простыми.

Это свойство мы уже доказывали. Доказательство можно посмотреть в статье о свойствах наибольшего общего делителя. Благодаря ему мы можем определять пары взаимно простых чисел: достаточно лишь взять два любых целых числа и выполнить деление на НОД. В итоге мы должны получить взаимно простые числа.

Определение 4

Необходимым и достаточным условием взаимной простоты чисел a и b является существование таких целых чисел u0 и v0, при которых равенство a·u0+b·v0=1 будет верным.

Доказательство 1

Начнем с доказательства необходимости этого условия. Допустим, у нас есть два взаимно простых числа, обозначенных a и b. Тогда по определению этого понятия их наибольший общий делитель будет равен единице. Из свойств НОД нам известно, что для целых a и b существует соотношение Безу a·u0+b·v0=НОД (a, b). Из него получим, что a·u0+b·v0=1.

После этого нам надо доказать достаточность условия. Пусть равенство a·u0+b·v0=1 будет верным, в таком случае, если НОД (a, b) делит и a, и b, то он будет делить и сумму a·u0+b·v0, и единицу соответственно (это можно утверждать, исходя из свойств делимости).

А такое возможно только в том случае, если НОД (a, b)=1, что доказывает взаимную простоту a и b.

В самом деле, если a и b являются взаимно простыми, то согласно предыдущему свойству, будет верным равенство a·u0+b·v0=1. Умножаем обе его части на c и получаем, что a·c·u0+b·c·v0=c.

Мы можем разделить первое слагаемое a·c·u0+b·c·v0 на b, потому что это возможно для a·c, и второе слагаемое также делится на b, ведь один из множителей у нас равен b.

Из этого заключаем, что всю сумму можно разделить на b, а поскольку эта сумма равна c, то c можно разделить на b.

Определение 5

Если два целых числа a и b являются взаимно простыми, то НОД (a·c, b)=НОД (c, b).

Доказательство 2

Докажем, что НОД (a·c, b) будет делить НОД (c, b), а после этого – что НОД (c, b) делит НОД (a·c, b), что и будет доказательством верности равенства НОД (a·c, b)=НОД (c, b).

Поскольку НОД (a·c, b) делит и a·c и b, а НОД(a·c, b) делит b, то он также будет делить и b·c. Значит, НОД (a·c, b) делит и a·c и b·c, следовательно, в силу свойств НОД он делит и НОД (a·c, b·c), который будет равен c·НОД (a, b)=c. Следовательно, НОД (a·c, b) делит и b и c, следовательно, делит и НОД (c, b).

Также можно сказать, что поскольку НОД (c, b) делит и c, и b, то он будет делить и c, и a·c. Значит, НОД (c, b) делит и a·c и b, следовательно, делит и НОД (a·c, b).

Таким образом, НОД (a·c, b) и НОД (c, b) взаимно делят друг друга, значит, они являются равными.

Определение 6

Если числа из последовательности a1, a2, …, ak будут взаимно простыми по отношению к числам последовательности b1, b2, …, bm (при натуральных значениях k и m), то их произведения a1·a2·…·ak и b1·b2·…·bm также являются взаимно простыми, в частности, a1=a2=…=ak=a и b1=b2=…=bm=b, то ak и bm – взаимно простые.

Доказательство 3

Согласно предыдущему свойству, мы можем записать равенства следующего вида: НОД (a1·a2·…·ak, bm) =НОД (a2·…·ak, bm) =…=НОД (ak, bm) =1. Возможность последнего перехода обеспечивается тем, что ak и bm взаимно просты по условию. Значит, НОД (a1·a2·…·ak, bm) =1.

Обозначим a1·a2·…· ak=A и получим, что НОД (b1·b2·…· bm, a1·a2·…·ak) =НОД (b1·b2·…· bm, A)= НОД (b2·…·b·bm, A)=… =НОД (bm, A) =1. Это будет справедливым в силу последнего равенства из цепочки, построенной выше. Таким образом, у нас получилось равенство НОД (b1·b2·…·bm, a1·a2·…·ak) =1, с помощью которого можно доказать взаимную простоту произведений a1·a2·…·ak и b1·b2·…·bm 

Это все свойства взаимно простых чисел, о которых бы мы хотели вам рассказать.

Понятие попарно простых чисел

Зная, что из себя представляют взаимно простые числа, мы можем сформулировать определение попарно простых чисел.

Определение 7

Попарно простые числа – это последовательность целых чисел a1, a2, …, ak, где каждое число будет взаимно простым по отношению к остальным.

Примером последовательности попарно простых чисел может быть 14, 9, 17, и −25. Здесь все пары (14 и 9, 14 и 17, 14 и −25, 9 и 17, 9 и −25, 17 и−25) взаимно просты.

Отметим, что условие взаимной простоты является обязательным для попарно простых чисел, но взаимно простые числа будут попарно простыми далеко не во всех случаях.

Например, в последовательности 8, 16, 5 и 15 числа не являются таковыми, поскольку 8 и 16 не будут взаимно простыми.

Также следует остановиться на понятии совокупности некоторого количества простых чисел. Они всегда будут и взаимно, и попарно простыми. Примером может быть последовательность 71, 443, 857, 991. В случае с простыми числами понятия взаимной и попарной простоты будут совпадать.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/delimost/vzaimno-prostye-chisla/

Ссылка на основную публикацию