Модуль числа, сравнение чисел — в помощь студенту

Модуль числа и уравнения с модулем — тема особенная, прямо-таки заколдованная 🙂 Она совсем не сложная, просто в школе её редко объясняют нормально. В результате без специальной подготовки почти никто из школьников не может дать правильное определение модуля и тем более решить уравнение с модулем. И эту картину мы наблюдаем на протяжении многих лет.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Поэтому осваивайте тему «Уравнения и неравенства с модулем» по нашим статьям и на наших занятиях! Вы сумеете обойти множество конкурентов на ЕГЭ, олимпиадах и вступительных экзаменах.

Модуль числа называют ещё абсолютной величиной этого числа. Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. В записи положительного числа и так нет. никакого знака, поэтому модуль положительного числа равен ему самому.

Например,  Модуль нуля равен нулю. А модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному
(без знака!). Например, Модуль числа, сравнение чисел - в помощь студенту

Определение модуля

Вот оно:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Инвентаризация основных средств - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Модуль числа, сравнение чисел - в помощь студенту

От большинства известных из школы определений оно отличается лишь одним: в нём есть выбор. Есть условие. И в зависимости от этого условия мы раскрываем модуль либо так, либо иначе.

Так же, как в информатике — в разветвляющихся алгоритмах с применением условных операторов. Как, вообще-то, и в жизни: сдал ЕГЭ на минимальный балл — можешь подавать документы в ВУЗ. Не сдал на минимальный балл — можешь идти в армию 🙂

Таким образом, если под знаком модуля стоит выражение, зависящее от переменной, мы раскрываем модуль по определению. Например,

Модуль числа, сравнение чисел - в помощь студенту
В некоторых случаях модуль раскрывается однозначно. Например, Модуль числа, сравнение чисел - в помощь студенту так как выражение под знаком модуля неотрицательно при любых x и y. Или: Модуль числа, сравнение чисел - в помощь студенту так так как выражение под модулем неположительно при любых z.

Геометрическая интерпретация модуля

Нарисуем числовую прямую. Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. Например, То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.
Модуль числа, сравнение чисел - в помощь студентуЭта геометрическая интерпретация очень полезна для решения уравнений и неравенств с модулем.

Рассмотрим простейшее уравнение . Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и −3. Значит, у уравнения  есть два решения: x = 3 и x = −3.

Вообще, если имеются два числа a и b, то равно расстоянию между ними на числовой прямой.
(В связи с этим нередко встречается обозначение длины отрезка AB, то есть расстояния от точки A до точки B.)

Ясно, что (расстояние от точки a до точки b равно расстоянию от точки b до точки a).

Решим уравнение . Эту запись можно прочитать так: расстояние от точки x до точки 3 равно 4. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.

Мы видим, что наше уравнение имеет два решения: −1 и 7. Мы решили его самым простым способом — без использования определения модуля.

Перейдём к неравенствам. Решим неравенство .

Эту запись можно прочитать так: «расстояние от точки x до точки −7 меньше четырёх». Отмечаем на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.

Ответ: (-11; -3).

Другой пример. Решим неравенство |10 − x| ≥ 7.

Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно семи. Отметим эти точки на числовой прямой.
Ответ:

График функции 

Этот график надо знать обязательно. Для имеем y = x. Для имеем y = −x. В результате получаем:
С помощью этого графика также можно решать уравнения и неравенства.

Корень из квадрата

Нередко в задачах ЕГЭ требуется вычислить , где – некоторое число или выражение. Не забывайте, что 

Действительно, по определению арифметического квадратного корня — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен . Оно равно при и при , т. е. как раз .

Примеры заданий ЕГЭ

1. Найдите значение выражения при .
Заметим, что при . Следовательно, значение нашего выражения равно: .

2. Найдите значение выражения при .

  • Действуем аналогично:
  • В следующей статье мы рассмотрим более сложные уравнения и неравенства с модулем.
  •  Уравнения с модулем

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/modul-chisla/

Модуль числа

  • Мóдуль числá a — это расстояние от начала координат до точки А(a).
  • Чтобы понять это определение, подставим вместо переменной a любое число, например 3, и снова прочитаем его:
  • Мóдуль числá 3 — это расстояние от начала координат до точки А(3).
  • То есть модуль это ни что иное как обычное расстояние. Давайте попробуем увидеть расстояние от начала координат до точки А(3)

Модуль числа, сравнение чисел - в помощь студенту

  1. Расстояние от начала координат до точки А(3) составляет 3 (три единицы или три шага).
  2. Модуль числа обозначает двумя вертикальными линиями, например:
  3. Модуль числа 3 обозначается так: |3|
  4. Модуль числа 4 обозначается так: |4|
  5. Модуль числа 5 обозначается так: |5|
  6. Мы искали модуль числа 3 и выяснили, что он равен 3. Так и записываем:
  7. |3| = 3
  8. Читается как «Модуль числа три равен три»
Читайте также:  Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда - в помощь студенту

Теперь попробуем найти модуль числа −3. Опять же возвращаемся к определению и подставляем в него число −3. Только вместо точки A используем новую точку B. Точку A мы уже использовали в первом примере.

Модулем числа −3 называют расстояние от начала координат до точки B(−3).

Расстояние от одного пункта до другого не может быть отрицательным. Модуль это тоже расстояние, поэтому тоже не может быть отрицательным.

Модуль числа −3 равен 3. Расстояние от начала координат до точки B(−3) равно трём единицам:

Модуль числа, сравнение чисел - в помощь студенту

  • |−3| = 3
  • Читается как «Модуль числа минус три равен три»
  • Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает  с началом координат. То есть расстояние от начала координат до точки O(0) равно нулю:

Модуль числа, сравнение чисел - в помощь студенту

  1. |0| = 0
  2. «Модуль нуля равен нулю»
  3. Сделаем выводы:
  • Модуль числа не может быть отрицательным;
  • Для положительного числа и нуля модуль равен самомý числу, а для отрицательного – противоположному числу;
  • Противоположные числа имеют равные модули.

Противоположные числа

Числа, отличающиеся только знаками называют противоположными.

Например, числа −2 и 2 являются противоположными. Они отличаются только знаками. У числá −2 знак минуса, а у числá 2 знак плюса, но мы его не видим, поскольку плюс как говорилось ранее, не записывают.

  • Еще примеры противоположных чисел:
  • −1 и 1
  • −3 и 3
  • −5 и 5
  • −9 и 9
  • Противоположные числа имеют равные модули. Например, найдём модули чисел −3 и 3
  • |−3| и |3|
  • 3 = 3

Модуль числа, сравнение чисел - в помощь студенту

На рисунке видно, что расстояние от начала координат до точек A(−3) и B(3) одинаково равно трём шагам.

Источник: http://spacemath.xyz/modul_chisla/

Модуль числа

Модуль числа вводится новое понятие в математике. Разберем подробно, что такое модуль числа и как с ним работать?

Рассмотрим пример:

Мы вышли из дома в магазин. Прошли 300 м, математически это выражение можно записать как +300, смысл числа 300 от знака “+” не поменяется. Расстояние или модуль числа в математике это одно и тоже можно записать так: |300|=300. Знак модуля числа обозначается двумя вертикальными линиями.

Модуль числа, сравнение чисел - в помощь студенту

А потом в обратном направлении прошли 200м. Математически обратный путь мы можем записать как -200. Но мы не говорим так “мы прошли минус двести метров”, хотя мы вернулись, потому что расстояние как величина остается положительной. Для этого в математике ввели понятие модуля. Записать расстояние или модуль числа -200 можно так: |-200|=200.

Модуль числа, сравнение чисел - в помощь студенту

Свойства модуля

  • Определение:
    Модуль числа или абсолютная величина числа – это расстояние от отправной точки до точки назначения.
  • Модуль целого числа не равного нулю, всегда положительное число.
  • Записывается модуль так:

1. Модуль положительного числа равно самому числу.


|a|=a

2. Модуль отрицательного числа равно противоположному числу.
|-a|=a

3. Модуль нуля, равен нулю.
|0|=0

4. Модули противоположных чисел равны.
|a|=|-a|=a

Вопросы по теме:
Что такое модуль числа?
Ответ: модуль — это расстояние от отправной точки до точки назначения.

Если перед целым числом поставить знак “+” , что произойдет?
Ответ: число не поменяет свой смысл, например, 4=+4.

Если перед целым числом поставить знак “-” , что произойдет?
Ответ: число изменится на противоположное число, например, 4 и -4.

У каких чисел одинаковый модуль?
Ответ: у положительных чисел и нуля модуль будет тот же. Например, 15=|15|.

У каких чисел модуль – противоположное число?
Ответ: у отрицательных чисел, модуль будет равен противоположному числу. Например, |-6|=6.

  1. Пример №1:
    Найдите модуль чисел: а) 0 б) 5 в) -7?
  2. Решение:
    а) |0|=0
    б) |5|=5
  3. в)|-7|=7

Источник: https://TutoMath.ru/6-klass/modul-chisla.html

Решение упражнений по теме "Модуль числа. Сравнение целых чисел"

Математика, 6 класс Дата __________________

Урок № 35.

Решение упражнений. Самостоятельная работа.

Цель: закрепить знания учащихся о свойствах модуля целого числа и правилах сравнения целых чисел, отработать навыки применения определения и свойств модуля и сравнения целых чисел; провести диагностику усвоения изученного материала по теме «Модуль целого числа. Сравнение целых чисел» с помощью самостоятельной работы.

Универсальные учебные действия:

  • Предметные:
    • упорядочивать и сравнивать целые числа:
    • использовать для записи сравнения целых чисел математические знаки;
    • находить модуль целого числа;
    • анализировать и осмысливать текст задачи;
    • проверять ответ на соответствие условию;
    • строить логическую цепочку рассуждений.
  • Метапредметные:

    • Познавательные УУД: умение выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач, делать выводы на основе полученной информации, устанавливать соответствие между объектами и их характеристиками.
    • Личностные УУД: умение соблюдать дисциплину на уроке, уважительно относиться к учителю и одноклассникам.
    • Регулятивные УУД: умение планировать выполнение заданий учителя. Развитие навыков самооценки.
    • Коммуникативные УУД: умение строить эффективное взаимодействие с одноклассниками при выполнении совместной работы.
  • Личностные:

    • умение контролировать процесс и результат учебной деятельности;
    • понимать смысл поставленной задачи, приводить примеры;
    • умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.

ХОД УРОКА

1 . Мотивация к учебной деятельности. (Приложение)

  • – Здравствуйте, ребята, садитесь!
  • Девиз нашего урока:
  • “Кто ничего не замечает,Тот ничего не изучает,Кто ничего не изучает,
  • Тот вечно хнычет и скучает”.

А нам сегодня скучать не придется, у нас интегрированный урок – обобщения,  и нам нужно  активно работать на уроке. Откройте тетради, запишите число и тему урока: «Решение упражнений».

2. Актуализация опорных знаний.

Фронтальный опрос:

  1. Какую тему изучали на предыдущих уроках? (Положительные и отрицательные числа, координатная прямая,  противоположные числа, модуль числа.)

  2. Какую цель будем ставить перед собой сегодня? (Повторить сравнение положительных и отрицательных чисел; изображение точек на координатной прямой; нахождение модуля.)

  3. Еще не зная про отрицательные числа мы уже встречались в жизни с ними, как вы думаете, в каких ситуациях? (При  измерении температуры на термометре, при получении  выигрышных  и штрафных очков и др. )

Сегодня у нас на уроке мы вспомним, где еще мы встречаемся с положительными и отрицательными числами. А пока ответьте на следующие вопросы:

  • Дайте определение координатной прямой. (Прямую с выбранным на ней началом отчсета, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.)
  • Как располагаются положительные и отрицательные числа на координатной прямой? (Положительные располагаются справа от нуля, отрицательные – слева.)
  • Чем отличаются друг от друга положительные и отрицательные числа? (Перед  отрицательными числами ставится знак минус, перед положительными знак – плюс.)
  • Что называется модулем числа? (Модулем числа называется расстояние от точки  на координатной прямой  до начала  отсчета.)
  • Как  сравнить два числа с разными знаками на координатной прямой? (Из двух различных целых чисел больше то, которое расположено правее на числовой прямой.)
  • Как сравнить два отрицательных числа с помощью сравнения их модулей? (Из двух отрицательных чисел больше то число, у которого меньше модуль.)

Тест «Верно — неверно».

Учащимся выдаются карточки с табличкой (или они чертят её в тетради), в которой они ставят «+», если утверждение верное, или « — », если утверждение неверное. Каждое задание оценивается в 1 балл. Всего 12 баллов. Перевод в 5-бальную систему:

  1. Отметка «5» — 11-12 «+»;
  2. Отметка «4» — 8-10 «+»;
  3. Отметка «3» — 6-7 «+»;
  4. Отметка «2» — 3-5 «+»;
  5. Отметка «1» — 0-2 «+».
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Вопросы:

  1. Из двух чисел меньше то, изображение которого на координатной прямой находиться левее. (+)

  2. Из двух отрицательных чисел большим является то, модуль которого больше. (–)

  3. Любое положительное число больше 0. (+)

  4. Любое отрицательное число меньше 0. (+)

  5. Любое отрицательное число больше положительного. (–)

  6. Утверждение, что а – неотрицательное число, можно записать в виде неравенства так: а0. (–)

  7. Модуль числа, сравнение чисел - в помощь студенту
  8. Если а и b отрицательные числа и , то (+)

  9. Если m и n – отрицательные числа, (+)

  1. Закрепление усвоенных навыков и умений.

  • – Мы вспомнили все, что  изучали на прошлых уроках. Выполним следующее задание в тетрадях
  • № 1.
  • Из чисел  – 4; 8; 9; –15; 0; –16; –14; 100; –7; 120; 14; –150; –9; –8; 1; 4; 27; –159 выписать:
  • а) отрицательные числа;б) положительные числа;
  • в) противоположные числа. 
  • №2. В тетрадях  начертить координатную прямую 
  • а) Запишите координаты отмеченных точек.

Модуль числа, сравнение чисел - в помощь студенту

  1. б) Отметьте на координатной прямой точки М(4); N(–3); Р(2);К(–2).
  2. Задание 3
  3. Сравнить
Вариант 1
  • 0 и 5
  • -3 и 4
  • -12 и 15
  • -3 и -26
  • -325 и -32

Вариант 2

  1. 9 и 0
  2. -8 и 2
  3. -17 и 21
  4. -5 и -11
  5. -517 и -51
  1. Применение знаний, умений и навыков.

Проводится проверка знаний, умений и навыков при выполнении упражнений. Проверка осуществляется путем проведения самостоятельной работы и ее последующего анализа. Учащимся раздаются карточки с заданиями. Текст работы приведен ниже.

  1. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Собрать тетради с выполненной работой на проверку.

Задать вопросы:

  1. Какие задания оказались наиболее трудными и почему?

  2. Перечислите основные правила, которыми вы пользовались при решении упражнений.

  3. Что следует повторить при подготовке к следующему уроку?

повторить правила _________________________________

Самостоятельная работа по теме «Модуль целого числа. Сравнение целых чисел»для 6 класса.

Вариант I1. Запишите числа, противоположные числам: +5; -2; 0; +15; -12.2. Определите модули чисел: +8; -6; 0; +13; -60.3. Упростите записи чисел: -(+5); -(-3); +(-6); -(+20); -(-21); +(22); +(+23).4. Сравните числа:

  • а) +6 и 0; г) -11 и -7; ж) +12 и 0;
  • к) -10 и -11;
  • б) -8 и 0; д) +20 и +30; з) -21 и 0;
  • л) +300 и +200;
  • в) -9 и +3;е) -20 и -30;и) -10 и +4;м) -300 и -200.

5. Сколько целых чисел расположено между числами: а) -14 и +13;б) -21 и +22?

Вариант II1. Запишите числа, противоположные числам: +7; -4; 0; +12; -16.2. Определите модули чисел: +5; -8; 0; +11; -34.3. Упростите записи чисел: +(-7); -(+9); -(-7); +(+10); +(-11); -(-12); -(+13).4. Сравните числа:

  1. а) -3 и 0;г) -12 и -9;ж) +22 и 0;
  2. к) -18 и -17;
  3. б) +8 и 0;д) +30 и +40;з) -11 и 0;
  4. л) +300 и +400;
  5. в) -11 и +8;е) -30 и -40;и) -16 и +5;м) -300 и -400.
  6. 5. Сколько целых чисел расположено между числами: а) -16 и +17;
  7. б) -22 и +23?

Источник: https://multiurok.ru/files/rieshieniie-uprazhnienii-po-tiemie-modul-chisla-sr.html

Введение в модулярную арифметику

В обычной жизни мы обычно пользуемся позиционной системой счисления. В позиционной системе счисления значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда) [1].

Однако существуют и так называемые «непозиционные системы счисления», к одной из которых относится «система остаточных классов» (СОК) (или в оригинале Residue Number System (RNS)), являющаяся основой модулярной арифметики.

Модулярная арифметика базируется на «Китайской теореме об остатках» [2], которая для нашего случая звучит следующим образом: Для любой системы взаимно простых чисел p1, … pn, любое число X из диапазона [0; M), где M = p1*p2*…*pn взаимооднозначно представимо в виде вектора (a1, a2, …, an), где ai = X%pi (здесь и далее «%» — операция взятия остатка от целочисленного деления X на pi). p1, … pn – модули системы a1, a2, …, an – остатки (вычеты) числа по заданной системе модулей На первый взгляд непонятно какое преимущество может дать такая система, однако существует 2 свойства, которые позволяют эффективно использовать модулярную арифметику в некоторых областях микроэлектроники:

  1. Отсутствие переноса разрядов в сложении и умножении. Пусть нам дано два числа X1 и X2, представленные в виде системы остатков (x11, x12, …, x1n) и (x21, x22, …, x2n) по системе взаимнопростых чисел (p1, p2, …, pn). В этом случае: X3 = X1 + X2 = ((x11+x21)%p1, (x12+x22)%p2, …, (x1n+x2n)%pn) X4 = X1 * X2 = ((x11*x21)%p1, (x12*x22)%p2, …, (x1n*x2n)%pn) То есть что бы сложить или умножить два числа, достаточно сложить или умножить соответствующие элементы вектора, что для микроэлектроники означает, что это можно сделать параллельно и из-за малых размерностей p1, p2, …, pn сделать очень быстро.
  2. Ошибка в одной позиции вектора не влияет на расчеты в других позициях вектора. В отличие от позиционной системы счисления все элементы вектора равнозначны и ошибка в одном из них ведет всего лишь к сокращению динамического диапазона. Этот факт позволяет проектировать устройства с повышенной отказоустойчивостью и коррекцией ошибок.
Читайте также:  Решение треугольников - в помощь студенту
Обычное умножение Модулярное умножение
Модуль числа, сравнение чисел - в помощь студенту Модуль числа, сравнение чисел - в помощь студенту

Но не всё так гладко, как хотелось бы. В отличие от позиционной системы счисления, следующие операции (называемые «немодульными») выполняются сложнее, чем в позиционной системе счисления: сравнение чисел, контроль переполнения, деление, квадратный корень и.т.д. Первые успешные попытки применения модулярной арифметики в микроэлектронике были предприняты ещё в 1950-х годах, но из-за сложностей с немодульными операциями интерес несколько утих. Однако в настоящее время модулярная арифметика снова возвращается в микроэлектронику по следующим причинам:

  • большое распространение мобильных процессоров, в которых требуется высокая скорость при маленьком потреблении энергии. Отсутствие переноса в арифметических операциях сложения/умножения позволяет снизить потребление энергии.
  • увеличивающаяся плотность элементов на кристалле в некоторых случаях не позволяет провести полное тестирование, поэтому растет важность устойчивости процессоров к возможным ошибкам.
  • появление специализированных процессоров с большим числом операций над векторами, которые требуют высокой скорости и включают в себя преимущественно сложение и умножение чисел (как пример умножение матриц, скалярное произведение векторов, преобразования Фурье и.т.д).

В данный момент модулярная арифметика применяется в следующих областях: цифровая обработка сигналов, криптография, обработка изображений/аудио/видео и.т.д.

Прямое преобразование

Прямое преобразование из позиционной системы счисления (обычно в двоичном виде) в систему счисления в остатках заключается в нахождении остатков от деления по каждому из модулей системы. Пример: Пусть требуется найти представление числа X = 25 по системе модулей (3, 5, 7). X = (25%3, 25%5, 25%7) = (1, 0, 4).

Реализация нахождения вычета в микроэлектронике по заданному модулю строится на следующих свойствах вычетов: (a+b) % p = (a%p + b%p)%p (a*b) % p = (a%p * b%p)%p

Любое число X можно записать в виде X%p = (xn-1*2n-1 + xn-2*2n-2 + x0*20)%p = ((xn-1)%p*2n-1%p) + ((xn-2)%p*2n-2%p) + … + x0%p)%p.

Поскольку в данном случае xn-1, … x0 равны 0 или 1, то фактически нам требуется сложить вычеты вида (2i%p).

Пример: пусть задано число 25 или в двоичной системе счисления 11001 и требуется найти остаток по модулю 7. 25%7 = (1*24 + 1*23 + 0*22 + 0*1 + 1*20)%7 = (24%7 + 23%7 + 1%7)%7 = (2 + 1 + 1)%7 = 4 Систему используемых модулей подбирают под конкретную задачу. Например, для представления 32-х битных чисел достаточно следующей системы модулей: (7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31) – все они взаимнопросты друг с другом, их произведение равно 6685349671 > 4294967296. Каждый из модулей не превышает 5 бит, то есть операции сложения и умножения будут производиться над 5-битными числами.

Особое значение так же имеет система модулей вида: (2n-1, 2n, 2n+1) в связи с тем, что прямое и обратное преобразование для них выполняется простейшим образом. Что бы получить остаток от деления на 2n достаточно взять последние n цифр двоичного представления числа.

Арифметические операции

Пример: пусть задана система модулей (3, 5, 7), то есть мы можем выполнять операции, результат которых не превышает 3*5*7 = 105. Умножим два числа 8 и 10. 8 = (8%3, 8%5, 8%7) = (2, 3, 1) 10 = (10%3, 10%5, 10%7) = (1, 0, 3) 8*10 = ((2*1)%3, (3*0)%5, (1*3)%7) = (2, 0, 3) Проверяем

80 = (80%3, 80%5, 80%7) = (2, 0, 3)

Обратное преобразование

Обратное преобразование из системы счисления в остаточных классах в позиционную систему счисления производится одним из двух способов:

  1. На базе Китайской теоремы об остатках или системы ортогональных базисов
  2. На базе полиадического кода (другие названия mixed-radix system, система, со смешанным основанием)

Остальные предложенные в различной литературе способы, по сути, являются смесью этих двух. Способ, основанный на Китайской теореме об остатках, базируется на следующей идее:

X = (x1, x2, … xn) = (x1, 0, …, 0) + (0, x2, …, 0) + … + (0, 0, …., xn) = x1*(1, 0, …, 0) + x2*(0, 1, …, 0) + … + xn*(0, 0, …, 1).

То есть для обратного преобразования требуется найти систему ортогональных базисов B1 = (1, 0, …, 0), B2 = (0, 1, …, 0), …, BN = (0, 0, …, 1). Эти вектора находятся один раз для заданного базиса, а для их поиска требуется решить уравнение вида: (Mi*bi)%pi = 1, где Mi = M/pi, а bi – искомое число. В этом случае позиционное представление Bi = Mi*bi и X = (x1*(M1*b1) + x2*(M2*b2) + … + xn*(Mn*bn))%M Пример: пусть задана система модулей (3, 5, 7), найдем значения Mi и bi (0 < i b1 = 2 (21*b2)%5 = 1 => b2 = 1 (15*b3)%7 = 1 => b3 = 1 Теперь преобразуем какое-нибудь число в системе остаточных классов. Положим

X = (2, 3, 1) = (2*35*2 + 3*21*1 + 1*15*1)%105 = (140 + 63 + 15)%105 = 218%105 = 8

Минус этого метода заключается в том, что для обратного преобразования требуется умножение и сложение больших чисел (M1, …, Mn), а так же операция взятия остатка по модулю большого числа M.

Способ на базе полиадического кода, базируется на идее, что любое число X может быть представлено в системе взаимно простых чисел p1, … pn, как [4]:

X = a1 + a2*p1 + a3*p1*p2 +… + an-1*p1*p2*…*pn-2 + an*p1*p2*…*pn-1, где 0 < ai < pi

  • X%p1 = x1 = a1
  • (X – a1)%p2 = (x2 — a1)%p2 = (a2*p1)%p2 => a2 = ((p1-1)%p2*(x2 — a1))%p2
  • (X — a1 — a2*p1)%p3 = (a3*p1*p2)%p3 => a3 = ((p2-1)%p3*((p1-1)%p3*(x3 — a1) — a2))%p3

Для использования этого метода требуются константы вида (pi-1)%pk-1. Можно также заметить, что начинать вычисление a3 можно, как только появилось значение a1. На основе этого метода можно строить конвеерные преобразователи. Пример: Рассмотрим тот же пример — найдем позиционное представление числа X = (2, 3, 1) в системе модулей (3, 5, 7)

  • a1 = x1 = 2
  • a2 = ((p1-1)%p2*(x2 — a1))%p2 = ((3-1)%5*(3 — 2))%5 = 2*1 = 2
  • a3 = ((p2-1)%p3*((p1-1)%p3*(x3 — a1) — a2))%p3 = ((5-1)%7*((3-1)%7*(1 — 2) — 2))%7 = (3*(5*(1-2)-2))%7 = (3*(-7))%7 = 0
  • X = a1 + a2*p1 + a3*p1*p2 = a1 + 3*a2 + 15*a3 = 2 + 3*2 + 15*0 = 8

Замечание: что бы найти константу вида (3-1)%5 требуется решить уравнение (3*x)%5 = 1, где 0

Источник: https://habr.com/post/144886/

1.1.3. Сравнения по модулю и признаки делимости



Два натуральных числа a и b, разность которых кратна натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m:

Так, 3 ≡ 1 (mod 2), 7 ≡ 1 (mod 3). Два числа сравнимы по модулю 2, если они оба четны, либо если они оба нечетны. По модулю 1 все целые числа сравнимы между собой.

В том случае, если число n делится на m, то оно сравнимо с нулем по модулю m:

Свойства сравнений по модулю вытекают из свойств арифметических операций.

Свойства сравнений по модулю

  • Пусть a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m). Тогда:
    • a + c ≡ b + d (mod m),
    • a – c ≡ b – d (mod m),
    • ac ≡ bd (mod m).
  • Пусть ab ≡ 0 (mod m), и числа a и m взаимно просты. Тогда b ≡ 0 (mod m).

Отметим, что обе части сравнения не всегда можно сократить на какой-либо множитель. Так, 6 ≡ 3 (mod 3), но 2 не сравнимо с 1 по этому же модулю.

Простейшим применением сравнений по модулю является определение делимости чисел. Дадим для начала несколько правил.

Признаки делимостиПризнак делимости на 2. Число, делящееся на 2, называется чётным, не делящееся на 2 – нечётным. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2. Признак делимости на 5. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – 5 или 0. Признак делимости на 25. Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25. Признаки делимости на 10, 100, 1000. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – 0. Число делится на 100 тогда и только тогда, когда две его последние цифры – нули. Число делится на 1000 тогда и только тогда, когда три его последние цифры – нули. Признак делимости на 4. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры – нули, либо когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4. Признак делимости на 3. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Признак делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Признак делимости на 11. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, кратное 11.

Пример 1

Доказать свойство делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9.

Произвольное число Модуль числа, сравнение чисел - в помощь студенту где – цифры числа x в десятичной записи. Так как 10 ≡ 1 (mod 9), то 102 ≡ 1 (mod 9) и вообще 10k ≡ 1 (mod 9) для любого натурального k. Отсюда Теорема доказана.

Пример 2. Свойство делимости на 19

Доказать, что число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

Для любого натурального x верно равенство x = x1 + 10×2, где x1 – число единиц, x2 – число десятков этого числа. Пусть y = x2 + 2×1 (то есть y – число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц). Тогда 10y – x = 19×1 ≡ 0 (mod 19), откуда следует, что x ≡ 0 (mod 19) тогда и только тогда, когда 10y ≡ 0 (mod 19), то есть y ≡ 0 (mod 19). Утверждение доказано.

В заключение этого параграфа приведем формулировку малой теоремы Ферма.

Малая теорема ФермаПусть p – простое число, a – натуральное число. Тогда ap – a делится на p:

В частности, если p – простое число, a – натуральное число, взаимно простое с p, то

Пример 3

Запишите состоящее из одних девяток натуральное число, которое делится на 17 без остатка.

Воспользуемся малой теоремой Ферма: ap – 1 ≡ 1 (mod p). Положим a = 10, p = 17. Тогда 1016 ≡ 1 (mod 17) или 1016 – 1 ≡ 0 (mod 17). Число 1016 – 1 состоит из 16 девяток. Это и есть одно из чисел, которые делятся на 17 без остатка. Ответ. 9 999 999 999 999 999.

Источник: https://mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter1/section1/paragraph3/theory.html

Ссылка на основную публикацию