Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики — в помощь студенту

Презентация на тему: Функции: линейная, обратная пропорциональность, квадратичная Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Скачать эту презентацию

Получить код Наши баннеры Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Скачать эту презентацию

№ слайда 1

Описание слайда:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Раскрытие информации о готовой и отгруженной продукции - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Функции: линейная, обратная пропорциональность, квадратичная Справочный материал для учащихся Составила: учитель математики Косова В.И. МБОУ гимназия № 9 г. Ставрополь

№ слайда 2

Описание слайда:

Линейная функция Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx+b, де x-независимая переменная,k и b-некоторые числа.Графиком линейной функции является прямая. у Угловой коэффициент k= tg b – ордината точки пересечения графика b с осью Оу х

№ слайда 3
№ слайда 4

Описание слайда:

Частные случаи линейной функции Прямая пропорциональность y = kx у k х 1 Постоянная функция y = b у b х

№ слайда 5

Описание слайда:

Взаимное расположение графиков линейных функций Если k1=k2, графики функций y = k1x+b1 и y= k2x+b2 пересе-каются в одной точке у х Если k1=k2, графики функцийy = k1x+b1 и y = k2x+b2 являют-ся параллельными прямыми(при различных b1 и b2) у х

№ слайда 6

Описание слайда:

Построение графика линейной функции y=kx+b с помощью элементарных преобразований графика функции y=x1.Построить график 2. Произвести растяжение 3. Произвести парал- функции y=x (при /k/ >1) или сжатие лельный перенос гра- (при /k/0 a>0, D=0 a>0, D

Источник: https://ppt4web.ru/algebra/funkcii-linejjnaja-obratnaja-proporcionalnost-kvadratichnaja.html

Функции и графики

Основные теоретические сведения

Координаты и базовые понятия о функциях

К оглавлению…

Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы) вычисляются по формулам:

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Функция – это соответствие вида y = f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у. При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х.

Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х), при которых функция определена, т.е. ее значение существует.

Обозначается область определения D(y). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием.

 Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.

Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е(у).

Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.

Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.

Функцию y = f(x) называют четной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.

Функцию y = f(x) называют нечетной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –х.

Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида, и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.

График линейной функции

К оглавлению…

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:

График линейной функции представляет из себя прямую и в общем случае выглядит следующим образом (приведен пример для случая когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

График квадратичной функции (Парабола)

К оглавлению…

График параболы задается квадратичной функцией:

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x1; 0) и (x2; 0).

Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x0; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c).

График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

При этом:

  • если коэффициент a > 0, в функции y = ax2 + bx + c, то ветви параболы направлены вверх;
  • если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
  • Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (p — на рисунках выше) параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):
  • Игрек вершины (q — на рисунках выше) параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

Графики других функций

К оглавлению…

  1. Степенной функцией называют функцию, заданную формулой:
  2. Приведем несколько примеров графиков степенных функций:
  3. Обратно пропорциональной зависимостью называют функцию, заданную формулой:
  4. В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:

Асимптота — это линия, к которой линия графика функции бесконечно близко приближается, но не пересекает. Асимптотами для графиков обратной пропорциональности приведенных на рисунке выше являются оси координат, к которым график функции бесконечно близко приближается, но не пересекает их.

  • Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:
  • В зависимости от того больше или меньше единицы число a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):
  • Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:
  • В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:
  • График функции y = |x| выглядит следующим образом:

Графики периодических (тригонометрических) функций

К оглавлению…

  1. Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое, неравное нулю, число Т, что f(x + Т) = f(x), для любого х из области определения функции f(x). Если функция f(x) является периодической с периодом T, то функция:
  2. где: A, k, b – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T1, который определяется формулой:

Большинство примеров периодических функций — это тригонометрические функции. Приведем графики основных тригонометрических функций. На следующем рисунке изображена часть графика функции y = sinx (весь график неограниченно продолжается влево и вправо), график функции y = sinx называют синусоидой:

График функции y = cosx называется косинусоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:

График функции y = tgx называют тангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Ну и наконец, график функции y = ctgx называется котангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических и тригонометрических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Источник: https://educon.by/index.php/materials/math/funkcii

Квадратичная функция. Парабола

Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют функцией в математике.

Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика) дальнейшее изучение других видов функций будет даваться значительно легче.

Читайте также:  Формулы параллелограмма, трапеции, квадрата, прямоугольника и ромба - в помощь студенту

Что называют квадратичной функцией

Запомните!

Квадратичная функция — это функция вида

y = ax2 + bx + c,

где a, b и с — заданные числа.

Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень, в которой стоит «x» — это «2», то перед нами квадратичная функция.

Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты «a», «b» и «с».

Квадратичная функция Коэффициенты
y = 2×2 − 7x + 9
y = 3×2 − 1
y = −3×2 + 2x

Как построить график квадратичной функции

Запомните!

График квадратичной функции называют параболой.

Парабола выглядит следующим образом.

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Также парабола может быть перевернутой.

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции. Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.

Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.

Построим график квадратичной функции «y = x2 −7x + 10».

  1. Направление ветвей параболы Запомните!

    Если «a > 0», то ветви направлены вверх.

    Если «a < 0», то ветви направлены вниз.

    В нашей функции «a = 1», это означает, что ветви параболы направлены вверх.

  2. Координаты вершины параболы Запомните!

    Чтобы найти «x0» (координата вершины по оси «Ox») нужно использовать формулу:

    Найдем «x0» для нашей функции «y = x2 −7x + 10».

    x0 = = = 3,5

    Теперь нам нужно найти «y0» (координату вершины по оси «Oy»). Для этого нужно подставить найденное значение «x0» в исходную функцию. Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке «Как решать задачи на функцию» в подразделе «Как получить значение функции».

    y0(3,5) = (3,5)2 − 7 ·3,5 + 10 = 12,25 − 24,5 + 10 = −12,25 + 10 = −2,25

    Выпишем полученные координаты вершины параболы.

    (·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.

    Отметим вершину параболы на системе координат. Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график относительно оси «Oy».

    Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

  3. Нули функции

    Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.

    Запомните!

    Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью «Ox» (осью абсцисс).

    Наглядно нули функции на графике выглядят так:

    Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

    Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата по оси «Oy» равна нулю.

    Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.

    Запомните!

    Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо «y = 0».

    Подставим в заданную функцию «y = x2 −7x + 10» вместо «y = 0» и решим полученное квадратное уравнение относительно «x» .

    0 = x2 −7x + 10 x2 −7x + 10 = 0 x1;2 =

    7 ± √49 − 4 · 1 · 10
    2 · 1

    x1;2 = x1;2 =

    x1 = x2 =
    x1 = x2 =
    x1 = 5 x2 = 2

    Мы получили два корня в уравнении, значит, у нас две точки пересечения с осью «Ox». Назовем эти точки и выпишем их координаты.

    • (·) B (5; 0)
    • (·) C (2; 0)

    Отметим полученные точки («нули функции») на системе координат.

    Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

  4. Дополнительные точки для построения графика

    Возьмем четыре произвольные числовые значения для «x». Целесообразно брать целые числовые значения на оси «Ox», которые наиболее близки к оси симметрии. Числа запишем в таблицу в порядке возрастания.

    Для каждого выбранного значения «x» рассчитаем «y».

    • y(1) = 12 − 7 · 1 + 10 = 1 − 7 + 10 = 4
    • y(3) = 32 − 7 · 3 + 10 = 9 − 21 + 10 = −2
    • y(4) = 42 − 7 · 4 + 10 = 16 − 28 + 10 = −2
    • y(6) = 62 − 7 · 6 + 10 = 36 − 42 + 10 = 4

    Запишем полученные результаты в таблицу.

    Отметим полученные точки графика на системе координат (зеленые точки).

    Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

    Теперь мы готовы построить график. На забудьте после построения подписать график функции.

    Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Рассмотрим другой пример построения графика квадратичной функции. Только теперь запишем алгоритм построения коротко без подробностей.

Пусть требуется построить график функции «y = −3×2 − 6x − 4».

  1. Направление ветвей параболы
  2. «a = −3» — ветви параболы направлены вниз.

  3. Координаты вершины параболы x0 = x0 = = = −1

    y0(−1) = (−3) · (−1)2 − 6 · (−1) − 4 = −3 · 1 + 6 − 4 = −1

    (·) A (−1; −1)

    — вершина параболы.

  4. Нули функции

    Точки пересечения с осью «Ox» (y = 0).

    0 = −3×2 − 6x − 4

    • −3×2 − 6x − 4 = 0 |·(−1)
    • 3×2 + 6x + 4 = 0
    • x1;2 =
    −6 ± √62 − 4 · 3 · 4
    2 · 1

    x1;2 = x1;2 = Ответ: нет действительных корней.

    Так как корней нет, значит, график функции не пересекает ось «Ox».

  5. Вспомогательные точки для: «x = −3»; «x = −2»; «x = 0»; «x = 1». Подставим в исходную функцию «y = −3×2 − 6x − 4».
    • y(−3) = −3 · (−3)2 − 6 · (−3) − 4 = −3 · 9 + 18 − 4 = −27 + 14 = −13
    • y(−2) = −3 · (−2)2 − 6 · (−2) − 4 = −3 · 4 + 12 − 4 = −12 + 12 − 4 = −4
    • y(0) = −3 · 02 − 6 · 0 − 4 = −4
    • y(1) = −3 · 12 − 6 · 1 − 4 = −3 −6 − 4 = −13
    x −3 −2 0 1
    y −13 −4 −4 −13

Отметим вспомогательные точки. Отмечаем на системе координат только те точки, которые не выходят за масштаб нашей системы координат, то есть точки «(−2; −4)» и «(0; −4)». Построим и подпишем график функции.

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/quadratic_function/quadratic_function_how_to_draw_parabola.php

3.3.2 Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, её график

Видеоурок: Обратная пропорциональность и её график

Лекция: Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, её график

Обратная пропорциональность

Когда на физике или на другом предмете говорят об обратной пропорциональности, мы понимаем это, как рост одной величины в то время, когда вторая величина уменьшается.

Функция, которая описывает обратную пропорциональность или зависимость, имеет следующий вид:

y = k/x, стоит обратить внимание на то, что коэффициент не может быть равен нулю, иначе обратная пропорциональность превратиться в линейную зависимость.

Чем больше будет значение аргумента, тем меньше будет значение функции, и наоборот.

Давайте посмотрим внимательно, где находится аргумент. Его местонахождение говорит о том, что при рассматривании данной функции, появляются некие ограничения, а именно то, что в знаменателе не может быть нуля. Именно поэтому областью определения данной функции будет множество всех значений, кроме нуля.

Отсюда следует, что функция так же не может принимать значение нуля.

График обратной функции

Для построения графика данной функции нам понадобится 5 точек для положительных «х» и «у», а также для отрицательных «х» и «у», в отличие от линейной функции.

Обратите внимание так же на то, что при положительных «х» и при положительном коэффициенте значение функции так же будет положительным числом.

Если значение «х» отрицательно, а коэффициент положительный, то функция так же будет отрицательной. Аналогичные рассуждения для отрицательного коэффициента. Отсюда можно сделать вывод, что данная функция одновременно может находиться в двух четвертях.

  • Обратно пропорциональная функция является симметричной относительно биссектрисы четвертей.
  • Итак, возьмем функцию у = 1/х.
  • Найдем для него координаты «х» и «у», занесем все данные в таблицу.

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Расставим все полученные точки на плоскости и соединим их кривыми.

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студентуКвадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

  1. График данной функции всегда будет стремиться к нулю по оси ОХ и по оси ОУ, но так до него и не достигнет, из-за невозможности нуля в знаменателе.
  2. Как влияет коэффициент на вид графика?
  3. Чем больше значение коэффициента, тем дальше график находится от начала координат.

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

А что случится, если к дроби добавить какое-то число и в знаменателе добавить слагаемое? Все просто! Произойдет сдвиг. Если к дроби прибавить число, то произойдет сдвиг по оси ОУ:

  • если число отрицательное, то график сместиться на некоторое число единиц ниже по оси ОУ;
  • если число положительное, то график сместиться на некоторое число единиц выше по оси ОУ.

Если в знаменателе к аргументу добавить положительное число, то график сместиться по оси ОХ влево, если добавить отрицательное — то вправо.

Итак, например, имеем график вида:

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту 

Получим следующий график:

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Предыдущий урок Следующий урок

Источник: https://cknow.ru/knowbase/693-332-funkciya-opisyvayuschaya-obratnuyu-proporcionalnuyu-zavisimost-ee-grafik.html

15. Функции: обратная пропорциональность, арифметический корень

Если переменная у обратно пропорциональная переменной х, то эта зависимость выражается формулой

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

  • k — коэффициент обратной пропорциональности.
  • Например: 
  • Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

Область определения функции  есть множество всех чисел, отличных от нуля.

Графиком обратной пропорциональности является гипербола. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и в III координатных четвертях: если k0: y0 при х ∈(0; +∞);

  • если k0 функция убывает на промежутке (-∞; 0) U (0; +∞);
  • если k0 при х ∈(0; +∞).
  • 6. Промежутки монотонности:
  • функция возрастает на промежутке [0;  +∞).
  • 1. Графиком каких из функций является гипербола?

    Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

    • Решение:
    • а) График функции у=k/x — гипербола, следовательно гипербола является графиком функции у=1/х.
    • Ответ: 3)


    2. Из данных функций укажите те, график которых проходит через начало координат:

    Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

    1. Решение:
    2. а) Если график функции проходит через начало координат, то при х=0 у=0.
    3. Следовательно графики функций 

    Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студентупроходят через начало координат.

    Ответ: 1), 3), 4), 5).


    3. а) График обратной пропорциональности проходит через точку с координатами (2; -2). Найдите коэффициент обратной пропорциональности.

        б) График обратной пропорциональности проходит через точку с координатами (4; 1,75). Найдите коэффициент обратной пропорциональности.

    Решение:

    а) Формула обратной пропорциональности y=k/x. Подставим вместо х и у координаты точки (2; -2) и найдем коэффициент k. 

    -2=k:2; k=-4.

    Ответ: -4.


    4. Укажите функции, областью определения которых являются все действительные числа:

    Решение:

    а) Область определения функции ограничена, если в формуле, которой задана функция есть квадратные корни и знаменатели, которые могут принимать значение 0 при некоторых значениях х. Область определения — все действительные числа у функций:

    Ответ: 1), 4).


    5. Из указанных функций 

    • выберите обратную пропорциональность, график которой расположен:
    • а) в I  и III координатных четвертях;
    • б) во II  и IV координатных четвертях.
    • Решение:
    • а) в I  и III координатных четвертях находятся графики обратной пропорциональности с коэффициентом k>0.

    Ответ: 3), 4).


    6. Переменные х и у обратно пропорциональны. 

    а) Известно, что при х=0,5 у=12. Найдите значение у при х=-2;

    б) известно, что при х=1,5 у=-6. Найдите значение у при х=2.

    Решение:

    а) Составим формулу обратной пропорциональности, для этого в формулу y=k/x подставим значения х=0,5 и у=12, найдем коэффициент k.

    12=k:0,5; k=12*0,5=6. Обратная пропорциональность задана формулой у=6/х. Подставим в эту формулу х=-2: у=6: (-2)=-3.

    Ответ: -3.


    7. Найдите область определения функции:

    1. Решение:
    2. а) Выражение под корнем (4х-1)(х+0,5) должно быть неотрицательным. Решим неравенство:
    3. (4х-1)(х+0,5)≥0,
    4. Найдем нули функции (4х-1)(х+0,5)=0:
    5. 4х-1=0 или х+0,5=0
    6. х=0,25        х=-0,5
    7. Решим неравенство методом интервалов:

    Ответ: (-∞; -0,5]U[0,25; +∞).


    8. а) Найдите значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения

        б) Найдите значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения

    Решение:

    а) Рассмотрим неравенство

    Умножив обе части неравенства на (-1) получим:

    • Числитель равен 3 — положительное число, знаменатель тоже является положительным числом, следовательно дробь положительна на области определения. Найдем область определения функции:
    • 16-x2>0,
    • x2x2, то числитель будет отрицательным числом. (х1-3) и (х2-3)  на промежутке (3; +∞) будут положительными числами, следовательно у1-у2×2  и  y1-y2 b (либо ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b). Если a>0, то неравенство ax>0  равносильно неравенству x>b:a, значит, множество решений неравенства есть промежуток .Если abравносильно неравенству xb  принимает вид 0x>b, т.е. оно не имеет решений, если b≥0, и верно при любых х, если b0  (либо ax2+bx+c0. В зависимости от знака дискриминанта D=b2-4ac  могут представиться три случая:
      1. D0  лежит выше оси, то решением является (-∞; +∞), если a0,  график пересекает ось ОХ в двух точках х1 и х2 (х10, то ветви графика направлены вверх и решением является: (-∞; x1)U(x2;+∞), если a0, то ветви графика направлены вверх и решением является: (-∞; x1)U(x1;+∞), если a0 и A*B>0 (А:B7.

      1. Решение:
      2. а) Из неравенства |x|≤7 следует, что -7≤ х ≤7  и множество решений изображено на рисунке а).
      3. Ответ: а


      2. а) Являются ли решениями неравенства 3 — 2(m+6)>-7 + 3(m-4) числа 10; 27; 1,5; -3.

      •     б) Являются ли решениями неравенства n>-6(3-n)+5(2+n) числа -3; 0,9; 0,5; 1?
      • Решение:
      • а) Найдем решение для неравенства 3 — 2(m+6)>-7 + 3(m-4), ля этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 
      • 3-2m-12>-7+3m-12;
      • -5m>-10;
      • m2, то оно положительное, получим: 66:2; a>2, следовательно утверждение верно.

        Ответ: верно
        4. При каких значениях х верно неравенство:

        1. а) (2x-5)2≤0;  
          б) (4x-2)2>0?
        2. Решение:
        3. а) Рассмотрим неравенство (2x-5)2≤0, квадрат числа не может быть отрицательным числом, следовательно рассмотрим случай, когда (2x-5)2=0; 2х-5=0; х=2,5.
        4.  Ответ: 2,5


        5. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

        • а) 3х+15

        Источник: http://mathembs.blogspot.com/p/15.html

        Функция обратной пропорциональности и её свойства

        I. Обратной пропорциональностью называется функция, заданная формулой где k ≠ 0.

        • Графиком обратной пропорциональности является гипербола, расположенная в I и III четверти, если k>0; во II и IV четверти, если k 0 функция убывает, а при k < 0 возрастает на всей области определения. Для точного построения графика, например, функции , возьмём несколько значений х и для каждого вычислим значение у. Так как график функции симметричен относительно начала координат, то точки в III четверти будут иметь противоположные координаты. Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту II. Обратная пропорциональность где k ≠ 0. Графиком данной функции является гипербола, которая получается из графика функции смещением вдоль оси Ох на т единиц вправо, если т > 0, и влево, если т < 0. Чтобы построить график этой функции, проводим дополнительную прямую х = т, параллельную оси Оу, затем строим график функции относительно получившихся осей.
          1. Свойства:   1) Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме х = т:
          2.  D(y)=(−; т)(т; +).
          3. 2) Область значений функции – множество всех действительных чисел, кроме нуля:

          Е(y)=(−; 0)(0; +).3) , значит, функция не является ни чётной, ни нечётной, её график не симметричен относительно оси Оу. и не симметричен относительно начала координат.4) При k > 0 функция убывает, а при k < 0 возрастает на всей области определения. Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту III. Обратная пропорциональность где k ≠ 0. Графиком данной функции является гипербола, которая получается из графика функции смещением вдоль оси Оу на п единиц вверх, если п > 0, и вниз, если п < 0. Чтобы построить график этой функции, проводим дополнительную прямую у = п, параллельную оси Ох, затем строим график функции относительно получившихся осей.

          • Свойства:   1) Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме нуля:
          •  D(y)=(−; 0)(0; +).
          • 2) Область значений функции – множество всех действительных чисел, кроме у = п:

          Е(y)=(−; п)(п; +).3) , значит, функция не является ни чётной, ни нечётной, её график не симметричен относительно оси Оу. и не симметричен относительно начала координат.4) При k > 0 функция убывает, а при k < 0 возрастает на всей области определения.

          Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

          IV. Обратная пропорциональность где k ≠ 0.

          Графиком данной функции является гипербола, которая получается из графика функции смещением вдоль оси Ох на т единиц вправо, если т > 0, и влево, если т < 0, и вдоль оси Оу на п единиц вверх, если п > 0, и вниз, если п < 0. Чтобы построить график этой функции, проводим дополнительные прямые х = т, параллельную оси Оу , и у = п, параллельную оси Ох, затем строим график функции относительно получившихся осей.

          1. Свойства:   1) Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме х = т:
          2.  D(y)=(−; т)(т; +).
          3. 2) Область значений функции – множество всех действительных чисел, кроме у = п:

          Е(y)=(−; п)(п; +).3) , значит, функция не является ни чётной, ни нечётной, её график не симметричен относительно оси Оу. и не симметричен относительно начала координат.4) При k > 0 функция убывает, а при k < 0 возрастает на всей области определения.

          Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

          Источник: https://infourok.ru/funkciya-obratnoy-proporcionalnosti-i-eyo-svoystva-2717621.html

          Основные элементарные функции: их свойства и графики

          Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.

          Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.

          Выделяют следующие виды основных элементарных функций:

          Определение 1

          • постоянная функция (константа);
          • корень n-ой степени;
          • степенная функция;
          • показательная функция;
          • логарифмическая функция;
          • тригонометрические функции;
          • братные тригонометрические функции.

          Постоянная функция

          Постоянная функция определяется формулой: y=C (C – некое действительное число) и имеет также название: константа. Данная функция определяет соответствие любому действительному значению независимой переменной x одного и того же значения переменной y – значение C.

          График константы – это прямая, которая параллельна оси абсцисс и проходит через точку, имеющую координаты (0, С). Для наглядности приведем графики постоянных функций y=5, y=-2, y=3, y=3 (на чертеже обозначено черным, красным и синим цветами соответственно).

          Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

          Определение 2

          Свойства постоянных функций:

          • область определения – все множество действительных чисел;
          • постоянная функция – четная;
          • область значений – множество, составленное из единственного числа C;
          • постоянная функция является невозрастающей и неубывающей;
          • постоянная функция – прямая линия, о выпуклости или вогнутости здесь речи быть не может;
          • асимптоты отсутствуют;
          • точка прохождения функции на координатной плоскости – (0; С).

          Корень n-й степени

          Данная элементарная функция определяется формулой y=xn (n – натуральное число больше единицы).

          Рассмотрим две вариации функции.

          1. Корень n-й степени, n – четное число

          Для наглядности укажем чертеж , на котором изображены графики таких функций: y=x, y=x4 и y=x8. Эти функции отмечены цветом: черный, красный и синий соответственно.

          Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

          Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.

          Определение 3

          Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число

          • область определения – множество всех неотрицательных действительных чисел [0, +∞);
          • когда x=0, функцияy=xn имеет значение, равное нулю;
          • данная функция- функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной);
          • область значений: [0, +∞);
          • данная функция y=xn при четных показателях корня возрастает на всей области определения;
          • функция обладает выпуклостью с направлением вверх на всей области определения;
          • отсутствуют точки перегиба;
          • асимптоты отсутствуют;
          • график функции при четных n проходит через точки (0; 0) и (1; 1).
          1. Корень n-й степени, n – нечетное число

          Такая функция определена на всем множестве действительных чисел. Для наглядности рассмотрим графики функций y=x3, y=x5 и x9. На чертеже они обозначены цветами: черный, красный и синий цвета кривых соответственно.

          Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики - в помощь студенту

          Иные нечетные значения показателя корня функции y=xn дадут график аналогичного вида.

          Определение 4

          Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число

          • область определения – множество всех действительных чисел;
          • данная функция – нечетная;
          • область значений – множество всех действительных чисел;
          • функция y=xn при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения;
          • функция имеет вогнутость на промежутке (-∞; 0] и выпуклость на промежутке [0, +∞);
          • точка перегиба имеет координаты (0; 0);
          • асимптоты отсутствуют;
          • график функции при нечетных n проходит через точки (-1; -1), (0; 0) и (1; 1).

          Степенная функция

          Определение 5

          Степенная функция определяется формулой y=xa.

          Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.

          • когда степенная функция имеет целый показатель a, то вид графика степенной функции и ее свойства зависят от того, четный или нечетный показатель степени, а также того, какой знак имеет показатель степени. Рассмотрим все эти частные случаи подробнее ниже;
          • показатель степени  может быть дробным или иррациональным – в зависимости от этого также варьируется вид графиков и свойства функции. Мы разберем частные случаи, задав несколько условий: 0

          Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/funktsii/osnovnye-elementarnye-funktsii/

          Тема: «Функция обратная пропорциональность и ее график»

          Тема: «Функция и ее график».

          Цели:

          • Сформулировать определение обратной пропорциональности, научить находить значение функции и аргумента по формуле , способствовать выработке навыков и умений в построении графика функции вида .
          • Способствовать формированию информационной компетентности: умения систематизировать, анализировать, сравнивать, делать выводы.
          • Воспитание ответственного отношения к учебному труду.

          Тип урока: урок изучения нового материала.

          Оборудование:

          1. Компьютер, проектор;

          2. Презентация урока (PowerPoint);

          3. Карточки с заданием для самостоятельной работы.

          • Оборудование доски:
          • Таблицы 1, 2.
          • Структура урока:
          1. Постановка цели урока (2 мин);

          2. Подготовка к изучению нового материала и ознакомление с ним (20 мин).

          3. Физкультминутка (3 мин),

          4. Первичное осмысление и применение изученного (8 мин).

          5. Самостоятельная работа (7 мин).

          6. Постановка домашнего задания (2 мин).

          7. Подведение итогов урока(3 мин).

          Ход урока.

          Проверяется подготовленность классного помещения и готовность учащихся к уроку.

          Отмечается, что продолжается изучение темы «Функция». Сегодня мы рассмотрим новый тип функции – обратную пропорциональность. На доске и в тетрадях учащихся записывается тема урока:«Функция и ее график».

          1. Подготовка к изучению нового материала.

          В ходе фронтального опроса повторяются основные понятия по теме «Функция». Для этого учащимся предлагается разгадать кроссворд (Приложение 1). Вопросы кроссворда читает учитель.

          Шаблон кроссворда проецируются с помощью проектора на экран.

          Учащиеся устно последовательно отвечают на поставленные вопросы, а учитель в режиме презентации (PowerPoint) с помощью эффекта анимации вводит с помощью клавиатуры по очереди ответы в заготовленный шаблон кроссворда.

          3. Ознакомление с новым материалом.

          1. Ознакомление с новым материалом учитель осуществляет постепенно, поэтапно, опираясь на ранее полученные знания и умения учащихся.
          2. Учитель задает вопросы, а учащиеся отвечают
          3. Учитель: Какие способы задания функций нам известны?
          4. Ученик: С помощью формулы, графика или таблицы.

          Учитель предлагает двум ученикам, используя формулу . заполнить заранее заготовленные на доске таблицы 1 и 2.

          • Таблица 1: Таблица 2:
          • Тем временем класс отвечает на вопросы учителя, которые проецируются на экран с помощью проектора.
          • Вопросы.
          1. Как называются следующие функции, заданные формулами: y = kx + b,

          y = x2 , y = kx2 , y = kx. (линейная функция, квадратичная функция, прямая пропорциональность)

          1. Что означает термин «прямая пропорциональность»?

          2. Какова область определения каждой из данных функций?

          1. После фронтального разбора вопросов учащиеся проверяют правильность заполнения учениками таблиц 1 и 2.
          2. Следующий ученик выполняет на доске новое задание: «По данным в таблицах 1, 2 значениям x и y построить в координатной плоскости соответствующие точки».
          3. А в это время учитель проводит фронтальный опрос класса по таблице 3, которая проецируется на экран с помощью проектора.
          4. Таблица 3.
          1 y 0 1 x 2 y 0 1 x 3 y 1 x 4 y 0 1 x
          5 y 0 1 x 6 y 0 1 x 7 y 0 1 x 8 y 0 1 x
          9 y 0 1 x 10 y 0 1 x 11 y 0 1 x 12 y 0 1 x

          Вопросы:

          1. На каком рисунке из таблицы изображен график

          • а) линейной функции;
          • б) прямой пропорциональности;
          • в) квадратичной функции;
          • г) функции вида y = kx3.
          1. Назовите номера графиков функций вида y = kx + b, для которых k 0.

          2. Найдите в таблице графики линейных функций, у которых угловые коэффициенты:

          1. а) равны;
          2. б) равны по модулю и противоположны по знаку.
          3. Затем весь класс проверяет, верно ли ученик расставил точки на координатной плоскости.

          Учитель: Множество точек, изображенных на координатной плоскости образует график некоторой функции. Какой же формулой задается эта функция и как называется ее график?

          Известно, всякая функция описывает какие-то процессы, происходящие в окружающем нас мире. Рассмотрим, например прямоугольник со сторонами x и y и площадью 8 см2. Тогда зависимость y от x будет выражаться формулой y = .

          Что происходит со значениями y при увеличении (уменьшении) x в 2 раза, 4 раза? В какой зависимости находятся переменные y и x?

          Ученик: В обратно — пропорциональной зависимости.

          Учитель: В данной задаче переменные x и y принимали лишь положительные значения, а в дальнейшем мы будем рассматривать функции, задаваемые формулойy = , вкоторой переменные x и y могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Как будем называть такие функции?

          Учащиеся формируют определение обратной пропорциональности, затем читают это определение по учебнику.

          Учитель: Как же выглядит график обратной пропорциональности? По построенным точкам трудно судить обо всем графике. Попробуем вместе сделать выводы о графике данной функции, ответив на следующие вопросы.

          Вопросы.

          1. Какова область определения функции y = ?

          2. Если x 0, то y 0?

          x 0, то y ?

          1. Пересекает ли график оси Ox и Oy, почему?

          Выводы.

          1. График находится в 1 и 3 координатных четвертях.

          2. Плавно приближается к координатным осям, но не пересекает их.

          Затем учитель соединяет точки и сообщает, что полученная кривая называется

          гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей.

          На этом этапе урока полезно сделать физкультминутку.

          1. Первичное осмысление и применение изученного.

          • Оно начинается с выполнения следующего задания.
          • Задание: Построить график функции y = .
          • Один ученик выполняет на доске, учащиеся в тетрадях.
          • Учитель: Как зависит расположение графика гиперболыy = от значения k?
          • Ученик: Если k 0, то график расположен в 1 и 3 координатных четвертях.
          • Если k

          Закрепление: Все учащиеся выполняют из учебника № 175, 177. Двое учащихся работают на боковой доске. По окончании работы проверяется правильность решения заданий.

          Для более четкого представления о степени усвоения нового материала, учитель предлагает учащимся выполнить разноуровневую

          самостоятельную работу. Для этого ученики (предварительно разделенные на группы) получают карточки с заданиями.

          1 уровень.

          Постройте график обратной пропорциональности y = с помощью таблицы.

          x -12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 12
          y -1 -2 -3 -4 -6 -12 12 6 4 3 12

          2 уровень.

          Постройте график обратной пропорциональности y = , предварительно заполнив таблицу.

          x -16 -12 -8 -4 -2 -1 1 2 4 8 12 16
          y
          1. 3 уровень.
          2. Составить таблицу некоторых значений функции y = и построить ее график.
          3. По истечении отведенного времени, правильное решение проецируется на экран.

          В это время учащиеся обмениваются тетрадями и сверяют решения. Учитель очень быстро проводит опрос: «Поднимите руку, у кого нет ошибок?» По числу поднятых рук можно судить о степени усвоения материала урока.

          4. Постановка домашнего задания:

          1. Подготовить историческую справку о кривой (гипербола);

          2. п. 8 № 179, 180 (б, в).

          Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

          1. Какая функция называется обратной пропорциональностью?

          2. Как называется ее график?

          3. В каких координатных четвертях расположен график функции в зависимости от k?

          С учетом работы в течение всего урока комментируются и оцениваются ответы учащихся.

          Приложение 1.

          12
          2
          1
          3 9
          5
          10
          8 6 4
          11 7

          Вопросы кроссворда.

          1. Зависимость между переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной (Функция).

          2. Независимая переменная (Аргумент).

          3. Множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты — значениям функции (График).

          4. Функция, заданная формулой y = kx + b (Линейная).

          5. Каким коэффициентом называют число k в формуле y = kx + b (Угловым).

          6. Что является графиком линейной функции? (Прямая).

          7. Какой буквой обозначается ось абсцисс? (Икс).

          8. Слово в названии функции y = kx (Пропорциональная).

          9. Функция y = x2 (Квадратичная).

          10. Название графика квадратичной функции (Парабола).

          11. Какой буквой обозначается ось ординат (Игрек).

          12. Один из способов задания функции (Формула).

          Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/tiema-funktsiia-obratnaia-proportsional-nost-i-ieie-ghrafik

    Ссылка на основную публикацию