График простейших функций: линейная функция — в помощь студенту

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Для начала скажи мне, что такое функция?

Не знаешь? Тогда сперва прочитай тему «Функции» – она несложная, но очень важная.

Итак, ты усвоил что такое функция.

Повторим: функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).

  • То есть, если у тебя есть функция  , это значит что каждому допустимому значению переменной   (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной   (называемой «функцией»).
  • Что значит «допустимому»?
  • Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции»!

Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы одинаково полезны можно подставить в зависимость. Например, для функции   отрицательные значения аргумента   – недопустимы.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Троянская война - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Линейная функция

  1. Вернемся, наконец, к теме данной статьи.
  2. Линейной называется функция вида  , где   и   ­– любые числа (они называются коэффициентами).

  3. Другими словами, линейная функция – это такая зависимость, что функция прямо пропорциональна аргументу.

Как думаешь, почему она называется линейной? Все просто: потому что графиком этой функции является прямая линия. Но об этом чуть позже.

Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения   и область значений  .

Какими могут быть значения аргумента линейной функции  ? Правильно, любыми. Это значит, что область определения – все действительные числа:

или  .

А множество значений? Тут тоже все просто: поскольку функция прямо пропорциональна аргументу, то чем больше аргумент  , тем больше значение функции  . Значит,   так же как и   может принимать все возможные значения, то есть  , верно?

Верно, да не всегда. Есть такие линейные функции, которые не могут принимать любые значения. Как думаешь, в каком случае возникают ограничения?

Вспомним формулу:  . Какие нужно выбрать коэффициенты   и  , чтобы значение функции y не зависело от аргумента  ? А вот какие:   – любое, но  . И правда, каким бы ни был аргумент  , при умножении на   получится  ! Тогда функция станет равна  , то есть она принимает одно и то же значение при всех  :

Теперь рассмотрим пару задач на линейную функцию.

  1. При увеличении аргумента функции   на  , функция увеличилась на  . Найдите коэффициент  .
  2. При увеличении аргумента функции   на  , функция уменьшилась на  . Найдите коэффициент  .
  3. Дана функция  . При  , а при  . Определите коэффициенты   и   функции.

Решения:

1. Пусть начальное значение аргумента равно некому числу  . После увеличения на   аргумент стал равен:  .

Чему была равна функция до увеличения? Подставляем аргумент в формулу:

После увеличения:  .

Функция увеличилась на  . Как это записать на «математическом языке» (в виде уравнения)? Изменение – это разность конечного и начального значений. Значит, нужно из конечного значения функции   вычесть начальное:

  • Ответ:  .
  • 2. Аналогично предыдущей задаче:
  • Начальное значение аргумента равно  , конечное –  .
  • Начальное значение функции:  ;
  • конечное значение функции:  .
  • В этот раз функция не увеличилась, а уменьшилась. Это значит, что конечное значение будет меньше начального, а значит, изменение (разность конечного и начального) будет отрицательным:
  • Ответ:  .
  • Если проанализировать решения этих двух задач, можно прийти к важному выводу:
При изменении аргумента линейной функции на   функция изменяется на  . То есть изменение функции всегда ровно в   раз больше изменения аргумента.
  1. По-сути это является определением прямой пропорциональной зависимости.
  2. 3. Подставим известные значения аргумента и функции в формулу  :
  3. Получили два уравнения относительно   и  . Теперь достаточно решить систему этих двух уравнений:
  4. Вычтем из первого уравнения второе:
  5. Подставим найденное значение k в первое уравнение:
  6. Вот и все.
  7. Ответ:  

График линейной функции

Как я уже упоминал ранее, график такой функции – прямая линия. Как известно из геометрии, прямую можно провести через две точки (то есть, если известны две точки, принадлежащие прямой, этого достаточно, чтобы ее начертить).

Предположим, у нас есть функция линейная функция  . Чтобы построить ее график, нужно вычислить координаты любых двух точек. Т

  • о есть нужно взять любые два значения аргумента   и вычислить соответствующие два значения функции.
  • Затем для каждой пары   найдем точку в системе координат, и проведем прямую через эти две точки.
  • Проще всего найти функцию, если аргумент  .
  • Итак, первая точка имеет координаты  .
  • Теперь возьмем любое другое число в качестве  , например,  .
  • Вторая точка имеет координаты  .
  • Ставим эти две точки на координатной плоскости:

График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту

Теперь прикладываем линейку, и проводим прямую через эти две точки:

График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту

Вот и все, график построен!

Давай теперь на этом же рисунке построим еще два графика:   и  . Построй их самостоятельно так же: посчитай значение y для любых двух значений  , отметь эти точки на рисунке и проведи через них прямую.

Должно получиться так:

График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту

Видно, что все три прямые по-разному наклонены и в разных точках пересекают координатные оси. Все дело тут в коэффициентах   и  .

Давай разберемся, на что они влияют.

Для начала выясним, что делает коэффициент  . Рассмотрим функцию  , то есть  .

Меняя   будем следить, что происходит с графиком.

Итак, начертим графики для разных значений  :

График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту

Что ты можешь сказать о них? Чем отличаются графики? Это сразу видно: чем больше  , тем выше располагается прямая.

Более того, заметь такую вещь: график пересекает ось   в точке с координатой, равной  !

И правда. Как найти точку пересечения графика с осью  ? Чему равен   в такой точке? В любой точке оси ординат (это название оси  , если ты забыл)  . Значит достаточно подставить   в функцию, и получим ординату пересечения графика с осью  :

Теперь по поводу  . Рассмотрим функцию   Будем менять   и смотреть, что происходит с графиком. Построим графики для  

График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту

Так, теперь ясно:   влияет на наклон графика. Чем больше   по модулю (то есть несмотря на знак), тем «круче» (под большим углом к оси абсцисс –  ) расположена прямая. Если  , график наклонен «вправо», при   – «влево». А когда  , прямая располагается вдоль оси абсциссс.

Давай разбираться. Начертим новый график  :

График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту

Выберем на графике две точки   и  . Для простоты выберем точку   на пересечении графика с осью ординат. Точка   – в произвольном месте прямой, пусть ее координаты равны  . Рассмотрим прямоугольный треугольник  , построенный на отрезке   как на гипотенузе. Из рисунка видно, что  ,  .

Подставим   в  .

Получается, что  .

Итак, коэффициент   равен тангенсу угла наклона графика, то есть угла между графиком и осью абсциссс. Именно поэтому его (коэффициент  ) обычно называют угловым коэффициентом.

В случае, когда   что соответствует тупому углу:

График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту

  1. Если же  , тогда и   следовательно  , то есть прямая параллельна оси абсциссс.
  2. Понимать геометрическое значение коэффициентов очень важно, оно часто используется в различных задачах на линейную функцию.
  3. Например:

1. Найдите коэффициенты   и   линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.

График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту

2. Найдите коэффициенты   и   линейной функции, график которой приведен на рисунке. Запишите уравнение этой функции.

График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту

3. График какой из функций избражен на рисунке?

  • a)  
  • b)  
  • c)  
  • d)  

График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту

  1. Решения:
  2. 1. Коэффициент   найти проще простого – это ведь точка пересечения графика с осью  :
  3. Угловой коэффициент   – это тангенс угла наклона прямой. Для его нахождения выберем две точки   и   на графике и построим прямоугольный треугольник с гипотенузой  :
  4. Теперь можно составить уравнение этой прямой:

2. Все аналогично предыдущей задаче.

  • Поскольку график наклонен «влево», угол межну ним и осью абсцисс тупой, а значит, угловой коэффициент отрицательный.
  • Чтобы было проще найти тангенс угла наклона  , рассмотрим смежный с ним угол  . Тангенсы смежных углов равны по модулю, и противоположны по знаку:
  • Уравнение этой прямой выглядит так:

3. И снова в первую очередь смотрим на  . Значит, есть смысл рассматривать только функции a), b) и d).

Теперь посмотрим, каким должен быть угловой коэффициент?

Во-первых, он должен быть отрицательным, значит, выбрасываем ответ b). Остается a) и d).

  1. Чтобы выбрать из них, придется найти тангенс угла наклона графика:
  2. Отлично, значит уравнение этой прямой выглядит так:
  3. То есть правильный ответ: a.

Точка пересечения графика с осью ординат – это коэффициент  . А что можно сказать про точку пересечения с осью абсцисс?

В случае пересечения с осью   координата  . При пересечении оси   – аналогично, координата  :

Да это же простое линейное уравнение! И действительно, такое линейное уравнение говорит нам, при каких значениях аргумента   функция  , то есть корни такого уравнения – это координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

  • Это справедливо, кстати, для любой функции/уравнения.
  • Например, корни квадратного уравнения – это точки пересечения графика квадратичной функции – параболы – с осью  .
  • Но подробнее об этом ты узнаешь в темах «Квадратные уравнения» и «Квадратичная функция».

Линейная функция. коротко о главном

Линейная функция — это функция вида  , где   и   ­– любые числа (коэффициенты).

Рассмотрим, как коэффициенты влияют на месторасположение графика:

  •   — отвечает за угол наклона графика ( )
  •   — точка пересечения с  .

Общие варианты представлены на рисунке:

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

  1. Стать учеником YouClever,
  2. Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
  3. А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/linejnaya-funktsiya-1

Линейная функция «y = kx + b» и её график

Прежде чем перейти к изучению функции «y = kx» внимательно изучите урок «Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Важно!

  • Функцию вида «y = kx + b» называют линейной функцией.
  • Буквенные множители «k» и «b» называют числовыми коэффициентами.
  • Вместо «k» и «b» могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).

Другими словами, можно сказать, что «y = kx + b» — это семейство всевозможных функций, где вместо «k» и «b» стоят числа.

Примеры функций типа «y = kx + b».

  • y = 5x + 3
  • y = −x + 1
  • y = x − 2
  • y = 0,5x

Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

Функция Коэффициент «k» Коэффициент «b»
y = 5x + 3 k = 5 b = 3
y = −x + 1 k = −1 b = 1
y = x − 2 k = b = −2
y = 0,5x k = 0,5 b = 0

Обратите особое внимание на функцию «y = 0,5x» в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b».

Рассматривая функцию «y = 0,5x», неверно утверждать, что числового коэффициента «b» в функции нет.

Числовый коэффициент «b» присутствет в функции типа «y = kx + b» всегда. В функции «y = 0,5x» числовый коэффициент «b» равен нулю.

Как построить график линейной функции «y = kx + b»

Запомните!

Графиком линейной функции «y = kx + b» является прямая.

  1. Так как графиком функции «y = kx + b» является прямая линия, функцию называют линейной функцией.
  2. Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
  3. Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида «у = kx + b» нам достаточно будет найти всего две точки.
  4. Для примера построим график функции «y = −2x + 1».

Найдем значение функции «y» для двух произвольных значений «x». Подставим, например, вместо «x» числа «0» и «1».

Важно!

Выбирая произвольные числовые значения вместо «x», лучше брать числа «0» и «1». С этими числами легко выполнять расчеты.

x Расчет «y = −2x + 1»
0 y(0) = −2 · 0 + 1 = 1
1 y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1

Полученные значения «x» и «y» — это координаты точек графика функции.

Запишем полученные координаты точек «y = −2x + 1» в таблицу.

Точка Координата по оси «Оx» (абсцисса) Координата по оси «Оy» (ордината)
(·)A 0 1
(·)B 1 −1

Отметим полученные точки на системе координат.

Читайте также:  Учет формирования резервов под снижение стоимости материальных ценностей - в помощь студенту

График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции «y = −2x + 1».

График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту

Рассмотрим задачу.

Построить график функции «y = 2x + 3». Найти по графику:

  1. значение «y» соответствующее значению «x» равному −1; 2; 3; 5;
  2. значение «x», если значение «y» равно 1; 4; 0; −1.

Вначале построим график функции «y = 2x + 3».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции «y = 2x + 3» достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для «x». Для удобства расчетов выберем числа «0» и «1».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Точка Координата по оси «Оx» Координата по оси «Оy»
(·)A 0 y(0) = 2 · 0 + 3 = 3
(·)B 1 y(1) = 2 ·1 + 3 = 5

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции «y = 2x + 3».

График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту

  • Теперь работаем с построенным графиком функции «y = 2x + 3».
  • Требуется найти значение «y», соответствующее значению «x», которое равно −1; 2; 3; 5.
  • Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».
  • В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

Запомните!

Чтобы найти значение «y» по известному значению «x» на графике функции необходимо:

  1. провести перпендикуляр от оси «Ox» (ось абсцисс) из заданного числового значения «x» до пересечения с графиком функции;
  2. из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести еще один перпендикуляр к оси «Oy» (ось ординат);
  3. полученное числовое значение на оси «Oy» и будет искомым значением.

По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции «y = 2x + 3» необходимые значения функции «y» для «x» равным −1; 2; 3; 5.

График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение «x» Полученное с графика значение «y»
−1 1
2 7
3 9
5 13

Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение «x», если значение «y» равно 1; 4; 0; −1.

Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания. Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси «Oy».

График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение «y» Полученное с графика значение «x»
−1 −2
0 −1,5
1 −1
4 0,5

Рассмотрим другое задание.

Не выполняя построения графика функции «y = 2x − », выяснить, проходит ли график через точки с координатами (0; − ) и (1; −2). Запомните!

Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси «Ox» вместо «x», а координату по оси «Oy» вместо «y») и выполнить арифметические расчеты.

  • Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
  • Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.

Подставим в функцию «y = 2x − » координаты точки (0; − ).

− = 2 · 0 −    − = − (верно)

Это означает, что график функции «y = 2x − » проходит через точку с координатами (0; − ). Проверим точку с координатами (1; −2). Также подставим координаты в функцию «y = 2x − ».

−2 = 2 · 1 − −2 = 2 − −2 = 1 −         −2 = 1 (неверно)

Это означает, что график функции «y = 2x − » не проходит через точку с координатами (1; −2).

  1. Рассмотрим задачу.
  2. Найти координаты точек пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» с осями координат.
  3. Для начала построим график функции «y = −1,5x + 3» и на графике отметим точки пересечения с осями.
  4. Для построения графика функции найдем координаты двух точек функции «y = −1,5x + 3».

Выберем два произвольных числовых значения для «x» и рассчитаем значение «y» по формуле функции. Например, для x = 0 и x = 1.

Точка Координата по оси «Оx» Координата по оси «Оy»
(·)A 0 y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3
(·)B 1 y(1) = −1,5 · 1 + 3 = 1,5

Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую. Тем самым мы построим график функции «y = −1,5x + 3».

График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту

Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.

Запомните!

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции с осью «Oy» (осью ординат) нужно:

  • приравнять координату точки по оси «Ox» к нулю (x = 0);
  • подставить вместо «x» в формулу функции ноль и найти значение «y»;
  • записать полученные координаты точки пересечения с осью «Oy».

Подставим вместо «x» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.

y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3

(0; 3) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» c осью «Oy». Запомните!

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции с осью «Ox» (осью абсцисс) нужно:

  • приравнять координату точки по оси «Oy» к нулю (y = 0);
  • подставить вместо «y» в формулу функции ноль и найти значение «x»;
  • записать полученные координаты точки пересечения с осью «Oy».

Подставим вместо «y» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.

0 = −1,5x + 3         1,5x = 3        | :(1,5) x = 3 : 1,5           

x = 2                   

(2; 0) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» c осью «Ox».

Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните «правило противоположности».

Важно!

Если нужно найти координаты точки пересечения графика с осью «Ox», то приравниваем «y» к нулю.

И наооборот. Если нужно найти координаты точки пересечениа графика с осью «Oy», то приравниваем «x» к нулю.

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/function/function_y_kx_b.php

Построение графиков функций

Функции и их графики — одна из самых увлекательных тем в школьной математике. Жаль только, что проходит она… мимо уроков и мимо учеников. На нее вечно не хватает времени в старших классах. А те функции, которые проходят в 7-м классе, — линейная функция и парабола — слишком просты и незамысловаты, чтобы показать все разнообразие интересных задач.

Умение строить графики функций необходимо для решения задач с параметрами на ЕГЭ по математике. Это одна из первых тем курса математического анализа в вузе. Это настолько важная тема, что мы в ЕГЭ-Студии проводим по ней специальные интенсивы для старшеклассников и учителей, в Москве и онлайн. И часто участники говорят: «Жаль, что мы не знали этого раньше».

Но это не все. Именно с понятия функции и начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции — это все-таки арифметика. Преобразования выражений — это алгебра.

А математика — наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Язык функций и графиков понятен и физику, и биологу, и экономисту.

И, как сказал Галилео Галилей, «Книга природы написана на языке математики».

  • Точнее, Галилео Галилей сказал так:«Математика есть алфавит, посредством которого Господь начертал Вселенную».
  • Темы для повторения:
  • Понятие функции
  • Типы элементарных функций
  • Преобразования графиков функций
  • Производная функции
  • 1. Построим график функции

Знакомая задача! Такие встречались в вариантах ОГЭ по математике. Там они считались сложными. Но сложного ничего здесь нет.

  1. Упростим формулу функции:
  2. при x
e -1
  3. График функции — прямая с выколотой точкой
  4. График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту
  5. 2. Построим график функции
  6. Выделим в формуле функции целую часть:

График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту

Выделение целой части — полезный прием, применяемый в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин в задачах на числа и их свойства. Он встретится вам также на первом курсе, когда придется брать интегралы.

  • 3. Построим график функции
  • Он получается из графика функции растяжением в 2 раза, отражением по вертикали и сдвигом на 1 вверх по вертикали
  • 4. Построим график функции
  • Главное — правильная последовательность действий. Запишем формулу функции в более удобном виде:
  • Действуем по порядку:
  • 1) График функции y=sinx сдвинем на влево;
  • 2) сожмем в 2 раза по горизонтали,
  • 3) растянем в 3 раза по вертикали,
  • 4) сдвинем на 1 вверх

Сейчас мы построим несколько графиков дробно-рациональных функций. Чтобы лучше понять, как мы это делаем, читайте статью «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты».

  1. 5. Построим график функции
  2. Область определения функции:
  3. Нули функции: и
  4. Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Прямая x = 0 (ось Y) — вертикальная асимптота функции. Асимптота — прямая, к которой бесконечно близко подходит график функции, но не пересекает ее и не сливается с ней (смотри тему «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты»)

Есть ли другие асимптоты у нашей функции? Чтобы выяснить это, посмотрим, как ведет себя функция, когда x стремится к бесконечности.

Раскроем скобки в формуле функции:

Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю. Прямая является наклонной асимптотой к графику функции.

  • 6. Построим график функции
  • Это дробно-рациональная функция.
  • Область определения функции
  • Нули функции: точки — 3, 2, 6.
  • Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
  • Вертикальные асимптоты:

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, — горизонтальная асимптота.

  1. Вот эскиз графика:
  2. Еще один интересный прием — сложение графиков.
  3. 7. Построим график функции
  4. Если x стремится к бесконечности, то и график функции будет бесконечно близко подходить к наклонной асимптоте
  5. Если x стремится к нулю, то функция ведет себя как Это мы и видим на графике:

Вот мы и построили график суммы функций. Теперь график произведения!

  • 8. Построим график функции
  • Область определения этой функции — положительные числа, поскольку только для положительных x определен
  • Значения функции равны нулю при (когда логарифм равен нулю), а также в точках, где то есть при
  • При , значение {cos x} равно единице. Значение функции в этих точках будет равно
  • 9. Построим график функции
  • Функция определена при Она четная, поскольку является произведением двух нечетных функций и График симметричен относительно оси ординат.
  • Нули функции — в точках, где то есть при

Если x стремится к бесконечности, стремится к нулю. Но что же будет, если x стремится к нулю? Ведь и x, и sin x будут становиться меньше и меньше. Как же будет вести себя частное ?

Оказывается, что если x стремится к нулю, то стремится к единице. В математике это утверждение носит название «Первого замечательного предела».

А как же производная? Да, наконец-то мы до нее добрались. Производная помогает более точно строить графики функций. Находить точки максимума и минимума, а также значения функции в этих точках.

10. Построим график функции

Область определения функции — все действительные числа, поскольку

Функция нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат.

При x=0 значение функции равно нулю. При значения функции положительны, при отрицательны.

  1. Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю.
  2. Найдем производную функции
    По формуле производной частного,
  3. если или
  4. В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс», — точка минимума функции.
  5. В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус», — точка максимума функции.
  6. Найдем значения функции при x=2 и при x=-2.

Графики функций удобно строить по определенному алгоритму, или схеме. Помните, вы изучали ее в школе?

  • Общая схема построения графика функции: 
  • 1. Область определения функции
  • 2. Область значений функции
  • 3. Четность — нечетность (если есть)
  • 4. Периодичность (если есть)
  • 5. Нули функции (точки, в которых график пересекает оси координат)

6. Промежутки знакопостоянства функции (то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна).

7. Асимптоты (если есть).

8. Поведение функции в бесконечности

9. Производная функции

10. Промежутки возрастания и убывания. Точки максимума и минимума и значения в этих точках.

Источник: https://ege-study.ru/postroenie-grafikov-funkcij/

Справочник по математическим формулам и графикам функций для студентов. Старков С.Н

График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту

СПб.: 2009. — 235 с. 

Первая часть данного справочника содержит более 1200 формул элементарной и высшей математики, расположенных в 34 разделах. Во вторую часть вошло более 1200 рисунков, представляющих собой графики функций и их преобразования (элементарные и неэлементарные), а также изображения кривых на плоскости.

  • Издание предназначено для студентов и преподавателей высших учебных заведений технического и естественнонаучного профиля; большая часть справочника может быть полезна учащимся и преподавателям средних учебных заведений.
  • Формат: djvu  
  • Размер:  2,46 Мб
  • Скачать:   yandex.disk
  • Формат: pdf  
  • Размер:  3,2 Мб
  • Скачать:   yandex.disk

Содержание Некоторые обозначения 13 Часть 1. Формулы 15 1. Формулы сокращенного умножения и другие тождества 17 2. Формулы разложения многочленов на множители 18

Разложения на множители некоторых многочленов 2-й, 3-й и 4-й степени • Схема Горнера деления многочлена на двучлен • Теорема о подборе корней многочлена с целочисленными коэффициентами • Разложение многочлена n-й степени на простейшие множители

3. Действия с дробями 20 4. Средние величины. Пропорции. Проценты 21 5. Модуль (абсолютная величина) 22 6. Степени и корни. Логарифмы 27 Степени с натуральным, целым и рациональным показателем. Арифметический корень • Свойства арифметических корней • Свойства степени с действительным показателем • Свойства логарифмов 7. Прогрессии 25 Арифметическая прогрессия • Геометрическая прогрессия 8. Решение уравнений 36 Рациональные уравнения • Уравнения, содержащие знак модуля • Иррациональные уравнения • Показательные уравнения • Логарифмические уравнения • Тригонометрические уравнения 9. Решение неравенств 28 Рациональные неравенства • Неравенства, содержащие знак модуля • Иррациональные неравенства • Показательные неравенства • Логарифмические неравенства • Тригонометрические неравенства 10. Тригонометрические формулы 31 Основные тождества • Свойства четности и нечетности • Формулы сложения • Формулы кратных углов • Формулы половинных углов • Формулы преобразования суммы в произведение • Формулы преобразования произведения в сумму • Выражение функций через тангенс половинного угла о Формулы приведения • Обратные тригонометрические функции • Дополнительные тождества • Связь радианной и градусной меры угла • Таблица значений тригонометрических функций 1. Типовые способы замены переменной 36 12. Формулы геометрии 37 Треугольники • Вычисление площади треугольника • Теорема Пифагора • Теорема синусов • Теорема косинусов • Четырехугольники • Вычисление площади четырехугольника • Окружность и круг • Вычисление объемов и площадей поверхности 13. Векторы 39 Прямоугольные и полярные координаты точки на плоскости • Прямоугольные и цилиндрические координаты точки в пространстве • Прямоугольные и сферические координаты точки в пространстве • Проекция вектора на ось • Проекции вектора на оси прямоугольной системы координат OXYZ • Задание вектора в координатной форме • Расстояние между двумя точками • Модуль (длина) вектора • Направляющие косинусы вектора • Единичный вектор • Нулевой вектор • Вектор, противоположный вектору • Равенство векторов • Сложение и вычитание векторов • Умножение вектора на число • Орт ненулевого вектора • Признак коллинеарности двух ненулевых векторов • Линейная комбинация векторов • Линейная независимость системы ненулевых векторов • Линейная зависимость системы векторов • Связь коллинеарности и линейной зависимости двух векторов • Связь компланарности и линейной зависимости трех векторов • Разложение вектора по базису в пространстве • Разложение вектора по трем некомпланарным векторам • Разложение вектора по базису прямоугольной системы координат OXYZ • Преобразование координат в пространстве • Преобразование координат на плоскости при параллельном переносе и повороте осей • Вычисление скалярного произведения в координатной форме • Угол между векторами • Условие перпендикулярности двух ненулевых векторов • Вычисление векторного произведения в координатной форме • Усло¬вие коллинеарности двух векторов • Вычисление смешанного произведения в координатной форме • Условие компланарности трех векторов 14. Прямая на плоскости 46 Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору • Общее уравнение прямой • Неполные уравнения прямой • Нормальное уравнение прямой • Уравнение прямой в полярных кординатах • Уравнение прямой с угловым коэффициентом • Уравнение прямой «в отрезках» • Параметрическое уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору • Каноническое уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору • Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки • Угол между двумя прямыми • Расстояние от точки до прямой • Расстояние от начала координат до прямой • Условие пересечения двух прямых и координаты точки пересечения • Условие совпадения двух прямых • Условие принадлежности трех заданных точек одной прямой 15. Плоскость и прямая в пространстве 50 Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору • Общее уравнение плоскости • Неполные уравнения плоскости • Нормальное уравнение плоскости • Уравнение плоскости «в отрезках» • Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой • Расстояние от точки до плоскости • Угол между двумя плоскостями • Параметрическое уравнение прямой в пространстве, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору • Каноническое уравнение прямой в пространстве • Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две различные точки • Угол между прямой и плоскостью • Задание прямой в пространстве как линии пересечения двух непараллельных плоскостей 16. Уравнения некоторых кривых на плоскости 53 Эллипс • Окружность • Гипербола • Парабола • Архимедова спираль • Астроида • Декартов лист • Улитка Паскаля • Кардиоида • Конхоида Никомеда • Лемниската Бернулли • Локон Аньези • Циклоида • Эпициклоиды • Эпитрохоиды • Розы • Гипоциклоиды • Гипотрохоиды 17. Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка 57 Эллипсоид • Однополостной гиперболоид • Двухполостной гипербо¬лоид • Конус второго порядка • Эллиптический параболоид • Гипер¬болический параболоид • Эллиптический цилиндр • Гиперболический цилиндр • Параболический цилиндр • Пара пересекающихся плоскостей • Пара параллельных плоскостей 18. Определители 58 Определитель первого порядка • Определитель второго порядка • Опре¬делитель третьего порядка • Определитель п-то порядка • Алгебраичес¬кое дополнение • Свойства определителей • Решение системы п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными по формулам Крамера 19. Матрицы 61 Прямоугольные матрицы размера тхп • Равенство матриц • Нулевая матрица • Противоположная матрица • Сложение матриц одинакового размера • Умножение матрицы на число • Умножение матриц согласованного размера • Свойства единичной матрицы • Обратная матрица • Вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы • Решение системы п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными методом обратной матрицы • Ранг матрицы • Теорема Кро-некера-Капелл и о совместности систем т линейных уравнений с п неизвестными 20. Пределы и непрерывность 65 Свойства сходящихся последовательностей • Сходимость монотонной и ограниченной последовательности • Критерий Коши сходимости последовательности • Свойства функций, имеющих предел (правила вычисления пределов) • Односторонние пределы функции • Условие существования предела функции • Пределы функции «на бесконечности» • Бесконечные пределы • Замечательные пределы • Бесконечно малые и бесконечно большие функции • Таблица эквивалентных бесконечно малых • Точки разрыва • Свойства функций, непрерывных на отрезке 21. Производная и дифференциал 70 Конечные и бесконечные производные • Односторонние производные • Условие существования производной функции • Существование производной и непрерывность • Производные основных элементарных функций (таблица производных) • Производные гиперболических функций • Правила дифференцирования • Производная сложной функции • Производная обратной функции • Производная функции, заданной параметрически • Производная функции, заданной неявно • Производная показательно-степенной функции • Производные высших порядков • Формулы Тей¬лора и Маклорена • Теорема Ферма. Необходимое условие экстремума функции • Теорема Ролля • Теорема Лагранжа • Теорема Коши • Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей • Уравнение касательной к графику функции • Уравнение нормали к графику функции • Приближенные вычисления с помощью дифференциала • Дифференциалы высших порядков • Выражение производных через дифференциалы 22. Неопределенный интеграл 77 Первообразная • Неопределенный интеграл • Свойства неопределенного интеграла • Таблица интегралов • Метод интегрирования с помощью замены переменной • Метод интегрирования по частям • Интегрирование рациональных дробей • Интегрирование простейших рациональных дробей • Интегралы от некоторых рациональных дробей • Интегралы от некоторых иррациональных функций • Интегралы от некоторых показательных и логарифмических функций • Интегралы от некоторых тригонометрических функций 23. Определенный интеграл 85 Связь определенного и неопределенного интеграла • Формула Ньютона-Лейбница • Свойства определенного интеграла • Оценки значения определенного интеграла • Метод интегрирования с помощью замены переменной • Метод интегрирования по частям • Вычисление площадей, длин дуг и объемов с помощью определенного интеграла 24. Несобственные интегралы 88 Несобственные интегралы 1-го рода • Несобственные интегралы 2-го рода • Гамма-функция • Значения некоторых несобственных интегралов 25. Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных…. 91 Частная производная функции • Производная функции по направлению • Частные производные высшего порядка • Полная производная сложной функции • Частные производные сложной функции • Частные дифференциалы • Полный дифференциал • Дифференциалы п-то порядка • Формула Тейлора • Необходимые условия экстремума функции • Достаточные условия экстремума функции • Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 26. Кратные интегралы 94 Вычисление двойного интеграла через повторные • Свойства двойного интеграла • Вычисление двойного интеграла в полярных кординатах • Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла • Вычисление тройного интеграла через повторные • Свойства тройного интеграла • Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических кординатах • Вычисление объемов с помощью тройного интеграла 27. Криволинейные и поверхностные интегралы 96 Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода • Вычисление криволинейных интегралов 2-го рода • Формула Грина • Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода • Вычисление поверхностных интегралов 2-го рода • Формула Стокса • Формула Гаусса-Остроградского 28. Дифференциальные операции векторного анализа 98 Оператор Гамильтона • Градиент функции • Производная функции по направлению • Дивергенция вектор-функции • Ротор вектор-функции • Оператор Лапласа. Дифференциальные операции 2-го порядка 29. Числовые и степенные ряды 99 Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды • Свойства сходящихся числовых рядов • Необходимое условие сходимости числового ряда • Достаточное условие расходимости числового ряда • Знакопостоянные числовые ряды. Достаточные признаки сходимости и расходимости • Знакопеременные и знакочередующиеся числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость • Сложение и умножение степенных рядов • Дифференцирование и интегрирование степенных рядов • Разложения функций в степенные ряды • Значения сумм некоторых числовых рядов 30. Тригонометрические ряды Фурье 105 31. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений 106 Дифференциальное уравнение с разделенными переменными • Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными • Дифференциальное уравнение, однородное относительно аргумента и функции • Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка • Уравнение Бернулли • Уравнение в полных дифференциалах • Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами • Линейное однородное дифференциальное уравнение п-то порядка с постоянными коэффициентами 32. Комплексные числа 111 Степени числа i • Алгебраическая форма комплексного числа о Равенство комплексных чисел • Комплексно сопряженное число • Модуль комплексного числа • Аргумент комплексного числа • Множество значений аргумента • Действия над комплексными числами в алгебраической форме • Свойства действий над комплексными числами • Тригонометрическая форма комплексного числа • Действия над комплексными числами в тригонометрической форме • Показательная форма комплексного числа • Действия над комплексными числами в показательной форме • Расстояние между точками • Уравнение прямой • Уравнение окружности • Разложение многочлена на линейные множители • Основная теорема алгебры 33. Элементы теории функций комплексной переменной 116 Основные функции комплексной переменной • Гиперболические функции • Производная функции комплексной переменной • Вычисление интегралов • Формула Ньютона-Лейбница • Теорема Коши • Интегральная формула Коши • Ряды Тейлора • Ряды Лорана • Особые точки • Классификация изолированных особых точек • Вычеты. Основная теорема о вычетах 34. Элементы теории вероятностей 120 Число сочетаний без повторений из п элементов по k • Число размещений без повторений из п элементов по k • Число перестановок без повторений из п элементов по п • Число размещений с повторениями из п элементов по k • Формула Стирлинга • Свойства операций сложения и умножения событий • Правило сложения вероятностей • Условная вероятность. Независимые события • Правило умножения вероятностей • Формула полной вероятности • Формула Байеса. Пересчет вероятностей гипотез • Повторение испытаний с двумя исходами. Формула Бернулли • Функция распределения случайной величины • Ряд распределения дискретной случайной величины • Плотность распределения непрерывной случайной величины • Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины с п значениями • Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины • Среднее квадратическое отклонение • Биномиальное распределение • Распределение Пуассона • Равномерное распределение • Нормальное распределение • Неравенство Чебышева

Читайте также:  Производственные фонды - в помощь студенту

Часть 2. Графики функций 127 35. Графики основных элементарных функций 128

36. Основные типы преобразований графиков 130 37. Преобразования графиков линейных функций 132 38. Преобразование графиков квадратичных функций 142 39. Преобразования графиков многочленов 3-й и 4-й степени 152 40. Преобразования графиков дробно-рациональных функций 162 41. Преобразования графиков функций, содержащих рациональные степени и корни 182 42. Преобразования графиков показательных и логарифмических функций 192 43. Преобразования графиков тригонометрических функций 202 44. Графики различных комбинаций элементарных функций 214 45. Изображения неявно заданных зависимостей, содержащих знак модуля 217 46. Изображения зависимостей, заданных параметрически 222 47. Изображения зависимостей, заданных в полярных координатах 226 48. Изображения некоторых кривых на плоскости 227 49. Изображения поверхностей 2-го порядка 228 Литература 229 Алфавитный указатель основных формул 231

О том, как читать книги в форматах pdf, djvu — см. раздел «Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др.»

  1.   График простейших функций: линейная функция - в помощь студенту
  2. Астрономия
  3. Биология
  4. География
  5. Естествознание

.

Иностр. языки.

  • Информатика
  • Искусствоведение
  • История
  • Культурология
  • Литература
  • Математика:
  • Начальная школа
  • Средняя школа
  • Решение задач
  • ГИА (экзамен)
  • ЕГЭ (экзамен)
  • ГДЗ по математике
  • Высшая школа
  • Менеджмент
  • ОБЖ
  • Обществознание
  • Психология
  • Религиоведение
  • Русский язык
  • Физика
  • Философия 
  • Химия
  • Экология
  • Экономика
  • Юриспруденция
  • Школа — и др.
  • Студентам — и др.
  • Экзамены школа
  • Абитуриентам
  • Библиотеки 
  • Справочники
  • Рефераты
  • Прочее
 Copyright  © 2006-2007   Alexander Vasiliev , St. Petersburg,   Russia,   info@alleng.ru 

Источник: https://alleng1.org/d/math-stud/math-st863.htm

Исследование функции и построение графика функции

Приведем примерный алгоритм получения необходимых данных.

1.Нахождение области определения функции

Определение интервалов, на которых функция существует.

!!! Очень подробно об области определения функций и примеры нахождения области определения тут.

2.Нули функции

Для вычисления нулей функции, необходимо приравнять заданную функцию к нулю и решить полученное уравнение. На графике это точки пересечения с осью ОХ.

3.Четность, нечетность функции

Функция четная, если y(-x) = y(x). Функция нечетная, если y(-x) = -y(x). Если функция четная – график функции симметричен относительно оси ординат (OY). Если функция нечетная – график функции симметричен относительно начала координат. 

4.Промежутки знакопостоянства

Расстановка знаков на каждом из интервалов области определения. Функция положительна на интервале — график расположен выше оси абсцисс. Функция отрицательна — график ниже оси абсцисс. 

5. Промежутки возрастания и убывания функции

Для определения вычисляем первую производную, приравниваем ее к нулю. Полученные нули и точки области определения выносим на числовую прямую. Для каждого интервала определяем знак производной. Производная положительна — график функции возрастает, отрицательна — убывает.

6. Выпуклость, вогнутость

Вычисляем вторую производную. Находим значения, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Вторая производная положительна — график функции выпукл вверх. Отрицательна — график функции выпукл вниз. 

7. Наклонные асимптоты

Пример исследования функции и построения графика №1

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №2

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №3

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №4

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №5

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №6

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №7

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

 

Пример исследования функции и построения графика №8

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №9

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №10

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №11

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №12

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №13

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №14

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №15

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №16

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №17

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №18

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №19

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №20

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №21

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №22

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №23

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №24

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №25

  1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №26

  • Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Источник: http://matecos.ru/mat/matematika/issledovanie-funktsii-i-postroenie-grafika-funktsii.html

Ссылка на основную публикацию