Двугранный угол — в помощь студенту

Двугранный угол - в помощь студенту Двугранный угол - в помощь студенту Двугранный угол - в помощь студенту Двугранный угол - в помощь студенту Двугранный угол - в помощь студенту Двугранный угол - в помощь студенту Двугранный угол - в помощь студенту Двугранный угол - в помощь студенту Двугранный угол - в помощь студенту Двугранный угол - в помощь студенту

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – тупоугольный. АС ВS TTП H-я АС NS П-я Ня В А П-р К С S П-я N Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – равнобедренный. TTП АС ВМ H-я В я —я Н Н П-р АС NМ П-я А К N M П-я С Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – прямоугольный. АС ВС H-я TTП АС NС П-я В П-р Н -я А К С П-я N Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – параллелограмм, угол С тупой. DС В M H-я TTП DС NM П-я А В Ня П-р D С M К П-я N Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – прямоугольник. А DС N С П-я В D П-р Ня DС B С H-я TTП К С П-я N Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – параллелограмм, угол С острый. DС В M H-я TTП DС NM П-я А В я Н- D П-р К M П-я N С Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Угол брюстера - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – трапеция, угол С острый. DС В M H-я TTП DС NM П-я А В Ня П-р D К П-я M N С Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

Построить угол между плоскостями АВС и ВКС К А С В

Построить угол между плоскостями АВСД и АСД 1 А 1 С 1 В 1 Д А С В

Построить угол между плоскостями АВ 1 С и АВС С 1 А 1 В 1 С О А В

Постройте угол между плоскостями ВF 1 Д и АВСДЕF Е 1 Д 1 F 1 С 1 А 1 В 1 Е Д О F А В С

Задача 1: В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD 1. Задача 2: В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA 1. Задача 3: Задача 4: Задача 5: Задача 6: В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD 1. • В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и BDD 1.

В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями BC 1 D и BA 1 D. Неперпендикулярные плоскости и пересекаются по прямой МN. В плоскости из точки А проведен перпендикуляр АВ к прямой МN и из точки А проведен перпендикуляр АС к плоскости. Докажите, что угол АВС – линейный угол двугранного угла АМNC.

Задача 1: Д 1 А 1 Задача 2: С 1 В 1 Д 1 А 1 Д В Ответ: 90 o. В 1 Д С А С 1 С А Ответ: 45 o. В

Задача 3: Задача 4: Д 1 С 1 А 1 В 1 А 1 Д С 1 В 1 Д С А В Ответ: 90 o. С А В Ответ: 90 o.

Задача 5: Решение: Д 1 С 1 А 1 В 1 Д С О А В — диагональ квадрата со стороной равной 1.

Доказательство: А Ня МN П-р N В П-я M С АB TTП MN ВС П-я H-я Угол АВС – линейный угол двугранного угла АМNC

Урок окончен, удачи …

Источник: https://present5.com/postroenie-linejnogo-ugla-dannogo-dvugrannogo-ugla/

Двугранный угол. Подробная теория с примерами

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.

Вот так:

Двугранный угол - в помощь студенту

  • При этом прямая   – это ребро двугранного угла, а полуплоскости   и   — стороны или грани двугранного угла.
  • Двугранный угол получает обозначение по своему ребру: «двугранный угол  ».
  • С понятием двугранного угла тесно связано понятия: угол между плоскостями.
Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.

Двугранный угол - в помощь студенту

Итак, внимание! Различие между двугранным углом и углом между плоскостями в том, что:

Двугранный угол может быть и острым, и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!

 

Линейный угол двугранного угла

  1. Как измерить двугранный угол?
  2. Нужно поступить так: из произвольной точки на ребре двугранного угла провести в каждой плоскости по перпендикуляру к этому ребру.
  3. Смотри:

3″ src=»https://youclever.org/book/website/youclever/var/custom/file/2014/12/3.png»>

В плоскости   провели перпендикуляр   к ребру  . Что получилось? Обычный, плоский угол  . Вот этот угол и называется: линейный угол двугранного угла  .

Зачем этот линейный угол? Запомни, это очень ВАЖНО:

Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла.

То есть математически договорились, что если угол φ будет равен, к примеру  , то это будет автоматически означать, что угол   равен  .

Вот и ключ к поиску величины двугранного угла и угла между плоскостями:

Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.

Ещё раз немного о названиях.

Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен  , то есть тот, у которого линейный угол равен  .

 

Как найти угол между плоскостями

Найти угол между плоскостями (можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим).

При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Двугранный угол - в помощь студенту

  • Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.
  • Вот такая:
  • Здесь   — коэффициенты уравнений плоскостей   и   соответственно.
  •  :  
  •  :  .

Какой же способ лучше? Зависит от задачи.

Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ, а если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку.

Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать  , а потом ещё и  .

Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода. А в твоих задачах выбор за тобой!

Задача 1.

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро в три раза больше ребра основания. Найти двугранный угол при основании пирамиды.

Решаем геометрически:

Двугранный угол - в помощь студенту

Пусть   – середина  , а стороны  ,   и   равна  .   –равнобедренный,   — правильный (это всё от того, что пирамида правильная).

  1. Поэтому   и   (медианы   и   являются также и высотами).
  2. Значит   – линейный угол двугранного угла  .
  3. Осталось его найти.
  4.   (теорема Пифагора для  )
  5. (теорема Пифагора для  )
  6. (это теорема косинусов для  ).
  7. Итак,  
  8. Ответ:  .
  9. Теперь решаем с помощью метода координат:

Двугранный угол - в помощь студенту

  • Введём систему координат с центром в центре основания,  ;   вдоль  ,   — вдоль высоты пирамиды.
  • Тогда плоскость   имеет уравнение  , то есть  ,  ,  .
  • Найдём уравнение плоскости  .

Точка   имеет координаты  , так как   – радиус описанной окружности  . Точка   имеет координаты  . Точка   имеет координаты  

  1.  ,
  2. То есть  .
  3. Ищем уравнение плоскости:
  4. Можно считать, что   так как  .
  5. Тогда  ;  ;  .
  6. По – моему здесь геометрический способ проще!
  7. Ответ:  

Двугранный угол. краткое изложение и основные формулы

Двугранный угол - в помощь студенту Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.
Двугранный угол - в помощь студенту Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.Двугранный угол может быть и острым ,и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!
Двугранный угол - в помощь студенту
  • Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла.
  • Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.
Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен  , то есть тот, у которого линейный угол равен  .

Два способа найти угол между плоскостями:

При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Двугранный угол - в помощь студенту

Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

  • Стать учеником YouClever,
  • Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
  • А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/dvugrannyj-ugol-2

Урок «Двугранный угол»

Бесплатно Двугранный угол - в помощь студенту

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

В планиметрии основными объектами являются прямые, отрезки, лучи и точки. Лучи исходящие из одной точки, образуют одну их геометрических фигур–угол.

Мы  знаем, что линейный угол измеряется в градусах и радианах.

В стереометрии к объектам добавляется плоскость. Фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости в геометрии называется двугранным углом. Полуплоскости – это грани двугранного угла. Прямая а – это ребро двугранного угла.

Двугранный угол - в помощь студенту

Двухгранный угол как и линейный угол можно назвать, измерить, построить. Это и предстоит нам выяснить в этом уроке.

  • Найдём двухгранный угол на модели тетраэдра АВСD.
  • Двугранный угол с ребром АВ  называют CABD, где С и D точки принадлежащие разным граням угла а ребро АВ называют в середине
  • Вокруг нас достаточно много предметов с элементами в виде двухгранного угла.

Во многих городах в парках установлены специальные скамейки для примирения. Скамейка выполнена в виде двух сходящихся к центру наклонных плоскостей.

При строительстве домов часто используется так называемая двухскатная крыша. На этом доме крыша выполнена в виде двухгранного угла в 90 градусов.

Двугранный угол тоже измеряется в градусах или радианах, но как его измерить.

Двугранный угол - в помощь студенту

Интересно заметить, что крыши домов лежат на стропилах. А обрешётка стропил образует два ската крыши под заданным углом.

Перенесем изображение на чертёж. На чертеже для нахождения двухгранного угла на его ребре отмечается точка В. Из этой точки проводятся два луча ВА и ВС  перпендикулярно ребру угла. Образованный этими лучами угол АВС называется линейным углом двугранного угла.

  1. Градусная мера двугранного угла равна градусной мере его линейного угла.
  2. Измерим угол АОВ.
  3. Градусная  мера данного двугранного угла равна шестидесяти градусам.
  4. Линейных углов для двугранного угла можно провести бесконечное количество, важно знать, что все они равны.

Рассмотрим два линейных угла АОВ и А1О1В1 . Лучи ОА и О1А1 лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой ОО1, поэтому они сонаправлены. Лучи ОВ и О1В1 так же сонаправлены. Поэтому угол АОВ равен углуА1О1В1 как углы с сонаправленными сторонами.

Читайте также:  Фондовый рынок - в помощь студенту

Так двугранный угол характеризуется линейным углом, а линейные углы бывают острые, тупые и прямые. Рассмотрим модели двугранных углов.

Тупой угол, если его линейный угол от 90  до 180 градусов.

Двугранный угол - в помощь студенту

  • Прямой угол, если его линейный угол равен 90 градусов.
  • Острый угол, елси его линейный угол от 0 до 90 градусов.
  • Докажем одно из важных свойств линейного угла.
  • Плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла.

Пусть угол АОВ – линейный угол данного двугранного угла. По построению лучи АО и ОВ перпендикулярные  прямой а.  

Через две пересекающиеся прямые АО и ОВ проходит плоскость АОВ по теореме: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

Прямая  а перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в этой плоскости, значит по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая а перпендикулярна плоскости АОВ.

Для решения задач важно уметь строить линейный угол заданного двухгранного угла. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АВ для тетраэдра АВСD.

Речь идет о двугранном угле, который образован, во-первых, ребром АВ, одной гранью АВD, второй гранью АВС.

Вот один из способов построения.

Проведем перпендикуляр из точки D к плоскости АВС, Отметим точку М основание перпендикуляра. Вспомним, что в тетраэдре основание перпендикуляра совпадает с центром вписанной окружности в основание тетраэдра.

Проведем наклонную из точки D перпендикулярно к ребру АВ, отметим  точку N основание наклонной.

В треугольнике DMN отрезок NM будет проекций наклонной DN на плоскость АВС. По теореме о трёх перпендикулярах ребро АВ будет перпендикулярно проекции NМ.

  1. Значит cтороны угла DNM перпендикулярны к ребру АВ, значит построенный угол  DNM  искомый линейный угол.
  2. Рассмотрим пример решения задачи на вычисление двугранного угла.
  3. Задача

Равнобедренный треугольник АВС и правильный треугольник АDB не лежат в одной плоскости. Отрезок CD является перпендикуляром к плоскости ADB. Найдите двугранный угол DABC, если AC=CB=2  см, АB= 4см.

Двугранный угол - в помощь студенту

Двугранный угол DABC равен его линейному углу. Построим этот угол.

Проведем наклонную СМ перпендикулярно к ребру АВ, так как треугольник АСВ равнобедренный, то точка М совпадёт с  серединой ребра АВ.

Прямая СD по условию перпендикулярна плоскости ADB, значит перпендикулярна прямой DM лежащей в этой плоскости. А отрезок МD является проекцией наклонной СМ на плоскость АDВ.

Прямая АВ перпендикулярна наклонной СМ по построению, значит   по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярна проекции MD. 

Итак к ребру АВ найдены два перпендикуляра СМ и DМ. Значит они образуют линейный угол СMD двугранного угла DАВС. И нам останется его найти из прямоугольного треугольника СDM.

Так отрезок СМ медиана и высота  равнобедренного треугольника АСВ, то  по теореме Пифагора катет СМ равен 4 см.  

Из прямоугольного  треугольника DMB по теореме Пифагора  катет DM равен двум корням из трёх.

Косинус угла   из прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета МD к гипотенузе СМ и равен три корня из трёх на два. Значит угол СМD равен 30 градусам.

Источник: https://urokimatematiki.ru/urok-dvugranniy-ugol-936.html

Сценарий урока «Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла»

Сценарий урока математики в 10 классе, реализующем ФГОС среднего общего образования, по теме «Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла» в рамках модуля «Геометрия», раздел «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

Тема «Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла».
Цель деятельности учителя Создать условия для: формирования представлений о линейном угле двугранного угла; формирования умений распознавать и строить линейный угол; овладения навыками решения геометрических задач на нахождение его величины; развития пространственного мышления; развития умения обобщать и систематизировать теоретические знания, приемы решения задач
Тип урока урок «открытия» новых знаний.
Методы обучения Проблемно-поисковый
Цель урока Расширение представления обучающихся об углах через ознакомление с новым понятием – двугранный угол
Задачи
  • создать условия для формирования наглядного представления о двугранном угле;
  • познакомить с понятием линейного угла двугранного угла;
  • развивать навыки построения перпендикуляра к прямой в плоскости;
  • формировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями, применяя ТТП;
  • воспитывать умение самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать свою деятельность
Планируемые результаты Предметные умения Универсальные учебные действия
Умеют объяснять, что такое двугранный угол, линейный угол двугранного угла; умеют находить линию пересечения плоскостей; выполняют построение линейного угла; умеют вычислять его величину.
  1. Познавательные: умеют ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи; воспринимают устную речь, проводят информационно-смысловой анализ текста, ориентируются на разнообразие способов решения задач, осмысливают ошибки и устраняют их.
  2. Регулятивные: понимают смысл поставленной задачи, различают способ и результат действия, оценивают свою деятельность и деятельность одноклассников,
  3. Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве, работают в команде, приводят примеры,
  4. Личностные: выражают интерес к изучению предметного курса, проявляют готовность и способность к саморазвитию, имеют мотивацию к обучению и познанию
Основные понятия Двугранный угол, линейный угол двугранного угла
Организация пространства
Межпредметные связи Формы работы Ресурсы
Информатика, литература Фронтальная, групповая, работа в парах, индивидуальная, самостоятельная учебник Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев «Геометрия 10-11», проектор, экран, компьютер, мобильный класс, мультимедийная презентация, демонстрационный и раздаточный материалы, тетрадь, доска.

Ход урока (с методическим обоснованием)

Технология проведения урока (Этап урока, его цель) Деятельность учителя Деятельность ученика Используемые ресурсы, приемы
1. Мотивирование к учебной деятельности Организационный момент – выработать на индивидуально значимом уровне у ученика внутренней готовности к выполнению установленных нормативов создание благоприятной, творческой атмосферы в аудитории. -учитель приветствует обучающихся, цитируя слова А.С. Пушкина: «Вдохновение есть расположение души к живейшему принятию впечатлений и соображению понятий, следственно, и объяснению оных. Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии», и организует эмоциональный настрой на урок Я желаю вам на уроке творчества и вдохновения, чтобы все задачи сегодня были красивыми и решаемыми -обучающиеся настраиваются психологически на работу.
2. Актуализация опорных знаний – глубоко и всесторонне проверить знания обучающихся, выявив причины обнаруженных пробелов.
  • -учитель организует работу, задает вопросы, повторяя основные теоретические сведения, обращает внимание детей на полные математически грамотные ответы.
  • Вспомните, какая фигура называется углом на плоскости?
  • Что называется углом между прямыми в пространстве?
  • Классифицируйте углы по градусной мере
  • Как называются углы изображены на рисунках
  • Что общего на следующих рисунках?

Назовите одним словом. В чем различие? Как вы думаете, какие вопросы будут следующими?

-обучающиеся отвечают на вопросы Углом на плоскости называют фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки Т.к. через 2 пересекающиеся прямые можно провести плоскость, то углом между прямыми в пространстве называют такую же фигуру как и угол на плоскости

  1. Острые, тупые, прямые
  2. Смежные вертикальные, вписанные, центральные
  3. Изображены углы
  4. Угол между прямыми, скрещивающими прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями
  5. Анализируют представленные на слайде чертежи, делают выводы, планируют свою деятельность
  6. Дети выстраивают диалог, задавая вопросы самостоятельно друг другу
  7. Какой угол называется углом между скрещивающимися прямыми? (Если построить прямые, параллельные данным, проходящим через одну точку, то получится угол с соноправленными сторонами, равный данному)
  8. Какой угол называется углом между прямой и плоскостью? (Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскостью)
  9. Какой угол называется углом между плоскостями? (Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащим одной плоскости)
3. Выявление места и причин затруднения – стимули-ровать обучающихся к овладению рациональными приемами учения и самообразования.
  • -учитель предлагает решить задачи по готовым чертежам, используя слайды презентации
  • Назовите двугранные углы
  • Вспомните основные теоремы, соотношения, которые позволяют находить различные углы?
  • Учитель следит за речью учащихся
  • Можно ли данные теоремы, соотношения использовать для нахождения двугранного угла?
  • Постановка проблемной ситуации:
  • Каким образом можно измерить двугранный угол?

Найдите ответ на этот вопрос, работая в парах по учебнику стр. 47-49. Выяснение проблемы в ходе работы и подведение к мысли, что требуется ввести понятие линейного угла данного двугранного угла.

  1. Обучающиеся анализируют чертежи, высказывают свое мнение, обосновывая его
  2. АВС, А1АВС, МВСА, В1ВСА
  3. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника, теорема синусов, теорема косинусов, теорема о вписанном угле, свойство центрального угла
  4. Нет
  5. Обучающиеся работают с учебником, выделяют определение понятия «линейного угла», основополагающие утверждения
4. Целеполагание и постановка учебных задач – организовать и направить на достижение цели познавательную деятельность обучающихся, постановка задач учебной деятельности, проектирование возможных путей и средств достижения поставленной цели
  • -учитель подводит к определению темы урока и цели деятельности обучающихся
  • Какие новые ключевые понятия вы встретили при работе с учебником?
  • Можно ли не вводить данное понятие?
  • Тогда попробуем сформулировать тему урока.
  • Открываем тетради, записываем число, «классная работа» и тему урока
  • Проанализируем прочитанный текст, сформулируем ключевые утверждения и сделаем записи в тетради.
  • -учительорганизует работу с записью правила в тетрадь, вносит коррективы в предположения учащихся, дополняет, обобщает и делает выводы
  • Градусная мера двугранного угла – это градусная мера его линейного угла
  • Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.
  • Линейным углом двугранного угла называется сечение двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру.
  • Сколько линейных углов можно построить в двугранном угле?
  • Зависит ли размер линейного угла от выбранной точки?
  1. Получение всеми учащимися правильных выводов об измерении двугранного угла и необходимости построения его линейного угла
  2. Линейный угол
  3. Нет, без него невозможно найти градусную меру двугранного угла

Ученики выделяют тему самостоятельно: «Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла». Ставят цели своей деятельности:

  • ввести понятие двугранного угла;
  • рассмотреть задачи на применение этих понятий;
  • сформировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями.
  • Записывают дату и тему урока,
  • Делают записи в тетради определения, свойств, правил
  • много
  • нет
5. Динамическая пауза – сберечь здоровье обучающихся, расслабить мышцы спины Для работы в группах на следующем этапе вам необходимо развернуться кдруг другу. Поворачиваясь, потяните спины, сделайте движение плечами, руками Обучающиеся выполняют разворот, потягивание, наклоны головы
6. Введение новых знаний– дать обучающимся конкретное представление об изучаемых фактах;добиться от обучающихся восприятия, осознания новых знаний, усвоения обучающимися способов, путей, средств получения знаний. Учитель организует работу в группах, используя разноуровневую дифференциацию. Учитель контролирует выполнение задания на своем компьютере, используя возможности мобильного класса. При необходимости оказывает помощь в построении, работая с программой MicrosoftPowerPoint.

  1. З адание 1 группы: Треугольник АВС, АС=ВС, АВϵα, Сϵα, СК┴α. Построить линейный угол двугранного угла САВК
  2. Задание 2 группы: Треугольник АВС,

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/stcenarij_uroka_dvugrannij_ugol_linejnij_ugol_dvu_001902.html

Нахождение угла между плоскостями (двугранный угол)

Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ по математике, как правило, начинается с повторения основных формул, в том числе и тех, которые позволяют определить угол между плоскостями.

Несмотря на то, что этот раздел геометрии достаточно подробно освещается в рамках школьной программы, многие выпускники нуждаются в повторении базового материала.

Понимая, как найти угол между плоскостями, старшеклассники смогут оперативно вычислить правильный ответ в ходе решения задачи и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.

Основные нюансы

  • Чтобы вопрос, как найти двугранный угол, не вызывал затруднений, рекомендуем следовать алгоритму решения, который поможет справиться с заданиями ЕГЭ.
  • Вначале необходимо определить прямую, по которой пересекаются плоскости.
  • Затем на этой прямой нужно выбрать точку и провести к ней два перпендикуляра.
  • Следующий шаг — нахождение тригонометрической функции двугранного угла, который образован перпендикулярами. Делать это удобнее всего при помощи получившегося треугольника, частью которого является угол.
  • Ответом будет значение угла или его тригонометрической функции.

Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха

В процессе занятий накануне сдачи ЕГЭ многие школьники сталкиваются с проблемой поиска определений и формул, которые позволяют вычислить угол между 2 плоскостями.

Школьный учебник не всегда есть под рукой именно тогда, когда это необходимо.

А чтобы найти нужные формулы и примеры их правильного применения, в том числе и для нахождения угла между плоскостями в Интернете в режиме онлайн, порой требуется потратить немало времени.

Математический портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к госэкзамену. Занятия на нашем сайте помогут ученикам определить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях.

Мы подготовили и понятно изложили весь необходимый материал. Базовые определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».

Для того чтобы лучше усвоить материал, предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач различной степени сложности, например, на нахождение угла между прямой и плоскостью, представлена в разделе «Каталог». Все задания содержат подробный алгоритм нахождения правильного ответа. Перечень упражнений на сайте постоянно дополняется и обновляется.

Практикуясь в решении задач, в которых требуется найти угол между двумя плоскостями, учащиеся имеют возможность в онлайн-режиме сохранить любое задание в «Избранное». Благодаря этому они смогут вернуться к нему необходимое количество раз и обсудить ход его решения со школьным учителем или репетитором.

Источник: https://shkolkovo.net/catalog/geometriya_v_prostranstve_stereometriya/nahozhdenie_ugla_mezhdu_ploskostyami_dvugrannyj_ugol

Решу егэ

Задание 14 № 516799

  • Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC, является ромб.
  • а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
  • б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1, если AA1 = 6, AB = 4.

Решение.

Плоскость проходит через точку В, лежащую в плоскости основания, и параллельна прямой AC, лежащей в плоскости основания. Следовательно, плоскость пересекает плоскость основания по прямой, содержащей точку В и параллельной АС. Пусть эта прямая пересекает продолжения сторон DA и DC основания в точках E и F соответственно. Тогда пересекает плоскость боковых граней по прямым D1E и D1F. Пусть M и N — точки пересечения этих прямых с боковыми ребрами параллелепипеда, тогда BMD1N — сечение параллелепипеда плоскостью 

Поскольку плоскость сечения проходит через прямую EF, параллельную плоскости ACC1A1 и пересекает её по прямой MN, прямая MN параллельна EF, а значит, параллельна AC.

По условию, сечение является ромбом, диагонали ромба перпендикулярны, поэтому и По теореме о трёх перпендикулярах, из перпендикулярности наклонной D1B и прямой AC следует перпендикулярность прямой AC проекции наклонной — прямой DB. Этим показано, что диагонали лежащего в основании прямоугольника взаимно перпендикулярны. Следовательно, этот прямоугольник является квадратом, что и требовалось доказать.

Приведем другое рассуждение. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, поэтому MN проходит через середину D1B. Кроме того, прямая MN параллельна прямой AC, а значит, и прямой EF.

Из этого следует, что MN —  средняя линия треугольника ED1F, а тогда точки M и N — середины рёбер параллелепипеда. Прямоугольные треугольники ABM и равны по гипотенузе и катету: Значит, а ABCD является квадратом.

б) Пусть K — середина ребра а KH — высота треугольника BKN. Тогда плоскость MKH перпендикулярна прямой BN.

Значит, угол MHK — линейный угол искомого двугранного угла.

(Или: проведём перпендикуляры MK и KH, по теореме о трёх перпендикулярах MH — также перпендикуляр к BN, поэтому MHK — линейный угол искомого двугранного угла).

В прямоугольном треугольнике BKN имеем:

откуда

Иначе. Сечение является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: Проекцией ромба сечения на боковую грань ВСС1В1 является параллелограмм ВKС1N, площадь которого равна половине площади прямоугольника ВСС1В1 то есть 12. Поскольку для искомого угла между плоскостями получаем:

Ответ: (или ).

Источник: ЕГЭ по математике 31.03.2017. Досрочная волна.

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах

Классификатор стереометрии: Площадь сечения и площадь проекции сечения, Построения в пространстве, Прямоугольный параллелепипед, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой, Угол между плоскостями

Источник: https://ege.sdamgia.ru/search?search=%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9+%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB&page=1

Двугранный угол двугранным углом называется фигура (рис. 1), образованную двумя полуплоскостями, с общей ограничивающей их прямой, и частью пространства, — презентация

1 ДВУГРАННЫЙ УГОЛ Двугранным углом называется фигура (рис. 1), образованную двумя полуплоскостями, с общей ограничивающей их прямой, и частью пространства, ограниченной этими полуплоскостями.

Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая граничная прямая – ребром двугранного угла. Линейным углом двугранного угла называется угол, полученный в результате пересечения данного двугранного угла и какой- нибудь плоскости, перпендикулярной его ребру (рис. 2).

Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

2 В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD 1. Ответ: 90 o. Куб 1

3 В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA 1. Ответ: 45 o. Куб 2

4 В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD 1. Ответ: 90 o. Куб 3

5 В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и BC 1 D. Решение: Обозначим O середину BD. Искомым линейным углом будет угол COC 1. В прямоугольном треугольнике COC 1 имеем CC 1 = 1; CO = Следовательно, Куб 4

6 В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и AB 1 D 1. Решение: Плоскость AB 1 D 1 параллельна плоскости BC 1 D. Из предыдущей задачи следует, что Куб 5

7 В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и BDD 1. Ответ: 90 o. Куб 6

8 В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC 1 и BB 1 D 1. Решение: Заметим, что плоскость равностороннего треугольника ACB 1 перпендикулярна диагонали BD 1, которая проходит через центр O этого треугольника. Искомым линейным углом будет угол B 1 OE, который равен 60 o. Ответ: 60 o. Куб 7

9 В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями BC 1 D 1 и BA 1 D. Ответ: 90 o. Решение: Заметим, что плоскость равностороннего треугольника BDA 1 перпендикулярна диагонали AC 1, которая проходит через центр этого треугольника. Следовательно, данные плоскости перпендикулярны. Искомый угол равен 90 o. Куб 8

10 В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями BC 1 D и BA 1 D. Решение: Пусть O – середина BD. Искомый угол равен углу A 1 OC 1. Имеем Используя теорему косинусов, получим Ответ: Куб 9

11 В тетраэдре ABCD, ребра которого равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BCD. Ответ: Решение: Пусть E – середина BC. Искомым линейным углом является угол AED. В треугольнике AED имеем: AD = 1, AE = DE = По теореме косинусов находим Пирамида 1

12 В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SBC и ABC. Ответ: Решение: Пусть E, F – середины ребер BC и AD, O – центр основания. Искомым линейным углом является угол SEF. В прямоугольном треугольнике SEO имеем EO =, SE = Следовательно, Пирамида 2

13 В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите двугранный угол, образованный гранями SAB и SBC. Ответ: Решение: Пусть E – середина ребра SB. Искомым линейным углом является угол AEC. В треугольнике AEC имеем: AC =, AE = CE = По теореме косинусов находим Пирамида 3

14 В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SAD и SBC. Ответ: Решение: Пусть E, F – середины ребер AD, BC. Искомым линейным углом является угол ESF. В треугольнике ESF имеем: EF = 1, SE = SF = По теореме косинусов находим Пирамида 4

15 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите угол между плоскостями ABC и SBC. Ответ: Решение: Пусть O – центр основания, G – середин ребра BC. Искомым линейным углом является угол SGO. В прямоугольном треугольнике SGO имеем: OG =, SG = Следовательно, Пирамида 5

16 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите двугранный угол, образованный гранями SAB и SBC. Ответ: Решение: В треугольниках SAB и SBC опустим высоты AH и CH на сторону SB. Искомым линейным углом является угол AHC. В прямоугольном треугольнике AHC имеем: AC =, AH = CH = По теореме косинусов находим Пирамида 6

17 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите двугранный угол, образованный гранями SAB и SBC.

Ответ: Решение: Продолжим ребра AB и DC до пересечения в точке G. В треугольниках SAG и SDG опустим высоты AH и DH на сторону SG. Искомым линейным углом является угол AHD.

В треугольнике AHD имеем: AD = 2, AH = DH = По теореме косинусов находим Пирамида 7

18 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите двугранный угол, образованный гранями SAB и SDE. Ответ: Решение: Пусть G, H – середины ребер AB, DE. Искомым линейным углом является угол GSH. В треугольнике GSH имеем: GH =, SG = SH = По теореме косинусов находим Пирамида 8

19 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и A 1 B 1 C. Решение: Обозначим O, O 1 — середины ребер AB и A 1 B 1. Искомым линейным углом будет угол OCO 1. В прямоугольном треугольнике OCO 1 имеем OO 1 = 1; OC = Следовательно, Призма 1

20 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и ACB 1. Решение: Обозначим O — середину ребра AC. Искомым линейным углом будет угол BOB 1. В прямоугольном треугольнике BOB 1 имеем BB 1 = 1; BO = Следовательно, Призма 2

21 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BB 1 C 1. Ответ: 90 o. Призма 3

22 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ACC 1 и BCC 1. Ответ: 60 o. Призма 4

23 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ACB 1 и A 1 C 1 B. Решение: Данные плоскости пересекаются по прямой DE. Обозначим G середину DE и F середину AC. Угол BGF будет искомым. В треугольнике BGF имеем BF = ; BG = FG = По теореме косинусов, имеем Призма 5

24 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и ABB 1. Ответ: 90 о. Призма 6

25 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABB 1 и BCC 1. Ответ: 120 о. Призма 7

26 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABB 1 и CDD 1. Ответ: 60 о. Призма 8

27 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ACC 1 и CDD 1. Ответ: 90 о. Призма 9

28 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ACC 1 и DEE 1. Ответ: 30 о. Призма 10

29 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ACC 1 и CEE 1. Ответ: 60 о. Призма 11

30 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BCD 1. Ответ: В прямоугольном треугольнике O 1 GO имеем: OO 1 = 1, OG =. Следовательно, Решение: Искомый угол равен углу O 1 GO, где O, O 1 – центры оснований призмы, G – середина BC. Призма 12

31 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BCE 1. Ответ:. В прямоугольном треугольнике E 1 CE имеем: EE 1 = 1, CE =, CE 1 = 2. Следовательно,. Решение: Искомый угол равен углу E 1 CE. Призма 13

32 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BDE 1. Ответ:. Решение: Искомый угол равен углу E 1 DE. Он равен 45 о. Призма 14

33 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BDF 1. Ответ: Решение: Искомый угол равен углу F 1 GF, где G – середина BD. В прямоугольном треугольнике F 1 GF имеем: FF 1 = 1, FG = Следовательно, Призма 15

34 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и ADE 1. Ответ: Решение: Искомый угол равен углу E 1 GE, где G – середина CE. В прямоугольном треугольнике E 1 GG имеем: EE 1 = 1, EG = Следовательно, Призма 16

35 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями CDE 1 и AFE 1. Ответ: Решение: Пусть O, O 1 – центры оснований призмы, P, Q – середины ребер AF и CD. Искомый угол равен углу PO 1 Q. В треугольнике PO 1 Q имеем: PO 1 = QO 1 =, PQ = Из теоремы косинусов получаем Призма 17

36 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями CDF 1 и AFD 1. Ответ: Решение: Пусть O – центр призмы, G, G 1 – середины ребер CD и C 1 D 1. Искомый угол равен углу GOG 1. В треугольнике GOG 1 имеем: GG 1 = GO = G 1 O = 1. Следовательно, = 60 о. Призма 18

37 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями BCD 1 и AFE 1. Ответ: Решение: Пусть O, O 1 – центры боковой грани и верхнего основания призмы. Искомый угол равен углу A 1 GB 1, где G – середина OO 1. В треугольнике A 1 GB 1 имеем: A 1 B 1 = 1, A 1 G = B 1 G = Из теоремы косинусов получаем Призма 19

38 Октаэдр Найдите двугранные углы октаэдра. Ответ:, 109 о 30'. Решение: Рассмотрим правильный октаэдр с ребром 1. Из вершин E и F опустим перпендикуляры EG и FG на ребро BC. Угол EGF будет линейным углом искомого двугранного угла. В треугольнике EGF имеем: EF =, EG = FG =. Используя теорему косинусов, находим. Откуда 109 о 30'.

39 Икосаэдр Найдите двугранные углы икосаэдра. Ответ:, 138 о 11'. Решение: Рассмотрим правильный икосаэдр с ребром 1. Из вершин A и C опустим перпендикуляры AG и CG на ребро BF. Угол AGC будет линейным углом искомого двугранного угла. В треугольнике AGC имеем: AC =, EG = FG =. Используя теорему косинусов, находим. Откуда 138 о 11'.

40 Додекаэдр Найдите двугранные углы додекаэдра. Решение: Рассмотрим правильный додекаэдр с ребром 1. Из вершин A и C опустим перпендикуляры AG и CG на ребро BF. Угол AGC будет линейным углом искомого двугранного угла. В треугольнике AGC имеем: AC =, EG = FG =. Используя теорему косинусов, находим. Откуда 116 о 34'. Ответ:, 116 о 34'.

Источник: http://www.myshared.ru/slide/138883/

Двугранный угол — это… Что такое Двугранный угол?

Двугранный угол и линейный угол двугранного угла

Двугранный угол трёх векторов (как внешний сферический угол)

Двугранный угол — пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями.[1]

Определения и свойства

Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая прямая — ребром.

Прямой угол в двугранном угле, равном 45 градусов (анимация)

Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. Таким образом, чтобы измерить двугранный угол, можно взять любую точку на его ребре и перпендикулярно ребру провести из неё лучи в каждую из граней. Линейный угол между этими двумя лучами и будет равен по величине двугранному углу.

Если один из лучей не перпендикулярен ребру, то величина линейного угла между лучами в общем случае будет отлична от величины двугранного угла. Например, в любой двугранный угол (в том числе больший 90 градусов) можно поместить прямой угол так, чтобы его вершина лежала на ребре двугранного угла, а стороны принадлежали его граням.

В этом легко убедиться, размещая угольник в приоткрытой книге.

У всякого многогранника, правильного или неправильного, выпуклого или вогнутого, есть двугранный угол на каждом ребре.

Величины двугранных углов правильных многогранников:

Название
точный двугранный угол в радианах
приближённое значение в градусах
Тетраэдр arccos(1/3) 70.53°
Гексаэдр или куб π/2 90°(точн.)
Октаэдр π − arccos(1/3) 109.47°
Додекаэдр 2·arctg(φ) 116.56°
Икосаэдр 2·arctg(φ + 1) 138.19°

где φ = (1 + √5)/2 — золотое сечение.

Вариации и обобщения

  • Двугранным углом также называется пересечение двух полупространств в -мерном Евклидовом пространстве.

Примечания

  1. Д-Коо // «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 2. — С. 50. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.
  • Угол
  • Многогранный угол
  • Телесный угол
  • Трехгранный угол
  • Двугранный угол: тематические медиа-файлы на Викискладе

Источник: https://dik.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/29697

Ссылка на основную публикацию