Длина окружности и площадь круга — в помощь студенту

Как вы знаете, многие предметы имеют форму круга. Чем это обусловлено?

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Возьмем, к примеру, колесо. Понятно, что круглое колесо катится гораздо лучше, чем, например, квадратное. Или, скажем, стакан круглой формы удобнее держать в руке, чем стакан прямоугольной формы. Поэтому в какой-то момент человечество стало использовать круглые предметы.

Но если вы используете круглые предметы, нужно научиться их измерять.

Например, вам нужно знать длину окружности стакана, чтобы понять, сколько материала пойдет на его изготовление, или вам нужно знать площадь колеса, чтобы, например, определять, какой должен быть объем исходных материалов, чтобы его сделать.

  • Поэтому сегодня мы обсудим, как же учились находить длину окружности и площадь круга, и решим некоторые задачи, связанные с этим.
  • Вначале вспомним, что такое окружность и круг.
  • Окружность – множество всех точек на плоскости, равноудаленных от данной точки.

Т. е. есть некоторая точка, мы задаем какое-то расстояние – радиус окружности – и берем все точки, которые находятся от исходной на данном расстоянии (см. Рис. 1).

Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту

Рис. 1. Окружность

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Среднее царство - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

А теперь вспомним еще два важных понятия (см. Рис. 2).

Хордой называется такой отрезок, которые соединяет любые две точки, лежащие на окружности.

Диаметр – это такая хорда, которая проходит через центр окружности. Соответственно, как следствие, нетрудно догадаться, что диаметр равен двум радиусам.

Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту

Рис. 2. Хорда и диаметр

Круг – это все точки на плоскости, которые лежат внутри окружности, а также сама окружность (см. Рис. 3).

Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту

Рис. 3. Круг

Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту

Теперь, когда мы вспомнили все важные определения, мы можем подумать, как же нам измерить длину окружности.

Один из способов, который был предложен, таков: возьмем, например, стакан, у которого дно будет круглой формы, и обмотаем нитку вокруг дна этого стакана.

Теперь мы можем сделать засечку там, где конец нитки совпал с ее началом, затем размотать эту нитку и замерить ее длину линейкой.

Естественно, измерение будет не совсем точным, оно будет зависеть от точности наших прикладываний, от точности линейки и т. п. Тем не менее мы примерно сможем измерить длину окружности (см. Рис. 4).

Длина окружности и площадь круга - в помощь студентуДлина окружности и площадь круга - в помощь студенту

Рис. 4. Способ измерения длины окружности

Конечно же, чем дальше человечество продвигалось по своим научным взысканиям, тем более точно оно могло измерить эту самую длину окружности.

Еще в древности люди заметили, что если вы увеличите радиус окружности, например в два раза, то и длина этой окружности увеличится в два раза. Если уменьшить радиус в три раза, то и длина уменьшится в три раза. Иначе говоря: длина окружности и ее радиус пропорциональны друг другу. То есть их отношение – это постоянное число (см. Рис. 5).

Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту

Рис. 5. Иллюстрация пропорциональности длины окружности и радиуса

Так как отношение длины окружности к радиусу – постоянное число, то и отношение длины к диаметру – постоянное число.

Итак, пусть длина окружности , а диаметр окружности – . Так как отношение длины к диаметру всегда постоянное, то его можно примерно посчитать. Проделав это, вы примерно получите число  Так как число, которое равно отношению длины окружности к ее диаметру, не могли посчитать точно, его обозначили специальной буквой, буквой  (буква греческого алфавита).

Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту

На самом деле сейчас, когда в использование вошли мощные компьютеры, можно посчитать и тысячу, и даже миллионы знаков после запятой у числа . Это сделано, чтобы можно было более точно посчитать длину окружности. Для практических нужд нам достаточно знать первые несколько знаков: 3,14.

  1. Кстати, есть специальные правила, которые позволяют запоминать число . Одно из правил – стихотворение:
  2. Если очень постараться,
  3. То запомнишь все как есть.
  4. Три, четырнадцать, пятнадцать,
  5. Девяносто два и шесть.
  6. Есть и другое довольно забавное правило, которое тоже позволяет запомнить первые несколько знаков от числа .
  7. Это я знаю и помню прекрасно:
  8. Пи многие знаки мне лишни, напрасны
  9. Если посчитать количество букв в каждом слове, мы получим число 3,14159265358.

Таким образом, мы выписали еще более длинный ряд. На самом деле есть стихотворения еще более длинные, которые позволяют запоминать число π. Некоторые даже проводят соответствующее чемпионаты, есть, например, чемпионат мира по тому, кто больше запомнит знаков у числа π.

Вернемся к нашей теме.

Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту

Используя эту формулу, мы можем посчитать длину любой окружности практически точно, потому что диаметр мы можем просто измерить линейкой, и если мы умножим его число π, то мы получим длину.

С другой стороны, число π мы знаем не совсем точно, но для наших приблизительных вычислений достаточно взять его с точностью до сотых или до тысячных, после чего, перемножив, получить искомое число длины.

Не забывайте: если вы подставите вместо числа π, например, 3,14, или 3,1415, то длина у вас получится приблизительной, так что знак равенства в этом случае поставить не можем, а можем поставить лишь знак примерного равенства . Если же вы хотите точное равенство, то оставляйте в ответе букву π, это и будет правильным ответом.

Рассмотрим конкретные примеры, на которых это работает.

Пример 1

Дана окружность с радиусом 2 сантиметра. Чему равна ее длина?

  • Решение:
  • Ответ: 12,56 см.
  • Как видите, тут мы использовали знак приблизительного равенства.
  • Пример 2
  • Диаметр окружности равен 3 см, чему равна длина этой окружности?
  • Решение:
  • Ответ: 9,42 см.
  • Можно было записать ответ в виде: .

В этом случае мы можем поставить знак равенства, ведь значение абсолютно точное. Другой вопрос, что для практических целей оно не совсем удобно. Но так как математика – точная наука, то точным ответом будет .

  1. Между прочим, формулу  можно преобразовать. Если вспомнить, что диаметр – это удвоенный радиус, мы можем записать формулу в виде
  2. Или:
  3. .

Разберемся, как наши предки искали площадь круга. Есть один метод для вычисления приблизительной площади.

Рассмотрим круг, заметим, что площадь этого круга, меньше, чем площадь квадрата, который описывает этот круг. Причем площадь этого квадрата мы легко можем посчитать – это квадрат его стороны.

С другой стороны, мы можем немного приблизить нашу фигуру к кругу, если вырезать квадратные уголки со сторон вершин квадрата. Остается фигура, которая по площади ближе к кругу. Аналогичным образом мы можем продолжать до бесконечности (см. Рис. 6).

Рис. 6. Приблизительное вычисление площади круга

Естественно, что точно так же мы можем сделать, если мы нарисуем квадрат внутри круга, после чего добавим такие прямоугольники со всех сторон и т. д., пока мы сколь угодно близко не приблизимся к площади искомого круга (см. Рис. 7).

Рис. 7. Приблизительное вычисление площади круга

Площадь круга мы можем оценить как сверху (площадь круга будем меньше, чем площадь фигуры, которая описывает круг), так и снизу (площадь круга больше, чем площадь фигуры, вписанной в эту окружность). Соответственно, если прямоугольников, которыми мы измеряем, будет довольно много, то мы сможем приблизительно оценить площадь круга.

  • В девятом классе вы докажете формулу, что на самом деле площадь круга  вычисляется так: .
  • Пример 1
  • Найдите площадь круга, если его радиус равен 1 см.
  • Решение:
  • Можно записать ответ в виде  либо же подставить число π и получить приблизительное значение.
  • Ответ: .
  • Пример 2
  • Найдите площадь круга, если диаметр круга равен 4 см.
  • Решение:
  • ,
  • Или же можем записать этот ответ точно, через π.
  • Ответ:  .

Сегодня мы вспомнили, что такое окружность и что такое круг. Поняли, как люди научились считать длину окружности и площадь круга хотя бы приблизительно. Узнали, по каким формулам можно найти длину окружности и площадь круга, и научились этими формулами пользоваться.

Обратите внимание, что можно решать и обратные задачи, то есть находить радиус (диаметр) по заданной длине окружности или площади круга.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «Школьный помощник» (Источник)

2. Интернет-сайт math-prosto.ru (Источник)

3. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)

Домашнее задание

1. Чему равна длина окружности, если ее радиус равен 31 дм, 200 см, 3200 мм. ()?

2. Окружность арены во всех цирках мира имеет длину 40,8 м. Найдите диаметр и площадь арены.

3. Останкинская телебашня в Москве опирается на площадку, имеющую форму кольца. Диаметр наружной окружности – 63 м, а внутренней – 14 м. Вычислить площадь фундамента башни.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/matematika/6-klass/otnosheniya-i-proporcii/dlina-okruzhnosti-ploschad-kruga?seconds=0

Весь список задач с решениями на тему: "площадь круга"

Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту

  • Радиус окружности 2 см
  • Найти площадь круга.
  • Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту

Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту

  1. Диаметр окружности 2 см
  2. Найти площадь круга.
  3. Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту

Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту

  • Длина окружности 5 м
  • Найти площадь круга
  • Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту

Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту

Две окружности,

имеющие общий центр, образуют кольцо. Радиус внешней окружности равен 10 см, а внутренней 8 см. Найти площадь этого кольца.

Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту

Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту

  1. В окружность вписан квадрат.
  2. Найти площадь закрашенной области, если радиус окружности равен 3 м.
  3. Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту
  4. Окружность вписана в квадрат.
  5. Найти площадь закрашенной области, если сторона квадрата равна 2 м.
  6. Равносторонний треугольник

со стороной 1 м вписан в окружность. Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью.

  • Равносторонний треугольник

с высотой 3 м вписан в окружность. Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью.

  1. Равносторонний треугольник

вписан в окружность. Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью, если известно, что длина отрезка ОК равна 2 м.

  • Прямоугольный треугольник
  • вписан в окружность Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью, если известны катеты треугольника, a=4см и b=7см.
  • Прямоугольный треугольник
  • вписан в окружность Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью, если катет треугольника равен 2м, а противоположный этому катету угол, составляет 30°.
  • Прямоугольный треугольник АВС
  • вписан в окружность Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью, если размер клеток составляет 1см на 1см.

Источник: https://www-formula.ru/zadacha/list-area-circle

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Справочник по математике Геометрия (Планиметрия) Окружность и круг

Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту

Фигура Рисунок Определения и свойства
Окружность Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Дуга Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Круг Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Сектор Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Сегмент Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту Часть круга, ограниченная хордой
Правильный многоугольник Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
Окружность
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Дуга
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Круг
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Сектор
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Сегмент
Часть круга, ограниченная хордой
Правильный многоугольник
  • Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
  • Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

      Определение 1. Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

      Определение 2. Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

      Замечание 1. Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Читайте также:  Угол брюстера - в помощь студенту

      Определение 3. Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

      Замечание 2. Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

      Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

Формулы для длины окружности и её дуг

Площадь круга

      Рассмотрим две окружности с общим центром (концентрические окружности) и радиусами радиусами 1 и R, в каждую из которых вписан правильный   n – угольник (рис. 1).

      Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1.

  1. Рис.1
  2.       Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна

      Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна

  •       Следовательно,
  •       Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, стремится к π, то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, стремится к числу   πR2.
  •       Таким образом, площадь круга радиуса R, обозначаемая S, равна
  • S = πR2.

Длина окружности

      Рассмотрим правильный   n – угольник   B1B2…Bn , вписанный в окружность радиуса радиуса R, и опустим из центраO окружности перпендикуляры на все стороны многоугольника (рис. 2).

  1. Рис.2
  2.       Поскольку площадь n – угольника   B1B2…Bn   равна
  • то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C, мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:
  • откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R:
  • C = 2πR.

      Следствие. Длина окружности радиуса 1 равна   2π.

Длина дуги

  1.       Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
  2. Рис.

    3

  3.       В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
  4. из которой вытекает равенство:
  5.       В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
  6. из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

  •       Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
  • Рис.4
  •       В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
  • из которой вытекает равенство:
  •       В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
  • из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

  1.       Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
  2. Рис.

    5

  3.       Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.

    5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

  •       Следовательно,
  •       В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

      Следовательно,

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/demo/diaggia6.htm

Длина окружности и площадь круга

Тема урока «Длина окружности и площадь круга»

Цель: получение значение числа π, нахождение формул длины окружности, формировать умение применять их при решении задач.
Задачи:
Предметные формировать умение распознавать и изображать окружность, круг и их элементы,
Личностные формировать интерес к изучению темы и желание применять приобретённые знания и умения, формировать умение работать в коллективе и находить согласованные решения.
Метапредметные формировать умение использовать приобретённые знания в практической деятельности.
Планируемые результаты: Учащийся научится распознавать и изображать окружность, круг и их элементы.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Вводная часть.

Сегодня мы проводим с вами урок по теме «Длина окружности и площадь круга». Девизом сегодняшнего урока будут слова древнегреческого математика Фалеса:

— Что есть больше всего на свете? – Пространство.

— Что быстрее всего? – Ум.

— Что мудрее всего? – Время.

— Что приятнее всего? – Достичь желаемого.

Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата.

III. Актуализация знаний.

Устные упражнения:

1. ответьте на следующие вопросы

  • Назовите центр окружности.
  • Чем является отрезок АВ?
  • Есть ли еще на чертеже диаметры?
  • Чем является отрезок ОВ?
  • Есть ли еще радиусы?
  • Как называется отрезок МN?
  • Есть ли еще хорды?
  • Какой отрезок называется хордой?
  • Что еще можно измерить на чертеже?

( Длину окружности.)

  • Какую геометрическую фигуру ограничивает окружность?
  • (Круг.)
  • (Площадь круга.)
  • Окружность – это линия, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости, называемой центром.

Вы знаете, что длину отрезка можно измерить с помощью линейки. А как измерить длину окружности, если сама окружность – кривая линия?

Нам нужно что нибудь круглое, это может быть стаканчик, флакончик от крема или что либо другое ..и нитку, а теперь попробуем измерить нашу длину окружности.

Для начала

  • Поставьте стакан на лист бумаги и обведите его карандашом.
  • На бумаге получим замкнутую кривую линию – окружность.
  • Обведем стакан ниткой (один раз) так, чтобы конец нитки совпал с началом в одной и той же точке окружности
  • Выпрями эту нитку и по линейке измерь ее длину, это и будет длина окружности. Длину окружности обозначают буквой С.

Если мы каждый раз будем так имерять длину окруджности..это слишком долго…поэтому существует формула..но перед тем как к ней перейти познакомимся с числом пи(слайд 18)

Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту

  1. ПИ – это отношению длины окружности к длине её диаметра. Число π можно найти по формуле:π =…Из этой формулы мы можем выразить нашу длину окружности, это и будет наша формула для нахождения длины окружности (слайд 19)
  2. Если конечно вы хотите более точное решение своей задачи, то можно писать не 3,14 а 3,1415926, а для более легкого запоминания придумали вот такой стишок: (слайд 20)
  3. Нужно только постаратьсяИ запомнить всё, как есть:Три, четырнадцать, пятнадцать,
  4. Девяносто два и шесть.
  5. Все очень легко и просто.
  6. Существует даже Памятник числу«пи» он находится в Сиетле
  7. А теперь давайте рассмотрим круг! Как вам известно у круга существует площадь, которая высчитывается по формуле (слайд 22)

Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту

  • Где п – это число пи, R – это радиус
  • – сейчас давайте попробуем применить новые формулы к решению задач.
  • Задание №1.
  • Вычислить длину окружности C радиуса r, если:
  • a) r = 2 см;
  • π ≈ 3,14 
  • Решение: Как мы сегодня узнали, длина окружности высчитывается по формуле C= 2πr, подставив все значения мы получим:
  • С ≈ 2 ∙ 3,14 ∙ 2 ≈ 12,56 (см);
  • Ответ: а) С ≈ 12,56 см;

Чему будет равна площадь круга, если её диаметр равен 2 сантиметрам?Ответ: d=2см ⇒ r=1см    S=πr²=3.14×(1)²=3.14×1=3.14(см²)

  1. Ответ 3.14(см²)
  2. А теперь у доски разберем еще несколько задач на применение новых формул.
  3. Задание №2.Вычислить длину окружности C, если: d = 50 см; π ≈ 3,14 
  4. Решение:C = πd
  5. С ≈ 3,14 ∙ 50 ≈ 157 (см);
  6. Ответ: С ≈ 157 см;

Задание №3.Найдите радиус окружности, если её длина равна 25,12 см (π ≈ 3,14).

  • Дано: C = 25,12 см;
  • π ≈ 3,14;
  • r — ?
  • Решение:C = 2πr
  • r = C : 2π
  • r ≈ 25,12 : 6,28 ≈ 4 (см)
  • Ответ: r ≈ 4 см.
  • Задание №4.

Колесо, преодолев расстояние 188, 4 метра, сделало 20 оборотов. Найдите диаметр колеса.

  1. Дано:
  2. S = 188,4 м;
  3. n = 20;
  4. π ≈ 3,14
  5. d — ?
  6. Решение:
  7. C = s : n
  8. C = 188,4 : 20 = 9,42 (м)
  9. C = πd
  10. d = С : π
  11. d ≈ 9,42 : 3,14 ≈ 3 (м)
  12. Ответ: диаметр колеса 3 метра.
  13. Найдите площадь кольца, если радиус большей окружности равен 7дм, а радиус меньшей равен 6дм.

Решение: Sкол. = Sб. кр.Sм. кр.

49p -36 p = 13p (дм2)

IV. Физминутка

V. Решение задач.

Необходимость решать задачи на вычисление длины окружности, площади круга возникает в различных областях нашей жизни.

    1. Дан прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3см и 4см. Найти длину окружности и площадь круга, вписанного в этот треугольник.
    2. Зрачок человеческого глаза в зависимости от степени яркости света изменяется в размере от 2 мм до  6 мм. Во сколько раз площадь расширенного зрачка больше площади суженного?

3. О Тунгусском метеорите, 1908 г. Диаметр опалённой площади тайги от взрыва Тунгусского метеорита равен примерно 38 км. Какая площадь тайги пострадала от метеорита?Решение:

Ѕ = πr2; d = 38 км; π 3

R = 38 : 2 = 19(км)

Ѕ = 3 · 192 = 3 · 361 = 1083 (км2).

Ответ: 1083 км2.

4. «Авария на промышленном объекте». Чистый воздух – самый главный и незаменимый продукт, им «питаются» все живые организмы.Природа способна к самоочищению, но огромное количество отходов и выбросов от комбинатов и заводов не может нейтрализовать даже природа!Особую опасность для человека представляют летучие ядовитые вещества, такие, как хлор.

На одном химическом заводе произошла авария ёмкости с хлором. Хлор в безветренную погоду стелется по земле, занимая участок поверхности в форме круга. Радиус заражённой зоны 250 м. Что нужно знать, чтобы принять меры?

  • Ѕ – площадь заражённой зоны
  • Длину верёвки для ограждения.
  • Решение:

1. Ѕ = πr2; r = 250 м; π = 3,14; Ѕ = 3,14 ·2502 = 3,14 · 62500 = 196250(м2)=

=19,625 га ≈ 20 га.2. С = 2 πr; С = 2 · 250 · 3,14 = 500 · 3,14 = 1570 м.

Ответ: 20 га; 1570 м.

VI. Итоги урока.

  • Что повторили на уроке?
  • Что нового вы узнали на уроке?
  • Что показалось наиболее интересным?

VII. Домашнее задание.

1. Повторить п. 109-112

2. Практическая задача.

  1. Отец Вали и Веры предложил девочкам сделать две клумбы. Он дал им веревку
  2. длиной 6 м, чтобы с ее помощью наметить границу каждой клумбы.
  3. Валя решила сделать клумбу квадратной, а Вера — круглой.
  4. а) Чья клумба будет иметь большую площадь? Радиус круглой клумбы вычислите
  5. с точностью до сотых.
  6. б) Во сколько раз площадь одной клумбы будет больше площади другой?
  7. в) Ответьте на вопрос б) в том случае, когда длина веревки равна 8м.

Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту Длина окружности и площадь круга - в помощь студенту

Источник: https://videouroki.net/razrabotki/dlina-okruzhnosti-i-ploshchad-krugha-1.html

II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся Старт в науке

Текст работы размещён без изображений и формул. Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Надо только постараться и запомнить

Всё, как есть: 3, 14, 15, 92 и 6.

Введение

Данная тема представляет определенный интерес, поскольку её истоки относятся к древности:с давних пор люди пытались решать задачи, связанные с кругом – измерять длину окружности, находить площадь круга.

Любой школьник сегодня должен уметь находить длину окружности и площадь круга, первый опыт вычислений происходит в 6 классе. Но, к сожалению, эти знания остаются для многих формальными, и уже через годмало кто помнит не только то, что отношение длины окружности к её диаметру одно и то число, но даже с трудом вспоминают численное значение числа π, равное 3,14.

  • В ходе работы над проектом появляется возможность не только усвоить формулы для нахождения длины окружности и площади круга, нои приподнять завесу богатейшей истории числа π, которым человечество пользуется уже много веков.
  • Актуальность проекта заключается в том, что появляется возможность не только усвоить формулы для нахождения длины окружности и площади круга, но и создать информационный продукт в виде буклета, который будет содержать не только основные понятия и формулы по теме «Длина окружности и площадь круга», но и интересные факты и исторические сведения.
  • Гипотеза: Длина окружности, её радиус и площадь связаны между собой посредством формул.

Цель работы: Исследование числа π и выявление его роли в окружающей среде . Задачи работы: 1. Познакомиться подробнее с числом π. 2. Провести практическую работу нахождения числа π. 3. Найти занимательные факты и правила для запоминания числа π.

4.Изучить формулу площади круга.

5.Научится создавать буклеты с помощью текстового процессора MicrosoftWord.Предмет исследования: окружность.

Объект исследования: отношение длины окружности к диаметру.

Методы исследования: эксперимент, наблюдение, анализ.

Ожидаемые результаты: Некоторые данные и формулы достаточно трудно запоминаются, но с помощью открытия интересных фактов о числах или понятиях, можно лучше запомнить формулы, правила. Создание буклета с помощью MicrosoftOffice.

Глава 1. Теоретическая часть

  1. У круга есть одна подруга.
  2. Известна всем её наружность.
  3. Она идёт по краю круга
  4. и называется ……

1.1. Понятие окружности

Окружность – это замкнутая кривая линия, все точки которой находятся на равном расстоянии от данной точки плоскости, называемой центром окружности.

Точка О – центр окружности. R –радиус окружности (это отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой). По-латыни radius – это спица колеса.

1.2. Длина окружности.

Если разрезать окружность в какой-либо точке и распрямить её, то получим отрезок, длина которого и есть длина окружности.

Отношение длины окружности к её диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Установлено, что какой бы ни была окружность, отношение ее длины к диаметру является постоянным числом. Это число принято обозначать буквой π.

  • Более точное его значение 3,1415926535897932… [1, стр.189]
  • Обозначим длину окружности буквой С, а ее диаметр буквой d , то, тогда формулы для вычисления длины окружности С = πd.
  • Если известен радиус окружности, то формула длины окружности будет выглядеть следующим образомC = 2πr.

1.3. Круг. Площадь круга

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Площадь круга вычисляется по формуле: S=R2[2, «Окружность. Круг»]

1.4. Исторические сведения

Ещё в древности пытались решать задачи связанные с кругом.

Измерение длины окружности имеет чисто «практическое» решение: можно уложить вдоль окружности нить, а потом развернут её и приложить к линейке ил же отметить на окружности точку и «прокатить» её вдоль линейки (можно, наоборот, «обкатить» линейкой окружность).

Так или иначе измерения показывали, что отношение длины окружности к её диаметру одно и то же для всех окружностей. Древние египтяне считали, что длиннее диаметра в 3,16 раза, а римляне – в 3,12 раза.

Однако древнегреческих математиков такой опытный подход к определению длины окружности не удовлетворял. К тому же такой подход не позволял определить площадь круга. Выход был найден, впервые известным учёным Архимед предложил первый математический метод вычисления числа π, с помощью расчета вписанных в круг многоугольников.

Это позволяло вычислять значение π не практически – ниткой и линейкой, а математически, что обеспечивало гораздо большую точность. [3, стр. 65-72]

Известный ученый Архимед нашел значение π =, что дает величину 3.1428. В Древней Греции вскоре после Архимеда было получено более точное приближение к числу π = .

В V веке н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение π =3,1416927… .

Спустя полтора столетия в Европе нашли число π только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников, но при этом Ф.Виету принадлежит первенство в открывшейся возможности отыскания π. Это открытие имело огромное значение, так как позволило вычислять число π с какой угодно точностью. [4]

Вначале XVII в. Голландский математик из Кельна (Кейлен) Лудольф ван Цейлен затратил 10 лет на вычисление числа Пи и нашел 32 правильных знака после запятой. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности», Лудольф закончил его словами: « У кого есть охота, пусть идёт дальше». С тех пор (1615г.) значение числа π с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа. [5]

В настоящее время число Пи вычислено с точностью до 10 триллионов знаков после запятой.

  1. Первый миллион знаков после запятой в числе Пи состоит из: 99959 нулей, 99758 единиц, 100026 двоек, 100229 троек, 100230 четвёрок, 100359 пятёрок, 99548 шестёрок, 99800 семёрок, 99985 восьмёрок и 100106 девяток.

  2. Если рассчитать длину экватора с точностью до 1 см – предполагая, что мы знаем длину его диаметра вполне точно – нам достаточно было бы взять π всего с 9 цифрами после запятой. А взяв вдвое больше цифр (18) , мы могли бы вычислить длину окружности, имеющей радиусом расстояние от Земли до Солнца, с погрешностью не свыше 0,0003 мм (волос в 100 раз толще этой возможной ошибки!)

  3. В штате Иллинойс (США) официально принят закон о том, чтобы чисто Пи считать равным 4! [6]

  4. Многие математики утверждают, что правильным будет такая формулировка: «круг – фигура с бесконечным количеством углов». Здорово, правда?!

  5. Есть такая поговорка английского математика Моргана: «Число π лезет в дверь, в окно и через крышу».

  6. 14 марта объявлено Всемирным днем числа π. [7]

Вывод: Число π захватывает умы гениев всего мира.

(приложение 1. Портрет числа π)

Глава 2. Исследовательская часть 2.1. Эксперимент 1. Нахождение длины окружности с помощью нити

Практическая работа состояла в том, чтобы найти отношение длины окружности к её диаметру.

  1. Берём шесть круглых предметов, в частности вазу, несколько стаканов и чашек разных размеров.

  2. С помощью нити измеряем длину окружности.

  3. Поставив предмет на лист бумаги, обводим его карандашом, вырезаем бумажный круг, сгибаем пополам и линейкой измеряем длины диаметров.(приложение 2)

Составим таблицу с измеренными данными, последний столбец таблицы вычислительного характера: вычислим с помощью калькулятора отношение длины окружности (столбец 2) к диаметру (столбец 3) .

Длина окружности (длина нити в см) Диаметр окружности Отношение длины окружности к диаметру
1 2 3 4
Измерение №1 30,2 9,5 3,17894
Измерение №2 26,5 8,4 3,15476
Измерение №3 24 7,6 3,15795
Измерение№4 37,7 12,5 3,11362
Измерение №5 20,5 6,3 3,15068
Измерение № 6 66,7 33,1 3,12035

Вывод: Результаты оказались близки к числу 3,14 но с числом 3,14 ни одно измерение не совпало.

Я представила, что если бы мне попалась, например, ваза с круглым дном, диаметром в 100 мм, а длиной окружности 314мм, то при измерении ниткой длины окружности ошибка хотя бы в 1 мм весьма вероятна, тогда число π окажется равным 3,13 или 3,15, а если принять во внимание, что и диаметр вазы нельзя измерить вполне точно, для «пи» получаются довольно широкие пределы : от . В десятичных дробях число от 3,09 до 3,18. И это измерение с погрешностью всего в 1 мм.

2.2. Эксперимент 2. «Ищем взаимосвязь величин» с помощью робота NXT

Для следующего эксперимента нам потребуется три вида колёс конструктора EducationMindstormsNXT (перворобот NXT). На них есть маркировки «56», «43,2», «74» – это указан диаметр колеса в миллиметрах.

По форме колесо нашего робота является окружностью.

Поэтому, если запрограммировать робот на «вращение» колеса один раз, то расстояние, которое пройдёт робот будет равно длине окружности (в данном случае колеса).

Эксперимент «Ищем взаимосвязь величин» заключается в том, что необходимо измерить путь, пройденный роботом за один оборот колеса, используя при этом колёса разного диаметра. [8, стр. 163-165]Приложение 3

  1. Программируем робота NXT следующим образом: движение вперёд, ровно на один оборот мотора (в этом случае одно полное вращение колеса).

  2. Располагаем на столе рулетку.

  3. Ставим робота, чтобы его движение было параллельно расположению измерительной части рулетки.

  4. Измерение перемещения робота проводим точно по оси колеса.

  5. Результаты записываем в таблицу.

Диаметр колеса, мм Пройденное расстояние роботом NXT, мм Отношение пройденного расстояния к диаметру колеса
  1. Вывод:
  2. min
  3. max
Округление до двух знаков
1 2 3 4 5 6
1 56 177 3,160714 3,16
2 56 176 3,142857 min 3,14
3 43,2 136 3,148148 3,15
4 43,2 137 3,171296 max 3,15
5 74 233 3,148649 3,15
6 74 234 3,162162 3,16

Вывод: Минимальный результат вычислений после проведения эксперимента 3,142857, а максимальный 3,171296. Если данные ответы отношений округлить до сотых, то число 3,14 будет ответом второго опыта-заезда робота.

Теперь понятно, почему Древний мир не знал правильного отношения длины окружности к диаметру и понадобился гений Архимед, который нашёл значение «пи» без всяких измерений, а одним лишь геометрическим рассуждением.

2.3. Немного истории. Число π и ЭВМ

В настоящее время с помощью компьютеров число π вычислено с точностью до миллионов знаков. Эпоха цифровой техники в ХХ веке привела к увеличению скорости появления рекордов вычисления количества цифр числа π.

Например, Джон фон Нейман в 1949 году, используя первую ЭВМ «ЭНИАК» за 70 часов вычислил 2037 цифр числа π. В 1973 году было вычислено более миллиона цифр.

Таков прогресс имел место благодаря более быстрым компьютерам (аппаратное обеспечение) и новым алгоритмам вычислений (программное обеспечение).

Заключение

В ходе работы над проектом я узнала, что длина окружности и диаметр связаны между собой посредством числа π. Зная формулы, я смогу применять их при решении практических задач, а если понадобится, то и в повседневной жизни. Кроме того, я узнала много интересных фактов о числе π, а также прочла об учёных, которых раньше не знала.

Познакомившись с темой длина окружности и площадь круга, я создала информационный продукт в виде буклета, который может быть использован в дальнейшем на уроках математики, при решении задач.

Кроме того, в нем содержатся интересные факты о числе π, и исторические сведения.

Поскольку, следующий раз с темой «Длина окружности и площадь» круга мы встретимся в 9 классе, этот буклет можно использовать как памятку.

Литература

  1. Энциклопедический словарь юного математика. А. П. Савин, М: 1989 г

  2. Виленки Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбург С.И. Математика, 6 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций. М.: Мнемозина, 2014г.

  3. Занимательная геометрия на вольном воздухе и дома. М: 2011 г.

  4. http://i-fakt.ru/interesnye-fakty-o-chisle-pi/

  5. http://school-assistant.ru/?predmet=matematika&theme=dlina_okruznosti_i_ploshad_kruga

  6. http://sitefaktov.ru/index.php/home/515-chislopi

  7. http://ppt4web.ru/matematika/dlina-okruzhnosti-i-ploshhad-kruga0.html

  8. Колосов Д.Г. Первый шаг в робототехнику. Практикум для 5-6 кл. М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2015.

  9. Епифанов Е. «Портрет» числа π. Коллекция головоломок // Квант, научно-популярный журнал . №4, 2014г.

Приложение

Приложение 1

Портрет числа π

Таким необычным способом изобразил первые 10000 знаков числа π румынский художник Кристиан Василе. Принцип простой: дуги соединяют сектора, соответствующие последовательным цифрам в десятичной записи числа π.

Например, так как π≈3,1415…, то первая дуга идёь из сектора 3 в сектор 1, вторая – из 1 в 4 и так далее. Цвет дуги совпадает с цветом сектора, из которого она стартует. Этот «портрет» был получен при помощи программы Circos (www.circos.

ca), разработанной специально для построения круговых диаграмм. [9, обложка журнала, стр. 31]

Приложение 2

Исследование 1. Практическая работа

Приложение 3

Источник: https://school-science.ru/2/7/31140

Длина окружности и площадь круга

  • Длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз, а именно, приблизительно в 3,14 раза. Для обозначения этой величины используется маленькая (строчная) греческая буква π (пи):
  • Таким образом, длину окружности (C) можно вычислить, умножив константу π на диаметр (D), или умножив π на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так:
  • C = πD = 2πR
  • где C – длина окружности, π – константа, D – диаметр окружности, R – радиус окружности.
  • Так как окружность является границей круга, то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.

Задача 1.

Найти длину окружности, если её диаметр равен 5 см.

Так как длина окружности равна π умноженное на диаметр, то длина окружности с диаметром 5 см будет равна:

C ≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см)

Задача 2. Найти длину окружности, радиус которой равен 3,5 м.

  1. Сначала найдём диаметр окружности, умножив длину радиуса на 2:
  2. D = 3,5 · 2 = 7 (м)
  3. теперь найдём длину окружности, умножив π на диаметр:
  4. C ≈ 3,14 · 7 = 21,98 (м)

Задача 3. Найти радиус окружности, длина которой равна 7,85 м.

Чтобы найти радиус окружности по её длине, надо длину окружности разделить на 2π

следовательно радиус будет равен:

R  ≈  7,85  =  7,85  =  1,25 (м)
2 · 3,14 6,28
  • Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:
  • S = πr2
  • где S – площадь круга, а r – радиус круга.
  • Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:
  • следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:
S  =  π( D )2  =  π D2  =  π D2
2 22 4

Задачи на площадь круга

Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен 2 см.

Так как площадь круга равна π умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом 2 см будет равна:

S ≈ 3,14 · 22 = 3,14 · 4 = 12,56 (см2)

Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 7 см.

  1. Сначала найдём радиус круга, разделив его диаметр на 2:
  2. 7 : 2 = 3,5 (см)
  3. теперь вычислим площадь круга по формуле:
  4. S = πr2 ≈ 3,14 · 3,52 = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см2)
  5. Данную задачу можно решить и другим способом. Вместо того чтобы сначала находить радиус, можно воспользоваться формулой нахождения площади круга через диаметр:
S  =  π D2  ≈  3,14 72  =  3,14 49  =  153,86  =  38,465 (см2)
4 4 4 4

Задача 3. Найти радиус круга, если его площадь равна 12,56 м2.

  • Чтобы найти радиус круга по его площади, надо площадь круга разделить π, а затем из полученного результата извлечь квадратный корень:
  • r = √S : π
  • следовательно радиус будет равен:
  • r ≈ √12,56 : 3,14 = √4 = 2 (м)

Число π

Длину окружности предметов, окружающих нас, можно измерить с помощью сантиметровой ленты или верёвки (нитки), длину которой потом можно померить отдельно.

Но в некоторых случаях померить длину окружности трудно или практически невозможно, например, внутреннюю окружность бутылки или просто длину окружности начерченной на бумаге.

В таких случаях можно вычислить длину окружности, если известна длина её диаметра или радиуса.

Чтобы понять, как это можно сделать, возьмём несколько круглых предметов, у которых можно измерить и длину окружности и диаметр. Вычислим отношение длины к диаметру, в итоге получим следующий ряд чисел:

Ведро Таз Бочка Тарелка Стакан
Окружность 91 см 157 см 220 см 78,5 см 23,9 см
Диаметр 29 см 50 см 70 см 25 см 7,6 см
Отношение (с точн. до 0,01) 3,14 3,14 3,14 3,14 3,14

Из этого можно сделать вывод, что отношение длины окружности к её диаметру это постоянная величина для каждой отдельной окружности и для всех окружностей в целом. Это отношение и обозначается буквой π.

Используя эти знания, можно по радиусу или диаметру окружности находить её длину. Например, для вычисления длины окружности с радиусом 3 см нужно умножить радиус на 2 (так мы получим диаметр), а полученный диаметр умножить на π. В итоге, с помощью числа π мы узнали, что длина окружности с радиусом 3 см равна 18,84 см.

Источник: https://naobumium.info/planimetriya/dlina_okruzhnosti.php

Площадь круга

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг радиуса с центром содержит точку и все точки плоскости, которые находятся от точки на расстоянии, не большем .

Впишем в окружность, ограничивающую круг, правильный — угольник А1А2А3….An:

Так как данный многоугольник целиком содержится в данном круге, то площадь данного круга больше площади данного многоугольника. Если мы в данный многоугольник впишем окружность радиуса , то площадь круга, ограниченного этой окружностью, меньше площади данного многоугольника , потому что данный круг полностью содержится в многоугольнике. Значит, мы можем записать, что

       (1)

Теперь неограниченно будем увеличивать число сторон многоугольника. Нам известно, что радиус вписанной в правильный многоугольник окружности, можно вычислить по формуле .

Если стремится к бесконечности, то отношение будет стремится к нулю, а значит будет стремится к единице, а значит, радиус вписанной окружности будет стремиться к радиусу описанной окружности .

Другими словами, при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника вписанная в него окружность «стремится» к описанной окружности, а значит, площадь круга, ограниченного вписанной окружностью,  стремится к площади круга, ограниченного описанной окружностью, , значит, учитывая неравенство (1), получим, что при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника, площадь многоугольника  стремится к площади круга , ограниченного описанной около данного многоугольника окружностью.

Пусть — периметр многоугольника А1А2А3….An, тогда площадь данного многоугольника вычисляется по формуле

  • Так как при неограниченном увеличении сторон многоугольника радиус вписанной окружности   стремится к радиусу описанной окружности , а периметр данного многоугольника стремится к длине окружности , а площадь многоугольника  стремится к площади круга . Значит,
  • Итак, площадь круга радиуса вычисляется по формуле:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

  1. Правильный многоугольник
  2. Окружность, описанная около правильного многоугольника
  3. Окружность, вписанная в правильный многоугольник
  4. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности
  5. Построение правильных многоугольников
  6. Длина окружности
  7. Площадь кругового сектора
  8. Длина окружности и площадь круга

Правило встречается в следующих упражнениях:

  • 7 класс
  • Задание 1114, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 11, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1214, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1222, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 15, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 24, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1246, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1248, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1253, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1290, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  1. © budu5.com, 2020
  2. Пользовательское соглашение
  3. Copyright
  4. Нашли ошибку?
  5. Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3575

Ссылка на основную публикацию