Умножение, деление и возведение дробей в степень — в помощь студенту

  • Для начала давайте вспомним правило умножения обыкновенных дробей.          
  • Для того чтобы умножить дробь на дробь, надо числитель умножить на числитель, а знаменатель на знаменатель и первое произведение записать в числителе новой дроби, второе – в знаменателе.
  • Например

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Аналогичным образом происходит умножение рациональных дробей. Давайте докажем, что это правило на самом деле действует при умножении рациональных дробей.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Иначе говоря, докажем, что произведение двух рациональных дробей тождественно равно дроби, у которой числитель равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей перемножаемых дробей при любых допустимых значениях переменных, кроме b равное нулю и d равное нулю.

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Получили, что равенство верно при любых допустимых значениях переменных, т.е. является тождеством.

  1. Правило умножения рациональных дробей:
  2. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем дроби.
  3. В буквенном виде это правило записывают так:  

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Это правило выполняется и когда произведение трёх и более рациональных дробей.

Прежде чем выполнять умножение рациональных дробей, полезно их числители и знаменатели разложить на множители. Это облегчит сокращение той рациональной дроби, которая получится в результате умножения.

Пример 1: умножить дроби.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Метод последовательных приближений - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Решение:

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Пример 2: умножить дроби.

Решение:

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Пример 3: Представить произведение дробей в виде рациональной дроби.

Решение:

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Пример 4: выполнить умножение.

Решение:

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Теперь рассмотрим, как выполняется возведение рациональной дроби в степень.

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Проверим это равенство на конкретных примерах.

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

  • Правило возведения рациональной дроби в степень:
  • Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй в знаменателе дроби.
  • Пример 5: возвести в третью степень дробь.

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

  1. Пример 6: возвести во вторую степень дробь.  
  2. Пример 7:
  3. Итоги
  4. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем дроби.
  5. Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй в знаменателе дроби.

Источник: https://videouroki.net/video/5-umnozhieniie-drobiei-vozviedieniie-drobi-v-stiepien.html

Умножение рациональных дробей. Возведение дроби в степень

Уметь умножать рациональные дроби, возводить их в степень, применять правила для решения уравнений

Этапы урока:

  • Вопросы к зачету
  • Для начала давайте вспомним правило умножения обыкновенных дробей.
  • Для того чтобы умножить дробь на дробь, надо числитель умножить на числитель, а знаменатель на знаменатель и первое произведение записать в числителе новой дроби, второе – в знаменателе.
  • Например

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Аналогичным образом происходит умножение рациональных дробей. Давайте докажем, что это правило на самом деле действует при умножении рациональных дробей.

Иначе говоря, докажем, что произведение двух рациональных дробей тождественно равно дроби, у которой числитель равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей перемножаемых дробей при любых допустимых значениях переменных, кроме b равное нулю и d равное нулю.

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Получили, что равенство верно при любых допустимых значениях переменных, т.е. является тождеством.

  1. Правило умножения рациональных дробей:
  2. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателемдроби.
  3. В буквенном виде это правило записывают так:  

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Это правило выполняется и когда произведение трёх и более рациональных дробей.

Прежде чем выполнять умножение рациональных дробей, полезно их числители и знаменатели разложить на множители. Это облегчит сокращение той рациональной дроби, которая получится в результате умножения.

Пример 1: умножить дроби.

Решение:

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

  • №№ 108, 110
  • Пример 2: умножить дроби.
  • Решение:

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

  1. 123
  2. Пример 3: Представить произведение дробей в виде рациональной дроби.
  3. Решение:

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Пример 4: выполнить умножение.

Решение:

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Теперь рассмотрим, как выполняется возведение рациональной дроби в степень.

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

  • Проверим это равенство на конкретных примерах.
  • Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту   
  • Правило возведения рациональной дроби в степень:
  • Чтобы возвести дробь в степень,
  • надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и
  • первый результат записать в числителе,
  • а второй в знаменателе дроби.
  • Пример 5: возвести в третью степень дробь.
  • Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту       
  • Пример 6: возвести во вторую степень дробь.  
  • №№115, 117
  • Пример 7:
  • Итоги
  • Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателемдроби.
  • Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степеньчислитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй в знаменателедроби.

Источник: https://infourok.ru/umnozhenie-racionalnih-drobey-vozvedenie-drobi-v-stepen-2139979.html

Возведение дроби в степень — правило и примеры

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студентуУмножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Время на чтение: 13 минут Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Понятие степени

Представления о степени сложились ещё во времена существования Древнего Египта. Впервые упоминание о её вычислении встречается в знаменитом учебнике по математике Диофанта Александрийского «Арифметика». В своих трудах он описывает понятие как некоторое количество единиц, из которых состоят любые числа, увеличивающиеся до бесконечности. Он выделяет:

  • квадраты, образующиеся при произведении чисел или цифр самих на себя;
  • кубы, получающиеся при умножении квадрата на сторону;
  • биквадраты, произведение квадрата на квадрат;
  • квадрато-кубы, возникающие при умножении квадратов на кубы;
  • бикубы, произведение кубов на самих себя.

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Французский учёный Никола Шюке дополнил этот степенной ряд, введя отрицательный параметр. Современное же обозначение степени предложил Рене Декарт.

В «Геометрии» он использовал верхний надстрочный знак для указания величины степени. Что интересно, квадрат математик продолжал обозначать как произведение чисел, то есть в виде n * n.

И только потом Лейбниц настоял на универсальной записи для любого возведения в степень.

Под операцией возведения понимается бинарное действие, определяемое в результате умножения числа на себя. То есть справедлива следующая запись: di = d * d* d *… * dk, где k — число, обозначающее количество перемножаемых чисел, равное n.

Например, 112 = 11 * 11 = 121. Степень, присущая числу, может быть отрицательной, рациональной, десятичной, вещественной и даже комплексной.

Фактически получается, что для того, чтобы посчитать степень числа, его нужно умножить на себя столько раз, сколько указано в степенном показателе.

Но при этом существует нюанс возведения в нулевую степень. Любое число, вне зависимости от вида, в нулевой степени даст единицу. Например, (2/32)0 = 1, -1420 = 1. Выражение же ноль в нулевой степени не имеет смысла, поэтому ответ считается неопределённым.

Правило возведения дроби

В основе правила возведения дроби в степень лежит её определение с дробным показателем.

Согласно ему, для решения задачи нужно отдельно возвести сначала числитель выражения, а затем знаменатель, не меняя занимаемые ими позиции. Например, дробь три шестых во второй степени будет равна: (3/6)2 = 9/36.

Используя свойства сокращения дробей, числитель и знаменатель можно разделить на девять. В итоге получится равенство: (3/6)2 = 1/4.

Доказать это правило можно выполнив элементарные алгебраические действия. Для рассмотренного примера, согласно правилу арифметики, сначала необходимо выполнить деление, а после возведение в степень.

Так, три разделить на шесть будет равно: 3/6 = 1/2 = 0,5. Затем полученное число следует возвести в квадрат: 0,52 = 0,5 * 0,5 = 0,25.

Найденный ответ можно переписать в виде дроби 1/4, которая при сравнении полностью совпадает с ранее вычисленной.

Утверждение справедливо для любого вида дроби с произвольной степенной функцией. Например, (11 / 14)3. Используя закон, можно записать следующее: (11 / 14)3 = 113 / 143 = (11 * 11 * 11) / (14 * 14 * 14) = 1331 / 2744. Эту дробь сократить, то есть упростить, нельзя. Если нужно получить численное значение, то следует просто разделить числитель на знаменатель: 1331 : 2744 = 0,485.

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Чтобы убедиться в истинности правила, можно и тут выполнить проверку. Дробь три разделить на пять в степени три можно решить, выполнив сначала деление, а после полученное число возвести в кубическую степень: (11 / 14)3 = (0,78)3 = 0,78 * 0,78 * 0,78 = 0,485. Ответ идентичен предыдущему, что и следовало доказать.

Таким образом, алгоритм возведения будет следующим:

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

  1. Выполнить арифметические действия в скобках, соблюдая первоочерёдность знаков.
  2. Упростить полученное выражение, которое необходимо возвести в степень.
  3. Числитель умножить на себя столько раз, сколько показывает определитель.
  4. Значение, стоящее в знаменателе, умножить на такое количество раз само на себя, которое показывает степень.
  5. Полученную дробь упростить или выполнить деление.

Если показатель степени небольшой, то возведение можно выполнить просто умножив дробь на саму себя необходимое число раз. Например, (2/32)3 = (2/32) * (2/32) *(2/32) = 1/4096. Алгоритм обыкновенного расчёта обычно не вызывает трудности, но часто приходиться иметь дело не только с обыкновенными дробями. При этом степень может быть даже отрицательной.

Но в любом случае нужно помнить, что если верхнюю и нижнюю часть дроби умножить или разделить на одно и то же число, то количественный показатель полученного выражения не изменится. Это важно, так как при возведении приходится часто выполнять преобразования.

Нулевая и отрицательная степень

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

При вычислении дроби, в показателе которой стоит ноль, исходят из свойств частного степеней с одинаковым основанием.

Так, согласно алгебраическим правилам, для простых чисел a и b, при условии, что a < b, справедливо выражение: ca / cb = ca — b.

Тут нужно отметить, что основание не должно быть равным нулю, иначе получится недопустимое деление на ноль. Если a = b, то равенство можно переписать в виде: ca / cb = ca — a = c0.

Так как c другой стороны частное ca / сa = 1, то можно утверждать, что с0 = 1.

Читайте также:  Стационарное уравнение шредингера - в помощь студенту

Для нулевой степени такой подход использовать будет некорректно.

При основании, которое равно нулю, применяя предыдущее равенство, можно записать, что ноль в степени a умноженный на ноль в степени ноль, равняется нулю с показателем a.

То есть выражение может быт переписано как 0 = 0. Оно будет правильным при любом натуральном показателе, при этом не будет зависеть от того, чему равно выражение 00.

Ответ на 00 может быть любым. Поэтому для избежания путаницы считают, что решение записи 00 не имеет смысла, так же как и деление на ноль. Например, (12 / 34)0 = 120 / 340 = 1 / 1 = 1 или (-3 / 4)0 = 1, а вот для (0 / 23)0 ответ будет не определён.

Чтобы знать, как возвести дробь в отрицательную степень, нужно вспомнить свойство произведения с равными основаниями: ca * cb = ca + b.

Предположив, a = -b, при условии, что основание не равняется нулю, можно записать: c−a * ca = c-a+a = a0 = 1. Несложно сделать вывод о том, что положительный и отрицательный показатель взаимно обратный.

Отсюда выходит, что если число нужно возвести в отрицательную степень, то его можно представить в виде дроби: c-a = 1 / ca.

Получается, что для минусового показателя ответ определяется дробью, при условии, что основание отлично от нуля и показатель — натуральное число. Фактически необходимо перевернуть дробь и возвести её по правилу, при этом знак показателя изменить на положительный. Например, (23 / 37)-2 = 1 / (11 / 37)2 = (37 / 22)2 или (1 / 5)-2 = (5 / 1)2 = 52 = 25.

Рациональный показатель

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

В состав рациональных чисел входят все целые и дробные значения. По сути, ими называют значения, которые можно представить в виде обыкновенной или отрицательной дроби, как цифру ноль. При этом в числителе находится целое число, а в знаменателе – натуральное. Для того чтобы определить степень, нужно выяснить, что же представляет собой число с показателем в дробной форме.

Пусть имеется число n, которое необходимо возвести в степень a / b. Необходимо будет извлечь корень из n. Чтобы выражение соответствовало таблицам степени, должна выполняться формула: n(a / b) * b = na * b / b = na.

Используя полученное выражение, логично предположить, что ca / b = a√cb, но это лишь справедливо, когда показатель степени целый. Можно сделать вывод о том, что если выражение a√cb справедливо, что степенью числа c дробным показателем b / a является корень из c в степени b.

Если принять, что основание больше либо равно нулю, когда b является положительным числом, то буде справедливым равенство: сa / b = a√cb. При этом можно утверждать, что если основание будет равным нулю, то ответом будет тоже ноль: 0a / b = a√0b = 0.

Тут нужно оговориться, что для некоторых одночленов приведённое правило не работает. Например, для 3√ (-12 /3)2 или 4√ -122 оно верное, а для (-1 / 3)-2 / 3 или (-3 / 2)2 / 5 не имеет смысла, так как основание не может быть отрицательным. Поэтому вводится условие, по которому выражение a√ cb имеет смысл, при любых значениях неотрицательного основания.

Что же касается минусовой величины в показателе корней, оно в основании должно отличаться от нуля. Иными словами, если в любом уравнении или равенстве выражение a / b нельзя упростить (сократить), то a * i / b * I = ca — i / b -, причём степень можно заменить на ca / b.

Примеры решения

Для того чтобы понять и усвоить теорию, нужно попрактиковаться. Начинать необходимо с простых заданий, постепенно переходя к более сложным примерам. Возвести дробь в степень можно и на онлайн-калькуляторах, но желательно уметь выполнять это действие самостоятельно. Из наиболее типичных примеров, охватывающих все возможные ситуации, можно выделить следующие:

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

  1. Возведение дроби с простым показателем. Пусть дан многочлен (11 / 21)2 + (9 / 10)3 , необходимо вычислить ответ. Согласно правилу, сначала следует убрать скобки, а после выполнить сложение. Решение задания будет следующим: ( 11 * 11 ) / (21 * 21 ) + ( 9 * 9 * 9 ) / ( 10 * 10 * 10) = 121 / 441 + 729 / 100 = (121 * 1000) / (441 * 1000) + (729 * 441) / (1000 * 441) = 442489/441000.
  1. Решение смешанной дроби с отрицательным показателем. Определить ответ в задании вида: (2 11/12)-1 = ((2 * 12 + 11) / 12)-1 = (35 / 12)-1 = (12 / 35 )1 = 12 1 / 351 =12 / 35.
  1. Многоэтажные дроби . Решать их нужно после выполнения упрощения. Так, выражение вида 5 * (2 / 4) * (7 / 11 / 2))-2, решается следующим образом: 5 * (2 / 4 * (7 / 11 / 2))-2 = (((2 * 6 / 10 * 3)) / 3)-2 = (2 / 15)-2 = (15 / 2)2 = 152 / 22 = 225 / 4 = 56 1/4.
  1. Вычисление сложных уравнений. Определить верность выражения: (16 / 11)0 – (2 / 8)-1 + 4 *(-3 / 2)1/2 > e-3. Сначала следует раскрыть все скобки, а уже после выполнить алгебраические операции: (16 / 11 )0 – (2 / 8)-1 + 4 *(-3 / 2)2 = 1 – 8 / 2 + 4 * (9 / 4) = 1 – 4 + (-3 * (-3 ) ) / (4 * 4) = -3 + 9/16 = 9/16 – 3/1 = (9 * 1) / (16 * 1)) – (3 * 16) / (1 * 16) = 9 /16 – 48 /16 = (9 -48) / 16 = — 39 / 16 = — 2,43. Так как буквой e обозначают экспоненту, то e-3 = 2,718-3 = 0,049. Отсюда можно сделать вывод, что знак в неравенстве неверный: -2,43 < 0,049

Таким образом, чтобы возвести в степень дробь необходимо знать: правило, свойства степеней, порядок выполнения арифметических операций. А также учитывать знак показателя и вид основания.

Расчёт на онлайн-калькуляторе

В сети существуют сервисы, автоматически выполняющие арифметические операции. Воспользоваться этими сайтами может каждый, имеющий доступ к интернету. Порталы предлагают свои услуги бесплатно. С их помощью можно находить функции, рассчитывать градусы и углы, решать уравнения и неравенства, вычислять дроби и степени.

Для решения дробей со степенями на онлайн-калькуляторах не нужно обладать какими-то особыми знаниями. Всё что требуется от пользователя — вести в предложенную форму задание и нажать кнопку «Рассчитать». Весь процесс вычисления занимает несколько секунд.

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Полезной особенностью таких сайтов является и возможность обучиться правилам расчёта, узнать, как должны обозначаться те или иные операции и действия. Из различных калькуляторов можно выделить три наиболее популярных:

  1. Webmath.
  2. Onlinemschool.
  3. Сalc.by.

Сайты отличаются удобным и понятным интерфейсом. На их страницах содержится кратко изложенная теория, использующаяся для расчётов и типовые примеры.

Источник: https://nauka.club/matematika/algebra/vozvedenie-drobi-v-stepen.html

Видеоурок «Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень»

Содержание:

§ 1  Правила умножения, деления и возведения в степень алгебраических дробей

  • В этом уроке Вы узнаете, по каким правилам осуществляется умножение и деление алгебраических дробей, возведение их в степень, а также мы рассмотрим решение различных примеров на применение этих правил.
  • Умножение, деление и возведение алгебраических дробей в натуральную степень осуществляется по тем же правилам, что и для обыкновенных дробей.
  • А именно:

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

  1. Чтобы умножить алгебраические дроби, необходимо умножить их числители (это будет числитель произведения) и умножить их знаменатели (это будет знаменатель произведения).
  2. Деление на дробь – это умножение на перевёрнутую дробь, то есть, чтобы разделить две дроби, необходимо первую из них (делимое) умножить на перевёрнутую вторую (делитель).
  3. А возведение алгебраической дроби в степень заключается в возведении в эту степень числителя и знаменателя по отдельности.
  4. Прежде чем выполнять умножение, деление и возведение в натуральную степень алгебраических дробей, желательно их числители и знаменатели разложить на множители – это облегчит сокращение той алгебраической дроби, которая получится в результате.

§ 2  Решение примеров на умножение и деление алгебраических дробей

  • Решим несколько примеров на применение этих правил:
  • Пример 1:
  • Выполнить умножение алгебраических дробей

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

  1. Решение:
  2. a) По правилу умножения алгебраических дробей умножаем числитель первой дроби на числитель второй и аналогично для знаменателей данных дробей, при этом следует обратить внимание на знаменатель второй дроби – число 20 можно разложить на множители 4 и 5.
  3. Далее следует числитель, и знаменатель полученной дроби разделить (сократить) на выражение 4y3 , получаем:

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

б) Для вычисления произведения дробей

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

прежде следует разложить числитель первой дроби на множители:

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Затем перемножаем числители и перемножаем знаменатели дробей:

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

  • Полученное выражение можно сократить на
  • тогда будем иметь:

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Пример 2:

Выполнить деление алгебраических дробей:

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Решение:

Во-первых, разложим числители данных алгебраических дробей на множители:

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

получаем дроби

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

  1. Во-вторых, выполним деление этих алгебраических дробей, для этого первую дробь умножим на перевёрнутую вторую, получаем:
  2. В-третьих, нужно сократить полученное алгебраическое выражение на
  3. Таким образом, получили окончательный ответ.

§ 3  Возведение в степень целых выражений

  • А теперь давайте вспомним основные правила возведения целых выражений в натуральную степень:
  • кроме этого, известно
  • Используя эти правила, а также правило возведения алгебраических дробей в степень, решим следующий пример.
  • Пример 3:
  • Выполнить действия
  • Решение:
  • Как и в предыдущих примерах разложим числители и знаменатели данных алгебраических дробей на множители:
  • Затем возведем их в степень, используя рассмотренные выше правила:
  • В знаменателе полученной дроби, чтобы из выражения
  • получить выражение
  • необходимое нам для последующего сокращения, следует вынести знак «–» за скобку, а затем поставить его перед дробью:
  • Далее сокращаем полученное алгебраическое выражение на
  • В заключение перенесем знак «–» в числитель полученной дроби
  • Итак, в этом уроке Вы повторили свойства степени и изучили правила умножения, деления и возведения в степень алгебраических дробей, кроме этого рассмотрели решение примеров различного уровня сложности.

Список использованной литературы:

  1. Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 9-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2007. – 215с. :ил.
  2. Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. – 8-е изд., – М.: Мнемозина, 2006 – 239с.
  3. Алгебра. 8 класс. Контрольные работы для учащихся образовательных учреждений Л.А. Александрова / Под ред. А.Г. Мордковича 2-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009. — 40с.
  4. Алгебра. 8 класс. Самостоятельные работы для учащихся образовательных учреждений: к учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александрова / Под ред. А.Г. Мордковича, 9-е изд., стер. — М.: Мнемозина 2013. — 112с.

Источник: https://znaika.ru/catalog/8-klass/algebra/Umnozhenie-i-delenie-algebraicheskikh-drobey.-Vozvedenie-algebraicheskoy-drobi-v-stepen.html

Урок "Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень"

Бесплатно Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Видеоурок «Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби  в степень» — вспомогательное средство для ведения урока математики по данной теме. С помощью видеоурока учителю легче сформировать у учеников умение выполнять умножение и деление алгебраических дробей. Наглядное пособие содержит подробное понятное описание примеров, в которых выполняются операции умножения и деления. Материал может быть продемонстрирован во время объяснения учителя или стать отдельной частью урока.

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Чтобы сформировать умение решать задания на умножение и деление алгебраических дробей, по ходу описания решения даются важные комментарии, моменты, требующие запоминания и глубокого понимания выделяются с помощью цвета, жирного шрифта, указателей. С помощью видеоурока учитель может повысить эффективность урока. Данное наглядное пособие поможет быстро и эффективно достичь учебных целей.

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Видеоурок начинается с представления темы. После этого указывается, что операции умножения и деления с алгебраическими дробями производятся аналогично операциям с обыкновенными дробями. На экране демонстрируются правила умножения, деления и возведения в степень дробей.

С помощью буквенных параметров демонстрируется умножение дробей. Отмечается, что при умножении дробей числители, а также знаменатели перемножаются. Так получается результирующая дробь a/b·c/d=ac/bd. Демонстрируется деление дробей на примере выражения a/b:c/d.

Указывается, что для выполнения операции деления необходимо в числитель записать произведение числителя делимого и знаменателя делителя. Знаменателем частного становится произведение знаменателя делимого и числителя делителя.

Таким образом, операция деления превращается в операцию умножения дроби делимого и дроби, обратной делителю. Возведение в степень дроби приравнивается дроби, в которой числитель и знаменатель возводятся в назначенную степень.

Далее рассматривается решение примеров. В примере 1 необходимо выполнить действия (5х-5у)/(х-у)·(х2-у2)/10х. Чтобы решить данный пример, числитель второй дроби, входящей в произведение, раскладывается на множители.

Используя формулы сокращенного умножения, делается преобразование х2-у2=(х+у)(х-у). Затем числители дробей и знаменатели перемножаются. После проведения операций видно, что в числителе и знаменателе есть множители, которые можно сократить, используя основное свойство дроби.

В результате преобразований получается дробь (х+у)2/2х. Здесь же рассматривается выполнение действий 7а3b5/(3a-3b)·(6b2-12ab+6a2)/49a4b5. Все числители и знаменатели рассматриваются на предмет возможности разложения на множители, выделения общих множителей.

Затем перемножаются числители и знаменатели. После умножения производятся сокращения. Результатом преобразования становится дробь 2(a-b)/7а.

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Рассматривается пример, в котором необходимо выполнить действия (х3-1)/8у:(х2+х+1)/16у2. Чтобы решить выражение, предлагается преобразовать числитель первой дроби, используя формулу сокращенного умножения х3-1=(х-1)(х2+х+1). Согласно правилу деления дробей, первая дробь умножается на дробь, обратную второй.

После перемножения числителей и знаменателей получается дробь, которая содержит в числителе и знаменателе одинаковые множители. Они сокращаются. В результате получается дробь (х-1)2у. Здесь же описывается решение примера (a4-b4)/(ab+2b-3a-6):(b-a)(a+2).

Аналогично предыдущему примеру, для преобразования числителя применяется формула сокращенного умножения. Также преобразуется знаменатель дроби. Затем первая дробь перемножается с дробью, обратной второй дроби. После умножения выполняются преобразования, сокращения числителя и знаменателя на общие множители.

В результате получается дробь –(a+b)(a2+b2)/(b-3). Обращается внимание учеников, как меняются знаки числителя и знаменателя при умножении.

В третьем примере необходимо выполнить действия с дробями ((х+2)/(3х2-6х))3:((х2+4х+4)/(х2-4х+4))2. В решении данного примера применяется правило возведения дроби в степень. И первая, и вторая дробь возведены в степень. Они преобразуются возведением в степень числители и знаменателя дроби.

Кроме того, для преобразования знаменателей дробей применяется формула сокращенного умножения, выделение общего множителя. Чтобы поделить первую дробь на вторую, необходимо умножить первую дробь на обратную дробь ко второй. В числителе и знаменателе образуются выражения, которые можно сократить.

После преобразования получается дробь (х-2)/27х3(х+2).

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Видеоурок «Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби  в степень» применяется для повышения эффективности традиционного урока математики. Материал может быть полезен учителю, осуществляющему обучение дистанционно. Детальное понятное описание решения примеров поможет ученикам, самостоятельно осваивающим предмет или требующим дополнительных занятий. 

Читайте также:  Марксизм - в помощь студенту

Источник: https://urokimatematiki.ru/urok-umnozhenie-i-delenie-algebraicheskih-drobey-vozvedenie-algebraicheskoy-drobi-v-stepen-529.html

Самостоятельная работа по теме: Умножение, деление и возведение в степень алгебраических дробей

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

  • Свидетельство бесплатно
  • Нам доверяют
  • Нужно использовать при аттестации

Дождитесь публикации материала и скачайте свидетельство

о публикации в СМИ бесплатно.

Опубликует не менее 15 материалов в методической библиотеке портала и скачайте

документ бесплатно.

Свидетельство участника экспертной комиссии

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту

Оформить бесплатно документ можно здесь

13.10.2017

Самостоятельная работа по теме: «Умножение, деление и возведение в степень алгебраических дробей» составлена к учебнику Макарычева Ю.Н. «Алгебра 8» состоит из двух частей рассчитана на 10 минут.

Оценить

2009

Содержимое разработки

  • Самостоятельная работа по теме: «Умножение, деление и возведение в степень алгебраических дробей» Вариант 1
  • 1. Представьте выражение в виде дроби:
  • а) • ;
  • б) :; в) )³
  • 2.Найдите значение выражения:
  • • , при х =400 и у = 200.
  1. Самостоятельная работа по теме: «Умножение, деление и возведение в степень алгебраических дробей» Вариант 2 1.Представьте выражение в виде дроби:
  2. а) • ;
  3. б) :; в) )²
  4. Найдите значение выражения:
  5. • , при х =500 и у = 300.
  • Самостоятельная работа по теме: «Умножение и возведение в степень алгебраических дробей» Вариант 1
  • 1. Представьте выражение в виде дроби:
  • а) • ;
  • б) :; в) )³
  • 2.Найдите значение выражения:
  • • , при х =400 и у = 200.
  1. Самостоятельная работа по теме: «Умножение и возведение в степень алгебраических дробей» Вариант 2 1.Представьте выражение в виде дроби:
  2. а) • ;
  3. б) :; в) )²
  4. Найдите значение выражения:
  5. • , при х =500 и у = 300.
  • Самостоятельная работа по теме: «Умножение и возведение в степень алгебраических дробей» Вариант 1
  • 1. Представьте выражение в виде дроби:
  • а) • ;
  • б) :; в) )³
  • 2.Найдите значение выражения:
  • • , при х =400 и у = 200.
  1. Самостоятельная работа по теме: «Умножение и возведение в степень алгебраических дробей» Вариант 2 1.Представьте выражение в виде дроби:
  2. а) • ;
  3. б) :; в) )²
  4. Найдите значение выражения:
  5. • , при х =500 и у = 300.
  • Самостоятельная работа по теме: «Умножение и возведение в степень алгебраических дробей» Вариант 1
  • 1. Представьте выражение в виде дроби:
  • а) • ;
  • б) :; в) )³
  • 2.Найдите значение выражения:
  • • , при х =400 и у = 200.
  1. Самостоятельная работа по теме: «Умножение и возведение в степень алгебраических дробей» Вариант 2 1.Представьте выражение в виде дроби:
  2. а) • ;
  3. б) :; в) )²
  4. Найдите значение выражения:
  5. • , при х =500 и у = 300.

Также вас может заинтересовать

Источник: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/272488-samostojatelnaja-rabota-po-teme-umnozhenie-de

Возведение дроби в степень

Дробь представляет собой отношение числителя к знаменателю, причём знаменатель не должен равняться нулю, а числитель может быть любой.

  • При возведении любой дроби в произвольную степень нужно возводить отдельно числитель и знаменатель дроби в эту степень, после чего мы должны эти степени сосчитать и таким образом получим дробь, возведённую в степень.
  • Например:
  • (2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49
  • (2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 / 3) · (2 / 3) = 2^3 / 3^3

Отрицательная степень

Если мы имеем дело с отрицательной степенью, то мы должны сначала  “Перевернуть дробь”, а уж потом возводить её в степень по правилу написанному выше.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Буквенная степень

  1. При работе с буквенными значениями такими как  “x” и “у” возведение в степень происходит по тому же правилу  что и раньше.
  2. Также мы можем проверить себя возведя дробь ½ в 3 степень в результате чего мы получим ½ * ½ * ½  = 1/8 что в сущности тоже самое что и
  3. (1/2)^3 = 1/8.
  4. Буквенное возведение в степень x^y 

Умножение и деление дробей со степенями

Если мы умножаем степени с одинаковыми основаниями, то само основание остается прежним, а показатели степеней мы складываем. Если же мы делим степени с одинаковым основаниями, тогда основание степени также остаётся прежним, а показатели степеней вычитаются.

  • Это очень легко можно показать на примере:
  • (3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31
  • (2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2
  • Тоже самое мы могли бы получить если бы просто возвели в степень 3 и 4 отдельно знаменатель и числитель соответственно.

Возведение дроби со степенью в еще одну степень

При возведении дроби, которая уже находится в степени, ещё раз в степень мы должны сначало сделать внутреннее возведение в степень после чего переходить в во внешнюю часть возведения в степень. Другими словами мы можем просто напросто перемножить эти степени и возвести дробь в полученную степень.

Например:

(2^4)^2 = 2^ 4·2 = 2^8

Возведение в единицу, квадратный корень

  1. Также нельзя забывать что возведение абсолютно любой дроби в нулевую степень даст нам 1, так же как и любое другое число при возведении в степень равную нулю мы получим 1.

  2. Обычный квадратный корень также можно представить в виде степени дроби
  3. Квадратный корень 3 = 3^(1/2)

Если же мы имеем дело с квадратным корнем под которым находится дробь, то мы можем представить эту дробь в числителе которой будет находится квадратный корень 2 – степени ( т.к. квадратный корень)

А в знаменателе также будет находится квадратный корень , т.е. другими словами мы будем видеть отношение двух корней, это может пригодится для решения некоторых задач и примеров.

Если мы возведём дробь, которая находится под квадратным корнем во вторую степень то мы получим ту же самую дробь.

Произведение двух дробей под одной степенью будет равнятся произведению этих двух дробей, каждая в отдельности из которых будет под своей степенью.

Помните: на ноль делить нельзя!

  • Также не стоит забывать об очень важном замечании для дроби такой как знаменатель не должен равняться нулю. В дальнейшем во многих уравнениях мы будем использовать это ограничение, называемое ОДЗ – область допустимых значений
  • При сравнении двух дробей с одним и тем же основанием но разными степенями, большее будет являться та дробь у которой степень будет больше, а меньшей та у которой степень меньше, при равенстве не только оснований, но и степеней, дробь считается одинаковой.
  • Примеры:

например: 14^3.8 / 14^(-0.2) = 14^(3.8 -0.2) = 139.6

6^(1,77) · 6^( — 0,75) = 6^(1,77+( — 0,75)) = 79,7 – 1,3 =  78,6

Нужна помощь в учебе?

Умножение, деление и возведение дробей в степень - в помощь студенту Предыдущая тема: Умножение и деление дробей: сокращение дробей + полезные советы
Следующая тема:   Преобразование рациональных выражений: способы преобразований и примеры

Источник: http://www.nado5.ru/e-book/vozvedenie-drobi-v-stepen

Возведение алгебраической дроби в степень: правило, примеры

Тема сводится  к тому, что нам необходимо производить умножение одинаковых дробей. Данная статья расскажет, какое необходимо использовать правило, чтобы верно возводить алгебраические дроби в  натуральную степень.

Правило возведения алгебраической дроби в степень, его доказательство

Перед тем, как начать возводить  в степень, необходимо углубить знания при помощи статьи  про степень с натуральным показателем, где имеется произведение одинаковых множителей, которые находятся в основании степени, причем их количество определено показателем. К примеру,  число 23=2·2·2=8.

При возведении в степень чаще всего используем правило. Для этого в отдельности возводят в степень числитель и отдельно знаменатель. Рассмотрим на примере 232=2232=49. Правило применимо для возведения дроби в натуральную степень.

При возведении алгебраической дроби в натуральную степень получаем новую, где числитель имеет степень исходной дроби, а знаменатель – степень знаменателя. Это все имеет вид abn=anbn , где а и b являются произвольными многочленами, b является ненулевым, а n натуральным числом.

Доказательство данного правила записывается в виде дроби, которую необходимо возвести в степень, основываясь на самом определении с натуральным показателем. Тогда получаем умножение дробей вида abn=ab·ab·…·ab=a·a·…·ab·b·…·b=anbn

Примеры, решения

Правило возведения алгебраической дроби в степень производится последовательно: сначала числитель , потом знаменатель. Когда в числителе и знаменателе имеется многочлен, тогда само задание сведется к возведению заданного многочлена в степень. После чего будет указана новая дробь, которая равна исходной.

Пример 1

Произвести возведение дроби x23·y·z3 в квадрат.

Решение

Необходимо зафиксировать степень x23·y·z32.  По правилу возведения алгебраической дроби в степень получаем равенство вида x23·y·z32=x223·y·z32 . Теперь необходимо произвести преобразование полученной дроби к виду алгебраической, выполняя возведение в степень. Тогда получим выражение вида

  • x223·y·z32=x2·232·y2·z32=x49·y2·z6
  • Все случаи возведения в степень не предполагают подробного разъяснения, поэтому сам решение имеет краткую запись. То есть, получаем, что
  • x23·y·z32=x223·y·z32=x49·y2·z6
  • Ответ: x23·y·z32=x49·y2·z6.

Если числитель и знаменатель имеют многочлены, тогда необходимо возводить всю дробь в степень, после чего применять формулы сокращенного умножения для его упрощения.

Пример 2

  1. Возвести дробь 2·x-1×2+3·x·y-y  в квадрат.
  2. Решение
  3. Из правила имеем, что
  4. 2·x-1×2+3·x·y-y2=2·x-12×2+3·x·y-y2
  5. Чтобы преобразовать выражение, необходимо воспользоваться формулой квадрата суммы трех слагаемых  в знаменателе, а  в числителе – квадратом разности, что позволит упростить выражение. Получим:
  6. 2·x-12×2+3·x·y-y2==2·x2-2·2·x·1+12×22+3·x·y2+-y2+2·x2·3·x·y+2·x2·(-y)+2·3·x·y·-y==4·x2-4·x+1×4+9·x2·y2+y2+6·x3·y-2·x2·y-6·x·y2
  7. Ответ: 2·x-12×2+3·x·y-y2=4·x2-4·x+1×4+9·x2·y2+y2+6·x3·y-2·x2·y-6·x·y2

Заметим, что при возведении в натуральную степень дробь, которую не можем сократить, получаем также несократимую дробь. Это не упрощает ее для дальнейшего решения. Когда заданная дробь может быть сокращена, тогда при возведении в степень получаем, что необходимо выполнение сокращения алгебраической дроби, во избежание выполнения сокращения после того, как возведем в степень.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/vozvedenie-algebraicheskoj-drobi-v-stepen/

Поиск

По Вашему запросу найдено 1 000 ресурсов .zip

Загрузить модуль(OMS, 1.18 Мб)

Скачано 1522 разa

Умножение и деление дробей. Возведение дроби в степень. П1

Данный модуль состоит из 5 заданий.

Задания предназначены для отработки умений и навыков учащихся умножать и делить дроби, а также возводить дроби в степень.

Задача 4 — более сложная, на умножение и деление алгебраических дробей. Задача 5 — на преобразование «многоэтажных» дробей. При решении заданий учащемуся предоставляется возможность использовать подсказки.

Все задания данного учебного модуля параметризированы. Это позволяет формировать индивидуальные задания для каждого учащегося.

.zip

Загрузить модуль(OMS, 1.21 Мб)

Скачано 670 раз

Умножение и деление дробей. Возведение дроби в степень. П2

Данный модуль состоит из 5 заданий.

Задания предназначены для отработки умений и навыков учащихся умножать и делить дроби, а также возводить дроби в степень.

Задача 4 — более сложная, на умножение и деление алгебраических дробей. Задача 5 — на преобразование «многоэтажных» дробей. При решении заданий учащемуся предоставляется возможность использовать подсказки.

Все задания данного учебного модуля параметризированы. Это позволяет формировать индивидуальные задания для каждого учащегося.

.zip

Загрузить модуль(OMS, 1.19 Мб)

Скачано 670 раз

Умножение и деление дробей. Возведение дроби в степень. К1

Данный модуль состоит из 5 заданий.

Задания предназначены для контроля умений и навыков учащихся умножать и делить дроби, а также возводить дроби в степень. Все задания данного учебного модуля параметризированы. Это позволяет формировать индивидуальные задания для каждого учащегося.

.zip

Загрузить модуль(OMS, 1.19 Мб)

Скачано 482 разa

Умножение и деление дробей. Возведение дроби в степень. К2

Данный модуль состоит из 5 заданий.

Задания предназначены для контроля умений и навыков учащихся умножать и делить дроби, а также возводить дроби в степень. Все задания данного учебного модуля параметризированы. Это позволяет формировать индивидуальные задания для каждого учащегося.

.zip

Загрузить модуль(OMS, 417.33 Кб)

Скачано 1644 разa

Задание в картинках по теме «Умножение и деление десятичной дроби на разрядную единицу 10, 100, 1000…; 0,1; 0,01 и т.д.». П2

Данный модуль представляет собой задание в картинках. Задание направлено на отработку умений учащихся решать текстовую задачу на умножение и деление десятичной дроби на разрядную единицу 10, 100, 1000…; 0,1; 0,01 и т.д.

При решении задания учащемуся предоставляется возможность прочитать условие задания в классическом виде, использовать наводящие и пошаговые подсказки. В случае затруднения учащийся может посмотреть развернутое решение с ответом. Задание данного учебного модуля параметризировано.

Это позволяет формировать индивидуальные задания для каждого учащегося.

.zip

Загрузить модуль(OMS, 417.28 Кб)

Скачано 2043 разa

Задание в картинках по теме «Умножение и деление десятичной дроби на разрядную единицу 10, 100, 1000…; 0,1; 0,01 и т.д.». К2

Данный модуль представляет собой задание в картинках. Задание направлено на отработку умений учащихся решать текстовую задачу на умножение и деление десятичной дроби на разрядную единицу 10, 100, 1000…; 0,1; 0,01 и т.д.

При решении задания учащемуся предоставляется возможность прочитать условие задания в классическом виде. В случае затруднения учащийся может посмотреть развернутое решение с ответом. Задание данного учебного модуля параметризировано.

Это позволяет формировать индивидуальные задания для каждого учащегося.

.zip

Загрузить модуль(OMS, 1.20 Мб)

Скачано 857 раз

Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями. Степень с нулевым показателем. П1

Данный модуль состоит из 5 заданий.

Задания направлены на формирование умения применять правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями для преобразования буквенных выражений и нахождения значений числовых выражений.

При решении заданий учащемуся предоставляется возможность использовать подсказки. Все задания данного учебного модуля параметризированы. Это позволяет формировать индивидуальные задания для каждого учащегося.

.zip

Загрузить модуль(OMS, 1.19 Мб)

Скачано 839 раз

Умножение одночленов, возведение одночлена в натуральную степень. К1

Данный модуль состоит из 5 заданий.

Задания направлены на проверку усвоения умения учащегося представлять в стандартном виде произведение одночленов и результат возведения одночлена в степень с натуральным показателем, а также раскладывать одночлен на множители и представлять его в виде степени. Все задания данного учебного модуля параметризированы. Это позволяет формировать индивидуальные задания для каждого учащегося.

Страницы

1 2 3 4 5 Следующая

  • Рекламодателям
  • Карта сайта

Источник: http://fcior.edu.ru/search?q=%D0%A3%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%B8%20%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D0%B9.%20%D0%92%D0%BE%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%B8%20%D0%B2%20%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8C.%20%D0%9A1

Ссылка на основную публикацию