Стационарное уравнение шредингера — в помощь студенту

    Аналог классического волнового уравнения был предложен Э. Шредингером в 1925 г. Как и классическое уравнение, уравнение Шредингера связывает производные волновой функции по времени и координате. Уравнение Шредингера описывает поведение любых нерелятивистских систем.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

На примерах частицы, находящейся в бесконечно глубокой яме, и гармонического осциллятора рассмотрены простейшие квантовые системы, получены дискретные спектры состояний.

Возможности описания динамики данных систем ограничены набором квантовых чисел, отражающих универсальные и внутренние симметрии квантовых систем.

4.1. Уравнение Шредингера 4.2. Частица в прямоугольной яме с бесконечными стенками 4.3. Гармонический осциллятор 4.4. Частица в поле с центральной симметрией 4.5. Орбитальный момент количества движения 4.6. Спин 4.7. Полный момент количества движения 4.8. Квантовые числа        Задачи

4.1. Уравнение Шредингера

    В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера

(4.1)

где  – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Московское государство в xiv - xv вв. - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Стационарное уравнение Шредингера - в помощь студенту

в которой  и  заменены операторами импульса x, y, z и координаты , , :

Стационарное уравнение Шредингера - в помощь студенту

х →  = х,            y →  = y,          z →  = z,

Стационарное уравнение Шредингера - в помощь студенту (4.2)
  • Зависящее от времени уравнение Шредингера:
  • где  – гамильтониан системы.

Разделение переменных. Запишем Ψ(,t) = ψ()θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если  не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θψ = iћψθ или Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E Стационарное уравнение Шредингера - в помощь студенту

  1. Следовательно,
  2. θ(t) = exp(−iEt/ћ),  ψ() = Eψ() и  Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ).
  3. Уравнение ψ() = Eψ() называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид:
  4. Стационарное уравнение Шредингера - в помощь студентуили Стационарное уравнение Шредингера - в помощь студенту
  5. Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U():
  6. −(ћ2/2m)Δψ() + U()ψ() = Eψ(),
  7. где Δ – лапласиан.

    Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид

ψ() = Eψ(). (4.3)

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Так как в стационарном состоянии

Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ) (4.4)

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она ~ |ψ(x,y,z)|2, т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.

4.2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

    Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:

Стационарное уравнение Шредингера - в помощь студенту (4.5)
Стационарное уравнение Шредингера - в помощь студенту

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L

Стационарное уравнение Шредингера - в помощь студенту (4.6)

Волновая функция, являющаяся решением уравнения (4.9), имеет вид

ψ(x)= Аsin kx + Bcos kx, (4.7)

 где k = (2mE/ћ2)1/2. Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует

 kL = nπ,   n = 1, 2, 3, … , то есть внутри потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений En

Стационарное уравнение Шредингера - в помощь студенту  n = 1, 2, 3, … (4.9)
  •     Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.     Каждому значению энергии En соответствует волновая функция ψn(x), которая с учетом условия нормировки
  • имеет вид
(4.10)

    В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию E < ћ2π2/(2mL2). Состояния частицы ψn в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полнос­тью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.

 Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ|2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

4.3. Гармонический осциллятор

    Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

(4.11)

В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид

(4.12)

Допустимые значения полной энергии определяются формулой

En = ћω0(n + 1/2),    n = 0, 1, 2, (4.13)

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.     С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

  1. Одномерная прямоугольная яма шириной L:
  2.   n = 1, 2, …
  3. Одномерный гармонический осциллятор:
  4. En = ћω0(n + 1/2),    n = 0, 1, 2,

4.4. Частица в поле с центральной симметрией

    В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

(4.14)

    Решение уравнения (4.14) записываются в виде произведения радиальной и угловой функций

ψ(r,θ,φ) = Rnl(r)Ylm(θ,φ), (4.15)

где радиальная функция Rnl(r) и угловая функция Ylm(θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям

2Ylm(θ,φ) = ћ2l(l +1)Ylm(θ,φ) (4.16)

или

Ylm(θ,φ) = ћ2l(l +1)Ylm(θ,φ)  (4.17)

Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Ylm(θ,φ) оператора квадрата момента 2. Уравнение (4.

17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции Rnl(r), от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).

    Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции Rnl(r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица.

Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах r0 = ћ2/mee2 ≈ 0.529·108 cм.

Решения уравнения существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число).     Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l и в случае сферически симметричных состояний не зависят от квантового числа m. Число n может быть только целым:n = 1, 2, …, ∞.  Число l может принимать значения 0, 1, 2, …, ∞.

4.5. Орбитальный момент количества движения

  •     Собственные значения L2 и Lz являются решением уравнений
  • 2Ylm(θ,φ) = L2Ylm(θ,φ)     и       zYlm(θ,φ) = LzYlm(θ,φ).
  • Они имеют следующие дискретные значения
  •    L2 = ћ2l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …, Lz = ћm,  где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.
  •     Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:
  • Спектроскопические названия орбитальных моментов l
l = 0 s-состояние
l = 1 p-состояние
l = 2 d-состояние
l = 3 f-состояние
l = 4 g-состояние
l = 5 h-состояние
и. т. д.

    Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0  волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Ylm(θ,φ). Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.     Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L:

(4.18)

    Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).

Рис. 4.4 Возможные ориентации вектора при квантовом числе l = 2.

    Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения

Источник: http://nuclphys.sinp.msu.ru/sem2/sem04.html

Уравнение Шредингера (общие свойства)

Решение.

Стационарное уравнение Шредингера в общем случае имеет вид

Стационарное уравнение Шредингера - в помощь студенту , где потенциальная энергия микрочастицы. Для одномерного случая . Кроме того, внутри потенциального ящика , а вне ящика частица находиться не может, т.к. его стенки бесконечно высоки. Поэтому данное уравнение Шредингера записано для частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками.

  • Линейного гармонического осциллятора
  • ü Частицы в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками
  • Частицы в трехмерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками
  • Электрона в атоме водорода
  • №2
  • Установите соответствия между квантовомеханическими задачами и уравнениями Шредингера для них.

Стационарное уравнение Шредингера - в помощь студенту

Решение:

Общий вид стационарного уравнения Шредингера имеет вид:

Стационарное уравнение Шредингера - в помощь студенту

.Выражение для потенциальной энергии гармонического осциллятора ,т.е частицы совершающей одномерное движение под действием квазиупругой силы имеет вид U= .

Значение потенциальной энергии электрона в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками U=0.Электрон в водородоподобном атоме обладаем потенциальной энергией Для атома водородаZ=1 .

  1. Таким образом, для электрона в одномерном потенциальном ящике ур-ие Шредингера имеет вид:
  2. №3
  3. С помощью волновой функции ,являющейся решением уравнения Шредингера ,можно определить….
  4. Варианты ответа: (Укажите не менее двух вариантов ответа)
  5. Средние значения физических величин ,характеризующих частицу
  6. Вероятность того,что частица находится в определенной области пространства
  • Траекторию частицы
  • Местонахождение частицы
  • Решение:

Величина имеет смысл плотности вероятности(вероятности,отнесенной к единице объема),т.е определяет вероятность пребывания частицы в соответствующем месте пространства.Тогда вероятность W обнаружения частицы в определенной области пространства равна

  1. Уравнение Шредингера (конкретные ситуации)
  2. №1Собственные функции электрона в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками имеют вид где ширина ящика, квантовое число, имеющее смысл номера энергетического уровня. Если число узлов функции на отрезке и , то равно…
  3. Решение.

Число узлов , т.е. число точек, в которых волновая функция на отрезке обращается в нуль, связано с номером энергетического уровня соотношением . Тогда , и по условию это отношение равно 1,5. Решая полученное уравнение относительно , получаем, что

  • 5
  • ü 4
  • 2
  • 6
  • Ядерные реакции.
  • №1В ядерной реакции буквой обозначена частица …
  • Решение.

Из законов сохранения массового числа и зарядового числа следует, что заряд частицы равен нулю, а массовое число равно 1. Следовательно, буквой обозначен нейтрон.

  1. ü Нейтрон
  2. Позитрон
  3. Электрон
  4. Протон
  5. №2
  6. На графике в полулогарифмическом масштабе показана зависимость изменения числа радиоактивных ядер изотопа от времени.Постоянная радиоактивного распада в равна …(ответ округлите до целых)
  7. Решение:
  8. Число радиоактивных ядер изменяется со временем по закону -начальное число ядер, -постоянная радиоактивного распада.Прологарифмировав это выражение,получим
  9. ln .Следовательно, =0,07
  10. Законы сохранения в ядерных реакциях.
  11. №1
  12. Реакция не может идти из-за нарушения закона сохранения …
  13. Решение.

Во всех фундаментальных взаимодействиях выполняются законы сохранения: энергии, импульса, момента импульса (спина) и всех зарядов (электрического , барионного и лептонного ).

Эти законы сохранения не только ограничивают последствия различных взаимодействий, но определяют также все возможности этих последствий. Для выбора правильного ответа надо проверить, каким законом сохранения запрещена и какими разрешена приведенная реакция взаимопревращения элементарных частиц.

Согласно закону сохранения лептонного заряда в замкнутой системе при любых процессах, разность между числом лептонов и антилептонов сохраняется. Условились считать для лептонов: . лептонный заряд а для антилептонов: . лептонный заряд .

Для всех остальных элементарных частиц лептонные заряды принимаются равными нулю. Реакция не может идти из-за нарушения закона сохранения лептонного заряда , т.к.

  • ü Лептонного заряда
  • Барионного заряда
  • Спинового момента импульса
  • Электрического заряда
  • №2
  • Реакция не может идти из-за нарушения закона сохранения…
  • Решение:

Во всех фундаментальных взаимодействиях выполняются законы сохранения: энергии,импульса,момента импульса(спина)и всех зарядов(электрического Q,барионного B и лептонного L).

Эти законы сохранения не только ограничивают последствия различных взаимодействий,но определяют также все возможности этих последствий.

Согласно закону сохранения барионного заряда B,для всех процессов с участием барионов и антибарионов суммарный барионный зарад сохраняется. Барионам (нуклонам n,p и гиперонам)приписывается барионный заряд

B=-1,а всем остальным частицам барионный заряд-B=0.Реакция не может идти из-за нарушения закона барионного заряда B,т.к (+1)+(+1)

  1. Варианты ответа: ,лептонного заряда,спинового момента импульса,электрического заряда.
  2. №3
  3. Законом сохранения электрического заряда запрещены реакции…
  4. Варианты ответа(не менее 2):
  5. Решение:
Читайте также:  Дети-инвалиды как объект социальной работы - в помощь студенту

При взаимодействии элементарных частиц и их превращении в другие возможны только такие процессы,в которых выполняются законы сохранения,в частности закон сохранения электрического заряда:суммарный электрический заряд частиц,вступающих в реакцию,равен суммарному электрическому заряду частиц,полученных в результате реакции.Электрический заряд Q в единицах элементарного заряда равен:у нейтрона (n) Q=0,протона (P) Q=+1, электрона ( )Q=-1,позитрона ( ) Q=+1,электронного нейтрино и антинейтрино ( Q=0, антипротона ( Q=-1, мюонного нейтрино ( )Q=0, мюона ( ) Q=-1.Закон сохранения электрического заряда не выполняется в реакциях:

Фундаментальные взаимодействия.

№1Известно четыре вида фундаментальных взаимодействий. В одном из них участниками являются все заряженные частицы, обладающие магнитным моментом, переносчиками –фотона. Этот вид взаимодействия характеризуется сравнительной интенсивностью , радиус его действия равен …

Решение.

Все перечисленные характеристики соответствуют электромагнитному взаимодействию. Его радиус действия равен бесконечности.

  • ü
  • Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Источник: https://zdamsam.ru/a38341.html

Шрёдингер и его уравнение — лекции на ПостНауке

ВИДЕО ON THE EDGE

В гиде On the Edge, который мы подготовили вместе с Отделом культуры и образования Посольства Великобритании в Москве, профессора из ведущих британских университетов объясняют 15 главных научных тем, которые должен понимать каждый образованный человек. Следите за новостями проекта и будьте на крае науки вместе с нами.

9 ноября 1933 года великий австрийский физик Эрвин Шрёдингер пришел в кабинет, где я сейчас работаю, — в кабинет президента Оксфордского колледжа Магдалины (Magdalen College). Шрёдингер был на Сольвеевском конгрессе в Брюсселе; он приехал сюда и в тот день был принят в число членов научного общества колледжа.

На той церемонии использовались те же латинские фразы, что и сейчас. После церемонии в этой комнате зазвонил телефон: это была лондонская газета The Times, которая сообщила, что Шрёдингеру только что присудили Нобелевскую премию. Он услышал новость в этой самой комнате.

На следующий день The Times и The Telegraph написали, что Шрёдингер из Оксфордского университета получил Нобелевскую премию, хотя раньше работал в Берлинском университете.

За что Шрёдингер получил Нобелевскую премию? За работу, написанную в 1926 году, где ввел свое знаменитое уравнение. До этого энергию электронов в атомах объясняла теория известного физика Нильса Бора. Она объясняла спектр атома водорода и предлагала формулы для его энергетических уровней. Но теория Бора плохо работала для других атомов и молекул, она не была всеобщей.

Шрёдингер же предложил общее уравнение, которое работало для атома водорода, а также позволяло предсказать не только его энергетические уровни, но и интенсивность спектральных линий: он мог предсказать, насколько интенсивны будут эти линии. Это было что-то новое.

Даже его коллеги или те, кто с ним соперничал, как Гейзенберг, не знали, как это сделать, а Шрёдингер добился этого своим уравнением.

Стационарное уравнение Шредингера - в помощь студентуСверхтекучесть и критерий Ландау

В том же году он понял, что может применить свое уравнение не только к энергетическим уровням атома водорода, но и к другим задачам. Например, к колебаниям гармонического осциллятора или вращению двухатомной молекулы можно применить то же уравнение и получить результаты, которые согласуются с экспериментальными данными.

Затем Шрёдингер понял, что его уравнение можно адаптировать не только для простых процессов, но и для процессов, которые зависят от времени. На самом деле есть два уравнения Шрёдингера: так называемое стационарное уравнение и временно́е.

Но это уравнение стало так важно, поскольку многие ученые по всему миру поняли, что оно работает не только для атома водорода — этот принцип работает для всех атомов и молекул. Это значит, что его можно было применять почти ко всему, к любым атомам и молекулам. Уравнение Шрёдингера можно использовать для вычисления всех их свойств.

Если решить его без ошибок, вы получите правильный ответ. Так что это была мощная теория для всех атомов и молекул, основанная на великой работе Шрёдингера 1926 года.

Проблема в том, что это уравнение математически довольно сложное. Его трудно решить для более сложных объектов, чем атом водорода. Даже для атома гелия придется использовать довольно трудные приемы интегрирования и дифференцирования. Так что поначалу оно не сильно поменяло науку.

Все изменилось, когда появились компьютеры: тогда стало возможно использовать их для вычисления результатов, и чем дальше, тем точнее они становились.

Это значит, что уравнение Шрёдингера стало возможно применять к все более сложным системам и атомам, теперь даже к твердым веществам и биологическим задачам: вы можете применить уравнение Шрёдингера к белкам, энзимам, ДНК и так далее.

В современном мире это очень мощная теория, которая лежит в основе всей химии и молекулярной биологии. В науке о материалах — понимании свойств материалов — вы тоже можете применить такие вычисления, и многие этим занимаются. Даже в геологии вы можете вычислить температуру центра Земли, используя вариант уравнения Шрёдингера.

В XXI веке это уравнение стало почти незаменимым в моделировании атомов и молекул. Предыдущий метод, который использовали до Шрёдингера, разработал Исаак Ньютон — это его законы.

Вы можете моделировать атомы и молекулы при помощи законов Ньютона, но они не описывают эффекты квантовой механики, например туннельный эффект или квантовую вероятность.

Эти законы на атомах и молекулах не работают, но уравнение Шрёдингера — да.

Шрёдингер приехал сюда в 1933 году, чтобы работать здесь, в Оксфорде. Он был сотрудником моего колледжа, читал лекции о квантовой теории в Оксфордском университете. Но он не был счастлив.

У него была позиция вроде младшего научного сотрудника — и это после Берлинского университета, в котором он был важнейшим профессором. Его позицию обновляли каждый год, ее финансировала химическая компания ICI. Так что он не был счастлив.

Он прожил здесь всего три года: скучал по своим берлинским друзьям. Был очень дружен с Максом Планком — человеком, который открыл квантовую теорию. Дружил с Эйнштейном, который в 1920-х годах тоже жил в Берлине.

Он был несчастлив, так что три года спустя решил переехать в свою родную страну — Австрию, где ему предложили позиции в Грацском, а также Венском университете, куда Шрёдингер и отправился.

Стационарное уравнение Шредингера - в помощь студентуСверхпроводимость и магнетизм

Он покинул Берлин в 1933 году, поскольку его не устраивала тогдашняя политика Германии. Наука и политика в те дни были смешаны. Ему не нравилось, что творили нацисты, и он отправился в Оксфорд, но затем совершил ошибку: вернулся в Австрию. Он не знал, что там начнутся проблемы: войска Гитлера заняли ее в 1938 году. Шрёдингеру пришлось бежать.

Некоторые даже переживали, что его могли арестовать, но он смог сбежать и уехал ненадолго в Ватикан, а затем с ним связался премьер-министр Ирландии де Валера, предложивший ему работать в Ирландии.

Шрёдингер смог вернуться сюда, в Оксфордский колледж Магдалины, в 1938 году, а затем отправился в Ирландию и начал работать в Дублинском институте перспективных исследований, где написал еще одну важную работу./p>

Он размышлял об атомах и молекулах и понял, что фундаментальные принципы физики и химии, в том числе квантовую механику, можно применить и к биологическим молекулам, таким как ДНК и белки, которые в конце 1940-х только начинали изучать. Шрёдингер написал в Дублине небольшую книгу под названием «Что такое жизнь?», в которой говорилось, что базовые принципы физики и химии можно применить в биологии.

Сейчас все это знают: вся область молекулярной биологии объясняется этими базовыми принципами, но тогда об этом не задумывались.

Некоторые молодые ученые того времени, например Уотсон и Крик, прочитали его книгу и подумали: стоит заняться молекулярной биологией.

Так они и поступили, и в 1950-х произошли великие открытия — скажем, открытие Уотсоном и Криком структуры ДНК, а затем РНК и других биологических молекул. Все эти открытия были вдохновлены небольшой книгой Шрёдингера.

Так что он был выдающимся человеком, который создал базовую квантовую теорию, лежащую в основе всех свойств наблюдаемых нами атомов и молекул, а также начал революцию в молекулярной биологии, которая продолжается до сих пор. Он был крайне влиятельным человеком. Он не был популярным, один написал все свои работы.

Сейчас ученые работают в больших исследовательских группах, но Шрёдингер все сделал сам. Он был индивидуалистом и никогда не был счастлив на одном месте. Он не был счастлив здесь, в Оксфордском колледже Магдалины.

Свои классические работы написал в Цюрихе, где жил несколько лет в начале 1920-х годов, и в Ирландии тоже жил недолго.

Стационарное уравнение Шредингера - в помощь студенту

После Второй мировой войны он решил вернуться в Австрию, где во времена Гитлера у него были проблемы. Но там его встретили как героя: его портрет печатали на банкнотах и марках, в его честь назвали кратер на Луне, и он стал одним из величайших людей Австрии того времени. Но мы все еще помним его здесь, в Оксфорде, и счастливы, что великий ученый Шрёдингер сюда приезжал.

Есть и другая точка зрения: темная материя может существовать не в виде отдельных частиц, а в форме волны, проходящей через Вселенную. В зависимости от того, какова плотность этой волны, получается какое-то количество темной материи. Некоторые ученые исследуют такую возможность.

Мои исследования связаны с квантовой химией, то есть решением уравнений Шрёдингера для атомов и молекул, в особенности для химических реакций. Так что он мой научный герой. Как президент колледжа Магдалины, я работаю в том же кабинете, где Шрёдингер услышал, что он получил Нобелевскую премию. Для меня это непередаваемые ощущения.

Источник: https://postnauka.ru/video/99266

Уравнение Шрёдингера

Согласно фольклору, столь распространенному среди физиков, случилось это так: в 1926 году физик-теоретик по имени Эрвин Шрёдингер выступал на научном семинаре в Цюрихском университете. Он рассказывал о странных новых идеях, витающих в воздухе, о том, что объекты микромира часто ведут себя скорее как волны, нежели как частицы.

Тут слова попросил пожилой преподаватель и сказал: «Шрёдингер, вы что, не видите, что всё это чушь? Или мы тут все не знаем, что волны — они на то и волны, чтобы описываться волновыми уравнениями?» Шрёдингер воспринял это как личную обиду и задался целью разработать волновое уравнение для описания частиц в рамках квантовой механики — и с блеском справился с этой задачей.

Тут необходимо сделать пояснение.

В нашем обыденном мире энергия переносится двумя способами: материей при движении с места на место (например, едущим локомотивом или ветром) — в такой передаче энергии участвуют частицы — или волнами (например, радиоволнами, которые передаются мощными передатчиками и ловятся антеннами наших телевизоров).

То есть в макромире, где живём мы с вами, все носители энергии строго подразделяются на два типа — корпускулярные (состоящие из материальных частиц) или волновые. При этом любая волна описывается особым типом уравнений — волновыми уравнениями.

Все без исключения волны — волны океана, сейсмические волны горных пород, радиоволны из далеких галактик — описываются однотипными волновыми уравнениями. Это пояснение нужно для того, чтобы было понятно, что если мы хотим представить явления субатомного мира в терминах волн распределения вероятности (см. Квантовая механика), эти волны также должны описываться соответствующим волновым уравнением.

Шрёдингер применил к понятию волн вероятности классическое дифференциальное уравнение волновой функции и получил знаменитое уравнение, носящее его имя.

Подобно тому как обычное уравнение волновой функции описывает распространение, например, ряби по поверхности воды, уравнение Шрёдингера описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства. Пики этой волны (точки максимальной вероятности) показывают, в каком месте пространства скорее всего окажется частица.

Хотя уравнение Шрёдингера относится к области высшей математики, оно настолько важно для понимания современной физики, что я его все-таки здесь приведу — в самой простой форме (так называемое «одномерное стационарное уравнение Шрёдингера»).

Вышеупомянутая волновая функция распределения вероятности, обозначаемая греческой буквой ψ («пси»), является решением следующего дифференциального уравнения (ничего страшного, если оно вам не понятно; главное — примите на веру, что это уравнение свидетельствует о том, что вероятность ведёт себя как волна):

Стационарное уравнение Шредингера - в помощь студенту

где x — расстояние, h — постоянная Планка, а m, E и U — соответственно масса, полная энергия и потенциальная энергия частицы.

Картина квантовых событий, которую дает нам уравнение Шрёдингера, заключается в том, что электроны и другие элементарные частицы ведут себя подобно волнам на поверхности океана.

С течением времени пик волны (соответствующий месту, в котором скорее всего будет находиться электрон) смещается в пространстве в соответствии с описывающим эту волну уравнением.

То есть то, что мы традиционно считали частицей, в квантовом мире ведёт себя во многом подобно волне.

Когда Шрёдингер впервые опубликовал свои результаты, в мире теоретической физики разразилась буря в стакане воды. Дело в том, что практически в то же время появилась работа современника Шрёдингера — Вернера Гейзенберга (см.

Принцип неопределенности Гейзенберга), в которой автор выдвинул концепцию «матричной механики», где те же задачи квантовой механики решались в другой, более сложной с математической точки зрения матричной форме.

Переполох был вызван тем, что ученые попросту испугались, не противоречат ли друг другу два в равной мере убедительных подхода к описанию микромира. Волнения были напрасны.

Сам Шрёдингер в том же году доказал полную эквивалентность двух теорий — то есть из волнового уравнения следует матричное, и наоборот; результаты же получаются идентичными. Сегодня используется в основном версия Шрёдингера (иногда его теорию называют «волновой механикой»), так как его уравнение менее громоздкое и его легче преподавать.

Однако представить себе и принять, что нечто вроде электрона ведёт себя как волна, не так-то просто. В повседневной жизни мы сталкиваемся либо с частицей, либо с волной. Мяч — это частица, звук — это волна, и всё тут. В мире квантовой механики всё не так однозначно.

На самом деле — и эксперименты это вскоре показали — в квантовом мире сущности отличаются от привычных нам объектов и обладают другими свойствами.

Свет, который мы привыкли считать волной, иногда ведёт себя как частица (которая называется фотон), а частицы вроде электрона и протона могут вести себя как волны (см. Принцип дополнительности).

Эту проблему обычно называют двойственной или дуальной корпускулярно-волновой природой квантовых частиц, причем свойственна она, судя по всему, всем объектам субатомного мира (см. Теорема Белла).

Мы должны понять, что в микромире наши обыденные интуитивные представления о том, какие формы может принимать материя и как она себя может вести, просто неприменимы. Сам факт, что мы используем волновое уравнение для описания движения того, что привыкли считать частицами, — яркое тому доказательство.

Как уже отмечалось во Введении, в этом нет особого противоречия. Ведь у нас нет никаких веских оснований полагать, будто то, что мы наблюдаем в макромире, должно с точностью воспроизводиться на уровне микромира.

И тем не менее дуальная природа элементарных частиц остается одним из самых непонятных и тревожащих аспектов квантовой механики для многих людей, и не будет преувеличением сказать, что все беды начались с Эрвина Шрёдингера.

См. также:

Источник: https://elementy.ru/trefil/21/Uravnenie_Shryodingera

Стационарное уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера

Для частиц квантового мира существуют другие законы, чем для объектов классической механики. Согласно предположению де Бройля, микрообъекты обладают свойствами как частиц, так и волн — и, действительно, при рассеянии пучка электронов на дыре наблюдается дифракция, характерная для волн.

Поэтому мы можем говорить не о траекториях квантовых частиц, а о вероятности того, что частица будет находиться в определенной точке в определенный момент времени.

Что описывает уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера предназначено для описания особенностей движения квантовых объектов в полях внешних сил. Часто частица движется через силовое поле, которое не зависит от времени. Для этого случая стационарное уравнение Шредингера записывается:

В представленном уравнении m и Е — масса и, соответственно, энергия частицы, находящейся в силовом поле, U — потенциальная энергия этого поля. является оператором Лапласа. — постоянная Планка, равная 6.626 • 10-34 Дж • с.

Следовательно, с вероятностью можно найти функцию в конечном объеме:

Так как функция psi является вероятностью, она может быть не меньше нуля и не превосходить ее. Полная вероятность нахождения частицы в бесконечном объеме является условием нормировки:

Стационарное уравнение Шредингера имеет много решений, но решение должно учитывать граничные условия и выбирать только собственные решения — те, которые имеют физический смысл. Такие решения существуют только для индивидуальных значений энергии частиц E, которые образуют дискретный энергетический спектр частицы.

  • Примеры решения проблем
  • ПРИМЕР 1
Читайте также:  Митрополит алексий – государственная деятельность - в помощь студенту
  • Задача

    Волновая функция описывает расстояние электрона до ядра водорода: — расстояние между электроном и ядром, а — первый боровский радиус. На каком расстоянии от ядра электрона, скорее всего, есть?

  • Решение
    1. 1) Выражая объем через радиус ядра, находим вероятность того, что электрон находится на некотором расстоянии от ядра:
    2. 2) Вероятность того, что электрон находится в элементарном «кольце» dr:
    3. 3) Чтобы найти наиболее вероятное расстояние, мы найдем экстремум из последнего выражения:
    4. Решив это уравнение, получим r = a — наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром.
  • Ответ
    • r = a — с наибольшей вероятностью ядро расположено на расстоянии от первого боровского радиуса от ядра.
    • ПРИМЕР 2
  • Задача

    Найти уровни энергии частиц в бесконечно глубокой потенциальной яме.

  • Решение.

    Пусть частица движется по оси абсцисс. Ширина ямы — л. Мы подсчитываем энергию со дна ямы и описываем ее как функцию:

    1. Стационарное уравнение Шредингера
    2. Запишем одномерное стационарное уравнение Шредингера:

    Рассмотрим граничные условия. Поскольку мы считаем, что частица не может проникнуть за стены, она находится вне ямы . На границе скважины psi-функция также равна нулю: . В яме потенциальная энергия U = 0.

    • Тогда уравнение Шредингера, записанное для ямы, будет упрощено:
    • В форме это DU гармонического осциллятора:
    • Общее решение для этого выражения:
    • Подставим в последнюю формулу
    • Заменить условие на границе:
    • Поскольку мы заменили , то энергия квантовой частицы:
    • Энергия частицы квантуется — она принимает только дискретные значения.
  • Ответ
    1. Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/stacionarnoe-uravnenie-shredingera/

      Решение нестационарного уравнения Шредингера в этом случае имеет вид

      ЛЕКЦИЯ 13

      ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ МЕХАНИКУ (продолжение)

      13.1 Уравнение Шредингера для свободной частицыПри свободном движении частицы ее потенциальная энергия

      = 0, а скорость движения постоянна . Направим ось х вдоль вектора , а при соответствующем выборе начала отсчета потенциальной энергии положим U = 0. Тогда стационарное уравнение Шредингера (12.11) примет вид:

      Уравнение (13.1) имеет решение, которое представим в комплексном виде

      где А и В – некоторые постоянные.

      Решение нестационарного уравнения Шредингера в этом случае имеет вид:

      Полученное решение представляет собой суперпозицию двух плоских монохроматических волн с циклической частотой , одна из которых распространяется в положительном направлении оси х с амплитудой А, другая  в противоположном направлении с амплитудой В. Из сопоставления с формулой (13.5) для плоской монохроматической волны следует, что волновое число k для свободной частицы равно .

      Таким образом, свободной частице в квантовой механике сопоставляется плоская монохроматическая волна де Бройля.

      13.2 Решение стационарного уравнения Шредингера для частицыв бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямеРассмотрим движение частицы вдоль направления х, при этом движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками: х = 0 и х = l. Потенциальная энергия U в этом случае равна (рис.13.1):

      U = 0 при 0  xl,

      U = ∞ при x < 0 и x > l.

      Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид:

      Вероятность обнаружить частицу за пределами ямы равна нулю, так как частица не может обладать бесконечно большой энергией. Из условия непрерывности волновой функции следует, что должна быть равна нулю и на границах ямы, т. е.

      (13.4)

      Рис. 13.1В области, где  не равна тождественна нулю, уравнение (13.3) принимает вид:

      Обозначим , тогда (13.5) примет вид

      Решение такого уравнения, как известно, имеет вид:

      • (x) = Asin(x + ).
      • (0) = Asin  = 0,
      • откуда следует, что  = 0. Из условия, что (l) = Asin l = 0 имеем:

      Найдем  и , используя граничные условия (13.4) Из условия (0) = 0 получаем:

      l = n, (n = 1, 2, 3, …). (13.6)

      Из соотношения (13.6) вытекает, что решение уравнения (13.5) будут иметь физический смысл не при всех значениях энергии Е, а только при значениях, удовлетворяющих условию:

      (n = 1, 2, 3, …)

      откуда:

      (n = 1, 2, 3, …). (13.7)

      Соотношение (13.7) указывает на то, что другие значения энергии частицы чем En невозможны: вероятность обнаружить внутри потенциальной ямы частицу с энергией, отличной от E, равна нулю. Физические величины, которые могут принимать лишь определенные дискретные значения, называются квантованными.

      1. Таким образом, энергия частицы, находящейся в потенциальной яме, квантуется.
      2. ^ пназываются уровнями анергии, а числа п, определяющие энергетические уровни электрона, называются квантовыми числами.
      3. Для определения коэффициента А воспользуемся условием нормировки волновой функции, которое в данном случае запишем:

      Интеграл в последнем выражении равен . В результате получим , откуда .

      Таким образом, собственная функция частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме имеет вид:

      . (13.8)

      Г

      рафики плотности вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенки ямы при разных значениях n.Рис. 12.

      3

      Например, для потенциальной ямы с размерами, соизмеримыми с размерами атома величина l ~ 10–8 м, и собственные значения энергии электрона образуют последовательность энергетических уровней, расстояние между которыми ΔE = En+1 – En  1 эВ. В потенциальной яме макроскопических размеров ~1 см соседние энергетические уровни отличаются друг от друга на величину ~10–14 эВ.

      ^

      Классический гармонический осциллятор представляет собой шарик с массой т, подвешенный на пружине. Если мы направим ось x вдоль оси пружины и за начало отсчета примем положение равновесия шарика, то сила F, действующая на шарик, будет связана с координатой х известной формулой F = –kx, где k – жесткость пружины.

      Потенциальная энергия шарика имеет вид

      U = kх2/2. (13.9)

      Если такой шарик вывести из состояния равновесия, то он будет совершать гармонические колебания с частотой  = (k/m)1/2.

      Из (13.9) видно, что потенциальная кривая гармонического осциллятора является параболой. Поэтому задача о гармоническом осцилляторе – это задача о поведении частицы в потенциальной яме параболической формы.

      Для решения задачи о квантовомеханическом осцилляторе необходимо найти конечное, однозначное, непрерывное и гладкое решение уравнения Шредингера при U = –2/2, т. е. уравнения

      . (13.10)

      Точное решение уравнения (13.10) приводит к следующему выражению для спектра возможных значений энергии осциллятора:

      • ,
      • где п = 0, 1, 2, ….
      • Отсюда видно, что наименьшее значение энергии осциллятора не равно нулю. Значение энергии осциллятора при n = 0
      • называется «нулевой энергией».
      • Квантовомеханическая частица не может «лежать» на дне параболической потенциальной ямы, точно так же как она не может лежать на дне прямоугольной, или какой бы то ни было другой потенциальной ямы конечной ширины.
      • ^

      Чтобы «раскачать» осциллятор, нужно добавить ему энергию, равную разности энергий соседних уровней. Изменение (например, приращение) энергии осциллятора соответствует переходам между уровнями энергии En(указаны стрелками).

      Рис.13.3

      На рис. 13.4, аграфики волновых -функций, являющихся решениями уравнения (13.10) при п = 0, 1, 2 и 6; вдоль оси х отложены отрезки, равные удвоенным амплитудам колебаний классического осциллятора при Е, равных E.

      На рис. 13.4, б сплошными кривыми изображены кривые распределения плотности вероятности |(x)|2 для тех же состояний квантового осциллятора, а пунктиром – плотность вероятности найти классический осциллятор в окрестности точки х.

      1. а
      2. б

      Рис. 13.4

      Видно, что при малых квантовых числах п квантовомеханический осциллятор ведет себя совершенно иначе, чем классический.

      Вероятность найти классический осциллятор всегда является наибольшей для точек поворота, так как в этих точках его скорость равна нулю, а для квантовомеханического осциллятора вероятность оказывается максимальной в точках, соответствующих «пучностям» -функции.

      Но при больших п усредненная кривая для распределения плотности вероятности квантовомеханического осциллятора хорошо согласуется с кривой для классического осциллятора.

      Следует отметить еще одну особенность квантовомеханического осциллятора:

      квадрат функции |(x)|2 не равен нулю за точками поворота (т. е. вне пределов, ограничивающих движение классического осциллятора).

      ^

      Если же высота ямы конечная, то в силу «размытости» волновой функции частицы (см. например, рис. 13.4, б) существует не равная нулю вероятность того, что частица может находиться за пределами потенциальной ямы.

      Рассмотрим потенциальную яму, изображенную на рис. 13.5. Это изображение отличается от рис. 13.1 тем, что область, в которой потенциальная энергия отлична от нуля, занимает узкий интервал, от а доb

      • Область а < х < b называют потенциальным барьером.
      • Просачивание частиц сквозь потенциальный барьер носит название туннельного эффекта.

      Рис. 13.5

      Для описания туннельного эффекта вводится понятие прозрачности D потенциального барьера как отношение вероятностей нахождения частицы за барьером к вероятности нахождения частицы перед барьером. Вероятность нахождения частицы определяется квадратом волновой функции.

      Поэтому, прозрачность потенциального барьера равно отношению квадратов соответствующих волновых функций.

      Решение уравнения Шредингера для прямоугольного потенциального барьера конечной высоты U показывает, что прозрачность барьера шириной (b-a) выражается формулой

      , (13.11)

      где m  масса частицы, Е  полная энергия частицы. Туннельный эффект играет заметную роль когда линейные размеры потенциального барьера соизмеримы с атомными размерами, а масса частицы мала.

      ^ . При -распаде материнское ядро испускает -частицу, состоящую из двух протонов и двух нейтронов.

      При больших расстояниях взаимодействие между ядром -частицей описывается законом Кулона. На малых расстояниях (порядка размеров ядра) между дочерним ядром и -частицей начинают сказываться короткодействующие силы притяжения – ядерные силы.

      В результате высота потенциального барьера составляет примерно 20 МэВ, в то время как энергия -частиц обычно не превышает 7 МэВ.

      Поэтому, вероятность прохождения частиц сквозь барьер очень мала, вследствие чего периоды полураспада радиоактивных ядер, которые обратно пропорциональны коэффициентам прозрачности, очень велики.

      Равновесные свойства газов.

      ^

      2. Внутренняя энергия системы и способы ее изменения. Внутренняя энергия идеального газа.

      ^

      4. Распределение энергии молекул по степеням свободы

      ^ 13.5. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа.

      Предмет молекулярной физики

      Молекулярной физикой называют раздел физики, занимающийся изучением зависимости физических свойств и агрегат­ных состояний тел от их внутреннего строения, сил взаимодействия между частицами, образующими тела, и характера их движения.

      ^ Движение частиц хаотично, т. е., в среднем, в каждом направлении в любой момент времени движется одинаковое число молекул.

      В твердых кристаллических телах силы взаимодействия между частицами очень велики и поэтому молекулы не могут удалиться друг от друга на очень большие расстояния. В результате совместного вли­яния сил притяжения и отталкивания частицы твердых тел моле­кулы, атомы или ионы совершают колебания около некоторых средних положений, называемых узлами кристаллической решетки.

      ^

      Задача молекулярной физики заключается в том, чтобы описать состояние газа с помощью небольшого количества физических параметров (давления, температуры, массы, теплоемкости и т.д.), связав их с микроскопическими параметрами. Решение этой задачи достигается путем усреднения отдельных микроскопических величин.

      Основные положения кинетической теорииВ основе кинетической теории газов лежат следующие положения:

      1. ^
      2. 2. Расстояния между молекулами значительно превышают размеры самих атомов или молекул,
      3. ^

      4. Взаимодействие молекул между собой носит характер упругих столкновений.

      ^ .

      Внормальных условиях (давление p =105 Н/м2 , температура T0= 273 К) поведение большинства реальных газов может достаточно точно описываться законами идеального газа, но при сильных сжатиях конечный размер молекул приводит к заметному отклонению поведения реальных газов от идеального.

      ^ Рассмотрим объем газа в сосуде в виде куба (рис. 1.1, а) и определим давление на его стенку, например стенку I, перпендикулярную к осиx. В кинетической теории газов предполагается, что давление газа на стенку сосуда создается за счет упругих ударов молекул газа об эту стенку. Массы всех молекул считаются одинаковыми и равными m. При упругом ударе кинетическая энергия молекул сохраняется, и, следовательно, сохраняется, абсолютное значение скорости молекулы до и после ее удара о стенку. При упругом ударе под некоторым углом к поверхности стенки (см. рис. 1-1б) средняя сила, действующая на стенку вдоль оси z от соударений многих молекул, равна нулю. Поэтому передача импульса молекулы происходит только в направлении оси x (нормали к стенке). Проекция импульса на ось x изменяет свой знак (рис.1-1б).

      Обозначим через niколичество молекул в единице объема, проекции скорости которых на осьxравны ±υix.

      Положительная проекция соответствует острому углу между вектором скорости и направлением оси, а отрицательная – тупому углу (см. рис.1-1б).

      При хаотическом движении количество молекул, имеющих положительные и отрицательные проекции на данную ось можно считать одинаковым и равным ni /2, так как движение во всех направлениях равновероятно.

      Из выделенной группы молекул за промежуток времени t стенки II с площадью S достигнут лишь те молекулы, скорости которых направлены к стенке, и которые находятся от стенки на расстоянии, не превышающем υixt, или те молекулы, которые находятся внутри объема V= Sυixt . Тогда полное число ударов молекул, содержащихся в объеме V, о стенку за время tравно:

      . (1.11)

      Если до удара молекулы о стенку проекция импульса на ось x была равна mυix то после удара она станет равной (–mυix)). Изменение импульса одной молекулы ki при ударе молекулы о стенку равно импульсу, который передается стенке

      ki = mυix –(–mυix)) = 2 mυix.

      Рис.1.1

      В результате ударов всех молекул, которые имеют проекцию скорости υix, импульс, передаваемый стенке, будет равен

      Ki = kiNix= mυixniSυixΔt= mniSυix2Δt. (1.12)

      Чтобы найти общее изменение импульса всех молекул при ударах о стенку Кх в направлении оси х, нужно просуммировать выражение (1.12) по всем значениям скоростей молекул, т.е. по всем υix:

      . (1.13)

      Умножим и разделим правую часть (1.13) на концентрацию всех молекул в рассматриваемом объеме, которую обозначим через n:

      . (1.14)

      Величина в правой части есть среднее арифметическое, или просто среднее значение квадрата проекции скорости υix, которое обозначим . С учетом (1.14 ) выражение (1.13) примет вид:

      . (1.15)

      Давление на стенку в направлении оси х будет равно:

      . (1.16)

      Так как по второму закону динамики Fx= ΔКхt, то согласно (1.16):

      . (1.17)

      По закону Паскаля p = px = py= pz (py и pz — давление на стенки, перпендикулярные осям y и z, соответственно). Записывая выражения аналогичные (1.17) для давлений py и pz и складывая их, получим:

      . (1.18)

      Сумма средних квадратов проекций скоростей равна среднему квадрату полной скорости:

      . (1.19)

      Подставив (1.19) в равенство (1.18), получим:

      ,

      откуда:

      . (1.20)

      Формула (1.20) определяет величину давления газа на стенки сосуда. Величину давления можно выразить через среднюю кинетическую энергию, приходящуюся на одну молекулу εk. Для этого умножим и разделим на 2 правую часть соотношения (1.20):

      , (1.21)

      где: . Формула (1.21) связывает давление газа со средней кинетической энергией молекул идеального газа. Эту формулу называют основным уравнением кинетической теории газов.

      Пример 1-1. Оценка массы, средней энергии и скорости движения молекул в азоте при нормальных условиях.

      Массу молекулы азота можно определить из соотношения (1.8):

      При нормальном давлении p=105 Н/м2 в 1 м3 газа содержится n =

      = 2,7 · 1025 молекул (число Лошмидта). Согласно формуле (1.21) средняя кинетическая энергия молекулы равна:

      .

      Скорость движения молекул можно оценить по формуле:

      .

      Источник: http://mir.zavantag.com/matematika/41907/index.html

      Ссылка на основную публикацию