Собственные значения и собственные функции операторов — в помощь студенту

Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту

Функция f удовлетворяющая операторному уравнению Lf = lf называется собственной функцией оператора. Число (не переменная) l называется собственным значением оператора.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту

Пример:

Рассмотрим оператор дифференцирования

Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту

В первом случае функция f является собственной функцией оператора, собственное значение k. Во втором случае функция f не является собственной, т.к. не соответствует операторному уравнению (l содержит в себе переменную).

Основная задача квантовой химии сводится к нахождению собственных функций и собственных значений оператора полной энергии для молекул.

Является ли собственная функция единственной для оператора, или у него может быть несколько собственных функций?

Рассмотрим оператор дифференцирования:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Программы-оболочки - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту

Для оператора может существовать различное множество собственных функций. Причем собственные функции самосопряженного оператора ортогональны друг другу и образуют базис пространства функций.

Пусть есть разные операторы. Будут ли их собственные функции разными или они могут быть одинаковыми?

Если операторы коммутируют друг с другом , то они имеют общую систему собственных функций. Собственные функции коммутирующих операторов одни и те же.

Всегда ли разным собственным функциям отвечают разные собственные значения?

Рассмотрим оператор дифференцирования:

Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту

Собственные волновые функции для которых собственное значения одинаковые называются вырожденными.

Физический смысл собственного значения

Запишем операторное уравнение:

Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту

Умножим левую и правую часть равнения на комплексно-сопряженную функцию f* :

Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту

Проинтегрируем:

Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту

Собственное значение есть значение физической величины (из 5 постулата). Т.е. для оператора полной энергии системы (гамильтониана H) — собственное значение Е есть значение физической величины полной энергии системы.

1 следствие: константа Е в уравнении Шредингера является полной энергией системы.

Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту

2 следствие: Для любого состояния системы можно найти его энергию.

Проблема точных и средних значений физических величин. Энергия известна точно или это вероятностная величина?

Физическая величина определяется интегралом:

Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту

  • 1) Ψ — собственная, тогда физическая величина l — точное значение;
  • 2) Ψ — не собственная:
  • Ψ — не собственная:
  • Физическая величина вычисляемая по 5 постулату является точной, если волновая функция является собственной функцией оператора.
  • Если волновая функция не является собственной функцией оператора, то физическая является средней.
  • 2 следствия:
  • энергия любой системы может быть определена точно (это не средняя величина)
  • физические величины, соответствующие коммутирующим операторам могут быть одновременно определены с любой степенью точности. И обратное: если операторы не коммутируют, то их физические величины не могут быть одновременно точно определены.

Источник: https://OnLearning.ru/kvantovaya-himiya/operatornye-uravneniya

Математический аппарат квантовой механики. Самосопряжённые (эрмитовы) операторы. Собственные функции и собственные значения

  • Лекция №2.
  • План лекции:
  • математический аппарат квантовой механики.
  • Ключевые слова:
  • оператор
  • самосопряжённые (эрмитовы) операторы собственные функции и собственные значения
  • Математический аппарат квантовой механики.

Отличительной особенностью квантовой механики является то, что её объекты принадлежат микромиру, в то время как о состоянии этих объектов судят с помощью макроскопических приборов. Эти приборы в отличие от измеряемых ими объектов подчиняются законам классической физики и могут измерять лишь «классические» характеристики.

Поэтому как в классической, так и в квантовой механике присутствуют одни и те же динамические переменные. Однако, динамические переменные квантовой механики, как следует из принципа неопределённости, в общем случае, не имеют определённого значения и поэтому не могут непосредственно фигурировать в уравнениях.

В то же время одной из задач квантовой теории является определение спектра собственных значений наблюдаемой, а также вероятностей их получения и среднего значения наблюдаемой.

Для того, чтобы понять особенности построения математического аппарата квантовой механики рассмотрим частный случай, относящийся к процедуре вычисления среднего значения координаты. Для одномерного случая эта процедура состоит в вычислении интеграла (1.3).  Перепишем его в симметричном виде:

Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту                           (1.8), где в последнем интеграле Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту. Естественно предположить, что среднее значение произвольной наблюдаемой F определяется сходным интегральным выражением, билинейным по волновой функции. Представим это выражение по аналогии с (1.8) в виде:

Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту                                           (1.9), где Φ′(x) – функция, полученная путём некоторого преобразования волновой функци Ψ(х), причём конкретный вид этого преобразования должен, очевидно, зависеть от наблюдаемой. Это преобразование можно обозначить символом , который называется оператором наблюдаемой F (здесь и далее признаком оператора будет наличие значка ˆ над символом). Тогда можно записать

Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту

и выражение для среднего значения наблюдаемой приобретёт вид:

Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту

В частности, оператор координаты, как следует из сравнения выражений (1.11) и (1.8) сводится к умножению на координату. Операторы других наблюдаемых ещё предстоит установить. Однако прежде рассмотрим некоторые свойства операторов.

Будем считать, что оператор всегда действует на выражение, стоящее справа от него. Введём понятия суммы и произведения операторов. Суммой (произведением) операторов  и  называются операторы , которые удовлетворяют условиям

Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту

Заметим, что порядок действия операторов в произведении не является произвольным. В отличие от чисел, операторы нельзя переставлять местами, так как в общем случае . Если же порядок действия операторов не влияет на результат и , то говорят, что операторы  и  коммутируют.

Все операторы квантовой механики в силу принципа суперпозиции должны быть линейными, в дальнейшем будут рассматриваться только такие операторы. Оператор  называется линейным, если при действии на волновую функцию  вида он удовлетворяет условию

Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту

Каждому оператору можно поставить в соответствие эрмитово сопряжённый ему оператор , который определяется равенством

Читайте также:  Мультимедиапроектор - в помощь студенту

Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту

Оператор называется эрмитовым (самосопряжённым), если . В интегральном виде условие эрмитовости оператора имеет вид

Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту

При действии оператора на функцию может оказаться так, что в результате будет получена та же самая функция, умноженная на константу:

Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту

Функция, удовлетворяющая условию , называется собственной функцией, а постоянная λ – собственным значением оператора . У операторов имеется множество собственных функций  и соответствующих этим функциям собственных значений λ. Совокупность собственных значений образует спектр собственных значений оператора.

  Этот спектр может быть непрерывным или дискретным. В первом случае собственные значения образуют непрерывный континуум, во втором – счётное множество значений λk, где k=1,2,… .

Если одному собственному значению λ  принадлежит несколько собственных функций , где α=1,2, …,s, то собственное значение λ является s–кратно вырожденным.

Можно показать, что собственные значения эрмитовых операторов являются действительными, а собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, удовлетворяют условию ортогональности

                              (1.16), где  и  собственные функции оператора , принадлежащие соответственно собственным значениям и . Для доказательства этого утверждения рассмотрим выражения

                           (1.17)

                         (1.18), в которых использовано условие (1.15). Проводя над (1.18) операцию комплексного сопряжения и вычитая его из (1.17) получим с учётом условия эрмитовости оператора

                                                                         (1.19).

Источник: https://vunivere.ru/work55367

Собственные функции и собственные значения операторов

Основные свойства собственных функций. Значения, которые может принимать данная физическая величина называют в квантовой механике ее собственными значениями. Нахождение таких значений тесно связано с математической задачей определения собственных функций и соответствующих им собственных значений оператора .

Если при действии оператора на некоторую функцию получается та же самая функция, умноженная на число, то есть если

, (3.43)

то такую функцию называют собственной функцией оператора , а число его собственным значением.

Квантовомеханические операторы имеют не одну, а множество собственных функций и соответствующих им собственных значений. При этом совокупность собственных значений называют спектром оператора. Спектр оператора считается дискретным, если он состоит из счетного множества значений для Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту соответствующих набору собственных функций , которые представляют собой регулярные решения уравнения вида

Собственные значения и собственные функции операторов - в помощь студенту (3.44)

Спектр собственных значений оператора может быть и непрерывным, когда в (3.43) оказываются возможными все значения , либо состоящим из отдельных полос, таких что возможные значения лежат в ряде интервалов.

В ряде случаев одному собственному значению оператора принадлежит не одна, а несколько собственных функций . Такие случаи называются вырожденными, а число таких функций называется кратностью вырождения.

Из (3.43) следует, что собственные функции, вообще говоря, определены с точностью до некоторой постоянной, значение которой обычно выбирают из условия нормировки собственных функций.

Докажем, что собственные числа операторов физических величин в квантовой механике всегда являются действительными числами, и это свойство обусловлено самосопряженностью операторов. Действительно, пусть — самосопряженный оператор, а — его собственная функция, соответствующая собственному значению . По определению, функция является решением уравнения

. (3.45)

Выполнив здесь операцию комплексного сопряжения, получим

. (3.46)

Если в соотношении (3.42), которое для самосопряженного оператора выполняется тождественно, положить , то в результате получим интегральное соотношение

, (3.47)

которое с учетом (3.45) и (3.46) преобразуется к виду

. (3.48)

Отсюда следует, что , т.е собственные значения самосопряженных операторов всегда являются действительными величинами.

Докажем важное свойство ортогональности собственных функций квантовомеханических операторов. Если и — две собственные функции самосопряженного оператора , соответствующие различным собственным значениям и , то они являются решениями следующих уравнений

. (3.49)

Условие (3.42) самосопряженности оператора , записанное для функций и принимает вид

. (3.50)

Отсюда с учетом (3.49) получаем

. (3.51)

Так как для самосопряженного оператора , то (3.51) преобразуется к виду

. (3.52)

Если , то , и из (3.52) получаем условие ортогональности собственных функций, соответствующих различным собственным значениям,

. (3.53)

Если волновые функции и считать нормированными на единицу, то условие ортогональности (3.53) собственных функций может быть записано как условие ортонормированности

, (3.54)

где символ Кронекера , и .

В математической теории линейных самосопряженных операторов доказывается, что система собственных функций квантовомеханических операторов является полной системой функций. Это означает, что всякая волновая функция , определенная в той же области переменных, что и собственные функции оператора, может быть разложена по собственным функциям, то есть представлена в виде ряда

. (3.55)

Коэффициенты этого разложения (в общем случае комплексные) можно определить, воспользовавшись ортогональностью собственных функций. Действительно, умножим ряд (3.55) на и проинтегрируем по всему пространству. Тогда, изменив порядок суммирования и интегрирования, получим

. (3.56)

Отсюда, меняя обозначение на , получаем формулу для определения коэффициентов в разложении (3.55):

. (3.57)

Если оператор имеет непрерывный спектр собственных значений , лежащих в интервале , то в разложении любой волновой функции по собственным функциям суммирование переходит в интегрирование. Поэтому

, (3.58)

и непрерывное множество коэффициентов определяется по формуле

. (3.59)

5. Уравнение Шредингера. Стационарное уравнение Шредингера.

Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрёдингера.

  • Пусть волновая функция задана в n-мерном конфигурационном пространстве, тогда в каждой точке с координатами , в определенный момент времени t она будет иметь вид . В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:
  • где , — постоянная Планка; — масса частицы, — внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке в момент времени , — оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла и в n-мерной системе координат имеет вид:



Источник: https://infopedia.su/10x4eaf.html

Описание наблюдаемых. Эрмитовы операторы. Собственные функции и собственные значения операторов

< Предыдущая СОДЕРЖАНИЕ Следующая >

Перейти к загрузке файла

Состояния квантовой системы характеризуются волновыми функциями, значения которых не могут быть измерены в опыте. В этом смысле состояния системы не наблюдаемы. Всякая теория должна рассматривать величины, значения которых могут измеряться в опытах, хотя бы в принципе. В квантовой механике их называют наблюдаемыми. Их значения должны быть действительными.

Постулат 1. Каждой наблюдаемой F ставится в соответствие линейный эрмитов оператор .
Постулат 2. Наблюдаемая F в любом квантово-механическом состоянии может принимать только те значения, которые являются собственными значениями ее оператора .

Рассмотрим некоторые необходимые математические определения, относящиеся к операторам.

Оператором называют правило, которое функции () ставит в соответствие функцию (): () = (). Примеры: операторы умножения на число, возведения в степень, умножения на некоторую функцию, однократного и многократного дифференцирования и т.д.

Оператор называют единичным, если для любой функции () имеет место () = ().

Суммой или разностью () операторов и называют оператор, для которого имеет место () = . Очевидна коммутативность и ассоциативность суммы операторов: , .

Умножение оператора на число эквивалентно умножению на это число результата действия оператора: (a) = a().

Оператор называют линейным, если для любых функций () и () имеет место (a + b) = a + b, где a и b — любые комплексные числа. Например, операторы умножения на функцию или число, операторы дифференцирования являются линейными, а операторы возведения в квадрат или в куб, операторы логарифмирования — нелинейными.

Произведением операторов называют оператор, действие которого на функцию сводится к последовательному применению сначала оператора , а затем : . Произведение операторов обладает свойством ассоциативности и дистрибутивности: , . В общем случае произведение операторов не коммутативно: .

Коммутатором операторов и называют их перестановочное соотношение, обозначаемое так: . Если операторы и коммутируют, то . Легко видеть, что .

Оператор -1 , удовлетворяющий условию , называют обратным оператору , если он существует.

Оператор называют эрмитовым (самосопряженным), если для произвольных функций 1* и 2 имеет место 1*2 d = 2 *1*d.

Уравнение вида = A, где A — число, — искомая функция, называют уравнением на собственные функции оператора . В общем случае решения этого уравнения существуют только для определенных значений An, называемых собственными значениями оператора : n = Ann, где n — соответствующие собственные функции.

Собственное значение называют невырожденным, когда ему соответствует (с точностью до постоянного множителя) лишь одна собственная функция. В противном случае собственные значения называют вырожденными (двукратно, трехкратно и т.д.).

Совокупность собственных значений {An} называют спектром оператора . Спектры операторов могут быть дискретными, непрерывными или смешанными.

Для определенности в дальнейшем будем рассматривать преимущественно операторы с дискретным спектром.

Физический смысл постулатов 1 и 2 помогают раскрыть следующие теоремы.

Теорема 1. Собственные значения линейных эрмитовых операторов являются действительными.

Доказательство. Пусть — линейный эрмитов оператор, собственные функции которого удовлетворяют уравнению

= F. (4.1)

Сопряженное ему уравнение имеет вид

** = F**. (4.2)

Умножив слева первое уравнение на *, а второе — на , проинтегрируем обе части каждого по всем возможным значениям переменных и вычтем почленно одно из другого. Оператор — эрмитов, поэтому

0 = (F — F*)* d. (4.3)

Так как * d > 0, получаем F = F*. Следовательно, F — действительное.

Определение. Говорят, что функции () и () взаимно ортогональны, если

*()()d = 0. (4.4)

Теорема 2. Собственные функции линейного эрмитова оператора, относящиеся к различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть n и m — собственные функции линейного эрмитова оператора , относящиеся к различным собственным значениям:

n = Fnn, (4.5)

*m* = Fmm*. (4.6)

Умножив слева первое уравнение на m*, а второе — на n, проинтегрируем обе части каждого по всем возможным значениям переменных и вычтем почленно одно уравнение из другого. Оператор — эрмитов, поэтому

0 = (Fn — Fm)m*n d. (4.7)

Так как по условию Fn Fm, получаем условие ортогональности:

m*n d = 0. (4.8)

Объединив условие ортогональности (4.8) собственных функций с условием нормировки (3.3), получаем условие, называемое условием ортонормированности собственных функций оператора наблюдаемой:

m*n d = mn, (4.9)

где mn — дельта-символ Кронекера,

mn = . (4.10)

Еще одним важным свойством оператора наблюдаемой является полнота системы его собственных функций, которая выражается условием

n*() = ( — ), (4.11)

где ( — ) — дельта-функция Дирака. По сути, условие полноты и является необходимым условием того, что соответствующий эрмитов оператор представляет наблюдаемую величину.

Источник: https://studwood.ru/1885852/matematika_himiya_fizika/opisanie_nablyudaemyh_ermitovy_operatory_sobstvennye_funktsii_sobstvennye_znacheniya_operatorov

Собственные функции и собственные значения операторов — Механика

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

В квантовой механике каждой динамической переменной (координате, импульсу, энергии и т.д.) ставится в соответствие линейный самосопряженный оператор. Оператором наз. правило или закон, согласно которому функции , из некоторого класса функций, ставится в соответствие другая функция φ.

Операторы обозначаются символом ^ , например, , , и т.д. Говорят, что оператор действует на функцию f или оператор переводит функцию

f в φ :

  • Например, = ; .
  • Действуя оператором на функцию, получим:
  • , .

Оператор определен на некотором классе функций. Оператор считается заданным, если указано не только правило, с помощью которого он преобразует одну функцию в другую, но и то множество функций, на которые действует этот оператор. Например, оператор дифференцирования определен на классе дифференцируемых функций.

Сумма или разность операторов означает

В общем случае , но если последовательность действия операторов не имеет значения, т.е. , то говорят, что эти операторы коммутируют или эти операторы коммутативны. Если операторы не коммутативны. Кроме коммутативных и некоммутативных операторов существуют антикоммутативные операторы: .

  1. Произведение 2-х одинаковых операторов: , n раз : .
  2. В квантовой механике большую роль играют линейные самосопряженные (эрмитовы) операторы. Свойство линейности означает, что
  3. Здесь и – постоянные
  4. и функции, на которых определен оператор .
  5. Условие линейности операторов можно записать так:
  6. Операторы могут иметь векторный характер. В квантовой механике часто встречается оператор набла:
  7. — орт-векторы (единичные).
  8. Произведение 2-х векторных операторов строится как скалярное произведение векторов:
  9. =
  10. Оператор , для которого выполняется следующее равенство, наз. самосопряженным или эрмитовым:
  11. От функций и требуется, чтобы оператор был определен на них и интегралы, входящие в это выражение, существовали.
  12. Знак * означает комплексное сопряжение. Например, для выражения
Читайте также:  Гжель - в помощь студенту

Для получения комплексной сопряженности числа, содержащего мнимую единицу, нужно заменить на — : .Вещественный оператор при комплексном сопряжении остается неизменным.

  • СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ
  • Когда в результате действия оператора на функцию, она не меняется или изменяется лишь на некоторый множитель, например, , то говорят, что – это собственное значение оператора , а функция — собственная функция оператора .
  • Условие, при котором оператор оставляет функцию f неизменной, с точностью до постоянного множителя, можно записать в виде: (1).

Здесь – постоянная, зависящая от вида оператора и функции. Очевидно, что не всякая функция f будет удовлетворять условию (1) и не при всяких значениях . Значения , при которых уравнение (1) имеет отличные от нуля решения, называются собственными значениями оператора .

Набор собственных значений называется спектром собственных значений оператора . Спектр может быть непрерывным и дискретным. Он является непрерывным, если уравнение (1) имеет решение при всех значениях в некотором промежутке. Спектр собственных значений может быть смешанным, т.е. состоять из непрерывных и дискретных значений.

Каждому собственному значению оператора соответствует собственная функция . В этом случае, говорят, что собственная функция принадлежит собственному значению . Если каждому собственному значению оператора принадлежит несколько различных функций , то говорят, что этот спектр -кратно вырожден.

Рассмотрим несколько важных свойств собственных значений и собственных функций.

  1. Теорема 1: Если оператор самосопряженный, то его собственные значения вещественны.
  2. Теорема 2: Собственные функции и самосопряженного оператора , принадлежащие разным собственным значениям и ,ортогональны между собой:
  3. . (2)
  4. В случае дискретного спектра интеграл имеет конечное значение.

Если вместо функции выберем функцию , то имеем . Замена функции на таким способом называется нормированием функции , а коэффициент — коэффициентом нормировки.

Функция называется нормированной. Собственные функции дискретного спектра всегда можно считать нормированными.

  • Условие ортогональности и нормировки вместе можно записать следующим образом:
  • (4)
  • — символ Кронекера.

Возможны случаи, когда разные собственные функции принадлежат одинаковым собственным значениям, т.е. имеет место вырождение. Вырожденные функции вообще говорят не ортогональны.

  1. Теорема 3: Если несколько собственных функций принадлежат одинаковым собственным значениям, то любая линейная комбинация из этих функций является решением того же операторного уравнения и с тем же собственным значением.
  2. Теорема 4: Если 2 оператора и имеют общую полную систему собственных функций, они коммутируют.
  3. Теорема 5: Если 2 оператора и коммутируют, то они имеют общие собственные функции.
  4. Теорема 6: Система собственных функций операторного уравнения полна. Это значит, что любую функцию , определенную в той же области переменных и подчиненную тем же граничным условиям, что и собственные функции дискретного спектра оператора , можно представить в виде ряда из этих собственных функций:

Источник: https://student2.ru/mekhanika/628865-sobstvennye-funkcii-i-sobstvennye-znacheniya-operatorov/

Собственные значения и собственные функции операторов

Физический смысл имеют те решения уравнения Шредингера:

которые удовлетворяют естественным (стандартным) условиям. Согласно им волновая функция должна быть конечнои̌, однозначнои̌, непрерывнои̌ и гладкой во всœем пространстве, да в точках разрыва потенциальнои̌ энергии. Решения, которые удовлетворяют данным требованиям, возможны не при любых значениях E , а только при некоторых, которые обозначим: E_1,E_2,dots , E_n.

Значения энергии ( E_1,E_2,dots , E_n. ), при которых уравнение (1) имеет необходимые решения, называют собственными значениями. При ϶том функции Psi_1, Psi_2, dots , Psi_n , которые являются решениями уравнения (1) при E=E_1,E=E_2,dots ,E= E_n называют собственными функциями, принадлежащими собственным значениям. В ϶том состоит сущность общᴇᴦο принципа квантования.

Собственные значения энергии E принимают за возможные значения энергии в соответствующих стационарных состояниях. Данные значения могут быть дискретными или непрерывными, при ϶том возникает дискретный или непрерывный энергетический спектр.

Рассмотрим уравнение вида:

Итак, значения, которые может принимать данная физическая величина в квантовой механике, называют собственными значениями. Совокупность собственных значений — спектр собственных значений рассматриваемой величины.

  • Если система находится в каком-то состоянии, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ характеризует волновая функция Psi , то проведение измерения некоторой величины a , относящейся к исследуемой системе, даст одно ᴎɜ собственных значений a_n.
  • Собственные значения всœех операторов физических величин принимают исключительно действительные значения.
  • Совокупность собственных функций составляет полную систему, ϶то значит, что любое состояние системы Psi представимо в виде единственного и однозначного разложения в ряд по собственным функциям:

Среднее значение физической величины

Среднее значение любой физической величины ( leftlangle A
ight
angle ) в квантовой механике определяется ᴎɜ вероятностного смысла волновой функции:

Аналогов такого усреднения в классической физике нет. В ней часто проводят усреднение по времени некоторой величиныВажно сказать, что для большого количества ц проводят усреднения по ансамблю, как например, вычисляют среднюю скорость движения молекул в веществе. В рассматриваемом нами случае усреднение производится по квантовому состоянию микрообъекта в фиксированный момент времени. Провести подобное усреднение эмпирически весьма затруднительно.

Дисперсия физической величины

Подобно теории вероятности в квантовой физике вводят дисперсию среднᴇᴦο значения координаты. Она определяет разброс полученных при измерении величин относительно среднᴇᴦο значения исследуемой координаты. Дисперсию при ϶том определяют как:

  1. где квадрат вредней величины импульса равен:
  2. Сделав обобщение, можно записать, что дисперсия некоторой величины A , которая определяет разброс результатов измерений по отношению к среднему, можно найти как:
  3. Отметим, что дисперсия величины A в собственном состоянии равна нулю, что означает физическая величина, имеет определенное значение, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ точно определено и равно собственному значению оператора hat{A}.

Пример 1

  • Задание: Используя уравнение hat{A}Psi=A Psi, найдите Psi -функцию состояния, в котором проекция импульса на ось X имеет определенную величину p_x .
  • Решение:
  • Используем выражение оператора импульса:
  • подставим ᴇᴦο в уравнение:
  • вместо оператора hat{A} , имеем:
  • Уравнению (1.3) удовлетворяет функция:
  • Данная функция удовлетворяет естественным условиям, то есть искомая функция найдена.
  • Ответ: Psi=e^{ifrac{p_xx}{hbar }}.

[{hat{p}}_x=-ihbar frac{partial }{partial x}(1.1)] [hat{A}Psi=APsi (1.2)] [-ihbar frac{partial }{partial x}Psi=p_x Psileft(1.3
ight) o frac{partial Psi}{Psi}=ifrac{p_x}{hbar }partial x o {ln left(Psi
ight) }=ifrac{p_x}{hbar }x.] [Psi=e^{ifrac{p_xx}{hbar }}.]

Пример 2

  1. Задание: Какова средняя кинетическая энергия цы в одномернои̌ прямоугольнои̌ потенциальнои̌ яме с непроницаемыми стенками ( 0
  2. Решение:
  3. Проведем нормирование функции Psileft(x
    ight). Найдем коэффициент A Важно сказать, что для запишем:
  4. Величина средней кинетической энергии определяется как:
  5. где

[intlimits^l_0{Psi^2dx}=A^2intlimits^l_0{x^2{left(l-x
ight)}^2dx}=frac{A^2l^5}{30} o A^2=frac{30}{l^5}left(2.1
ight).] [leftlangle E_k
ight
angle =intlimits^l_0{Psi^*}left({hat{E}}_k Psi
ight)dxleft(2.2
ight),] [left({hat{E}}_k Psi
ight)=-frac{{hbar }^2}{2m}frac{{partial }^2 Psi}{partial x^2}=-frac{{hbar }^2}{2m}frac{{partial }^2}{partial x^2}left(Axleft(l-x
ight)
ight)=frac{{hbar }^2}{2m}2A=frac{{hbar }^2}{m}Aleft(2.3
ight).]

Подставим результат выражения (2.3), стоящий в правой в формулу (2.2), имеем:

[leftlangle E_k
ight
angle =intlimits^l_0{Axleft(l-x
ight)}frac{{hbar }^2}{m}Adx=A^2frac{{hbar }^2}{m}left[intlimits^l_0{xldx-intlimits^l_0{x^2}}dx
ight]=frac{30}{l^5}frac{{hbar }^2}{m}left(frac{l^3}{2}-frac{l^3}{3}
ight)=frac{5}{l^2}frac{{hbar }^2}{m}.]

Ответ: leftlangle E_k
ight
angle =frac{5}{l^2}frac{{hbar }^2}{m}.

Источник: http://referatwork.ru/info-lections-55/tech/view/2064_sobstvennye_znacheniya_i_sobstvennye_funkcii_operatorov

Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов и их свойства. Случаи дискретного и непрерывного спектров

Начнем с дискретного спектра, т.к. ему соответствует квадратично-интегрируемые функции. Задача на собственные функции и собственные значения для дискретного спектра:

Так как эрмитов, то его собственные значения вещественны. Рассчитаем среднее . Если речь идет о физической величине, то это волновые функции, описывающие состояние системы. Если речь идет о математическом аппарате, то — это любые функции. Как частный случай рассмотрим , где — собственные функции оператора .

  • Так как — число, то его можно вынести за знак скалярного произведения, тогда:

— это среднее значение величины в i-ом квантовом состоянии. Так как среднее – вещественно, то и собственные значения вещественны. У эрмитового оператора собственные значения вещественны (все эрмитовы операторы имеют вещественные спектры).

  1. (11.2)
  2. Умножая (11.1) скалярно на слева, получим
  3. (11.3)
  4. Теперь (11.2) умножаем справа на , тогда
  5. (11.4)

Почленно из (11.3) вычтем (11.4):

(11.5)

т.к. — эрмитов ( ), то . Из (10.5) имеем

(11.6)

Рассмотрим случай невырожденного спектра. Спектр вырожденный, если одному собственному значению соответствует несколько собственных функций. Например:

Невырожденный спектр – все собственные значения различные.

1) Рассмотрим (11.6) при , тогда , .

2) Теперь пусть . В этом случае скалярное произведение . Обычно вводят нормировку .

Тогда случаи 1 и 2 дают условие ортонормированности:

Утверждается, что собственные функции эрмитового оператора с дискретным спектром образуют полную систему функций, т.е. обладают свойством полноты. Это верно для функций квантовой механики. Утверждение означает, что произвольную функцию можно разложить по собственным функциям эрмитового оператора как по базису.

Запишем это разложение:

, (11.7)

где индекс i пробегает по всем значениям, удовлетворяющим задаче (11.1).

Формулу (11.7) следует отличать от принципа суперпозиции

,

где — вес состояния и суммирование ведется по произвольным a=1,…,k. Заметим, что если (модель Юнга с ширмой и электроном), то .

Найдем коэффициенты из (11.7). Умножим скалярно (11.7) на , тогда имеем

  • Применяя условие ортонормированности, получим:
  • Тогда из (11.7) получаем
  • , (11.7/)
  • Далее
  • Из (11.7/) также можно получить еще одно соотношение:
  • — равенство Парсеваля (условие замкнутости).
  • Теперь рассмотрим случай непрерывного спектра.

У собственной функции индексом является собственное значение. Собственные значения непрерывны, они сплошь заполняют соответствующую числовую ось. В этом случае собственные функции не нормируемы (квадратично не интегрируемы). Используем искусственную операцию – введем понятие собственных дифференциалов, по формуле:

(11.8)

т. е. на числовой оси рассмотрим функции с равным весом на интервале . Собственные дифференциалы (11.8) квадратично-интегрируемы. Через рассмотренные собственные дифференциалы приходим к рассмотрению собственных функций.

Условие ортонормируемости: .

Здесь дает расходящийся интеграл, т. е. равен . Но для собственных дифференциалов имеем:

Собственные функции обладают свойством полноты, т. е. они образуют базис, по которому может быть разложена любая функция:

  1. ,
  2. По аналогии с дискретным спектром:
  3. — равенство Парсеваля
  4. § 12. Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии и их свойства

Будем использовать координатное представление (представление). Будем рассматривать систему из одной материальной точки. Действие сводитсяк умножению на вектор , т. е. (это определение действия оператора ).

  • Здесь строго соблюдается последовательность операторов при раскрытии векторного произведения, например, первая компонента:
  • ,
  • однако для частного случая декартовых координат порядок операторов не существенен.
  • Оператор энергии или гамильтониан :
  • ,
  • здесь — оператор кинетической энергии, — оператор потенциальной энергии. Для одной материальной точки гамильтониан имеет вид:
  • Переменная t – признак внешнего нестационарного поля.

Тут присутствует и , но и одновременно неизмеримы, тогда потенциальная и кинетическая энергия в квантовой механике не могут быть одновременно измеримыми. В квантовой механике существует понятие “энергия частицы”, но порознь вводить энергию нельзя, иначе либо , либо оказываются неизвестными.

Волновое уравнение

Надо сформулировать уравнение функции, которая описывала бы квантово-механическую систему.

Это уравнение было получено Шредингером интуитивным путем. Оно ниоткуда не выводится.

  1. Приведем некоторые соотношения в пользу уравнения Шредингера:
  2. Норма волновой функции:
  3. — вероятность обнаружить динамические переменные в интервале .

Наложим на — условие ее сохранения во времени. — это физическое требование, поскольку , то также функция времени.

На базе ограничения получим некоторые ограничения на .

Обозначим . Мы знаем, что , таким образом . Тогда само скалярное произведение — чисто мнимое число.

Но — число вещественное. Отсюда можно представить

(13.1)

Здесь мнимая единица из соотношения . Т. к. в (*) стоит линейный оператор , то это соотношение удовлетворяет принципу суперпозиции.

  • Подставим (13.1) в равенство , тогда
  • — эта величина должна быть чисто вещественной, тогда оператор — эрмитов: .
  • Свойства оператора :
  • В пределе перехода к классической механике: , то , где S – действие из классической механики. Причем , тогда рассматривая
  • , (13.2)
  • где — функция Гамильтона.

В нашем случае , тогда учитывая предельный переход и (13.2), то: .

  1. Получили волновое уравнение:
  2. — нестационарное уравнение Шредингера (волновое уравнение).
  3. Каждой системе ставится в соответствие Гамильтониан, решаем с гамильтонианом волновое уравнение Шредингера и получаем волновую функцию, которая определяет эволюцию системы.

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

Источник: https://megalektsii.ru/s30772t8.html

Ссылка на основную публикацию