Системы ферми- и бозе- частиц — в помощь студенту

Квантовая статистика —раздал статистической физики, исследующий системы, кото­рые состоят из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

В отличие от исходных положений классической статистической физики, в которой тождественные частицы различимы (частицу можно отличить от всех таких же частиц), квантовая статистика основывается на принципе неразличимости тождественных ча­стиц. При этом оказывается, что коллективы частиц с целым и полуцелым спинами подчиняются разным статистикам.

Понятие о квантовой статистике Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака

Одним из важнейших «объектов» изучения квантовой статистики, как и классической, является идеальный газ. Это связано с тем, что во многих случаях реальную систему можно в хорошем приближении считать идеальным газом.

Состояние системы невза­имодействующих частиц задается с помощью чисел заполнения Ni — чисел, указывающих степень заполнения квантового состояния частицами системы, состоящей из многих тождест­венных частиц.

Для систем частиц, образованных бозонами — частицами с нулевым или целым спином, числа заполнения могут принимать любые целые значения: 0, 1, 2, … . Для систем частиц, образованных фермионами — частицами с полуцелым спином , числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 для свободных состояний и 1 для занятых.

Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т. е. определить средние числа заполнения áNiñ.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Московское государство в xiv - xv вв. - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Идеальный газ из бозонов —бозе-газ — описываетсяквантовой статистикой Бозе — Эйнштейна. Распределение бозонов по энергиям вытекает из так называемого большого канонического распределения Гиббса (с переменным числом частиц) при условии, что число тождественных бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым:

Системы Ферми- и Бозе- частиц - в помощь студенту

Это распределение называетсяраспределением Бозе — Эйнштейна. Здесь áNiñ — сред­нее число бозонов в квантовом состоянии с энергией Ei, k — постоянная Больцмана, Т—термодинамическая температура, m —химический потенциал; m не зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц

Идеальный газ из фермионов —ферми-газ — описываетсяквантовой статистикой Ферми — Дирака. Распределение фермионов по энергиям имеет вид

Системы Ферми- и Бозе- частиц - в помощь студенту

где áNiñ — среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией Еi, m — хи­мический потенциал.

В отличие от (1) m может иметь положительное значение (это не приводит к отрицательным значениям чисел áNiñ). Это распределение называется распределением Ферми — Дирака.

Системы Ферми- и Бозе- частиц - в помощь студенту Системы Ферми- и Бозе- частиц - в помощь студенту

где

Системы Ферми- и Бозе- частиц - в помощь студенту

Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.

Вырожденный электронный газ в металлах. Энергия и уровень Ферми.

Система частиц называетсявырожденной, если ее свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от классического газа, они являются вырожденными газами. Вырождение газов становится существенным при весьма низ­ких температурах и больших плотностях.

Параметром вырождения называется вели­чина А. При А Т, то поведение системы частиц (газа) описывается классическими за­конами.

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми — Дирака. Если m химический поте­нциал электронного газа при Т=0 К, то, согласно, среднее число áN(E)ñ электронов в квантовом состоянии с энергией Е равно

Системы Ферми- и Бозе- частиц - в помощь студенту

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как кван­товое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов áN(E=f(E), где f(E) — функция рас­пределения электронов по состояниям.

При T=0 К функция распределения áN(E)ñ = 1, если Em. График этой функции приведен на рис. 1, а. В области энергий от 0 до m0 функция áN(E)ñ равна единице.

При E=m0 она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т=0К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E=m, заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей m0, свободны.

Следовательно, m0 есть не что иное, как максималь­ная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называетсяэнергией Ферми и обозна­чается ЕF (ЕF=m0).

Поэтому распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде

Системы Ферми- и Бозе- частиц - в помощь студенту Системы Ферми- и Бозе- частиц - в помощь студенту (2)

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называетсяуровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми ЕF, которую имеют электроны на этом уровне.

Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. е.

от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT ЕF — больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т»300 К и температуре вырождения T0=3×104 К, — это 10–5 от общего числа электронов.

Читайте также:  Общая характеристика трудового права - в помощь студенту

Если (Е–ЕF)>> («хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Фер­ми — Дирака переходит в распределение Максвелла — Больцмана. Таким образом, при (Е–ЕF)>>kT, т.е. при больших значениях энергии, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же время, когда (Е–ЕF)

Источник: https://megalektsii.ru/s12816t6.html

Лекция 7. Идеальные газы тождественных частиц. Распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна

На сегодняшней лекции мы рассмотрим ряд важнейших свойств равновесного газа, состоящего из тождественных, т.е. совершенно одинаковых частиц – фермионов или бозонов. При этом мы будем считать, что частицы не взаимодействуют, и, соответственно, газ является идеальным.

Прежде всего, рассмотрим идеальный газ тождественных невзаимодействующих фермионов.

Как известно мы знаем из курса квантовой механики, микросостояния такого газа однозначным образом задаются указанием совокупности чисел заполнения одночастичных стационарных состояний. Число заполнения одночастичного состояния с квантовыми числами будем обозначать , а его энергию — . Поскольку мы имеем дело с фермионами, то согласно принципу Паули число заполнения одночастичного стационарного состояния может принимать только два значения – или 0, или 1. Энергия микросостояния есть сумма энергий заполненных одночастичных состояний

Системы Ферми- и Бозе- частиц - в помощь студенту

а число частиц в микросостоянии есть сумма чисел заполнения

В соответствие с общим алгоритмом ищем теперь большую статистическую сумму. По определению эта стат. сумма есть

Системы Ферми- и Бозе- частиц - в помощь студенту

Используя (1) и (2), а также то, что экспонента суммы есть произведение экспонент, находим

Системы Ферми- и Бозе- частиц - в помощь студенту

Соответственно,

Системы Ферми- и Бозе- частиц - в помощь студенту Системы Ферми- и Бозе- частиц - в помощь студенту

  • Каждая экспонента под знаком суммы зависит от числа заполнения только одного одночастичного состояния. Поэтому каждая сумма «сядет» на одну из экспонент
  • . (7)
  • Сумма по числам заполнения
  • . (8)
  • Таким образом, большая статистическая сумма
  • . (9)
  • Соответственно, большой термодинамический потенциал
  • . (10)

Если известна стат. сумма, то можно найти все термодинамические характеристики нашего газа. В частности, среднее число частиц в газе

  1. . (11)
  2. Таким образом,
  3. . (12)
  4. Внутренняя энергия газа выражается через большой термодинамический потенциал как
  5. . (13)
  6. Подставляя (10), находим
  7. . (17)
  8. Таким образом,
  9. . (14)
  10. По определению вероятность микросостояния
  11. . (15)
  12. Используя (5) и (10), получаем
  13. , (16)
  14. где
  15. . (17)
  16. Легко видеть, что
  17. . (18)
  18. Фиксируем одночастичное состояние и найдем полную вероятность того, что в этом микросостоянии находится . По определению эта вероятность есть
  19. . (19)
  20. Подставляя (20), переходя к последовательности сумм по одночастичным стационарным состояниям, и используя (21), получаем
  21. . (20)
  22. Таким образом, полная вероятность того, что в одночастичном состоянии находится фермионов
  23. . (21)
  24. Соответственно, среднее число частиц в одночастичном состоянии
  25. . (22)
  26. Итак, мы получили, что в идеальном ферми-газе среднее число частиц в одночастичном состоянии совпадает с полной вероятностью того, что это состояние заполнено, и равно
  27. . (23)

Формула (26) описывает статистическое распределение частиц по одночастичным состояниям в идеальном ферми-газе. Это распределение называется распределением Ферми-Дирака.

  • Теперь выражения для среднего числа частиц и внутренней энергии приобретают очень наглядный вид
  • (24)
  • и
  • . (25)
  • Введем в рассмотрение функцию
  • . (26)
  • Эта функция называется функцией распределения Ферми-Дирака. Тогда среднее число частиц в газе и его внутреннюю энергию мы можем записать как
  • (27)
  • и
  • . (28)
  • Воспользовавшись основным свойством дельта-функции Дирака
  • , (29)
  • можем написать
  • (30)
  • и
  • . (31)
  • Меняя порядок суммирования и интегрирования, получаем
  • (32)
  • и
  • . (33)
  • Введем в рассмотрение величину
  • . (34)
  • Тогда выражения (36) и (37) для среднего числа частиц, принимают вид
  • (35)
  • и
  • . (36)
  • Установим физический смысл величины . Проинтегрируем ее по конечному интервалу
  • . (37)
  • Изменив порядок интегрирования и суммирования, и воспользовавшись основным свойством дельта-функции Дирака, находим
  • . (38)

Из полученного выражения легко видеть, что есть число одночастичных стационарных состояний с энергией, попадающей в интервал . Следовательно, величина представляет собой число одночастичных стационарных состояний, приходящихся на единичный интервал энергии. По этой причине функция называется плотностью одночастичных стационарных состояний.

Сравнивая на выражения (12) и (14) с выражениями (35) и (36), можно легко заметить, что при переходе к записи через плотность одночастичных состояний мы, фактически, сумму по квантовым числам одночастичных состояний заменяем интегралом по энергии, а под знаком интеграла пишем произведение плотности одночастичных состояний на ту функцию одночастичной энергии, которая стояла под знаком суммы.

Это мнемоническое правило, на самом деле, является общим. Проведя проедуру, аналогичную только что проделанной, можно показать следующее. Пусть есть некоторая функция одночастичной энергии. Тогда

  1. . (39)
  2. Например, свободная энергия идеального ферми-газа дается выражением
  3. . (40)

В данном случае функция . В соответствие с нашим мнемоническим правилом сумму по квантовым числам заменяем интегралом по энергии. Под знаком интеграла пишем произведение плотности одночастичных состояний на функцию , стоящую под знаком суммы

. (41)

В состоянии равновесия число частиц в нашем газе слабо колеблется около своего среднего значения, практически всегда с ним совпадая. В пределах точности термодинамики этими флуктуациями можно пренебречь и считать, что число частиц в газе является постоянным, равным этому среднему значению.

В дальнейшем мы будем рассматривать ситуации, когда число частиц в газе известно.

В таком случае состояние равновесия нашего газа удобно задавать удобно задавать, указывая температуру , внешние параметры и число частиц , а химический потенциал рассматривать как величину, определяемую уравнением

. (42)

Можно легко показать, что при заданных значениях , и уравнение (42) относительно химического потенциала имеет единственный вещественный корень. Поэтому химический потенциал нашего газа можно рассматривать как однозначную функцию , и .

В таком случае при описании идеального ферми-газа можно придерживаться следующего алгоритма.

Сначала находим базис одночастичных стационарных состояний, т.е. стационарных состояний одной отдельно взятой частицы, рассмотренной в тех же самых внешних силовых полях, что и весь газ.

Далее, используя формулу (34), находим плотность одночастичных стационарных состояний.

Затем подставляем плотность одночастичных стационарных состояний в уравнение (42) для химического потенциала. Решив это уравнение, находим химический потенциал.

  • Далее, зная плотность одночастичных стационарных состояний и химический потенциал, находим свободную энергию с помощью выражения (41).
  • Наконец, зная свободную энергию, находим нужные макроскопические характеристики нашего идеального ферми-газа.
  • Рассмотрим теперь газа невзаимодействующих тождественных бозонов.

Микростояния газа тождественных невзаимодествующих бозонов определяются аналогично тому, как это делалось в случае идеального ферми-газа.

Точно также в стационарном состоянии всего нашего газа в целом каждая из частиц находится в одном из одночастичных стационарных состояний.

Поэтому также как и в случае системы невзаимодействующих тождественных фермионов микросостояние идеального бозе-газа задается совокупностью чисел заполнения всех одночастичных стационарных состояний.

  1. Точно также, как и в случае ферми-газа, энергия микросостояния нащего бозе-газа с данной совокупностью чисел заполнения есть сумма по всем микросостояниям от произведения энергии одночастичного стационарное состояние на число частиц в этом одночастичном стационарном состоянии
  2. , (43)
  3. а среднее число частиц равно сумме чисел заполнения
  4. , (44)

А вот волновые функции микросостояний ферми- и бозе-газа принципиально отличаются. В случае газа невзаимодействующих тождественных фермионов волновая функция любого микросостояния антисимметрична относительно перестановки частиц, т.е. при перестановке двух частиц она меняет знак.

Именно эта антисимметрия приводит к фундаментальному ограничению на значения чисел заполнения — принципу запрета Паули. В случае же газа невзаимодействующих тождественных бозонов симметрия волновой функции иная: она является симметричной относительно перестановки частиц, т.е. при перестановке двух частиц волновая функция бозе-газа не меняется.

Поэтому в газе невзаимодействующих тождественных бозонов нет фундаментального ограничения на числа заполнения, подобного принципу запрета Паули.

  • Также как и раньше нам нужно, найти выражение для среднего числа частиц в данном одночастичном стационарном состоянии и свободную энергию нашего бозе-газа.
  • Для того, чтобы это сделать нужно в точности повторить те выкладки, которые мы сделали для идеального ферми газа, только заменив в них сумму на сумму .
  • В результате мы получим, что в идеальном бозе-газе химический потенциал не может быть положительным (в противном случае сумма будет расходиться), а среднее число частиц в одночастичном стационарном состоянии дается выражением
  • . (45)
  • Для свободной энергии мы получим следующее выражение
  • . (47)
  • Эта функция называется функцией распределения Бозе-Эйнштейна.



Источник: https://infopedia.su/7x513a.html

Понятие о квантовой статистике Бозе — Эйнштейна и Ферми – Дирака

Одним из важнейших «объектов» изучения квантовой статистики, как и классической, является идеальный газ. Это связано с тем, что во многих случаях реальную систему можно в хорошем приближении считать идеальным газом. Состояние системы невзаимодействующих частиц задается с помощью так называемых чисел заполнения  — чисел, указывающих степень заполнения квантового состояния (характеризуется данным набором i квантовых чисел) частицами системы, состоящей из многих тождест­венных частиц. Для систем частиц, образованных бозонами — частицами с нулевым или целым спином, числа заполнения могут принимать любые целые значения: 0, 1, 2, … . Для систем частиц, образованных фермионами — частицами с полуцелым спином, числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 для свободных состояний и 1 для занятых. Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т. е. определить средние числа заполнения .

*Ш. Бозе (1894—1974) — индийский физик.

* Э. Ферми (1901—1954) — итальянский физик.

Идеальный газ из бозонов — бозе-газ — описывается квантовой статистикой Бозе — Эйнштейна. Распределение бозонов по энергиям вытекает из так называемого большого канонического распределения Гиббса (с переменным числом частиц) при условии, что число тождественных бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым:

Системы Ферми- и Бозе- частиц - в помощь студенту

Это распределение называется распределением Бозе — Эйнштейна. Здесь — сред­нее число бозонов в квантовом состоянии с энергией , k — постоянная Больцмана, Т—термодинамическая температура,  —химический потенциал; m не зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц. Химический потенциал находится обычно из условия, что сумма всех  равна полному числу частиц в системе. Здесь  ≤ 0, так как иначе среднее число частиц в данном квантовом состоянии отрицательно, что не имеет физического смысла. Он определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объем), фиксированы.

Идеальный газ из фермионов — ферми-газ — описывается квантовой статистикой Ферми — Дирака.* Распределение фермионов по энергиям имеет вид

Системы Ферми- и Бозе- частиц - в помощь студенту (235.2)

Если , то распределения Бозе — Эйнштейна (235.1) и Ферми — Дирака (235.2) переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана:

(235.3)

(ср. с выражением (44.4)), где

    (235.4)

Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.

Система частиц называется вырожденной, если ее свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике.

Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от классического газа, они являются вырожденными газами. Вырождение газов становится существенным при весьма низ­ких температурах и больших плотностях.

Параметром вырождения называется величина А. При А , то поведение системы частиц (газа) описывается классическими законами.

Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 86;

Источник: https://studopedia.net/6_108579_ponyatie-o-kvantovoy-statistike-boze—eynshteyna-i-fermi—diraka.html

Бозоны и фермионы

  • Бозоны
  • Элементарные и составные бозоны
  • Фермионы
  • Свойства симметрии волновой функции
  • Все элементарные частицы (нанообъекты в субъядерном масштабе, которые невозможно разделить на части) разделяются на бозоны и фермионы.

Бозоны

Бозон – частица, обладающая целым значением спина (собственный момент импульса). Бозонами считаются мезоны, фотоны, глюоны, бозон Хиггса. Поведение элементарных бозонов описывается статистикой Бозе-Эйнштейна, допускающей наличия в одном квантовом состоянии бесконечного количества одноименных частиц. Кроме того, существуют элементарные бозоны и составные.

Читайте также:  Соотношение орто-/пара- - в помощь студенту

В одинаковом состоянии может находиться любое количество бозонов. С учетом свойств симметрии волновой функции риск возникновения одинакового состояния увеличивается, если сравнивать с расчетами, не учитывающими симметрию. При использовании теории, учитывающей симметрию, то заполненность энергетического пространства получается больше.

Системы, содержащие множество бозонов описываются волновыми функциями. Эта закономерность позволяет объяснить явление Базе–Эйнштейновской конденсации, определяющей, что при температурах выше абсолютного нуля основное количество микрочастиц обладает минимальным значением энергии.

При этом статистические свойства континуума частиц имеющий целый спин отличаются от свойств совокупности частиц в элементарной физике. Возникновение бозе-конденсата связано с уникальными макроскопическими квантовыми эффектами – сверхпроводимостью и сверхтекучестью.

Сверхпроводимость возникает в случае, когда в электронном газе начинается спаривание электронов с противоположными спинами. Эти пары взаимодействующих через фонон электронов называются куперовскими. Их возникновение связано с наличием определенных условий в процессе взаимодействия электронов и кристаллической решетки.

В этой ситуации электроны рассматриваются как бозе-частицы. Состояние сверхпроводимости связано с возникновением бозе-конденсации куперовских пар.

Элементарные и составные бозоны

Элементарные бозоны представляют собой кванты калибровочных полей. Они участвуют во взаимодействии элементарных фермионов (фотонов, лептонов, кварков и др.) в стандартной модели.

С помощью фотонов происходит электромагнитное взаимодействие, посредством глюонов совершается сильное взаимодействие, W и Z бозоны обеспечивают слабое взаимодействие.

В современной квантовой модели (теоретической) фундаментальным бозонам отводится роль переносчиков взаимодействия.

Фундаментальные бозоны – это 8 глюонов и 4 калибровочных бозона (Z, +W, — W, фотон).

Зарядом из всех элементарных бозонов обладает только W-бозон, – W и + W являются античастицами относительно друг друга. Фундаментальные бозоны – глюон, фотон, +W, — W и Z-бозон имеют спин = 1. Применяемый в теории гравитон (пока не обнаружен) характеризуется спином = 2, бозон Хиггса – спином = 0.

Множественные двухкварковые мезоны называются составными бозонами. Спины мезонов не ограничены по значению, но это обязательно целое число. Ядра атомов с четным числом нуклонов относятся к составным бозонам.

Фермионы

Элементарные частицы со спином, который выражается дробным числом, получили название – фермионы. К ним относятся: мюоны, нейтрино, электроны, кварки и т. д.

Фермионы подчиняются статистике Ферми–Дирака, в отличие от бозонов, а их поведение описывает принцип Паули, определяющий, что в одном квантовом состоянии исключено появление более одной частицы. Это предположение назвали принципом или запретом Паули. Эта идея была предложена Паули задолго до появления квантовой механики.

Он сформулировал это предположение в следующем виде: В отдельном атоме не может существовать двух и более тождественных фермионов одновременно находящихся в одном квантовом состоянии. Следует указать, что принцип Паули исполняется только для отдельных частиц, которые не взаимодействуют между собой.

Этот принцип нашел применение для теоретического обоснования периодической системы элементов Менделеева и некоторых закономерностей в спектрах излучения. Подобные ограничения не относятся к бозонам.

Частицы, обладающие дробным спином, подчиняются статистике Ферми-Дирака. Фундаментальные фермионы в квантовой теоретической модели играют роль источников взаимодействия. Фундаментальные фермионы – это 6 видов лептонов и 6 видов кварков. Структура всех элементарных частиц создается из фундаментальных фермионов, бозонов, античастиц, а также возникает система взаимодействия.

Свойства симметрии волновой функции

Впервые взаимосвязь статистики и спина была обнаружена экспериментально еще в 1940 году. Немного позднее физик Паули также выявил эту связь.

Он взял за основу принципы квантовой физики – принцип причинности, неотрицательность полной энергии, релятивистские инвариантности.

Кроме того, было установлено, что связь статистики и спина подтверждается и для сложных частиц (атомов, молекул), ведущих себя как одно целое.

Основное свойство симметрии – принцип тождественности частиц. В действительности волновая функция системы частиц симметричная или несимметричная в случае изменения местоположения частиц. Симметричная волновая функция характеризует бозоны, несимметричная – фермионы.

Следовательно, спин является важнейшей характеристикой, определяющий свойства симметрии частиц.

В квантовой механике состояние частиц с нулевым либо целым спином отображаются симметричными волновыми функциями, а частицы, имеющие дробную величину спина, описываются асимметричными функциями.

Вывод: свойства систем из бозонов и ферми-частиц определяются проявлением симметрии волновой функции, а не результатом взаимодействия между ними.

В состав сложных частиц, например ядер атомов, входит нечетное число фермионов. Их суммарный спин является дробной величиной, поэтому такая частица является фермионом. Если же сложная частица содержит четное количество фермионов, то суммарный спин у них будет целым числом, а такая частица будет обладать свойствами бозона.

Пример 1

Вопрос: Что такое бозон Хиггса?

Ответ:

Пример 2

Вопрос: Необходимо описать пример проявления уникальных свойств бозе — и ферми частиц.

Ответ: Одно из характерных проявлений – явление сверхтекучести жидкого гелия. Наиболее распространен изотоп гелия . Ядро атома изотопа обладает нулевым значением спина, т. е. это бозон. При основном состоянии (n = 0) электронная оболочка атома имеет нулевой механический момент. Атом гелия в целом также обладает нулевым механическим моментом, характерным для бозе–системы. При значении температуры в жидком гелии происходит явление бозе–конденсации, т. е проявляется сверхтекучесть.

Известно, что в системе ферми-частиц никогда не возникает явление бозе-конденсации, поэтому для этого изотопа гелия явление сверхтекучести невозможно.

Экспериментально доказано, что при значении в жидком гелии отсутствует сверхтекучесть. Но она появляется при значениях температур меньших и механизм ее возникновения совершенно иной. При низких значениях температуры в результате слияния атомов появляются молекулярные комплексы . Эти комплексы обладают свойствами бозонов, поэтому и возникает явление сверхтекучести.

Вывод – различные свойства бизонов и фермионов объясняются проявлением свойства симметрии волновой функции.

Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/bozoni-i-fermioni/

Системы Ферми- и Бозе- частиц

В соответствии с принципом тождественности ц всœе имеющиеся в мире цы можно разделить на бозоны и фермионы. Следует отметить, что так как принцип тождественности, сформулированный Паули говорит о том, что волновые функции совокупности тождественных ц могут быть симметричными или антисимметричными относительно перестановки двух произвольных ц, при ϶том бозонам ставят в соответствие симметричные Psi — функции, а ферми-цам — антисимметричные. В математической записи вышесказанное означает:

где q_1,dots ,q_i,{dots ,q}_jdots ,q_N — координаты N ц, перестановка реализуется ц i и j . При ϶том alpha =+1 бозонов, и alpha =-1 ферми-ц. В том и другом случаях выполняется равенство:

Выражение (2) означает, что цы невозможно отметить (они не различимы).

Для классификации микроц применяют простое правило: фермионы имеют полуцелый спин. (Спин — собственный механический момент количества движения, ϶то внутренне свойство ц). Если быть более точными, то не сам спин, а проекцию спина на выделенное направление, например, ( Z ) ( s_z ):

бозоны — нулевой или целый спин.

Фермионы подчиняются принципу запрета Паули и статистике Ферми — Дирака. Самым известным представителем фермионов электрон.

Квантовые свойства и законы статистики сисᴛᴇᴍ тождественных ц начинают становиться существенными при температурах ни температуры вырождения ( T_0 ).

Эта температура, при которой длина волны де Бройля, которая соответствует энергии теплового движения микроц, сравнима с расстоянием между цами.

Если температуры рассматриваемых сисᴛᴇᴍ больше, чем T_0 , то квантовые свойства не являются существенными.

Функция распределения Ферми — Дирака

Допустим, что система фермионов представима в виде идеального газа, который находится в состоянии равновесия при температуре T .

Функция распределения Ферми — Дирака ( f(E) ) определяет вероятность нахождения фермиона в состоянии с энергией E Важно сказать, что для температуры T её можно записать как:

где mu — химический потенциал, k_B — постоянная Больцмана. Вероятность того, что уровень энергии при E= mu при любой температуре, заполнен равна frac{1}{2} (то есть fleft(E=mu ight)=frac{1}{2} ).

При T=0K функция fleft(E
ight) представлена как ступенька. Величина химического потенциала при T=0K имеет специальное название — энергия Ферми ( E_F ). Все состояния c энергиями {E

Из-за теплового движения микроц при T >0K функция fleft(E
ight) размыта в окрестности E_F.

В области низких температур ( k_BTll mu ) функция распределения Ферми — Дирака около E=mu можно охарактеризовать линейнои̌ зависимостью, разложив fleft(E
ight) в ряд Тейлора, ограничиваясь нулевым и первым членами разложения:

Функция распределения Бозе — Эйнштейна

  • Зависимость среднᴇᴦο количества квантов leftlangle N
    ight
    angle возбуждения от температуры и энергии, которую имеет квант, определяет функцию распределения Бозе — Эйнштейна:
  • В общем случае бозонов справедлива функция распределения вида:
  • где leftlangle N
    ight
    angle — среднее количество микроц, находящихся в состоянии с энергией E , mu — термохимический потенциал, который определен изменением полнои̌ энергии системы (W), если изменяется количество ц в системе ( N_{sist} ), то есть:
  • Напомним, что количество бозонов не ограничивается любого квантового состояния.
  • В случае бозонов при Tll frac{hbar omega }{k_B} (низкие температуры) среднее количество квантов в состоянии возбуждения и энергия квантового осциллятора малы, тогда можно использовать расчетов формулу:
  • при ϶том энергия квантового осциллятора равна:

Пример 1

Покажите, что вероятность того, что состояние, имеющее энергию E_F+delta , занято такого рода же, как вероятность того, что состояние с энергией E_F-delta свободно. Рассмотреть систему фермионов. Газ считать вырожденным.

  1. Решение:
  2. Выражение ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ следует доказать запишем следующим образом:
  3. В качестве основы решения задачи используем выражение функции распределения Ферми — Дирака:
  4. Подставим вместо величины E, рассматриваемые нами энергии, получим:

[fleft(E_F+delta ight)=1-fleft(E_F-delta ight)left(1.1
ight).] [fleft(E
ight)=frac{1}{{exp left(frac{E-mu }{k_BT}
ight) }+1}left(1.2
ight).] [fleft(E_1
ight)=frac{1}{{exp left(frac{E_F+delta -mu }{k_BT}
ight) }+1} и left(E_2
ight)=frac{1}{{exp left(frac{E_F-delta -mu }{k_BT}
ight) }+1} (1.3).]

Используем формулы (1.3), подставив их в (1.1), имеем:

[frac{1}{{exp left(frac{E_F+delta -mu }{k_BT}
ight) }+1}=1-frac{1}{{exp left(frac{E_F-delta -mu }{k_BT}
ight) }+1}left(1.4
ight).]

Так как газ считают вырожденным, то mu =E_F ( E_F — энергия Ферми), следовательно E_F+delta -mu =delta , E_F-delta -mu =-delta . Учитывая данное условие, перепишем выражение (1.4), имеем:

[frac{1}{{exp left(frac{delta }{k_BT}
ight) }+1}=1-frac{1}{{exp left(frac{-delta }{k_BT}
ight) }+1}=frac{{exp left(frac{-delta }{k_BT}
ight) }+1-1}{{exp left(frac{-delta }{k_BT}
ight) }+1}=frac{{exp left(frac{-delta }{k_BT}
ight) }}{{exp left(frac{-delta }{k_BT}
ight) }+1}=frac{{exp left(frac{-delta }{k_BT}
ight) }{exp left(frac{delta }{k_BT}
ight) }}{left({exp left(frac{-delta }{k_BT}
ight) }+1
ight){exp left(frac{delta }{k_BT}
ight) }}=frac{1}{1+{exp left(frac{delta }{k_BT}
ight) }}left(1.4
ight).]

Так, в (1.4) мы получили тождество.

Пример 2

Особенность распределения бозе — ц — ϶то если один бозон из-за каких — либо причин рассеется в неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ состояние, то вероятность рассеяния второй подобнои̌ цы (из-за других причин), в аналогичное состояние увеличивается в два раза, в сравнении с вероятностью рассеяния не тождественных ц. Объясните данное явление.

Решение:

Пусть мы имеем N тождественных бозонов, которые находятся в некотором состоянии. Вероятность того, что ещё одна ца придет в ϶то состояние увеличена в (N+1) раз в сравнении с вероятностью, которая имелась бы если бы цы были не тождественны.

Данное явление можно уподобить интерференции N когерентных волн, которые имеют одинаковую амплитуду и интенсивность, равную I . При ϶том напряженность суммарного поля пропорциональна количеству волн, интенсивность (N^2I ), и она растет в сравнении с интенсивностью однои̌ волны в { N}^2 раз.

Добавка в виде ещё однои̌ волны интенсивность {(N+1)}^2I . Если волны некогерентны, то их интенсивность была бы (N+1)I . Получается, что добавок в виде однои̌ волны (к имеющимся N когерентным волнам) ведет к росту интенсивности в (N+1) раз (если сравнить с некогерентными волнами).

Такой эффект лежит в основе бозе — конденсации.

Источник: http://referatwork.ru/info-lections-55/tech/view/2063_sistemy_fermi__i_boze__chastic

Ссылка на основную публикацию