Прямая и обратная пропорциональности — в помощь студенту

  • Математика
  • 6 класс
  • Урок № 7
  • Прямая и обратная пропорциональность. Решение задач
  • Перечень рассматриваемых вопросов:
  • Понятия прямой и обратной пропорциональной зависимости.
  • Краткая запись условия задачи.
  • Составление и решение пропорций по условию задачи.
  • Решение задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость.
  1. Тезаурус
  2. Равенство двух отношений называют пропорцией.
  3. Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

  4. Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
  5. Основная литература
  1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017.

    alt

    Узнай стоимость своей работы

    Бесплатная оценка заказа!

    Оценим за полчаса!

    — 258 с.

Дополнительная литература

  1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
  2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
  • Теоретический материал для самостоятельного изучения
  • Прямая пропорциональность.
  • Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Обратная пропорциональность.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Для решения задач на пропорциональную зависимость, удобно составить таблицу или сделать краткую запись условия.

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

  1. Столбцы таблицы соответствуют наименованиям зависимых величин.
  2. Строки таблицы соответствуют значениям величин при первом и втором измерении.
  3. Одинаково направленные стрелки показывают прямо пропорциональную зависимость, противоположно направленные – обратно пропорциональную.
  4. Задача.

Поезд, скорость которого 55 км/ч, был в пути 5 часов. За сколько часов пройдёт этот же участок пути товарный поезд, скорость которого 45 км/ч?

  • Решение.
  • При постоянном пути скорость и время движения обратно пропорциональны.
  • Допустим, товарный поезд пройдёт этот же путь со скоростью 45 км/ч за x ч.
  • Сделаем краткую запись условия.

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студентуПрямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Задача.

Двигаясь с постоянной скоростью, велогонщик проезжает 40 метров за 3 с. Какой путь проедет велогонщик за 45 с?

  1. Решение.
  2. При постоянной скорости путь прямо пропорционален времени движения.
  3. Пусть х м проедет велогонщик за 45 с.
  4. Сделаем краткую запись условия.

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студентуПрямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Задача.

Усилие при восхождении на высоту 600 м равно усилию, требуемому для перехода 25 км по равнине. Турист поднялся в горы на 792 м. Какому расстоянию на равнине соответствует этот подъём?

Решение:

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Решение.

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Задача.

Четыре программиста могут написать игру за 12 месяцев. За сколько месяцев эту работу могут выполнить три программиста?

Решение.

Количество программистов и скорость написания игры – это обратно пропорциональная зависимость.

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Подстановка элементов в пропуски в тексте.

Подставьте нужные элементы в пропуски.

Пешеход шёл 3 часа со скоростью 8 км/ч. За сколько часов он пройдёт то же расстояние со скоростью 6 км/ч?

  • Решение:
  • При фиксированном расстоянии время в пути и скорость – ______ пропорциональны.
  • Пусть _____ часов – пешеход идёт со скоростью 6 км/ч.
  • Составим пропорцию:
  • _________
  • х=_______
  • х=_______(ч).
  • Правильный ответ.
  • Решение:
  • При фиксированном расстоянии время в пути и скорость – обратно пропорциональны.
  • Пусть х часов – пешеход идёт со скоростью 6 км/ч.

№ 2. Подстановка элементов в пропуски в таблице.

Заполните таблицу.

Поезд движется со скоростью 45 км/ч. Какое расстояние он пройдёт, если будет в пути 3 ч; 4 ч; 5 ч; 6 ч.

  1. Варианты ответов:
  2. 135 км;
  3. 180 км;
  4. 225 км;
  5. 270 км.
  6. Решение.

При постоянной скорости пройденный путь и время прямо пропорциональны. Скорость движения поезда 45 км/ч означает, что за 1 час поезд преодолевает расстояние в 45 км. Обозначим за x км – расстояние, которое поезд пройдёт за 3, 4, 5 и 6 часов.

  • Таким же способом находим расстояние, которое пройдёт поезд за 4, 5 и 6 часов, и подставляем соответствующие варианты в таблицу.
  • Ответ:

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6840/conspect/

Прямая и обратная пропорциональность — формулы, свойства и графики функций

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студентуПрямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Одно из основных понятий курса математики в 6 классе – это прямая и обратная пропорциональность. Если некоторая величина (время, масса, цена) изменяется, и одновременно другая величина (расстояние, объем, затраты) тоже меняется, то величины находятся в зависимости между собой, то есть пропорциональны друг другу.

Взаимосвязь между величинами не всегда означает наличие пропорциональности. Так, высота дерева растет с его возрастом, но не во столько же раз. Составление пропорций помогает решить многие задачи как в математике, так и на практике.

Прямая пропорциональность

Если при изменении одного параметра другой изменяется таким же образом, то эти величины прямо пропорциональны друг другу. В этой пропорции увеличение расстояния вдвое означает увеличение времени также двукратно.

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Например, при движении автомобиля с постоянной скоростью, время, затраченное на преодоление расстояния, будет прямо пропорционально этому расстоянию. То есть, если 50 км автомобиль проедет за 1 час, то 100 км с той же скоростью он преодолеет за 2 часа.

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

  • Эта зависимость описывается следующей формулой:
  • y = k * x.
  • Здесь k и называется коэффициентом пропорциональности.

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Графически функция изображается прямой, которая пройдет через начальную точку координат. Строят график следующим образом: находят одну точку, затем чертят прямую через эту точку и начало координат.

Пример построения

Нужно построить график у = 3х. Подставляем вместо х единицу, вычисляем y = 3, то есть находим координаты (1; 3). Отмечаем эту точку на координатной плоскости, проводим прямую линию через нее и точку (0; 0).

Вот так будет выглядеть график y = k * x при k > 0 (слева) и при k < 0 (справа).

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Свойства функции прямой пропорциональности

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Основные свойства следующие:

  • область определения, значений составляют все действительные числа;
  • является нечетной;
  • возрастает при всех значениях x, если k > 0;
  • если коэффициент со знаком «-», т. е. если k < 0, то убывает;
  • если k > 0, то прямая располагается в 1 — 3 координатных четвертях и образует острый угол с осью Х, если k < 0, то прямая находится во 2 - 4 четвертях и образует тупой угол с осью Х.

Обратная пропорциональность

Рост одного параметра ведет к уменьшению другого в такое же количество раз, и наоборот, при уменьшении одной величины другая увеличивается во столько же. Это значит, что они обратно пропорциональны друг другу.

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Пример: трое рабочих выполнят порученную им работу за 2 часа, а 6 человек такое же задание осилят за 1 час. То есть двукратное увеличение числа работников привело к уменьшению затраченного времени вдвое. Конечно, если прочие факторы неизменны (производительность труда, условия работы).

  1. Функция задается формулой:

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

где k – любое действительное число, кроме 0.

График данной зависимости — это гипербола, ее ветви находятся в 1 и 3 четвертях системы координат при k > 0, или во 2 и 4, если коэффициент меньше 0. Ветви гиперболы симметричны относительно точки (0; 0).

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Строят график так: нужно задать значения х, затем вычислить значения у, результаты оформить в виде таблицы. Верхняя строка таблицы заполняется значениями х, нижняя — y.

Пример построения

  • Нужно построить график функции y = 8/x. 
  • Вот так выглядит таблица для данной функции:
  1. Полученные точки отмечают на координатной плоскости, затем соединяют плавной линией. График будет выглядеть так:

Свойства функции обратной пропорциональности

Основные следующие:

  • области определения, значений функции D(y) – это все действительные числа, кроме 0, т. е. D(y):= x ≠ 0;
  • если коэффициент больше 0, функция является убывающей для всех x; если меньше 0, то y увеличивается для любых значений x;
  • оси координат 0х и 0у — это асимптоты по отношению к ветвям гиперболы, которые приближаются к ним, но не достигают их.

К составлению математических пропорций во многих случаях сводится решение самых разнообразных задач. Например, покупая 1 булочку по определенной цене, подсчитывают затраты на 4 булочки – получается в 4 раза больше. 

Ускоряют шаг при ходьбе в 2 раза – достигнут цели вдвое быстрее. Вводят второго кассира в магазине – убывает очередь вдвое. Во всех этих случаях и им подобным применима теория о прямой и обратной пропорциональности.

Источник: https://nauka.club/matematika/pryamaya-i-obratnaya-proportsionalnost.html

Прямая и обратная пропорциональные зависимости

  • Сегодня на уроке мы продолжим работать с пропорциями, а точнее познакомимся с прямой и обратной пропорциональными зависимостями.
  • Задача
  • Сколько нужно сахара, чтобы сварить варенье из 5 кг черешни, если по рецепту на 2 кг ягод нужно 3 кг сахара?
  • Решение:

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Из решения видно, что во сколько раз больше имеется черешни, во столько раз больше понадобится сахара. 

Эту же задачу можно решить и при помощи пропорции. Запишем кратко условие задачи в виде таблицы, обозначив за неизвестную нам массу сахара буквой х.

Смотрите, у нас есть столбик, где мы будем записывать массу ягод, и столбик, где мы укажем соответствующую массу сахара на массу ягод. Итак, по условию задачи известно, что по рецепту на 2 кг ягод нужно 3 кг сахара.

Нам нужно узнать, сколько кг сахара потребуется на 5 кг ягод.

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Такая зависимость между массой ягод и массой сахара условно обозначается в таблице одинаково направленными стрелками. Их направление говорит о том, что если первая величина возрастает (стрелка вверх), то и вторая тоже возрастает (стрелка тоже вверх).

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Задача

Велосипедист, двигаясь с постоянной скоростью, проехал 10 км за 20 минут. Какой путь проедет велосипедист за 50 минут?

Решение: для наглядности запишем кратко условие задачи в виде таблицы.

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Понятно, что путь увеличится во столько раз, во сколько раз увеличится время. Ставим стрелки в одном направлении.

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Такие величины, как масса ягод для варенья и масса сахара, время и пройденный за это время при постоянной скорости путь, и т.д. называют прямо пропорциональными величинами.

  1. Определение
  2. Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
  3. Задача

Автомобиль ехал 3 часа со скоростью 60 км/ч. За какое время он продет это же расстояние, если будет ехать со скоростью 90 км/ч?

Решение:

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Из решения видно, что во сколько раз скорость автомобиля больше, во столько раз меньше времени тратится на этот же путь. 

Эту же задачу решим при помощи пропорции. Запишем в таблицу кратко условие задачи. За х обозначим неизвестное нам время.

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Понятно, что чем больше скорость автомобиля, тем меньше времени ему понадобится на преодоление этого же пути.

Такая зависимость между скоростью и временем, затраченным на пройденный путь, условно обозначается в таблице противоположно направленными стрелками.

Их направление говорит о том, что если первая величина возрастает (стрелка вверх), то вторая убывает (стрелка вниз). Составим пропорцию. Т.к. стрелки направлены в разные стороны, то второе отношение перевернём.

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Задача

5 рабочих выполнили заказ за 132 часа. За какое время этот же заказ смогут выполнить 12 рабочих?

Решение:

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Понятно, что чем больше будет задействовано рабочих, тем быстрее выполнится заказ. Значит, ставим стрелки в противоположном направлении. Составим пропорцию:

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Такие величины, как скорость автомобиля и время, за которое он проедет определённый путь, число работников и время, за которое они выполняют заказ, и т.д. называют обратно пропорциональными величинами.

  • Определение
  • Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
  • Не всякие две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными.

Например, возраст человека и размер его обуви не связаны пропорциональной зависимостью. Зависимость между величинами есть. Размер обуви с возрастом увеличивается, но не во столько же раз.

Возраст дерева и его высота не связаны пропорциональной зависимостью. В этом случае зависимость между величинами есть. Действительно, высота дерева с возрастом увеличивается, но не во столько же раз.

Источник: https://videouroki.net/video/22-priamaia-i-obratnaia-proportsional-nyie-zavisimosti.html

Прямая и обратная пропорциональность

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз.

Пропорциональность бывает прямой и обратной. В данном уроке мы рассмотрим каждую из них.

Прямая пропорциональность

Предположим, что автомобиль двигается со скоростью 50 км/ч. Мы помним, что скорость это расстояние, пройденное за единицу времени (1 час, 1 минуту или 1 секунду). В нашем примере автомобиль двигается со скоростью 50 км/ч, то есть за один час он будет проезжать расстояние, равное пятидесяти километрам.

Изобразим на рисунке расстояние, пройденное автомобилем за 1 час

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Пусть автомобиль проехал еще один час с той же скоростью, равной пятидесяти километрам в час. Тогда получится, что автомобиль проедет 100 км

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Как видно из примера, увеличение времени в два раза привело к увеличению пройденного расстояния во столько же раз, то есть в два раза.

Такие величины, как время и расстояние называют прямо пропорциональными. А взаимосвязь между такими величинами называют прямой пропорциональностью.

Прямой пропорциональностью называют взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой увеличение другой во столько же раз.

и наоборот, если одна величина уменьшается в определенное число раз, то другая уменьшается во столько же раз.

Предположим, что изначально планировалось проехать на автомобиле 100 км за 2 часа, но проехав 50 км, водитель решил отдохнуть. Тогда получится, что уменьшив расстояние в два раза, время уменьшится во столько же раз. Другими словами, уменьшение пройденного расстояния приведет к уменьшению времени во столько же раз.

Интересная особенность прямо пропорциональных величин заключается в том, что их отношение всегда постоянно. То есть при изменении значений прямо пропорциональных величин, их отношение остается неизменным.

В рассмотренном примере расстояние сначала было равно 50 км, а время одному часу. Отношение расстояния ко времени есть число 50.

Но мы увеличили время движения в 2 раза, сделав его равным двум часам. В результате пройденное расстояние увеличилось во столько же раза, то есть стало равно 100 км. Отношение ста километров к двум часам опять же есть число 50

Число 50 называют коэффициентом прямой пропорциональности. Он показывает сколько расстояния приходится на час движения. В данном случае коэффициент играет роль скорости движения, поскольку скорость это отношение пройденного расстояния ко времени.

  • Из прямо пропорциональных величин можно составлять пропорции. К примеру, отношения  и  составляют пропорцию:
  • Это отношение можно прочитать следующим образом:
  • Пятьдесят километров так относятся к одному часу, как сто километров относятся к двум часам.

Пример 2. Стоимость и количество купленного товара являются прямо пропорциональными величинами. Если 1 кг конфет стоит 30 рублей, то 2 кг этих же конфет обойдутся в 60 рублей, 3 кг в 90 рублей. С увеличением стоимости купленного товара, его количество увеличивается во столько же раз.

  1. Поскольку стоимость товара и его количество являются прямо пропорциональными величинами, то их отношение всегда постоянно.
  2. Запишем чему равно отношение тридцати рублей к одному килограмму
  3. Теперь запишем чему равно отношение шестидесяти рублей к двум килограммам. Это отношение опять же будет равно тридцати:

Здесь коэффициентом прямой пропорциональности является число 30. Этот коэффициент показывает сколько рублей приходится на килограмм конфет. В данном примере коэффициент играет роль цены одного килограмма товара, поскольку цена это отношение стоимости товара на его количество.

Обратная пропорциональность

Рассмотрим следующий пример. Расстояние между двумя городами 80 км. Мотоциклист выехал из первого города, и со скоростью 20 км/ч доехал до второго города за 4 часа.

Если скорость мотоциклиста составила 20 км/ч это значит, что каждый час он проезжал расстояние равное двадцати километрам. Изобразим на рисунке расстояние, пройденное мотоциклистом, и время его движения:

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

На обратном пути скорость мотоциклиста была 40 км/ч, и на тот же путь он затратил 2 часа.

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Легко заметить, что при изменении скорости, время движения изменилось во столько же раз. Причем изменилось в обратную сторону — то есть скорость увеличилась, а время наоборот уменьшилось.

Такие величины, как скорость и время называют обратно пропорциональными. А взаимосвязь между такими величинами называют обратной пропорциональностью.

  • Обратной пропорциональностью называют взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой уменьшение другой во столько же раз.
  • и наоборот, если одна величина уменьшается в определенное число раз, то другая увеличивается во столько же раз.
  • К примеру, если на обратном пути скорость мотоциклиста составила бы 10 км/ч, то те же 80 км он преодолел бы за 8 часов:

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Как видно из примера, уменьшение скорости привело к увеличению времени движения во столько же раз.

Особенность обратно пропорциональных величин заключается в том, что их произведение всегда постоянно. То есть при изменении значений обратно пропорциональных величин, их произведение остается неизменным.

В рассмотренном примере расстояние между городами было равно 80 км. При изменении скорости и времени движения мотоциклиста, это расстояние всегда оставалось неизменным

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Мотоциклист мог проехать это расстояние со скоростью 20 км/ч за 4 часа, и со скоростью 40 км/ч за 2 часа, и со скоростью 10 км/ч за 8 часов. Во всех случаях произведение скорости и времени было равно 80 км

Источник: http://spacemath.xyz/pryamaya_proporcionalnost/

Прямая и обратная пропорциональная зависимость

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Проще всего понять прямо пропорциональную зависимость на примере станка, изготавливающего детали с постоянной скоростью. Если за два часа он делает 25 деталей, то за 4 часа он изготовит деталей вдвое больше — 50.

Во сколько раз дольше времени он будет работать, во столько же раз больше деталей он изготовит.

  • Математически это выглядит так:                      
  •   4 : 2 = 50 : 25    или так:         2 : 4 = 25 : 50
  • Прямо пропорциональными величинами тут являются  время работы станка и число изготовленных деталей. 
  • Говорят: Число деталей прямо пропорционально времени работы станка.
  • Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих величин равны. (В нашем примере — это отношение времени 1 к времени 2 = отношению количества деталей за время 1 к количеству деталей за время 2)

 Обратная пропорциональность

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Обратно пропорциональная зависимость часто встречается в задачах на скорость. Скорость и время являются обратно пропорциональными величинами.

Действительно, чем быстрее движется объект, тем меньше времени у него уйдет на путь.

Например:Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины (скорости в нашем примере) равно обратному отношению другой величины ( времени в нашем примере). ( В нашем примере — отношение первой скорости к второй скорости равно отношению второго времени к первому времени.

Задача 1:

Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?
  1. Решение:
  2. Запишем краткое условие задачи:Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту
  3. Задача 2:
Для перевозки груза потребовалось 24 машины грузоподъемностью 7,5 тонн. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз?
  • Решение: 
  • Краткая запись:
  • Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

Если у вас не открываются игры или тренажёры, читайте здесь.

Источник: http://kid-mama.ru/pryamaya-i-obratnaya-proporcionalnaya-zavisimost/

Урок 23 Получить доступ за 50 баллов Прямая и обратная пропорциональные зависимости

На этом уроке мы рассмотрим, что такое прямая и обратная пропорциональные зависимости, научимся оформлять и решать задачи с помощью пропорции, устанавливая пропорциональную зависимость между величинами в ней, рассмотрим примеры задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость.

  • Давайте сначала разберемся, что такое пропорциональность.
  • Пропорциональность — это зависимость двух величин друг от друга таким образом, что значение отношения этих величин остается постоянным.
  • Зависимость величин друг от друга может быть прямой и обратной.
  • Отношение между величинами описываются прямой или обратной пропорциональностью.
  • Прямая пропорциональность выражается так: (mathbf{y = kx})
  • Обратная пропорциональность выражается так: (mathbf{y = frac{k}{x}})
  • где — это число, которое называют коэффициентом пропорциональности.
  • x и y величины, зависящие друг от друга.
  • Пример
  • Площадь прямоугольника равна (mathbf{S = a cdot b}), где S— это площадь прямоугольника, а — длина прямоугольника, b — ширина прямоугольника.
  • Если один из множителей произведения — постоянная величина, то произведение прямо пропорционально второму множителю.
  • Если постоянно значение произведения, то множители зависят друг от друга обратно пропорционально.
  • По формуле видно, что площадь квадрата зависит от длины (ширины) его стороны, а длина стороны (ширина) зависит от его площади.
  • Какова эта зависимость, сейчас и рассмотрим.
  • (mathbf{S = a cdot b})
  • Зависимость площади прямоугольника от длины при постоянном значении ширины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.
  • Зависимость площади прямоугольника от ширины при постоянном значении длины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.
  • (mathbf{a = frac {S}{b}}) или (mathbf{b = frac {S}{a}})
  • Пусть одна клетка равна 1 см. Рассмотрим рисунок:
  1. Ширина прямоугольника b постоянная величина
  2. b = 4 см
  3. a1 = 6 см
  4. Увеличим ширину прямоугольника — сторону a1 на 1 см, получим
  5. a2 = 7 см
  • Найдем площади прямоугольников S1 и S2
  • (mathbf{S_{1} = a_{1} cdot b = 6 cdot 4 = 24}) см2
  • (mathbf{S_{2} = a_{2} cdot b = 7 cdot 4 = 28})  см2
  • Вывод: при увеличении стороны прямоугольника увеличилась площадь прямоугольника.
  • Рассмотрим другой вариант зависимости
  • Зависимость одной из сторон прямоугольника от второй стороны при постоянном значении площади прямоугольника является обратно пропорциональной зависимостью. Пусть одна клетка равна 1 см
  1. Площадь прямоугольника S постоянная величина
  2. S = 24 см2
  3. b1 = 4 см
  4. (mathbf{a_{1} = frac{S}{b_{1}} = 6}) (см)
  5. Увеличим высоту прямоугольника- сторону прямоугольника b1 на 2 см, получим
  6. b2 = 6 см
  7. Найдем ширину прямоугольника- сторону a2
  8. (mathbf{a_{2} = frac{S}{b_{2}} = 4}) (см)

Вывод: при увеличении одной стороны прямоугольника и постоянном значении площади, вторая сторона уменьшается.

Таким образом, мы подошли к основным понятиям пропорциональной зависимости. Чтобы было легко разобраться в несложных схемах ниже, мы дадим пояснение символам:

Итак:

1)    Две величины прямо пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, так же увеличивается (уменьшается) в n количество раз.

2)    Две величины обратно пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, уменьшается (увеличивается) в n количество раз.

  • Примеров прямой и обратной пропорциональности множество.
  • Однако не все величины зависят друг от друга прямо пропорционально или обратно пропорционально, встречаются и более простые и более сложные зависимости величин.
  • Надо понимать, что даже если какие-нибудь две величины возрастают или убывают, то между ними не обязательно существует пропорциональная зависимость.
  • Например, с течением времени увеличивается возраст человека и его размер ноги, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста размер ноги человека не удваивается

Алгоритм решения задач на пропорциональную зависимость состоит из нескольких основных пунктов:

  1. Обозначить буквой значение неизвестной величины (чаще всего для этого выбирают латинскую букву Х)
  2. Проанализировать задачу и кратко записать ее условия (краткую запись можно делать в виде таблицы или изображать в виде логической схемы)
  3. Установить зависимость между величинами
  4. В краткой записи задачи обозначить стрелками пропорциональную зависимость
  1. — Стрелки, которые направлены в одну сторону, обозначают прямую пропорциональную зависимость величин
  2. — Стрелки, которые направлены в разные стороны, обозначают обратную пропорциональную зависимость величин.
  3.         5. Записать пропорцию, учитывая характер пропорциональности величин
  4.         6. Составить уравнение
  5.         7. Найти неизвестный член уравнения (искомую величину)
  6.         8. Записать ответ задачи
  7. Важно помнить, что при составлении краткой записи задачи величины с одинаковыми единицами измерения записывают друг под другом.
  8. Если между величинами прямая пропорциональная зависимость, то пропорция составляется точно в соответствии с краткой записью задачи.
  9. Если между величинами обратная пропорциональная зависимость, то при составлении пропорции одноименные величины меняются местами в одном любом из столбцов таблицы (логической схемы) краткой записи задачи.
  10. Другими словами, при прямо пропорциональной зависимости отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.
  11. При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
  • Рассмотрим некоторые варианты задач на пропорциональную зависимость, в которых величины зависят прямо пропорционально одна от другой.
  • Задача 1
  • Для приготовления из 3 кг черной смородины по рецепту требуется 3,3 кг сахара.
  • Сколько сахара потребуется для приготовления варенья из 5 кг черной смородины?
  1. Решение:
  2. Пусть х (кг) сахара потребуется для приготовления варенья из 5 кг ягод.
  3. Составим краткую запись задачи в виде таблицы:
  • Определим, как зависят масса сахара и масса ягод.
  • Чем больше ягод, тем больше нужно сахара, следовательно, между величинами прямо пропорциональная зависимость.
  • В таблице вертикальными стрелками изображаем прямо пропорциональную зависимость величин.
  • Так как зависимость величин прямо пропорциональная, составим пропорцию в точном соответствии с таблицей.
  • Отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.
  • Получим (mathbf{frac{3,3}{x} = frac{3}{5}})
  • Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:
  • (mathbf{{3}cdot{x} = {5}cdot{3,3}})
  • (mathbf{ {x} = {(5}cdot{3,3)}div{3}})
  • (mathbf{ {x} = {5,5}}) (кг) сахара потребуется для приготовления варенья из 5 кг ягод.
  • Ответ: (mathbf{ {x} = {5,5}})  (кг)
  • Задача 2
  • Автомобиль, двигаясь с постоянной скоростью, проехал 400 км за 5 часов.
  • За какое время автомобиль проедет 600 км?
  1. Решение:
  2. Пусть х (ч) – время, за которое автомобиль проедет 600 км.
  3. Составим краткую запись задачи в виде таблицы:
  • Определим, как зависят величины S от t, где — это путь, а — это время.
  • Так как движение происходит с постоянной скоростью, то (mathbf{ {S} = {V}cdot{t}}).
  • Чем больше расстояние, тем больше требуется времени для преодоления этого расстояния, значит, зависимость между величинами S и t прямо пропорциональная.
  • Изображаем в таблице краткой записи задачи вертикальными стрелками прямо пропорциональную зависимость величин.
  • Так как зависимость величин прямо пропорциональная, составим пропорцию в точном соответствии с таблицей.
  • Отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.
  • Получим (mathbf{frac{5}{x} = frac{400}{600}})
  • Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:
  • (mathbf{ {400}cdot{x} = {5}cdot{600}})
  • (mathbf{ {x} = {(5}cdot{600)}div{400}})
  • (mathbf{ {x} = {7,5}})   (ч) время, за которое автомобиль проедет 600 км
  • Ответ: (mathbf{ {x} = {7,5}})  (ч)
  • Примеры решения задач, в которых величины зависят обратно пропорционально одна от другой.
  • Задача 1
  • Для перевозки гравия потребовалось 42 машины грузоподъемностью т.
  • Сколько нужно машин грузоподъемностью т, чтобы перевезти тот же объем гравия?
  1. Решение:
  2. Пусть х (шт) — это количество машин грузоподъемностью 7 т, необходимых для перевозки груза.
  3. Краткую запись задачи оформим в виде таблицы:
  • Определим, как зависят величины друг от друга.
  • Чем больше грузоподъемность машины, тем меньше машин потребуется для перевозки груза.
  • Получаем обратно пропорциональную зависимость.
  • Изображаем на краткой записи задачи вертикальными стрелками, направленными в разные стороны, обратно пропорциональную зависимость величин.
  • При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
  • А это значит, что при составлении пропорции одно из отношений получится перевернутым.
  • Получим (mathbf{frac{42}{x} = frac{7}{5}})
  • Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:
  • (mathbf{ {7}cdot{x} = {42}cdot{5}})
  • (mathbf{ {x} = {(42}cdot{5)}div{7}})

(mathbf{ {x} = {30}}) (шт.) машин грузоподъёмностью 7 т понадобится для перевозки гравия.

Ответ: (mathbf{ {x} = {30}})  (шт.)

Задача 2

Велосипедист проехал путь от дачи до дома за час со скоростью 10 км/ч. Сколько понадобится времени велосипедисту на преодоление этого пути со скоростью 20 км/ч?

Решение:

Пусть х (ч) время велосипедиста, если он будет двигаться со скоростью 20 км/ч. Составим краткую запись задачи в виде таблицы:

  1. Определим, как зависят V и t, где V— скорость движения велосипедиста, t— время движения.
  2. Чем больше скорость велосипедиста, тем меньше времени ему потребуется для преодоления пути.
  3. Получаем обратно пропорциональную зависимость величин друг от друга.
  4. Изображаем на краткой записи задачи вертикальными стрелками, направленными в разные стороны, обратно пропорциональную зависимость величин.
  5. При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
  6. А это значит, при составлении пропорции одно из отношений получаем перевернутым.
  7. Получим  (mathbf{frac{x}{1} = frac{10}{20}})
  8. Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:
  9. (mathbf{ {20}cdot{x} = {10}cdot{1}})
  10. (mathbf{ {x} = {(10}cdot{1)}div{20}})
  11. (mathbf{ {x} = {0,5}}) (ч) время велосипедиста, если он будет двигаться со скоростью 20 км/ч.
  12. Ответ: (mathbf{ {x} = {0,5}}) (ч)

Прямая и обратная пропорциональности - в помощь студенту

  • Видео
  • Изображения
  • Дополнительная информация
  • Таблицы
  • Тесты

Получить доступ

Источник: https://ladle.ru/education/matematika/6class/pryamaya-i-obratnaya

Классная работа Прямая и обратная пропорциональные зависимости. — презентация

1 Классная работа Прямая и обратная пропорциональные зависимости

2 Какие величины называют прямо пропорциональными? Какие величины называют обратно пропорциональными? Объясните почему? Периметр квадрата и длина стороны квадрата – прямо пропорциональные величины. Длина стороны квадрата и площадь квадрата – прямо пропорциональные величины. Если скорость движения постоянна, то пройденный путь и время движения – прямо пропорциональные величины.

Выручка кассы кинотеатра обратно пропорциональна количеству проданных билетов. Выручка кассы кинотеатра прямо пропорциональна количеству проданных билетов, проданных по одной и той же цене. При постоянной цене стоимость товара и его масса – обратно пропорциональные величины. Если площадь прямоугольника постоянная величина, то его длина и ширина – обратно пропорциональные величины.

3 Задачи а) На пошив 9 рубашек ушло 18,9 м ткани. Сколько метров ткани уйдет на пошив 12 таких рубашек ? б) С помощью 6 одинаковых труб бассейн заполняется водой за 24 минуты.

За сколько минут можно заполнить бассейн с помощью 9 таких труб? в) Бригада из 8 рабочих выполняет задание за 12 дней. Сколько рабочих смогут выполнить задание за 8 дней, работая с такой же производительностью? г) Из 9,6 кг помидоров получают 4 л томатного соуса.

Сколько литров соуса можно получить из 84 кг помидоров? Составить пропорции для решения задач I- вариант II- вариант в) и г) а) и б)

4 I- вариант II – вариант 1. б) и в) 1. а) и г) 2. в) Х : 8= 12 : 8 2. а) 9 : 12=18,9 : Х г) 84 : 9,6= Х : 4 б) 9 : 6=24 : Х

5 Из пункта А в пункт В выехали одновременно мотоциклист со скоростью 56 км/ч и велосипедист, скорость которого 14 км/ч. Мотоциклист через 30 минут прибыл в пункт В. Кто был дольше в пути: мотоциклист или велосипедист и на сколько? 56 км/ч 14 км/ч 30 мин ?

6 Скорость 550 км/ч Скорость на 50 км/ч меньше

7 Алгоритм решения задач на прямую и обратную пропорциональные зависимости: неизвестное число обозначить буквой х записать условие задачи установить вид зависимости между величинами прямую пропорциональную зависимость обозначить одинаково направленными стрелками, а обратную пропорциональную зависимость – противоположно направленными стрелками. записать пропорцию найти её неизвестный член.

8 Домашнеее задание п. 22, 811, 813 Урок окончен. Спасибо за работу. Встретимся на следующем уроке

Источник: http://www.myshared.ru/slide/1139669/

Прямая и обратная пропорциональность

Пропорциональность – это зависимость одной величины от другой, при которой изменение одной величины приводит к изменению другой во столько же раз.

Пропорциональность величин может быть прямой и обратной.

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность – это зависимость двух величин, при которой одна величина зависит от второй величины так, что их отношение остаётся неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными или просто пропорциональными.

  • Рассмотрим пример прямой пропорциональности на формуле пути:
  • s = vt
  • где s – это путь, v – скорость, а t – время.
  • При равномерном движении путь пропорционален времени движения. Если взять скорость v равной 5 км/ч, то пройденный путь s будет зависеть только от времени движения t:
Скорость v = 5 км/чВремя t (ч)

Путь s (км)

1 2 4 8 16
5 10 20 40 80

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается время движения t, во столько же раз увеличивается пройденное расстояние s. В примере мы увеличивали время каждый раз в 2 раза, так как скорость не менялась, то и расстояние увеличивалось тоже в два раза.

В данном случае скорость (v = 5 км/ч) является коэффициентом прямой пропорциональности, то есть отношением пути ко времени, которое остаётся неизменным:

s   =  v,   следовательно,    5  =  10  =  20  =  40  =  80  = 5
t 1 2 4 8 16

Если время движения остаётся неизменным, то при равномерном движении расстояние будет пропорционально скорости:

Время t = 2 чСкорость v (км/ч)

Расстояние s (км)

5 15 45 90
10 30 90 180

В этом примере коэффициентом прямой пропорциональности, то есть, отношением пути к скорости, которое остаётся неизменным, является время (t = 2 ч):

s   =  t,   следовательно,    10  =  30  =  90  =  180  = 2
v 5 15 45 90
  1. Из данных примеров следует, что две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.
  2. Формула прямой пропорциональности:
  3. y = kx
  4. где y и x – это переменные величины, а k – это постоянная величина, называемая коэффициентом прямой пропорциональности.
  5. Коэффициент прямой пропорциональности – это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x равное одному и тому же числу.
  6. Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность – это зависимость двух величин, при которой увеличение одной величины приводит к пропорциональному уменьшению другой. Такие величины называются обратно пропорциональными.

  • Рассмотрим пример обратной пропорциональности на формуле пути:
  • s = vt
  • где s – это путь, v – скорость, а t – время.
  • При прохождении одного и того же пути с разной скоростью движения время будет обратно пропорционально скорости. Если взять путь s равным 120 км, то потраченное на преодоление этого пути время t будет зависеть только от скорости движения v:
Путь s = 120 кмСкорость v (км/ч)

Время t (ч)

10 20 40 80
12 6 3 1,5

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается скорость движения v, во столько же раз уменьшается время t. В примере мы увеличивали скорость движения каждый раз в 2 раза, а так как расстояние, которое нужно преодолеть, не менялось, то количество времени на преодоление данного расстояния сокращалось тоже в два раза.

  1. В данном случае путь (s = 120 км) является коэффициентом обратной пропорциональности, то есть произведением скорости на время:
  2. s = vt,  следовательно    10 · 12 = 20 · 6 = 40 · 3 = 80 · 1,5 = 120
  3. Из данного примера следует, что две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
  4. Формула обратной пропорциональности:
  5. где y и x – это переменные величины, а k – это постоянная величина, называемая коэффициентом обратной пропорциональности.
  6. Коэффициент обратной пропорциональности – это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
  7. Формула коэффициента обратной пропорциональности:
  8. xy = k

Источник: https://naobumium.info/algebra/proportsionalnost.php

Ссылка на основную публикацию