Правило параллелепипеда. разложение вектора — в помощь студенту

Презентация на тему: Компланарные векторы. Правило параллелепипеда

Скачать эту презентацию

Получить код Наши баннеры

Скачать эту презентацию

№ слайда 1

Описание слайда:

Тема урока:Компланарные векторы. Правило параллелепипеда.

№ слайда 2

Описание слайда:

Цели урока: — усвоить определение компланарных векторов;- рассмотреть признак компланарности трёх векторов;- рассмотреть правило параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов;- научиться применять полученные знания при решении задач.

№ слайда 3

Описание слайда:

Определение Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.Иначе: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

№ слайда 4

Описание слайда:

Устно № 355

№ слайда 5

Описание слайда:

Признак компланарности трёх векторов

№ слайда 6
№ слайда 7
№ слайда 8

Описание слайда:

Правило параллелепипеда Для сложения трех некомпланарных векторов можно пользоваться так называемым правилом параллелепипеда.

№ слайда 9

Описание слайда:

Домашнее задание:п.39, 40№ 358

№ слайда 10

Описание слайда:

Тема урока: Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

№ слайда 11

Описание слайда:

Цели урока — изучить теорему о разложении вектора по трём некомпланарным векторам;- научиться применять полученные знания при решении задач.

№ слайда 12

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если вектор представлен в виде:где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам , и .Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.

№ слайда 13

Описание слайда:

Теорема. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

№ слайда 14

Описание слайда:

Векторы коллинеарны, поэтому существуют числа х, у, z такие, что .

№ слайда 15

Описание слайда:

В классе: № 360 (а)Домашнее задание:п.41 № 360 (б), № 368

Скачать эту презентацию

Скачивание материала начнется через 60 сек. А пока Вы ожидаете, предлагаем ознакомиться с курсами видеолекций для учителей от центра дополнительного образования «Профессионал-Р» (Лицензия на осуществление образовательной деятельности

№3715 от 13.11.2013).

Получить доступ

Источник: https://ppt4web.ru/geometrija/komplanarnye-vektory-pravilo-parallelepipeda.html

Компланарные векторы. Правило параллелепипеда — КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ — ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

• Цели урока:
• 1) ввести определение компланарных векторов;
• 2) рассмотреть признак компланарности трех векторов и правило параллелепипеда, сложение трех некомпланарных векторов.
• Ход урока
• I. Организационный момент
• II. Постановка целей и мотивация урока
• III. Объяснение нового материала
• Определение

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

Любые два вектора компланарны; три вектора, среди которых два коллинеарные, также компланарны (объясните почему).

Пример: рис. 1.

На рис. 1 изображен параллелепипед.

Векторы — компланарны, так как, если отложить от точки О вектор, равный то получится вектор а векторы лежат в плоскости ОСЕ. — некомпланарны, так как вектор не лежит в плоскости ОАВ. Признак компланарности 3-х векторов: если вектор можно разложить по векторам то есть представить в виде: (х, у — некоторые числа), то векторы — компланарны.

Доказательство: Пусть не коллинеарные (рис. 2) (если коллинеарные — компланарность очевидна). Отложим отточки О векторы: и лежат в плоскости ОАВ. В плоскости ОАВ лежат и векторы и лежит в той же плоскости. Что и требовалось доказать. Обратное утверждение: если векторы компланарны, а векторы некомпланарны, то вектор можно разложить по векторам то есть причем коэффициенты х и у определяются единственным образом.

1. Доказательство: (самостоятельно) на основании теоремы о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.
2. 1) — компланарны (по условию).
3. Если их отложить от точки А, то они будут лежать в одной плоскости.

4) что и требовалось доказать (единственность коэффициентов х, у доказать самостоятельно дома).

Правило параллелепипеда (для сложения трех некомпланарных векторов).

Дано: (рис. 3).

• IV. Формирование знаний и умений
• Устно — № 355 а) да; б) нет; в) да; г) нет.
• У доски — № 356.

Дано: (рис. 4).

1. 1) Доказательство:
2. 2) — компланарны — ?
3. согласно признаку компланарности, векторы компланарны.
4. Решение упражнений № 359 a)
5. V. Подведение итогов
6. (по вопросам 13, 14, 15, стр. 92)
7. Домашнее задание
8. № 358, 359 (б); доп. 368, (а, б)
9. Ответ к д/з № 358
10. № 359 б)
11. № 368 а) б)

Источник: https://compendium.su/mathematics/geometry10/61.html

Тема урока: Компланарные векторы. Правило параллелепипеда. — скачать презентацию

Слайд 1Описание слайда:

Тема урока:
Компланарные векторы. Правило параллелепипеда.

Слайд 2Описание слайда:

Цели урока: — усвоить определение компланарных векторов; — рассмотреть признак компланарности трёх векторов; — рассмотреть правило параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов; — научиться применять полученные знания при решении задач.

Слайд 3Описание слайда:

Определение Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Иначе: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Слайд 4Описание слайда:

Устно № 355

Слайд 5Описание слайда:

Признак компланарности трёх векторов

Слайд 6Слайд 7Слайд 8Описание слайда:

Правило параллелепипеда

Слайд 9Описание слайда:

Домашнее задание:
п.39, 40
№ 358

Слайд 10Описание слайда:

Тема урока: Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

Слайд 11Описание слайда:

Цели урока — изучить теорему о разложении вектора по трём некомпланарным векторам; — научиться применять полученные знания при решении задач.

Слайд 12Описание слайда:

Если вектор представлен в виде: Если вектор представлен в виде: где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам , и . Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.

Слайд 13Слайд 14Описание слайда:

Векторы коллинеарны, поэтому существуют числа х, у, z такие, что . Векторы коллинеарны, поэтому существуют числа х, у, z такие, что .

Слайд 15Описание слайда:

В классе: № 360 (а) Домашнее задание:
п.41 № 360 (б), № 368

Источник: https://mypresentation.ru/presentation/tema_uroka_komplanarnye_vektory_pravilo_parallelepipeda

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

• Теорема. Любой вектор m может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации трех любых некомпланарных векторов а, b и с:
• m = xa + yb + zc. (1)
• Прежде всего отметим, что никакие два вектора из векторов а, b, с не коллинеарны; в противном случае векторы а, b, с были бы компланарны. Поэтому, если вектор m компланарен с какими-нибудь двумя векторами (например, с а и b), то m = ха + уb и, следовательно,
• m = ха + уb + 0 • с,

т. е. в этом случае теорема доказана.

Пусть вектор m не компланарен ни с какими двумя векторами из векторов а, b, с (рис. 30).

Приведем все векторы к общему началу О и проведем через точку М (конец направленного отрезка, изображающего вектор (overrightarrow{OM}) = т) прямую, параллельную вектору с. Эта прямая пересечет плоскость ОАВ в некоторой точке N. Ясно, что

1. (overrightarrow{OM}) = (overrightarrow{ON}) + (overrightarrow{NM}).
2. По свойству коллинеарных векторов (overrightarrow{NM}) = zc.
3. По теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам существуют числа х, у такие, что (overrightarrow{ON}) = ха + уb.
4. Таким образом,
5. (overrightarrow{OM}) = (overrightarrow{ON}) + (overrightarrow{NM}) = xa + yb + zc.
6. Единственность разложения вектора т по векторам а, b и с: доказывается аналогично тому, как это было сделано в теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.
7. Базисом пространства называются любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.
8. Пусть e1, e2 и e3 — некоторый базис, и a — произвольный вектор. Тогда, по только что доказанной теореме, существуют три числа х, у, z таких, что
9. а = хe1 + уe2 + ze3.

Числа х, у и z называются координатами вектора а в данном базисе. В этом случае пишут а = (х; у; z).

Задача 1. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Разложить вектор (overrightarrow{AK}), где K — центр грани ВСС1В1 по векторам а = (overrightarrow{AB}), b = (overrightarrow{AC}), с = (overrightarrow{AA}) (рис. 31).

Из (Delta)AKL имеем (overrightarrow{AK}) = (overrightarrow{AL}) + (overrightarrow{LK}), но

$$ overrightarrow{AL} = frac{overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}}{2} = frac{a+b}{2} $$
$$ а ;; overrightarrow{LK} = frac{overrightarrow{AA_1}}{2} = frac{c}{2} $$

Следовательно,

$$ overrightarrow{AK} = frac{a+b}{2} + frac{c}{2} = frac{1}{2}a + frac{1}{2}b + frac{1}{2}c $$

Задача 2. Пусть векторы (overrightarrow{DA}), (overrightarrow{DB}), (overrightarrow{DC}), изображенные соответствующими направленными ребрами треугольной пирамиды ABCD, образуют базис. Найти координаты вектора (overrightarrow{AB}) в этом базисе.

Воспользуемся рис. 29a.

Обозначив (overrightarrow{DA}) = e1, (overrightarrow{DB}) = e2, (overrightarrow{DC}) = e3, получим (overrightarrow{AB}) = (overrightarrow{DB}) — (overrightarrow{DA}) = — e1 + e2 или (overrightarrow{AB}) = — 1•e1 + 1•e2 + 0•e3,

откуда (overrightarrow{AB}) = (- 1; 1; 0).

Источник: http://razdupli.ru/teor/106_razlozhenie-vektora-po-trem-nekomplanarnym-vektoram.php

Правило параллелепипеда

• Материал урока.
• На прошлых занятиях вы познакомились с понятием компланарных векторов.
• Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
• При этом на практике мы использовали такую формулировку: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
• Так же вы доказали признак компланарности векторов.
• Если вектор  можно разложить по векторам  и , то векторы ,  и  компланарны.
• К тому же вы убедились в справедливости и обратного утверждения.
• Если векторы ,  и  компланарны, а векторы  и  не коллинеарны, то вектор  можно разложить по векторам  и , причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
• Для сложения компланарных векторов, так как все они лежат в одной плоскости, можно использовать правила сложения известные из планиметрии, а именно: правило треугольника, правило параллелограмма и правило многоугольника.
• Что же касается некомпланарных векторов, то для построения их суммы используют правило параллелепипеда.
• Рассмотрим некомпланарные векторы ,  и .
• От произвольной точки О пространства отложим векторы ,  и  равные векторам ,  и  соответственно.
• На полученных векторах можно построить параллелепипед так, чтобы они являлись его рёбрами.
• Построим вектор суммы векторов ,  и  при этом последовательно их складывая.
• Вектором суммы векторов ,  по правилу параллелограмма будет вектор .

Вектором суммы векторов  и  по тому же правилу будет вектор . Вектор  равен сумме векторов ,  и , а значит равен сумме векторов ,  и .

1. Отсюда правило параллелепипеда можно сформулировать так.
2. Если отложить некомпланарные векторы ,  и  от некоторой точки пространства О и построить на них параллелепипед, то диагональ OD параллелепипеда будет выражать вектор суммы данных векторов.
3. Воспользуемся сформулированным только что правилом и выполним задание.
4. Рассмотрим  параллелепипед и укажем вектор суммы данных векторов такой, чтобы его начало и конец совпадали с вершинами параллелепипеда.

Первым назовём вектор . Так как эти векторы отложены от одной точки и являются рёбрами данного параллелепипеда, то вектор их суммы будет задавать диагональ параллелепипеда, одним из концов которой будет точка начала данных векторов А. Так мы получим вектор .

Далее назовём вектор суммы векторов .

Они также отложены от одной точки D и являются рёбрами данного параллелепипеда. Вектором их суммы будет вектор .

• В следующем пункте нужно назвать вектор суммы векторов .
• В данном случае векторы не имеют общего начала, а имеют общий конец.
• Выразим каждый из данных векторов через противоположный.

Далее рассмотрим сумму векторов . Только вектор  не берёт своё начало в точке А1. Но вектор  равен ему, поэтому заменим вектор  в сумме на равный ему вектор .

1. Не трудно понять, что вектором полученной суммы будет вектор .
2. Последней рассмотрим сумму векторов  .

Вектор  заменим равным ему вектором . Тогда не трудно записать вектор суммы. Им будет вектор  

• Подведём итоги урока.
• Сегодня мы описали правило параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов.
• Если отложить некомпланарные векторы ,  и  от некоторой точки пространства О и построить на них параллелепипед, то диагональ OD параллелепипеда будет выражать вектор суммы данных векторов.
• Это правило пригодится вам при изучении следующих тем курса стереометрии.

Источник: https://videouroki.net/video/38-pravilo-parallieliepipieda.html

Урок 18. компланарные векторы. векторный метод решения задач — Геометрия — 10 класс — Российская электронная школа

Урок Конспект Дополнительные материалы

Геометрия, 10 класс

Урок №18. Компланарные векторы. Векторный метод решения задач

• Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
• — какие векторы называются компланарными и их изображение на чертежах
• -определение компланарных векторов.
• — признак компланарности трех векторов и правило параллелепипеда, сложение трех некомпланарных векторов.
• — основы векторного метода решения задач.
• Основная литература:

Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11классов — М.: Просвещение, 2017. C. 77-85.

Ершова А.П., Голобородько В.В., Крижановский А.Ф. Тетрадь-конспект по геометрии для 10 класса.  2016. С.88-93.

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

Давайте вспомним основные определения по теме «Векторы». В этом поможет следующее задание: установите соответствие между понятием и его определением.

Вектор	?
Равные векторы	Противоположно направлены и их длины равны.
Противоположные векторы	Направленный отрезок
Коллинеарные векторы	Сонаправлены и их длины равны.
Компланарные векторы	Лежат на одной или параллельных прямых

Появилось новое понятие о векторах в пространстве, которого не было на плоскости — компланарность  векторов. С определения компланарных векторов и начинаются главные отличия векторов в планиметрии и стереометрии.

Компланарные векторы.

Определение2.Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

1. Рассмотрим некоторые случаи:
2. 1 случай. Любые два вектора всегда будут компланарными, ведь через них можно провести прямые, а через две прямые всегда можно провести 
3. единственную плоскость.

2 случай. Три вектора будут компланарными если среди них есть пара коллинеарныхвекторов. Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов легко 

• изобразить равный в этой плоскости.
• 3 случай. Если хотя бы один из трёх векторов является нулевым, то эти три вектора компланарны
• Из планиметрии: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Следующая теорема выражает признак компланарности трех векторов. Теорема (признак) Если вектор  можно представить в виде  = х + у, где х и у — некоторые числа, то векторы ,  и  компланарны.

Для сложения трёх некомпланарных векторов можно пользоваться правилом параллелепипеда. Отложим от произвольной точки О векторы =, =, = и построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ и ОС были рёбрами.Тогда ОD — диагональ этого параллелепипеда равна  сумме векторов, и . Если вектор можно представить в виде суммы:  = х + у + z, то говорят, что вектор d разложен по векторам , и . Числа х, у, z называют коэффициентами разложения.

Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Часть 2. Векторный метод решения задач

Векторный метод решения задач – один из наиболее общих методов решения геометрических задач. Векторное решение стереометрических задач значительно проще их решения средствами элементарной геометрии.

1. Рассмотрим следующую задачу: Доказать, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.
2. Пусть ABCD — данная трапеция, M и N — середины оснований BC И AD, а O — точка пересечения прямых AB и CD.
3. Докажем, что точка О лежит на прямой МN.

Условие задачи переводится на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык.

Решением задач векторным методом занимались ученые:Уильман Гамильтон  Иога́нн Берну́лли, Пьер Ферма, Рене Декарт, Леонард Эйлер.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля:

Задача.В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1  М —точка пересечения диагоналей грани A1B1C1D1, точка K — середина ребра ВВ1. Докажите, что прямые А1В1, KМ и ВС1 параллельны некоторой плоскости.

Решение. Введем векторы:     . Векторы некомпланарны.

• Разложим векторы и   по векторам. Получим:
• += .

Тогда векторы = + компланарны. Следовательно, они параллельны некоторой плоскости, тогда этой плоскости параллельны и прямые А1В1, KМ и ВС1.

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6404/conspect/