Презентация на тему: Компланарные векторы. Правило параллелепипеда
Узнай стоимость своей работы
Скачать эту презентацию
Получить код Наши баннеры
Скачать эту презентацию
№ слайда 1
Описание слайда:
Узнай стоимость своей работы
Тема урока:Компланарные векторы. Правило параллелепипеда.
№ слайда 2
Описание слайда:
Цели урока: — усвоить определение компланарных векторов;- рассмотреть признак компланарности трёх векторов;- рассмотреть правило параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов;- научиться применять полученные знания при решении задач.
№ слайда 3
Описание слайда:
Определение Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.Иначе: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
№ слайда 4
Описание слайда:
Устно № 355
№ слайда 5
Описание слайда:
Признак компланарности трёх векторов
№ слайда 6
№ слайда 7
№ слайда 8
Описание слайда:
Правило параллелепипеда Для сложения трех некомпланарных векторов можно пользоваться так называемым правилом параллелепипеда.
№ слайда 9
Описание слайда:
Домашнее задание:п.39, 40№ 358
№ слайда 10
Описание слайда:
Тема урока: Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
№ слайда 11
Описание слайда:
Цели урока — изучить теорему о разложении вектора по трём некомпланарным векторам;- научиться применять полученные знания при решении задач.
№ слайда 12
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если вектор представлен в виде:где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам , и .Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.
№ слайда 13
Описание слайда:
Теорема. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
№ слайда 14
Описание слайда:
Векторы коллинеарны, поэтому существуют числа х, у, z такие, что .
№ слайда 15
Описание слайда:
В классе: № 360 (а)Домашнее задание:п.41 № 360 (б), № 368
Скачать эту презентацию
Скачивание материала начнется через 60 сек. А пока Вы ожидаете, предлагаем ознакомиться с курсами видеолекций для учителей от центра дополнительного образования «Профессионал-Р» (Лицензия на осуществление образовательной деятельности
№3715 от 13.11.2013).
Получить доступ
Источник: https://ppt4web.ru/geometrija/komplanarnye-vektory-pravilo-parallelepipeda.html
Компланарные векторы. Правило параллелепипеда — КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ — ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
- Цели урока:
- 1) ввести определение компланарных векторов;
- 2) рассмотреть признак компланарности трех векторов и правило параллелепипеда, сложение трех некомпланарных векторов.
- Ход урока
- I. Организационный момент
- II. Постановка целей и мотивация урока
- III. Объяснение нового материала
- Определение
Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
Любые два вектора компланарны; три вектора, среди которых два коллинеарные, также компланарны (объясните почему).
Пример: рис. 1.
На рис. 1 изображен параллелепипед.
Векторы — компланарны, так как, если отложить от точки О вектор, равный то получится вектор а векторы
лежат в плоскости ОСЕ.
— некомпланарны, так как вектор не лежит в плоскости ОАВ. Признак компланарности 3-х векторов: если вектор можно разложить по векторам то есть представить в виде: (х, у — некоторые числа), то векторы — компланарны.
Доказательство: Пусть не коллинеарные (рис. 2) (если коллинеарные — компланарность очевидна). Отложим отточки О векторы: и лежат в плоскости ОАВ. В плоскости ОАВ лежат и векторы и
лежит в той же плоскости.
Что и требовалось доказать. Обратное утверждение: если векторы компланарны, а векторы некомпланарны, то вектор можно разложить по векторам то есть причем коэффициенты х и у определяются единственным образом.
- Доказательство: (самостоятельно) на основании теоремы о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.
- 1) — компланарны (по условию).
- Если их отложить от точки А, то они будут лежать в одной плоскости.
4) что и требовалось доказать (единственность коэффициентов х, у доказать самостоятельно дома).
Правило параллелепипеда (для сложения трех некомпланарных векторов).
Дано: (рис. 3).
- IV. Формирование знаний и умений
- Устно — № 355 а) да; б) нет; в) да; г) нет.
- У доски — № 356.
Дано: (рис. 4).
- 1) Доказательство:
- 2) — компланарны — ?
- согласно признаку компланарности, векторы компланарны.
- Решение упражнений № 359 a)
- V. Подведение итогов
- (по вопросам 13, 14, 15, стр. 92)
- Домашнее задание
- № 358, 359 (б); доп. 368, (а, б)
- Ответ к д/з № 358
- № 359 б)
- № 368 а) б)
Источник: https://compendium.su/mathematics/geometry10/61.html
Тема урока: Компланарные векторы. Правило параллелепипеда. — скачать презентацию
Слайд 1Описание слайда:
Тема урока:
Компланарные векторы. Правило параллелепипеда.
Слайд 2Описание слайда:
Цели урока: — усвоить определение компланарных векторов; — рассмотреть признак компланарности трёх векторов; — рассмотреть правило параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов; — научиться применять полученные знания при решении задач.
Слайд 3Описание слайда:
Определение Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Иначе: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
Слайд 4Описание слайда:
Устно № 355
Слайд 5Описание слайда:
Признак компланарности трёх векторов
Слайд 6Слайд 7
Слайд 8
Описание слайда:
Правило параллелепипеда
Слайд 9Описание слайда:
Домашнее задание:
п.39, 40
№ 358
Слайд 10Описание слайда:
Тема урока: Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
Слайд 11Описание слайда:
Цели урока — изучить теорему о разложении вектора по трём некомпланарным векторам; — научиться применять полученные знания при решении задач.
Слайд 12Описание слайда:
Если вектор представлен в виде: Если вектор представлен в виде: где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам , и . Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.
Слайд 13Слайд 14Описание слайда:
Векторы коллинеарны, поэтому существуют числа х, у, z такие, что . Векторы коллинеарны, поэтому существуют числа х, у, z такие, что .
Слайд 15Описание слайда:
В классе: № 360 (а) Домашнее задание:
п.41 № 360 (б), № 368
Источник: https://mypresentation.ru/presentation/tema_uroka_komplanarnye_vektory_pravilo_parallelepipeda
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
- Теорема. Любой вектор m может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации трех любых некомпланарных векторов а, b и с:
- m = xa + yb + zc. (1)
- Прежде всего отметим, что никакие два вектора из векторов а, b, с не коллинеарны; в противном случае векторы а, b, с были бы компланарны. Поэтому, если вектор m компланарен с какими-нибудь двумя векторами (например, с а и b), то m = ха + уb и, следовательно,
- m = ха + уb + 0 • с,
т. е. в этом случае теорема доказана.
Пусть вектор m не компланарен ни с какими двумя векторами из векторов а, b, с (рис. 30).
Приведем все векторы к общему началу О и проведем через точку М (конец направленного отрезка, изображающего вектор (overrightarrow{OM}) = т) прямую, параллельную вектору с. Эта прямая пересечет плоскость ОАВ в некоторой точке N. Ясно, что
- (overrightarrow{OM}) = (overrightarrow{ON}) + (overrightarrow{NM}).
- По свойству коллинеарных векторов (overrightarrow{NM}) = zc.
- По теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам существуют числа х, у такие, что (overrightarrow{ON}) = ха + уb.
- Таким образом,
- (overrightarrow{OM}) = (overrightarrow{ON}) + (overrightarrow{NM}) = xa + yb + zc.
- Единственность разложения вектора т по векторам а, b и с: доказывается аналогично тому, как это было сделано в теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.
- Базисом пространства называются любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.
- Пусть e1, e2 и e3 — некоторый базис, и a — произвольный вектор. Тогда, по только что доказанной теореме, существуют три числа х, у, z таких, что
- а = хe1 + уe2 + ze3.
Числа х, у и z называются координатами вектора а в данном базисе. В этом случае пишут а = (х; у; z).
Задача 1. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Разложить вектор (overrightarrow{AK}), где K — центр грани ВСС1В1 по векторам а = (overrightarrow{AB}), b = (overrightarrow{AC}), с = (overrightarrow{AA}) (рис. 31).
Из (Delta)AKL имеем (overrightarrow{AK}) = (overrightarrow{AL}) + (overrightarrow{LK}), но
$$ overrightarrow{AL} = frac{overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}}{2} = frac{a+b}{2} $$
$$ а ;; overrightarrow{LK} = frac{overrightarrow{AA_1}}{2} = frac{c}{2} $$
Следовательно,
$$ overrightarrow{AK} = frac{a+b}{2} + frac{c}{2} = frac{1}{2}a + frac{1}{2}b + frac{1}{2}c $$
Задача 2. Пусть векторы (overrightarrow{DA}), (overrightarrow{DB}), (overrightarrow{DC}), изображенные соответствующими направленными ребрами треугольной пирамиды ABCD, образуют базис. Найти координаты вектора (overrightarrow{AB}) в этом базисе.
Воспользуемся рис. 29a.
Обозначив (overrightarrow{DA}) = e1, (overrightarrow{DB}) = e2, (overrightarrow{DC}) = e3, получим (overrightarrow{AB}) = (overrightarrow{DB}) — (overrightarrow{DA}) = — e1 + e2 или (overrightarrow{AB}) = — 1•e1 + 1•e2 + 0•e3,
откуда (overrightarrow{AB}) = (- 1; 1; 0).
Источник: http://razdupli.ru/teor/106_razlozhenie-vektora-po-trem-nekomplanarnym-vektoram.php
Правило параллелепипеда
- Материал урока.
- На прошлых занятиях вы познакомились с понятием компланарных векторов.
- Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
- При этом на практике мы использовали такую формулировку: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
- Так же вы доказали признак компланарности векторов.
- Если вектор можно разложить по векторам и , то векторы , и компланарны.
- К тому же вы убедились в справедливости и обратного утверждения.
- Если векторы , и компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
- Для сложения компланарных векторов, так как все они лежат в одной плоскости, можно использовать правила сложения известные из планиметрии, а именно: правило треугольника, правило параллелограмма и правило многоугольника.
- Что же касается некомпланарных векторов, то для построения их суммы используют правило параллелепипеда.
- Рассмотрим некомпланарные векторы , и .
- От произвольной точки О пространства отложим векторы , и равные векторам , и соответственно.
- На полученных векторах можно построить параллелепипед так, чтобы они являлись его рёбрами.
- Построим вектор суммы векторов , и при этом последовательно их складывая.
- Вектором суммы векторов , по правилу параллелограмма будет вектор .
Вектором суммы векторов и по тому же правилу будет вектор . Вектор равен сумме векторов , и , а значит равен сумме векторов , и .
- Отсюда правило параллелепипеда можно сформулировать так.
- Если отложить некомпланарные векторы , и от некоторой точки пространства О и построить на них параллелепипед, то диагональ OD параллелепипеда будет выражать вектор суммы данных векторов.
- Воспользуемся сформулированным только что правилом и выполним задание.
- Рассмотрим параллелепипед и укажем вектор суммы данных векторов такой, чтобы его начало и конец совпадали с вершинами параллелепипеда.
Первым назовём вектор . Так как эти векторы отложены от одной точки и являются рёбрами данного параллелепипеда, то вектор их суммы будет задавать диагональ параллелепипеда, одним из концов которой будет точка начала данных векторов А. Так мы получим вектор .
Далее назовём вектор суммы векторов .
Они также отложены от одной точки D и являются рёбрами данного параллелепипеда. Вектором их суммы будет вектор .
- В следующем пункте нужно назвать вектор суммы векторов .
- В данном случае векторы не имеют общего начала, а имеют общий конец.
- Выразим каждый из данных векторов через противоположный.
Далее рассмотрим сумму векторов . Только вектор не берёт своё начало в точке А1. Но вектор равен ему, поэтому заменим вектор в сумме на равный ему вектор .
- Не трудно понять, что вектором полученной суммы будет вектор .
- Последней рассмотрим сумму векторов .
Вектор заменим равным ему вектором . Тогда не трудно записать вектор суммы. Им будет вектор
- Подведём итоги урока.
- Сегодня мы описали правило параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов.
- Если отложить некомпланарные векторы , и от некоторой точки пространства О и построить на них параллелепипед, то диагональ OD параллелепипеда будет выражать вектор суммы данных векторов.
- Это правило пригодится вам при изучении следующих тем курса стереометрии.
Источник: https://videouroki.net/video/38-pravilo-parallieliepipieda.html
Урок 18. компланарные векторы. векторный метод решения задач — Геометрия — 10 класс — Российская электронная школа
Урок Конспект Дополнительные материалы
Геометрия, 10 класс
Урок №18. Компланарные векторы. Векторный метод решения задач
- Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- — какие векторы называются компланарными и их изображение на чертежах
- -определение компланарных векторов.
- — признак компланарности трех векторов и правило параллелепипеда, сложение трех некомпланарных векторов.
- — основы векторного метода решения задач.
- Основная литература:
Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11классов — М.: Просвещение, 2017. C. 77-85.
Ершова А.П., Голобородько В.В., Крижановский А.Ф. Тетрадь-конспект по геометрии для 10 класса. 2016. С.88-93.
Теоретический материал для самостоятельного изучения:
Давайте вспомним основные определения по теме «Векторы». В этом поможет следующее задание: установите соответствие между понятием и его определением.
Вектор | ? |
Равные векторы | Противоположно направлены и их длины равны. |
Противоположные векторы | Направленный отрезок |
Коллинеарные векторы | Сонаправлены и их длины равны. |
Компланарные векторы | Лежат на одной или параллельных прямых |
Появилось новое понятие о векторах в пространстве, которого не было на плоскости — компланарность векторов. С определения компланарных векторов и начинаются главные отличия векторов в планиметрии и стереометрии.
Компланарные векторы.
Определение2.Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
- Рассмотрим некоторые случаи:
- 1 случай. Любые два вектора всегда будут компланарными, ведь через них можно провести прямые, а через две прямые всегда можно провести
- единственную плоскость.
2 случай. Три вектора будут компланарными если среди них есть пара коллинеарныхвекторов. Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов легко
- изобразить равный в этой плоскости.
- 3 случай. Если хотя бы один из трёх векторов является нулевым, то эти три вектора компланарны
- Из планиметрии: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Следующая теорема выражает признак компланарности трех векторов. Теорема (признак) Если вектор можно представить в виде = х + у, где х и у — некоторые числа, то векторы , и компланарны.
Для сложения трёх некомпланарных векторов можно пользоваться правилом параллелепипеда. Отложим от произвольной точки О векторы =, =, = и построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ и ОС были рёбрами.Тогда ОD — диагональ этого параллелепипеда равна сумме векторов, и . Если вектор можно представить в виде суммы: = х + у + z, то говорят, что вектор d разложен по векторам , и . Числа х, у, z называют коэффициентами разложения.
Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Часть 2. Векторный метод решения задач
Векторный метод решения задач – один из наиболее общих методов решения геометрических задач. Векторное решение стереометрических задач значительно проще их решения средствами элементарной геометрии.
- Рассмотрим следующую задачу: Доказать, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.
- Пусть ABCD — данная трапеция, M и N — середины оснований BC И AD, а O — точка пересечения прямых AB и CD.
- Докажем, что точка О лежит на прямой МN.
Условие задачи переводится на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык.
Решением задач векторным методом занимались ученые:Уильман Гамильтон Иога́нн Берну́лли, Пьер Ферма, Рене Декарт, Леонард Эйлер.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля:
Задача.В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 М —точка пересечения диагоналей грани A1B1C1D1, точка K — середина ребра ВВ1. Докажите, что прямые А1В1, KМ и ВС1 параллельны некоторой плоскости.
Решение. Введем векторы: . Векторы некомпланарны.
- Разложим векторы и по векторам. Получим:
- += .
Тогда векторы = + компланарны. Следовательно, они параллельны некоторой плоскости, тогда этой плоскости параллельны и прямые А1В1, KМ и ВС1.
Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6404/conspect/