Объемы тел: объем параллелепипеда — в помощь студенту

На этом уроке мы узнаем, что такое объём. Научимся находить объём прямоугольного параллелепипеда.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Для начала давайте вернёмся к предыдущим урокам. Мы с вами изучали фигуры, которые расположены в плоскости – это точка, прямая, отрезок, прямоугольник и т.д.. Такие фигуры называют плоскими.

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Также мы с вами уже успели познакомиться с прямоугольным параллелепипедом.

Скажите, чем он отличается, например, от прямоугольника? Правильно! Прямоугольный параллелепипед имеет 3 измерения. Такие фигуры как прямоугольный параллелепипед, пирамида, шар и т.д. называют объёмными.

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Значит, мы с вами можем найти объём тела. А теперь давайте разберёмся, как же мы будем его вычислять.

  • Чтобы измерить объём, надо выбрать единицу измерения объёмов.
  • Определение
  • Куб, ребро которого равно единице измерения длины, называется единичным.
  • Объём единичного куба принимается за единицу измерения объёмов.
  • Например

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Точно также определяются и

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Оценка материально-производственных запасов - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

  1. Легко заметить, что название единицы объёма получается из названия единицы длины присоединением прилагательного «кубический».
  2. Измерить объём тела означает найти число, которое показывает, сколько единичных кубов содержится в этом теле.
  3. Проще всего измерить объём прямоугольного параллелепипеда.
  4. Найдём правило вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда.
  5. Пусть у нас есть прямоугольный параллелепипед с измерениями: длина 5 см, ширина 2 см и высота 3 см.

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Посчитаем, сколько единичных кубов вмещается в нём. Нижняя грань параллелепипеда имеет длину 5 см и ширину 2 см. Поэтому на ней можно расположить 5 ∙ 2 единичных кубов. Чтобы заполнить весь прямоугольный параллелепипед, нужно вложить 3 таких слоя, т.к. высота параллелепипеда 3 см.

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Значит, всего таких кубов, которые вместятся в этом параллелепипеде, будет равно

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Запомните, объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений, т.е. длины, ширины и высоты.

Если обозначить объем буквой V, а его измерения: длину – а, ширину – b, высоту – с, то это утверждение можно записать формулой:

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

При вычислениях нужно обязательно обращать внимание, чтобы все измерения прямоугольного параллелепипеда были выражены в одинаковых единицах.

Если S – площадь основания прямоугольного параллелепипеда, следовательно,

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Тогда объём прямоугольного параллелепипеда можно переписать так:

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

  • где свысота параллелепипеда.
  • Запомните ещё одно утверждение: объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания и высоты.
  • Найдём правило вычисления объёма куба с ребром а.
  • Значит, объём куба можно вычислить так
  • Именно поэтому  читается «а куб», или «а в кубе».
  • Равенство V=  даёт возможность выражать одни единицы объёма через другие. Например
  • Единица объёма 1  имеет ещё и другое название
  • Итоги

Итак, объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений, т.е. длины, ширины и высоты, V = abc. И ещё объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания и высоты, т.е. V = Sc.

Источник: https://videouroki.net/video/22-obiemy-obiem-priamoughol-nogho-parallieliepipieda.html

Объем многогранника — формула расчета, единица измерения, задачи и примеры

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студентуОбъемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Время на чтение: 11 минут Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

В стереометрии изучаются свойства самых разнообразных объемных тел, в том числе приводятся доказательства формул объемов многогранников от самого простого — куба — до сложных геометрических тел с n-м количеством граней.

Определение геометрических тел

Один из разделов геометрии — стереометрия — изучает самые разнообразные пространственные фигуры и их свойства. В общем случае геометрическое тело — это часть пространства, имеющая наружные границы в виде замкнутой поверхности.

Сугубо геометрическое определение описывает любую пространственную форму как компактную совокупность множества точек, каждые две из которых можно соединить отрезком и он будет полностью находиться внутри заданного ограниченного контура.

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Совокупность всех точек, которые находятся на границе тела, составляет его поверхность. Кроме того, можно сказать, что любое геометрическое тело образовано множеством внутренних точек. В

иды пространственных фигур:

  • многогранники;
  • тела вращения.

Конечное число плоских многоугольников, ограничивающих пространственное тело, называется многогранником. При этом должны соблюдаться два свойства:

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

  1. Любая сторона каждого из многоугольников одновременно является стороной другого многоугольника и только их двоих. Соприкасающиеся стороны называются смежными.
  2. Все многоугольники связаны между собой — от каждого из них можно проложить путь до любого другого через смежные стороны.
  • В геометрии многоугольники, образующие сложный пространственный многогранник, называют гранями, отрезки, образованные местом соединения двух смежных граней — ребрами, а углы, образованные соединенными в одной точке гранями — вершинами.
  • Общий принцип названий таких геометрических тел заключается в указании количества их сторон.
  • Таким образом, если число граней обозначить n, то название образуется как n-гранник:
  • 4 грани — четырехгранник;
  • 5 граней — пятигранник;
  • 6 граней — шестигранник;
  • 8 граней — восьмигранник.

Если весь многогранник находится только с одной стороны каждой своей грани, то его называют выпуклым, в противном случае — вогнутым или невыпуклым. Звездчатые многогранники, состоящие из множества правильных пространственных фигур, относятся к невыпуклым.

Отрезок, проложенный между двумя вершинами, принадлежащими разным граням и соединяющий их — диагональ многогранника.

Понятие объема

У людей давно возникла необходимость подсчитывать или отмерять необходимое количество разных веществ.

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

При измерении жидких и сыпучих материалов это было сделать легко, поместив их в сосуд известного объема.

Для определения вместимости любых пространственных форм в стереометрии было введено понятие объема.

Величина, описывающая размер части пространства, которую занимает геометрическое тело, называется его объемом и обозначается латинской буквой V. Для величины объема верны две аксиомы:

  1. Полный объем любого многогранника равен сумме объемов всех его простых частей. Это свойство используется при вычислении объемов составных пространственных фигур.
  2. У равных тел и объемы равные, что доказывается принципом наложения, и при параллельном переносе их объем не изменяется.

На величину объема никак не влияет ни пространственное местонахождение тела, ни то, каким образом оно делится на части. Как физическая величина объем выражается через массу и плотность вещества.

Чтобы понять, какая из емкостей более вместительная, можно заполнить одну жидкостью, а потом перелить в другую и увидеть, сколько жидкости останется или не хватит. Но это очень неудобно, и при решении геометрических задач пользуются понятием единицы измерения объема. Она равна объему куба, длина ребра которого — это единица длины.

Исторически известны разные меры емкостей — бушель, галлон, ведро, бочка и т. п. , объем нефти и сейчас измеряется в баррелях. В СИ за единицу объема принят 1 кубический метр, равный количеству вещества, вмещаемого кубом с длиной грани 1 м. В стереометрии обычно используются кубические сантиметры.

Виды многогранников

Различают несколько условных классов пространственных фигур.

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

К обычным или классическим относятся параллелепипеды всех разновидностей, пирамиды и призмы. Правильными или Платоновыми телами называют отдельную группу из пяти многогранников, состоящих только из правильных многоугольников. Полуправильными или Архимедовыми телами называют усеченные Платоновы тела.

Отдельно рассматриваются сложные многогранники, такие как звездчатые, криволинейные или составленные из классических геометрических тел.

Следует отметить, что одно и то же геометрическое тело может относиться к разным классам или являться частным случаем другого.

Например, параллелепипед — частный случай призмы, а куб — правильный многогранник и частный случай параллелепипеда. Объем произвольных многогранников определяется как сумма объемов его простых частей.

Призма и параллелепипед

Такие многогранники всегда образованы двумя конгруэнтными основаниями, принадлежащими параллельным плоскостям, и n-м числом параллелограммов, являющихся их боковыми гранями.

Если все ребра перпендикулярны основаниям призмы, то она называется прямой. У наклонной призмы величина углов между ребрами и основаниями отличается от 90º.

Для правильной призмы обязательно выполнение условия — ее основание должно быть правильным многоугольником.

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Высота — важная характеристика этого многогранника, она обозначается как h и в численном выражении представляет собой длину перпендикулярного отрезка между его основаниями. У прямой призмы высота равна длине ее ребра.

Формула для призмы: V = Sо·h, где Sо — площадь основания.

Параллелепипед является частным случаем призмы с основанием в виде четырехугольного многоугольника — параллелограмма. Тела такой формы тоже могут быть прямыми или наклонными и имеют две пары противоположных граней и четыре смежных. Если в основании параллелепипеда лежит прямоугольник, а его грани перпендикулярны основаниям, то он называется прямоугольным.

Формула объема многогранника прямоугольного параллелепипеда: V = a·b·c, где a и b — длина и ширина основания, а c — высота ребра.

К другой разновидности призм относится призматоид, если его изобразить на рисунке, то легко заметить, что грани такого тела — треугольники, одна сторона которых совпадает со стороной верхнего или нижнего основания, или трапеции, основания которых совпадают со сторонами оснований призматоида. Формула Симпсона: V = h/6 x (Sо + 4S + S1), где Sо и S1 — обозначения площадей оснований, а S — площадь параллельного и равноудаленного от оснований сечения.

Разновидности пирамиды

Пирамида представляет собой многогранник, строение которого включает в себя одно основание и n-е число треугольных граней, сходящихся в одной точке — вершине.

К пирамидам относится простейший многогранник — четырехгранная пирамида, сторонами которой являются треугольники.

В зависимости от того, какой многоугольник является основанием пирамиды, она может быть треугольной, четырехугольной, пятиугольной и т. д. Если при этом основания — правильные фигуры

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Формула расчета для пирамиды: V = 1/3 x So·h, где So — площадь основания, h — высота пирамиды, соединяющая ее вершину и центр основания.

Усеченная пирамида получается, если часть полной пирамиды отсекается параллельной основанию плоскостью. Получившееся сечение образует второе основание пирамиды.

Для усеченной пирамиды: V = 1/3 x h x (S1 + √(S1·S2) +S2), где S1 — площадь нижнего, а S2 — площадь верхнего оснований.

Правильные многогранники

Платоновы тела относятся к выпуклым многогранникам, обладают пространственной симметрией и состоят из одинаковых правильных многоугольников. Тетраэдр имеет форму пирамиды и состоит из четырех равносторонних треугольников. Его объем можно вычислить по стандартной формуле для пирамиды или так: V = √2/12 x a³, где a — длина ребра.

Следующий правильный многоугольник — это гексаэдр, который обычно называется кубом, у него шесть квадратных граней, следовательно, длины всех ребер равны между собой.

Формула объема куба: V = a³, где a — длина ребра.

Октаэдр имеет восемь треугольных граней. Формула объема этого правильного многогранника: V = (a³√2)/3.

Икосаэдр состоит из двадцати треугольных граней. Формула: V = (5a³(3 + √5))/12. Додекаэдр имеет 12 пятиугольных граней, а его объем вычисляется так: V = (a³(15 + 7√5))/4.

Тела вращения

Если какую-либо плоскую геометрическую фигуру вращать вокруг оси, расположенной в той же плоскости, то получится объемное тело вращения.

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Шар образуется при вращении круга вокруг своей оси. Если сделать оборот прямоугольника вокруг одной из его сторон, то получится цилиндр. Конус образуется вращением треугольника по линии одного из его катетов. Окружность, вращающаяся вокруг прямой, ее не пересекающей, образует тор. Объемы сложных криволинейных тел определяются по специальной формуле с помощью интеграла.

Формулы для определения объема тел вращения приведены в таблице.

Тело Формула объема
Цилиндр V = π R² h, R — радиус основания цилиндра, h — высота
Конус V = 1/3 x π R² h, R — радиус основания конуса, h — высота
Шар V = 4/3 x π R³, R — радиус, π — число пи, равное 3,14

Объемы деталей, представляющих собой составные многогранники можно вычислить с помощью онлайн-калькулятора.

Источник: https://nauka.club/matematika/geometriya/obem-mnogogrannika.html

Объемы геометрических тел

Раньше для определения объемов геометрических тел традиционно использовались интегралы. Сегодня есть и другие подходы, которые подробно представлены в учебниках нашей корпорации. В одном из вебинаров «Российского учебника» учитель высшей категории Алексей Доронин рассказал о методах определения объема разных геометрических тел с помощью принципа Кавальери и других аксиом.

Читайте также:  Складывание особой формы русской государственности - в помощь студенту

Определение объема

Объем можно определить как функцию V на множестве многогранников, удовлетворяющую следующим аксиомам:

  • V сохраняется при движениях.
  • V удовлетворяет принципу Кавальери.
  • Если внутренности многогранников M и N не пересекаются, то V(M ∪ N) = V(M) + V(N).
  • Объем прямоугольного параллелепипеда V = abc.

Принцип Кавальери (итальянского математика, ученика Галилея). Если при пересечении двух тел плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях этих тел любой из плоскостей получаются фигуры, площади которых относятся как m : n, то объемы данных тел относятся как m : n.

В открытом банке заданий ЕГЭ есть много задач для отработки этого способа определения объема.

Примеры

Задача 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Задача 2. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Задача 3. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Разберем, как можно вычислять объемы изучаемых в школе фигур.

Объем призмы

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

В представленном случае известны площадь основания и высота призмы. Чтобы найти объем, используем принцип Кавальери. Рядом с призмой (Ф2) поместим прямоугольный параллелепипед (Ф1), в основании которого — прямоугольник с такой же площадью, как у основания призмы. Высота у параллелепипеда такая же, как у наклонного ребра призмы. Обозначим третью плоскость (α) и рассмотрим сечение. В сечении виден прямоугольник с площадью S и, во втором случае, многоугольник тоже с площадью S. Далее вычисляем по формуле:

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

V Sосн h

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Объем пирамиды

Лемма: две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики. Докажем это, используя принцип Кавальери.

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Возьмем две пирамиды одинаковой высоты и заключим их между двумя параллельными плоскостями α и β. Обозначим также секущую плоскость и треугольники в сечениях. Заметим, что отношения площадей этих треугольников связаны непосредственно с отношением оснований.

1/V2 = 1 V1 = V2

Известно, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Данной теоремой апеллируют довольно часто. Однако откуда в формуле объема пирамиды появляется коэффициент 1/3? Чтобы понять это, возьмем призму и разобьем ее на 3 треугольные пирамиды:

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

V1 = V2

V2 = V3

Vпризмы S h = 3V

V = 1/3 Sh

Объем цилиндра

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Возьмем прямой круговой цилиндр, в котором известны радиус основания и высота. Рядом поместим прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат. Рассмотрим:

Vцил = πh × R2

Объем конуса

Конус лучше всего сравнивать с пирамидой. Например, с правильной четырехугольной пирамидой с квадратом в основании. Две фигуры с равными высотами заключаем в две параллельные плоскости. Обозначив третью плоскость, в сечении получаем круг и квадрат. Представления о подобиях приводят к числу π.

SФ1/SФ2 = π

Vконуса = 1/3 πR2 h

Объем шара

Объем шара — одна из наиболее сложных тем. Если предыдущие фигуры можно продуктивно разобрать за один урок, то шар лучше отложить на последующее занятие.

Чтобы найти объем шара, шар часто предлагается сравнить со сложным геометрическим телом, которое связано с конусом и цилиндром. Но не стоит строить цилиндр, из которого вырезан конус, или вроде того.

Возьмем половину шара с высотой R и радиусом R, а также конус и цилиндр с аналогичными высотами и радиусами оснований. Обратимся к полезным материалам на сайте «Математические этюды», где объем шара рассматривается с использованием весов Архимеда.

Цилиндр располагается на одной стороне уравновешенных весов, конус и половина шара — на другой.

Заключаем геометрические фигуры в две параллельные плоскости и смотрим, что получается в сечении. У цилиндра — круг с площадью πR2. Как известно, если внутренности геометрических тел не пересекаются, то объем их объединения равен сумме объемов.

Пусть в конусе и в половине шара расстояние до плоскости сечения будет x. Радиус — тоже x. Тогда площадь сечения конуса — π ∙ x2. Расстояние от середины верха половины шара к краю сечения — R.

Площадь сечения половины шара: π(R2 — x2).

Заметим, что: πR2 + πR2 — πR2 = πR2

Vцил = πR2 × R = πR3 = 1/3 R3 π + Vшара

Vшара = 4/3 πR3

Итак, чтобы найти объем нового, не изученного геометрического тела, нужно сравнить его с тем телом, которое наиболее на него похоже. Многочисленные примеры заданий из открытого банка задач показывают, что в работе с фигурами имеет смысл использовать представленные формулы и аксиомы.

#ADVERTISING_INSERT#

Источник: https://rosuchebnik.ru/material/obemy-geometricheskikh-tel/

Объем параллелепипеда: формула, примеры решения задач

Любое геометрическое тело можно охарактеризовать площадью (S) поверхности и объемом (V). Площадь и объем совсем не одно и то же. Объект может иметь сравнительно небольшой V и большую S, например, так устроен мозг человека. Вычислить данные показатели для простых геометрических фигур гораздо проще.

Параллелепипед: определение, виды и свойства

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм.

Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни.

Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.

Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:

  1. Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
  2. Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
  3. Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
  4. Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).

Теорема Пифагора гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.

Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Формула нахождения для всех видов геометрической фигуры одна: V=S*h, где V- искомый объем, S – площадь основания параллелепипеда, h – высота, опущенная из противоположной вершины и перпендикулярная основанию. В прямоугольнике h совпадает с одной из сторон фигуры, поэтому чтобы найти объем прямоугольной призмы необходимо перемножить три измерения.

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Объем принято выражать в см3. Зная все три значения a, b и c найти объем фигуры совсем не сложно. Наиболее часто встречающийся тип задач в ЕГЭ – это поиск объема или диагонали параллелепипеда. Решить многие типовые задания ЕГЭ без формулы объема прямоугольника – невозможно. Пример задания и оформления его решения приведен на рисунке ниже.

Примечание 1. Площадь поверхности прямоугольной призмы можно найти, если умножить на 2 сумму площадей трех граней фигуры: основания (ab) и двух смежных боковых граней (bc + ac).

Примечание 2. Площадь поверхности боковых граней легко узнать умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Исходя из первого свойства параллелепипедов AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Согласно следствиям из теоремы Пифагора сумма всех углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, а катет, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузы. Применив данные знания для треугольника, легко находим длину сторон AB и AD. Затем перемножаем полученные значения и вычисляем объем параллелепипеда.

Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда

Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.

Примеры решения задач

Задания единого экзамена должны быть выполнены за определенное время. Типовые задачи, как правило, не содержать большого количества вычислений и сложных дробей. Часто школьнику предлагают как найти объем неправильной геометрической фигуры. В таких случаях следует помнить простое правило, что общий объем равен сумме V-ов составных частей.

Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Как видно из примера на изображении выше, ничего сложного в решении подобных задач нет. Задания из более сложных разделов предполагают знания теоремы Пифагора и ее следствий, а так же формулу длины диагонали фигуры. Для успешного решения заданий тестов достаточно заранее ознакомится с образцами типовых задач.

Источник: https://karate-ege.ru/matematika/obem-parallelepipeda.html

Формула объёма параллелепипеда

  • Главная
  • Справочник
  • Геометрия
  • Формулы объема
  • Формула объёма параллелепипеда

Параллелепипед — призма, основание которой параллелограмм.Параллелепипед имеет шесть граней, и все они — параллелограммы.

Параллелепипед, четыре боковые грани которого — прямоугольники, называется прямым параллелепипедом.

Прямой параллелепипед у которого все шесть граней прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом.

Объём параллелепипеда

  • Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:
  • [ LARGE V = S_{OCH} cdot H = a cdot b cdot c ]
  • где: V — объем пирамиды S — площадь основания параллелепипеда H — высота параллелепипеда a,b,c — стороны параллелепипеда

Калькулятор объёма параллелепипеда

Формулы объемаРасчёт Объем Тригонометрия Формулы Геометрия Фигуры Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его стороны равны 2,3,4 см.

  1. $$ a = 2 ~ ext{см} $$
  2. $$ b = 3 ~ ext{см} $$
  3. $$ c = 4 ~ ext{см} $$
  • По формуле для объема прямоугольного параллелепипеда:
  • $$ V = a cdot b cdot c $$
  • $$ V = 2 cdot 3 cdot 4 = 24 ~ ext{см} ^3 $$

$$ V = 24 ~ ext{см} ^3 $$
Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если площадь основания равна 7 см², а третья сторона равна 4 см.

$$ So = 7 ~ ext{см} ^2 $$

$$ c = 4 ~ ext{см} $$

  1. $$ So = a cdot b $$
  2. По формуле для объема прямоугольного параллелепипеда:
  3. $$ V = So cdot c =a cdot b cdot c $$
  4. $$ V = 7 cdot 4 = 28 ~ ext{см} ^3 $$

$$ V = 28 ~ ext{см} ^3 $$
Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если площадь боковой стороны равна 16 см², а две стороны при основании равны 1 см и 3 см.

  • $$ S_{ ext{бок}} = 16 ~ ext{см} ^2 $$
  • $$ a = 1 ~ ext{см} $$
  • $$ b = 3 ~ ext{см} $$
  1. Найдем третью сторону:
  2. $$ S_{ ext{бок}} = 2 cdot c cdot (a+b) $$
  3. $$ c = frac{ S_{ ext{бок}} }{ 2 cdot (a+b) } = frac{16}{8} = 2 ~ ext{см} $$
  4. По формуле для объема прямоугольного параллелепипеда:
  5. $$ V = a cdot b cdot c $$
  6. $$ V = 1 cdot 3 cdot 2 = 6 ~ ext{см} ^3 $$

$$ V = 6 ~ ext{см} ^3 $$
Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если площадь боковой стороны равна 14 см², полная площадь поверхности 23 см², а третья сторона 5 см.

  • $$ S_{ ext{бок}} = 14 ~ ext{см} ^2 $$
  • $$ S_{ ext{пов}} = 23 ~ ext{см} ^2 $$
  • $$ c = 5 ~ ext{см} $$
  1. Найдем площадь основания прямоугольного параллелепипеда:
  2. $$ S_o = S — S_{ ext{бок}} = 9 ~ ext{см}^2 $$
  3. Или
  4. $$ S_o = a cdot b $$
  5. По формуле для объема прямоугольного параллелепипеда:
  6. $$ V = a cdot b cdot c $$
  7. $$ V = S_o cdot c = a cdot b cdot c $$
  8. $$ V = 9 cdot 5 = 45 ~ ext{см} ^3 $$

$$ V = 45 ~ ext{см} ^3 $$
Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ равна √48 см, а две стороны по 4 см.

  • $$ a = 4 ~ ext{см} $$
  • $$ b = 4 ~ ext{см} $$
  • $$ d = sqrt{48} $$
  1. Найдем третью сторону:
  2. $$ d = sqrt{ (a^2 + b^2 + c^2) } $$
  3. $$ c = sqrt{ (d^2 — a^2 — b^2 ) } = sqrt{ (48 — 16 — 16) } = 4 ~ ext{см} $$
  4. Все стороны равны — значит это куб. По формуле для объема прямоугольного параллелепипеда:
  5. $$ V = a cdot b cdot c $$
  6. $$ V = 4^3 = 64 ~ ext{см} ^3 $$

$$ V = 64 ~ ext{см} ^3 $$

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа Объемы тел: объем параллелепипеда - в помощь студенту

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

  • Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту
  • Объем куба равен кубу его ребра
  • Объем цилиндра равен произведению квадрата радиуса основания, высоты цилиндра и числа пи (3.1415)
  • Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе помноженного на число пи.
  • Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту
  • Сила взаимодействия двух неподвижных точечных электрических зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению их модулей и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
  • Обзор веса нескольких животных
  • Тангенс и котангенс. Формулы и определение Тангенс tg(x) — это отношение синуса sin(x) к косинусу cos(x). Котангенс ctg(x) — это отношение косинуса cos(x) к синусу sin(x).
  • 1 mBTC это сколько BTC ? Чему равен 1 сатоши ? Что такое сатоши ?Bitcoin, Биткойн, часто Биткоин (от англ. bit — единица информации «бит», англ. coin — «монета») — пиринговая (как торрент или e-mule) электронная платёжная система, использующая одноимённую виртуальную валюту.
  • Закон всемирного тяготенияМежду любыми материальными точками существует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними, действующая по линии, соединяющей эти точки
  • Сколько километров в узле?Один морской узел равен одной тысяче восемьсот пятьдесят двум метрам или одному километру восемьсот пятьдесят двум метрам
  • Ведро́ — сосуд для хранения жидких и сыпучих материалов и транспортировки их на небольшие расстояния.

Источник: https://calcsbox.com/post/formula-obema-parallelepipeda.html

"Понятие объёма. Объём прямоугольного параллелепипеда". план-конспект урока по геометрии (10 класс) на тему

  • Тема: « Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда»
  • Цель урока: Ввести понятие объема тела, рассмотреть свойства объемов, теорему об объеме прямоугольного параллелепипеда и следствие об объеме прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник; сформировать умение применять данный материал при решении задач.
  • ХОД УРОКА
  • Сообщение темы и целей урока, актуальность данной темы

Что называется параллелепипедом? прямоугольным параллелепипедом? Какие свойства прямоугольного параллелепипеда вы знаете?

III.     Объяснение нового материала

1) Понятие объема тела

Еще в глубокой древности у людей возникла необходимость в измерении количества различных веществ. Сыпучие вещества и жидкости можно было мерить, наполняя ими сосуды определенной вместимости, т.е. определяя их количество по объему.

Понятие объема в стереометрии вводится аналогично понятию площади в планиметрии. В планиметрии мы определяли площадь так: площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Сформулировать аналогично данному понятию понятие объема.

Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется объемом этого тела.

2) Единицы измерения объема

В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел. Например, коробки, банки. В житейской практике единицами объема служили меры емкости, используемые для хранения сыпучих и жидких тел. Среди них английские меры:

  • Бушель – 36,4 дм3
  • Галлон – 4,5 дм3
  • Баррель (сухой) – 115,628 дм3
  • Баррель (нефтяной) – 158,988 дм3
  • Английский баррель для сыпучих веществ 163,65 дм3.

В Киевской Руси существовала мера зерна – кадь. ( Это примерно 230 кг ржи) Жидкости же мерили бочками и ведрами. В XIX в. система мер жидкости имела вид:

  • Ведро – 12 дм3 
  • Бочка – 490 дм3
  • Штоф – 1,23 дм3 = 10 чарок
  • Чарка – 0,123 дм3=0,1 штофа = 2 шкалика
  • Шкалик – 0,06 дм3 = 0,5 чарки.

Для того, чтобы определить какая из двух емкостей вместительнее, можно заполнить одну из них водой, а затем проверить, вся ли вода поместится в другую, и если вся, то заполнит ли она ее полностью. Однако решить эту задачу иначе – вычислить объем каждой емкости. Для этого нам нужны единицы объемов.

Читайте также:  Историография, источники древней месопотамии - в помощь студенту

Когда в планиметрии мы вводили единицы площади, то за единицу площади брали квадрат со стороной 1 см (1 см2). Аналогично, за 1см3 принимаем куб с ребром 1 см. Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. Число измерения (единичных кубов) и частей единицы, содержащихся в данном теле, принимается за числовое значение объема при выбранной единице измерения.

Это число может быть как рациональным (в частности, целым), так и иррациональным.

3) Свойства объемов

Аналогичны свойствам площадей в планиметрии.

  1. Равные тела имеют равные объемы. (Понятие определяется на основе понятия наложения).
  2. Объем тела, состоящего из некоторых частей, равен сумме объемов этих частей.
  3. Объем куба с ребром а равен а3.

4) Объем прямоугольного параллелепипеда

Поиск формул, позволяющих вычислять объемы различных тел, был долог.В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для нахождения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды.

Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки еще задолго до Архимеда. Но только он имел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления.

Сам ученый определил с помощью своего метода площади, объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда – о том, что объемы этих тел относятся как 3 : 2.

Когда Римский оратор и общественный деятель Цицерон, живший в 1 в. до н.э., был в Сицилии, он еще видел этот заросший кустами и терновником памятник с шаром и цилиндром.

  1. Мы будем находить объем прямоугольного параллелепипеда, используя следующую теорему ( давно знакомая вам формула,  попробуйте сформулировать эту теорему):
  2. Теорема: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.      
  3.                                                    V = abc
  4. 5) Следствия
  5. Рассмотрим следствия из данной теоремы

 1. Объем прямоугольного параллелепипеда, равен произведению площади основания на высоту.

2. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

IV. Закрепление

  1. Учащиеся получают модели прямоугольных параллелепипедов, нужно выполнить нужные измерения,  вычислить диагональ и объем  данного параллелепипеда.
  2. Решение задач
  • Задача 1
  • Сколько пакетов с соком войдет в коробку?

Источник: https://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2016/02/06/ponyatie-obyoma-obyom-pryamougolnogo-parallelepipeda

Калькулятор для расчета объема прямоугольного параллелепипеда

Параллелепипед — это призматическая фигура, все грани которой являются параллелограммами. Если в роли граней выступают обычные прямоугольники, то параллелепипед является прямоугольным и именно форму данной фигуры имеют такие реальные объекты как панельные дома, аквариумы, книги, принтеры или кирпичи.

Геометрия параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью гранями, при этом противоположные грани фигуры равны и параллельны друг другу. Данная геометрическая фигура представляет собой частный случай прямой четырехугольной призмы.

Параллелепипед имеет 12 ребер и 8 вершин. В каждой из вершин сходятся по три ребра фигуры, которые являются длиной, шириной и высотой параллелепипеда или его измерениями.

Если длина, ширина и высота фигуры равны, то параллелепипед превращается в куб.

Параллелепипеды в реальной жизни

Большое количество существующих в реальности объектов имеют форму параллелепипеда.

Широкое распространение такая форма получила благодаря легкости производства, удобству хранения и транспортировки, идеальной сочетаемости одинаковых параллелепипедов, устойчивости и постоянству размеров.

Параллелепипедную форму имеют такие объекты, как кирпичи, коробки, смартфоны, блоки питания, дома, комнаты и многое другое.

Объем параллелепипеда

Важным свойством любого геометрического тела является его вместимость, то есть объем фигуры. Объем — это характеристика объекта, которая показывает, сколько единичных кубов он способен вместить. В общем случае объем любой призматической фигуры рассчитывается по формуле:

V = So × h,

где So – площадь основания фигуры, а h – ее высота.

Данная формула легко иллюстрируется следующим примером. Представьте, что у вас есть один лист бумаги А4. Это обычный прямоугольник, который характеризуется строго определенной площадью. Грубо говоря, лист — это плоскость.

Теперь представьте стандартную пачку бумаги из 500 листов формата А4. Это уже объемная фигура, имеющая форму параллелепипеда.

Узнать ее объем легко, достаточно перемножить площадь листа, лежащего в основании, на их количество, то есть, на высоту призмы.

  • Параллелепипед — это частный случай призмы, в основании которой лежит прямоугольник. Площадь прямоугольника представляет собой простое произведение его сторон, следовательно, для параллелепипеда:
  • So = a × b
  • Для определения объема достаточно умножить So на высоту фигуры. Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда считается по простой формуле, представляющей перемножение трех сторон тела:
  • V = a × b × h,
  • где a – длина, b – ширина, h – высота геометрической фигуры.

Для определения объема прямоугольного параллелепипеда вам достаточно замерить три этих параметра и просто перемножить их.

Если вы не хотите постоянно держать в голове формулы определения объемов и площадей геометрических фигур, то воспользуйтесь нашим каталогом онлайн-калькуляторов: каждый инструмент подскажет вам, какие параметры вы должны замерить и мгновенно вычислит результат. Рассмотрим пару примеров, когда вам может понадобиться определить объем параллелепипеда.

Примеры из жизни

Аквариум

К примеру, вы купили старый аквариум в форме параллелепипеда, но вам никто не сказал, какой объем имеет данная конструкция. Объем аквариума — важный параметр, по которому определяется мощность системы обогрева для морских обитателей.

Вычислить данную характеристику несложно — достаточно замерить длину, ширину и высоту аквариума и ввести эти данные в форму калькулятора. Допустим, длина аквариума составляет 1 м, ширина — 50 см, а высота — 70 см.

Для правильного расчета важно выразить все стороны в одних единицах измерения, допустим, в метрах.

V = 1 × 0,5 × 0,7 = 0,35

Таким образом, объем аквариума составит 0,35 кубических метров или 350 литров. Зная объем, вы без проблем подберете мощность для системы обогрева.

Строительство

Допустим, вы заливаете плитный фундамент для своей дачи и вам необходимо узнать, сколько бетона понадобится для заливки основания. Плитный фундамент — это цельная монолитная плита, которая располагается под всей площадью здания.

Для того чтобы узнать требуемый объем бетона, необходимо вычислить объем плиты. Плита, к счастью, имеет форму прямоугольного параллелепипеда, поэтому вы без проблем можете подсчитать нужное количество бетона. Допустим, ваша дача — это стандартный домик 6 на 6 метров.

Вы уже знаете два из трех необходимых параметров. Согласно требованиям, толщина плитного фундамента должна быть не менее 10 см, и вы можете сами выбрать подходящий размер. К примеру, вы решили залить плиту толщиной 20 см.

Для правильного расчета задайте все параметры в одних единицах измерения, то есть метрах, и получите результат:

V = 6 × 6 × 0,2 = 7,2

Следовательно, для заливки фундамента вам понадобится 7,2 кубических метров бетона.

Заключение

Определение объема параллелепипедных фигур может пригодиться вам во многих случаях: от бытовых проблем до производственных вопросов, от школьных заданий до проектных задач. Наш онлайн-калькулятор поможет вам решить задания любой сложности.

Источник: https://BBF.ru/calculators/156/

Объем прямоугольного параллелепипеда

  • Администратор
  • Сетевой журнал «Педагогический поиск» — Математика
  • Кабановская Елена Евгеньевна
  • учитель математики первой квалификационной категории
  • Тема урока: Объем прямоугольного параллелепипеда

Цель:1.

Закрепить знания по данной теме при решении задач. Совершенствовать вычислительные навыки . Показать сферу практического применения формулы объема прямоугольного параллелепипеда.2.Развивать внимание, мышление, аккуратность , математическую речь.Через решение задач развивать творческую и мыслительную деятельность , их интеллектуальные качества.

Формировать умение четко и ясно излагать свои мысли.3. Воспитывать уважительное отношение друг к другу и умение работать в парах. Воспитывать самостоятельность и творчество.Тип урока: деловая игра.Формы работы на уроке : индивидуальная , групповая , фронтальная.

Ход урока:Организационный момент:Здравствуйте , ребята! Кроме здоровья я желаю Вам быть активными , внимательными, наблюдательными и помнить : Вы- самые способные ученики.Откройте свои тетради и запишите число классная работа.Тема урока : объем прямоугольного параллелепипеда.Цель нашей работы : показать практическое применение формулы объема прямоугольного параллелепипеда.

Сегодня наш урок необычный.Вы знаете , что в городе очень активно ведется строительство новых домов. И новоселы мечтают о светлых и новых квартирах. Поэтому профессия строитель сегодня самая востребованная. Одна из самых распространенных строительных профессий это столяр.Доклад.

Строительное производство сегодня-это механизированный процесс сборки зданий и сооружений из крупноразмерных деталей, изготовленных заводским способом. Столяр работает в строительно-монтажных организациях , на деревообрабатывающих предприятиях , в столярных мастерских.

Он выполняет различные операции на станках: на круглопильных-раскрой пиломатериалов, на фуговальных- строгание, на долбежных и шипорезных- выдалбливание гнезд и нарезание шипов у заготовок. Непосредственно на строительном объекте столяр устанавливает оконные и дверные блоки, производит настилку паркетных палов, монтирует встроенную мебель и т .д.

Выполнение такой работы невозможно без знания устройства и правил эксплуатации деревообрабатывающих станков, знание технологии и организации строительного производства, умения читать чертежи. Профессия требует объемного воображения, хорошего глазомера, знания математики.

Учитель: одна строительная фирма прослышала , что в нашей школе , в нашем классе самые лучшие знатоки расчетов и вычислений. И просит вас помочь им в расчетах, а то они совсем запутались. Поможем? Только будим очень внимательны . чтобы не подвести.Актуализация знаний:Чтобы успешно выполнять все расчеты, нам необходимо провести умственную зарядку.Решение задач.

Молодцы ! Но в строительной профессии умение вести расчеты нужны не только столяру , но и инженеру , плотнику и т. д. Сейчас вам предстоит работая в парах выполнить необходимые расчеты. Строительная фирма прислала заказ.Задача №1 .Бетонный блок имеет размеры а = 12дм , в = 8дм , с = 5дм. Из таких блоков сложили стену длиной 240 дм , шириной 24 дм , высотой 30 дм.

Сколько блоков потребуется для этого?Решение:1)12 х 8 х 5 = 480 (дм3)- объем блока2)240 х 24 х30 = 172 800 (дм3)- объем стены3)172 800 : 480 = 360 блоков.Ответ: 360 блоков.Задача №2Заказчик просит изготовить столяра деревянный горшок под цветы. Данный горшок должен стоять в углу квартиры и быть в форме прямоугольного параллелепипеда , покрашенный золотой краской снаружи.

Высота горшка 50 см , другие измерения 30 см и 40 см. Расход краски 2 г на см3 .1 Сколько потребуется краски?2 Заказчик хочет купить землю для горшка , которая продается брикетами в форме прямоугольного параллелепипеда с размерами : 30см х 20см х 20см.

Сколько земли понадобится заказчику для заполнения горшка землей?Решение:1) 30х40 + 30х50х2 + 40х50х2 = 1 200+3 000+4 000=8 200 (см2) –площадь поверхности горшка.2) 2 х 8200 = 16400( г )-краски понадобится.16 400 г = 16 кг 400 г3) 50х30х20=60 000 (см3)- объем горшка4) 30х20х20 = 12000 (см3)- объем брикета5) 60 000 : 12 000 = 5 брикетов.Ответ: 16 кг 400 г, 5 брикетов.

Строительная фирма прислала столяру заявку для детского сада .Задача №3Изготовить стулья необычной формы для младшей , средней и старшей групп. Рассчитать сколько материала необходимо для изготовления одного стула ?Но заказчик забыл прислать некоторые измерения .

Давайте же попробуем сами рассчитать сколько материала необходимо для изготовление одного стула ?Учитель: Как быть ребята ? Сможете ли Вы ответить на вопрос?Ученик : Измерения не нужны т. к. если вырезанную часть «вывернуть» , то получится целая фигура.( выполняют по вариантам и у доски )Заказчику понравилось как вы справляетесь с работой и он прислал еще заказ столяру.

Задача №4Изготовить песочницу и вычислить ее объем.Вопросы: Как определить объем песочницы ? ( Каждый ряд выполняет расчеты своей песочницы ) .Экологический аспект:Профессия очень нужна любому человеку ,но воздух человеку необходим.Интересно , сколько воздуха необходимо человеку для дыхания?Этот вопрос заинтересовал наших обучающихся. . И вот , что они выяснили.

Сообщение:При каждом вздохе человек вводит в свои легкие за 1 минуту 9 литров воздуха. В час это составляет 9 х 60 = 540 литров воздуха. Зная , что 1 м3 = 1 000дм3 =1 000 л. Округлим 540л до 500л. Тогда за сутки человек вдыхает 500 х 24 = 12 000 литров = 12 м3 воздуха. Такой объем равен 14 кг.За одни сутки человек проводит через свое тело больше воздуха , чем пищи: никто не съедает и 3 кг в сутки , а вдыхаем же мы 14 кг. Если учесть , что вдыхаемый воздух состоит на четверть из бесполезного для дыхания азота, то ноше тело потребляет примерно 3 кг воздуха т . е. почти столько же сколько еды.Еще один заказ поступил из детского сада.Задача № 5.Объем бассейна равен 100 м3 , а стороны основания 10 м и 5 м. Сколько квадратных метров кафельной плитки уйдет на облицовку?Решение:1)100 : (10 х 5) = 2(м)- высота бассейна.2)10 х 2 х 2+ 5 х 2 х 2+ 10 х 5= 110 м2 –плитки потребуется.

Ответ: 110 м2 .

Ребята, давайте в канун Нового года сделаем подарки детям этого детского сада. А для этого нужно вспомнить : что такое развертка многогранника? (Это фигура составленная из многоугольников , являющихся его гранями и расположенных определенным образом)Задача № 6Практическая работа.1)Рассмотрите развертку.

  1. 2)Для каждой из граней укажите номер грани ей противоположной:
  2. 3) Покажите , какие точки развертки совместятся при склеивании:а ) с точкой А (обозначьте ее А1)б) с точкой В (обозначьте ее В1)в) с точкой С (обозначьте их С1 и С2)

4) Подогните клапаны по линии сгиба и склейте модель. Проверьте правильность выполнения заданий из пункта 3.

Молодцы ребята ! Вы сегодня помогли строительной фирме сделать расчеты.В завершении урока приоткроем страницы истории.Ученик: Меня заинтересовало следующее : есть ли еще фигуры , кроме куба и прямоугольного параллелепипеда состоящие из многоугольников?Историческая страница.

Тело, ограниченное несколькими плоскими гранями, называется многогранником. Особенно важную роль играют выпуклые многогранники. Среди всех выпуклых многогранников только 5 называются правильными. У правильных многогранников все грани правильные многоугольники с одинаковым числом сторон. Куб один из них.

У трех других правильных многоугольников все грани равносторонние треугольники. Их называют : тетраэдром (4 грани), октаэдром (8 граней) , икосаэдром (20 граней) . Наконец , еще у одного правильного многоугольника имеются 12 граней , все они правильные пятиугольники. Его называют додекаэдром.

Выпуклые многогранники изучают в науке о кристаллах.

Домашнее задание: Вычислить объем своей комнаты.Найти в справочной литературе или в интернете : Какую величину на Руси измеряли ведрами?Подведем итоги урока:1. Назовите формулы для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда и куба.2. В каких единицах измеряется объем?3. Насколько интересными были задания связанные с объемом прямоугольного параллелепипеда?

4. Помогли ли они увидеть практическое применение математики?

Источник: http://kursk-sosh52.ru/obychenie/metod-kopilka/19-matematika/442-obem-pryamougolnogo-parallelepipeda.html

Ссылка на основную публикацию