Наибольший общий делитель (нод) и наименьшее общее кратное (нок) одночленов — в помощь студенту

Слайд 1Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов - в помощь студентуОписание слайда:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Фестиваль исследовательских и творческих Фестиваль исследовательских и творческих работ учащихся «Портфолио» Дягилева Александра Руководитель: Зандер Светлана Ивановна, учитель математики ОУ «Славгородский городской лицей» Алтайский край Г.Славгород 2007

Слайд 2Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов - в помощь студентуОписание слайда:

Тема: Связь НОД и НОК

Слайд 3Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов - в помощь студентуОписание слайда:

Идея возникновения проекта: Я догадалась о решении этой задачи, но мне было трудно объяснить, почему я так решила. Мне стало интересно, как решать подобные задачи, и у меня возникла идея создать этот проект.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Доходы, проблема дифференциации доходов - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Слайд 4Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов - в помощь студентуОписание слайда:

Цели: Разработать алгоритм решения подобных задач ( связь НОК и НОД) с последующим созданием медиапрезентации и её использования на уроках математики

Слайд 5Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов - в помощь студентуОписание слайда:

Задачи: Изучить материал по данной теме. Рассмотреть алгоритм нахождения решения задач. Исследовать задачу на конкретных примерах. Обобщить полученные данные. Сформулировать выводы.

Слайд 6Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов - в помощь студентуОписание слайда:

Актуальность Меня заинтересовала связь НОК и НОД, поэтому я решила исследовать эту задачу и получить определённый результат В наше время многие задачи можно оформить с помощью компьютера, и поэтому я решила воспользоваться технологией ИКТ

Слайд 7Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов - в помощь студентуОписание слайда:

Методы: Сравнительный Поисковый Метод (от частного к общему)

Слайд 8Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов - в помощь студентуОписание слайда:

Технология проекта: Исследование

Слайд 9Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов - в помощь студентуОписание слайда:

Новизна исследования: Использование проектной технологии Исследования по этой теме не проводились на городском уровне

Слайд 10Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов - в помощь студентуОписание слайда:

Источники: Письменный (учебник, автор Виленкин Н.Я, профессиональные журналы ) Устный — собеседование с учителем, учениками

Слайд 11Описание слайда:

Объект исследования: Математическая задача по теме НОД и НОК

Слайд 12Описание слайда:

Практическое использование: На уроках математики при изучении следующих тем: «Сокращение дробей» и «Приведение дробей к общему знаменателю» На методических объединениях лицея и города в качестве демонстрационного материала

Слайд 13Описание слайда:

Задача: Найти произведение чисел a и b, если НОК(a, b)=420, а НОД(a, b)=30

Слайд 14Описание слайда:

Определение НОК(а,b) и НОД(а,b) НОК (Наименьшее Общее Кратное) – число, которое делится на числа а и b без остатка. НОД (Наибольший Общий Делитель) – число, на которое числа а и b делятся без остатка.

Слайд 15Описание слайда:

Попытаемся найти алгоритм решения этой задачи: Попытаемся найти алгоритм решения этой задачи: Я думаю, что в этой задаче произведение НОД(а,b) и НОК(а,b) , будет равно произведению самих чисел а и b

Слайд 16Описание слайда:

Пример 1: пусть а=28,b=36 Пример 1: пусть а=28,b=36 28=2*2*7, 36=2*2*3*3 НОД(28, 36)=2*2=4 НОК(28, 36)=2*2*7*3*3=252 Произведение чисел=28*36=1008 Произведение НОД(28,36) и НОК(28,36)=252*4=1008 Получается, произведение чисел = произведению НОД(28,36) и НОК(28,36): 1008=1008

Слайд 17Описание слайда:

Пример 2: пусть а=55, b=75 Пример 2: пусть а=55, b=75 55=5*11, 75=5*5*3 НОД(55, 75)=5 НОК(55, 75)=5*11*5*3=825 Произведение чисел=55*75=4125 Произведение НОД(55,75)* НОК(55,75)=825*5=4125 Получается, произведение чисел = произведению НОД(55,75) и НОК(55,75): 4125=4125

Слайд 18Описание слайда:

Пример 3: пусть а=252,b=408 Пример 3: пусть а=252,b=408 252=2*2*3*3*7, 408=2*2*2*3*17 НОД(252, 408)=2*2*3=12 НОК(252, 408)=2*2*3*3*7*2*17=8568 Произведение чисел=252*408=102816 Произведение НОД(252,408)* НОК(252,408)=8568*12=102816 Получается, произведение чисел = произведению НОД(252,408)*НОК(252,408): 102816=102816

Слайд 19Описание слайда:

Пример 4: пусть Пример 4: пусть а=x*y*z, b=x*y*k, тогда НОД(а,b)=x*y НОК(a,b)=x*y*z*k Произведение чисел: a*b=x*y*z*x*y*k Произведение НОД(а,b)*НОК(а,b)= x*y*x*y*z*k Следовательно, произведение чисел а и b = произведению НОД(а,b) и НОК(а,b)

Слайд 20Описание слайда:

Решение первоначальной задачи: Произведение чисел а и b равно произведению НОК(а, b) и НОД(а, b), то есть а*b= 420*30=12600

Слайд 21Описание слайда:

Алгоритм решения подобных задач: На частных примерах С помощью переменных Сделать выводы

Слайд 22Слайд 23Описание слайда:

Рефлексия: Вначале задачу я решила интуитивно, а в ходе создания проекта, исследовав эту задачу, глубже поняла тему НОК и НОД, связь НОК с НОД Узнала, как создавать проект Научилась создавать медиапрезентацию Почувствовала себя немного учёным, когда от простого переходят к сложному

Слайд 24Описание слайда:

Спасибо за внимание! Спасибо за внимание!

Источник: https://presentacii.ru/presentation/svyaz-nod-i-nok

Как найти НОД

  • Нахождение путём разложения на множители
  • Алгоритм Евклида

Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.

Пример 1. Найдём НОД (84, 90).

Раскладываем числа 84 и 90 на простые множители:

Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов - в помощь студенту

Итак, мы подчеркнули все общие простые множители, осталось перемножить их между собой: 1 · 2 · 3 = 6.

Таким образом, НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найдём НОД (15, 28).

Раскладываем 15 и 28 на простые множители:

Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов - в помощь студенту

  • Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель – единица.
  • НОД (15, 28) = 1.
  • Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.
  • Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.
  • Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.

Пример 1. Возьмём два числа 27 и 9. Так как 27 делится на 9 и 9 делится на 9, значит, 9 является общим делителем чисел 27 и 9. Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что 9 не может делиться ни на какое число, большее 9. Следовательно, НОД (27, 9) = 9.

В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:

  1. Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
  2. Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
  3. Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
  4. Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
  5. Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.
  1. Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел 140 и 96:
  2. 1) 140 : 96 = 1 (остаток 44)
  3. 2) 96 : 44 = 2 (остаток 8)
  4. 3) 44 : 8 = 5 (остаток 4)
  5. 4) 8 : 4 = 2
  6. Последний делитель равен 4 – это значит, что НОД (140, 96) = 4.
  7. Последовательное деление так же можно записывать столбиком:

Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов - в помощь студенту

Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:

  1. Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
  2. Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
  3. Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.

Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел 140, 96 и 48. НОД чисел 140 и 96 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 4). Осталось найти наибольший общий делитель числа 4 и третьего данного числа – 48:

1) 48 : 4 = 12

48 делится на 4 без остатка. Таким образом, НОД (140, 96, 48) = 4.

Источник: https://naobumium.info/arifmetika/nod2.php

Наименьшее общее кратное

Найти наибольший общий делитель(НОД) Найти наименьшее общее кратное (НОК

  • Для того, чтобы находить общий знаменатель при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).
  • Кратное числу «a» — это число, которое само делится на число «a» без остатка.
  • Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 …
  • Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …

Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей этого же числа. Делителей — конечное количество.

Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов - в помощь студенту

Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.

Запомните!

Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.

Как найти НОК

НОК можно найти и записать двумя способами.

Первый способ нахождения НОК

Данный способ обычно применяется для небольших чисел.

  1. Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для обоих чисел.
  2. Кратное числа «a» обозначаем большой буквой «К».

    К (a) = {…, …}

Пример. Найти НОК 6 и 8.

К (6) = {12, 18, 24, 30, …}

  1. К (8) = {8, 16, 24, 32, …}
  2. НОК (6, 8) = 24
  3. Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.
  1. Разложить данные числа на простые множители. Подробнее правила разложения на простые множители вы можете прочитать в теме как найти наибольший общий делитель (НОД). Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов - в помощь студенту
  2. Выписать в строчку множители, входящие в разложение самого большого из чисел, а под ним — разложение остальных чисел. Запомните!

    Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.

    60 = 2 · 2 · 3 · 5

    24 = 2 · 2 · 2 · 3

  3. Подчеркнуть в разложении меньшего числа (меньших чисел) множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа (в нашем примере это 2) и добавить эти множители в разложение бóльшего числа. НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2
  4. Полученное произведение записать в ответ. Ответ: НОК (24, 60) = 120

Оформить нахождение наименьшего общего кратного (НОК) можно также следующим образом. Найдём НОК (12, 16, 24).

Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов - в помощь студенту 24 = 2 · 2 · 2 · 3

16 = 2 · 2 · 2 · 2

12 = 2 · 2 · 3

  • Как видим из разложения чисел, все множители 12 вошли в разложение 24 (самого бóльшего из чисел), поэтому в НОК добавляем только одну 2 из разложения числа 16.
  • НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48
  • Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48
  1. Если одно из чисел делится нацело на другие, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу.

    Например, НОК (60, 15) = 60

  2. Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

    Пример.

    НОК (8, 9) = 72

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages%2Ffind_nod_and_nok%2Ffind_nok.php

Контент / АЛГЕБРА / Наибольший общий делитель (НОД). Наименьшее общее кратное (НОК) — Я знаю!

  • Наибольший общий делитель (НОД). Наименьшее общее кратное (НОК)
  • Наибольший общий делитель (НОД).
  • Наибольший общий делитель – это наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b.
  • Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо:
  • 1) разложить их на простые множители;
  • 2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
  • 3) найти произведение оставшихся множителей.
  • Пример: найдем НОД чисел 48 и 36.
  • Для этого находим делители обоих чисел (рис.1):
  •                      Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов - в помощь студенту
  • Итак, 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, а 36 = 2 · 2 · 3 · 3.

Из множителей, входящих в разложение первого числа, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа (т.е. две двойки, рис.2).

В столбце с вычеркнутыми числами остаются множители 2 • 2 • 3. Их произведение равно 12. Это число и является НОД чисел 48 и 36.

  1. Если НОД натуральных чисел равен 1, то эти числа называют взаимно простыми
  2. (например, числа 24 и 35).
  3. Наименьшее общее кратное (НОК).
  4. Наименьшее общее кратное чисел a и b – это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа.
  5. Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо:
  6. 1) разложить их на простые множители;
  7. 2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
  8. 3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
  9. 4) найти произведение получившихся множителей.
  10. Пример: найдем НОК тех же чисел 48 и 36.

Как и в случае с НОД, сначала находим делители обоих чисел. Впрочем, мы уже нашли их в предыдущем примере (рис.3):

                         Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов - в помощь студенту

Из разложения второго числа вычеркиваем множители, которые входят в разложение первого числа (рис.4).

Теперь выпишем множители, входящие в разложение первого числа, добавим к ним оставшийся множитель из разложения второго числа (3), перемножим их и получим результат:

2  х  2  х  2  х  2  х  3  х  3 = 144.

Число 144 – это и есть НОК чисел 48 и 36. То есть 144 – это минимальное число, которое делится без остатка и на 48, и на 36.

Источник: http://test1.czl23.ru/plugins/content/content.php?content.682

Как найти НОД и НОК

Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов - в помощь студентуДля нахождения НОД (наибольшего общего делителя) двух чисел необходимо: 1. Разложить данные числа на простые множители. 2. Найти (подчеркнуть) все общие простые множители в полученных разложениях. 3. Найти произведение общих простых множителей.Для нахождения НОК (наименьшего общего кратного) двух чисел необходимо: 1. Разложить данные числа на простые множители. 2. Разложение одного из них дополнить теми множителями разложения другого числа, которых нет в разложении первого. 3. Вычислить произведение полученных множителей.Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов - в помощь студенту

НОД — это наибольший общий делитель.

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел необходимо:

  • разложить числа на простые множители;
  • определить множители, общие для обоих чисел;
  • найти произведение общих множителей.
  • Пример нахождения НОД:
  • Найдем НОД чисел 315 и 245.
  • 1. Разложим числа на простые множители:
  • 315 = 5 * 3 * 3 * 7;
  • 245 = 5 * 7 * 7.
  • 2. Выпишем множители, общие для обоих чисел:
  • 5; 7.
  • 3. Найдем произведение общих множителей:
  • НОД(315; 245) = 5 * 7 = 35.
  • Ответ: НОД(315; 245) = 35.

Нахождение НОК

НОК — это наименьшее общее кратное.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел необходимо:

  • разложить числа на простые множители;
  • выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
  • допишем к ним недостающие множители из разложения второго числа;
  • найти произведение получившихся множителей.
  1. Пример нахождения НОК:
  2. Найдем НОК чисел 236 и 328:
  3. 1. Разложим числа на простые множители:
  4. 236 = 2 * 2 * 59;
  5. 328 =  2 * 2 * 2 * 41.
  6. 2. Выпишем множители, входящие в разложение одного из чисел и допишем к ним недостающие множители из разложения второго числа:
  7. 2; 2; 59; 2; 41.
  8. 3. Найдем произведение получившихся множителей:
  9. НОК(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.
  10. Ответ: НОК(236; 328) = 19352.

Знаешь ответ?

Как написать хороший ответ?

Будьте внимательны!

  • Копировать с других сайтов запрещено. Стикеры и подарки за такие ответы не начисляются. Используй свои знания. 🙂
  • Публикуются только развернутые объяснения. Ответ не может быть меньше 110 символов!

Источник: https://vashurok.ru/questions/kak-nayti-nod-i-nok

Калькулятор онлайн.Нахождение (вычисление) НОД и НОК

Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел m и n называется наибольший из их общих делителей. Пример: для чисел 6 и 9 наибольший общий делитель равен 3. Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел m или n не равно нулю. В школьной программе обозначается так: НОД(m, n) Понятие наибольшего общего делителя (НОД) распространяется на любой набор из более чем двух целых чисел. Чаще всего НОД используется для сокращения дроби — если найти НОД числителя и знаменателя, то на это число можно сократить числитель и знаменатель данной дроби.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка. В школьной программе обозначается так: НОК(m, n)

Пример: НОК(16, 20) = 80 Одно из наиболее частых применений НОК — приведение дробей к общему знаменателю.

  • С помощью данной математической программы вы можете найти (вычислить) НОД и НОК двух целых чисел.
  • Программа нахождения НОД и НОК не только выводит ответ задачи, но и отображает процесс вычисления НОД и НОК двух чисел.
  • Вводить можно только целые положительные числа.

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Возможно у вас включен AdBlock.

В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Через несколько секунд решение появится ниже.

Пожалуйста подождите  сек…

Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел.

Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35. Делителями 24 будут числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут числа 1, 5, 7, 35.

Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми.

Определение. Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Наибольший общий делитель (НОД) можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.

Разложим на множители числа 48 и 36, получим: 48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3. Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа (т. е. две двойки).

Остаются множители 2 * 2 * 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на простые множители; 2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;

3) найти произ ведение оставшихся множителей.

Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел. Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.

Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a и b. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел.

Для этого разложим 75 и 60 на простые множители: 75 = 3 * 5 * 5, а 60 = 2 * 2 * 3 * 5. Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа (т.е.

объединяем множители).

Получаем пять множителей 2 * 2 * 3 * 5 * 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

  1. Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.
  2. Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на простые множители; 2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел; 3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
  3. 4) найти произведение получившихся множителей.

Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел. Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.

Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом. Например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные числа — 496, 8128, 33 550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа.

Четвёртое — 8128 — стало известно в I в. н. э. Пятое — 33 550 336 — было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.

Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т. е. простые числа — это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.

Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно — в одних частях ряда их больше, в других — меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в.

до н. э.) в своей книге «начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число.

Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ.

Он записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычёркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3.

Далее вычёркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т. д.). в конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.

Источник: https://www.math-solution.ru/math-task/nod-nok

Задачи на НОД и НОК чисел

Слайд 1

Задачи на НОД и НОК чисел Работа ученицы 6 класса МКОУ «Камышовская ООШ» Ланциновой Айсы Руководитель Горяева Зоя Эрднигоряевна, учитель математики с. Камышово, 2013г

Слайд 2

Пример нахождения НОД чисел 50, 75 и 325. 1) Разложим числа 50, 75 и 325 на простые множители. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Из множителей входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение других.

50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Найдём произведение оставшихся множителей 5 ∙ 5 = 25 Ответ: НОД (50, 75 и 325)= 25 Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Слайд 3

Пример нахождения НОК чисел 72, 99 и 117. 1) Разложим на простые множители числа 72, 99 и 117.

72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 99 = 3 ∙ 3 ∙ 11 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Выписать множители, входящих в разложение одного из чисел 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 и добавить к ним недостающие множители остальных чисел. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3)Найдите произведение получившихся множителей.

2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Ответ: НОК ( 72, 99 и 117 ) = 10296 Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно a и b .

https://www.youtube.com/watch?v=Lkw7OMRlsLk

Слайд 4

Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см., а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа и сколько? Решение: 1) S = a ∙ b – площадь прямоугольника. S= 48 ∙ 40 = 1960 см ² . – площадь картона.

2) a – сторона квадрата 48 : a – число квадратов, которое можно уложить по длине картона. 40 : а – число квадратов, которое можно уложить по ширине картона. 3) НОД (40 и 48) = 8(см) – сторона квадрата. 4) S = a² – площадь одного квадрата. S = 8² = 64 ( см ² .) – площадь одного квадрата. 5) 1960 : 64 = 30 (количество квадратов).

Ответ: 30 квадратов со стороной 8 см каждый. Задачи на НОД

Слайд 5

Камин в комнате необходимо выложить отделочной плиткой в форме квадрата.

Сколько плиток понадобится для камина размером 195 ͯ 156 см и каковы наибольшие размеры плитки? Решение: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (см ² ) – S поверхности камина. 2) НОД (195 и 156) = 39 (см) – сторона плитки.

3) S = a² = 39² = 1521 ( см ² ) – площадь 1 плитки. 4) 30420 : = 20 (штук). Ответ: 20 плиток размером 39 ͯ 39 (см). Задачи на НОД

Слайд 6

Садовый участок размером 54 ͯ 48 м по периметру необходимо оградить забором, для этого через равные промежутки надо поставить бетонные столбы.

Сколько столбов необходимо привезти для участка, и на каком максимальном расстоянии друг от друга будут стоять столбы? Решение: 1) P = 2( a + b) – периметр участка. P = 2(54 + 48) = 204 м.

2) НОД (54 и 48) = 6 (м) – расстояние между столбами. 3) 204 : 6 = 34 (столба). Ответ: 34 столба, на расстоянии 6 м. Задачи на НОД

Слайд 7

Из 210 бордовых, 126 белых, 294 красных роз собрали букеты, причём в каждом букете количество роз одного цвета поровну.

Какое наибольшее количество букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого цвета в одном букете? Решение: 1) НОД ( 210, 126 и 294) = 42 (букета). 2) 210 : 42 = 5 (бордовых роз). 3) 126 : 42 = 3 (белых роз).

4) 294 : 42 = 7 (красных роз). Ответ: 42 букета: 5 бордовых, 3 белых, 7 красных роз в каждом букете. Задачи на НОД

Слайд 8

Таня и Маша купили одинаковое число почтовых наборов. Таня заплатила 90 руб., а Маша на 5 руб. больше. Сколько стоит один набор? Сколько наборов купила каждая? Решение: 1) 90 + 5 = 95 (руб.) заплатила Маша. 2) НОД ( 90 и 95) = 5 (руб.) – цена 1 набора. 3) 980 : 5 = 18 (наборов) – купила Таня. 4) 95 : 5 = 19 (наборов) – купила Маша. Ответ: 5 рублей, 18 наборов, 19 наборов. Задачи на НОД

Слайд 9

В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй – 20 и третий – 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трём маршрутам.

Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание? Какое количество рейсов сделает каждый теплоход? Решение: 1) НОК (15,20 и 12) = 60 (суток) – время встречи. 2) 60 : 15 = 4 (рейса) – 1 теплоход. 3) 60 : 20 = 3 (рейса) – 2 теплоход. 4) 60 : 12 = 5 (рейсов) – 3 теплоход.

Ответ: 60 суток, 4 рейса, 3 рейса, 5 рейсов. Задачи на НОК

Слайд 10

Маша для Медведя купила в магазине яйца. По дороге в лес она сообразила, что число яиц делится на 2,3,5,10 и 15. Сколько яиц купила Маша? Решение: НОК (2;3;5;10;15) = 30 (яиц) Ответ: Маша купила 30 яиц. Задачи на НОК

Слайд 11

Требуется изготовить ящик с квадратным дном для укладки коробок размером 16 ͯ 20 см. Какова должна быть наименьшая длина стороны квадратного дна, чтобы уместить коробки в ящик вплотную? Решение: 1) НОК (16 и 20) = 80 (коробок).

2) S = a ∙ b – площадь 1 коробки. S = 16 ∙ 20 = 320 ( см ² ) – площадь дна 1 коробки. 3) 320 ∙ 80 = 25600 ( см ² ) – площадь квадратного дна. 4) S = а² = а ∙ а 25600 = 160 ∙ 160 – размеры ящика. Ответ: 160 см- сторона квадратного дна.

Задачи на НОК

Слайд 12

Вдоль дороги от пункта К стоят столбы электролинии через каждые 45 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 60 м друг от друга. Сколько столбов было и сколько будут стоять? Решение: 1) НОК (45 и 60) = 180. 2) 180 : 45 = 4 –было столбов. 3) 180: 60 = 3 – стало столбов. Ответ: 4 столба, 3 столба. Задачи на НОК

Слайд 13

Сколько солдат маршируют на плацу, если они будут маршировать строем по 12 человек в шеренге и перестраиваться в колонну по 18 человек в шеренге? Решение: 1)НОК (12 и 18) = 36 (человек) – маршируют. Ответ: 36 человек. Задачи на НОК

Источник: https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2013/07/13/zadachi-na-nod-i-nok-chisel

Нод и нок (тамаркова)

  • НОД, НОД
  • НОД — это наибольший общий делитель.
  • НОК — это наименьшее общее кратное.
  • Определения:
  1. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.

  2. Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n есть наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка

Способы нахождения НОД двух чисел:

1 способ (следует из определения): Метод полного перебора для нахождения наибольшего общего делителя (НОД)  натуральных чисел.

  1. Выписываем все делители числа а;
  2. Выписываем все делители числа b;
  3. Выбираем среди них общие делители;
  4. Среди общих делителей выбираем самое большое число – это и есть НОД(a, b).

2 способ : Метод перебора делителей меньшего числа для нахождения наибольшего общего делителя (НОД)  натуральных чисел.

  1. Найти делители меньшего из данных чисел.
  2. Найти, начиная с большего, тот из выписанных делителей, который является также делителем другого числа.
  3. Записать найденное число – НОД.

3 способ; Метод нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел с помощью разложения на множители.

  1. Находим разложение чисел на простые множители.
  2. Подчеркиваем общие числа.
  3. Находим произведение подчеркнутых чисел у одного числа.
  4. Записываем ответ.

4 способ: Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя (НОД)  двух натуральных чисел вычитанием.

  1. Из большего числа вычитается меньшее.
  2. Если получается 0, то числа равны друг другу и являются наибольшим общим делителем.
  3. Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяется на результат вычитания.
  4. Переход к пункту 1.

Способы нахождения НОК двух чисел:

1 способ: Метод перебора 1.    Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для обоих чисел.

2 способ; Метод нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел с помощью разложения на множители

  1.  Разложить данные числа на простые множители.
  2.  Выписать в строчку множители, входящие в разложение самого большого из чисел, а под ним — разложение остальных чисел.
  3.  Подчеркнуть в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа и добавить эти множители в разложение большего числа. 
  4.  Полученное произведение записать в ответ. 

     Свойства наибольшего общего делителя:

  1. НОД(a, b) = НОД(b, a)
  2. НОД(a, b) = НОД(-a, b)
  3. НОД(a, b) = НОД(|a|,|b|)
  4. НОД(a, 0) = |a|
  5. НОД(a, к • a) = |a|, при любом к ∈ Z
  6. НОД(a, НОД(b, с)) = НОД(НОД(a, b), c)

Свойства наименьшего общего кратного:

  1. НОК(a, b) = НОК(b, a)
  2. НОД(a, b) = НОД(-a, b)
  3. НОД(a, b) = НОД(|a|,|b|)
  4. НОК(a, НОК(b, с)) = НОК(НОК(a, b), c)

Источник: https://ya-znau.ru/znaniya/zn/131

II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся Старт в науке

Мульмин В.Н. 11ГБОУ ООШ с.Заволжье м.р. Приволжский Самарской области
Шишина И.А. 11ГБОУ ООШ с.Заволжье м.р. Приволжский Самарской области

Текст работы размещён без изображений и формул. Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

 Введение.

В каждодневной жизни человеку приходится решать большое число разного рода задач, которые требуют применения определённых алгоритмов. Когда мы приготавливаем чай, пользуемся определённым алгоритмом (иногда заданным инструкцией, напечатанной на упаковке).

Слово алгоритм стало широко употребляться в последнее время. Оно означает описание совокупности действий, составляющих некоторый процесс. Обычно здесь подразумевают процесс решения некоторой задачи, но и кулинарный рецепт, и инструкция по пользованию стиральной машиной, и ещё многие другие правила, не имеющие отношения к математике, являются алгоритмами

Данная работа знакомит с алгоритмами вычисления НОД и НОК. Знакомство с ними не только дополняет и углубляет математические знания, но и развивает интерес к предмету, любознательность и логическое мышление. Предлагаемая работа рассчитана на учеников, желающих повысить уровень математической подготовки, увидеть красоту математических выкладок и эстетику алгоритма Евклида.

  • Гипотеза:Есть алгоритмы нахождения НОД и НОК, которые являются удобными и не требующие громоздкого способа вычисления.
  • Цель исследования: изучить разные алгоритмы вычисления НОД и НОК, выявить наиболее рациональные способы решения, красиво и сравнительно просто приводящие к ответу.
  • Достижение поставленной цели требует решения следующих основных задач:
  1. Рассмотреть несколько алгоритмов вычисления НОД и НОК

  2. Сравнить алгоритмы для вычисления НОД и НОК

  3. Провести анкетирование «Знание и использование НОД и НОК»

  4. Составить список памятку «Применение НОД И НОК»

Предмет исследования: Алгоритмы вычисления НОД и НОК

Объект исследования: умения и навыки вычисления НОД и НОК

Методы исследования: Изучение специальной литературы по данному вопросу: энциклопедии, справочники и учебные пособия. Анкетирование. Сравнение и анализ.

Обработка полученных данных (составление обобщающих таблиц, диаграмм). Для решения поставленных задач я изучал как литературные источники, так и интернет-источники, в том числе учебник под редакцией Н. Я.

Виленкина «Математика. 6 класс».

Глава 1. Алгоритмы вычисления НОД и НОК 1.1. «Прадедушка» всех алгоритмов

Алгоритм Евклида — эффективный алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. Алгоритм назван в честь греческого математика Евклида, который впервые описал его в VII и X книгах «Начал».

В самом простом случае алгоритм Евклида применяется к паре положительных целых чисел и формирует новую пару, которая состоит из меньшего числа и разницы между большим и меньшим числом. Процесс повторяется, пока числа не станут равными. Найденное число и есть наибольший общий делитель исходной пары.

Первое описание алгоритма находится в «Началах Евклида» (около 300 лет до н. э.), что делает его одним из старейших численных алгоритмов, используемых в наше время.

Оригинальный алгоритм был предложен только для натуральных чисел и геометрических длин (вещественных чисел).

Позже алгоритм Евклида также был обобщен на другие математические структуры, такие как узлы и многомерные полиномы (многочлен от нескольких переменных) [2.2].

Для данного алгоритма существует множество теоретических и практических применений. В частности он широко распространён в электронной коммерции.

Также алгоритм используется при решении диофантовых уравнений (Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами).

Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению.

Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, например: Решить в целых числах уравнение x2 – xy – 2y2 = 7), при построении непрерывных дробей. Алгоритм Евклида является основным инструментом для доказательства теорем в современной теории чисел. [2.3]

Долгое время алгоритм Евклида был самым эффективным способом отыскания наибольшего общего делителя, однако с появлением электронно-вычислительных машин ситуация изменилась Учет специфических особенностей выполнения арифметических операций компьютером позволил построить более эффективную (для программной реализации) версию алгоритма Евклида.

1. 2. Алгоритмы вычисления НОД 1.2.1 Алгоритм простого перебора

Чтобы найти наибольший общий делитель двух данных натуральных чисел можно действовать по определению: выписать все делители этих чисел, выделить среди них общие и выбрать среди всех общих делителей наибольший.

Пример. Найдем все делители чисел 54 и 36.

  1. 54 делится на 1; 2; 3; 6; 9; 18; 27; 54.
  2. 36 делится на 1; 2; 3; 4; 6; 9; 18; 36.
  3. Общими делителями являются числа: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
  4. Значит НОД(54; 36)=18

1.2.2 Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители

Рассмотрим еще один способ нахождения НОД. Наибольший общий делитель может быть найден по разложениям чисел на простые множители.

Что такое разложение на множители? Это способ превращения неудобного и сложного примера в простой и симпатичный. Встречается на каждом шагу и в элементарной математике, и в высшей.

Подобные превращения на математическом языке называются тождественными преобразованиями выражений.

Смысл любого тождественного преобразования — это запись выражения в другом виде с сохранением его сути.

Смысл разложения на множители предельно прост и понятен. Прямо из самого названия. Например, надо разложить число 12. Можно смело записать: 12=3·4

А можно разложить 12 по-другому: 12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=……..

  • Вариантов разложения — бесконечное количество.
  • Сформулируем правило: НОД двух целых положительных чисел a и b равен произведению всех общих простых множителей, находящихся в разложениях чисел a и b на простые множители.
  • Приведем пример для пояснения правила нахождения НОД.

Пусть нам известны разложения чисел 220 и 600 на простые множители, они имеют вид 220=2·2·5·11 и 600=2·2·2·3·5·5. Общими простыми множителями, участвующими в разложении чисел 220 и 600, являются 2, 2 и 5. Следовательно, НОД(220, 600)=2·2·5=20.

Таким образом, если разложить числа a и b на простые множители и найти произведение всех их общих множителей, то будет найден наибольший общий делитель чисел a и b.

Пример. Найдите наибольший общий делитель чисел 72 и 96.

Решение. Разложим числа 72 и 96 на простые множители.

72=2·2·2·3·3 и 96=2·2·2·2·2·3. Общими простыми множителями являются 2, 2, 2 и 3. Таким образом, НОД(72, 96)=2·2·2·3=24.

  1. Ответ: НОД(72, 96)=24.
  2. В заключение этого пункта заметим, что справедливость приведенного правила нахождения НОД следует из свойства наибольшего общего делителя, которое утверждает, что
  3. НОД(m·a, m·b)=m·НОД(a, b), где m – любое целое положительное число.

1.2.3. Алгоритм Евклида

Одним из простейших алгоритмов нахождения наибольшего общего делителя является Алгоритм Евклида. Он может быть реализован, как при помощи вычитания, так и деления. Рассмотрим каждый из этих двух способов.

а) Описание алгоритма нахождения НОД вычитанием:

Из большего числа вычитаем меньшее. Если получается 0, то значит, что числа равны друг другу и являются НОД (следует выйти из цикла). Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяем на результат вычитания.

  • Переходим к пункту 1.
  • Пример:
  • Найти НОД для 30 и 18.
  • 30 — 18 = 12
  • 18 — 12 = 6
  • 12 — 6 = 6
  • 6 – 6 = 0 Конец: НОД – это уменьшаемое или вычитаемое. НОД (30, 18) = 6
  • б) Описание алгоритма нахождения НОД делением:

Большее число делим на меньшее. Если делится без остатка, то меньшее число и есть НОД (следует выйти из цикла). Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления. Переходим к пункту 1.

Пример.

Пусть требуется найти НОД(102;84). Разделим одно число на другое и определим остаток.

102=84*1+18 0

Источник: https://school-science.ru/2/7/29976

Находим Наибольший Общий Делитель и Наименьшее Общее Кратное!

В статье обсудим 2 очень важных понятия: наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОД). Поговорим, зачем они нужны и доступно объясним, как находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное на простых и понятных примерах.
Начнем с определений.

Наибольший общий делитель – это наибольшие число, на которое можно поделить исходные числа без остатка.
К примеру, возьмем числа 6 и 18. Они оба делятся без остатка на 1, на 2, на 3 и на 6.

Наибольшее из перечисленных чисел 6. Это и есть наибольший общий делитель для чисел 6 и 18.

Наименьшее общее кратное – это наименьшее число, которое делиться на исходные числа без остатка.
Возьмем те же числа 6 и 18. Самое очевидно число, которое делиться на оба числа без остатка это число, равное их произведению.

6*18 = 108
Однако число 54, тоже делиться на оба числа без остатка. 54:18=3 и 54:8=7 .
Также число 18 делиться и на 18 и на 6.
Оно и есть самое наименьшее из возможных, поскольку число меньшее 18(17, 16 и т.

д) на 18 нацело мы поделить не сможем, получиться дробь.

Таким образом, для чисел 6 и 18 наименьшее общее кратное 18.

Для чего нам нужно уметь находить общие наибольший делитель и наименьшее кратное?
Без них мы не сможем выполнять элементарные операции с дробями.
К примеру, нам нужно сократить дробь.
6/18 .

Для того, чтобы сократить эту дробь нам достаточно для числителя и знаменателя найти наименьший общий делитель и поделить и числитель, и знаменатель на него.
Мы знаем, что для чисел 6 и 18, НОД = 6.

Таким образом, 6/18 = (6:6)/(18:6) = 1/3
Для того, чтобы элементарно складывать дроби нам необходимо уметь находить наименьшее общее кратное.
Попробуем сложить дроби
1/18 и 1/6, для это находим НОК для знаменателей или так называемый наименьший общий знаменатель.

Для знаменателей 18 и 6 мы уже знаем, что НОК (он же наименьший общий знаменатель) равен 18.
Приводим дроби к общему знаменателю
1/18 + 1/6 = 1/18 + 3/18 = 4/18

Дробь 4/18 можно сократить. НОД для чисел 4 и 18, равен 2.

Таким образом 4/18 = 2/9
В итоге получаем 1/18+1/6 = 2/9

Подробно про решение дробей мы рассказываем в отдельной статье.

Для простых чисел НОД и НОК мы можем находить без труда, если понимаем что это за числа и хорошо знаем таблицу умножения.
Для больших чисел нахождение наибольшего общее делителя и наименьшего общего кратного становиться проблематичным, поскольку в уме такие операции делать сложно.

Для нахождения НОД в данном случае используется алгоритм Евклида.
Для этого мы делим большее число на меньшее, вычисляя остаток. На этот остаток нам нужно поделить число, на которое мы делили до этого. И так мы делим до момента пока в остатке не окажется 0.

Последний целый делитель и есть НОД для исходных чисел.

Понять на примере это намного проще, поэтому пример.

К примеру, нам нужно найти НОД для чисел 543 и 465
1. Делим большее на меньшее.
543/465 = 1 + остаток 543-465 = 78 . Оно не равно нулю, продолжаем делить
2. Делим последний делитель (465) на остаток.

465/78 = 5 + остаток 465 – 5*78 = 465-390 = 75. Оно не равно нулю, продолжаем делить
3. Делим последний делитель (78) на остаток.
78/75 = 1 + остаток 78 – 75 = 3. Оно не равно нулю, продолжаем делить
4.

Делим последний делитель (75) на остаток.
75/3 = 25 Остаток равен 0.

НОД равен последнему целому делителю 3.

Чтобы найти наименьшее общее кратное для больших чисел достаточно найти наибольший общий делитель. И произведение этих чисел просто напросто поделить на найденный НОД.
К примеру, для наших чисел 543 и 465 , наименьшее общее кратное равно

НОК = 543*465/НОД = 543*465/3 = 84165

Очень важно поставить навык нахождения НОД и НОК для простых чисел и отработать алгоритм Евклида. Прорешайте хотя бы по 10 примеров на каждый случай.
Проверить ответ после решения вы можете воспользовавшись онлайн сервисами, которых достаточно много в интернете.

На этом у нас всё. Удачных решений.
Свои вопросы, если они появились обязательно пишите в х.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Источник: https://reshit.ru/Naibol%27shiy-Obschiy-Delitel%27-i-Naimen%27shee-obschee-Kratnoe

Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов

Понятие 1

Выражения, являющиеся произведением чисел, переменных и их степеней, называются одночленами. К примеру, {6х}^2,-11 sqrt{у, }{34a}^5b^4 . Так одночленами являются и сами числа, например -243 , и переменные, например, y и их степени, например x^{23} .

К примеру, одночлен {34a}^5b^4 записан в стандартном виде, а одночлен {b^434a}^5 — нет.

Число, стоящее на первом месте при стандартнои̌ записи одночлена, называется коэффициентом одночлена. Коэффициент одночлена {34a}^5b^4 равен 34 , а у одночлена ,-11 sqrt{y } равен -11 .

Наибольший общий делитель

  • Наибольшее натуральное число, на ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ делятся без остатка числа a и b , называется наибольшим общим делителем и часто обозначается НОД.
  • Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, необходимо:
  • 1) разложить числа на простые множители

3) найти произведение чисел, найденных на шаге 2 . Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 1

Найти НОД чисел 121 и 132 .

    1. разложить числа на простые множители
    2. 242=2cdot 11cdot 11
    3. 132=2cdot 2cdot 3cdot 11
  1. 242=2cdot 11cdot 11

    132=2cdot 2cdot 3cdot 11

  2. Найти произведение чисел, найденных на шаге 2 . Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

    НОД=2cdot 11=22

Наибольший общий делитель одночленов

Понятие 2

Одночлен, на который делится каждый ᴎɜ исходных одночленов, называется общим одночленом.

К примеру, одночленов a^2b^3 и abc общим одночленом будет одночлен ab .

Наибольшим общим делителем одночленов будет являться одночлен, содержащий общие переменные с наибольшими показателями степеней.

  • Чтобы найти наибольший общий делитель двух одночленов, необходимо:
  • 1) найти переменные, входящие в состав каждого ᴎɜ исходных одночленов;
  • 2) выбрать ᴎɜ показателей степеней выбранных переменных наименьшие и НОД коэффициентов исходных одночленов;

3) найти произведение переменных и чисел, найденных на шаге 2 . Полученный одночлен и будет искомым наибольшим общим делителем одночленов.

Пример 2

Найти НОД одночленов { 63a}^2b^6c^{11} и {81a}^3b^4c^9

  1. найти переменные, входящие в состав исходных одночленов

    {a}^2b^6c^{11} и a^3b^4c^9

  2. выбрать ᴎɜ показателей степеней выбранных переменных наименьшие и НОД коэффициентов исходных одночленов

    {a}^2b^6c^{11} и a^3b^4c^9

    Найдем НОД коэффициентов одночленов, т.е. чисел 63 и 81

    1. Разложим числа на простые множители
    2. 63=3cdot 3cdot 7
    3. 81=3cdot 3cdot 3cdot 3

    63=3cdot 3cdot 7

    81=3cdot 3cdot 3cdot 3

    Найдем произведение чисел, найденных на шаге 2 . Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

    НОД=3cdot 3=9

  3. Найти произведение переменных и чисел, найденных на шаге 2 . Полученный одночлен и будет искомым наибольшим общим делителем одночленов

    НОД({63a}^2b^6c^{11} и {81a}^3b^4c^9)=9a^2b^4c^9

Наименьшее общее кратное двух чисел

Понятие 3

Общими кратными чисел называются числа, которые делятся на исходные без остатка. К примеру, чисел 25 и 50 общими кратными будут числа 50,100,150,200 и т.д.

Наименьшее ᴎɜ общих кратных будет называться наименьшим общим кратным и обозначается НОК

Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:

  1. Разложить числа на простые множители

  2. Выписать множители, входящие в состав первого числа, и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого;

  3. Найти произведение чисел, найденных на шаге 2 . Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным

Пример 3

Найти НОК чисел 9 и 77 .

Будем находить согласно представленному алгоритмуВажно сказать, что для

    • Разложить числа на простые множители:
    • 99=3cdot 3cdot 11
    • 77=7cdot 11
    1. Выписать множители, входящие в состав первого:
    2. 3,3,11
    3. Добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого:
    4. 7
  1. Найти произведение чисел, найденных на шаге 2 . Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным

    НОК=3cdot 3cdot 11cdot 7=693

Наименьшее общее кратное двух одночленов

Понятие 4

Общим кратным двух одночленов называется одночлен, который делится на исходные без остатка. К примеру, одночленов b^6c^{11} и { b}^4c^9 общими кратными будут одночлены b^6c^{11} , b^7c^{22} и т.д. Наименьший ᴎɜ них и будет наименьшим общим кратным двух одночленов.

  • Чтобы найти НОК двух одночленов, необходимо:
  • 1) Найти переменные, входящие в состав каждого ᴎɜ исходных одночленов;
  • 2) Выбрать ᴎɜ показателей степеней выбранных переменных наибольшие степени и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого;

3) Найти произведение переменных, найденных на шаге 2 . Полученный одночлен и будет искомым наименьшим общим кратным одночленом.

Пример 4

Найти НОК {3a}^4b^7c^{12}d и {8a}^3b^5c^9d^{12}

Будем находить согласно представленному алгоритмуВажно сказать, что для

  1. Найти переменные, входящие в состав каждого ᴎɜ исходных одночленов

    {a}^4b^7c^{12}d и a^3b^5c^9d^{12}

  2. Выбрать ᴎɜ показателей степеней выбранных переменных наибольшие степени и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

    {a}^4b^7c^{12}d и a^3b^5c^9d^{12}

  3. Найти произведение переменных, найденных на шаге 2 . Полученный одночлен и будет искомым наименьшим общим кратным одночленом

    НОК{3a}^4b^7c^{12}d ; {8a}^3b^5c^9d^{12}= {a}^4b^7c^{12}d^{12}

Источник: http://referatwork.ru/info-lections-55/tech/view/1028_naibol_shiy_obschiy_delitel_nod_i_naimen_shee_obschee_kratnoe_nok_odnochlenov

Ссылка на основную публикацию