Метод последовательных приближений — в помощь студенту

Неизохронность колебаний математического маятника связана с нелинейностью описывающего их уравнения (2.7). Общих методов решения нелинейных ДУ не существует, но есть несколько приближенных методов. Дальше мы рассмотрим один из таких методов — метод последовательных приближений.

Сначала проделаем на примере маятника, а потом приведём к общему виду. Разложим нелинейное слагаемое sin(x) в уравнении (2.7) в ряд Тейлора, ограничиваясь вторым слагаемым

(2.10)

здесь a = -1/6.

Зависимость периода колебаний от амплитуды (неизохронность колебаний) определяется коэффициентом a. Если a = 0 колебания чисто изохронные и период T = 2p/w0.

Дальше воспользуемся теоремой из теории ДУ, что решение ДУ непрерывно зависит от параметра. Так как есть период, зависящий от w0 то можно сказать, что w0 — это параметр системы, который совпадает с частотой линейных колебаний.

Введём параметр w — частота действующих (свободных) колебаний w = 2p/T(a). Мы знаем, что при a = 0, она совпадает с w0, и непрерывно зависит от a, т. е. мы можем представить её в виде ряда по степеням a.

Исторически сложилось (да и проще) раскладывать w2:

(2.11)

Считая нелинейность малой, мы ограничиваемся только первым слагаемым, содержащим a. Подставим (2.11) в (2.10), тогда, сохраняя только первые степени по a, получим

(2.12)

Решение x(t) уравнения (2.12) тоже непрерывно зависит от параметра a, причём при a = 0

В силу непрерывности решения по a, можно записать, ограничиваясь только первой степенью a, что при a ¹ 0,

Подставим это решение в (2.12), пренебрегая степенями a со второй включительно

и, учитывая уравнение нулевого приближения для x

получим окончательное уравнение первого приближения

В нашем случае, выбирая начальные условия в виде t = 0, x = a, , находим решение уравнения нулевого приближения

Уравнение первого приближения соответственно будет

(2.13)

У нас получилось линейное уравнение, в правой части которого стоят гармонические силы. Получилось, что на систему с собственной частотой w действуют два гармонических процесса с частотами w и 3w. Так как потерь нет, то колебания совершаются с бесконечной амплитудой (на частоте w резонанс), поэтому, чтобы такого не было, необходимо положить

,

тогда уравнение первого приближения примет вид:

.

(2.14)

Из предыдущего соотношения находим, что . Тогда, подставив его в (2.11), получим

,

следовательно

.

(2.15)

Решение уравнения первого приближения будет иметь вид:

,

где С1 и С2 — произвольные постоянные. Тогда полное решение (2.10) в первом приближении запишется следующим образом:

.

Значения произвольных постоянных можно найти, требуя от этого решения, чтобы оно удовлетворяло тем же начальным условиям, т. е. , тогда окончательно с учётом формулы (2.15)

.

(2.16)

Из найденного соотношения видно, что колебания не изохронные и в них присутствуют высшие гармоники. Для математического маятника частота свободных колебаний убывает с ростом их амплитуды.

2.3. Свободные колебания в резонансном контуре с нелинейной ёмкостью без затухания Вопрос 5

Рассмотрим параллельный резонансный контур, представленный на рис. 19. Здесь в качестве нелинейной ёмкости используется варикап, причём ёмкость разделительного конденсатора Сp много больше ёмкости варикапа Cd. Известен закон изменения ёмкости p-n перехода:	Рис. 19. Колебательный контур с нелинейной ёмкостью.
.	(2.17)
Проинтегрируем (2.17), тогда получим: .

Из последнего уравнения найдём uak:

.

(2.18)

В качестве обобщённых координат возьмём напряжение на индуктивности, т. е. u = E + uak. Если u = 0, значит к варикапу приложено управляющее напряжение. В этом случае мы можем выразить константы через известные величины. Получается, что q = 0, Cd = C0, тогда

• .
• Подставим эти выражения в (2.18)
• ,
• тогда для обобщённой координаты получаем

, где .

(2.19)

Заметим, что полярность управляющего напряжения E выбрана так, чтобы варикап находился в состоянии обратного смещения, чтобы конденсатор Cр не влиял на работу.

Выберем Cp >> Cd, тогда при колебаниях напряжение на Cp не будет сильно меняться и тогда можно считать, что напряжение, приложенное к катушке будет u.

В таком случае для контура можно записать второй закон Кирхгофа в виде

Рис. 20. График потенциальной энергии.	.	(2.20)
Уравнение колебаний имеет вид (2.1), что позволяет с учётом (2.19) ввести потенциальную энергию в виде
.	(2.21)
Примерный вид полученной зависимости показан на рис. 20. Перепишем уравнение (2.20) в следующем виде ; .

Тогда уравнение для фазовой траектории будет выглядеть так:

, где .

(2.22)

Построим фазовый портрет для этой системы методом изоклин. Найдём для этого семейства фазовых траекторий изоклины, т. е. линии с постоянным наклоном. Уравнение изоклин:

,

отсюда, с учётом (2.22), для нашей системы получается

Рис. 21. Построение фазовых траекторий методом изоклин.

. Изоклины, исходя из полученного уравнения, по сути, параболы. Коэффициент ki определяет крутизну. Он может быть как отрицательным, так и положительным, соответственно изоклины будут находиться выше оси или ниже оси абсцисс. Если ki = 0, парабола выльется в вертикальную линию q = 0, а если ki = ¥, то в горизонтальную y = 0. На рис. 21 показано построение фазовых траекторий методом изоклин. Замкнутость фазовых траекторий подтверждает, что мы имеем дело с консервативной системой. Из фазового портрета видно, что при малых амплитудах колебаний, как и в случае идеального маятника, фазовые траектории близки к эллипсам, т. е. малые движения в нелинейной системе близки к гармоническим колебаниям в нелинейной системе. Это связано с тем, что при малых значениях q влиянием нелинейного члена gq2

по сравнению с линейным членом q на колебательный процесс системе можно пренебречь.

Проделаем то же самое не графически, а аналитически. Воспользуемся методом последовательных приближений. Для этого опять перепишем уравнение (2.20), но уже в форме уравнения (2.10):

1. .
2. Опять действуем точно также: установившуюся частоту разложим в ряд
3. .
4. Также можно записать, ограничиваясь только первой степенью g0,
5. .
6. Уравнение нулевого приближения в данном случае имеет вид
7. ;
8. его решение при начальных условиях будет таким:
9. .
10. Первое приближение имеет вид:
11. .
12. Подставляя решение для q0, получаем
13. .

Заметим, на систему с резонансной частотой w воздействует внешняя сила с той же самой частотой, т. е. для секулярных решений получается следующее условие: g1 = 0. Таким образом, мы приходим к выводу, что поправка первого порядка отсутствует, поэтому будем раскладывать до следующего параметра, т. е. для частоты, с учётом равенства нулю g1, получаем

• .
• Соответственно
• .
• Тогда уравнение второго приближения, примет вид
• .
• Или, подставив решения для q0 и q1, получим
• .
• Чтобы исчезли секулярные слагаемые, нужно потребовать, чтобы , тогда мы можем найти зависимость частоты от амплитуды:
• .

Итак, мы рассмотрели систему с одной степенью свободы без диссипации. Перейдём теперь к следующему уровню.

В неконсервативных системах полная энергия не сохраняется, поэтому уравнение фазовых траекторий уже не может иметь вид уравнения (2.5). Мы можем записать его с учётом соотношения (1.35), где введена функция Рэлея, которая описывает убыль энергии. Функция Рэлея:

; 

Так как функция F(x, y) описывает убыль энергии, то можно сказать, что функция W(t) определяет запас колебательной энергии системы. В консервативной системе она бы сохранялась. Естественно, что для автономных диссипативных систем dW/dt 

Источник: http://fiziku5.ru/uchebnye-materialy-po-fizike/metod-posledovatelnyx-priblizhenij

метод последовательных приближений (простых итераций)

Постановка задачи:

Дифференциальная задача:

y''(x)=f(x,y(x));

f – заданная функция K – число отрезков разбиения (узлов сетки), задается с клавиатуры. [a,b] – рассматриваемый промежуток, задается с клавиатуры.

y(0) = φ, y(K)=ψ — краевые условия;

• Используя заданную схему сеточной аппроксимации, решить систему сеточных уравнений методом последовательных приближений (простых итераций).
• Заданная схема сеточной аппроксимации:
• Для внутренних точек

Для первого уравнения (i=1) предлагается

Для последнего уравнения (i=k-1) предлагается

1. Решение:
2. Тестирование метода последовательных приближений (простых итераций) я решил продемонстрировать на примере 3 функций (разумеется, сначала брал решение, потом его дифференцировал и получал F(x,y,y’))
3. F(x) = 2y / x2 + 4yCos(x) / xSin(x) – y2 / x2Sin(x);     //решением будет y= x2Sin(x) +C F(x)= 2y' + 6x*ln(x)*(1-x) – 2×2 + 5x;                    //решением будет y= x3ln(x)+C F(x):= y' 2 + 4y2 – 8y + 2;                                    //решением будет y= Cos2(x)+C
4. Поскольку я знаю формулы решения, то могу строить теоретически правильные графики для сравнения.

Задача, конечно, не тривиальна. Используются одновременно три разностных схемы.
Коэффициенты для каждой из них будут свои, и рассчитывать их надо аккуратно…

• Получилась такая разряженная матрица (в пустых клетках, конечно, нули).
• Чтобы изменить эталонные функции на другие, достаточно внести изменения в 3 функции программы:
• //функция-решение (эталонная, теоретическая)

  function reshen(x:Extended):Extended;
  begin
      reshen:=0;
      Case numFunction of
         0: reshen:=x*x*Sin(x);
         1: reshen:=x*x*x*ln(x);
         2: reshen:=Cos(x)*Cos(x);
         3: reshen:=x*kk;
      end;
  end;

  //функция-первая производная решения (эталонная, теоретическая)
  function pr_reshen(x:Extended):Extended;
  begin
      pr_reshen:=0;
      Case numFunction of
         0: pr_reshen:=2*x*Sin(x)+x*x*Cos(x);
         1: pr_reshen:=3*x*x*ln(x)+x*x;
         2: pr_reshen:=-2*Sin(x)*Cos(x);
         3: pr_reshen:=kk;
      end;
  end;

  // fx — эти данные должны быть заданы как исходные (возможно, таблично), но для проверки алгоритма, программа использует эталонные функции
  //заданная функция-вторая производная решения (по эталонным)
  function fx(x,y:Extended):Extended;
  begin
      fx:=0;
      Case numFunction of
         0: if x0 then fx:=2*y/x/x+4*y*Cos(x)/x/Sin(x)-y*y/x/x/Sin(x); //нелинейность
         1: if x0 then fx:=2*pr_reshen(x)+6*x*ln(x)*(1-x)-2*x*x+5*x; //линейность c производной
         2: fx:=(pr_reshen(x))*(pr_reshen(x))+4*y*y-8*y+2; //нелинейность c производной
         3: fx:=0;
      end;
  end;

А если необходимо найти решение реально (без сравнения с эталонами), то нужно заполнить массив F для каждого x[i] узла сетки и пусть последняя функция возвращает значения из этого массива для запрашиваемого узла. Две первые функции в этом случае не используются.

Метод итераций подразумевает:
получение значения функции в определенном узле сетки на основе значений этой функции в соседних узлах.

С каждой итерацией (последовательным приближением) значение функции (в каждом из узлов) становится все ближе к эталонному, а величина, на которую изменилось значение (по сравнению с прошлой итерацией) – все меньше.

Поэтому перед началом решения следует задаться ε — допустимой ошибкой в решении и остановить цикл итераций, как только изменение функции в каждом узле сетки станет меньше ε — допустимой ошибки.

Полученный массив остается вывести на график и в текстовое окно результата.

Ну, и сравнить с эталонной функцией…

Вот как классно совпадает график рассчитанный с теоретическим (точным)…
Красная линия точно накладывается на зеленую… А черная тонкая — это fx — заданная функция-вторая производная.

Приобретайте код и тестируйте на своих функциях…
Или я могу ваши функции поместить в код…

Ехе-файл скачать бесплатно.

Условия получения кода?    Показать?

Другие примеры на тему «РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ»

Другие примеры на языке «Delphi»

Если на этой странице не нашлось того, что Вы так искали…

         Не расстраивайтесь, не все потеряно… Смело щелкайте…

       телефон: +7(919) 572-59-92 +7(987) 848-79-61

460040, г.Оренбург       © 2010    Учебные программы и сайты для студентов  

Источник: https://orenstudent.ru/iterac_test.htm

Численные методы решения нелинейных уравнений

 

• Пусть имеется уравнение вида
• f(x)= 0
• где f(x) — заданная алгебраическая или трансцендентная функция.
• Решить уравнение — значит найти все его корни, то есть те значения x, которые обращают уравнение в тождество.

Если уравнение достаточно сложно, то задача точного определения корней является в некоторых случаях нерешаемой.

Поэтому ставится задача найти такое приближенное значение корня xПP, которое отличается от точного значения корня x* на величину, по модулю не превышающую указанной точности (малой положительной величины) ε, то есть

1. │x* – xпр │< ε
2. Величину ε также называют допустимой ошибкой, которую можно задать по своему усмотрению.

Этапы приближенного решения нелинейных уравнений

Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:

• Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f(x), в каждом из которых содержится только один корень уравнения f(x)=0.
• Уточнение корней до заданной точности.

Отделение корней

Отделение корней можно проводить графически и аналитически.
Для того чтобы графически отделить корни уравнения, необходимо построить график функции f(x). Абсциссы точек его пересечения с осью Ox являются действительными корнями уравнения. Для примера рассмотрим задачу решения уравнения

где угол x задан в градусах. Указанное уравнение можно переписать в виде

Для графического отсечения корней достаточно построить график функции
Из рисунка видно, что корень уравнения лежит в промежутке x∈(6;8).

Аналитическое отделение корней

Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах.
Теорема 1. Если непрерывная функция f(x) принимает на концах отрезка [a; b] значения разных знаков, т.е.

то на этом отрезке содержится по крайней мере один корень уравнения.

Теорема 2. Если непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная f'(x) сохраняет знак внутри указанного отрезка, то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f(x) = 0.

Уточнение корней

Для уточнения корней может использоваться один из следующих методов:

Метод последовательных приближений (метод итераций)

Метод итерации — численный метод решения математических задач, используемый для приближённого решения алгебраических уравнений и систем.

Суть метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения (являющегося более точным). Метод позволяет получить решение с заданной точностью в виде предела последовательности итераций.

Функцию f(x) называют сжимающим отображением.

Последовательность чисел x0, x1 ,…, xn называется итерационной, если для любого номера n>0 элемент xn выражается через элемент xn-1 по рекуррентной формуле

а в качестве x0 взято любое число из области задания функции f(x).

Реализация на C++ для рассмотренного выше примера

Уравнение может быть записано в форме
123456789101112131415161718192021

22

#define _USE_MATH_DEFINES#include #include using namespace std;double find(double x, double eps){

  double rez; int iter = 0;

  cout 

Источник: https://prog-cpp.ru/digital-find/

3.2.1. Метод простых итераций (метод последовательных приближений)

Метод реализует стратегию постепенного уточнения значения корня.

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение (3.1). Корень отделен x* Î [a;b]. Требуется уточнить корень с точностью ε.

Уравнение ( 3.1) преобразуем к эквивалентному виду x=φ(x), (3.7)

• Что можно сделать всегда и притом множеством способов.
• Выберем начальное приближение x0Î [a;b].
• Вычислим новые приближения:
• X1=φ(x0)
• X2=φ(x1)

………..

Xi=φ(xi-1) , i=1,2,… где i − номер итерации. (3.8)

Последовательное вычисление значений xi по формуле (3.8) называется итерационным процессом метода простых итераций, а сама формула — формулой итерационного процесса метода.

Если , то итерационный процесс Сходящийся .

Точное решение x* получить невозможно, так как требуется Бесконечный Итерационный процесс.

Можно получить Приближенное Решение, прервав итерационный (3.8) при достижении условия

Где ε — заданная точность; i — номер последней итерации.

В большинстве случаев условие завершения итерационного процесса (3.10) обеспечивает близость значения xi к точному решению:

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию метода простых итераций.

Уравнение (3.7) представим на графике в виде двух функций: y1 = x и y2= φ(x).

Возможные случаи взаимного расположения графиков функций, и соответственно, видов итерационного процесса показаны на рис. 3.7 – 3.10.

Рис. 3.7 Итерационный процесс для случая 0 x = φ(x)

Не гарантируют сходимость.

Рекомендуется следующий способ получения формулы Сходящегося итерационного процесса.

1. Если это не так, переписать уравнение (3.1) в виде
2. Умножить обе части уравнения на и к обеим частям прибавить x:

• Константу l вычислить по формуле:
• (3.11)
• Такое значение λ гарантирует сходящийся итерационный процесс по формуле
• Xi = xi+1− λ f(x) (3.12)
• Где i=1,2,… — номер итерации, x0Î[a, b] – начальное приближение.

Пример 3.2.

Методом простых итераций уточнить корень уравнения x3=1-2 x с точностью ε=0,001. Корень отделен ранее (см. пример 3.1), x* Î [0;1].

1. Сначала нужно получить формулу сходящегося итерационного процесса.
2. Из уравнения выразим явно x:
3. Проверим условия сходимости для полученной формулы:
4. , ,
5. для x Î (0;1].
6. Условие сходимости не соблюдается, полученная формула не позволит уточнить корень.

Воспользуемся описанным выше способом получения формулы итерационного процесса (формулы 3.11, 3.12).

, , для всех x Î [0;1].

Наибольшее значение принимает при x = 1, т. е.

• Следовательно .
• Формула Сходящегося итерационного процесса
• Уточним корень с помощью данной формулы.
• Выберем начальное приближение на [0;1], например x0=0,5 (середина отрезка).
• Вычислим первое приближение
• Проверим условие завершения итерационного процесса
• Расчет следует продолжить.
• X3 = 0,458216
• X4 = 0,455688
• X5 = 0,454488

X6 = 0,453917 − ответ, т. к.

1. Проверим полученное значение, подставив в исходное уравнение:
2. Значение f(x) близко к 0 с точностью, близкой к ε, следовательно, корень уточнен правильно.

Источник: http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/vychislitelnaia-matematika/3-2-1-metod-prostykh-iteratcii-metod-posledovatelnykh-priblizhenii

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

• Cтраница 1
• Сущность метода последовательных приближений заключается РІ следующем.  [1]
• Сущность метода последовательных приближений заключается РІ — следующем.  [2]
• Сущность метода последовательных приближений удобнее всего пояснить РЅР° примере соединения, РѕРґРёРЅ РёР· элементов которого имеет значительно больший атомный номер, чем остальные.  [3]
• Сущность метода последовательных приближений заключается РІ следующем.  [4]

Схема боковых рам радиа.  [5]

Сущность метода последовательных приближений применительно Рє расчету рам СЃ несмещающимися узлами заключается РІ следующем. Р’ каждом узле рамы РІРІРѕРґСЏС‚ неуравновешенные моменты. РћРЅРё должны препятствовать повороту сечения узла РїРѕРґ действием нагрузки.  [6]

Сущность метода последовательных приближений заключается РІ следующем.  [7]

Остановимся кратко РЅР° сущности метода последовательных приближений.  [8]

В этом и состоит сущность метода последовательных приближений.

РџСЂРё удачном выборе нулевого приближения r z) достаточно провести интегрирование 3 — 4 раза, чтобы получить уравнение траектории СЃ приемлемой для практических целей точностью.  [10]

Описанные выше методы так или иначе связаны с получением и использованием дисперсионного уравнения задачи.

Сущность метода последовательных приближений состоит РІ вычислении переменной составляющей тока ( или Р’Р§ смещений электронов), возникающей РїРѕРґ действием заданных Р’Р§ полей ( РїСЂРё этом можно исходить либо РёР· уравнений движения Рё закона сохранения заряда, либо РёР· дифференциального уравнения для сгруппированного тока (1.73), либо РёР· уравнений для Р’Р§ смещений электронов), Р° затем РІ вычислении поля, возбуждаемого РІ линии передачи током, который считается теперь заданным. Причем РІ качестве нулевого приближения задаются Р’Р§ поля РІ линии передачи без электронного пучка. Подчеркнем, что решение задачи методом последовательных приближений может быть получено СЃ любой степенью точности: это определяется лишь количеством рассматриваемых приближений.  [11]

Сущность метода последовательных приближений состоит РІ вычислении высокочастотной составляющей сгруппированного тока ( или высокочастотных продольных смещений электронов), возникающих РїРѕРґ действием заданных высокочастотных полей, Р° затем РІ вычислении поля, возбуждаемого РІ волноведущей системе током, который считается теперь заданным. Далее процедуру можно повторять, получая приближения более высоких РїРѕСЂСЏРґРєРѕРІ. Р’ качестве нулевого приближения задаются Р’Р§-поля РІ волноведущей системе без пучка. Важно, что для вычисления пусковых условий РІ ЛОВ достаточным оказалось первого приближения. Здесь нельзя РЅРµ отметить, что широкие возможности Рё высокая эффективность аппарата метода последовательных приближений, впервые примененного Компфнером Рє ЛБВ, была обоснована основателем Саратовской научной школы РїРѕ сверхвысокочастотной электронике профессором Владимиром Николаевичем Шевчиком. Метод последовательных приближений применялся впоследствии для решения широкого РєСЂСѓРіР° задач РЎР’Р§-электроники [7, 8] Рё, РІ первую очередь, применительно Рє анализу ЛОВ.  [12]

Страницы:      1

Источник: https://www.ngpedia.ru/id494975p1.html

Метод итераций (последовательного приближения)

Процесс проектирования ведется в условиях информационного дефицита, который проявляется в следующем:

· невозможность заранее точно указать условия работы проектируемого объекта, не зная его конкретного вида и устройства (исходные данные зависят от вида конечного решения);

· выявление в процессе проектирования противоречивых исходных данных, т.е. невозможность достижения технического решения при первоначально предложенных данных, оказавшихся взаимоисключающими;

· появление в процессе проектирования необходимости учета дополнительных условий и ограничений, которые ранее считались несущественными;

· перераспределение по степени важности показателей качества, так как может выясниться, что показатель, ранее считавшийся второстепенным, очень важен (и наоборот).

Такая неопределенность устраняется посредством выполнения итерационных процедур. Первоначально задача решается при предположительных значениях исходных данных и ограниченном числе учитываемых факторов (первый цикл итераций, так называемое «первое приближение»).

Далее возвращаемся в начало задачи и повторяем ее решение, но уже с уточненными значениями исходных данных и перечнем факторов, найденными на предыдущем этапе (второй цикл итераций, «второе приближение»). И т.д.

Если хотят подчеркнуть, что первоначальное решение задачи выполнялось в условиях полной или большой неопределенности, первый цикл итераций называют «нулевым приближением».

Не надо бояться итераций в своей работе, поскольку еще ни один технический объект (а также законопроект, книга и т.д.) не был создан с первого раза. С другой стороны, желательно не увлекаться итерациями при выполнении дорогих или продолжительных проектных работ.

В частном случае, когда нет никаких предположений по решению задачи, метод последовательных приближений можно сформулировать в виде совета:

— если не известно, что и как делать (нет идей, данных, определенности и т.п.), возьмите в качестве исходного решения любое известное (идею, схему, данные,…) или предположите какое-нибудь (но желательно разумное) решение задачи. Проанализировав выбранное решение на соответствие условиям задачи, станет видно, что вас в нем не устраивает и в каком направлении его надо улучшать.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/16_29761_metod-iteratsiy-posledovatelnogo-priblizheniya.html

Метод последовательных приближений решения дэ301

Как уже отмечалось, размерность задачи (7.3) равна nd + рп»nz, если число узловых точек по каждой компоненте вектора 9 равно р. Это требует большого числа аппроксимационных точек даже для сравнительно малой размерности п0 вектора 0. Это значит, что даже для сравнительно малой размерности п0 вектора 9 размерность задачи (7.3) будет велика.

Например, если я0 = 3 и р = 10, то потребуется 1000 аппроксимационных точек, и размерность задачи (7.4) будет равна nd + 1000я2. Таким образом, при большом п0 задача (7.3) может потребовать больших вычислительных затрат. Очевидно, что решение практических задач большой размерности может потребовать огромных вычислительных затрат.

В связи с этим возникает важная задача существенного сокращения этих затрат, связанных с использованием математического ожидания в качестве целевой функции. Рассмотрим метод последовательных приближений, который позволит сократить число обращений к вычислению многомерного интеграла.

Кроме того, в главе 8 будет рассмотрен еще один метод решения ДЭ301, позволяющий уменьшить число обращений к вычислению многомерного интеграла.

Было показано, что двухэтапная задача с жесткими ограничениями может быть представлена в виде [см. формулу (4.101)]

Рассмотрим итерационную процедуру решения задачи (7.87). Пусть на к-й итерации область Т разбита на Nk подобластей 7). Будем искать функцию z = z(0) в виде кусочно-постоянной функции, значения которой постоянны внутри каждой подобласти. Обозначим

Используя приближение (7.92) вместо целевой функции (7.87) и ограничения (7.95) вместо ограничений (7.88), получим, что на к-й итерации требуется решать задачу

Это задача полубесконечного программирования [см. формулу (3.1)] и для ее решения можно использовать метод внешней аппроксимации (алгоритм 3.1). Поскольку выполняются неравенство (5.24) (в случае выпуклости функции Jd,z,Q) попеременным 0) и неравенство

то решение задачи (7.96) будет давать нижнюю оценку решения задачи (7.87). Пусть d* есть решение этой задачи. Тогда условие (7.97) гарантирует, что при d = d* при любом 0 всегда можно найти такое z, что все ограничения (4.10) будут выполняться.

Решение задачи (7.96) будет некоторым приближением к решению задачи (7.87). Причем, чем больше будет Nk, тем лучше будет приближение. В связи с этим предлагаемый метод последовательных приближений будет основываться на последовательном разбиении области Т на подобласти.

При этом разбиение некоторых подобластей для улучшения аппроксимации (7.92) будет проводиться после окончания процедуры метода внешней аппроксимации. Для выбора подобласти, подлежащей разбиению на к-й итерации можно использовать подход, описанный в главе 5 (подраздел 5.5).

Алгоритм решения ДЭ301 будет иметь вид

Алгоритм 7.4

Шаг 1. Положить к = 1. Задать начальное множество подобластей Г/ , 1 = 1, …,NX. Задать начальные значения переменных d(0zu° Также задать достаточно малое число е > 0.

Шаг 2. Решить задачу (7.96), используя метод внешней аппроксимации. В качестве начальных значений переменных d, zl взять значения этих переменных, полученные на предыдущей итерации.

Шаг 3. Если выполняется условие

то решение найдено, останов.

Шаг 4. Определить область наихудшей аппроксимации. Пусть номер ее будет /0.

• Разбить подобласть Г.1*1 на две подобласти таким
• 'О
• образом, что 7’/[*+1) и 7)

Источник: https://bstudy.net/721399/informatika/metod_posledovatelnyh_priblizheniy_resheniya_de301

Оценка сетей полигонометрии методом последовательных приближений

Оценка проектов сетей 
полигонометрии методом 

последовательных приближений

Оценка проектов полигонометрических 
сетей заключается в определении 
ожидаемых ошибок координат узловых 
пунктов. Относительных ошибок  ходов 
и сравнении их с допустимыми. Выполняется строгими и приближенными способами.

Строгая оценка, как правило, выполняется 
на компьютерах  со специальными программами, а приближенная — по соответствующим 
формулам.

Для оценки проектов полигонометрических 
сетей применяется метод последовательных приближений. Этот метод дает возможность подсчитать средне квадратичную ошибку определения каждой узловой точки по отношению к группе смежных угловых точек, а не по отношению к исходным пунктам.

Таблица 5 — Исходные данные

№ хода	Количество сторон в ходе	Длина хода (км)
11	6,2
Z2	9	5,0
Z3	5	2,6
Z4	7	4,0
Z5	10	5,1

Для дальнейшей оценки необходимо произвести следующие расчеты. В первом приближении 
системы ходов рассматриваются 
как самостоятельные системы, все 
ходы которых идут от исходных пунктов 
А, В, Z, т.е. для системы ходов n-количество линий в ходе
исходными пунктами будут А, Z и I, а для системы
— точки В, Z и II.

• Рисунок 1- Схема сети полигонометрии
• Ожидаемые ошибки определения конечных точек каждого хода вычисляют 
  по формуле:
•                            М2 = m2Sn +
                                      (8)
• mS – это средне квадратичная ошибка измерений длины линий, для полигонометрии ІV класса равна 15 мм;
• mβ – 5” средне квадратичная ошибка измерения угла;
• ρ- величина позволяющая перевести 
  секунды в натуральные числа 206265;
• S – длина хода (мм);
• n – число линий в ходе.
• Вычисленные средние ожидаемые 
  ошибки определения положения конечных точек  хода по формуле (8) записывают в таблицу 8.
• Таблица 8 — Вычисление средних ожидаемых ошибок определения положения конечных точек хода

№ хода	m2Sn	M2	M
Z1	2475	26352	28827	170
Z2	2025	14690	16715	129
Z3	1125	2648	3773	61
Z4	1575	7835	9410	97
Z5	2250	16557	18807	137

1. Расчет (для Z1):
2. m2Sn=
3. =
4. M2 =2475+26352=28827         M=170                
   =
5. Веса определения положения 
   узловых точек I и II по соответствующим ходам Z1, Z2, Z3, и Z3, Z4, Z5 вычисляются по формулам:
6.                                               P= C/
                (9)
7. где С — постоянная величина; С= 100000.
8. Общий вес определения 
   положения узловых точек I и II будет равен:
9.                                            
                                   (10)
10. Среднеквадратические ошибки определяются по формуле:

                                     (11)

• Во втором приближении полученные средние квадратические, ошибки узловых точек следует учесть как ошибки исходных данных.Тогда для узловой точки I получим:
• Веса по ходам во втором приближении 
  будут:
• Для второй узловой точки:

Приближения продолжаются до тех пор, пока в двух последних приближениях будут получены практически одинаковые средние квадратические ошибки. Обычно даже  в весьма сложных сетях 
с большим количеством узловых точек достаточно ограничиться тремя приближениями.

В полигонометрических 
сетях оценкой способом последовательных приближений будут получены величины ошибок определения узловых точек 
по отношении к группе смежных 
узловых точек, а не по отношению к удаленным от оцениваемых  узловых точек исходным пунктам.

Если пункты расположены на краях 
обширной однородной по построению полигонометрической 
сети , то по мере удаления от исходных пунктов к середине сети величины ожидаемых ошибок определения положений узловых точек не будут возрастать. На участках , где узловые точки образуются более короткими ходами, они будут, наоборот, уменьшаться.

После выполнения оценки необходимо убедиться , что проект сети удовлетворяет точностным требованиям. Для этого по каждому ходу необходимо подсчитать величины влияния предвычисленных ошибок узловых точек, пользуясь формулой:

   (12)

1. Общая ожидаемая ошибка по ходу определяется формулой:

    (13)

• где 
  — ожидаемые ошибки определения положения начальной и конечной точек хода;
•        
  -ошибка, накопленная в результате действия ошибок измерения углов и линий в ходе, вычисляемая по формуле (6).
• Затем вычисляют среднюю квадратическую относительную ошибку
  и предельную относительную ожидаемую ошибку
  .
• Таблица 9 — Вычисление средней квадратической ошибки узловых точек   

1 приближение
№ хода	Mz	Мисх	Р
Z1	170		28827		28827	3	36
Z2	129		16715		16715	6
Z3	61		3773		3773	27
2778  53
Z3	61		3773		3773	27	43
Z4	97		9410		9410	11
Z5	137		18807		18807	5
2326                      48
2 приближение
№ хода	Mz	Мисх	Р
Z1	170		28827		28827	3	25
Z2	129		16715		16715	6
Z3	61	48	3773	2304	6077	16
4000                              63
Z3	61	53	3773	2809	6582	15	31
Z4	97		9410		9410	11
Z5	137		18807		18807	5
3226
3 приближение
№ хода	Mz	Мисх	Р
Z1	170		28827		28827	3	23
Z2	129		16715		16715	6
Z3	61	57	3773	3249	7022	14
4348                              66
Z3	61	63	3773	3969	7742	13	29
Z4	97		9410		9410	11
Z5	137		18807		18807	5
3448
4 приближение
№ хода	Mz	Мисх	Р
Z1	170		28827		28827	3	23
Z2	129		16715		16715	6
Z3	61	59	3773	3481	7254	14
4348                              66
Z3	61	66	3773	4356	8129	13	29
Z4	97		9410		9410	11
Z5	137		18807		18807	5
3448

1. Расчет (для Z1):
2. Mz=170    Мисх=0   
   =28827   
   =0   
   =0+28827=28827
3. P=
         
        
       M=53
4. Вычисления средней квадратической ошибки остальных узловых точек 
   производят по идентичной системе. 
5.    Таблица 10 – Вычисление 
   знаменателя допустимой относительной 
   невязки

№ хода	Длина хода в км, L	Номера точек	М2н	М2к	М2исх	М2z	М2об	Моб, км
начальная	конечная
Z1	6,2	А	I		4348	2174	28827	31001	176	1:35213	1:17607
Z2	5,0	L	I		4348	2174	16715	18889	137	1:36380	1:18190
Z3	2,6	I	II	4348	3448	6072	3773	9845	99	1:26204	1:13102
Z4	4,0	B	II		3448	1724	9410	11134	106	1:37908	1:18954
Z5	5,1	L	II		3448	1724	18807	20531	143	1:35593	1:17797

• Расчет (для Z1):          
• М2н
  = 0                                                      
• М2к
  = 4348
• М2исх =
• М2z
  = 28827
• М2об
  = 28827+2174 = 31001
• Моб = 176
• =
• =
• Как видно из таблицы 10 рассчитанные относительные ошибки по всем ходам 
  укладываются в допуски, установленные 
  для полигонометрической сети  I разряда (таблица 5).

При коротких ходах в 
оцениваемой схеме полигонометрической 
сети относительные предельные ошибки могут оказаться больше допустимых. В этом случае точность проекта считается 
достаточной, если абсолютные величины ошибок определения положения узловых точек меньше 50 мм.

Источник: https://student.zoomru.ru/geodez/ocenka-setej-poligonometrii-metodom-posledovatelnyh/185295.1505809.s1.html