Математические операции с многочленами. деление многочлена на одночлен — в помощь студенту

Напомним, что многочлен – это сумма одночленов, и всю эту сумму нужно разделить на некоторый одночлен. Мы умеем делить одночлен на одночлен. Вспомним, на чем базируется деление одночленов. Во-первых, это деление степеней:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
  • ,
  • .
  • Кроме того, мы опирались на свойство деления:
  • Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту.
  • Пример 1:

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту

Итак, теперь, чтобы делить сумму одночленов на один одночлен, нам нужен третий опорный факт:

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту

  1. На основании трех приведенных выше базовых правил мы можем делить многочлен на одночлен, для этого мы должны каждый член многочлена разделить на одночлен, результат алгебраически сложить.
  2. Рассмотрим примеры.
  3. Пример 2:

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту

Комментарий: чтобы решить данный пример, мы, согласно правилу, разбили дробь на сумму дробей, то есть каждый член многочлена поделили на одночлен, между дробями поставили соответствующий знак – алгебраически сложили, после по правилу поделили одночлен на одночлен и получили в результате двучлен.

Иногда применяется другая форма записи:

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту

Комментарий: в данном случае в числителе в каждом члене одночлена выделяют множитель, на который выполняется деление, а затем аналогично первому способу разбивают дробь ну сумму дробей и выполняют деление.

Пример 3:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Понятие трудовых споров - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту

Комментарий: пример решается аналогично предыдущему: деление многочлена на одночлен заменяется алгебраической суммой дробей: каждый член многочлена отдельно делится на одночлен, и получаем результат, в данном случае двучлен.

Пример 4 – найти три делителя многочлена:

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту

Первым делителем будет одночлен ; данный многочлен делится на , так как все его члены содержат  в какой-то степени, и минимальная степень – первая.

Вторым делителем возьмем ; мы уже объяснили, что многочлен делится на , теперь скажем, что каждый одночлен, а значит и многочлен, делится на любое число, значит, делится на . Итак, многочлен делится на оба множителя одночлена, значит, делится на одночлен.

Третьим делителем возьмем число . В предыдущем пункте мы сказали, что многочлен можно разделить на любое число.

Самое главное в таком типе задач – минимальная степень переменной в числителе, так как на любую степень, меньшую или равную минимальной, делить можно, а на большую – нет.

Пример 5 – найти пять неподобных делителей:

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту

  • Напомним, что неподобные одночлены отличаются буквенной частью.
  • В каждом члене многочлена есть множитель  в какой-нибудь степени, значит, многочлен можно разделить на .
  • Кроме того, в каждом члене есть множитель , значит, можно разделить на .
  • Кроме того, поскольку минимальная степень b – вторая, многочлен можно поделить на .
  • Очевидно, что можно поделить и на , так как минимальная степень  – четвертая.
  • И, конечно, можно поделить на , так как на оба множителя в отдельности можно поделить, а значит и на произведение можно поделить.
  • Ответ: выбраны следующие неподобные делители , , , , .
  • Пример 6 – выбрать среди набора одночленов делители заданного многочлена:

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту

  1. Дан набор одночленов:
  2. , , , , .
  3. Поскольку минимальная степень  в многочлене – первая, то одночлены , ,  не являются делителями многочлена, так как в них степень  больше.
  4. Минимальная степень  – также первая, значит, одночлен  тоже не является делителем.
  5. Остался только одночлен , он может быть делителем заданного многочлена, так как все члены многочлена содержат  и  как минимум в первой степени.
  6. Ответ: из набора одночленов только  является делителем заданного многочлена.
Читайте также:  Возникновение правоотношений между родителями и детьми - в помощь студенту

Вывод: на этом уроке мы сформулировали правило деления многочлена на одночлен и выполнили ряд различных примеров. В дальнейшем наработанная техника станет основой для изучения более сложных тем.

Список литературы

  1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.
  3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

  1. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 284, с. 111.
  2. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 288, с. 111.
  3. среди группы одночленов найти делители заданного многочлена: а)Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту; , , , , ; б);  , , .

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/7-klass/mnogochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-nimi/delenie-mnogochlena-na-odnochlen

Действия над многочленами

Справочник по математике Алгебра Многочлены

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту

  •       Два одночлена называются подобными, если они или равны, или отличаются лишь коэффициентами.
  •       Одночлены, входящие в состав многочлена, часто называют членами многочлена.
  •       Если в многочлен входят подобные одночлены, то желательно совершить операцию приведения подобных членов.
  •       В результате выполнения операции приведения подобных членов подобные одночлены заменяются одним одночленом, коэффициент которого равен алгебраической сумме коэффициентов подобных одночленов.
  •       Покажем, как выполняется операция приведения подобных членов на примере.
  •       Пример 1. Привести подобные члены в многочлене

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студентуМатематические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студентуМатематические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту

      Решение. Преобразуем, если этого не сделано, каждый одночлен, входящий в многочлен, в равный ему одночлен так, чтобы в нём сначала стояла степень буквы   x1 , затем степень буквы   x2 , затем степень буквы   x3   и т.д.:

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студентуМатематические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студентуМатематические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту

      Отметим в полученном многочлене подобные члены одного вида одной чертой сверху, другого вида – двумя чертами сверху, третьего вида – изогнутой линией сверху и т.д.:

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту

      Сгруппируем подобные члены каждого вида и совершим их приведение:

      Замечание. Решение примера 1 в учебных целях изложено с подробным и последовательным разбиением на этапы. Конечно же, при наличии опыта (который мы очень рекомендуем приобрести, решая задачи и примеры) приведение подобных членов осуществляется значительно короче и быстрее.

Умножение многочлена на число

  1.       При умножении многочлена на число каждый член этого многочлена умножается на это число.
  2.       Пример 2. Выполнить действие
  3. – (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) .
  4.       Решение.

    Поскольку

  5. x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 == x3 + (– 3x2y) ++ 3xy2 + (– y3) ,
  6.       то
  7. – (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) == ( –1)[ x3 + (– 3x2y) ++ 3xy2 + (– y3)] == ( –1) x3 + ( –1)(– 3x2y) ++ ( –1) 3xy2 + ( –1)(– y3) == – x3 + 3x2y – 3xy2 + y3 .

      Замечание.

Действие в примере 2 называется раскрытием скобки и, конечно же, при наличии даже небольшого опыта выполняется мгновенно.

Умножение одночлена на одночлен

      Пример 3. Выполнить действие

      Решение. Напомним, что при умножении степеней с одним основанием результатом является степень с тем же основанием, показатель которой равен сумме показателей сомножителей. Поэтому при выполнении требуемого в примере действия мы получим следующее:

Сложение и вычитание многочленов

      Операции сложения и вычитания многочленов близко связаны с операцией приведения подобных членов.

      Пример 4. Выполнить действия

(x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) –– (x3 + 3x2y + 3xy2 – y3) ++ 5x2y .

  •       Решение. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим
  • (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) –– (x3 + 3x2y + 3xy2 – y3) ++ 5x2y == x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 – x3 –– 3x2y – 3xy2 + y3 + 5x2y == – x2y .
  •       При умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого многочлена, а полученные результаты суммируются.
  •       Заметим, что при умножении двух многочленов, отличных от нуля, получается многочлен, степень которого равна сумме степеней многочленов-сомножителей.
  •       Пример 5. Выполнить действия
  • (4×3 – 5xy2)(2×2 – x2y + 3xy4)
  •       Решение.
  • (4×3 – 5xy2)(2×2 – x2y ++ 3xy4) == 4×3(2×2 – x2y + 3xy4) ++ (– 5xy2)(2×2 – x2y + 3xy4) == (8×5 – 4x5y + 12 x4y4) ++ (– 10x3y2 + 5x3y3 –– 15x2y6) == 8×5 – 4x5y + 12 x4y4 –– 10x3y2 + 5x3y3 – 15x2y6 .

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/operation.htm

ФизМат

Определение многочлена.

Определение. Многочленом (или полиномом) называют выражение вида:

a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-2×2+an-1x+an

Где n — любое натуральное число или 0, а a0, a1, …, an — какие-то действительные числа, называемые коэффициентами многочлена. 

Определение. Функция f(x) действительной или комплексной переменной x называется многочленом, если она может быть представлена в виде:

f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-2×2+an-1x+an

Степень многочлена. Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида. Для примера найдем степень многочлена 8x4y2 — 12 + 4x2y — 3y2x4 + 6 — 5y2x4 :

8x4y2 — 12 + 4x2y — 3y2x4 + 6 — 5y2x4 = 4x2y -6.

{Цифры стоящие после переменных — степени, извините}

Операции сложения и умножения многочленов.

  • При сложении многочленов пользуются следующими правилами:
  • Например, 3x — (2a – y) = 3x — 2a + y.
  • Умножение одночлена на многочлен
  • При умножении одночлена на многочлен пользуются следующим правилом:
  • Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

1) Для того чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть. Например, 5a – 7a + 4a = 2a. 2) Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Например, 3x + (2a – y) = 3x + 2a – y. 3) Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив на противоположный знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Умножение многочлена на многочлен

При умножении многочлена на многочлен пользуются следующим правилом:

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

С помощью букв это правило можно записать следующим образом:

 Также это можно делать с помощью сокращенного умножения

Корень многочлена.

Теорема. Пусть F(x) и G(x) — два произвольных многочлена. Число a тогда и только тогда является корнем уравнения F(x)* G(x) = 0, когда оно является корнем хотя бы одного из уравнений F(x) = 0, G(x) =0.

Деление многочлена на многочлен с остатком (столбиком и методом неопределённых коэффициентов).

Столбиком.

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту

Ответ: 3×5+2×4+x2-x+1 = (3×2-4x+5)*(x3+2×2+x)-5×2-6x+1

Метод неопределенных коэффициентов

Рассмотрим два многочлена  степени  и  соответственно, т.е.
$displaystyle P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ldots+a_0,
$
$displaystyle Q_m(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+ldots+b_0,
$ предположим, что  .

При делении многочлена  на многочлен  , где  , нужно найти многочлены и  такие, чтобы выполнялось равенство
$displaystyle R_{n-m}(x)Q_m(x)+r_{m-1}(x)=P_n(x).
$
Опишем метод неопределенных коэффициентов. Этот метод основывается на том, что многочлен  -ой степени имеет ровно  корней с учетом их кратности. Это означает, что если многочлен обращается в нуль более чем в  точках, то этот многочлен нулевой (все коэффициенты равны нулю).

Запишем многочлены  и  с произвольными коэффициентами, т.е.
$displaystyle R_{n-m}(x)=c_{n-m}x^{n-m}+c_{n-m-1}x^{n-m-1}+ldots + c_0
$ и
$displaystyle r_{m-1}(x)=d_{m-2}x^{m-2}+d_{m-3}x^{m-3}+ldots + d_0.
$

Умножим и сложим многочлены в левой части равенства:

получим

здесь приведены подобные, т.е. группировка по степеням  .

В итоге получим, что для любого значения переменной  выполняется равенство левой и правой частей. Это означает, что многочлен  -ой степени обращается в нуль более, чем в точках. Для равенства нулю многочлена достаточно потребовать равенства нулю всех его коэффициентов.

Приравняем друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях  в равенстве
или

Имеем систему линейных алгебраических уравнений:

из которой определяются неизвестные коэффициенты.

Источник: http://fizmatinf.blogspot.com/2012/12/27.html

Деление многочленов “уголком”

Сегодня учимся делить многочлены “уголком”, так, как это делают с обычными числами. Рассмотрим несколько примеров подробно. Например, разделим многочлен Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту на двучлен  (Здесь деление можно произвести без остатка. Этот вопрос – можно или нельзя поделить данный многочлен на предлагаемый двучлен обсуждается в статье “Схема Горнера”). Итак, за работу!

  • Выписываем наш многочлен и рядом, “на полочке” – двучлен, на который будем делить – все как с числами:
  • Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту
  • Теперь сравниваем старшую степень многочлена и старшую степень делителя, и определяем, во сколько раз первая больше второй (по сути, делим на ):
  • Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту
  • Результат деления записываем под полочку – это первый “кусочек” ответа:
  • Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту
  • Теперь нам предстоит умножить полученный одночлен  на двучлен , который стоит на полочке (на наш делитель). Умножаем почленно, сначала на первое слагаемое:
  • Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту
  • А теперь на второе:

Результаты умножения пишем, как показано, под соответствующие степени делимого многочлена – кубы под кубы, квадраты – под квадраты и т. п.  Теперь производим вычитание:

  1. И сносим вниз следующий одночлен ():

Переходим на новый уровень и продолжаем в том же духе. Опять сравниваем старшие степени и результат деления на  записываем под полочку, получилось (не забудем про минус!):

  • И опять умножаем полученный одночлен () на оба слагаемых делителя. Сначала на первое слагаемое:
  • Теперь на второе:
  • И снова вычитаем, и к полученному результату сносим вниз новый одночлен, который собираемся подвергнуть казни операции деления:

И вот мы опять на новом уровне! Но… здесь все надо начинать сызнова. Сравниваем старшие степени, делим старшую степень делимого на старшую степень делителя, результат пишем под полку:

  1. Умножаем почленно, сначала  на , потом  на :
  2. Вычитаем, сносим последнее слагаемое, сравниваем старшие степени, производим деление  на , результат (-15) – пишем под полку.
  3. Ну, чем кончилось данное приключение, понятно:

Деление закончилось без остатка – то есть исходный многочлен поделился на  нацело. Ответ: . Заметим, что исходный многочлен был четвертой степени, деление производили на двучлен первой степени – получили в ответе многочлен третьей степени.

Попробуем еще раз?

Разделим многочлен на .

Источник: https://easy-physic.ru/delenie-mnogochlenov-ugolkom/

Алгебра 7 класс. Многочлены. Арифметические операции над многочленами

В этой части Алгебры 7 класс Вы сможете изучить школьные уроки по теме «Многочлены. Арифметические операции над многочленами». 

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студентуМногочлены. Арифметические операции над многочленами

Обучающие видео уроки по Алгебре 7 класс «Многочлены. Арифметические операции над многочленами» преподает учитель школы «Логос ЛВ» Тарасов Валентин Алексеевич. Также можете изучить остальные темы по алгебре

  • Математический язык, математическая модель
  • Линейная функция
  • Система двух линейных уравнений с двумя переменными
  • Степень с натуральным показателем и её свойства
  • Одночлены. Арифметические операции над одночленами
  • Разложение многочленов на множители
  • Функция y=x2

Степень как частный случай многочлена

На данном уроке будут рассмотрены основные понятия и определения, подготовлена основа для изучения сложной и объемной темы, а именно: мы вспомним теоретический материал, касатеющийся степеней – определения, свойства, теоремы, и решим несколько примеров для закрепления техники.

Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru

Приведение многочленов к стандартному виду. Типовые задачи

На данном уроке мы вспомним основные определения данной темы и рассмотрим некоторые типовые задачи, а именно приведение многочлена к стандартному виду и вычисление численного значения при заданных значениях переменных. Мы решим несколько примеров, в которых будет применяться приведение к стандартному виду для решения разного рода задач.

Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru

Сложение и вычитание многочленов. Типовые задачи

На данном уроке будут изучены операции сложения и вычитания многочленов, сформулированы правила для сложения и вычитания. Рассмотрены примеры и решены некоторые типовые задачи и уравнения, закреплены навыки выполнения этих операций.

Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru

Умножение многочлена на одночлен. Типовые задачи

На данном уроке будет изучена операция умножения многочлена на одночлен, являющаяся основой для изучения умножения многочленов. Вспомним распределительный закон умножения и сформулируем правило умножения любого многочлена на одночлен. Также вспомним некоторые свойства степеней. Кроме того, будут сформулированы типовые ошибки при выполнении различных примеров.

Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru

Умножение двучленов. Типовые задачи

На данном уроке мы познакомимся с операцией умножения простейших многочленов – двучленов, сформулируем правило их умножения. Выведем некоторые формулы сокращенного умножения с помощью данной операции. Кроме того, решим большое количество примеров и типовых задач, а именно задачу на упрощение выражения, вычислительную задачу и уравнения.

Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru

Умножение трёхчленов. Типовые задачи

На данном уроке мы рассмотрим операцию умножения трехчленов, выведем правило умножения трехчленов, по сути, сформулируем правило умножения многочленов в целом. Решим несколько примеров, касающихся этой темы, чтобы в дальнейшем более детально перейти к умножению многочленов.

Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru

Умножение многочлена на многочлен

На данном уроке мы вспомним все, что уже выучили про умножение многочленов, подведем некоторый итог и сформулируем общее правило. После этого выполним ряд примеров для закрепления техники умножения многочленов.

Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru

Умножение многочленов в текстовых задачах

На данном уроке мы вспомним метод математического моделирования и будем решать задачи с его помощью. Мы научимся составлять многочлены и выражения с ними из условия текстовой задачи и решать эти задачи, а значит, применять полученные знания о многочленах в более сложных видах работы.

Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru

Умножение многочленов в задачах с элементами геометрии

На данном уроке мы научимся решать текстовые задачи с элементами геометрии, применяя метод математического моделирования. Для этого сначала вспомним опорные геометрические факты и этапы решения задач.

Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru

Формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы и квадрат разности

На данном уроке мы познакомимся с формулами квадрата суммы и квадрата разности и выведем их. Формулу квадрата суммы докажем геометрически. Кроме того, решим много различных примеров с применением этих формул.

Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru

Формулы сокращённого умножения. Разность квадратов

На данном уроке мы вспомним выученные ранее формулы сокращенного умножения, а именно квадрата суммы и квадрата разности. Выведем формулу разности квадратов и решим много различных типовых задач на применение этой формулы. Кроме того, решим задачи на комплексное применение нескольких формул.

Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru

Формулы сокращённого умножения. Разность кубов и сумма кубов

На данном уроке мы продолжим изучать формулы сокращенного умножения, а именно рассмотрим формулы разности и суммы кубов. Кроме того, мы решим различные типовые задачи на применение данных формул.

Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru

Совместное применение формул сокращённого умножения

Этот видеоурок будет полезен всем тем, кто хочет самостоятельно пройти тему «Совместное применение формул сокращённого умножения». При помощи этой видеолекции вы сможете подытожить, углубить и систематизировать знания, полученные на прошлых уроках. Учитель научит вас совместному применению формул сокращенного умножения.

Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru

Формулы сокращённого умножения в задачах повышенной сложности. Ч.1

На данном уроке мы применим наши знания о многочленах и формулах сокращенного умножения для решения достаточно сложной геометрической задачи. Это позволит нам закрепить навыки работы с многочленами.

Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru

Формулы сокращённого умножения в задачах повышенной сложности. Ч.2

На данном уроке мы рассмотрим усложненные задачи на применение формул сокращенного умножения, выполним много различных примеров для закрепления техники.

Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru

Геометрическая задача на параллелепипед с применением формулы сокращённого умножения

На этом видеоуроке все желающие смогут изучить тему «Геометрическая задача на параллелепипед с применением формулы сокращённого умножения». В ходе этого занятия учащиеся смогут потренироваться в использовании формулы сокращённого умножения для параллелепипеда. В частности, учитель даст геометрическую задачу на параллелепипед, которую необходимо разобрать и решить.

Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru

Деление многочлена на одночлен

На данном уроке мы вспомним правило деления одночлена на одночлен и сформулируем основные опорные факты. Добавим некоторые теоретические сведения к уже известным и выведем правило деления многочлена на одночлен. После этого выполним ряд примеров различной сложности для овладения техникой деления многочлена на одночлен.

Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru

Источник: https://videouchilka.ru/algebra-7-klass-6.html

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен

 Наименование параметра  Значение
Тема статьи: Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен
Рубрика (тематическая категория) Технические дисциплины
Articles-ads

В основе правила деления многочлена на одночлен лежит свойство деления суммы чисел на какое-либо число, отличное от 0.Указанное правило заключается в том что того чтобы произвести деление суммы нескольких чисел на число можно каждое слагаемое суммы разделить на него, и полученные результаты сложить

Допустимые значения

Значит того, чтобы сумму чисел разделить на какое-либо число необходимым условием ϶то число должно быть не равно 0 .

Переход к многочленам

Вспомним, многочлен — ϶то сумма одночленов. Значит, когда мы говорим о том, что надо разделить многочлен на одночлен, ϶то значит, что всю эту сумму одночленов нужно разделить на некоторый одночлен. Вспомним, на чем основано деление одночленов/

  • Деление степеней frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}

Пример 1

Найти частное одночленов: x^3y^5:x^2y

Решение: x^3y^5:x^2y=x^{3-2}y^{5-1}=xy^4

  • Возведение дроби в степень {(frac{a^n}{b^m})}^x=frac{a^{nx}}{b^{mx}}

Пример 2

  • Упростить дробь {{
    m ( }frac{12x^6c^7}{6x^2c^2})}^2
  • Решение: {{
    m ( }frac{12x^6c^7}{6x^2c^2})}^2=frac{144x^{12}c^{14}}{36x^4c^4}=144x^{12}c^{14}:36x^4c^4=4x^{12-4}c^{14-4}=4x^8c^{10}
  • В ϶том задании мы воспользовались
  • 1) возведением дроби в степень {{
    m ( }frac{12x^6c^7}{6x^2c^2})}^2=frac{144x^{12}c^{14}}{36x^4c^4}

3) правилом, что при делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели вычитаются x^{12}:x^4{=x}^{12-4}=x^8 ,

[c^{14}:c^4=c^{14-4}=c^{10}]

Дополнительный материал 1

Условием выполнения деления одночлена на одночлен коэффициент делителя должен быть отличен от 0 и в одночлене, который делителем не должно быть переменных, которых нет в делимом. К примеру, при делении {4x}^3:2xy=frac{{2x}^2}{y} не получится одночлен, т. е деление без остатка не возможно.

Исходя ᴎɜ вышесказанного можно сделать вывод том, что одним ᴎɜ условий возможности выполнения деления многочлена на одночлен то коэффициент одночлена должен быть отличен от 0 и в каждом члене многочлена должен выделяться множитель, равный одночлену.

Пример 3

Dыполнить деление многочлена {8a}^3+{6a}^2b-b на {2a}^2

Произвести деление без остатка многочлена на одночлен не возможно, т.к. элемент многочлена — b не содержит переменную a , которая есть в одночлене.

Правило деления многочлена на одночлен

Чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо каждый член многочлена разделить на ϶тот одночлен и полученный результаты сложить.

Пример 4

  1. Разделить многочлен {6x}^2y+{12xy}^2 на 2x.
  2. Решение:
  3. Итак: ( {6x}^2y+{12xy}^2):2x={6x}^2y : 2x+{12xy}^2:2x=3xy+6y^2
  4. В ϶том задании мы воспользовались
  5. 1) Правило деления многочленов, мы разделили каждое слагаемое многочлена на одночлен: {6x}^2y : 2x , {12xy}^2:2x и сложили частные
  6. 2) Тем, что при делении одночленов коэффициент частного равен частному коэффициентов делимого и делителя, в нашем случае 6:2=3 , 12:2=6
  7. 3) Правилом, что при делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели вычитаются x^2:x=x^{2-1}x, x: x=1 ,

Пример 5

  • Упростить дробь frac{{8a}^4b^9+{2a}^3b^3}{{2ab}^2}
  • Решение:
  • 1) Представим данную дробь в виде суммы двух дробей. Руководствоваться в ϶том мы будем правилом сложения алгебраических дробей с одинаковым знаменателем: при сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателем в итоговой дроби числитель будет равен сумме числителей слагаемых, а знаменатель будет равен знаменателям дробей — слагаемых
  • Тогда, frac{{8a}^4b^9+{2a}^3b^3}{{2ab}^2}=frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}+frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}
  • 2) Теперь не трудно заметит, что каждая дробь будет представлять собой деление одночленов. Преобразуем сначала первую дробь:
  • Сначала вспомним, что при делении одночленов коэффициент частного равен частному коэффициентов делимого и делителя, в нашем случае 8:2=4.
  • Теперь воспользуемся правилом, деления степеней с одинаковым основанием: при делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели вычитаются, тогда :
  • Значит, первую дробь можно представит после тождественных преобразований следующим образом:
  • Теперь преобразуем вторую дробь аналогично: frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}={2a}^3b^3:{2ab}^2
  • Коэффициент итогового одночлена будет равен частному коэффициентов одночленов, стоящих в числителе и знаменателе 2:2=1.
  • Посмотрим, как преобразуются переменные: a^3:a=a^2 , b^3:b^2=b
  • Значит вторая дробь тождественно равна:
  • Вернемся к исходному выражению, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ представляло собой деление многочлена на одночлен

[{frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}=8a}^4b^9:{2ab}^2] [a^4:a=a^{4-1}=a^3][b^9: b^2=b^{9-2}=b^7] [{frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}=8a}^4b^9: {2ab}^2=4a^3b^7] [frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}={2a}^3b^3:{2ab}^2=a^2b] [frac{{8a}^4b^9+{2a}^3b^3}{{2ab}^2}=frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}+frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}=4a^3b^7+a^2b]

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен — понятие и виды. Классификация и особенности категории «Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен»2018-2019.

Источник: http://referatwork.ru/info-lections-55/tech/view/1005_matematicheskie_operacii_s_mnogochlenami_delenie_mnogochlena_na_odnochlen

Ссылка на основную публикацию