Математические операции с многочленами. деление многочлена на одночлен — в помощь студенту

Напомним, что многочлен – это сумма одночленов, и всю эту сумму нужно разделить на некоторый одночлен. Мы умеем делить одночлен на одночлен. Вспомним, на чем базируется деление одночленов. Во-первых, это деление степеней:

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Тип работы:

Предмет:

Количество страниц:

Комментарии:

Срок сдачи:

Тема работы:

E-mail:

Телефон: (Не обязательно)

Оценим за полчаса!

,
.
Кроме того, мы опирались на свойство деления:
.
Пример 1:

Итак, теперь, чтобы делить сумму одночленов на один одночлен, нам нужен третий опорный факт:

На основании трех приведенных выше базовых правил мы можем делить многочлен на одночлен, для этого мы должны каждый член многочлена разделить на одночлен, результат алгебраически сложить.
Рассмотрим примеры.
Пример 2:

Комментарий: чтобы решить данный пример, мы, согласно правилу, разбили дробь на сумму дробей, то есть каждый член многочлена поделили на одночлен, между дробями поставили соответствующий знак – алгебраически сложили, после по правилу поделили одночлен на одночлен и получили в результате двучлен.

Иногда применяется другая форма записи:

Комментарий: в данном случае в числителе в каждом члене одночлена выделяют множитель, на который выполняется деление, а затем аналогично первому способу разбивают дробь ну сумму дробей и выполняют деление.

Пример 3:

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Тип работы:

Предмет:

Количество страниц:

Комментарии:

Срок сдачи:

Тема работы:

E-mail:

Телефон: (Не обязательно)

Оценим за полчаса!

Комментарий: пример решается аналогично предыдущему: деление многочлена на одночлен заменяется алгебраической суммой дробей: каждый член многочлена отдельно делится на одночлен, и получаем результат, в данном случае двучлен.

Пример 4 – найти три делителя многочлена:

Первым делителем будет одночлен ; данный многочлен делится на , так как все его члены содержат в какой-то степени, и минимальная степень – первая.

Вторым делителем возьмем ; мы уже объяснили, что многочлен делится на , теперь скажем, что каждый одночлен, а значит и многочлен, делится на любое число, значит, делится на . Итак, многочлен делится на оба множителя одночлена, значит, делится на одночлен.

Третьим делителем возьмем число . В предыдущем пункте мы сказали, что многочлен можно разделить на любое число.

Самое главное в таком типе задач – минимальная степень переменной в числителе, так как на любую степень, меньшую или равную минимальной, делить можно, а на большую – нет.

Пример 5 – найти пять неподобных делителей:

Напомним, что неподобные одночлены отличаются буквенной частью.
В каждом члене многочлена есть множитель в какой-нибудь степени, значит, многочлен можно разделить на .
Кроме того, в каждом члене есть множитель , значит, можно разделить на .
Кроме того, поскольку минимальная степень b – вторая, многочлен можно поделить на .
Очевидно, что можно поделить и на , так как минимальная степень – четвертая.
И, конечно, можно поделить на , так как на оба множителя в отдельности можно поделить, а значит и на произведение можно поделить.
Ответ: выбраны следующие неподобные делители , , , , .
Пример 6 – выбрать среди набора одночленов делители заданного многочлена:

Дан набор одночленов:
, , , , .
Поскольку минимальная степень в многочлене – первая, то одночлены , , не являются делителями многочлена, так как в них степень больше.
Минимальная степень – также первая, значит, одночлен тоже не является делителем.
Остался только одночлен , он может быть делителем заданного многочлена, так как все члены многочлена содержат и как минимум в первой степени.
Ответ: из набора одночленов только является делителем заданного многочлена.

Вывод: на этом уроке мы сформулировали правило деления многочлена на одночлен и выполнили ряд различных примеров. В дальнейшем наработанная техника станет основой для изучения более сложных тем.

Список литературы

Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.
Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 284, с. 111.
Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 288, с. 111.
среди группы одночленов найти делители заданного многочлена: а); , , , , ; б); , , .

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/7-klass/mnogochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-nimi/delenie-mnogochlena-na-odnochlen

Действия над многочленами

Справочник по математике

Алгебра

Многочлены

Два одночлена называются подобными, если они или равны, или отличаются лишь коэффициентами.
Одночлены, входящие в состав многочлена, часто называют членами многочлена.
Если в многочлен входят подобные одночлены, то желательно совершить операцию приведения подобных членов.
В результате выполнения операции приведения подобных членов подобные одночлены заменяются одним одночленом, коэффициент которого равен алгебраической сумме коэффициентов подобных одночленов.
Покажем, как выполняется операция приведения подобных членов на примере.
Пример 1. Привести подобные члены в многочлене

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту

Решение. Преобразуем, если этого не сделано, каждый одночлен, входящий в многочлен, в равный ему одночлен так, чтобы в нём сначала стояла степень буквы x1 , затем степень буквы x2 , затем степень буквы x3 и т.д.:

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту

Отметим в полученном многочлене подобные члены одного вида одной чертой сверху, другого вида – двумя чертами сверху, третьего вида – изогнутой линией сверху и т.д.:

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту

Сгруппируем подобные члены каждого вида и совершим их приведение:

Замечание. Решение примера 1 в учебных целях изложено с подробным и последовательным разбиением на этапы. Конечно же, при наличии опыта (который мы очень рекомендуем приобрести, решая задачи и примеры) приведение подобных членов осуществляется значительно короче и быстрее.

Умножение многочлена на число

При умножении многочлена на число каждый член этого многочлена умножается на это число.
Пример 2. Выполнить действие
– (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) .
Решение.

Поскольку
x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 == x3 + (– 3x2y) ++ 3xy2 + (– y3) ,
то
– (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) == ( –1)[ x3 + (– 3x2y) ++ 3xy2 + (– y3)] == ( –1) x3 + ( –1)(– 3x2y) ++ ( –1) 3xy2 + ( –1)(– y3) == – x3 + 3x2y – 3xy2 + y3 .

Замечание.

Действие в примере 2 называется раскрытием скобки и, конечно же, при наличии даже небольшого опыта выполняется мгновенно.

Умножение одночлена на одночлен

Пример 3. Выполнить действие

Решение. Напомним, что при умножении степеней с одним основанием результатом является степень с тем же основанием, показатель которой равен сумме показателей сомножителей. Поэтому при выполнении требуемого в примере действия мы получим следующее:

Сложение и вычитание многочленов

Операции сложения и вычитания многочленов близко связаны с операцией приведения подобных членов.

Пример 4. Выполнить действия

(x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) –– (x3 + 3x2y + 3xy2 – y3) ++ 5x2y .

Решение. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим
(x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) –– (x3 + 3x2y + 3xy2 – y3) ++ 5x2y == x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 – x3 –– 3x2y – 3xy2 + y3 + 5x2y == – x2y .
При умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого многочлена, а полученные результаты суммируются.
Заметим, что при умножении двух многочленов, отличных от нуля, получается многочлен, степень которого равна сумме степеней многочленов-сомножителей.
Пример 5. Выполнить действия
(4×3 – 5xy2)(2×2 – x2y + 3xy4)
Решение.
(4×3 – 5xy2)(2×2 – x2y ++ 3xy4) == 4×3(2×2 – x2y + 3xy4) ++ (– 5xy2)(2×2 – x2y + 3xy4) == (8×5 – 4x5y + 12 x4y4) ++ (– 10x3y2 + 5x3y3 –– 15x2y6) == 8×5 – 4x5y + 12 x4y4 –– 10x3y2 + 5x3y3 – 15x2y6 .

На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/operation.htm

ФизМат

Определение многочлена.

Определение. Многочленом (или полиномом) называют выражение вида:

a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-2×2+an-1x+an

Где n — любое натуральное число или 0, а a0, a1, …, an — какие-то действительные числа, называемые коэффициентами многочлена.

Определение. Функция f(x) действительной или комплексной переменной x называется многочленом, если она может быть представлена в виде:

f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-2×2+an-1x+an

Степень многочлена. Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида. Для примера найдем степень многочлена 8x4y2 — 12 + 4x2y — 3y2x4 + 6 — 5y2x4 :

8x4y2 — 12 + 4x2y — 3y2x4 + 6 — 5y2x4 = 4x2y -6.

{Цифры стоящие после переменных — степени, извините}

Операции сложения и умножения многочленов.

При сложении многочленов пользуются следующими правилами:
Например, 3x — (2a – y) = 3x — 2a + y.
Умножение одночлена на многочлен
При умножении одночлена на многочлен пользуются следующим правилом:
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

1) Для того чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть. Например, 5a – 7a + 4a = 2a. 2) Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Например, 3x + (2a – y) = 3x + 2a – y. 3) Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив на противоположный знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Умножение многочлена на многочлен

При умножении многочлена на многочлен пользуются следующим правилом:

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

С помощью букв это правило можно записать следующим образом:

Также это можно делать с помощью сокращенного умножения

Корень многочлена.

Теорема. Пусть F(x) и G(x) — два произвольных многочлена. Число a тогда и только тогда является корнем уравнения F(x)* G(x) = 0, когда оно является корнем хотя бы одного из уравнений F(x) = 0, G(x) =0.

Деление многочлена на многочлен с остатком (столбиком и методом неопределённых коэффициентов).

Столбиком.

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту

Ответ: 3×5+2×4+x2-x+1 = (3×2-4x+5)*(x3+2×2+x)-5×2-6x+1

Метод неопределенных коэффициентов

Рассмотрим два многочлена степени и соответственно, т.е.
$displaystyle P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ldots+a_0,$
$displaystyle Q_m(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+ldots+b_0,$ предположим, что .

При делении многочлена на многочлен , где , нужно найти многочлены и такие, чтобы выполнялось равенство
$displaystyle R_{n-m}(x)Q_m(x)+r_{m-1}(x)=P_n(x).$
Опишем метод неопределенных коэффициентов. Этот метод основывается на том, что многочлен -ой степени имеет ровно корней с учетом их кратности. Это означает, что если многочлен обращается в нуль более чем в точках, то этот многочлен нулевой (все коэффициенты равны нулю).

Запишем многочлены и с произвольными коэффициентами, т.е.
$displaystyle R_{n-m}(x)=c_{n-m}x^{n-m}+c_{n-m-1}x^{n-m-1}+ldots + c_0$ и
$displaystyle r_{m-1}(x)=d_{m-2}x^{m-2}+d_{m-3}x^{m-3}+ldots + d_0.$

Умножим и сложим многочлены в левой части равенства:

получим

здесь приведены подобные, т.е. группировка по степеням .

В итоге получим, что для любого значения переменной выполняется равенство левой и правой частей. Это означает, что многочлен -ой степени обращается в нуль более, чем в точках. Для равенства нулю многочлена достаточно потребовать равенства нулю всех его коэффициентов.

Приравняем друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях в равенстве
или

Имеем систему линейных алгебраических уравнений:

из которой определяются неизвестные коэффициенты.

Источник: http://fizmatinf.blogspot.com/2012/12/27.html

Деление многочленов “уголком”

Сегодня учимся делить многочлены “уголком”, так, как это делают с обычными числами. Рассмотрим несколько примеров подробно. Например, разделим многочлен на двучлен (Здесь деление можно произвести без остатка. Этот вопрос – можно или нельзя поделить данный многочлен на предлагаемый двучлен обсуждается в статье “Схема Горнера”). Итак, за работу!

Выписываем наш многочлен и рядом, “на полочке” – двучлен, на который будем делить – все как с числами:
Теперь сравниваем старшую степень многочлена и старшую степень делителя, и определяем, во сколько раз первая больше второй (по сути, делим на ):
Результат деления записываем под полочку – это первый “кусочек” ответа:
Теперь нам предстоит умножить полученный одночлен на двучлен , который стоит на полочке (на наш делитель). Умножаем почленно, сначала на первое слагаемое:
А теперь на второе:

Результаты умножения пишем, как показано, под соответствующие степени делимого многочлена – кубы под кубы, квадраты – под квадраты и т. п. Теперь производим вычитание:

И сносим вниз следующий одночлен ():

Переходим на новый уровень и продолжаем в том же духе. Опять сравниваем старшие степени и результат деления на записываем под полочку, получилось (не забудем про минус!):

И опять умножаем полученный одночлен () на оба слагаемых делителя. Сначала на первое слагаемое:
Теперь на второе:
И снова вычитаем, и к полученному результату сносим вниз новый одночлен, который собираемся подвергнуть казни операции деления:

И вот мы опять на новом уровне! Но… здесь все надо начинать сызнова. Сравниваем старшие степени, делим старшую степень делимого на старшую степень делителя, результат пишем под полку:

Умножаем почленно, сначала на , потом на :
Вычитаем, сносим последнее слагаемое, сравниваем старшие степени, производим деление на , результат (-15) – пишем под полку.
Ну, чем кончилось данное приключение, понятно:

Деление закончилось без остатка – то есть исходный многочлен поделился на нацело. Ответ: . Заметим, что исходный многочлен был четвертой степени, деление производили на двучлен первой степени – получили в ответе многочлен третьей степени.

Попробуем еще раз?

Разделим многочлен на .

Источник: https://easy-physic.ru/delenie-mnogochlenov-ugolkom/

Алгебра 7 класс. Многочлены. Арифметические операции над многочленами

В этой части Алгебры 7 класс Вы сможете изучить школьные уроки по теме «Многочлены. Арифметические операции над многочленами».

Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен - в помощь студенту Многочлены. Арифметические операции над многочленами

Обучающие видео уроки по Алгебре 7 класс «Многочлены. Арифметические операции над многочленами» преподает учитель школы «Логос ЛВ» Тарасов Валентин Алексеевич. Также можете изучить остальные темы по алгебре

Математический язык, математическая модель
Линейная функция
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
Степень с натуральным показателем и её свойства
Одночлены. Арифметические операции над одночленами
Разложение многочленов на множители
Функция y=x2

Степень как частный случай многочлена

На данном уроке будут рассмотрены основные понятия и определения, подготовлена основа для изучения сложной и объемной темы, а именно: мы вспомним теоретический материал, касатеющийся степеней – определения, свойства, теоремы, и решим несколько примеров для закрепления техники.