Напомним, что многочлен – это сумма одночленов, и всю эту сумму нужно разделить на некоторый одночлен. Мы умеем делить одночлен на одночлен. Вспомним, на чем базируется деление одночленов. Во-первых, это деление степеней:
Узнай стоимость своей работы
- ,
- .
- Кроме того, мы опирались на свойство деления:
.
- Пример 1:
Итак, теперь, чтобы делить сумму одночленов на один одночлен, нам нужен третий опорный факт:
- На основании трех приведенных выше базовых правил мы можем делить многочлен на одночлен, для этого мы должны каждый член многочлена разделить на одночлен, результат алгебраически сложить.
- Рассмотрим примеры.
- Пример 2:
Комментарий: чтобы решить данный пример, мы, согласно правилу, разбили дробь на сумму дробей, то есть каждый член многочлена поделили на одночлен, между дробями поставили соответствующий знак – алгебраически сложили, после по правилу поделили одночлен на одночлен и получили в результате двучлен.
Иногда применяется другая форма записи:
Комментарий: в данном случае в числителе в каждом члене одночлена выделяют множитель, на который выполняется деление, а затем аналогично первому способу разбивают дробь ну сумму дробей и выполняют деление.
Пример 3:
Узнай стоимость своей работы
Комментарий: пример решается аналогично предыдущему: деление многочлена на одночлен заменяется алгебраической суммой дробей: каждый член многочлена отдельно делится на одночлен, и получаем результат, в данном случае двучлен.
Пример 4 – найти три делителя многочлена:
Первым делителем будет одночлен ; данный многочлен делится на , так как все его члены содержат в какой-то степени, и минимальная степень – первая.
Вторым делителем возьмем ; мы уже объяснили, что многочлен делится на , теперь скажем, что каждый одночлен, а значит и многочлен, делится на любое число, значит, делится на . Итак, многочлен делится на оба множителя одночлена, значит, делится на одночлен.
Третьим делителем возьмем число . В предыдущем пункте мы сказали, что многочлен можно разделить на любое число.
Самое главное в таком типе задач – минимальная степень переменной в числителе, так как на любую степень, меньшую или равную минимальной, делить можно, а на большую – нет.
Пример 5 – найти пять неподобных делителей:
- Напомним, что неподобные одночлены отличаются буквенной частью.
- В каждом члене многочлена есть множитель в какой-нибудь степени, значит, многочлен можно разделить на .
- Кроме того, в каждом члене есть множитель , значит, можно разделить на .
- Кроме того, поскольку минимальная степень b – вторая, многочлен можно поделить на .
- Очевидно, что можно поделить и на , так как минимальная степень – четвертая.
- И, конечно, можно поделить на , так как на оба множителя в отдельности можно поделить, а значит и на произведение можно поделить.
- Ответ: выбраны следующие неподобные делители , , , , .
- Пример 6 – выбрать среди набора одночленов делители заданного многочлена:
- Дан набор одночленов:
- , , , , .
- Поскольку минимальная степень в многочлене – первая, то одночлены , , не являются делителями многочлена, так как в них степень больше.
- Минимальная степень – также первая, значит, одночлен тоже не является делителем.
- Остался только одночлен , он может быть делителем заданного многочлена, так как все члены многочлена содержат и как минимум в первой степени.
- Ответ: из набора одночленов только является делителем заданного многочлена.
Вывод: на этом уроке мы сформулировали правило деления многочлена на одночлен и выполнили ряд различных примеров. В дальнейшем наработанная техника станет основой для изучения более сложных тем.
Список литературы
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.
- Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 284, с. 111.
- Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 288, с. 111.
- среди группы одночленов найти делители заданного многочлена: а)
; , , , , ; б); , , .
Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/7-klass/mnogochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-nimi/delenie-mnogochlena-na-odnochlen
Действия над многочленами
Справочник по математике | Алгебра | Многочлены |
- Два одночлена называются подобными, если они или равны, или отличаются лишь коэффициентами.
- Одночлены, входящие в состав многочлена, часто называют членами многочлена.
- Если в многочлен входят подобные одночлены, то желательно совершить операцию приведения подобных членов.
- В результате выполнения операции приведения подобных членов подобные одночлены заменяются одним одночленом, коэффициент которого равен алгебраической сумме коэффициентов подобных одночленов.
- Покажем, как выполняется операция приведения подобных членов на примере.
- Пример 1. Привести подобные члены в многочлене
Решение. Преобразуем, если этого не сделано, каждый одночлен, входящий в многочлен, в равный ему одночлен так, чтобы в нём сначала стояла степень буквы x1 , затем степень буквы x2 , затем степень буквы x3 и т.д.:
Отметим в полученном многочлене подобные члены одного вида одной чертой сверху, другого вида – двумя чертами сверху, третьего вида – изогнутой линией сверху и т.д.:
Сгруппируем подобные члены каждого вида и совершим их приведение:
Замечание. Решение примера 1 в учебных целях изложено с подробным и последовательным разбиением на этапы. Конечно же, при наличии опыта (который мы очень рекомендуем приобрести, решая задачи и примеры) приведение подобных членов осуществляется значительно короче и быстрее.
Умножение многочлена на число
- При умножении многочлена на число каждый член этого многочлена умножается на это число.
- Пример 2. Выполнить действие
- – (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) .
- Решение.
Поскольку
- x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 == x3 + (– 3x2y) ++ 3xy2 + (– y3) ,
- то
- – (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) == ( –1)[ x3 + (– 3x2y) ++ 3xy2 + (– y3)] == ( –1) x3 + ( –1)(– 3x2y) ++ ( –1) 3xy2 + ( –1)(– y3) == – x3 + 3x2y – 3xy2 + y3 .
Замечание.
Действие в примере 2 называется раскрытием скобки и, конечно же, при наличии даже небольшого опыта выполняется мгновенно.
Умножение одночлена на одночлен
Пример 3. Выполнить действие
Решение. Напомним, что при умножении степеней с одним основанием результатом является степень с тем же основанием, показатель которой равен сумме показателей сомножителей. Поэтому при выполнении требуемого в примере действия мы получим следующее:
Сложение и вычитание многочленов
Операции сложения и вычитания многочленов близко связаны с операцией приведения подобных членов.
Пример 4. Выполнить действия
(x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) –– (x3 + 3x2y + 3xy2 – y3) ++ 5x2y .
- Решение. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим
- (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) –– (x3 + 3x2y + 3xy2 – y3) ++ 5x2y == x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 – x3 –– 3x2y – 3xy2 + y3 + 5x2y == – x2y .
- При умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого многочлена, а полученные результаты суммируются.
- Заметим, что при умножении двух многочленов, отличных от нуля, получается многочлен, степень которого равна сумме степеней многочленов-сомножителей.
- Пример 5. Выполнить действия
- (4×3 – 5xy2)(2×2 – x2y + 3xy4)
- Решение.
- (4×3 – 5xy2)(2×2 – x2y ++ 3xy4) == 4×3(2×2 – x2y + 3xy4) ++ (– 5xy2)(2×2 – x2y + 3xy4) == (8×5 – 4x5y + 12 x4y4) ++ (– 10x3y2 + 5x3y3 –– 15x2y6) == 8×5 – 4x5y + 12 x4y4 –– 10x3y2 + 5x3y3 – 15x2y6 .
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Источник: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/operation.htm
ФизМат
Определение многочлена.
Определение. Многочленом (или полиномом) называют выражение вида:
a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-2×2+an-1x+an
Где n — любое натуральное число или 0, а a0, a1, …, an — какие-то действительные числа, называемые коэффициентами многочлена.
Определение. Функция f(x) действительной или комплексной переменной x называется многочленом, если она может быть представлена в виде:
f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-2×2+an-1x+an
Степень многочлена. Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида. Для примера найдем степень многочлена 8x4y2 — 12 + 4x2y — 3y2x4 + 6 — 5y2x4 :
8x4y2 — 12 + 4x2y — 3y2x4 + 6 — 5y2x4 = 4x2y -6.
{Цифры стоящие после переменных — степени, извините}
Операции сложения и умножения многочленов.
- При сложении многочленов пользуются следующими правилами:
- Например, 3x — (2a – y) = 3x — 2a + y.
- Умножение одночлена на многочлен
- При умножении одночлена на многочлен пользуются следующим правилом:
- Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
1) Для того чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть. Например, 5a – 7a + 4a = 2a. 2) Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Например, 3x + (2a – y) = 3x + 2a – y. 3) Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив на противоположный знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.
Умножение многочлена на многочлен
При умножении многочлена на многочлен пользуются следующим правилом:
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
С помощью букв это правило можно записать следующим образом:
Также это можно делать с помощью сокращенного умножения
Корень многочлена.
Теорема. Пусть F(x) и G(x) — два произвольных многочлена. Число a тогда и только тогда является корнем уравнения F(x)* G(x) = 0, когда оно является корнем хотя бы одного из уравнений F(x) = 0, G(x) =0.
Деление многочлена на многочлен с остатком (столбиком и методом неопределённых коэффициентов).
Столбиком.
Ответ: 3×5+2×4+x2-x+1 = (3×2-4x+5)*(x3+2×2+x)-5×2-6x+1
Метод неопределенных коэффициентов
Рассмотрим два многочлена степени и соответственно, т.е.
предположим, что .
При делении многочлена на многочлен , где , нужно найти многочлены и такие, чтобы выполнялось равенство
Опишем метод неопределенных коэффициентов. Этот метод основывается на том, что многочлен -ой степени имеет ровно корней с учетом их кратности. Это означает, что если многочлен обращается в нуль более чем в точках, то этот многочлен нулевой (все коэффициенты равны нулю).
Запишем многочлены и с произвольными коэффициентами, т.е.
и
Умножим и сложим многочлены в левой части равенства:
получим
здесь приведены подобные, т.е. группировка по степеням .
В итоге получим, что для любого значения переменной выполняется равенство левой и правой частей. Это означает, что многочлен -ой степени обращается в нуль более, чем в точках. Для равенства нулю многочлена достаточно потребовать равенства нулю всех его коэффициентов.
Приравняем друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях в равенстве
или
Имеем систему линейных алгебраических уравнений:
из которой определяются неизвестные коэффициенты.
Источник: http://fizmatinf.blogspot.com/2012/12/27.html
Деление многочленов “уголком”
Сегодня учимся делить многочлены “уголком”, так, как это делают с обычными числами. Рассмотрим несколько примеров подробно. Например, разделим многочлен на двучлен (Здесь деление можно произвести без остатка. Этот вопрос – можно или нельзя поделить данный многочлен на предлагаемый двучлен обсуждается в статье “Схема Горнера”). Итак, за работу!
- Выписываем наш многочлен и рядом, “на полочке” – двучлен, на который будем делить – все как с числами:
- Теперь сравниваем старшую степень многочлена и старшую степень делителя, и определяем, во сколько раз первая больше второй (по сути, делим на ):
- Результат деления записываем под полочку – это первый “кусочек” ответа:
- Теперь нам предстоит умножить полученный одночлен на двучлен , который стоит на полочке (на наш делитель). Умножаем почленно, сначала на первое слагаемое:
- А теперь на второе:
Результаты умножения пишем, как показано, под соответствующие степени делимого многочлена – кубы под кубы, квадраты – под квадраты и т. п. Теперь производим вычитание:
- И сносим вниз следующий одночлен ():
Переходим на новый уровень и продолжаем в том же духе. Опять сравниваем старшие степени и результат деления на записываем под полочку, получилось (не забудем про минус!):
- И опять умножаем полученный одночлен () на оба слагаемых делителя. Сначала на первое слагаемое:
- Теперь на второе:
- И снова вычитаем, и к полученному результату сносим вниз новый одночлен, который собираемся подвергнуть казни операции деления:
И вот мы опять на новом уровне! Но… здесь все надо начинать сызнова. Сравниваем старшие степени, делим старшую степень делимого на старшую степень делителя, результат пишем под полку:
- Умножаем почленно, сначала на , потом на :
- Вычитаем, сносим последнее слагаемое, сравниваем старшие степени, производим деление на , результат (-15) – пишем под полку.
- Ну, чем кончилось данное приключение, понятно:
Деление закончилось без остатка – то есть исходный многочлен поделился на нацело. Ответ: . Заметим, что исходный многочлен был четвертой степени, деление производили на двучлен первой степени – получили в ответе многочлен третьей степени.
Попробуем еще раз?
Разделим многочлен на .
Источник: https://easy-physic.ru/delenie-mnogochlenov-ugolkom/
Алгебра 7 класс. Многочлены. Арифметические операции над многочленами
В этой части Алгебры 7 класс Вы сможете изучить школьные уроки по теме «Многочлены. Арифметические операции над многочленами».
Многочлены. Арифметические операции над многочленами
Обучающие видео уроки по Алгебре 7 класс «Многочлены. Арифметические операции над многочленами» преподает учитель школы «Логос ЛВ» Тарасов Валентин Алексеевич. Также можете изучить остальные темы по алгебре
- Математический язык, математическая модель
- Линейная функция
- Система двух линейных уравнений с двумя переменными
- Степень с натуральным показателем и её свойства
- Одночлены. Арифметические операции над одночленами
- Разложение многочленов на множители
- Функция y=x2
Степень как частный случай многочлена
На данном уроке будут рассмотрены основные понятия и определения, подготовлена основа для изучения сложной и объемной темы, а именно: мы вспомним теоретический материал, касатеющийся степеней – определения, свойства, теоремы, и решим несколько примеров для закрепления техники.
Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru
Приведение многочленов к стандартному виду. Типовые задачи
На данном уроке мы вспомним основные определения данной темы и рассмотрим некоторые типовые задачи, а именно приведение многочлена к стандартному виду и вычисление численного значения при заданных значениях переменных. Мы решим несколько примеров, в которых будет применяться приведение к стандартному виду для решения разного рода задач.
Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru
Сложение и вычитание многочленов. Типовые задачи
На данном уроке будут изучены операции сложения и вычитания многочленов, сформулированы правила для сложения и вычитания. Рассмотрены примеры и решены некоторые типовые задачи и уравнения, закреплены навыки выполнения этих операций.
Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru
Умножение многочлена на одночлен. Типовые задачи
На данном уроке будет изучена операция умножения многочлена на одночлен, являющаяся основой для изучения умножения многочленов. Вспомним распределительный закон умножения и сформулируем правило умножения любого многочлена на одночлен. Также вспомним некоторые свойства степеней. Кроме того, будут сформулированы типовые ошибки при выполнении различных примеров.
Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru
Умножение двучленов. Типовые задачи
На данном уроке мы познакомимся с операцией умножения простейших многочленов – двучленов, сформулируем правило их умножения. Выведем некоторые формулы сокращенного умножения с помощью данной операции. Кроме того, решим большое количество примеров и типовых задач, а именно задачу на упрощение выражения, вычислительную задачу и уравнения.
Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru
Умножение трёхчленов. Типовые задачи
На данном уроке мы рассмотрим операцию умножения трехчленов, выведем правило умножения трехчленов, по сути, сформулируем правило умножения многочленов в целом. Решим несколько примеров, касающихся этой темы, чтобы в дальнейшем более детально перейти к умножению многочленов.
Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru
Умножение многочлена на многочлен
На данном уроке мы вспомним все, что уже выучили про умножение многочленов, подведем некоторый итог и сформулируем общее правило. После этого выполним ряд примеров для закрепления техники умножения многочленов.
Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru
Умножение многочленов в текстовых задачах
На данном уроке мы вспомним метод математического моделирования и будем решать задачи с его помощью. Мы научимся составлять многочлены и выражения с ними из условия текстовой задачи и решать эти задачи, а значит, применять полученные знания о многочленах в более сложных видах работы.
Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru
Умножение многочленов в задачах с элементами геометрии
На данном уроке мы научимся решать текстовые задачи с элементами геометрии, применяя метод математического моделирования. Для этого сначала вспомним опорные геометрические факты и этапы решения задач.
Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru
Формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы и квадрат разности
На данном уроке мы познакомимся с формулами квадрата суммы и квадрата разности и выведем их. Формулу квадрата суммы докажем геометрически. Кроме того, решим много различных примеров с применением этих формул.
Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru
Формулы сокращённого умножения. Разность квадратов
На данном уроке мы вспомним выученные ранее формулы сокращенного умножения, а именно квадрата суммы и квадрата разности. Выведем формулу разности квадратов и решим много различных типовых задач на применение этой формулы. Кроме того, решим задачи на комплексное применение нескольких формул.
Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru
Формулы сокращённого умножения. Разность кубов и сумма кубов
На данном уроке мы продолжим изучать формулы сокращенного умножения, а именно рассмотрим формулы разности и суммы кубов. Кроме того, мы решим различные типовые задачи на применение данных формул.
Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru
Совместное применение формул сокращённого умножения
Этот видеоурок будет полезен всем тем, кто хочет самостоятельно пройти тему «Совместное применение формул сокращённого умножения». При помощи этой видеолекции вы сможете подытожить, углубить и систематизировать знания, полученные на прошлых уроках. Учитель научит вас совместному применению формул сокращенного умножения.
Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru
Формулы сокращённого умножения в задачах повышенной сложности. Ч.1
На данном уроке мы применим наши знания о многочленах и формулах сокращенного умножения для решения достаточно сложной геометрической задачи. Это позволит нам закрепить навыки работы с многочленами.
Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru
Формулы сокращённого умножения в задачах повышенной сложности. Ч.2
На данном уроке мы рассмотрим усложненные задачи на применение формул сокращенного умножения, выполним много различных примеров для закрепления техники.
Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru
Геометрическая задача на параллелепипед с применением формулы сокращённого умножения
На этом видеоуроке все желающие смогут изучить тему «Геометрическая задача на параллелепипед с применением формулы сокращённого умножения». В ходе этого занятия учащиеся смогут потренироваться в использовании формулы сокращённого умножения для параллелепипеда. В частности, учитель даст геометрическую задачу на параллелепипед, которую необходимо разобрать и решить.
Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru
Деление многочлена на одночлен
На данном уроке мы вспомним правило деления одночлена на одночлен и сформулируем основные опорные факты. Добавим некоторые теоретические сведения к уже известным и выведем правило деления многочлена на одночлен. После этого выполним ряд примеров различной сложности для овладения техникой деления многочлена на одночлен.
Более подробно об уроке и задании решения можете узнать на сайте http://interneturok.ru
Источник: https://videouchilka.ru/algebra-7-klass-6.html
Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен
Наименование параметра | Значение |
Тема статьи: | Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен |
Рубрика (тематическая категория) | Технические дисциплины |
Articles-ads |
В основе правила деления многочлена на одночлен лежит свойство деления суммы чисел на какое-либо число, отличное от 0.Указанное правило заключается в том что того чтобы произвести деление суммы нескольких чисел на число можно каждое слагаемое суммы разделить на него, и полученные результаты сложить
Допустимые значения
Значит того, чтобы сумму чисел разделить на какое-либо число необходимым условием ϶то число должно быть не равно 0 .
Переход к многочленам
Вспомним, многочлен — ϶то сумма одночленов. Значит, когда мы говорим о том, что надо разделить многочлен на одночлен, ϶то значит, что всю эту сумму одночленов нужно разделить на некоторый одночлен. Вспомним, на чем основано деление одночленов/
- Деление степеней frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}
Пример 1
Найти частное одночленов: x^3y^5:x^2y
Решение: x^3y^5:x^2y=x^{3-2}y^{5-1}=xy^4
- Возведение дроби в степень {(frac{a^n}{b^m})}^x=frac{a^{nx}}{b^{mx}}
Пример 2
- Упростить дробь {{
m ( }frac{12x^6c^7}{6x^2c^2})}^2 - Решение: {{
m ( }frac{12x^6c^7}{6x^2c^2})}^2=frac{144x^{12}c^{14}}{36x^4c^4}=144x^{12}c^{14}:36x^4c^4=4x^{12-4}c^{14-4}=4x^8c^{10} - В ϶том задании мы воспользовались
- 1) возведением дроби в степень {{
m ( }frac{12x^6c^7}{6x^2c^2})}^2=frac{144x^{12}c^{14}}{36x^4c^4}
3) правилом, что при делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели вычитаются x^{12}:x^4{=x}^{12-4}=x^8 ,
[c^{14}:c^4=c^{14-4}=c^{10}]
Дополнительный материал 1
Условием выполнения деления одночлена на одночлен коэффициент делителя должен быть отличен от 0 и в одночлене, который делителем не должно быть переменных, которых нет в делимом. К примеру, при делении {4x}^3:2xy=frac{{2x}^2}{y} не получится одночлен, т. е деление без остатка не возможно.
Исходя ᴎɜ вышесказанного можно сделать вывод том, что одним ᴎɜ условий возможности выполнения деления многочлена на одночлен то коэффициент одночлена должен быть отличен от 0 и в каждом члене многочлена должен выделяться множитель, равный одночлену.
Пример 3
Dыполнить деление многочлена {8a}^3+{6a}^2b-b на {2a}^2
Произвести деление без остатка многочлена на одночлен не возможно, т.к. элемент многочлена — b не содержит переменную a , которая есть в одночлене.
Правило деления многочлена на одночлен
Чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо каждый член многочлена разделить на ϶тот одночлен и полученный результаты сложить.
Пример 4
- Разделить многочлен {6x}^2y+{12xy}^2 на 2x.
- Решение:
- Итак: ( {6x}^2y+{12xy}^2):2x={6x}^2y : 2x+{12xy}^2:2x=3xy+6y^2
- В ϶том задании мы воспользовались
- 1) Правило деления многочленов, мы разделили каждое слагаемое многочлена на одночлен: {6x}^2y : 2x , {12xy}^2:2x и сложили частные
- 2) Тем, что при делении одночленов коэффициент частного равен частному коэффициентов делимого и делителя, в нашем случае 6:2=3 , 12:2=6
- 3) Правилом, что при делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели вычитаются x^2:x=x^{2-1}x, x: x=1 ,
Пример 5
- Упростить дробь frac{{8a}^4b^9+{2a}^3b^3}{{2ab}^2}
- Решение:
- 1) Представим данную дробь в виде суммы двух дробей. Руководствоваться в ϶том мы будем правилом сложения алгебраических дробей с одинаковым знаменателем: при сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателем в итоговой дроби числитель будет равен сумме числителей слагаемых, а знаменатель будет равен знаменателям дробей — слагаемых
- Тогда, frac{{8a}^4b^9+{2a}^3b^3}{{2ab}^2}=frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}+frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}
- 2) Теперь не трудно заметит, что каждая дробь будет представлять собой деление одночленов. Преобразуем сначала первую дробь:
- Сначала вспомним, что при делении одночленов коэффициент частного равен частному коэффициентов делимого и делителя, в нашем случае 8:2=4.
- Теперь воспользуемся правилом, деления степеней с одинаковым основанием: при делении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели вычитаются, тогда :
- Значит, первую дробь можно представит после тождественных преобразований следующим образом:
- Теперь преобразуем вторую дробь аналогично: frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}={2a}^3b^3:{2ab}^2
- Коэффициент итогового одночлена будет равен частному коэффициентов одночленов, стоящих в числителе и знаменателе 2:2=1.
- Посмотрим, как преобразуются переменные: a^3:a=a^2 , b^3:b^2=b
- Значит вторая дробь тождественно равна:
- Вернемся к исходному выражению, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ представляло собой деление многочлена на одночлен
[{frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}=8a}^4b^9:{2ab}^2] [a^4:a=a^{4-1}=a^3][b^9: b^2=b^{9-2}=b^7] [{frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}=8a}^4b^9: {2ab}^2=4a^3b^7] [frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}={2a}^3b^3:{2ab}^2=a^2b] [frac{{8a}^4b^9+{2a}^3b^3}{{2ab}^2}=frac{{8a}^4b^9}{{2ab}^2}+frac{{2a}^3b^3}{{2ab}^2}=4a^3b^7+a^2b]
Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен — понятие и виды. Классификация и особенности категории «Математические операции с многочленами. Деление многочлена на одночлен»2018-2019.
Источник: http://referatwork.ru/info-lections-55/tech/view/1005_matematicheskie_operacii_s_mnogochlenami_delenie_mnogochlena_na_odnochlen