Делимость чисел — в помощь студенту

Делимость чисел - в помощь студентуДелимость чисел - в помощь студенту
Делимость чисел - в помощь студенту

Дроби с кратными от 1 до 5

На единицу делится любое целое число.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Самым простым правилом является делимость на число два: если натуральное число оканчивается на четную цифру, то оно кратно двум. Если в конце стоит нечетная цифра, какими являются 1, 3, 5, 7, 9, то число на два не делится. То есть чтобы поделить многозначное число на два, в конце числа должна стоять одна из таких цифр: 2, 4, 6, 8, 0.

Пример: 6942 является четным, поскольку в конце четная цифра, поэтому оно кратно двум; число 19678456 также кратно двум, так как в конце стоит четная цифра 6. А вот число 6796345 не делится на 2, поскольку оно нечетное. Также нельзя получить ответ без остатка с такой суммы, как 398573 по этой же причине.

Делимость чисел - в помощь студенту

Деление на три имеет свое правило: нужно сложить все цифры, а затем проверить, делится ли сумма на три. Если да, то и данность разделится на три. Если нет, значит, не делится.

Например, возьмем 3576. Складываем 3+5+7+6=21. Полученную сумму 21 делим на три, получается семь. Значит, оно кратно трем без остатка. Проведем разложение шестизначного номера 353388.

Оно раскладывается на три, поскольку сумма равна тридцати (3+5+3+3+8+8=30). Еще возьмем, например, 5819. Складываем: 5+8+1+9=23, полученная сумма не делится на три без остатка.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Исламская религия - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Также и 2947 невозможно разделить, поскольку остаются тройки.

Правило делимости на четыре звучит так: если две последние цифры номера кратны четырем либо оно в конце имеет два нуля, то отношение получится без остатка.

Делимость чисел - в помощь студенту

Например, 1000 делится на четыре, поскольку в конце 00. Делится также и 3824, так как в конце 24, которое кратно этому делителю. А вот 2986 не делится на четыре, так как 86 не кратно четырем, и 29087 тоже не может остаться целым, поскольку с 87 нельзя произвести расчета. Еще пример: четырехзначный номер 2648 можно разделить на этот делитель, так как 48:4=12.

Довольно простым правилом является делимость на пять. Частное получается без остатка, если в конце заданного числа стоит 5 или 0. Если оно не заканчивается одной из этих цифр, то при делении возникнет остаток.

Проверим правило, взяв пятизначное число 45765. Оно кратно пяти без остатка, так как заканчивается на пять. Также 45030 можно разделить, поскольку в конце ноль. А вот четырехзначное число 4321 без остатка не делится.

Свойства делителей от 6 до 10

Составное шесть состоит из произведения двух последовательных чисел — 2 и 3. Теория кратности такова: число 6 составное, поэтому необходимо, чтобы одновременно действовали два правила признака делимости. Нужно, чтобы число было кратно и двум, и трем сразу.

Например, проверке подвергаются трехзначные числа 756 и 168. Они четные, поэтому делятся на два. Теперь нужно сложить 7+5+6=18, становится ясно, что сумма 18 делится на 3. Число 165 при разложении на однозначные цифры с последующим сложением превращается в 12, которое может разделиться на три. Оба числа кратны одновременно 2 и 3, значит, кратны шести.

Определение отношения с делимостью на семь довольно сложное: число делится, если при удвоении последней цифры и полученной разности результат кратен семи или равен нулю.

Делимость чисел - в помощь студенту

Пример, трехзначное число 679 кратно 7. (Калькулятор выдал 97). Узнать можно так:

  • 2*9=18.
  • 67−18=49.
  • 49:7=7.

Из примера видно, что удвоилось последнее число, затем получена разность, после чего — отношение-доказательство.

В классе было дано задание доказать, что число 497 делится на семь. Порядок решения:

  • 2*7=14.
  • 49−14=35.
  • 35:7=5.

Найти признак делимости на 8 очень легко. Формулировка закона такова: последние три цифры должны быть 000 или 888. Легко можно произвести вычисления с 789000: оно делится на 8, так как оканчивается на 000. Множество 289673888 тоже кратно 8, поскольку заканчивается на 888.

Свойство при делителе 9 похоже на правило с 3. Формула делимости на 9 довольно простая: сумма цифр должна быть кратна девяти. Маленький пример: из 46980 возможно получить целое, 4+6+9+8+0= 27. Получившаяся сумма кратна 9. Еще одно задание: найти отношение с использованием признака кратности 9 при делимом 29565. Рассуждение: 2+9+5+6+5=27. Полученная сумма может разделиться на девять.

Разрядные единицы

Любое число можно разделить на разрядную единицу, если у него одинаковое или большее количество нулей в конце. Например, 5790 можно поделить на 10, так как в конце один ноль. Еще примеры:

  • 4958700:100=49587.
  • 374000:1000=374.
  • 5781000:100=5781.
  • 97430:10=9743.

Невозможно разделить 128700 на 1000, так как у разрядной единицы нулей больше, а также 237480 на 100 и другие подобные.

Делители от 11 и выше

Чтобы получилось деление на 11, необходимо сложить четные по счету номера, а затем нечетные, затем произвести вычитание. Если в процессе вычислений получился ноль или одиннадцать, то остатка не будет.

Онлайн-задание с ответом: 7535, 74019 и 50486.

Делимость чисел - в помощь студенту

  • Нечетные в первом случае 7 и 3, четные 5 и 5. Считаем:
  • Четные во втором примере 4 и 1, нечетные — 7, 0, 9. Вычисление:
  • 7+0+9=16.
  • 4+1=5.
  • 16−5=11.

В третьем примере нечетные 5, 4, 6, четные 0 и 8. Решаем:

Ответ: в первом и втором примере десятых, сотых, тысячных и так далее не останется, а в третьем — останется.

Чтобы разделить на двузначный делитель 12, нужно произвести общие вычисления, характерные для делителей 3 и 4 одновременно. К примеру, 900 и 3432. Сначала следует разложить на слагаемые 9+0+0=9, значит, можно поделить на 3.

В конце стоит два нуля — можно делить на 4. Проверка: 900:12=75. Первая часть задания решена, теперь делаем вторую: 3+4+3+2=12, 12:3=4. Таким образом проверяется кратность трем. Теперь четырем: в конце стоит 32, что указывает на кратность 4, значит, остатка не будет.

Таким образом, оба примера кратны 12.

Делимость чисел - в помощь студенту

Дробь, кратная 13, разрешится без остатка, если последнюю цифру умножить на 4, после чего сложить число и последнюю цифру. Если полученная сумма кратна 13 или равно 0, то деление получится.

Например, 6942:

  • 2*4=8.
  • 694+8=702.
  • 702:13=54.

Еще пример — 754:

  • 4*4=16.
  • 75+16=91.
  • 91:13=7.

Признак делимости на составное число

Если делитель составной, необходимо его разложить на простые множители, которые не имеют общих кратных, кроме единицы. Пример: 15 раскладывается на 3 и 5. Любое неизвестное кратно 15, если одновременно кратно трем и пяти.

Также и с другим составным: 18 раскладывается на 2 и 9. Нельзя брать множители 3 и 6, так как они не простые, у них общее кратное 3. Например, 456 кратно трем, проверка: 4+5+6=15, также кратно 6 (при разложении на 2 и 3). Однако калькулятор выводит запятую. Если взять множители 2 и 9, будет видно, что двум — кратно, а девяти — нет, ведь сумма равна 15, которая не кратна 9.

Таблица кратных от 2 до 10

Для удобства школьникам и их родителям предлагается таблица признаков делимости чисел от 2 до 10. Она наглядно и кратко демонстрирует всю вышеизложенную теоретическую часть:

Делимость на: Признак числа:
2 Оканчивается четной цифрой: 0, 2, 4,6, 8
3 Сумма цифр, их которой оно состоит, делится на 3
4 Две последние цифры делятся на 4
5 Окончание на 5 или 0
6 Одновременная кратность 2 и 3
8 Три последние цифры кратны 8
9 Сумма цифр кратна 3
10 Окончание равно нулю

Вышеизложенное доказывает, что к любому натуральному числу можно подобрать простой или составной признак кратности. На практике выходит, что чем больше число, тем сложнее его признак. Часто не хочется тратить время на проверку делимости, ведь за этот промежуток уже можно выполнить само деление. Поэтому любой школьник может воспользоваться простейшими признаками делимости.

Источник: https://nauka.club/matematika/priznaki-delimosti.html

Признаки делимости

При решении задач ЕГЭ базового и профильного уровня необходимо знать признаки делимости. Многие признаки делимости чисел нацело вы знаете из начального курса математики. Поэтому такая простая информация могла легко забыться. Сегодня мы с вами повторим основные признаки делимости и решим некоторые задачи.

Говорят, что целое число a делится на натуральное число b, если существует такое целое число c, что выполняется равенство a = bc. В этом случае число b называют делителем числа a, а число a — кратным числу b.

  • Если числа делится на b, то пишут .
  • Пример.
  • так как
  • Свойства делимости чисел
  • Простые числа и составные числа.

Простые и составные числа

  1. Число p называется простым, если оно делится только на себя и на единицу.
  2. Составными числами называются целые числа, имеющие больше двух различных делителей.
  3. Пример.

Число 17 простое. Делители 17: 1, 17.

Число 9 составное. Делители 9: 1, 3, 9.

Единица не является ни простым, ни составным числом.

Два числа, наибольший делитель которых, равен 1, называются взаимно простыми.

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра в записи числа есть число, которое делится на 2 (последняя цифра – образует четное число).

Делимость чисел - в помощь студенту

Например, число 124 делится на 2, так как 4 — четное число.

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа дают число, которое делится на 4.

Пример: 132 делится на 4, потому что последние две цифры «3» и «2» образуют число 32, которое делится на 4.

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда последние три цифры в записи числа образуют число, которое делится на 8.

Пример, число 2192 делится на 8, поскольку последние три цифры «1», «9» и «2» образуют число 192, которое делится на 8. При рассмотрении задач надо иметь в виду, что число делящееся на 8, в свою очередь должно делится и на 4 и на 2 одновременно.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма чисел, образованных цифрами в записи числа, делится на 3.

Пример: число 153 делится на 3, так как сумма чисел 1+3+5=9 делится на 3.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма чисел, образованных цифрами в записи числа, делится на 9.

Пример: число 198 делится на 9, поскольку сумма чисел 1+9+8=18 делится на 9.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра в записи числа образует число, которое делится на 5 (последняя цифра 0 или 5).

Пример, число 165 делится на 5, так как заканчивается на 5.

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда последние две цифры в записи числа, образуют число, которое делится на 25.

Пример: число 125 делится на 25, так как последние две цифра «2» и «5» образуют число 25, которое делится на 25.

Следует помнить, что цифры не могут суммироваться, делиться и т.д. Цифры это такие значки, которыми записываются числа. И веса у них самих по себе не более чем у любого другого значка, как у смайлика.

Но, если мы цифрой запишем число, то с числом мы уже можем проводить любые операции. Числа могут быть однозначные и двузначные, их бесконечное количество, но цифр для их записи всего 10.

Не путайте понятия числа и цифры, не портите отношения с проверяющими ваши работы математиками.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы чисел, стоящих на нечетных местах в записи числа, и суммы чисел, стоящих на четных местах в записи числа, делится на 11. А также если сумма чисел стоящих на четных местах, делится на сумму чисел, стоящих на нечетных местах.

Пример 1

123456789 делится на 3, так как 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, а 45 делится на 3.

Пример 2

1452 делится на 11, так как (1 + 5) – (4 + 2) делится на 11. Или 1+5=4+2.

Деление с остатком

  • Пусть a и b ≠ 0 – два целых числа. Разделить число a на число b с остатком – это значит найти такие числа c и d, что выполнены следующие условия:
  • От деления на b могут быть только остатки: 0, 1, 2, 3…, |b|-1.
  • Пример 1.
  • 19 : 7 = 2 (ост. 5)
  • 19 = 7 ∙ 2 + 5
  • Пример 2.

22 : (-3) = -7 (ост. 1).

  1. 22 = -3 ∙ (-7) + 1
  2. Пример 3.
  3. -22 : 3 = -8 (ост. 2)
  4. -22 = 3 ∙ (-8) + 2

Теоремы

Делимость чисел - в помощь студенту
Делимость чисел - в помощь студенту

Теперь рассмотрим конкретные задания из ЕГЭ на делимость

Задание №1

Найдите четырёхзначное число, которое делится на 33 и состоит только из цифр 1 и 2. В ответе укажите наименьшее из таких чисел.

Решение:

Если число делится на 33 то оно делиться на 11 и 3. Число делится на 11, если сумма цифр стоящих на четных позициях будет равна сумме цифр на нечетных позициях. Число делится на 3, если сумма цифр делится на 3.

Значит стоит чередовать 1 и 2 по 2 раза, причем если сложим 2 двойки и 2 единицы получим 6, значит, число будет делиться на 3. Получим число 1122.

Ответ: 1122

Задание №2

Найдите трёхзначное число, состоящее только из чётных цифр и кратное 9. В ответе укажите наименьшее из таких чисел.

  • Решение:
  • Если число должно делиться на 9, то и сумма цифр должна делиться на 9, наименьшее 9, но его нельзя представить как сумму 3 чётных цифр, рассмотрим 18, первой цифрой поставим 2 ( минимальное четное число), тогда на остальные 2 остается только 8 и 8, получим число 288.
  • Ответ: 288

Задание №3

Найдите трёхзначное число, которое при делении на 5 и 7 даёт равные ненулевые остатки, а вторая цифра этого числа равна сумме первой и третьей цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Число не должно оканчиваться на 0 или 5, так как в этом случае остаток от деления на 5 равен 0. Пусть вторая цифра в числе будет 4, тогда первая и третья цифры могут быть 1 и 3, получаем число 143. Проверяем:

  1. 1) 143:5=28 (Остаток 3)
  2. 2) 143:7=20 (Остаток 3)
  3. Остатки равны, соответственно условие выполнено.
  4. Аналогичными рассуждениями можно найти и другие числа: 176; 352; 561.
  5. Ответ: 176

Задание №4

Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 7, если известно, что число содержит цифру 1, и квадрат этого числа делится на 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Если квадрат числа делится на 25, то само число должно делиться на 5. Признак делимости на 5: число делиться на 5, если его последняя цифра 0 или 5. У нас трехзначное число, пусть последняя цифра будет 5, а первая 1, вторая цифра должна быть такой, чтобы сумма цифр была равна 7. Сумма цифр уже 6, то есть вторая цифра должна быть равна 1. Получим число 115.

Читайте также:  Правило параллелепипеда. разложение вектора - в помощь студенту

Аналогичными рассуждениями можно получить числа 160 и 610.

Ответ: 115

Задание №5

Найдите четырёхзначное число, кратное 9, но не кратное 6, произведение цифр которого равно 1960. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

  • Решение:
  • Чтобы число делилось на 9, но не делилось на 6, оно должно быть нечетным.
  • Разложим 1960 на простые множители: 1960=2*2*2*5*7*7=8*5*7*7

Эти цифры обозначают числа, которые в сумме дают 27, значит число будет делиться на 9. Составим из этих цифр нечетное число, например: 7785.

Аналогичными рассуждениями (простой перестановкой цифр) можно получить другие числа.

Ответ: 7785

Задание №6

Сумма четырёх последовательных трёхзначных чисел равна 458. Найдите третье число.

Решение:

Все 4 числа приблизительно равны между собой, поэтому разделив 458 на 4 получаем 114 с остатком 2. Начинаем подбирать числа от 114.

114+115+116+117=462, это больше 458, начинаем считать от 113.

113+114+115+116=458, получили необходимую сумму. Третье число в данной последовательности равно 115.

Можно было решить альтернативно.

Пусть первое число равно n. Тогда следующие числа n+1, n+2, n+3.

  1. Составим и решим уравнение:
  2. n+n+1+n+2+n+3=458
  3. 4n=452
  4. n=113
  5. Тогда третье число 115.
  6. Ответ: 115

Задание №7

Найдите трёхзначное число, у которого сумма цифр, стоящих на нечетных местах, кратна 5, а само число кратно 9. В ответе запишите наименьшее такое число.

Решение:

Так как число должно быть наименьшим, то будет подбирать цифры так, чтобы оно начиналось с минимальной цифры (1 и далее), и аналогично будем подбирать для всех разрядов.

Нечетные места это 1 и 3, чтобы сумма цифр на нечетных местах была кратна 5, она должна быть равна, 5, 10 или 15. Пусть она будет равна 5, в сумме 5 составляют числа 1 и 4. Тогда чтобы число делилось на 9 сумма цифр должна делиться на 9, то есть в нашем случае сумма цифр должна равняться 9. То есть, на 2 месте должна стоять цифра 4. Получим число 144.

Ответ: 144

Задание №8

Найдите трёхзначное число, делящееся на 9, если известно, что его цифры являются последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Чтобы число делилось на 9, необходимо чтобы сумма его цифр делилась на 9. А, учитывая, что его цифры должны являться членами возрастающей арифметической прогрессии, каждая цифра должна отличаться от предыдущей на одно и то же число.

Если разность прогрессии равна 1, получаем a, a+1, a+2. Сумма равна 3a+3.

3a+3=9,тогда a=2, а число 234

3a+3=18,тогда a=5, а число 567

Если разность прогрессии равна 2, получаем a, a+2, a+4. Сумма равна 3a+6.

  • 3a+6=9,тогда a=1, а число 135
  • 3a+6=18,тогда a=4, а число 468
  • 3a+6=27, тогда а=7, но следующие члены уже больше 10, не подходит.

Если разность прогрессии равна 3, получаем a, a+3, a+6. Сумма равна 3a+9.

  1. 3a+9=9,тогда a=0, не подходит
  2. 3a+9=18,тогда a=3, а число 369
  3. 3a+9=27,тогда a=6, но следующие члены уже больше 10, не подходит.

Если разность прогрессии равна 4, получаем a, a+4, a+8. Сумма равна 3a+12.

3a+12=18,тогда a=6, но следующие члены уже больше 10, не подходит.

Ответ: 234 или 567, или 135, или 468, или 369.

Задание №9

Найдите четырёхзначное число, которое состоит только из цифр 0 и 2 и делится на 12.

Решение:

Чтобы число делилось на 12, оно должно делиться на 3 и 4. На 3 число делится, если сумма цифр делится на 3. А на 4 делится, если 2 последние цифры нули или образуют число, которое делится на 4.

Чтобы число делилось на 3, в нем должно быть три двойки (чтобы в сумме давали 6). Значит 0 только один, последние 2 цифры должны быть 20, чтобы полученное число делилось на 4. То есть получаем число 2220.

  • Ответ: 2220
  • Итак, мы подробно рассмотрели делимость чисел, признаки делимости чисел и поучились применять полученные знания в задании №19 базового уровня егэ по математике.
  • Читайте еще наши статьи: таблица кубов натуральных чисел от 1 до 100.

Источник: https://novstudent.ru/priznaki-delimosti/

Делимость чисел. Признаки делимости. Основная теорема арифметики

В этой статье – необходимая теория для решения задачи 19 Профильного ЕГЭ по математике. Но это не все. Знания о числах и их свойствах, признаки делимости и формула деления с остатком могут пригодиться вам при решении многих задач ЕГЭ.
Повторим еще раз, какие бывают числа.

Делимость чисел - в помощь студенту

Натуральные числа — это числа 1,2,3, … – те, что мы используем для счёта предметов. Ноль не является натуральным числом. Множество натуральных чисел обозначается .

Целые числа — это 0,±1,±2,±3 … Множество целых чисел обозначается .

Рациональные — числа, которые можно записать в виде
дроби , где – целое, а – натуральное.
Например, . Рациональные числа – это периодические десятичные дроби. Множество рациональных чисел обозначается .

Иррациональные числа – те, которые нельзя записать в виде или в виде периодической десятичной дроби. Числа – иррациональные.
Множества рациональных и иррациональных чисел вместе образуют множество действительных чисел .

Число делится на число , если найдется такое число такое, что . Например, 15 делится на 3, а 49 делится на 7. Обозначение:

  • — Если делится на , то число называется делителем числа .
  • — Если числа и делятся на , то тоже делится на .
  • — Если числа и делятся на , а и – целые, то тоже делится на .

Формула деления с остатком. Если , то число делится на с остатком .

Например, при делении 9 на 4 мы получаем частное 2 и остаток 1, то есть 9 = 4∙2 + 1.

Четные числа – целые числа, которые делятся на 2. Любое четное число можно записать в виде , где – целое.

Нечетные числа – те целые числа, что не делятся на 2. Любое нечетное число можно записать в виде , где – целое.

Простые числа – те, что делятся только на себя и на единицу. Единица не является ни простым, ни составным числом. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

  1. Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме 1.
  2. Любое натуральное число можно разложить на простые множители.
  3. Например, 72 = 2∙2∙2∙3∙3, а 98 = 2∙7∙7.
  4. Основная теорема арифметики: Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых делителей, взятых в натуральных степенях, причем это разложение единственно.
  5. Например, 72 = 2³∙3².
  6. Количество делителей натурального числа равно .
  7. Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа.
  8. Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся два данных числа.
  9. Признаки делимости
  10. последняя цифра числа четная;
  11. сумма цифр числа делится на 3;
  12. число заканчивается на 0 или на 5;
  13. число, составленное из двух последних цифр числа , делится на 4;
  14. число, составленное из трех последних цифр числа , делится на 8;
  15. сумма цифр числа делится на 9;
  16. последняя цифра числа равна 0;
  17. суммы цифр на четных и нечетных позициях числа равны или их разность кратна 11.

Источник: https://ege-study.ru/delimost-chisel-priznaki-delimosti-osnovnaya-teorema-arifmetiki/

Татьяна Мельничук | Делимость чисел

Делимость чисел - в помощь студенту

Одним из основных понятий в математике является делимость целых чисел.

Если для некоторого целого числа и целого числа cуществует такое целое число , что , то говорят, что число делится на или что делит . При этом используют следующую терминологию:

  • число является делителем числа ;
  • делимое кратно числу .

Для обозначения делимости используют специальный символ — три вертикальные точки . Запись означает, что делится на или что число кратно .

Хотя свойство делимости является определённым на всём множестве целых чисел, обычно рассматривается лишь делимость целых неотрицательных чисел. В дальнейшем мы также будем рассматривать делимость лишь для целых неотрицательных чисел.

Свойства делимости и связанные определения

  • Ноль делится на любое натуральное число.
  • Любое число делится на единицу.
  • Любое число делится само на себя.
  • Натуральные числа, имеющие ровно два делителя, называют простыми, а имеющие более двух делителей — составными. Подробнее о простых числах читайте в статье «Простые числа».
  • Единица имеет ровно один делитель и не является ни простым, ни составным.
  • Каждое натуральное числа, большее , имеет хотя бы один простой делитель.
  • Собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. Каждое простое число имеет ровно один собственный делитель — единицу.
  • Если и , то .
  • Если и , то .
  • Если и , то .
  • Если , то , и .
  • Если и , то .
  • Если , , то .
  • Если и , , , то .
  • Если и , то .

Деление с остатком

Для двух любых натуральных чисел и найдутся такие целые неотрицательные числа и , что .

Число называют остатком от деления на . Если , то .

Наибольший общий делитель

Наибольший общий делитель двух чисел и — это наибольшее число, на которое оба числа и делятся без остатка. Для оозначения наибольшего общего делителя принято использовать обозначение НОД. В англоязычной литературе принято также использовать обозначение .

  • Наибольший общий делитель НОД существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел и не равно нулю.
  • Пример: НОД.
  • Для вычисления НОД можно использовать алгоритм Евклида.

Наименьшее общее кратное

Наименьшее общее кратное двух чисел и — это такое наименьшее натуральное число, которое делится на и без остатка. Для обозначения наименьшего общего кратного используют обозначение НОК или, как это принято в англоязычной литературе, .

  1. Пример: НОК.
  2. Если известен НОД, который можно определить, используя алгоритм Евклида, то найти НОК особенного труда не составит, поскольку обе эти величины связаны соотношением:
  3. НОК НОД=.

Признаки делимости

Признаками делимости называют алгоритмы, позволяющие определить, является ли данное число кратным другому числу.

Представим известные признаки делимости в виде таблицы:

Признак делимости на 2 Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.
Признак делимости на 3 Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его всех цифр делится на 3.
Признак делимости на 4 Число делится на 4 только тогда, когда две его последние цифры – нули или составляют число, которое делится на 4.
Признак делимости на 5 Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5, т. е. если она 0 или 5.
Признак делимости на 6 Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3). Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.
Признак делимости на 7 Признак 1. число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.
Признак 2. число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7.
Признак делимости на 8 Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.
Признак делимости на 9 Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 10 Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нуль.
Признаки делимости на 11 Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.
Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).
Признак делимости на 13 Число делится на 13 если сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.
Признак делимости на 17 Число делится на 17 если модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.
Признак делимости на 19 Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Признак делимости на 20 Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.
Признаки делимости на 23 Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.
Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.
Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.
Признак делимости на 25 Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.
Признак делимости на 27 Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).
Признак делимости на 29 Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.
Признак делимости на 30 Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.
Признак делимости на 31 Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31.
Признак делимости на 37 Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.
Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.
Признак 3: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с числом единиц, умноженного на десять, за вычетом числа десятков, умноженного на 11.
Признак делимости на 41 Признак 1: число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.
Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.
Признак делимости на 50 Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.
Признак делимости на 59 Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.
Признак делимости на 79 Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79.
Признак делимости на 99 Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).
Признак делимости на 101 Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101.
Читайте также:  Этика речевого общения - в помощь студенту

Вернуться назад…

МЕТКИ >делимость, математика, число

Источник: http://tmel.ru/delimost-chisel/

Школьные математические кружки, Делимость и простые числа, Сгибнев А.И., 2013

  • Книги и учебники →
  • Книги по математике

СкачатьЕще скачатьСмотреть Купить бумажную книгуКупить электронную книгуНайти похожие материалы на других сайтахКак открыть файлКак скачатьПравообладателям (Abuse, DMСA)Школьные математические кружки, Делимость и простые числа, Сгибнев А.И., 2013.

   Восьмая книжка серии «Школьные математические кружки» посвящена основным понятиям и фактам, которые связаны с делимостью целых чисел: признакам делимости, простым и составным числам, алгоритму Евклида, основной теореме арифметике и т. п. Она предназначена для занятий со школьниками 7-9 классов.

В книжку вошли разработки восьми занятий математического кружка с подробно изложенным теоретическим материалом, примерами задач различного уровня трудности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для учителя. Ко всем задачам каждого занятия приведены подробные решения.

Кроме того, в приложениях сформулированы две ещё не решённые проблемы из этого раздела математики, а также приведены примеры исследовательских задач.Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям элементарной математики.

Первое издание книги вышло в 2012 г.Делимость чисел - в помощь студенту

Признаки делимости.

Иногда нужно быстро определить, делится ли одно число на другое, не производя самого деления. В таких случаях полезно использовать признаки делимости.Задача 2.1. а) Докажите, что число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2.

б) Выведите признак делимости на 4, связанный с двумя последними цифрами.Решение, а) Представим себе, что у продавщицы есть N яиц, которые она раскладывает в ячейки по десять, по сто, по тысяче и т. д. Останется неразложенным число яиц, равное последней цифре d числа N.

В каждой ячейке число яиц делится на 2, поэтому если d чётно, то и N чётно, а если d нечётно, то и N нечётно. Короче говоря, d и N делятся или не делятся на 2 одновременно.б) Разложим N яиц в ячейки по сто, тысяче и т. д. Останется неразложенным число яиц d, составленное из двух последних цифр числа N.

В каждой ячейке число яиц делится на 4, поэтому d и N делятся или не делятся на 4 одновременно.

Оглавление.

Предисловие.Занятие 1. Делимость чисел.Занятие 2. Признаки делимости.Занятие 3. Деление с остатком.Занятие 4. Простые числа.Занятие 5. Общие делители и общие кратные. Алгоритм Евклида.Занятие 6. Уравнения в целых числах.Занятие 7. Теорема о простом делителе.Занятие 8. Каноническое разложение. Основная теорема арифметики.Дополнительные задачи.Указания к решениям задач и краткие решения.

Приложение.Две ещё не решённые задачи о простых числах.Несколько исследовательских задач, связанных с делимостью.Раздаточный материал.Список литературы и веб-ресурсов.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать: Скачать книгу Школьные математические кружки, Делимость и простые числа, Сгибнев А.И., 2013 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf

Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу
Скачать — pdf — Яндекс.Диск.

07.06.2019 08:22 UTC

Источник: https://obuchalka.org/20190607109988/shkolnie-matematicheskie-krujki-delimost-i-prostie-chisla-sgibnev-a-i-2013.html

Мои исследования делимости чисел

  • МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖИ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ
  • МКУ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ ГОРОДА СИМФЕРОПОЛЯ
  • МБОУ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 13»
  • Направление: математика и физика
  • МОИ ИССЛЕДОВАНИЯ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ
  • Работу выполнила:
  • Кривозубова Ирина
  • учащаяся 6-А класса
  • МБОУ СОШ №13
  • Научный руководитель:
  • Рулла Ирина Владимировна,
  • учитель математики
  • высшей категории
  • МБОУ СОШ №13
  • Симферополь — 2015
  • СОДЕРЖАНИЕ
Вступление……………………………………………………… 3
Раздел 1. Из истории математики о делимости чисел………. 5
Раздел 2. Нахождение признаков делимости чисел на 11…… Раздел 3. Определение признаков делимости чисел, основанных на уже известных фактах ….……………………. 7 9
Заключение…………………………………………………….. 10
Список литературы…………………………………………….. 12
  1. «…элементы чисел являются
  2. элементами всех вещей
  3. и весь мир в целом является
  4. гармонией и числом»

Пифагор (VI в. до н.э.)

ВСТУПЛЕНИЕ

Теория чисел — наука о целых числах. Целые числа, а также арифметические операции над ними известны с древних времён и являются одной из первых математических фантазий.

Делимость чисел – это отношение, связь между целыми числами. Целое число а делится на целое число b, если существует целое число с, такое, что а = bс. При этом число b считается отличным от нуля. Число а называется делимым, b называется делителем, а число с называется частным. Также говорят: «a кратно b«.

Признак делимости — это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов.

При изучении на уроках математики темы « Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9,10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость.

Было предположено, что если можно определить делимость чисел на эти числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.

Узнав, что в математике еще много неизвестного, я захотела провести свое исследование и сделать свое открытие.

Работа посвящена изучению теории делимости чисел как одного из разделов математики. Признаки делимости чисел являются важным элементом теории чисел. Они быстро позволяют определить, делится ли одно число на другое в том случае, если не нужно знать результата деления.

В работе дана историческая справка о теории делимости чисел. Проведено практическое исследование по нахождению признаков делимости чисел на 11. Сделан вывод о том, что если сумма цифр данного числа через одну равна сумме остальных цифр через одну или разность этих сумм делится на 11, то и данное число делится на 11.

Актуальность исследования: признаки делимости часто используются при решении математических задач, при нахождении общего знаменателя дробей, а также при решении уравнений в целых числах. Их используют для совершенствования техники быстрого счета.

Цель исследования: установить признаки делимости на 11 для упрощения деления чисел.

Задачи работы:

  • изучить литературу по истории теории делимости чисел;
  • изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.
  • самостоятельно вывести признаки делимости на 11 для двузначных, трехзначных чисел;
  • подвести итог каждого этапа;
  • обобщить результаты для чисел с большим количеством знаков.
  • Гипотеза: исследованные признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач.
  • Методы исследования: анализ, синтез, сравнение.
  • В работе используются вид умозаключений — индукция, позволяющий
  • сделать выводы на основании частных случаев об общих суждениях.
  • РАЗДЕЛ 1
  • Из истории математики о делимости чисел

Теория делимости появилась в 399 году до н. э. и принадлежит, скорее всего, Теэтету. Этой теории Евклид посвятил книгу VII и часть книги IX Начал. В ее основе лежит правило Евклида для нахождения общего наибольшего делителя двух чисел. Этот алгоритм дает возможность разложения любого числа на простые сомножители, а также единственность такого разложения.

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль. Он родился в 1623 году. Один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль прожил короткую жизнь, но, несмотря на это, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель.

Его именем названы единица давления (паскаль) и весьма популярный сегодня язык программирования. Научные интересы Б.

Паскаля не ограничивались созданием калькулятора: он нашёл алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, способ вычисления биномиальных коэффициентов, сформулировал ряд основных положений элементарной теории вероятностей.

Признак делимости Паскаля: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Дальнейшее развитие теория чисел получила в работах Ферма, связанных с решением диофантовых уравнений и делимостью целых чисел.

Обобщением малой теоремы Ферма и доказательством теоремы для частных случаев занимался в начале XVIII века Эйлер. Он стал использовать для решения задач по теории чисел математический анализ, сформулировав тождество Эйлера, а также задачи, связанные со сложением простых чисел.

В XIX веке над теорией чисел работали многие видные учёные. Гауссом была создана теория сравнений, с помощью которой доказан ряд теорем о простых числах.

В начале XX века А. Н. Коркин, Е. И. Золотарёв и А. А. Марков продолжили работу над теорией квадратичных форм.

И. М. Виноградов внес большой вклад в развитие теории чисел, доказавший неравенство о числе квадратичных вычетов и невычетов на отрезке, определивший метод тригонометрических сумм.

В математике сегодня признаки делимости чисел классифицируют следующим образом:

  • делимость по последним цифрам числа;
  • делимость по сумме цифр числа;
  • делимость составных чисел.

РАЗДЕЛ 2

Нахождение признаков делимости чисел на 11.

Составим таблицу двузначных и трехзначных чисел, которые делятся на11. Можно заметить некоторую зависимость в ее построении: в двузначных числах первого ряда цифры десятков и единиц одинаковые; в первой строке, начиная с третьего числа, сумма цифр равна 11.

  1. 11 110 209 308 407 506……
  2. 22 121 220 319 418 517……
  3. 33 132 231 330 429 528……
  4. 44 143 242 341 440 539……
  5. 55 154 253 352 451 550……
  6. 66 165 264 363 462 561……

…………………………………………..

Предполагаем, что остальные трехзначные числа, которые начинаются и заканчиваются одной и той же цифрой тоже делятся на 11. Выполняем деление:

101-нет, 111- нет, 121-да,131-нет, 141-нет,.. ;

202-нет, 212-нет, 222-нет, 232-нет, 242-да, 252-нет,.. ;

303-нет, 313-нет, 323-нет, 343-нет, 353-нет, 363-да,.. .

Предполагаем, что в следующем ряду делится на 11 число 484. Проверяем делением:484:11=44

Вспоминаем признаки делимости на 3 и 9, когда мы складывали цифры. Получаем, что в числе 121 1+1=2, в числе 242 2+2=4, в числе 363 3+3=6, в числе 484 4+4=8, сумма первой и третьей цифры равна второй цифре.

Замечаем, что это верно и для чисел 132,143,154,…,231,253,264, …,

341,352,451,462,..,561,…

  • Делаем первое заключение: если в трехзначном числе сумма первой и третьей цифры равна второй цифре, то число делится на 11.
  • Рассмотрим числа, выделенные в таблице жирным шрифтом:
  • 11 110 209 308 407 506……
  • 22 121 220 319 418 517……
  • 33 132 231 330 429 528……
  • 44 143 242 341 440 539……
  • 55 154 253 352 451 550……
  • 66 165 264 363 462 561……

…………………………………………..

Во втором ряду в числе 319 3+9-1=11, в числе 418 4+8-1=11, в числе 517 5+7-1=11,….. Это выполняется для чисел в остальных рядах.

Делаем второе заключение: если в трехзначном числе сумма первой и третьей цифры минус вторую цифру делится на 11, то и само число делится на 11.

Проверим данные гипотезы на четырехзначных числах. Число 3542:11=322, при этом 3+4=5+2; число 49687:11=4517 и 4+6+7=9+8; число 9581:11=871 и 9+8-(5+1)=11.

Проверим данные гипотезы на пятизначных числах. Число 42361: 11= 3851, при этом 4+3+1= 2+6; число 54758:11=4978, при этом 5+7+8- (4+5)=11.

  1. Значит, правила выполняются для всех чисел.
  2. Тогда, можно сделать общий вывод для целых чисел: если сумма цифр данного числа через одну равна сумме остальных цифр через одну или разность этих сумм делится на 11, то и данное число делится на 11.
  3. Рассмотрим интересные примеры:
  4. 1) 345543 (3+5+4=4+5+3) по нашему правилу делится на11, проверим 345543:11=31413;
  5. 2) 961169 (9+1+6=6+1+9) по нашему правилу делится на11, проверим 961169:11=87379.
  6. Делаем вывод: если к трёхзначному числу abc приписать его цифры в обратном порядке, то получится шестизначное число abccba, которое будет делиться на 11.
  7. РАЗДЕЛ 3
  8. Определение признаков делимости чисел, основанных на уже известных фактах
  9. Используя полученные результаты в работе и известные признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10, которые изучались в программе 5 класса, можно установить признаки делимости чисел на 22, 33, 55, 99, 110 и другие.

1.Установим признак делимости чисел на 22.

Если некоторое число делится на 11 и на 2, то оно будет делиться и на 22.

По определению деления: а:11=b, а=11b; а:2=с, а=2с = 11b = 2с, с= 11b/2 = b делится на 2. Следовательно, а:11:2. Значит, а делится на 22.

  • Например: 135388 делится на 11 (1+5+8=3+3+8) и 135388 делится на 2 (четное). Следовательно, 135388 делится на 22 (135388 : 22 = 6154)
  • 2.Признак делимости на 33:
  • Если число делится на 11 и 3, то оно делится на 33.
  • Пример: 89496 делится на 11 (8+4+6=9+9) и 89496 делится на 3 (8+9+4+9+6=36 : 3), следовательно, 89496 делится на 33 ( 2712).
  • 3. Признак делимости на 55:
  • Если число делится на 11 и 5, то оно делится на 55.
  • Пример: 795960 делится на 11 (7+5+6=9+9+0) и 795960 делится на 5 (оканчивается 0), следовательно, 795960 делится на 55 ( 14472).
  • 3. Признак делимости на 99:
  • Если число делится на 11 и 9, то оно делится на 99.
  • Пример: 30591 делится на 11 (3+5+1=0+9) и 30591 делится на 9 (3+0+5+9+1=18), следовательно, 30591 делится на 99 (309).
  • Продолжая рассуждения, можно привести еще много примеров признаков делимости.
  • ЗАКЛЮЧЕНИЕ
  • Изучив литературу по исследуемой теме, выяснилось, что существуют и другие признаки делимости чисел на 11:

1. Если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 11, то и число делится на 11.

2.Число делится на 11, если у него разность между числом, составленным тремя последними цифрами, и числом, составленным остальными цифрами (или наоборот), делится на11.

Применив полученные знания, удалось установить признаки делимости на 22, 33,55, 99 и другие, так как этот процесс неограничен.

С точки зрения сложности раздел признаков делимости в школьной математике является простейшим. Но при выполнении заданий часто встречаются большие числа и нужно определить, делится ли число на данное число, тогда и работают знания признаков делимости.

Познакомившись с признаками делимости чисел, считаю, что полученные знания я смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.

А еще изучение данной темы позволит разобраться в старинной восточной притче. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов.

Давно жил старик, который, умирая, оставил своим трем сыновьям 19 верблюдов. Старшему сыну он завещал половину всех верблюдов, среднему – четвертую часть, а младшему – пятую. Сыновья не смогли разделить завещание в «целых верблюдах». Они обратились к мудрецу.

— О, мудрец!- сказал старший брат. — Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему – пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?

— Нет ничего проще, — ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите домой.

Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и 5 частей. Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался (10+5+4=19).Недоумевая, братья вернулись к мудрецу:

— О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний.

— Это не лишний, — сказал мудрец,- это мой верблюд. Верните его и идите домой.

Считаю, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. В дальнейшем предполагаю продолжить работу над изучением признаков делимости чисел.

  1. Для решения этих проблем ставлю следующие задачи:
  2. серьезное изучение литературы по теме «Признаки делимости чисел»;
  3. подбор задач, решаемых с помощью признаков делимости.
  4. ЛИТЕРАТУРА
  1. Виноградов И. М. Основы теории чисел. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003.

  2. Воробьев КН., Признаки делимости, издательство «Наука», 1974.

  3. . Депман И. Я. История арифметики — Москва 1965 Издательство «Просвещение»

  4. Детская энциклопедия: Математика «Я познаю мир». – М.: АСТ, 1996.

  5. Кушнир И. Шедевры школьной математики. – Киев: «Астарта», 1995.

  6. Просветов Г. И. Теория чисел: задачи и решения: Учебно-практическое пособие М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2010.

  7. Шафаревич И.Р. Теория чисел. М., 1985.

Источник: https://multiurok.ru/files/moi-issledovaniia-delimosti-chisel.html

Ссылка на основную публикацию