Частные производные различных порядков — в помощь студенту

  • Каждая частная производная (по x и по y) функции двух переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении другой переменной:
  • (где y = const),
  • (где x = const).

Если тяжело сосредоточиться, чтобы отслеживать, где в функции константа, то можно в черновом решении примера вместо переменной с фиксированным значением подставить любое число — тогда можно будет быстрее вычислить частную производную как обыкновенную производную функции одной переменной.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
Читайте также:  Роль профсоюзов на рынке труда - в помощь студенту

Надо только не забыть при чистовом оформлении вернуть на место константу (переменную с фиксированном значением).

Описанное выше свойство частных производных следует из определения частной производной, которое может попасться в экзаменационных вопросах. Поэтому для ознакомления с определением ниже можно открыть теоретическую справку.

Теоретическая справка (открыть/закрыть)

Понятие непрерывности функции z = f(x, y) в точке определяется аналогично этому понятию для функции одной переменной.

  1. Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке если
  2.                   (1)
  3. где

Частные производные различных порядков - в помощь студенту

Разность (2) называется полным приращением функции z (оно получается в результате приращений обоих аргументов).

Пусть заданы функция z = f(x, y) и точка

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Решение логических задач - в помощь студенту

Оценим за полчаса!
  • Если изменение функции z происходит при изменении только одного из аргументов, например, x, при фиксированном значении другого аргумента y, то функция получит приращение
  • Частные производные различных порядков - в помощь студенту              (3)
  • называемое частным приращением функции f(x, y) по x.   

Рассматривая изменение функции z в зависимости от изменения только одного из аргументов, мы фактически переходим к функции одной переменной.

Если существует конечный предел

Частные производные различных порядков - в помощь студенту

то он называется частной производной функции f(x, y) по аргументу x и обозначается одним из символов

Частные производные различных порядков - в помощь студенту

т.е.

Частные производные различных порядков - в помощь студенту

Аналогично определяются частное приращение z по y:

Частные производные различных порядков - в помощь студенту

и частная производная f(x, y) по y:

Частные производные различных порядков - в помощь студенту

  1. Пример 1. Найти частные производные функции
  2. Решение. Находим частную производную по переменной «икс»:
  3. (y фиксировано);
  4. Находим частную производную по переменной «игрек»:
  5. (x фиксировано).

Как видно, не имеет значения, в какой степени переменная, которая фиксирована: в данном случае это просто некоторое число, являющееся множителем (как в случае обычной производной) при переменной, по которой находим частную производную. Если же фиксированная переменная не умножена на переменную, по которой находим частную производную, то эта одинокая константа, безразлично, в какой степени, как и в случае обычной производной, обращается в нуль.

Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн.

  • Пример 2. Дана функция
  • Найти частные производные
  • (по иксу) и (по игреку) и вычислить их значения в точке А (1; 2).
  • Решение. При фиксированном y производная первого слагаемого находится как производная степенной функции (таблица производных функций одной переменной):

Частные производные различных порядков - в помощь студенту

  1. При фиксированном x производная первого слагаемого находится как производная показательной функции, а второго – как производная постоянной:
  2. .
  3. Теперь вычислим значения этих частных производных в точке А (1; 2):

Частные производные различных порядков - в помощь студенту

Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн.

  • Пример 3. Найти частные производные функции
  • .
  • Решение. В один шаг находим
  • (y фиксировано и является в данном случае множителем при x, как если бы аргументом синуса было 5x: точно так же 5 оказывается перед знаком функции);
  • (x фиксировано и является в данном случае множителем при y).

Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн.

Аналогично определяются частные производные функции трёх и более переменных.

Если каждому набору значений (x; y; …; t) независимых переменных из множества D соответствует одно определённое значение u из множества E, то u называют функцией переменных x, y, …, t и обозначают u = f(x, y, …, t).

Для функций трёх и более переменных геометрической интерпретации не существует.

Частные производные функции нескольких переменных определяются и вычисляются также в предположении, что меняется только одна из независимых переменных, а другие при этом фиксированы.

  1. Пример 4. Найти частные производные функции
  2. .
  3. Решение. y и z фиксированы:
  4. ,
  5. x и z фиксированы:
  6. ,
  7. x и y фиксированы:

Найти частные производные самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 5. Найти частные производные функции .

Пример 6. Найти частные производные функции .

Частная производная функции нескольких переменных имеет тот же механический смысл, что и производная функции одной переменной, — это скорость изменения функции относительно изменения одного из аргументов.

  • Пример 8. Количественная величина потока П пассажиров железных дорог может быть выражена функцией
  • где П – количество пассажиров, N – число жителей корреспондирующих пунктов, R – расстоянии между пунктами.
  • Частная производная функции П по R, равная
  • показывает, что уменьшение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между корреспондирующими пунктами при одной и той же численности жителей в пунктах.
  • Частная производная П по N, равная
  • показывает, что увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей населённых пунктов при одном и том же расстоянии между пунктами.

Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Функции нескольких переменных

Полный дифференциал

Произведение частной производной на приращение соответствующей независимой переменной называется частным дифференциалом. Частные дифференциалы обозначаются так:

и т.д.

Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Для функции двух независимых переменных полный дифференциал выражается равенством

          (7)

  1. Пример 9. Найти полный дифференциал функции
  2. Решение. Результат использования формулы (7):

Функция, имеющая полный дифференциал в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.

Найти полный дифференциал самостоятельно, а затем посмотреть решение

Так же как и в случае функции одной переменной, из дифференцируемости функции в некоторой области следует её непрерывность в этой области, но не наоборот.

Сформулируем без доказательств достаточное условие дифференцируемости функции.

  • Теорема. Если функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные
  • и
  • в данной области, то она дифференцируема в этой области и её дифференциал выражается формулой (7).
  1. Для функции двух переменных полное приращение функции имеет вид
  2.  (8)
  3. где α и β – бесконечно малые при и .

Частные производные высших порядков

Частные производные и функции f(x, y) сами являются некоторыми функциями тех же переменных и, в свою очередь, могут иметь производные по разным переменным, которые называются частными производными высших порядков.

  • При этом употребляются следующие обозначения:
  • — производные от
  • по x и y.

Эти же производные можно записать и в другой форме:

Все эти производные являются частными производными второго порядка от функции f(x, y). От них можно опять взять производные. Например,

есть  частная производная третьего порядка функции f(x, y), взятая один раз по x и один раз по y.

Новых правил для составления частных производных высших порядков не требуется: производные составляются постепенно одна за другой, причём для смешанных частных производных справедлива следующая теорема.

Теорема. Если смешанные частные производные и непрерывны в некоторой открытой области, то они совпадают.

Другими словами, для непрерывной смешанной частной производной порядок дифференцирования не играет роли.

Пример 11. Найти частные производные и функции и убедиться в равенстве этих частных производных.

  1. Решение:
  2. ;
  3. ;
  4. ;
  5. .
  6. Как видно из решения, смешанные частные производные равны.
  • Пример 12. Для функции
  • вычислить частную производную
  • Решение. Первое и второе дифференцирование производим по x:
  • а третье – по y:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Функции нескольких переменных

Поделиться с друзьями

Функции нескольких переменных

Источник: https://function-x.ru/derivative5.html

В помощь студенту-заочнику по дисциплине: "математика" раздел №4 «дифференциальное исчисление функции многих действительных переменных»

  • МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ ПМР
  • ГОУ «ДНЕСТРОВСКИЙ ТЕХНИКУМ ЭНЕРГЕТИКИ
  • И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»
  • УТВЕРЖДАЮ
  • Зам. директора по учебной работе

__________________М.В. Питель

  1. «_____»__________________2019 г
  2. В ПОМОЩЬ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ
  3. по дисциплине: «МАТЕМАТИКА»
  4. РАЗДЕЛ № 3
  5. «Дифференциальное исчисление функции многих действительных переменных»
  6. Разработал преподаватель математики
  7. ГОУ СПО «ДТЭ и КТ»
  8. Демьянова Светлана Васильевна
  9. РАССМОТРЕНО СОГЛАСОВАНО
  10. на заседании ЦМК методист

_____________________ дисциплин ________ Левицкая И.Н. Протокол №__ от «__»_____201__г. «__» _________201__г.

Председатель __________________

______________________________

г. Днестровск, 2019 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………………………………………3

Глава I. Дифференциальное исчисление функции многих действительных переменных…….4

    1. Понятие функции нескольких переменных…………………………………………………………4

    2. Частные производные………………………………………………………………………..…….…6

    3. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях……………………..…….7

    4. Дифференцирование сложных функций………………………………………………………………..…….8

    5. Неявные функции и их дифференцирование………………………………………………………..9

Глава II. Практика……………………………………………………………………………………..10

2.1.Найти приближенное значение функции………………………………………………………….10

2.2. Определить максимальную абсолютную погрешность заданных функций…………………….10

Глава III. Презентация…………………………………………………………………………………11

Заключение………………………………………………………………………………………………12

Список использованной литературы………………………………………………………………..13

ВВЕДЕНИЕ

В зачетной работе изложены основные теоретические разделы указанной темы, при этом особое внимание уделено основным методам дифференциального исчисления функций многих действительных переменных приведены примеры.

Работа состоит из трех глав, традиционно изучаемых в курсе высшей математики, первая глава содержит пять подразделов, вторая два подраздела, и третья глава презентацию. Первая глава включает основные теоретические положения дифференциального исчисления функций многих действительных переменных и раскрывает основные функции нескольких переменных.

Второй главе приведены примеры дифференциалов функций. Рассмотрим дифференциальное исчисление функций многих действительных переменных.

Глава I. Дифференциальное исчисление функции многих действительных переменных.

    1. Понятие функции нескольких переменных.

Понятие функции одной переменной легко обобщается на случай двух и большего числа аргументов. В случае функции двух переменных будем рассматривать множество упорядоченных пар (x,y), где числовые значения x и y принадлежат множествам x∈X, y∈Y.

Если задан закон, согласно которому каждой паре (x,y) соответствует единственное числовое значение z, то говорят, что задана функция двух переменных.

Обычно такая функция обозначается в видеz=z(x,y)z=f(x,y)z=F(x,y) и т.д.

Аналогичным образом определяется функция n переменных.

Частные производные первого порядка для функций нескольких переменных вводится понятие частной производной первого порядка, то есть производной функции по одной из переменной при условии, что остальные переменные фиксированы. Например, для функции двух переменных z=f(x,y) рассматриваются частные производные по переменной x и по переменной y. Они обозначаются следующим образом:

  • .
  • Частные производные второго порядка  
  • ,
  • Если смешанные частные производные являются непрерывными функциями, то они не зависят от порядка дифференцирования:
  • Дифференцирование сложной функции двух переменныхЕсли f(x,y)=g(h(x,y)), где g − функция одной переменной h, то частные производные равны 
  • .
  • Если h(t)=f(x(t),y(t)), то производная находится по формуле:
  • hʾ(t)= .
  • Если z=f(x(u,v),y(u,v)), то частные производные определяются выражениями
  • ,
  • Малые приращения функции  
  • Локальные максимум и минимум
  • Функция f(x,y) имеет локальный максимум в точке (x,y), если f(x,y)(x,y) для всех (x,y), достаточно близких к (x,y).
  • Аналогично, функция f(x,y) имеет локальный минимум в точке (x,y), если f(x,y)>f(x,y) для всех (x,y), достаточно близких к (x,y).
  • Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
  • Стационарные и критические точки
  • Точки, в которых все частные производные функции равны нулю, называются стационарными точками. Для функции двух переменных стационарные точки находятся из системы уравнений
Читайте также:  Статья про историю - в помощь студенту

Локальные максимум и минимум представляют собой стационарные точки. Стационарные точки вместе с точками из области определения функции, в которых частные производные не существуют, образуют множество критических точек.

Седловая точкаэто такая точка, которая не является ни локальным максимумом, ни локальным минимумом.

Достаточное условие существования экстремума

Пусть (x,y), является стационарной точкой (т.е. частные производные первого порядка в ней равны нулю). Рассмотрим определитель, составленный из значений частных производных второго порядка в данной точке:

Если D>0 и частная производная , то  является точкой локального минимума.Если D>0 и частная производная , то   является точкой локального максимума.

  1. Если D

Источник: https://infourok.ru/v-pomosch-studentuzaochniku-po-discipline-matematika-razdel-differencialnoe-ischislenie-funkcii-mnogih-deystvitelnih-peremennih-3943647.html

Примеры решения частных производных с ответами

Алгоритм решения частных производных

Проще говоря, чтобы найти частную производную функции по переменной ,переменную будем считать константой (производная константы равна нулю), после чего находим производную функции по с помощью таблицы производных элементарных функций – . Готово!

Примеры решения частных производных

Задача 1

Задача

Решение

Частная производная функции по независимой переменной :

Производная суммы равна сумме производных. Производная от вычисляется по правилам вычислений производных функций одного аргумента, производная от слагаемого вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент считается константой. Производная от слагаемого вычисляется как производная от константы.

Частная производная функции по независимой переменной :

Здесь вычисления также происходят по правилам вычисления производной суммы. Производная от вычисляется как производная от константы (независимым аргументом при этом считается ).

Производная от слагаемого вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент считается константой, а – независимым аргументом.

Вычисление производной от слагаемого осуществляется по правилам вычисления производных функций с одним аргументом.

Ответ

Задача 2

  • Задача
  • Найти частные производные функции .
  • Решение
  • Найдём частную производную функции по независимой переменной :

Функция является сложной. Производной показательной функции с основанием является сама функция. Производная показателя степени вычисляется в при условии, что является константой и равна . Производная функции равна произведению и . В результате получаем:

  1. .
  2. Найдём частную производную функции по независимой переменной :
  3. По аналогии с предыдущим случаем производная функции будет равна произведению производных от функции и показателя её степени :
  4. Считая постоянной величиной, находим производную по независимому аргументу :

Ответ

Задача 3

  • Задача
  • Найти частные производные функции .
  • Решение

Частная производная функции по независимой переменной будет равна производной от . Производная от слагаемого при этом будет равна нулю как производная от константы.

  1. Частная производная функции по независимой переменной находится аналогичным образом, при этом предполагается, что является константой.
  2. Ответ

Задача 4

  • Задача
  • Найти частные производные функции .
  • Решение

Частная производная функции по независимой переменной определяется слагаемым . Производная второго слагаемого – равна нулю, как производная от константы.

  1. В свою очередь, частная производная функции по независимой переменной будет определяться обоими слагаемым:
  2. Таким образом, окончательно получаем:
  3. Ответ

Задача 5

  • Задача
  • Найти частные производные функции .
  • Решение
  • При нахождении производной по независимой переменной , функцию следует рассматривать как степенную. По правилу нахождения производной степенной функции получаем:

Производная по независимой переменной находится по правилу вычисления производной показательной функции, которая, в свою очередь, определяется по правилам нахождения производных сложных функций, т.к. переменная входит в показатель степени виде функции .

  1. Производная показательной функции равна:
  2. Производная показателя степени равна:
  3. В результате получаем:
  4. Ответ

Задача 6

  • Задача
  • Найти частные производные функции .
  • Решение
  • Частная производная по независимой переменной находится как сумма слагаемых:
  • Частная производная по независимой переменной находится как сумма слагаемых:
  • Ответ

Задача 7

  1. Задача
  2. Найти частные производные функции .
  3. Решение
  4. По правилу нахождения производной квадратного корня получаем, рассматривая как независимый аргумент:

Т.к. функция является сложной, то результат вычисления производной от квадратного корня – следует домножить на производную подкоренного выражения: .

  • Рассматривая в качестве независимого аргумента, получаем:
  • По аналогии с предыдущим случаем, результат вычисления производной от квадратного корня – следует домножить на производную подкоренного выражения: .
  • Ответ

Задача 8

  1. Задача
  2. Найти частные производные функции .
  3. Решение
  4. Данная функция является сложной, поэтому процесс нахождения производной данной функции целесообразно производить в несколько этапов.

Производная показательной функции с основанием равна самой себе. Далее необходимо найти производную показателя степени: . В свою очередь аргумент функции арктангенс в данном случае также представляет собой сложную функцию: . Результирующая производная будет равна произведению производных трёх функций: и .

  • Нахождение частной производной функции по аргументу :
  • Нахождение частной производной функции по аргументу :
  • Ответ

Задача 9

  1. Задача
  2. Найти частные производные первого и второго порядков функции .
  3. Решение
  4. Найдём частную производную первого порядка по аргументу :
  5. Найдём частную производную второго порядка по аргументу :
  6. Найдём частную производную первого порядка по аргументу :
  7. Найдём частную производную второго порядка по аргументу :
  8. Ответ

Задача 10

  • Задача
  • Найти частные производные первого и второго порядков функции .
  • Решение
  • Найдём частную производную первого порядка по аргументу :
  • Найдём частную производную второго порядка по аргументу :
  • Найдём частную производную первого порядка по аргументу :
  • Найдём частную производную второго порядка по аргументу :
  • Ответ

Примеры решения частных производных с ответами обновлено: 18 декабря, 2019 автором: Научные Статьи.Ру

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/primery-resheniya-chastnyh-proizvodnyh/

Найти частные производные

Данный онлайн калькулятор предназначен для решения частных производных первого и второго порядков.

Частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Следовательно, частные производные находятся так же, как и производные функций одной переменной.

Частная производная это обобщенное понятие производной, когда в функции содержится несколько переменных.

Калькулятор поможет найти частные производные функции онлайн.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Основные функции

  • : x^a

модуль x: abs(x)

  • : Sqrt[x]
  • : x^(1/n)
  • : a^x
  • : Log[a, x]
  • : Log[x]
  • : cos[x] или Cos[x]
  • : sin[x] или Sin[x]
  • : tan[x] или Tan[x]
  • : cot[x] или Cot[x]
  • : sec[x] или Sec[x]
  • : csc[x] или Csc[x]
  • : ArcCos[x]
  • : ArcSin[x]
  • : ArcTan[x]
  • : ArcCot[x]
  • : ArcSec[x]
  • : ArcCsc[x]
  • : cosh[x] или Cosh[x]
  • : sinh[x] или Sinh[x]
  • : tanh[x] или Tanh[x]
  • : coth[x] или Coth[x]
  • : sech[x] или Sech[x]
  • : csch[x] или Csch[е]
  • : ArcCosh[x]
  • : ArcSinh[x]
  • : ArcTanh[x]
  • : ArcCoth[x]
  • : ArcSech[x]
  • : ArcCsch[x]
  • [19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)
Производные
Для того, чтобы найти производную функции нужно написать в строке: f[x], x. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: f[x], {x, n}. В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции напишите в окне гаджета: f[x, y, z,…,t], j, где — интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по некоторой переменной порядка n, то следует ввести: f[x, y, z,…,t], {j, n}, где означает тоже, что и Выше.
Важно подчеркнуть, что калькулятор выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.
Примеры

  • x*E^x, x;
  • x^3*E^x, {x,17};
  • x^3*y^2*Sin[x+y], x;
  • x^3*y^2*Sin[x+y], y,
  • x/(x+y^4), {x,6}.

Источник: https://allcalc.ru/node/663

Частные производные высших порядков. — это… Что такое Частные производные высших порядков.?

  • Частные производные высших порядков — Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют) и , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно… …   Википедия
  • Дифференциалы высших порядков — Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции   в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n  1), то есть   . Содержание …   Википедия
  • Дифференциальное исчисление —         раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 …   Большая советская энциклопедия
  • дифференциальное исчисление — раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций. Производной функции у = f(х) называется предел отношения приращения Δу = у1 – у0 функции к приращению Δх = x1 – х0 аргумента при Δх …   Энциклопедический словарь
  • Смешанная частная производная — Содержание 1 Определение 2 Обозначение 3 Свойства 4 Пример Шварца …   Википедия
  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций. Производной функции y = f(х) называется предел отношения приращения ?y = y1 y0 функции к приращению ?x = x1 x0 аргумента при ?x,… …   Большой Энциклопедический словарь
  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в к ром изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Развитие Д. и. тесно связано с развитием интегрального исчисления. Неразрывно и их содержание. Вместе они составляют основу… …   Математическая энциклопедия
  • Вариационное исчисление — Вариационное исчисление  это раздел функционального анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой заданный функционал достигает… …   Википедия
  • Производная функции — У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. Иллюстрация понятия производной Производнаяя&# …   Википедия
  • Ньютон, Исаак — У этого термина существуют и другие значения, см. Ньютон. Исаак Ньютон Isaac Newton …   Википедия

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/699880

Ссылка на основную публикацию