Волновая функция — в помощь студенту

Любое состояние системы полностью описывается некоторой функцией Ψ (q1,q2,…,qn,t) от координат всех образующих частиц и времени, называемой функцией состояния системы или ее волновой функцией.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Волновая функция - в помощь студенту

Обобщенная координата является совокупностью пространственных координат (в декартовой системе координат — x, y, z) и проекции спина частицы.

Волновая функция должна быть однозначна, конечна и непрерывна на всем пространстве.

Сама волновая функция не имеет физического смысла. Ψ*Ψdτ — имеет физический смысл: плотность вероятности нахождения системы в элементе объема dτ.

Условие нормировки:

Волновая функция - в помощь студенту

Постулат II

Каждой динамической переменной (координата, импульс, энергия и т.д.) ставится в соответствие линейный самосопряженный оператор. Все функциональные отношения между величинами классической механики в квантовой механике заменяются отношениями между операторами.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Специфические черты муниципального права - в помощь студенту

Оценим за полчаса!

Оператор — это закон, по которому одной функции f ставится в соответствие другая функция g. Оператор определяет, какое действие должно быть произведено над функцией f, чтобы перевести ее в функцию g:

Два оператора квантовой механики постулируются: оператор координат и оператор импульса. Остальные операторы квантовой механики выводятся из этих двух.

Оператор координаты есть просто координата, и его действие на любую функцию заключается в умножении ее на x. Волновая функция - в помощь студенту

Оператор импульса определяется через операторы его проекций.

Волновая функция - в помощь студенту Волновая функция - в помощь студенту

Постулат III

Функция состояния должна удовлетворять решению:

Волновая функция - в помощь студенту

Постулат IV

Единственно возможными значениями, которые могут быть получены при измерении динамической переменной L, могут являться собственные значения L операторного уравнения

Волновая функция - в помощь студенту

Постулат V

Среднее значение физической величины λ, имеющей квантово-механический оператор λ, в состоянии Ψ определяется соотношением

Волновая функция - в помощь студенту Волновая функция - в помощь студенту

Постулат VI

Если система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ1 и Ψ2, то она может находиться и в состоянии

Волновая функция - в помощь студенту

Этот постулат известен под названием принципа суперпозиции. Из постулата V следует, что функция Ψ описывает такое состояние, при котором система находится в состоянии Ψ1 с вероятностью, равной С12, либо в состоянии Ψ2 с вероятностью C22.

Постулат VII

Волновая функция системы частиц с полуцелым спином (в частности, электронов) должна быть антисимметрична относительно перестановки координат любых двух частиц:

Антисимметрия волновой функции электронов была постулирована В. Паули (1925).

Источник: https://OnLearning.ru/kvantovaya-himiya/postulaty-kvantovoj-mekhaniki

Основные положения квантовой механики Постулат 1 Волновая

Волновая функция - в помощь студенту Волновая функция - в помощь студенту Волновая функция - в помощь студенту Волновая функция - в помощь студенту Волновая функция - в помощь студенту Волновая функция - в помощь студенту Волновая функция - в помощь студенту Волновая функция - в помощь студенту Волновая функция - в помощь студенту Волновая функция - в помощь студенту

Важнейшим из операторов является оператор Гамильтона (гамильтониан). Чтобы записать выражение для этого оператора, составим функцию Гамильтона как сумму кинетической и потенциальной энергии Оператор кинетической энергии представим через компоненты оператора полного импульса (так называемая импульсная форма): дифференциальную форму оператора кинетической энергии:

Оператор Лапласа или лапласиан: Таким образом, оператор Гамильтона, соответствующий полной энергии квантовомеханической системы , имеет вид:

Постулат 3. Уравнение Шрёдингера Волновая функция квантовомеханической системы должна удовлетворять уравнению Шредингера. Уравнение Шредингера вида называют нестационарным.

Уравнение называется стационарным уравнением Шредингера.

Стационарное уравнение Шредингера как задача на собственные значения Типичная форма одномерного уравнения для частицы с массой m движущейся в одномерном пространстве при наличии поля с потенциалом U(x) Типичная форма трехмерного уравнения для частицы с массой m в поле с потенциалом U(x, y, z)

Постулат 4. Измерения в квантовой механике Если квантово-механическая система находится в состоянии , возникающем в результате суперпозиции собственных функций , то при измерении наблюдаемой физической величины А будет получено одно из собственных значений соответствующего линейного эрмитового оператора. Вероятность того, что при измерении физической величины будет получено значение равна

Вариационный метод Вариационное исчисление – это область математики, в которой рассматриваются методы поиска экстремальных значений (минимума или максимума) функционалов.

Функционал представляет собой величину, которая зависит от функции, другими словами, функционал – это «функция от функции» . Сам термин вариация означает изменение (от латинского variatio).

В квантовой механике вариационный метод является методом нахождения приближенных волновых функций и соответствующих им энергий.

Метод линейных комбинаций Релея- Ритца. В этом методе пробную функцию строят как линейную комбинацию некоторых базисных функций , т. е. записывают в виде разложения:

Теория возмущений Молекулярные системы часто находятся под воздействием слабых по величине напряженности внешних полей. О таком слабом поле горят как о слабом возмущении. (Примерами являются электрические и магнитные поля световой волны, причем они намного меньше, чем внутриатомные поля. )

Молекулярную систему, находящуюся под воздействием внешнего поля, будем называть возмущенной. Если возмущение мало, то гамильтониан системы связан с гамильтонианом невозмущенной системы посредством оператора возмущения : где – малый параметр.

Источник: https://present5.com/osnovnye-polozheniya-kvantovoj-mexaniki-postulat-1-volnovaya/

Загадка наблюдателя: 5 знаменитых квантовых экспериментов

Кот Шредингера

Волновая функция - в помощь студенту

Сегодня существует множество интерпретаций квантовой механики, самой популярной среди которых остается копенгагенская. Ее главные положения в 1920-х годах сформулировали Нильс Бор и Вернер Гейзенберг. А центральным термином копенгагенской интерпретации стала волновая функция — математическая функция, заключающая в себе информацию обо всех возможных состояниях квантовой системы, в которых она одновременно пребывает.

По копенгагенской интерпретации, доподлинно определить состояние системы, выделить его среди остальных может только наблюдение (волновая функция только помогает математически рассчитать вероятность обнаружить систему в том или ином состоянии). Можно сказать, что после наблюдения квантовая система становится классической: мгновенно перестает сосуществовать сразу во многих состояниях в пользу одного из них.

У такого подхода всегда были противники (вспомнить хотя бы «Бог не играет в кости» Альберта Эйнштейна), но точность расчетов и предсказаний брала свое.

Впрочем, в последнее время сторонников копенгагенской интерпретации становится все меньше и не последняя причина тому — тот самый загадочный мгновенный коллапс волновой функции при измерении.

Знаменитый мысленный эксперимент Эрвина Шредингера с бедолагой-котом как раз был призван показать абсурдность этого явления.

Итак, напоминаем содержание эксперимента. В черный ящик помещают живого кота, ампулу с ядом и некий механизм, который может в случайный момент пустить яд в действие. Например, один радиоактивный атом, при распаде которого разобьется ампула. Точное время распада атома неизвестно. Известен лишь период полураспада: время, за которое распад произойдет с вероятностью 50%.

Получается, что для внешнего наблюдателя кот внутри ящика существует сразу в двух состояниях: он либо жив, если все идет нормально, либо мертв, если распад произошел и ампула разбилась.

Оба этих состояния описывает волновая функция кота, которая меняется с течением времени: чем дальше, тем больше вероятность, что радиоактивный распад уже случился.

Но как только ящик открывается, волновая функция коллапсирует и мы сразу видим исход живодерского эксперимента.

Выходит, пока наблюдатель не откроет ящик, кот так и будет вечно балансировать на границе между жизнью и смертью, а определит его участь только действие наблюдателя. Вот абсурд, на который указывал Шредингер.

Дифракция электронов

Волновая функция - в помощь студенту

По опросу крупнейших физиков, проведенному газетой The New York Times, опыт с дифракцией электронов, поставленный в 1961 году Клаусом Йенсоном, стал одним из красивейших в истории науки. В чем его суть?

Есть источник, излучающий поток электронов в сторону экрана-фотопластинки. И есть преграда на пути этих электронов — медная пластинка с двумя щелями. Какой картины на экране можно ожидать, если представлять электроны просто маленькими заряженными шариками? Двух засвеченных полос напротив щелей.

В действительности на экране появляется гораздо более сложный узор из чередующихся черных и белых полос.

Дело в том, что при прохождении через щели электроны начинают вести себя не как частицы, а как волны (подобно тому, как и фотоны, частицы света, одновременно могут быть и волнами).

Потом эти волны взаимодействуют в пространстве, где-то ослабляя, а где-то усиливая друг друга, и в результате на экране появляется сложная картина из чередующихся светлых и темных полос.

При этом результат эксперимента не меняется, и если пускать электроны через щель не сплошным потоком, а поодиночке, даже одна частица может быть одновременно и волной.

Даже один электрон может одновременно пройти через две щели (и это еще одно из важных положений копенгагенской интерпретации квантовой механики — объекты могут одновременно проявлять и свои «привычные» материальные свойства, и экзотические волновые).

Но при чем здесь наблюдатель? При том, что с ним и без того запутанная история стала еще сложнее. Когда в подобных экспериментах физики попытались зафиксировать с помощью приборов, через какую щель в действительности проходит электрон, картинка на экране резко поменялась и стала «классической»: два засвеченных участка напротив щелей и никаких чередующихся полос.

Электроны будто не захотели проявлять свою волновую природу под пристальным взором наблюдателя. Подстроились под его инстинктивное желание увидеть простую и понятную картинку. Мистика? Есть и куда более простое объяснение: никакое наблюдение за системой нельзя провести без физического воздействия на нее. Но к этому вернемся еще чуть позже.

Нагретый фуллерен

Волновая функция - в помощь студенту

Опыты по дифракции частиц ставили не только на электронах, но и на куда больших объектах. Например, фуллеренах — крупных, замкнутых молекулах, составленных из десятков атомов углерода (так, фуллерен из шестидесяти атомов углерода по форме очень похож на футбольный мяч: полую сферу, сшитую из пяти- и шестиугольников).

Недавно группа из Венского университета во главе с профессором Цайлингером попыталась внести элемент наблюдения в подобные опыты. Для этого они облучали движущиеся молекулы фуллерена лазерным лучом. После, нагретые внешним воздействием, молекулы начинали светиться и тем неминуемо обнаруживали для наблюдателя свое место в пространстве.

Вместе с таким нововведением поменялось и поведение молекул. До начала тотальной слежки фуллерены вполне успешно огибали препятствия (проявляли волновые свойства) подобно электронам из прошлого примера, проходящим сквозь непрозрачный экран. Но позже, с появлением наблюдателя, фуллерены успокоились и стали вести себя как вполне законопослушные частицы материи.

Охлаждающее измерение

Волновая функция - в помощь студенту

Одним из самых известных законов квантового мира является принцип неопределенности Гейзенберга: невозможно одновременно установить положение и скорость квантового объекта. Чем точнее измеряем импульс частицы, тем менее точно можно измерить ее положение. Но действие квантовых законов, работающих на уровне крошечных частиц, обычно незаметно в нашем мире больших макрообъектов.

Читайте также:  Начало объединения русских земель и образование московского государства - в помощь студенту

Потому тем ценнее недавние эксперименты группы профессора Шваба из США, в которых квантовые эффекты продемонстрировали не на уровне тех же электронов или молекул фуллерена (их характерный диаметр — около 1 нм), а на чуть более ощутимом объекте — крошечной алюминиевой полоске.

Эту полоску закрепили с обеих сторон так, чтобы ее середина была в подвешенном состоянии и могла вибрировать под внешним воздействием. Кроме того, рядом с полоской находился прибор, способный с высокой точностью регистрировать ее положение.

В результате экспериментаторы обнаружили два интересных эффекта. Во-первых, любое измерение положения объекта, наблюдение за полоской не проходило для нее бесследно — после каждого измерения положение полоски менялось. Грубо говоря, экспериментаторы с большой точностью определяли координаты полоски и тем самым, по принципу Гейзенберга, меняли ее скорость, а значит и последующее положение.

Во-вторых, что уже совсем неожиданно, некоторые измерения еще и приводили к охлаждению полоски. Получается, наблюдатель может лишь одним своим присутствием менять физические характеристики объектов. Звучит совсем невероятно, но к чести физиков скажем, что они не растерялись — теперь группа профессора Шваба думает, как применить обнаруженный эффект для охлаждения электронных микросхем.

Замирающие частицы

Волновая функция - в помощь студенту

Как известно, нестабильные радиоактивные частицы распадаются в мире не только ради экспериментов над котами, но и вполне сами по себе. При этом каждая частица характеризуется средним временем жизни, которое, оказывается, может увеличиваться под пристальным взором наблюдателя.

Впервые этот квантовый эффект предсказали еще в 1960-х годах, а его блестящее экспериментальное подтверждение появилось в статье, опубликованной в 2006 году группой нобелевского лауреата по физике Вольфганга Кеттерле из Массачусетского технологического института.

В этой работе изучали распад нестабильных возбужденных атомов рубидия (распадаются на атомы рубидия в основном состоянии и фотоны).

Сразу после приготовления системы, возбуждения атомов за ними начинали наблюдать — просвечивать их лазерным пучком.

При этом наблюдение велось в двух режимах: непрерывном (в систему постоянно подаются небольшие световые импульсы) и импульсном (система время от времени облучается импульсами более мощными).

Полученные результаты отлично совпали с теоретическими предсказаниями. Внешние световые воздействия действительно замедляют распад частиц, как бы возвращают их в исходное, далекое от распада состояние. При этом величина эффекта для двух исследованных режимов также совпадает с предсказаниями. А максимально жизнь нестабильных возбужденных атомов рубидия удалось продлить в 30 раз.

Электроны и фуллерены перестают проявлять свои волновые свойства, алюминиевые пластинки охлаждаются, а нестабильные частицы замирают в своем распаде: под всесильным взором наблюдателя мир меняется.

Чем не свидетельство вовлеченности нашего разума в работу мира вокруг? Так может быть правы были Карл Юнг и Вольфганг Паули (австрийcкий физик, лауреат Нобелевской премии, один из пионеров квантовой механики), когда говорили, что законы физики и сознания должны рассматриваться как взаимодополняющие?

Но так остается только один шаг до дежурного признания: весь мир вокруг суть иллюзорное порождение нашего разума. Жутковато? («Вы и вправду думаете, что Луна существует лишь когда вы на нее смотрите?» — комментировал Эйнштейн принципы квантовой механики).

Тогда попробуем вновь обратиться к физикам.

Тем более, в последние годы они все меньше жалуют копенгагенскую интерпретацию квантовой механики с ее загадочным коллапсом волной функции, на смену которому приходит другой, вполне приземленный и надежный термин — декогеренция.

Дело вот в чем — во всех описанных опытах с наблюдением экспериментаторы неминуемо воздействовали на систему. Подсвечивали ее лазером, устанавливали измеряющие приборы.

И это общий, очень важный принцип: нельзя пронаблюдать за системой, измерить ее свойства не провзаимодействовав с ней. А где взаимодействие, там и изменение свойств.

Тем более, когда с крошечной квантовой системой взаимодействуют махины квантовых объектов. Так что вечный, буддистский нейтралитет наблюдателя невозможен.

Как раз это объясняет термин «декогеренция» — необратимый с точки зрения термодинамики процесс нарушения квантовых свойств системы при ее взаимодействии с другой, крупной системой.

Во время такого взаимодействия квантовая система утрачивает свои изначальные черты и становится классической, «подчиняется» системе крупной.

Этим и объясняется парадокс с котом Шредингера: кот представляет собой настолько большую систему, что его просто нельзя изолировать от мира. Сама постановка мысленного эксперимента не совсем корректна.

В любом случае, по сравнению с реальностью как актом творения сознания, декогеренция звучит куда более спокойно. Даже, может быть, слишком спокойно.

Ведь с таким подходом весь классический мир становится одним большим эффектом декогеренции.

А как утверждают авторы одной из самых серьезных книг в этой области, из таких подходов еще и логично вытекают утверждения вроде «в мире не существует никаких частиц» или «не существует никакого времени на фундаментальном уровне».

Созидающий наблюдатель или всесильная декогеренция? Приходится выбирать из двух зол. Но помните — сейчас ученые все больше убеждаются, что в основе наших мыслительных процессов лежат те самые пресловутые квантовые эффекты. Так что где заканчивается наблюдение и начинается реальность — выбирать приходится каждому из нас.

Источник: https://theoryandpractice.ru/posts/8507-quantum-experiment

Волновая функция

    Волновая функция (или вектор состояния) – комплексная функция, описывающая состояние квантовомеханической системы. Её знание позволяет получить максимально полные сведения о системе, принципиально достижимые в микромире.

Так с её помощью можно рассчитать все измеряемые физические характеристики системы, вероятность пребывания её в определенном месте пространства и эволюцию во времени. Волновая функция может быть найдена в результате решения волнового уравнения Шредингера.

    Волновая функция ψ(x, y, z, t) ≡ ψ(x,t) точечной бесструктурной частицы является комплексной функцией координат этой частицы и времени. Простейшим примером такой функции является волновая функция свободной частицы с импульсом и полной энергией Е (плоская волна)

Волновая функция - в помощь студенту

    Волновая функция системы А частиц содержит координаты всех частиц: ψ(1,2,…,A,t).

    Квадрат модуля волновой функции отдельной частицы |ψ(,t)|2 = ψ*(,t)ψ(,t) дает вероятность обнаружить частицу в момент времени t в точке пространства, описываемой координатами , а именно, |ψ(,t)|2dv ≡ |ψ(x, y, z, t)|2dxdydz это вероятность найти частицу в области пространства объемом dv = dxdydz вокруг точки x, y, z.

Аналогично, вероятность найти в момент времени t систему А частиц с координатами 1,2,…,A в элементе объема многомерного пространства дается величиной |ψ(1,2,…,A,t)|2dv1dv2…dvA.     Волновая функция полностью определяет все физические характеристики квантовой системы. Так среднее наблюдаемое значение физической величины F у системы дается выражением

Волновая функция - в помощь студенту

где — оператор этой величины и интегрирование проводится по всей области многомерного пространства.     В качестве независимых переменных волновой функции вместо координат частиц x, y, z могут быть выбраны их импульсы px, py, pz или другие наборы физических величин.

Этот выбор зависит от представления (координатного, импульсного или другого).     Волновая функция ψ(,t) частицы не учитывает ее внутренних характеристик и степеней свободы, т. е. описывает ее движение как целого бесструктурного (точечного) объекта по некой траектории (орбите) в пространстве.

Этими внутренними характеристиками частицы могут быть её спин, спиральность, изоспин (для сильновзаимодействующих частиц), цвет (для кварков и глюонов) и некоторые другие. Внутренние характеристики частицы задаются специальной волновой функцией её внутреннего состояния φ.

При этом полная волновая функция частицы Ψ может быть представлена в виде произведения функции орбитального движения ψ и внутренней функции φ:

Ψ = φψ,

поскольку обычно внутренние характеристики частицы и её степени свободы, описывающие орбитальное движение, не зависят друг от друга.

     В качестве примера ограничимся случаем, когда единственной внутренней характеристикой, учитываемой функцией , является спин частицы, причем этот спин равен 1/2.

Частица с таким спином может пребывать в одном из двух состояний − с проекцией спина на ось z, равной +1/2 (спин вверх), и с проекцией спина на ось z, равной -1/2 (спин вниз). Эту двойственность описывают спиновой функцией взятой в виде двухкомпонентного спинора:

Тогда волновая функция Ψ+1/2 = χ+1/2ψ будет описывать движение частицы со спином 1/2, направленным вверх, по траектории, определяемой функцией ψ , а волновая функция Ψ-1/2 = χ-1/2ψ будет описывать движение по той же траектории этой же частицы, но со спином, направленным вниз.

    В заключении отметим, что в квантовой механике возможны такие состояния, которые нельзя описать с помощью волновой функции. Такие состояния называют смешанными и их описывают в рамках более сложного подхода, использующего понятие матрицы плотности.

Состояния квантовой системы, описываемые волновой функцией, называют чистыми.

 

Источник: http://nuclphys.sinp.msu.ru/enc/e031.htm

Коллапс волновой функции не нужен

?

Category: Подглядел у vida_loucaВолновая функция - в помощь студенту

Окружающий нас мир ДИСКРЕТЕН не потому, что в материальном мире существует дуализм частица-волна, и эта волна обязана обладать собственными состояниями и собственными значениями энергии, будучи ограниченной теми или иными «стенками».

А потому, что любые взаимодействия в этом мире сопровождаются передачей или обменом ЦЕЛЫМ числом квантов ДЕЙСТВИЯ. Тех самых, которые открыл Планк в начале прошлого века, и которые носят теперь его имя.

Не ЭНЕРГИИ, не ИМПУЛЬСА, перенос которых тоже осуществляются дискретно, а, именно, ДЕЙСТВИЯ!

Потому, как квант действия всегда ПОСТОЯНЕН, а кванты энергии и импульса могут быть СКОЛЬ УГОДНО МАЛЫМИ. Только постоянство кванта действия сможет объяснить нам многие КРИТИЧЕСКИЕ явления, такие как ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ, ОТРЫВ ПОТОКА и ТУРБУЛЕНТНОСТЬ в гидродинамике, дискретность давно известных нам ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ или СИНХРОТРОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ.

Нужно вспомнить, что в начале прошлого века были предложены всё-таки ДВА разных подхода к описанию наблюдаемых квантовых явлений:

— Один — Гейзенбергом с именем матричная механика, — Другой Шрёдингером с именем волновая. Многие пришли к выводу, что обе механики идентичны, но это не совсем так. Они оказались идентичными в некотором формализованном операторном представлении, но их источник, их основания были разными. Механика Гейзенберга показывала, что переход между двумя состояниями, какими бы сложными оно не были, всегда сопровождается изменением ровно на ОДИН квант действия. А за сложность состояний мы платим их описанием в виде (бесконечных) рядов, соотношение между которыми устанавливает численная МАТРИЦА.

Ещё ДИРАК подчеркивал принципиальную важность ДВУХ ЧИСЕЛ (двух рядов), для описания изменения состояния квантовой системы. В волновой механике Шрёдингера этого нет, там — совсем другое. Основным в ней является не ПЕРЕХОД, как у Гейзенберга, а СОСТОЯНИЕ.

Это всё-таки ОДНО ЧИСЛО, если выражаться словами Дирака. Или МНОГО, если рассматривать набор всевозможных состояний.

У Шрёдингера состояние описывается некой волновой функцией, изменение которой и описывается уравнением его имени. Это потом ей придумали интерпретацию в виде «плотности вероятности», а по существу она является ОБОБЩЁННОЙ ФУНКЦИЕЙ, теория которых была разработана математиками в функциональном анализе. Особенность обобщённой функции (функция Дирака — хороший пример) заключается в том, что для такой функции не имеют смысла её конкретные значения в данный момент времени или в данной точке пространства. Физический смысл имеют только её ИНТЕГРАЛЬНЫЕ значения по некоторой области изменения переменных. А именно, её значения через интервалы, в точности равные целому числу квантов действия! Такая особенность и определяет близость (если не тождественность) описания процессов с помощью волновой функции и матрицы Гейзенберга.

Теперь можно утверждать, что никакой «случайности» не содержится в волновой функции. Её там просто нет.

«Случайность» в природе существует совсем по другой причине.

Я не буду их сейчас подробно описывать квантовый эффект Холла (целочисленный и дробный), это заняло бы очень много места и времени.

Озвучу лишь основной вывод: квант действия, который мы передаём системе извне, например, при нагревании распределяется в ней многими способами. Он может быть передан одному структурному элементу в системе, двум, трём или всем элементам.

(Причём, мы принципиально не можем определить частное состояние элементов, обладающих одним «общим» квантом.) В термодинамическом смысле распределение каждого кванта будет равнозначным для системы, и все они в равновесии будут иметь равные вероятности. В упомянутом выше квантовом эффекте Холла кванты действия распределяются немного иначе, но это потому, что квазидвумерная система электронов во внешнем постоянном магнитном поле является неравновесной (хоть и устойчивой в механическом смысле). Там кванты действия распределяются так: в слабых полях квант действия, равный произведению заряда электрона на квант магнитного потока, распределён по очень многим электронам. Они хоть и объединены одним «общим» квантом, но в силу их многочисленности могут немного изменять свои энергию и импульс, взаимодействуя с собой и окружающей решеткой твёрдого тела.

Их поведение выглядит довольно классическим.

Другое дело — сильные магнитные поля. Там каждый квант действия соответствует только одному электрону, или только двум, трём электронам — в менее сильных полях. Бывают и промежуточные состояния, когда, например, два кванта действия соответствуют ровно трём электронам одинаково по всей двумерной поверхности образца.

Но такие случаи, хоть и видны, но имеют гораздо менее выраженный характер на графике зависимости холловского сопротивления от величины магнитного поля.То есть, как происходит взаимодействие квантовой системы с классическим прибором?

Пусть квантовая система передала прибору один квант действия.

Из чисто термодинамических соображений этот квант имеет возможность распределиться по атомам измеряющего элемента прибора очень многими способами. Его выбор тоже будет термодинамическим: будет реализовано то состояние, которое из-за существующих динамических флуктуаций атомов прибора имеет в данный момент наименьшую вероятность.

Квант действия не определяет сам все возможные вероятности. Он просто встраивается в систему как единое целое со всеми остальными уже присутствующими квантами, исходя из могучего ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ.

Основного принципа, которым руководствуется Природа при учёте взаимодействия выделенных систем со своим окружением. Этот принцип хорошо известен нам из классической механики в виде принципа Лагранжа, определяющего траекторию частицы, исходя из минимума интегрального действия вдоль её траектории.

Так возникает некоторая случайность в отклике прибора на произведённое измерение.Осталось ответить на вопрос, почему система из многих частиц ведёт себя классически, если её температура достаточно далека от абсолютного нуля.

Читайте также:  Общая характеристика предприятия - в помощь студенту

Ответ можно найти при рассмотрении описанного выше процесса передачи кванта действия от одной системы к другой. Сама передача одного кванта системе, состоящей из большого числа атомов, равносильна тому, что приобретённая системой энергия и импульс окажется обратно пропорциональной полному числу в ней атомов.

То есть, будет очень маленькой, а последовательная передача многих квантов будет выглядеть как НЕПРЕРЫВНЫЙ процесс.

В отличие от передачи одного кванта действия между системами, состоящими из очень малого числа частиц. Там изменения энергии и импульса будут обязательно дискретными и достаточно большими.

  • То есть, квантовыми.
  • Таким образом, для описания Природы не нужен никакой коллапс волновой функции.
  • Да и сама волновая функция была бы не нужна, если бы не нужда в вычислениях так необходимых для нас свойств исследуемых квантовых систем.
  • /Михаил Дулин/

P.S.

Волновая функция - в помощь студенту

  1. Francis Heylighen была предложена совершенно сумасшедшая идея о соответствии между квантовой и самоорганизующейся динамикой сложных систем «Entanglement, symmetry breaking and collapse: correspondences between quantum and self-organizing dynamics».
  2. Речь идет о сложных адаптивных (или самоорганизующихся) системах.
  3. Такое появление порядка или согласованности называется самоорганизацией.
  4. Francis Heylighen показывает, что в обоих случаях (квантовые явления и самоорганизация) основной процесс, по-видимому, является нарушением симметрии, которое необратимо и непредсказуемо «сворачивает» неоднозначное состояние в одно из нескольких первоначально эквивалентных «собственных состояний» или «атракторов».

Francis Heylighen предлагает рассмотреть аналогию между квантовыми системами и системами которые сложны и к которым мы имеем более прямой доступ, как эмпирически, так и теоретически.Это распределенные в пространстве системы, состоящие из многих взаимодействующих компонентов, которые обычно моделируются как «агенты».Агенты могут быть молекулами, людьми, насекомыми или нейронами. Локальные взаимодействия между агентами обычно приводят к глобально скоординированному поведению, о чем свидетельствует движение птиц в рое, муравьев в колонии или рыбы в мелководье.Это нелинейный процесс, который имеет тенденцию усиливать крошечные колебания в макроскопических различиях.В результате такие сложные процессы обычно непредсказуемы и трудно контролируемы. Т.е. обладают свойствами, характерными для квантовых систем.• Francis Heylighen выдвигает гипотезу, что такое нарушение симметрии, в конечном счете, является следствием нелинейности усиления квантовых флуктуаций вакуума.

Источник: https://evan-gcrm.livejournal.com/1403112.html

Волновая функция

Однако в общем случае  состояние частицы в квантовой механике задается более сложной, вообще говоря комплексной, функцией ψ(r,t), зависящей от координат и времени. Эту функцию называют волновой функцией. В частном случае свободного движения частицы волновая функция переходит в плоскую волну де Бройля.

Вероятность dW нахождения частицы в элементе объема dV в момент времени t, согласно статистической интерпретации ψ — функции,

                                                .

Величина         имеет смысл плотности вероятности, т. е. определяет вероятность нахождения частицы в момент времени t в окрестности данной точки пространства.

Плотность вероятности – величина, наблюдаемая на опыте, в то время как сама волновая функция, являясь комплексной, наблюдению недоступна.

В этом заключается существенное отличие в описании состояний частиц в квантовой и классической механике (в классической механике величины, описывающие состояние частиц, наблюдаемы). Вероятность найти частицу в момент времени t в некотором объеме V, согласно теореме сложения вероятностей

                                                                              (76)

Проинтегрировав выражение (76) в бесконечных пределах, получим вероятность того, что частица в момент времени t находится где-то в пространстве. Это есть вероятность достоверного события, а ее в теории вероятностей считают равной 1. Поэтому принимают, что

                                                                               (77)

Условие (77) называют условием нормировки, а функцию ψнормированной волновой функцией. Так как волновая функция – объективная характеристика состояния микрочастиц, то она должна удовлетворять ряду ограничений.

Она должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скачком).

В квантовой механике для волновых функций выполняется принцип суперпозиции состояний: если какая-либо система (частица или их совокупность) может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями ψ1, ψ 2, …, ψ n, то она может находиться в состоянии ψ, описываемом линейной комбинацией этих функций:                                     ,

где Сn (n = 1, 2, …) – произвольные (в общем случае комплексные) числа, при этом квадрат модуля коэффициента Сn т. е. Сn2, равен вероятности обнаружить, что система, представленная состоянием ψ, может оказаться в состоянии ψn.

Источник: https://students-library.com/library/read/95410-volnovaa-funkcia

Волновая функция

В квантовой теории состояние объекта задается волновой функцией — функцией, определенной в каждой точке пространства для каждого момента времени. Знание волно­вой функции позволяет предсказать результаты измерения динамических переменных, зависящих от состояния объекта.

Проблемы, связанные с поведением вещества на атомном и субатомном уровнях, были решены в рамках квантовой ме­ханики.

Исходным понятием теории становится так называемая волновая функция ψ = ψ(x, y, z, t) (пси-функция). Это функ­ция координат и времени, т. е. величина ψ задается в каж­дой точке пространства для каждого момента времени. Су­щественно, что значения этой функции представляются комплексными числами.

Комплексное число z — это величина вида z = x + iy, где x, y — действительные (обычные числа), а величина i такова, что i × i = i2 = -1.

(Ясно, что никакое действительное чис­ло не обладает таким свойством, отсюда название этой вели­чины — «мнимая единица».) Для комплексных чисел спра­ведливы все правила обычной алгебры.

Комплексному числу z ставится в соответствие сопряженное число z̅ = x — iy. При этом произведение z̅ × z есть действительное число:

  • z̅ × z = x2 — ixy + ixy = i2y2 — x2 + y2.
  • Величина |z| = √(z̅ × z) = √(x2 + y2) называется модулем комп­лексного числа z.
  • Волновая функция полностью определяет состояние час­тицы.

Это значит, что если волновая функция частицы из­вестна, то можно получить ответы на все разумные вопро­сы относительно измеримых характеристик частицы (координаты, импульса, момента импульса, энергии). Однако не все вопросы, являющиеся разумными в рамках классической механики, будут таковыми в рамках кванто­вой механики.

Сама волновая функция ψ представляет собой так называемую амп­литуду вероятности. Это комплексная величина. Но квад­рат модуля волновой функции — величина действительная и наблюдаемая.

Ее физический смысл — плотность вероят­ности. Это вероятность обнаружения частиц в некотором малом объеме, деленная на величину этого объема. Материал с сайта http://worldofschool.ru

Возможны состояния, при которых могут быть сделаны од­нозначные предсказания относительно результатов изме­рения некоторых переменных, т. е. могут быть предсказа­ны их значения с вероятностью, равной единице. Но это частный случай общего вероятностного характера предска­заний квантовой теории.

Волновая функция частицы, находящейся в заданных усло­виях, и ее изменение во времени определяются из специ­ального уравнения — уравнения Шредингера, которое в рамках теории постулируется и играет ту же роль, что и второй закон Ньютона в классической механике.

На этой странице материал по темам:

Источник: http://WorldOfSchool.ru/fizika/kvantovaya/mehanika/volnovaya-funkciya

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Cтраница 3

Очевидно, что РїСЂРё использовании метода Рђ довольно плохая пробная волновая функция может привести Рє сравнительно хорошей оценке полной энергии Рё даже более жесткие требования, налагаемые теоремой вириала, РјРѕРіСѓС‚ быть удовлетворены простым изменением масштаба координат РІ РїСЂРѕР±РЅРѕР№ волновой функции. Поэтому, если пытаться строить приближенные волновые функции, которые СЃРјРѕРіСѓС‚ приводить Рє надежным оценкам РґСЂСѓРіРёС… свойств, Р° РЅРµ только энергии, следует проверять эти волновые функции РЅРµ РЅР° вычислении энергии, Р° именно РЅР° РґСЂСѓРіРёС… свойствах.  [31]

Приближенную функцию, подставляемую в (1.55), называют обычно пробной волновой функцией.

Чем лучше пробная волновая функция аппроксимирует точную, тем ближе значение энергии, полученное СЃ помощью этой РїСЂРѕР±РЅРѕР№ функции, Рє истинному значению.  [32]

Приближенная функция, подставляемая в (1.48), называется обычно пробной волновой функцией.

Чем лучше пробная волновая функция аппроксимирует точную, тем ближе значение энергии, полученное СЃ помощью этой РїСЂРѕР±РЅРѕР№ функции, Рє истинному значению.  [33]

Приближенную функцию, подставляемую в (1.55), называют обычно пробной волновой функцией.

Чем лучше пробная волновая функция аппроксимирует точную, тем ближе значение энергии, полученное СЃ помощью этой РїСЂРѕР±РЅРѕР№ функции, Рє истинному значению.  [34]

Метод самосогласованного поля ( ССП) для расчетов строения атомов и молекул первоначально разработан Хартри, усовершенствован Фоком и используется почти повсеместно.

�сходным пунктом метода является выбор пробных волновых функций для всех электронов системы.

Затем выбирается РѕРґРёРЅ электрон Рё рассчитывается потенциал, РІ котором РѕРЅ движется, РІ предположении, что распределение всех остальных электронов системы заморожено Рё создает для рассматриваемого электрона определенный потенциал. После этого находится решение уравнения Шредин-гера для электрона, движущегося РІ поле СЃ таким потенциалом, Рё, следовательно, определяется новая волновая функция этого электрона. Эта процедура повторяется для всех электронов системы, РїСЂРё этом электроны РЅР° замороженных орбиталях играют роль источников потенциала. Р’ результате, РєРѕРіРґР° цикл завершен ( СЂРёСЃ. РЎ. Затем весь цикл вычислений повторяется, РїСЂРё этом РІ качестве исходных функций используются усовершенствованные волновые функции, полученные РІ первом цикле. Р’ результате второго цикла получается новый набор усовершенствованных функций. Эта последовательность действий ( итерационная процедура) продолжается РґРѕ тех РїРѕСЂ, РїРѕРєР° после подстановки очередного набора орбиталей Рё проведения СЃ РЅРёРј цикла вычислений РЅРµ получится этот же неизмененный набор орбиталей.  [35]

В реальных расчетах и точная волновая функция в рамках выбранной пробной модели, и сама точная волновая функция остаются неизвестными.

РџСЂРё вычислении ожидаемого значения гамильтониана для РїСЂРѕР±РЅРѕР№ волновой функции принято ( РїРѕ крайней мере РІ молекулярных расчетах) параметризовать орбитали РїСЂРё помощи конечного базисного набора. Это неизбежно РїСЂРёРІРѕРґРёС‚ Рє ошибке, связанной СЃ эффектами усечения базисного набора ( СЃРј. РіР». РџСЂРё вычислении корреляционной поправки Рє волновой функции Р¤, приходится РЅРµ только использовать конечный базисный набор, РЅРѕ также ограничиваться лишь частью членов, необходимых для полного описания эффектов электронной корреляции РІ рамках данного базисного набора. РќР° СЂРёСЃ. 3.3 схематически изображено соотношение между результатами реальных расчетов, точными результатами РїСЂРѕР±РЅРѕР№ модели Рё точными результатами СЃ учетом корреляционной поправки.  [36]

Чем ближе Ф к истинному решению для этого состояния, тем в большей мере ( Г-7) приближается к равенству.

Энергии более высоких состояний можно найти, используя пробные волновые функции, ортогональные Рє точным решениям для нижних состояний.  [37]

Квантовомеханический расчет многоэлектронной системы часто проводится методом проб и ошибок.

Первый шаг состоит в выборе, обычно произвольном, формы пробной волновой функции.

Очень редко РЅРµ возникает противоречий между пунктами 2 Рё 3, Рё для выбора многоэлектронной волновой функции необходим РєРѕРјРїСЂРѕРјРёСЃСЃ между точностью Рё удобством вычисления.  [38]

Как уже отмечалось выше, выбор РїСЂРѕР±РЅРѕР№ волновой функции РІ РІРёРґРµ простого произведения РЅРµ позволяет учесть корреляцию РІ движении электронов, обусловленную антисимметрией полной функции. Самосогласованное поле, учитывающее корреляции РІ движении электронов, было получено Фоком [57] РЅР° РѕСЃРЅРѕРІРµ использования РїСЂРѕР±РЅРѕР№ волновой функции, правильно учитывающей симметрию относительно перестановки частиц. Р’ методе Фока пробная функция строится СЃ помощью волновых функций отдельных электронов, зависящих как РѕС‚ пространственных, так Рё РѕС‚ спиновых переменных.  [39]

Если пробная волновая функция дает достаточно хорошее значение энергии, она может быть или оставлена в таком виде, или слегка изменена, в зависимости от целей расчета и требуемой точности.

Если, однако, она дает результаты, явно противоречащие экспериментальным наблюдениям, ее следует заменить пробной волновой функцией иного вида.

Относительные ( РЅРѕ РЅРµ абсолютные) достоинства СЂСЏРґР° пробных волновых функций можно оценить СЃ применением вариационного принципа, РЅРµ прибегая Рє экспериментальным данным: лучшей РїСЂРѕР±РЅРѕР№ функцией будет та, которая соответствует минимальному значению энергии.  [40]

Р’ предыдущем параграфе уже было отмечено, что метод конфигурационного взаимодействия характеризуется вполне определенным СЃРїРѕСЃРѕР±РѕРј построения СЃРїРёРЅРѕРІРѕР№ части конфигурационной функции состояния. Таких СЃРїРѕСЃРѕР±РѕРІ существует несколько, причем РѕРґРёРЅ РёР· РЅРёС… РІРѕР·РЅРёРє РЅР° самом начальном этапе развития квантовой С…РёРјРёРё Рё РїРѕ настоящее время используется РїСЂРё конструировании пробных волновых функций многоэлектронных систем. РџРѕ СЃРІРѕРёРј идеям РѕРЅ РЅРµ менее интересен, чем метод конфигурационного взаимодействия, Р° поэтому имеет смысл остановиться РЅР° нем несколько подробнее.  [41]

Большое отрицательное значение Е соответствует стабильной системе.

РњС‹ выразили энергию РІ РІРёРґРµ уравнения ( 2 — 8) для того, чтобы определить коэффициенты РЎ4 Рё РЎ2, которые РїСЂРёРІРѕРґСЏС‚ Рє наиболее РЅРёР·РєРѕР№ энергии РїСЂРё данной РїСЂРѕР±РЅРѕР№ волновой функции.

Это можно сделать СЃ помощью вариационного метода, продифференцировав уравнение ( 2 — 8) РїРѕ Ci Рё приравняв затем полученное выражение нулю для нахождения РјРёРЅРёРјСѓРјР° энергии.  [42]

РўРѕРіРґР° РјС‹ получим наилучшие значения этих коэффициентов уравнения ( 2 — 7) — волновой функции, описывающей истинную структуру молекулы.

Поскольку истинная энергия всегда ниже вычисленной РїСЂРё приближенном рассмотрении, найденные СЃ помощью такого метода энергии всегда равны или выше истинного значения РІ зависимости РѕС‚ того, насколько удачно была выбрана пробная волновая функция.  [43]

Это связано, РІРѕ-первых, СЃ совершенствованием машинной техники Рё распространением РІРѕ всем РјРёСЂРµ универсальных программ, написанных РЅР° алгоритмических языках, РІРѕ-вторых, СЃ разработкой новых СЃРїРѕСЃРѕР±РѕРІ вычисления сложных многоцентровых интегралов Рё, РІ-третьих, СЃ прогрессом РІ РїРѕРёСЃРєРµ подходящих выражений для пробных волновых функций Рё базисных СЂСЏРґРѕРІ ( краткий РѕР±Р·РѕСЂ квантово-химических методов применительно Рє расчету РєРѕРЅ-формаций молекул дан РІ РіР».  [44]

Это положение строго доказывается. Если Р±С‹ пробная волновая функция привела Рє значениям Р• Р•0, значит, РѕРЅР° отвечала Р±С‹ состоянию более устойчивому, чем осуществилось РІ системе.  [45]

Страницы:      1    2    3    4

Источник: https://www.ngpedia.ru/id572928p3.html

Ссылка на основную публикацию